CÁLCULO DE COTAS INFERIORES DE LA ABSCISA DE ESTABILIDAD Y ALGUNAS APLICACIONES

Edgar Díaz, Baltazar Aguirre, Carlos Loredo

Departamento de Matemáticas

Universidad Autónoma Metropolitana

Iztapalapa, San Rafael Atlixco 186, 09340, CDMX México

e-mail: dige_uam@yahoo.com.mx, bahe@xanum.uam.mx, carlos.loredo@ipicyt.edu.mx Jorge López

Departamento de Matemáticas

Universidad de Sonora

Boulevard Rosales y Luis Encinas s/n. Col. Centro, 83000, Hermosillo, Son, México

e-mail: conacyt.pnc01@ibero.mx

Eric Campos

División de Matemáticas

IPICyT, SLP

Camino a la Presa San José 2055, Col. Lomas 4a Sección, 78216 SLP, México

e-mail: eric.campos@ipicyt.edu.mx


Resumen

Si es un polinomio Hurwitz la mayor parte real de sus raíces es llamada la abscisa de estabilidad de ; este parámetro nos permite analizar la estabilidad de un sistema. En este artículo se presentan diversas cotas inferiores de la abscisa de estabilidad así como también una relación entre el Teorema de Bialas Generalizado y la abscisa de estabilidad que nos permite analizar la estabilidad robusta de un tipo de Familia de Polinomios.

Palabras Clave. polinomios Hurwitz, cotas inferiores, abscisa de estabilidad, estabilidad robusta.

COMPUTATION OF LOWER BOUNDS OF THE ABSCISSA OF STABILITY AND SOME APPLICATIONS

Abstract

If is a Hurwitz polynomial, the largest real part of its roots is named the abscissa of stability of , a parameter which allows us to analyze the stability of a system. In this paper we present several lower bounds of the stability abscissa as well as a relationship between the Generalization of the Bialas Theorem and the abscissa of stability that allows us to analyze the robust stability of a Family of Polynomials.

1 Introducción

Para tener estabilidad asintótica en un sistema continuo es necesario que todas las raíces de su polinomio característico asociado se encuentren en , donde es el conjunto de números complejos que tienen parte real negativa. En el caso en que un polinomio tenga todas sus raíces en se dice que es un polinomio Hurwitz. Routh (1887) y Hurwitz (1895) demostraron que la estabilidad se puede determinar directamente de los coeficientes del polinomio característico asociado. Los trabajos de Routh y Hurwitz dieron lugar al Criterio de Routh-Hurwitz, probablemente el criterio más popular para determinar si un polinomio es o no polinomio Hurwitz. Múltiples problemas de la mecánica, de la física y de la teoría del control se reducen al problema de las raíces de los polinomios, esto motivo numerosas investigaciones que tenían por objeto conocer la posición de las raíces en el plano complejo sin conocerlas. Para polinomios de coeficientes reales se buscaban cotas entre las que podían estar estas raíces, así, se elaboraban métodos para la búsqueda de cotas entre las que están comprendidas las raíces reales de un polinomios de coeficientes reales, obteniéndose diversas cotas para las raíces reales. A continuación damos la siguiente definición de abscisa de estabilidad.

Definición 1: Si es un polinomio estable de grado con ceros , …, , el número negativo

es definido como la abscisa de estabilidad de . El siguiente teorema nos ayudara a comprender la importancia de conocer la abscisa de estabilidad de un sistemas de ecuaciones diferenciales lineales.

Teorema 1: Consideremos el sistema de ecuaciones diferenciales:

Las siguientes afirmaciones son equivalentes:

  • Todos los valores propios de tienen parte real negativa.
  • Existen constantes positivas , , y , tales que, para todo

Conociendo la abscisa de estabilidad tenemos que . Entonces si es la abscisa de estabilidad de un polinomio Hurwitz podemos predecir una cierta tasa mínima de decaimiento, por otra parte, el cálculo de la abscisa de estabilidad a sido requerido en el diseño de sistemas dinámicos y de control (ver [20]- [22]).

