CÁLCULO DE COTAS INFERIORES DE LA ABSCISA DE ESTABILIDAD Y ALGUNAS APLICACIONES

==CÁLCULO DE COTAS INFERIORES DE LA ABSCISA DE ESTABILIDAD Y ALGUNAS APLICACIONES==

'''Edgar Díaz, Baltazar Aguirre, Carlos Loredo 

Departamento de Matemáticas  

Universidad Autónoma Metropolitana 

Iztapalapa, San Rafael Atlixco 186, 09340, CDMX México 

e-mail: dige_uam@yahoo.com.mx, bahe@xanum.uam.mx, carlos.loredo@ipicyt.edu.mx  Jorge López 

Departamento de Matemáticas 

Universidad de Sonora

Boulevard Rosales y Luis Encinas s/n. Col. Centro, 83000, Hermosillo, Son, México 

e-mail: conacyt.pnc01@ibero.mx

Eric Campos 

División de Matemáticas 

IPICyT, SLP 

Camino a la Presa San José 2055, Col. Lomas 4a Sección, 78216 SLP, México 

e-mail: eric.campos@ipicyt.edu.mx'''


==Resumen==

Si <math>p(t)</math> es un polinomio Hurwitz la mayor parte real de sus raíces es llamada la abscisa de estabilidad de <math>p(t)</math>; este parámetro nos permite analizar la estabilidad de un sistema. En este artículo  se presentan diversas cotas inferiores de la abscisa de estabilidad así como  también una relación entre el Teorema de Bialas Generalizado y la abscisa de estabilidad que nos permite analizar la estabilidad robusta de un tipo de Familia de Polinomios.

''Palabras Clave.'' polinomios Hurwitz, cotas inferiores, abscisa de estabilidad, estabilidad robusta.

==COMPUTATION OF LOWER BOUNDS OF THE ABSCISSA OF STABILITY AND SOME APPLICATIONS    ==

==Abstract==

If <math>p(t)</math> is a Hurwitz polynomial, the largest real part of its roots is named the abscissa of stability of <math>p(t)</math>, a parameter which allows us to analyze the stability of a system. In this paper we present several lower bounds of the stability abscissa as well as a relationship between the Generalization of the Bialas Theorem and the abscissa of stability that allows us to analyze the robust stability of a Family of Polynomials.

==1 Introducción==

Para tener estabilidad asintótica en un sistema continuo es necesario que todas las raíces de su polinomio característico asociado se encuentren en <math display="inline">\mathbb{C}^{-}</math>, donde <math display="inline">\mathbb{C}^{-}</math> es el conjunto de números complejos que tienen parte real negativa. En el caso en que un polinomio tenga todas sus raíces en <math display="inline">\mathbb{C}^{-}</math> se dice que es un polinomio Hurwitz. Routh (1887) y Hurwitz (1895) demostraron que la estabilidad se puede determinar directamente de los coeficientes del polinomio característico asociado. Los trabajos de Routh y Hurwitz dieron lugar al ''Criterio de Routh-Hurwitz'', probablemente el criterio más popular para determinar si un polinomio es o no polinomio Hurwitz. Múltiples problemas de la mecánica, de la física y de la teoría del control se reducen al problema de las raíces de los polinomios, esto motivo numerosas investigaciones que tenían por objeto conocer la posición de las raíces en el plano complejo sin conocerlas. Para polinomios de coeficientes reales se buscaban cotas entre las que podían estar estas raíces, así, se elaboraban métodos  para la búsqueda de cotas entre las que están comprendidas las raíces reales de un polinomios de coeficientes reales, obteniéndose diversas cotas para las raíces reales. A continuación damos la siguiente definición de '''abscisa de estabilidad'''.

Definición 1: Si <math display="inline">p(t)</math> es un polinomio estable de grado <math display="inline">n</math> con ceros <math display="inline">w_1</math>, …, <math display="inline">w_n</math>, el número negativo

{| class="formulaSCP" style="width: 100%; text-align: left;" 
|-
| 
{| style="text-align: left; margin:auto;width: 100%;" 
|-
| style="text-align: center;" | <math>\sigma _{p}:=\hbox{ max}_{1 \leq m \leq n}{\{ \hbox{ Re } (w_m)}\} </math>
|}
|}

es definido como la '''abscisa de estabilidad''' de <math display="inline">p(t)</math>.    El siguiente teorema nos ayudara a comprender la importancia de conocer la abscisa de estabilidad de un sistemas de ecuaciones diferenciales lineales.

Teorema 1: Consideremos el sistema de ecuaciones diferenciales:

{| class="formulaSCP" style="width: 100%; text-align: left;" 
|-
| 
{| style="text-align: left; margin:auto;width: 100%;" 
|-
| style="text-align: center;" | <math>\dot{x} = Ax.</math>
|}
|}

Las siguientes afirmaciones son equivalentes:

* Todos los valores propios de <math display="inline">A</math> tienen parte real negativa.
* Existen constantes positivas <math display="inline">a</math>, <math display="inline">c</math>, <math display="inline">m</math> y <math display="inline">M</math>, tales que, para todo <math display="inline">x_{0} \in \mathbb{R}^{n}</math>

{| class="formulaSCP" style="width: 100%; text-align: left;" 
|-
| 
{| style="text-align: left; margin:auto;width: 100%;" 
|-
| style="text-align: center;" | <math>|e^{At} x_{0}| \leq M e^{-ct} |x_{0}|</math>
|}
|}

Conociendo la abscisa de estabilidad tenemos que <math display="inline">|e^{At} x_{0}| \leq M e^{\sigma _{p}t} |x_{0}|</math>. Entonces si <math display="inline">\sigma _{p}</math> es la abscisa de estabilidad de un polinomio Hurwitz <math display="inline">p(t)</math> podemos predecir una cierta tasa mínima de decaimiento, por otra parte,  el cálculo  de la abscisa de estabilidad a sido requerido en el diseño de sistemas dinámicos y de control (ver [20]- [22]).

En este artículo presentamos diversas cotas inferiores de la abscisa de estabilidad primero mediante funciones simétricas y después en un segundo enfoque a partir de una relación entre las abscisas de estabilidad de un polinomio Hurwitz <math display="inline">p(t)</math> y su derivada <math display="inline">p'(t)</math>, esta desigualdad la usaremos para obtener cotas inferiores de la abscisa de estabilidad de un polinomio estable.

