Buckling of 3D beam structures with wide-flange section type

Revision as of 13:16, 19 April 2017

Resumen

En este trabajo se expone una metodología de varias etapas para determinar, con mínimo esfuerzo computacional el factor de carga crítico que produce el fenómeno de inestabilidad local de abolladura de las paredes de los perfiles tipo doble-T. Para ello, se estudia a nivel local como placa delgada cada una de las paredes que forman el perfil. Se constata que es suficiente con analizar las zonas más solicitadas (alas y alma) de la estructura.

Abstract

A stepped methodology for the evaluation, with limited computational effort critical buckling load factor which produces the instability of the walls of double-T sections is proposed in this work. For this purpose, each wall of the cross-section studied in a local level as a thin plate. It is ratified that it is enough to check the most compressed flange and the web of the most loaded beams of the structure.

Palabras clave

Abolladura pandeo local ; Carga crítica ; Inestabilidad ; Placa delgada

Keywords

Local buckling ; Critical load ; Instability ; Thin plate

1. Introducción

Para los elementos estructurales en los que el esfuerzo predominante es el momento flector el mejor aprovechamiento del material se consigue cuando el fallo en el mismo se produce por agotamiento de su capacidad resistente. Sin embargo, también debe considerarse la posibilidad de fallo por pandeo local de los elementos que conforman la viga, es lo que se conoce como fenómeno de abolladura [19] ; [22] ; [23] ; [26] .

Las secciones transversales de los elementos a flexión buscan maximizar el valor de su módulo resistente para reducir el valor de las tensiones y desplazamientos máximos. Por estos motivos son muy adecuadas y se emplean con frecuencia las secciones tipo doble-T u otras de pared delgada, bien sean abiertas o cerradas [20] ; [21] .

Por lo tanto, resulta de gran interés el estudio de placas planas cargadas en su plano, pues es el caso del alma y de las alas de vigas y pilares de este tipo de perfil y ya que la mayoría de los elementos estructurales se pueden considerar formados por un conjunto de placas planas. De esta manera, cuando una placa se encuentra sometida a esfuerzos de compresión, flexión, cortante o combinación de ellos, puede que se produzca el fallo local por pandeo antes de cualquier otro tipo de fallo.

Timoshenko (1921) fue el primero en presentar una solución para el pandeo local de placas rectangulares simplemente apoyadas en sus cuatro bordes sometidas a cortante. Lo hizo aplicando el método energético, el cual resultó ser una excelente herramienta para resolver un problema que no podía ser resuelto analíticamente como problema de autovalores. En años posteriores diversos investigadores como Southwell y Skan, Seydel, Stein y Neff, Galambos y otros, continuaron con esas investigaciones para obtener tensiones críticas de abolladura más precisas y teniendo en cuenta las diferentes condiciones de contorno de los paneles.

Todas las expresiones deducidas por estos investigadores se fundamentan en que existe una perfecta proporcionalidad entre tensiones y deformaciones de acuerdo a la ley de Hooke generalizada. Sin embargo, estas condiciones se sobrepasan en situaciones de diseño usuales de las estructuras metálicas.

Al contrario del caso del estudio del pandeo de la pieza prismática aislada sometida a compresión axil, no existe una teoría general que estudie el comportamiento de las placas en estas condiciones proporcionando unas relaciones de fácil manejo para el diseño, por ello en lugar de usar teorías más rigurosas como la de Stowell (1948), que utiliza un diagrama tensión-deformación curvo con resultados que se ajustan bien a los de los ensayos, se prefiere en general emplear teorías simplificadas como la de Bleich (1952).

Mientras que en la columna con carga axial la diferencia entre la carga de pandeo y su resistencia posterior es tan pequeña que la carga de pandeo se puede considerar su límite resistente, en el caso de las placas la resistencia post-pandeo puede ser mucho mayor que su carga precrítica. La placa presenta, a diferencia del caso de la columna aislada, un comportamiento totalmente distinto al alcanzar su carga de pandeo, ya que con el aumento de sus deformaciones y desplazamientos modifica su comportamiento mecánico al aparecer en ella el efecto membrana. Por este efecto forma se produce una redistribución de los esfuerzos con la aparición de las fuerzas estabilizadoras de membrana, permitiendo a la placa recuperar su estabilidad en una nueva configuración deformada. Si se siguen aumentando las cargas, la placa en su nueva situación plastifica en las zonas donde su estado tensional es máximo hasta alcanzar su resistencia última [24] ; [25] .