En este artículo presentamos diversas cotas inferiores de la abscisa de estabilidad primero mediante funciones simétricas y después en un segundo enfoque a partir de una relación entre las abscisas de estabilidad de un polinomio Hurwitz y su derivada , esta desigualdad la usaremos para obtener cotas inferiores de la abscisa de estabilidad de un polinomio estable.

Como aplicación de la abscisa de estabilidad estudiamos su relación con el Máximo Intervalo de Estabilidad: Dado un polinomio Hurwitz de grado y un polinomio arbitrario consideremos la Familia donde . El Máximo Intervalo de Estabilidad es denotado por de modo que resulta ser Hurwitz para todo , es conocido como el Mínimo Extremo Izquierdo y como el Máximo Extremo Derecho que resulta ser la abscisa de estabilidad de .

2 Desarrollo

2.1 Cotas inferiores

Ahora presentamos algunas cotas inferiores para la abscisa de estabilidad de un polinomio utilizando funciones simétricas de los ceros. El parámetro abscisa de estabilidad se denomina en ocasiones como el grado de estabilidad. Aunque el término abscisa de estabilidad tiene preferencia ya que grado implica una cierta cantidad entera. Los índices , y se usaran de manera habitual para los siguientes rangos: ; ; .

2.2 Cotas inferiores a partir de funciones simétricas elementales

Las cotas inferiores del Teorema 2 son estructuralmente más simples que las de los siguientes teoremas, estas cotas son funciones de las funciones simétricas elementales de los ceros de .

Teorema 2: Sea un polinomio real estable y sea su abscisa de estabilidad. Entonces las constantes

(1)

son cotas inferiores de la abscisa de estabilidad de , es decir,

La igualdad se tiene si todos los ceros de son reales e iguales, excepto para para la cual la igualdad se tiene si todos los ceros tiene igual parte real. Ver [17] para una demostración. El Teorema 2 define cotas inferiores. El siguiente teorema muestra la mejor cota inferior de este conjunto.

Teorema 3: Sea un polinomio estable real y sean cotas inferiores de la abscisa de estabilidad como fueron definidas en (1). Entonces la mejor cota inferior estará entre las cotas siguientes

Ver [17] para una demostración. A partir de este teorema se desprende el siguiente corolario.

Corolario 1: Sea un polinomio real estable y sea su abscisa de estabilidad, además, sea un número dado y sea un polinomio con abscisa de estabilidad . Una condición necesaria para que sea al menos estable como es que las siguientes desigualdades

(2)

se satisfagan. Este corolario es una generalización de la siguiente condición necesaria: Un polinomio estable tiene coeficientes positivos y de hecho se reduce a esta condición para .

2.3 Cotas inferiores a partir de sumas de potencias

Diferentes cotas inferiores de la abscisa de estabilidad pueden ser obtenidas a partir de funciones simétricas de los recíprocos de los ceros de . Consideremos el polinomio siguiente:

cuyos ceros son . Consideremos ahora las sumas de potencias de los recíprocos de los ceros de un polinomio . Denotemos la k-ésima suma de potencias por , es decir,

(3)

Específicamente, las primeras cuatro sumas de potencias como funciones de los coeficientes de son:

Tales sumas de potencias aparecerán en el siguiente teorema.

Teorema 4: Sean un polinomio real estable, su abscisa de estabilidad y , () las sumas de potencias de los recíprocos de los ceros de definidos como en (3). Entonces, para las constantes

donde son cotas inferiores de la abscisa de estabilidad de , es decir,

La igualdad se tiene si todos los ceros de son reales e iguales. Ver [17] para una demostración.

2.4 Cotas inferiores a partir de otras funciones simétricas

Adicionalmente diversas cotas inferiores de la abscisa de estabilidad pueden ser obtenidas a partir de otras funciones simétricas elementales.