Como aplicación de la abscisa de estabilidad estudiamos su relación con el Máximo Intervalo de Estabilidad: Dado un polinomio Hurwitz <math display="inline">p(t)</math> de grado <math display="inline">n</math> y un polinomio arbitrario <math display="inline">q(t)</math> consideremos la Familia <math display="inline">p(t) + k q(t)</math> donde <math display="inline">k \in \mathbb{R}</math>. El Máximo Intervalo de Estabilidad es denotado por <math display="inline">(k_{\min }, k_{\max })</math> de modo que <math display="inline">p(t) + k q(t)</math> resulta ser Hurwitz para todo <math display="inline">k \in (k_{\min }, k_{\max })</math>, <math display="inline">k_{\min }</math> es conocido como el Mínimo Extremo Izquierdo y <math display="inline">k_{\max }</math> como el Máximo Extremo Derecho que resulta ser la abscisa de estabilidad de <math display="inline">p(t)</math>.

==2 Desarrollo==

===2.1 Cotas inferiores===

Ahora presentamos algunas cotas inferiores para la abscisa de estabilidad de un polinomio utilizando funciones simétricas de los ceros.  El parámetro ''abscisa de estabilidad'' se denomina en ocasiones como el ''grado de estabilidad''. Aunque el término abscisa de estabilidad tiene preferencia ya que ''grado'' implica una cierta cantidad entera. Los índices <math display="inline">n</math>, <math display="inline">i</math> y <math display="inline">j</math> se usaran de manera habitual para los siguientes rangos: <math display="inline">n= 2, 3, \ldots</math>; <math display="inline">i=1, 2, \ldots, n</math>; <math display="inline">j=0, 1, \ldots, n</math>.

===2.2 Cotas inferiores a partir de funciones simétricas elementales===

Las cotas inferiores  del Teorema&nbsp;[[#theorem-teo:1:lower|2]] son estructuralmente más simples que las de los siguientes teoremas, estas cotas son funciones de las funciones simétricas elementales de los ceros de <math display="inline">p(t)</math>.

<span id='theorem-teo:1:lower'></span>Teorema 2:  Sea <math display="inline">p(t)</math> un polinomio real estable y sea <math display="inline">\sigma </math> su abscisa de estabilidad. Entonces las constantes

<span id="eq-1"></span>
{| class="formulaSCP" style="width: 100%; text-align: left;" 
|-
| 
{| style="text-align: left; margin:auto;width: 100%;" 
|-
| style="text-align: center;" | <math>S_{mi} = - \left({\binom{n}{m}}^{-1} \binom{n}{i} \left(\frac{a_{m}}{a_{i}}\right)\right)^{1/(i-m)}  </math>
|}
| style="width: 5px;text-align: right;white-space: nowrap;" | (1)
|}

son cotas inferiores de la abscisa de estabilidad de <math display="inline">p(t)</math>, es decir,

{| class="formulaSCP" style="width: 100%; text-align: left;" 
|-
| 
{| style="text-align: left; margin:auto;width: 100%;" 
|-
| style="text-align: center;" | <math>S_{mi} \leq \sigma ,  m= 0, 1, \cdots , i-1. </math>
|}
|}

La igualdad se tiene si todos los ceros de <math display="inline">p(t)</math> son reales e iguales, excepto para <math display="inline">S_{n-1, n}</math> para la cual la igualdad se tiene si todos los ceros tiene igual parte real.   Ver [17] para una demostración. El Teorema&nbsp;[[#theorem-teo:1:lower|2]] define <math display="inline">\binom{n+1}{2}</math> cotas inferiores. El siguiente teorema muestra la mejor cota inferior de este conjunto.

<span id='theorem-teo:2:lower'></span>Teorema 3:  Sea <math display="inline">p(t)</math> un polinomio estable real y sean <math display="inline">S_{mn}</math> cotas inferiores de la abscisa de estabilidad como fueron definidas en ([[#eq-1|1]]). Entonces la mejor  cota inferior estará entre las cotas siguientes

{| class="formulaSCP" style="width: 100%; text-align: left;" 
|-
| 
{| style="text-align: left; margin:auto;width: 100%;" 
|-
| style="text-align: center;" | <math>S_{k, k+1} = -\left(\frac{n-k}{k+1} \right)\left(\frac{a_{k}}{a_{k+1}} \right), k = 0, 1, \cdots , n-1. </math>
|}
|}

Ver [17] para una demostración.  A partir de este teorema se desprende el siguiente corolario. 

<span id='theorem-coro:1:lower'></span>Corolario 1:  Sea <math display="inline">p(t)</math> un polinomio real estable y sea <math display="inline">\sigma </math> su abscisa de estabilidad, además, sea <math display="inline">\mu \leq 0</math> un número dado y sea <math display="inline">q(t)</math> un polinomio con abscisa de estabilidad <math display="inline">\mu </math>. Una condición necesaria para que <math display="inline">p(t)</math> sea ''al menos'' estable como <math display="inline">q(t)</math> es que las siguientes desigualdades

<span id="eq-2"></span>
{| class="formulaSCP" style="width: 100%; text-align: left;" 
|-
| 
{| style="text-align: left; margin:auto;width: 100%;" 
|-
| style="text-align: center;" | <math>\frac{a_{k}}{a_{k+1}} \geq \frac{k+1}{n-k} \cdot |\mu |,  k = 0, 1, \cdots , n-1,  </math>
|}
| style="width: 5px;text-align: right;white-space: nowrap;" | (2)
|}

se satisfagan.   Este corolario es una generalización de la siguiente condición necesaria: ''Un polinomio estable tiene coeficientes positivos'' y de hecho se reduce a esta condición para <math display="inline">\mu=0</math>.