En cuanto a la influencia de los rigidizadores longitudinales, diversos han sido los autores que han propuesto soluciones para la variación del coeficiente de abolladura en función del tipo y número de rigidizadores empleados (Crate y Lo (1948), Hoglund (1977) o Beg (2003)). Finalmente, autores como Lee et al. (1996) o Estrada (2005), han estudiado también factores como la influencia del grado de empotramiento que proporcionan las alas en función de los espesores de alas y almas, proponiendo expresiones que toman como base a los resultados clásicos citados anteriormente [18] .

Por lo tanto, queda claro que los problemas asociados al fenómeno de pandeo en elementos estructurales de acero son a veces la causa más importante de fallo mecánico [1] ; [3] ; [4] ; [7] ; [9] , sobre todo hoy día, que el material cada vez es más resistente y las estructuras proyectadas cada vez más esbeltas.

La formulación matricial del Método Directo de Rigidez (MDR) de estructuras de barras para el caso de no linealidad geométrica en hipótesis de linealidad material facilita la estimación de la carga crítica de pandeo global teórica de forma sistemática con la ayuda del ordenador [10] ; [11] ; [12] ; [13] . Sin embargo, lógicamente no permite ningún tipo de comprobación sobre la posible inestabilidad local de los elementos que forman los perfiles de tipo doble-T, las alas y el alma, de las estructuras analizadas. Entre otros motivos, porque la tipología estructural necesaria para realizar dicho análisis es otra, tipo placa en lugar de tipo barra [6] ; [15] ; [16] ; [17] .

Por este motivo, es muy interesante y es el objetivo de este trabajo llevar a cabo dicha comprobación a partir de los resultados disponibles tras un análisis matricial del sistema estructural de barras, desplazamientos y esfuerzos a nivel de sección. Y mediante la teoría de Resistencia de Materiales pasar dichos resultados como condiciones de contorno al problema de placas, con el fin de poder estimar el valor del factor crítico de carga que provoca el fenómeno de abolladura [2] ; [5] ; [8] ; [14] .

Este trabajo se ha organizado de la manera siguiente: en primer lugar, tras esta introducción, se presenta la metodología empleada. A continuación, se muestran varios ejemplos de aplicación y en el último apartado se presentan las principales conclusiones obtenidas.

2. Metodología

Se pretende realizar la comprobación a pandeo local de los elementos más comprometidos de cualquier sistema espacial de barras de perfil tipo doble-T. Se asume comportamiento elástico-lineal del material y se adopta un estado proporcional de carga, siendo λ dicho factor de proporcionalidad. Para alcanzar dicho objetivo se establece la siguiente metodología:

Análisis lineal de la estructura. La estructura se modela con elementos tipo barra esbelta y se resuelve mediante MDR. Así, se obtienen los grados de libertad de la estructura, desplazamientos y giros desconocidos en los nudos para el valor nominal de las cargas (λ = 1).
Análisis de estabilidad. Se realiza un análisis no lineal del modelo de barras para calcular el factor de carga crítico de pandeo global (λ_{cr ,1} ) y se determina la correspondiente carga crítica asociada a los posibles modos de pandeo del elemento tipo barra: pandeo por flexión, pandeo por flexión y/o torsión, pandeo lateral o vuelco, etc.
Se pasa del modelo de barras al modelo de placas para analizar el elemento más solicitado de la estructura frente a posible abolladura. Para lo cual se trasladan ciertos resultados del modelo de barras obtenidos en el primer análisis, como condiciones de contorno en desplazamientos del modelo de placas.
Análisis para obtener los esfuerzos en el modelo de placas.
Análisis no lineal del modelo de placas, para estimar las cargas críticas asociadas al pandeo local (λ_{cr ,2} ) del elemento más solicitado.

3. Resultados y discusión

A continuación se muestran varios ejemplos a los que se aplica la metodología de este trabajo. Los dos primeros ejemplos a modo de validación del método y un tercer ejemplo de aplicación.

Para todos los cálculos los datos son: longitud ${\textstyle \left(L=4{\mbox{ }}m\right)}$ , sección tipo doble-T ${\textstyle \left(h=300{\mbox{ }}mm,b=150{\mbox{ }}mm,e_{1}=10.7{\mbox{ }}mm,e=\right.}$ $\left.7.1{\mbox{ }}mm\right)$ , corresponde al perfil comercial IPE300 (véase fig. 1 ), de acero ${\textstyle \left(E=2.1\cdot {10}^{11}{\mbox{ }}Pa,\nu =0.3,{\sigma }_{y}=\right.}$ $\left.275{\mbox{ }}MPa\right)$ .

Figura 1.

Perfil laminado serie IPE.