Consideremos la siguiente función simétrica de los recíprocos de los ceros de un polinomio definida por:

En términos de los coeficientes de ,

Obtenemos la siguiente cota inferior de la abscisa de estabilidad de un polinomio real estable para :

con

La igualdad se obtiene si todos los ceros de son reales e iguales.

2.5 Segundo enfoque

Ahora presentamos algunas cotas inferiores de la abscisa de estabilidad como una consecuencia del Teorema de Gauss-Lucas. A partir de un polinomio Hurwitz de orden mediante una sucesivo descenso del orden del polinomio obtenemos una sucesión de cotas inferiores que dependen de los coeficientes del polinomio de grado .

Primero presentamos una desigualdad entre las abscisas de estabilidad de un polinomio Hurwitz y su derivada . Sin pérdida de generalidad, vamos a considerar de la forma siguiente:

A partir de esta desigualdad podemos obtener una cota inferior para la abscisa de estabilidad de . Usando la notación dada anteriormente vamos a denotar la abscisa de estabilidad de un polinomio Hurwitz por y la abscisa de estabilidad de por . Esta relación es la desigualdad . Después utilizaremos esta desigualdad para obtener una cota inferior para la abscisa de estabilidad de un polinomio.

2.5.1 Abscisa de polinomios Hurwitz: Una desigualdad entre y 2.5.1 Abscisa de polinomios Hurwitz: Una desigualdad entre σ p {\displaystyle \sigma {p}} y σ p ′ {\displaystyle \sigma {p'}}

La prueba del Teorema 6 está basada en el siguiente resultado de Gauss-Lucas.

Teorema 5: Cualquier semiplano cerrado que contiene todos los ceros de un polinomio también contiene todos los ceros de su derivada, . Ver [10, pág. 463], [14, pág. 11 y 12] y [19, pág. 84] para una demostración. Consideremos un polinomio Hurwitz de la forma indicada; entonces tenemos que

Así tenemos el siguiente resultado.

Teorema 6: Si es un polinomio Hurwitz y , son las abscisas de estabilidad de y respectivamente, entonces tenemos que . Ahora vamos a considerar dos ejemplos.

Ejemplo 1: Sea . La abscisa de estabilidad de es y la abscisa de estabilidad de es . Así tenemos que .

Ejemplo 2: Sea . La abscisa de estabilidad de es y la abscisa de estabilidad de es . En este caso tenemos que . El Teorema 6 nos plantea el siguiente problema abierto: Si es un polinomio Hurwitz encontrar condiciones necesarias y suficientes para tener la igualdad entre y . Relacionado con este problema, de manera inmediata se pueden dar los siguientes resultados.

Teorema 7: Si es un polinomio Hurwitz entonces se tiene que .

Teorema 8: Si es un polinomio Hurwitz donde sus raíces son reales y distintas entonces .

2.5.2 Una cota inferior de la abscisa de estabilidad de un polinomio

A partir de esta desigualdad podemos obtener el siguiente resultado que nos da una cota inferior para la abscisa de estabilidad de un polinomio estable.

Teorema 9: Sea un polinomio Hurwitz con coeficientes positivos, entonces tenemos que

(a) Si , entonces

. (b) Si , entonces

.

A continuación presentamos algunos ejemplos los cuales ilustran el teorema dado.

Ejemplo 3: Consideremos el polinomio para este polinomio tenemos que . De la parte del teorema 9 tenemos que

es una cota inferior de , esto es, .

Ejemplo 4: Sea el polinomio . Entonces tenemos que . Por la parte del teorema 9 tenemos que

es una cota inferior de , esto es, . Realizando las siguientes sustituciones , en las cotas inferiores dadas en [16] y [17].

(4)

obtenemos que

el cual es el mismo resultado obtenido en la parte del Teorema 9. Del Teorema 9 tenemos una cota para la abscisa de estabilidad de la cual depende de tres coeficientes mientras que las cotas inferiores de (4) sólo dependen de dos coeficientes de así en algunos casos esta cota es mejor que las dadas en (4) como se ilustra en los siguientes ejemplos.