===2.3 Cotas inferiores a partir de sumas de potencias===

Diferentes cotas inferiores de la abscisa de estabilidad pueden ser obtenidas a partir de funciones simétricas de los recíprocos de los ceros de <math display="inline">p(t)</math>. Consideremos el polinomio siguiente:

{| class="formulaSCP" style="width: 100%; text-align: left;" 
|-
| 
{| style="text-align: left; margin:auto;width: 100%;" 
|-
| style="text-align: center;" | <math>q(t) = p\left(\frac{1}{t} \right)\cdot t^{n} = \sum _{j}a_{n-j} t^{j}, </math>
|}
|}

cuyos ceros son <math display="inline">t_{i}^{-1}</math>. Consideremos ahora las sumas de potencias de los recíprocos de los ceros de un polinomio <math display="inline">p(t)</math>. Denotemos la k-ésima suma de potencias por <math display="inline">s_{k}</math>, es decir,

<span id="eq-3"></span>
{| class="formulaSCP" style="width: 100%; text-align: left;" 
|-
| 
{| style="text-align: left; margin:auto;width: 100%;" 
|-
| style="text-align: center;" | <math>s_{k} = \sum _{i} t_{i}^{-k},  k = 1, 2, \cdots{.}  </math>
|}
| style="width: 5px;text-align: right;white-space: nowrap;" | (3)
|}

Específicamente, las primeras cuatro sumas de potencias  como funciones de los coeficientes de <math display="inline">p(t)</math> son:

{| class="formulaSCP" style="width: 100%; text-align: left;" 
|-
| 
{| style="text-align: left; margin:auto;width: 100%;" 
|-
| style="text-align: center;" | <math>s_{1}  =  - a_{1}/a_{0}, </math>
|-
| style="text-align: center;" | <math> s_{2}  =  (a_{1}^{2} - 2 a_{0} a_{2})/ a_{0}^{2}, </math>
|-
| style="text-align: center;" | <math> s_{3}  =  (-a_{1}^{3} + 3 a_{0} a_{1} a_{2} - 3 a_{0}^{2} a_{3}) / a_{0}^{3}, </math>
|-
| style="text-align: center;" | <math> s_{4}  =  (a_{1}^{4} - 4 a_{0} a_{1}^{2} a_{2} + 2 a_{0}^{2} a_{2}^{2} + 4 a_{0}^{2} a_{1} a_{3} - 4 a_{0}^{3} a_{4}) / a_{0}^{4}. </math>
|}
|}

Tales sumas de potencias aparecerán en el siguiente teorema.

<span id='theorem-teo:3:lower'></span>Teorema 4:  Sean <math display="inline">p(t)</math> un polinomio real estable, <math display="inline">\sigma </math> su abscisa de estabilidad y <math display="inline">s_{k}</math>, (<math display="inline">k=1, 2, \cdots ,</math>) las sumas de potencias de los recíprocos de los ceros de <math display="inline">p(t)</math> definidos como en ([[#eq-3|3]]). Entonces, para <math display="inline">s_{k} \neq 0</math> las constantes

{| class="formulaSCP" style="width: 100%; text-align: left;" 
|-
| 
{| style="text-align: left; margin:auto;width: 100%;" 
|-
| style="text-align: center;" | <math>T_{k} = \left\{\begin{array}{ll}-((-1)^{k+1} n c_{k} s_{k}^{-1})^{1/k} & \left\{\begin{array}{ll}s_{k} > 0, & k \textrm{ impar}, \\ s_{k} < 0, & k \textrm{ par}, \end{array} \right. \\ -((-1)^{k} n s_{k}^{-1})^{1/k} & \left\{\begin{array}{ll}s_{k} > 0, & k \textrm{ par}, \\ s_{k} < 0, & k \textrm{ impar}, \end{array} \right. \end{array} \right. </math>
|}
|}

donde <math display="inline">c_{k} = \cos ^{k+1}{\left(\frac{\pi }{k+1}\right)}</math> son cotas inferiores de la abscisa de estabilidad de <math display="inline">p(t)</math>, es decir,

{| class="formulaSCP" style="width: 100%; text-align: left;" 
|-
| 
{| style="text-align: left; margin:auto;width: 100%;" 
|-
| style="text-align: center;" | <math>T_{k} \leq \sigma ,  k = 1, 2, \cdots{.} </math>
|}
|}

La igualdad se tiene si todos los ceros de <math display="inline">p(t)</math> son reales e iguales.   Ver [17] para una demostración.

===2.4 Cotas inferiores a partir de otras funciones simétricas===

Adicionalmente diversas cotas inferiores de la abscisa de estabilidad pueden ser obtenidas a partir de otras funciones simétricas elementales.

Consideremos la siguiente función simétrica de los recíprocos de los ceros de un polinomio <math display="inline">p(t)</math> definida por:

{| class="formulaSCP" style="width: 100%; text-align: left;" 
|-
| 
{| style="text-align: left; margin:auto;width: 100%;" 
|-
| style="text-align: center;" | <math>h(t) = \sum _{i,k=1, i\neq k}(t_{i}^{2} t_{k})^{-1}. </math>
|}
|}

En términos de los coeficientes de <math display="inline">p(t)</math>,

{| class="formulaSCP" style="width: 100%; text-align: left;" 
|-
| 
{| style="text-align: left; margin:auto;width: 100%;" 
|-
| style="text-align: center;" | <math>h(t) = (3 a_{3} a_{0} - a_{2} a_{1}) a_{0}^{-2}. </math>
|}
|}

Obtenemos la siguiente cota inferior de la abscisa de estabilidad de un polinomio real estable <math display="inline">p(t)</math> para <math display="inline">h(t) \neq 0</math>:

{| class="formulaSCP" style="width: 100%; text-align: left;" 
|-
| 
{| style="text-align: left; margin:auto;width: 100%;" 
|-
| style="text-align: center;" | <math>S_{h} = -\sqrt=3 \leq \sigma _{p}, </math>
|}
|}

con

{| class="formulaSCP" style="width: 100%; text-align: left;" 
|-
| 
{| style="text-align: left; margin:auto;width: 100%;" 
|-
| style="text-align: center;" | <math>c = \left\{\begin{array}{ll}\frac{1}{4} & \textrm{para }h(t) > 0\textrm{}.\\ -1 & \textrm{para }h(t) < 0\textrm{} \end{array} \right. </math>
|}
|}

La igualdad se obtiene si todos los ceros de <math display="inline">p(t)</math> son reales e iguales.