3.1. Ejemplo 1. Abolladura del ala comprimida

El primer ejemplo objeto de estudio es un pilar empotrado-libre sometido a un momento concentrado de valor M₀ = 10⁵ N · m en su extremo libre. Para el valor nominal de las cargas (λ = 1) se lleva a cabo un análisis lineal de la estructura mediante un modelo de barras 3D (se emplean 16 elementos) y se obtiene entre otros resultados un desplazamiento máximo de valor δ_MAX = 0.0456 m . A continuación se realiza un análisis de estabilidad global del modelo de barras, que considera flexión según ambos planos y torsión no uniforme, y tras el análisis del equilibrio en la configuración deformada se obtiene un valor crítico del factor de carga de λ_{cr ,1} = 0.63, que corresponde al nivel de carga que provoca el pandeo global o vuelco de la estructura. Del análisis lineal se conocen los grados de libertad de toda la estructura, por lo tanto se malla el pilar con elementos tipo placa (4x4, 16 elementos placa por pared del perfil, dos alas y el alma, en total 48 elementos placa) y se pasan los resultados de desplazamientos y giros del modelo de barra 3D al modelo placa, con objeto de determinar los esfuerzos de tipo placa. Por último, se hace un análisis no lineal del modelo placa para estimar a qué nivel de carga se pueden producir inestabilidades locales y se comprueba que para un factor de carga de λ_{cr ,2} = 11.45 se produce la abolladura el ala comprimida tal y como puede verse en la fig. 2 .

Figura 2.

Abolladura del ala.

A modo de comprobación, se ha resuelto el problema con el programa comercial de elementos finitos Simulation Mechanical 2015 de Autodesk (abreviado ASM), para ello se ha mallado el pilar completo con elementos placa (plate del software indicado), se ha empleado un total de 1218 elementos y se ha obtenido un valor crítico del factor de carga de ${\textstyle {\lambda }_{cr,2}^{ASM}=11.45}$ para el fenómeno de inestabilidad por abolladura del ala.

3.2. Ejemplo 2. Abolladura del alma por cortadura

El segundo ejemplo corresponde a un pilar empotrado-libre sometido a una carga transversal puntual de valor P₀ = 10⁵ N en su extremo libre. Del análisis lineal se obtiene un desplazamiento máximo de valor δ_MAX = 0.122 m (se emplean 16 elementos) y del análisis de estabilidad global se obtiene un valor crítico del factor de carga de λ_{cr ,1} = 1.40, que corresponde al nivel de carga que provoca el pandeo con deformaciones de flexión y/o torsión. Ahora, se malla el pilar con elementos tipo placa (16x4, 16 elementos placa en dirección longitudinal por 4 en dirección transversal y por pared del perfil, en total 192 elementos placa) y se lleva a cabo un análisis lineal del modelo placa para determinar los esfuerzos. A continuación, tras el análisis de estabilidad, se estima que el nivel de carga que puede producir inestabilidad local es de λ_{cr ,2} = 3.41 y corresponde a la abolladura del alma (véase la fig. 3 ).

Figura 3.

Abolladura del alma.

De nuevo, y a modo de comprobación, se ha resuelto el problema con el programa ASM (se ha empleado un total de 1218 elementos) y se ha obtenido un valor crítico del factor de carga de ${\textstyle {\lambda }_{cr,2}^{ASM}=3.42}$ para el fenómeno de inestabilidad por abolladura del alma.

3.3. Ejemplo 3. Pórtico espacial

Como ejemplo de aplicación se resuelve una estructura espacial de barras tipo pórtico 3D (fig. 4 ). Las cargas aplicadas se suponen concentradas de valor (P). Se asume que todas las barras tienen la misma longitud (L), las bases de los pilares están perfectamente empotradas y todos los nudos son rígidos. Todas las barras son de perfil tipo IPE300 y su disposición espacial es la que se indica.

Figura 4.

Pórtico 3D.

Para resolver este problema lo primero que se lleva a cabo es un análisis lineal de la estructura, modelo de barras (se emplean 16 elementos/barra), mediante MDR y se obtienen los grados de libertad de la estructura, desplazamientos y giros desconocidos en los nudos. Para el valor nominal de carga ${\textstyle \left(P_{0}={10}^{5}{\mbox{ }}N;{\mbox{ }}\lambda =1\right)}$ se obtiene un desplazamiento máximo de valor δ_MAX = 0.0219 m .

En segundo lugar, se realiza un análisis de inestabilidad del modelo de barras para calcular el factor de carga crítico de pandeo global λ_{cr ,1} = 2.08 y determinar la correspondiente carga crítica.