Ejemplo 5: Sea . Por la parte del Teorema 9 tenemos que

es una cota inferior de y .

Ejemplo 6: Sea . Por la parte del Teorema 9 tenemos que

es una cota inferior de y .

2.6 La abscisa de estabilidad y Familias de Polinomios

Consideremos el siguiente polinomio estable, podemos escribir la familia de la forma siguiente:

donde , el cual es estable. Entonces tenemos que es una familia de polinomios cuyos coeficientes son polinomios en la variable . Con este planteamiento podemos relacionar el estudio de la abscisa de estabilidad de un polinomio con el estudio de la estabilidad de familias de polinomios. Existe una gran cantidad de literatura acerca de la Teoría de la Estabilidad de Familias de Polinomios ver, por ejemplo, [1],[2], [4] y [13].

2.6.1 El Teorema de Bialas Generalizado

El Teorema de Bialas fue publicado en  [6], ahora vamos a utilizar una generalización de este Teorema para calcular la abscisa de estabilidad de un polinomio.

Consideremos el polinomio de la forma

donde

  • es un polinomio estable con coeficientes positivos,
  • .

Además, sea la matriz Hurwitz de .

El mayor intervalo de estabilidad , tal que, es Hurwitz esta dado por

donde es el máximo valor propio positivo de , es el mínimo valor propio negativo de y esta dada por

(5)

La prueba de este teorema es similar a la del Teorema [4] (ver también [9] y [15]. Ideas relacionadas fueron expuestas en el trabajo de J. Chen [7]. Esta generalización ha sido ampliamente divulgada por D. Henrion, ver [12].

2.7 La abscisa de estabilidad y el Teorema de Bialas Generalizado

Podemos escribir la familia de polinomios de la forma siguiente

Mediante el resultado dado en 2.6.1 podemos calcular el Mínimo Extremo Izquierdo () y el Máximo Extremo Derecho (). En este caso, la abscisa de estabilidad coincide con el Máximo Extremo Derecho, ya que

Teorema 10: Sea p(t) un polinomio Hurwitz y sea la familia de polinomios con ,

y sean , , …, las matrices Hurwitz de para . Definamos como 5, entonces la abscisa de estabilidad esta dada por .

Sea un polinomio Hurwitz de grado , obtenemos la familia de polinomios la cual podemos escribir como

A partir del Teorema de Bialas Generalizado, tomando , el Teorema se tiene ya que .

El Teorema de Bialas generalizado se obtiene directamente de las ideas de Saydy, Tits, Abed y Barmish (ver [4] y [15]). A continuación presentamos un ejemplo el cual ilustra el teorema dado.

Ejemplo 7: Consideremos el polinomio Hurwitz , entonces es una familia de polinomios, tal que,

con , …, las matrices Hurwitz de los polinomios , …, respectivamente.

y

construyendo la matriz y calculando sus valores propios tenemos que

Así , entonces por el Teorema 10 tenemos que

Es fácil verificar que puede ser factorizado como .

3 Conclusiones

En el análisis de la estabilidad de un sistema de ecuaciones diferenciales a partir de la abscisa de estabilidad asociada al sistema se obtuvieron diversas cotas inferiores de la abscisa primero mediante la utilización de funciones simétricas y después mediante el Teorema de Gauss-Lucas se obtuvieron otras cotas inferiores que en algunos casos son mejores que las obtenidas por el primer método. Como aplicación se presenta una relación entre la abscisa de estabilidad de un polinomio Hurwitz y el Teorema de Bialas Generalizado que nos permite analizar la estabilidad robusta de un tipo de Familia de polinomios.

Referencias

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[21] V. Zakian, New formulations for the method of inequalities, Proc. Inst. Elect. Eng. Vol. 126, pp. 579-584, (1979).

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Published on 11/12/17
Submitted on 21/11/17

Volume 1, 2017
Licence: CC BY-NC-SA license

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