===2.5 Segundo enfoque===

Ahora presentamos algunas cotas inferiores de la abscisa de estabilidad como una consecuencia del Teorema de Gauss-Lucas. A partir de un polinomio Hurwitz de orden <math display="inline">n</math> mediante una sucesivo descenso del orden del polinomio obtenemos una sucesión de cotas inferiores que dependen de los coeficientes del polinomio de grado <math display="inline">n</math>.

Primero presentamos una desigualdad entre las abscisas de estabilidad de un polinomio Hurwitz <math display="inline">p(t)</math> y su derivada <math display="inline">p'(t)</math>. Sin pérdida de generalidad, vamos a considerar <math display="inline">p(t)</math> de la forma siguiente:

{| class="formulaSCP" style="width: 100%; text-align: left;" 
|-
| 
{| style="text-align: left; margin:auto;width: 100%;" 
|-
| style="text-align: center;" | <math>p(t) = a_{n} t^{n} + a_{n-1} t^{n-1} + \cdots + a_{1} t + a_{0}.</math>
|}
|}

A partir de esta desigualdad podemos obtener una cota inferior para la abscisa de estabilidad de <math display="inline">p(t)</math>. Usando la notación dada anteriormente vamos a denotar la abscisa de estabilidad de un polinomio Hurwitz <math display="inline">p(t)</math> por <math display="inline">\sigma _{p}</math> y la abscisa de estabilidad de <math display="inline">p'(t)</math> por <math display="inline">\sigma _{p'}</math>. Esta relación es la desigualdad <math display="inline">\sigma _{p'} \leq \sigma _{p} </math>. Después utilizaremos esta desigualdad para obtener una cota inferior para la abscisa de estabilidad de un polinomio.

====2.5.1 Abscisa de polinomios Hurwitz: Una desigualdad entre <math>\sigma _ {p}</math> y <math>\sigma _{p'}</math>====

La prueba del Teorema&nbsp;[[#theorem-teo_lower_uno|6]] está basada en el siguiente resultado de Gauss-Lucas.

<span id='theorem-theo_Gauss_Lucas'></span>Teorema 5:  Cualquier semiplano cerrado que contiene todos los ceros de un polinomio <math display="inline">p(t)</math> también contiene todos los ceros de su derivada, <math display="inline">p'(t)</math>.   Ver [10, pág. 463], [14, pág. 11 y 12] y [19, pág. 84] para una demostración. Consideremos un polinomio Hurwitz <math display="inline">p(t)</math> de la forma indicada; entonces tenemos que

{| class="formulaSCP" style="width: 100%; text-align: left;" 
|-
| 
{| style="text-align: left; margin:auto;width: 100%;" 
|-
| style="text-align: center;" | <math>p'(t) = n a_{n} t^{n-1} + (n-1) a_{n-1} t^{n-2} + (n-2) a_{n-2} t^{n-3} + \cdots + 2 a_{2} t + a_{1}.</math>
|}
|}

Así tenemos el siguiente resultado.

<span id='theorem-teo_lower_uno'></span>Teorema 6:  Si <math display="inline">p(t)</math> es un polinomio  Hurwitz y <math display="inline">\sigma _{p}</math>, <math display="inline">\sigma _{p'}</math> son las abscisas de estabilidad de <math display="inline">p</math> y <math display="inline">p'</math> respectivamente, entonces tenemos que <math display="inline">\sigma _{p'} \leq \sigma _{p}</math>.    Ahora vamos a considerar dos ejemplos.

<span id='theorem-exa_lower_uno'></span>Ejemplo 1:  Sea <math display="inline">p(t) = t^{3} + \frac{19}{6} t^{2} + \frac{8}{3} t + \frac{2}{3}</math>. La abscisa de estabilidad de <math display="inline">p(t)</math> es <math display="inline">\sigma _{p} = -0{.}5</math> y la abscisa de estabilidad de <math display="inline">p'(t) = 3 t^{2} + \frac{19}{3} t + \frac{8}{3}</math> es <math display="inline">\sigma _{p'} \approx - 0{.}58</math>. Así tenemos que <math display="inline">\sigma _{p'} < \sigma _{p}</math>.

<span id='theorem-exa_lower_dos_bis'></span>Ejemplo 2:  Sea <math display="inline"> p (t) = t^{3} + 4 t^{2} + 5 t + 2 </math>. La abscisa de estabilidad de <math display="inline">p(t)</math> es <math display="inline">\sigma _{p} = -1</math> y la abscisa de estabilidad de <math display="inline">p'(t) = 3 t^{2} + 8 t + 5</math> es <math display="inline">\sigma _{p'} = -1</math>. En este caso tenemos que <math display="inline">\sigma _{p'} = \sigma _{p}</math>.   El Teorema [[#theorem-teo_lower_uno|6]] nos plantea el siguiente problema abierto: Si <math display="inline">p(t)</math>  es un polinomio Hurwitz encontrar condiciones necesarias y suficientes para tener la igualdad entre <math display="inline">\sigma _{p'}</math> y <math display="inline">\sigma _{p}</math>. Relacionado con este problema, de manera inmediata se pueden dar los siguientes resultados.

Teorema 7: Si <math display="inline">p(t) = a_{n} (t - \alpha )^{n}</math> es un polinomio Hurwitz entonces se tiene que <math display="inline">\sigma _{p'} = \sigma _{p}</math>.

Teorema 8: Si <math display="inline">p(t) = a_{n} (t-\alpha _{1}) (t- \alpha _{2}) \cdots (t - \alpha _{n})</math> es un polinomio Hurwitz donde sus raíces son reales y distintas entonces <math display="inline">\sigma _{p'} < \sigma _{p}</math>.

====2.5.2 Una cota inferior de la abscisa de estabilidad de un polinomio====

A partir de esta desigualdad podemos obtener el siguiente resultado que nos da una cota inferior para la abscisa de estabilidad de un polinomio estable.