A continuación, se pasa del modelo de barras al modelo de placas para analizar el pilar más solicitado. Para ello, se trasladan los resultados del modelo de barras obtenidos en el primer análisis como condiciones de contorno en desplazamientos del modelo de placa. Con el modelo placa se hace un análisis lineal para obtener los esfuerzos de placa y después un análisis de inestabilidad para estimar las cargas críticas asociadas al pandeo local. Se emplea una malla de 16x4 elementos placa por pared del pilar analizado (las dos alas y el alma), por lo tanto se emplean 16 elementos placa en dirección longitudinal por 4 en dirección transversal y por pared del perfil, en total 192 elementos placa. Se estima un valor crítico del factor de carga de λ_{cr ,2} = 10.78 para el fenómeno de abolladura del alma del pilar analizado.

También para este ejemplo de aplicación se ha querido contrastar los resultados con los obtenidos con software ASM de elementos finitos. Para ello se ha mallado toda la estructura con elementos placa (se emplean un total de 9476 elementos) y el programa estima que la abolladura del alma del pilar más solicitado (véase la fig. 5 ) se produce para un valor del factor de carga de ${\textstyle {\lambda }_{cr,2}^{ASM}=10.83}$ , valor muy próximo al estimado con la metodología de este trabajo.

Figura 5.

Pórtico 3D. Abolladura del alma.

(asociado al valor crítico del factor de carga λ_{cr ,2} = 10.83).

Por lo tanto, para el pórtico 3D analizado se comprueba que la metodología de este trabajo permite contar con una herramienta útil para la comprobación del fenómeno de inestabilidad local que corresponde a la posibilidad de abolladura del alma del pilar más solicitado.

4. Conclusiones

La principal conclusión consiste en que este trabajo permite analizar un fenómeno de inestabilidad tan complejo como es la abolladura de este tipo de perfiles mediante una metodología sencilla, con mínimos requerimientos computacionales disponibles en cualquier oficina técnica.

Por lo tanto, es suficiente discretizar la estructura mediante elementos barra 1 D y emplear un sencillo método matricial (MDR) para resolver la estructura y posteriormente, en la siguiente etapa del análisis, calcular y comprobar la inestabilidad local de los elementos estructurales aisaldos mediante la metodología expuesta en este trabajo.

Anexo. Formulación de placa delgada

Para el análisis del fenómeno de abolladura, se emplea la teoría de placas delgadas (de Kirchhoff) con posibilidad de grandes desplazamientos [17] . La hipótesis fundamental de dicha teoría consiste en despreciar los efectos de las deformaciones transversales en base al pequeño espesor de la placa.

En base a esta hipótesis, se pueden expresar los desplazamientos de cualquier punto material de la placa como sigue:

( 1)

De tal forma que las deformaciones de Green-Lagrange no nulas del modelo de placas son:

\left({\begin{array}{c}E_{xx}\\E_{yy}\\2E_{xy}\end{array}}\right)=\left({\begin{array}{c}u,_{x}+{\frac {1}{2}}{\left(w,_{x}\right)}^{2}\\v,_{y}+{\frac {1}{2}}{\left(w,_{y}\right)}^{2}\\u,_{y}+v,_{x}+w,_{x}w,_{y}\end{array}}\right)-z\left({\begin{array}{c}w,_{xx}\\w,_{yy}\\2w,_{xy}\end{array}}\right)=E^{p}-z\cdot K^{b}

( 2)

donde E^p son las deformaciones de membrana en el plano y K^b representa los cambios de curvatura por flexión.

Matriz de rigidez tangente

La expresión de interés de la matriz de rigidez tangente se indica a continuación (fig. 6 ):

{\left(K_{T}\right)}_{\alpha \beta }=\left({\begin{array}{cc}{\left(K_{M}^{p}\right)}_{\alpha \beta }&{\left(K_{M}^{L}\right)}_{\alpha \beta }\\{\left(K_{M}^{L}\right)}_{\alpha \beta }^{T}&{\left(K_{M}^{b}+K_{G}^{L}\right)}_{\alpha \beta }\end{array}}\right);{\mbox{ }}\alpha ,\beta =1\ldots 4

( 3)

donde cada submatriz tiene por expresión:

{\begin{array}{c}{\left(K_{M}^{p}\right)}_{\alpha \beta }=ab{\int }_{-1}^{1}{\int }_{-1}^{1}{\left(B_{\alpha }^{p}\right)}^{T}D^{p}B_{\beta }^{p}d\xi d\eta ;{\mbox{ }}{\mbox{ }}\alpha ,\beta =1\ldots 4\\{\begin{array}{c}{\left(K_{M}^{b}\right)}_{\alpha \beta }=ab{\int }_{-1}^{1}{\int }_{-1}^{1}{\left(B_{\alpha }^{b}\right)}^{T}D^{b}B_{\beta }^{b}d\xi d\eta ;{\mbox{ }}\alpha ,\beta =1\ldots 4\\{\left(K_{M}^{L}\right)}_{\alpha \beta }=ab{\int }_{-1}^{1}{\int }_{-1}^{1}{\left(B_{\alpha }^{p}\right)}^{T}D^{p}B_{\beta }^{L}d\xi d\eta ;{\mbox{ }}{\mbox{ }}\alpha ,\beta =1\ldots 4\end{array}}\\{\left(K_{G}^{L}\right)}_{\alpha \beta }=ab{\int }_{-1}^{1}{\int }_{-1}^{1}G_{\alpha }^{T}\left({\begin{array}{cc}T_{x}&T_{xy}\\T_{xy}&T_{y}\end{array}}\right)G_{\beta }d\xi d\eta ;{\mbox{ }}{\mbox{ }}\alpha ,\beta =1\ldots 4\end{array}}

( 4)

y se define como:

{\begin{array}{c}D^{p}={\frac {E\cdot t}{1-{\nu }^{2}}}\left({\begin{array}{ccc}1&\nu &0\\\nu &1&0\\0&0&{\frac {\left(1-\nu \right)}{2}}\end{array}}\right){\mbox{ }}D^{b}={\frac {t^{2}}{12}}D^{p}\\B_{\alpha }=\left({\begin{array}{cc}{\frac {1}{a}}N_{\alpha ,\xi }&0\\0&{\frac {1}{b}}N_{\alpha ,\eta }\\{\frac {1}{b}}N_{\alpha ,\eta }&{\frac {1}{a}}N_{\alpha ,\xi }\end{array}}\right){\mbox{ }}B_{\alpha }^{L}=\left({\begin{array}{cc}{\frac {1}{a}}w,_{\xi }&0\\0&{\frac {1}{b}}w,_{\eta }\\{\frac {1}{b}}w,_{\eta }&{\frac {1}{a}}w,_{\xi }\end{array}}\right)G_{\alpha }\\G_{\alpha }=\left({\begin{array}{ccc}N_{\alpha ,x}^{w}&N_{\alpha ,x}^{{\theta }_{x}}&N_{\alpha ,x}^{{\theta }_{y}}\\N_{\alpha ,y}^{w}&N_{\alpha ,y}^{{\theta }_{x}}&N_{\alpha ,y}^{{\theta }_{y}}\end{array}}\right)=\left({\begin{array}{ccc}{\frac {1}{a}}N_{\alpha ,\xi }^{w}&{\frac {1}{a}}N_{\alpha ,\xi }^{{\theta }_{x}}&{\frac {1}{a}}N_{\alpha ,\xi }^{{\theta }_{y}}\\{\frac {1}{b}}N_{\alpha ,\eta }^{w}&{\frac {1}{b}}N_{\alpha ,\eta }^{{\theta }_{x}}&{\frac {1}{b}}N_{\alpha ,\eta }^{{\theta }_{y}}\end{array}}\right)\end{array}}

( 5)

Figura 6.

Elemento placa normalizado (4 nodos, 5 grados de libertad/nodo).

Es importante indicar que el término ${\textstyle B_{\alpha }^{L}}$ supone un acoplamiento entre el comportamiento de membrana y de flexión de la placa, debido a la no linealidad geométrica del problema planteado.

Por último, se definen los esfuerzos de placa, fuerzas de membrana (T^p ) y momentos flectores (M^b ):

( 6)

( 7)

donde t es el espesor de la placa.

