Estudio comparativo de métodos numéricos para resolver ecuaciones en derivadas parciales lineales

Abstract

La principal ventaja del método de los elementos finitos y del método de los volúmenes finitos es la capacidad que tienen de tratar con dominios ciertamente complejos de manera simple dándole un carácter local a la aproximación. Estos métodos dividen el dominio en un número finito de subdominios, que cumplen unas condiciones geométricas regulares. Para el caso 2-dimensional, ambos métodos no presentan grandes dificultades para la generación de una malla, mientras que en el caso 3-dimensional ello resulta bastante complicado y es uno de los problemas que actualmente se están estudiando con mayor profundidad, ya que, en la mayoría de los casos, la creación de una malla resulta computacionalmente más caro que la resolución numérica del problema.

Principalmente por este motivo, se empezaron a estudiar los denominados métodos sin malla. Los primeros métodos se basaron es un intento de generalizar el método de las diferencias finitas a mallas irregulares. Otro de los primeros métodos estudiados son los denominados Smooth Particle Hydrodynamics (SPH). Estos métodos trabajan la ausencia de contornos, aunque no son tan precisos, como los métodos de elementos finitos regulares. Esta clase de métodos suele utilizarse frecuentemente para modelar fenómenos astrofísicos que no posean contornos. Recientemente, se han estudiado una clase de métodos, donde no es necesaria la creación de una malla.

Los principios métodos son el método de los elementos difusos (DE), cuyo principal precursor fue Nayroles y el método Element-Free Galerkin (EFG). Ambos se basan en que las funciones interpolatorias son polinomios que tratan de aproximar la función en los nodos por un método de aproximación por mínimos cuadrados. En los dos casos no basta para formular las ecuaciones de Galerkin con una colección de nodos y una descripción del contorno. La diferencia entre ambos métodos radica es que en los métodos de los elementos difusos no se consideran necesarios.

Los dos métodos son consistentes y bastante estables, aunque sustancialmente más caros que los métodos SPH. Gracias a un estudio de Duarte y Oden y a otro de Babuska y Melenk se han comprendido con mayor profundidad, y dicen que son métodos basados en la partición de la unidad. Estos personajes junto con Liu fueron los primeros en probar la convergencia de estos dos métodos.

Finalmente, para concluir, hay que destacar la presencia de otra clase de métodos denominados Reproducing Kernel Particle (RKP), cuyo principal precursor fue Liu.

En la sección 2, veremos una introducción teórica a algunos métodos como son elementos finitos, el método de los elementos difusos, el método EFG, los métodos SPH y finalmente el método de las diferencias finitas para el caso bidimensional.

En la sección 3, abordaremos algunos aspectos sobre la programación de ellos, que ha sido efectuada, en el caso 1-dimensional, donde se han programada todos los anteriormente citados, salvo los SPH.

La sección 4, contendrá breves remarcar sobre la programación de los métodos en el caso 2-dimensional, donde se han implementado los mismos métodos que en el caso 1-dimensional, con la excepción única de reemplazar el método de los elementos finitos por el de las diferencias finitas.

La sección 5 y 6 se comentarán los resultados obtenidos para el caso 1-dimensional y 2-dimensional respectivamente.

La seccón 7 contendrá algunas conclusiones y comentarios sobre el estudio.