<span id='theorem-theo_lower_dos'></span>Teorema 9:  Sea <math display="inline">p(t) = a_{n} t^{n} + a_{n-1} t^{n-1} + \cdots + a_{1} t + a_{0}</math> un polinomio Hurwitz con coeficientes positivos, entonces tenemos que

'''(a)''' Si <math display="inline">[2 (n-1) a_ {n-1}]^{2} - 8 n (n-1) a_ {n} a_ {n-2} \geq 0</math>, entonces

{| class="formulaSCP" style="width: 100%; text-align: left;" 
|-
| 
{| style="text-align: left; margin:auto;width: 100%;" 
|-
| style="text-align: center;" | <math>\frac{-2 (n-1) a_{n-1} + \sqrt{[2 (n-1) a_{n-1}]^{2} - 8 n (n-1) a_{ n} a_{n-2}}}{2n (n-1) a_{n}} \leq \sigma _{p}</math>
|}
|}

.  '''(b)''' Si <math display="inline"> [2 (n-1) a_{n-1}]^{2} - 8 n (n-1) a_{n} a_{n-2} < 0</math>, entonces

{| class="formulaSCP" style="width: 100%; text-align: left;" 
|-
| 
{| style="text-align: left; margin:auto;width: 100%;" 
|-
| style="text-align: center;" | <math>- \frac{a_{n-1}}{n a_{n}} \leq \sigma _{p}</math>
|}
|}

. 

A continuación presentamos algunos ejemplos los cuales ilustran el teorema dado.

<span id='theorem-exa_lower_tres'></span>Ejemplo 3:  Consideremos el polinomio <math display="inline">p(t) = 6 t^{5} + 43 t^{4} + 110 t^{3} + 125 t^{2} + 64 t + 12</math> para este polinomio tenemos que <math display="inline">[2 (n-1) a_{n-1}]^{2} - 8 n (n-1) a_{n} a_{n-2} = 12736 \geq 0</math>. De la parte <math display="inline">(a)</math> del teorema [[#theorem-theo_lower_dos|9]] tenemos que

{| class="formulaSCP" style="width: 100%; text-align: left;" 
|-
| 
{| style="text-align: left; margin:auto;width: 100%;" 
|-
| style="text-align: center;" | <math>\frac{-2 (n-1) a_{n-1} + \sqrt{[2 (n-1) a_{n-1 }]^{2} - 8 n (n-1) a_{n} a_{n-2}}}{2n (n-1) a_{n}} = -0{.}96</math>
|}
|}

es una cota inferior de <math display="inline">\sigma _{p}</math>, esto es, <math display="inline">-0{.}96 \leq {-1 / 2} = \sigma _{p}</math>.

<span id='theorem-exa_lower_cuatro'></span>Ejemplo 4:  Sea el polinomio <math display="inline">p(t) = t^{4} + 3 t^{3} + 5 t^{2} + 4 t + 2</math>. Entonces tenemos que <math display="inline">[2 (n-1) a_{n -1}]^{2} - 8 n (n-1) a_{n} a_{n-2} = - 156 \leq 0 </math>. Por la parte <math display="inline">(b)</math> del teorema [[#theorem-theo_lower_dos|9]] tenemos que

{| class="formulaSCP" style="width: 100%; text-align: left;" 
|-
| 
{| style="text-align: left; margin:auto;width: 100%;" 
|-
| style="text-align: center;" | <math> -\frac{a_{n-1}}{n a_{n}} = - 3/4</math>
|}
|}

es una cota inferior de <math display="inline">\sigma _{p}</math>, esto es, <math display="inline"> - 3/4 \leq - 1/2 = \sigma _{p}</math>.   Realizando las siguientes sustituciones <math display="inline">m = n-1</math>, <math display="inline">i = n</math> en las cotas inferiores dadas en [16] y [17].

<span id="eq-4"></span>
{| class="formulaSCP" style="width: 100%; text-align: left;" 
|-
| 
{| style="text-align: left; margin:auto;width: 100%;" 
|-
| style="text-align: center;" | <math>S_{mi} = - \left[{\binom{n}{m}}^{-1} \binom{n}{i} \left(\frac{a_{m}}{a_{i}}  \right)\right]^ {1/(i-m)}, m = 0, 1, \ldots, i-1.  </math>
|}
| style="width: 5px;text-align: right;white-space: nowrap;" | (4)
|}

obtenemos que

{| class="formulaSCP" style="width: 100%; text-align: left;" 
|-
| 
{| style="text-align: left; margin:auto;width: 100%;" 
|-
| style="text-align: center;" | <math>S_{(n-1) n} = - \frac{a_{n-1}}{n a_{n}}</math>
|}
|}

el cual es el mismo resultado obtenido en la parte <math display="inline">(b)</math> del Teorema [[#theorem-theo_lower_dos|9]].  Del Teorema  [[#theorem-theo_lower_dos|9]] <math display="inline">(a)</math> tenemos una cota para la abscisa de estabilidad de <math display="inline">p(z)</math> la cual depende de tres coeficientes mientras que las cotas inferiores de  ([[#eq-4|4]]) sólo dependen de dos coeficientes de <math display="inline">p(t)</math> así en algunos casos esta cota es mejor que las dadas en ([[#eq-4|4]]) como se ilustra en los siguientes ejemplos.

<span id='theorem-exa_lower_cinco'></span>Ejemplo 5:  Sea <math display="inline">p(t) = 6 t^{5} + 43 t^{4} + 110 t^{3} + 125 t^{2} + 64 t + 12</math>. Por la parte <math display="inline">(a)</math> del Teorema [[#theorem-theo_lower_dos|9]] tenemos que

{| class="formulaSCP" style="width: 100%; text-align: left;" 
|-
| 
{| style="text-align: left; margin:auto;width: 100%;" 
|-
| style="text-align: center;" | <math>\frac{-2 (n-1) a_{n-1} + \sqrt{[2 (n-1) a_{n-1}]^{2} - 8 n (n-1) a_{n} a_{n-2}}}{2n (n-1) a_{n}} \approx - 0{.}96</math>
|}
|}

es una cota inferior de <math display="inline">\sigma _{p} = - 1/2</math> y <math display="inline"> - \frac{a_{n-1}}{n a_{n}} = -1{.}43  < - 0{.}96 < - \frac{1}{2} = \sigma _{p}</math>.