Referencias

[1] M. Cacho-Pérez, A. Lorenzana; Cálculo directo de la carga crítica de pandeo de pórticos. Parte II; Rev. Int. Mét. Num. Cálc. Dise. Ing., 26 (2010), pp. 31–38
[2] W.F. Chen, T. Atsuta; Theory of beam-columns. Volume 1: in-plane behaviour and design; J. Ross Pub Inc (2007)
[3] A. Lorenzana, M. Cacho-Pérez; Cálculo directo de la carga crítica de pandeo de pórticos; Parte I. Rev. Int. Mét. Num. Cálc. Dise. Ing., 25 (3) (2009), pp. 247–258
[4] M.A. Ortega, J.L. Romero, Rosa.F E.; A historical study of the problem of straight prismatic elements subjected to compression; Informes de la Construcción, 59 (507) (1997), pp. 69–81
[5] M. Cacho-Pérez, A. Lorenzana; Optimización global de pórticos 2 D con barras de sección variable; DYNA, 85 (8) (2010), pp. 667–675
[6] W.F. Chen, T. Atsuta; Theory of beam-columns. Volume 2: space behaviour and design; J. Ross Pub Inc (2007)
[7] Z. Lei, T.G. Shu; Lateral buckling of web-tapered I-beams: A new theory; J. Constr. Steel Res., 64 (12) (2008), pp. 1379–1393
[8] M. Kovac; Lateral-torsional buckling of web-tapered I-beams. 1D and 3D FEM approach; 23rd Czech and Slovak Conference on Steel Structures and Bridges, 40 (2012), pp. 217–222
[9] S.E. Kim, C.M. Uang, S.H. Choi, K.Y.; An. Practical advanced analysis of steel frames considering lateral-torsional buckling; Thin-Walled Structures, 44 (7) (2006), pp. 709–720
[10] N. Hoveidae, B. Rafezy; Global buckling prevention condition of all-steel buckling restrained braces; J. Theor. App. Mech., 51 (4) (2013), pp. 891–892
[11] M.A. Serna, A. Lopez, I. Puente, Yong.F D.J.; Equivalent uniform moment factors for lateral-torsional buckling of steel members; J. Constr. Steel Res., 62 (6) (2006), pp. 566–580
[12] J.D. Aristizabal-Ochoa; Column stability and minimum lateral bracing: Effects of shear deformations; J. Eng. Mech., 130 (10) (2004), pp. 1223–1232
[13] A. Andrade, D. Camotim, P.B. Dinis; Lateral-torsional buckling of singly symmetric web-tapered thin-walled I-beams: 1 D model vs. shell FEA; Comput. Struct., 85 (17–18) (2007), pp. 1343–1359
[14] W.F. Chen, E.M. Lui; Stability design of steel frames; CRC Press, Inc. (2000)
[15] W. McGuire, R.H. Gallagher; Matrix Structural Analysis; Wiley, New York (1979)
[16] H. Kardestuncer; Introducción al análisis estructural con matrices; McGraw-Hill (1975)
[17] O.C. Zienkiewicz, R.L. Taylor; El método de los elementos finitos. Volumen 2: mecánica de sólidos; (5 ª ed.)CIMNE, Barcelona (2004)
[18] N. Guerrero, M.E. Marante, R. Picon, J.F. Lopez; Analysis of steel hollow structural beams subjected to biaxial bending by lumped damage mechanics; Rev. Int. Mét. Num. Cálc. Dise. Ing., 25 (1) (2009), pp. 3–27
[19] C. Basaglia, D. Camotim; Buckling Analysis of Thin-Walled Steel Structural Systems Using Generalized Beam Theory (GBT); International Journal of Structural Stability and Dynamics, 15 (1) (2015), p. 1540004
[20] D. Camotim, C. Basaglia; On the behaviour, failure and direct strength design of thin-walled steel structural systems; Thin-Walled Structures, 81 (2014), pp. 50–66
[21] C.K. Iu, M.A. Bradford; Second-order elastic finite element analysis of steel structures using a single element per member; Engineering Structures, 32 (9) (2010), pp. 2606–2616
[22] J. Becque, K.J.R. Rasmussen; Experimental Investigation of the Interaction of Local and Overall Buckling of Stainless Steel I-Columns; Journal of Structural Engineering-ASCE, 135 (11) (2009), pp. 1340–1348
[23] M. Lecce, K.J.R. Rasmussen; Design of wide-flange stainless steel sections; Advanced Steel Construction, 5 (2) (2009), pp. 164–174
[24] P.B. Dinis, D. Camotim, N. Silvestre; FEM-based analysis of the local-plate/distortional mode interaction in cold-formed steel lipped channel columns; Computers & Structures, 85 (19–20) (2007), pp. 1461–1474
[25] K. Kheradmandia, M. Azhari, M.A. Bradford; Local instability and free vibration of supported plates using the basic plate triangle; Computational Mechanics, 40 (1) (2007), pp. 73–84
[26] B. Young, J.T. Tan; Channel columns undergoing local, distortional, and overall buckling; Journal of Structural Engineering-ASCE, 128 (6) (2002), pp. 728–736