<span id='theorem-exa_lower_cinco_a'></span>Ejemplo 6:  Sea <math display="inline">p(t) = 6 t^{3} + 19 t^{2} + 16 t + 4</math>. Por la parte <math display="inline">(a)</math> del Teorema  [[#theorem-theo_lower_dos|9]] tenemos que

{| class="formulaSCP" style="width: 100%; text-align: left;" 
|-
| 
{| style="text-align: left; margin:auto;width: 100%;" 
|-
| style="text-align: center;" | <math>\frac{-2 (n-1) a_{n-1} + \sqrt{[2 (n-1) a_{n-1 }]^{2} - 8 n (n-1) a_{n} a_{n-2}}}{2n (n-1) a_{n}} \approx - 0{.}58</math>
|}
|}

es una cota inferior de <math display="inline">\sigma _{p} = - 1/2</math> y <math display="inline">S_{mi} = - \left[{\binom{n}{m}}^{-1} \binom{n}{i} \left(\frac{a_{m}}{a_{i}} \right)\right]^{1/(i-m)} < - 0{.}58 < \sigma _{p}, \forall   m  = 0, 1, \ldots, i-1</math>.

===2.6 La abscisa de estabilidad y Familias de Polinomios===

Consideremos el siguiente polinomio <math display="inline">p(t)= t^{n} + a_{1} t^{n-1} + a_{2} t^{n-2} + \cdots + a_{n-2} t^{2} + a_{n-1} t + a_{n}</math> estable, podemos escribir la familia <math display="inline">f_{r}(t)</math>  de  la forma siguiente:

{| class="formulaSCP" style="width: 100%; text-align: left;" 
|-
| 
{| style="text-align: left; margin:auto;width: 100%;" 
|-
| style="text-align: center;" | <math>f_{r}(t)  =  t^{n} + \frac{p^{(n-1)}(-r)}{(n-1)!} t^{n-1} + \cdots + \frac{p'(-r)}{1!} t + p(-r), </math>
|-
| style="text-align: center;" | <math> f_{r}(t)  =  t^{n} + g_{1}(r) t^{n-1} + g_{2}(r) t^{n-2} + \cdots + g_{n-1}(r) t + g_{n}(r). </math>
|}
|}

donde <math display="inline">f_{0}(t)= p(t)</math>, el cual es estable. Entonces tenemos que <math display="inline">f_{r}(t)</math> es una familia de polinomios cuyos coeficientes son polinomios en la variable <math display="inline">r</math>. Con este planteamiento podemos relacionar el estudio de la abscisa de estabilidad de un polinomio con el estudio de la estabilidad de familias de polinomios. Existe una gran cantidad de literatura acerca de la Teoría de la Estabilidad de Familias de Polinomios ver, por ejemplo, [1],[2], [4] y [13].

====2.6.1 El Teorema de Bialas Generalizado====

El Teorema de Bialas fue publicado en <math display="inline">1985</math>&nbsp;[6], ahora vamos a utilizar una generalización de este Teorema para calcular la abscisa de estabilidad de un polinomio.

Consideremos  el polinomio de la forma

{| class="formulaSCP" style="width: 100%; text-align: left;" 
|-
| 
{| style="text-align: left; margin:auto;width: 100%;" 
|-
| style="text-align: center;" | <math>P(t, r) = P_{0}(t) + r P_{1}(t) + \cdots + r^{m}P_{m}(t)</math>
|}
|}

donde

* <math display="inline">P_{0}(t)</math> es un polinomio estable con coeficientes positivos,
* <math display="inline">(2) \textrm{gr} < \textrm{gr}, i= 1, \ldots, m</math>.

Además, sea <math display="inline">H_{i}</math> la matriz Hurwitz de <math display="inline">P_{i}(t) \forall  i, i = 1, \ldots, m</math>.

El mayor intervalo de estabilidad <math display="inline">(r_{\textrm{min}}, r_{\textrm{max}}) </math> , tal que, <math display="inline">P(t, r)</math> es Hurwitz <math display="inline">\forall  r  \in (r_{\textrm{min}}, r_{\textrm{max}})</math>  esta dado por

<math display="inline">r_{\textrm{max}} = 1 / \lambda _{\textrm{max}}^{+} (M)</math>  <math display="inline">r_{\textrm{min}} = 1 / \lambda _{\textrm{min}}^{-} (M)</math>  

donde <math display="inline">\lambda _{\textrm{max}}^{+} (M)</math> es el máximo valor propio positivo de <math display="inline">M</math>, <math display="inline">\lambda _{\textrm{min}}^{-} (M)</math> es el mínimo valor propio negativo de <math display="inline">M</math> y <math display="inline">M</math> esta dada por

<span id="eq-5"></span>
{| class="formulaSCP" style="width: 100%; text-align: left;" 
|-
| 
{| style="text-align: left; margin:auto;width: 100%;" 
|-
| style="text-align: center;" | <math>\mathbf{M} = \begin{pmatrix}0 & I & 0 & \cdots & 0 & 0 \\ 0 & 0 & I & \cdots & 0 & 0 \\ \vdots & \vdots & \vdots & & \vdots & \vdots \\ 0 & 0 & 0 & \cdots & I & 0 \\ 0 & 0 & 0 & \cdots & 0 & I \\ -H_{0}^{-1} H_{m} & -H_{0}^{-1} H_{m-1} & -H_{0}^{-1} H_{m-2} & \cdots & -H_{0}^{-1} H_{2} & - H_{0}^{-1} H_{1} \end{pmatrix}.  </math>
|}
| style="width: 5px;text-align: right;white-space: nowrap;" | (5)
|}

La prueba de este teorema es similar a la del Teorema <math display="inline">17{.}8{.}1</math> [4] (ver también [9] y [15]. Ideas relacionadas fueron expuestas en el trabajo de J. Chen  [7]. Esta generalización ha sido ampliamente divulgada por D. Henrion, ver [12].

===2.7 La abscisa de estabilidad y el Teorema de Bialas Generalizado===

Podemos escribir  la familia de polinomios <math display="inline">f_{r}(t)</math> de la forma siguiente

{| class="formulaSCP" style="width: 100%; text-align: left;" 
|-
| 
{| style="text-align: left; margin:auto;width: 100%;" 
|-
| style="text-align: center;" | <math>f_{r}(t) = p(t) + r p_{1}(t) + r^{2} p_{2}(t) + \cdots{.}</math>
|}
|}

Mediante el resultado dado en [[#2.6.1 El Teorema de Bialas Generalizado|2.6.1]] podemos calcular el Mínimo Extremo Izquierdo (<math display="inline">r_{\textrm{min}}</math>) y el Máximo Extremo Derecho (<math display="inline">r_{\textrm{max}}</math>). En este caso, la abscisa de estabilidad coincide con el Máximo Extremo Derecho, ya que

{| class="formulaSCP" style="width: 100%; text-align: left;" 
|-
| 
{| style="text-align: left; margin:auto;width: 100%;" 
|-
| style="text-align: center;" | <math>\sigma = - \max _{r}{\{ r > 0  |  f_{\bar{r}}(z) \textrm{ es Hurwitz } \forall \bar{r}, \bar{r} < r  \} }</math>
|}
|}

<span id='theorem-theo_abscissa_bialas'></span>Teorema 10:  Sea p(t) un polinomio Hurwitz y sea la familia de polinomios <math display="inline">f_{r}(t) = p_{0}(t) + r p_{1}(t) + r^{2} p_{2}(t) + \cdots + r^{n} p_{n}(t)</math> con <math display="inline">p_{0}(t) = p(t)</math>,

{| class="formulaSCP" style="width: 100%; text-align: left;" 
|-
| 
{| style="text-align: left; margin:auto;width: 100%;" 
|-
| style="text-align: center;" | <math>p_{1}(t)  =  \frac{n(n-1)\cdots (2)(1)}{(n-1)!} (-1) t^{n-1} + </math>
|-
| style="text-align: center;" | <math>              \frac{(n-1)(n-2)\cdots (3)(2)}{(n-2)!} (-1) a_{1} t^{n-2} + \cdots </math>
|-
| style="text-align: center;" | <math>             + \frac{(3)(2)(1)}{2!} (-1)a_{n-3} t^{2} + \frac{(2)(1)}{1!} (-1) a_{n-2} t + (-1) a_{n-1}, </math>
|-
| style="text-align: center;" | <math> p_{2}(t)  =  \frac{(n)(n-1)(n-2)\cdots (4)(3)}{(n-2)!} (-1)^{2} t^{n-2} + </math>
|-
| style="text-align: center;" | <math>              \frac{(n-1)(n-2)\cdots (4)(3)}{(n-3)!} a_{1} (-1)^{2} t^{n-3}+ </math>
|-
| style="text-align: center;" | <math>             \frac{(4)(3)}{2!} a_{n-4} (-1)^{2} t^{2} + \frac{3}{1!} a_{n-3} (-1)^{2} t + a_{n-2} (-1)^{2}, \ldots, </math>
|-
| style="text-align: center;" | <math> p_{n}(z)  =   (-1)^{n}. </math>
|}
|}

y sean <math display="inline">H_{0}</math>, <math display="inline">H_{1}</math>, …, <math display="inline">H_{n}</math> las matrices Hurwitz de <math display="inline">p_{i}(t)</math> para <math display="inline">i = 0, 1, \ldots, n</math>. Definamos <math display="inline">M</math> como&nbsp;[[#eq-5|5]], entonces la abscisa de estabilidad esta dada por <math display="inline">\sigma = - r_{\textrm{max}}</math>.

Sea <math display="inline">p(t)</math> un polinomio Hurwitz de grado <math display="inline">n</math>, obtenemos la familia de polinomios <math display="inline">f_{r}(t) = p(t-r)</math> la cual podemos escribir como

{| class="formulaSCP" style="width: 100%; text-align: left;" 
|-
| 
{| style="text-align: left; margin:auto;width: 100%;" 
|-
| style="text-align: center;" | <math>f_{r}(t) = p_{0}(t) + r p_{1}(t) + r^{2} p_{2}(t) + \cdots + r^{n} p_{n}(t).</math>
|}
|}

A partir del Teorema de Bialas Generalizado, tomando <math display="inline">P(t, r) =f_{r}(t)</math>, el Teorema se tiene ya que <math display="inline">\sigma = - r_{\textrm{max}}</math>. 

El Teorema de Bialas generalizado se obtiene directamente de las ideas de Saydy,  Tits, Abed y Barmish (ver&nbsp;[4] y [15]).   A continuación presentamos un ejemplo el cual ilustra el teorema dado.

Ejemplo 7: Consideremos el polinomio Hurwitz <math display="inline">p(t) = t^{3} + 6 t^{2} + 11 t + 6</math>, entonces <math display="inline">f_{r}(t)</math> es una familia de polinomios, tal que,

{| class="formulaSCP" style="width: 100%; text-align: left;" 
|-
| 
{| style="text-align: left; margin:auto;width: 100%;" 
|-
| style="text-align: center;" | <math>f_{r}(t)  =  P_{0}(t) + r P_{1}(t) + r^{2} P_{2}(t) + r^{3} P_{3}(t), </math>
|-
| style="text-align: center;" | <math>           =  [t^{3} + 6 t^{2} + 11 t + 6] + r [- 3 t^{2} - 12 t - 11] + </math>
|-
| style="text-align: center;" | <math>              + r^{2} [2 t  + 6] + r^{3} [-1]. </math>
|}
|}

con <math display="inline">H_{0}</math>, …, <math display="inline">H_{3}</math> las matrices Hurwitz de los polinomios <math display="inline">P_{0}</math>, …, <math display="inline">P_{3}</math> respectivamente.