Revision as of 13:16, 19 April 2017

Resumen

Abstract

Palabras clave

Keywords

1. Introducción

2. Metodología

3. Resultados y discusión

3.1. Ejemplo 1. Abolladura del ala comprimida

3.2. Ejemplo 2. Abolladura del alma por cortadura

3.3. Ejemplo 3. Pórtico espacial

4. Conclusiones

Anexo. Formulación de placa delgada

Matriz de rigidez tangente

Referencias

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Keywords

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 ==Resumen==
-Este trabajo consiste en determinar la carga crítica de pandeo con deformaciones de flexión y torsión de una barra de acero de sección de tipo doble-T. Para su cálculo, se considera el modelo 3D de flexión de barras esbeltas (teoría de la flexión de Navier-Bernouilli) y el modelo de torsión no uniforme o por alabeo restringido (teoría de la torsión de Vlasov).
+En este trabajo se expone una metodología de varias etapas para determinar, con mínimo esfuerzo computacional el factor de carga crítico que produce el fenómeno de inestabilidad local de abolladura de las paredes de los perfiles tipo doble-T. Para ello, se estudia a nivel local como placa delgada cada una de las paredes que forman el perfil. Se constata que es suficiente con analizar las zonas más solicitadas (alas y alma) de la estructura.
 ==Abstract==
-This work is based on calculating the critical buckling load with bending and torsional deformations of a steel wide-flange section type. To solve the problem is considered the 3D bending model of slender beams (theory of Navier-Bernoulli beams) and the model of the torsion is non uniform or by warping restricted (Vlasov torsion theory).
+A stepped methodology for the evaluation, with limited computational effort critical buckling load factor which produces the instability of the walls of double-T sections is proposed in this work. For this purpose, each wall of the cross-section studied in a local level as a thin plate. It is ratified that it is enough to check the most compressed flange and the web of the most loaded beams of the structure.
 ==Palabras clave==
-Pandeo 3D ; Bimomento ; Flexión biaxial
+Abolladura pandeo local ; Carga crítica ; Inestabilidad ; Placa delgada
 ==Keywords==
-D Buckling ; Bimoment ; Biaxially bending moments
+Local buckling ; Critical load ; Instability ; Thin plate
+==1. Introducción==
-[[Image:draft_Content_117447000-1-s2.0-S0213131515000632-fx1.jpg|center|208px|Full-size image (25 K)]]
+Para los elementos estructurales en los que el esfuerzo predominante es el momento flector el mejor aprovechamiento del material se consigue cuando el fallo en el mismo se produce por agotamiento de su capacidad resistente. Sin embargo, también debe considerarse la posibilidad de fallo por pandeo local de los elementos que conforman la viga, es lo que se conoce como fenómeno de abolladura [[#bib0225|[19]]] ; [[#bib0240|[22]]] ; [[#bib0245|[23]]]  ;  [[#bib0130|[26]]] .
-==1. Introducción==
+Las secciones transversales de los elementos a flexión buscan maximizar el valor de su módulo resistente para reducir el valor de las tensiones y desplazamientos máximos. Por estos motivos son muy adecuadas y se emplean con frecuencia las secciones tipo doble-T u otras de pared delgada, bien sean abiertas o cerradas [[#bib0230|[20]]]  ;  [[#bib0235|[21]]] .
-El uso cada vez más frecuente de estructuras formadas por elementos muy esbeltos y livianos y el empleo de materiales altamente resistentes permiten realizar grandes construcciones que resultaban impensables hasta hace poco. Por ello, el análisis de la inestabilidad de dichas estructuras ha cobrado gran importancia y ha desplazado incluso, en muchos casos, el clásico análisis resistente, centrado únicamente en la aparición de tensiones que superan el límite elástico del material.
+Por lo tanto, resulta de gran interés el estudio de placas planas cargadas en su plano, pues es el caso del alma y de las alas de vigas y pilares de este tipo de perfil y ya que la mayoría de los elementos estructurales se pueden considerar formados por un conjunto de placas planas. De esta manera, cuando una placa se encuentra sometida a esfuerzos de compresión, flexión, cortante o combinación de ellos, puede que se produzca el fallo local por pandeo antes de cualquier otro tipo de fallo.
-Numerosos estudios y trabajos de investigación se han dedicado al análisis del pandeo de tipologías estructurales tales como barras, placas y láminas, desde el punto de vista experimental, analítico o computacional. Este último enfoque ha experimentado un gran avance en los últimos años, gracias a dos factores: el perfeccionamiento progresivo de los métodos numéricos de simulación, sobre todo el gran auge del método de los elementos finitos, y la mejora imparable de las prestaciones de las computadoras actuales.
+Timoshenko (1921) fue el primero en presentar una solución para el pandeo local de placas rectangulares simplemente apoyadas en sus cuatro bordes sometidas a cortante. Lo hizo aplicando el método energético, el cual resultó ser una excelente herramienta para resolver un problema que no podía ser resuelto analíticamente como problema de autovalores. En años posteriores diversos investigadores como Southwell y Skan, Seydel, Stein y Neff, Galambos y otros, continuaron con esas investigaciones para obtener tensiones críticas de abolladura más precisas y teniendo en cuenta las diferentes condiciones de contorno de los paneles.