{| class="formulaSCP" style="width: 100%; text-align: left;" 
|-
| 
{| style="text-align: left; margin:auto;width: 100%;" 
|-
| style="text-align: center;" | <math>H_{0} = \begin{pmatrix}6 & 6 & 0 \\ 1 & 11 & 0 \\ 0 & 6 & 6 \end{pmatrix},  H_{1} = \begin{pmatrix}-3 & -11 & 0 \\ 0 & -12 & 0 \\ 0 & -3 & -11 \end{pmatrix}, H_{2} = \begin{pmatrix}0 & 6 & 0 \\ 0 & 3 & 0 \\ 0 & 0 & 6 \end{pmatrix} </math>
|}
|}

y

{| class="formulaSCP" style="width: 100%; text-align: left;" 
|-
| 
{| style="text-align: left; margin:auto;width: 100%;" 
|-
| style="text-align: center;" | <math>H_{3} = \begin{pmatrix}0 & -1 & 0 \\ 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & -1 \end{pmatrix}. </math>
|}
|}

construyendo la matriz <math display="inline">M</math> y calculando sus valores propios <math display="inline">\lambda </math> tenemos que

{| class="formulaSCP" style="width: 100%; text-align: left;" 
|-
| 
{| style="text-align: left; margin:auto;width: 100%;" 
|-
| style="text-align: center;" | <math>\lambda = \{ 0, 0, 0, 1/3, 2/5, 1/2, 1/2, 2/3, 1\}  </math>
|}
|}

Así <math display="inline">\lambda _{\max }^{+}{(M)} = 1</math>, entonces por el Teorema [[#theorem-theo_abscissa_bialas|10]] tenemos que

{| class="formulaSCP" style="width: 100%; text-align: left;" 
|-
| 
{| style="text-align: left; margin:auto;width: 100%;" 
|-
| style="text-align: center;" | <math>\sigma = - \frac{1}{\lambda _{\max }^{+}{(M)}} = -1. </math>
|}
|}

Es fácil verificar que <math display="inline">p(t)</math> puede ser factorizado como <math display="inline">p(t) = (t+1)(t+2)(t+3)</math>.

==3 Conclusiones==

En el análisis de la estabilidad de un sistema de ecuaciones diferenciales a partir de la abscisa de estabilidad asociada al sistema se obtuvieron diversas cotas inferiores de la abscisa primero mediante la utilización de funciones simétricas y después mediante el Teorema de Gauss-Lucas se obtuvieron otras cotas inferiores que en algunos casos son mejores que las obtenidas por el primer método. Como aplicación se presenta una relación entre la abscisa de estabilidad de un polinomio Hurwitz <math display="inline">p(t)</math> y el Teorema de Bialas Generalizado que nos permite analizar la estabilidad robusta de un tipo de Familia de polinomios.

==Referencias==

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[2] B. Aguirre, C. Ibarra y R. Suárez, ''Sufficient algebraic conditions for stability of cones of polynomials'', Systems and Control Letters 46, no. 4, pp. 255-263, (2002).

[3] B. Aguirre y R. Suárez, ''Algebraic test for the Hurwitz stability of a given segment of polynomials'', Boletín de la Sociedad Matemática Mexicana,  Vol. 12, no. 2, pp. 261-275, (2006).

[4] B.R. Barmish, ''New Tools for Robustness of Linear Systems'', Macmillan Publishing Co., New York, (1994).

[5] S.P. Bhattacharyya, H. Chapellat y L.H. Keel, ''Robust Control: The Parametric Approach'', Prentice-Hall, Upper Saddle River, NJ, (1995).

[6] S. Bialas, ''A necessary and sufficient condition for the stability of convex combinations of stable polynomials or matrices'', Bulletin of the Polish Academy of Sciences, Technical Sciences, Vol. 33, no. 9-10, pp. 473-480, (1985).

[7] J. Chen, ''Static output feedback stabilization for SISO systems and related problems: Solution via generalized eigenvalues'', Control-Theory and Advanced Technology, Vol. 10, pp. 2233-2244, (1995).

[8] P. Dorato, R. Tempo y G. Moscato, ''Bibliography on Robust Control'', Automatica, Vol. 29, no. 1, pp. 201-213, (1993).

[9] M.Fu y B.R Barmish, ''Maximal unidirectional perturbation bounds for stability of polynomials and matrices'', Systems and Control Letters, Vol. 11,  pp. 173-179 (1988).

[10] P. Henrici, ''Applied and Computational Complex Analysis'', Vol. 1, John Wiley Sons, (1974).

[11] P.Henrici, ''Upper bounds for the abscissa of stability of a stable  polynomial'', SIAM J. Numer. Anal, vol. 7, pp. 538 - 544, (1970).

[12] D. Henrion, ''Course on polynomial methods for robust control'', Universidad de los Andes, Merida, Venezuela, (2001).

[13] J. A. López-Rentería, B. Aguirre-Hernández y F. Verduzco, ''The Boundary Crossing Theorem and the Maximal Stability Interval'', Math. Prob. in Eng, Vol. 2011, Article ID123403, 13 pages, doi:10.1155/2011/1234-03, (2011).

[14] C.A. Loredo-Villalobos, ''Criterios para determinar si un polinomio es un polinomio Hurwitz'', Reporte de los Seminarios de Investigación I y II, UAM-I, (2005).

[15] L.Saydy, A.L. Tits y E.H  Abed, ''Guardian maps and the generalized stability of parametrized families of matrices and polynomials'', Mathematics of Control, Signal and Systems, Vol. 3, pp. 345-371, (1990).

[16] G.F. Schrack, ''Lower Bounds for the Abscissa of Stability of Stable Polynomials'', Dissertation 4065, Eidgen ssische Technische Hochshule, Z rich, (1967).

[17] G.F. Schrack, ''Lower bounds to the abscissa of stability of a stable polynomial from symmetric functions'', SIAM J. Appl. Math. Vol. 21, No. 3,  pp. 373-379, (1971).

[18] M. Spivak, ''Cálculo Infinitesimal'', Universidad Brandeis, Editorial Reverté S. A., Barcelona-Buenos Aires-México, (1996).

[19] H.S. Wilf, ''Mathematics for the Physical Sciences'', Dover Publications, Inc, New York, N.&nbsp;Y., (1962).

[20] V. Zakian y U. Al-Naib, ''Design of dynamical and control systems by the method of inequalities'', Proc. Inst. Elect. Eng. Vol. 120, no. 14, pp. 2-3, (1973).

[21] V. Zakian, ''New formulations for the method of inequalities'', Proc. Inst. Elect. Eng. Vol. 126, pp. 579-584, (1979).

[22] V. Zakian, ''Computation of the Abscissa of Stability by Repeated Use of the Routh Test'', IEEE Transactions on Automatic Control, Vol. AC-24, No. 4, pp. 604-606, (1979).