-Son innumerables los estudios y las investigaciones dedicados al análisis de fenómenos de inestabilidad estructural, pero fue Euler (1744) el primero en proporcionar, de forma analítica, resultados del estudio del pandeo de columnas, que posteriormente serían completados por Lagrange (1788). Un siglo más tarde, apareció la teoría general de la bifurcación del equilibrio, desarrollada por Poincaré (1885), y Liapunov (1892) le dio un tratamiento más riguroso, desde el punto de vista matemático. Otra aportación importante al desarrollo de este problema fue la teoría no lineal de bifurcación de Koiter (1945), dedicada sobre todo al pandeo de placas y láminas.
+Todas las expresiones deducidas por estos investigadores se fundamentan en que existe una perfecta proporcionalidad entre tensiones y deformaciones de acuerdo a la ley de Hooke generalizada. Sin embargo, estas condiciones se sobrepasan en situaciones de diseño usuales de las estructuras metálicas.
-La pérdida de estabilidad y la aparición de puntos de bifurcación son fenómenos habituales en el estudio de la mecánica del medio continuo. En el análisis estructural, existe una gran cantidad de bibliografía dedicada al estudio del pandeo de barras, placas y láminas, tanto desde el punto de vista analítico (Timoshenko y Gere,1961; Chajes, 1974), como numérico (Bathe y Dvorkin, 1975; Seydel, 1979; Riks, 1972, y Bushnell, 1982, entre otros).
+Al contrario del caso del estudio del pandeo de la pieza prismática aislada sometida a compresión axil, no existe una teoría general que estudie el comportamiento de las placas en estas condiciones proporcionando unas relaciones de fácil manejo para el diseño, por ello en lugar de usar teorías más rigurosas como la de Stowell (1948), que utiliza un diagrama tensión-deformación curvo con resultados que se ajustan bien a los de los ensayos, se prefiere en general emplear teorías simplificadas como la de Bleich (1952).
-Por otro lado, la barra es una tipología estructural que ha tenido un desarrollo extenso. Su formulación ha sido objeto de revisión continuamente, intentando incorporar todos los efectos observados experimentalmente. En este trabajo, se presenta un modelo de barra tridimensional con formulación geométricamente no lineal. El modelo de barra incorpora deformaciones a cortante y a torsión, así como el efecto del alabeo. Desde el punto de vista computacional, la inclusión del alabeo se resuelve con la adición de un séptimo grado de libertad a los seis habituales de la formulación clásica, que representa la amplitud del alabeo en cada sección de la barra. Dicho efecto es de gran importancia para ciertos tipos de secciones, como los perfiles de pared delgada y, sobre todo, las secciones abiertas y en que el alabeo aparece restringido, que dan lugar a torsión no uniforme.
+Mientras que en la columna con carga axial la diferencia entre la carga de pandeo y su resistencia posterior es tan pequeña que la carga de pandeo se puede considerar su límite resistente, en el caso de las placas la resistencia post-pandeo puede ser mucho mayor que su carga precrítica. La placa presenta, a diferencia del caso de la columna aislada, un comportamiento totalmente distinto al alcanzar su carga de pandeo, ya que con el aumento de sus deformaciones y desplazamientos modifica su comportamiento mecánico al aparecer en ella el efecto membrana. Por este efecto forma se produce una redistribución de los esfuerzos con la aparición de las fuerzas estabilizadoras de membrana, permitiendo a la placa recuperar su estabilidad en una nueva configuración deformada. Si se siguen aumentando las cargas, la placa en su nueva situación plastifica en las zonas donde su estado tensional es máximo hasta alcanzar su resistencia última [[#bib0250|[24]]]  ;  [[#bib0255|[25]]] .
-Una de las aplicaciones prácticas de este modelo es la simulación numérica de fenómenos de inestabilidad, sobre todo en aquellos casos en que el alabeo es fundamental, como ocurre en los casos de pandeo lateral o pandeo por torsión.
+En cuanto a la influencia de los rigidizadores longitudinales, diversos han sido los autores que han propuesto soluciones para la variación del coeficiente de abolladura en función del tipo y número de rigidizadores empleados (Crate y Lo (1948), Hoglund (1977) o Beg (2003)). Finalmente, autores como Lee ''et al.''  (1996) o Estrada (2005), han estudiado también factores como la influencia del grado de empotramiento que proporcionan las alas en función de los espesores de alas y almas, proponiendo expresiones que toman como base a los resultados clásicos citados anteriormente  [[#bib0220|[18]]] .
-Los puntos en que la matriz de rigidez de una estructura llega a ser singular se denominan ''puntos críticos''  y tienen una gran importancia desde el punto de vista de la estabilidad estructural. El significado físico de estos puntos en un análisis lineal es la aparición de desplazamientos indeterminados en un estado de carga constante. Lógicamente, en un análisis no lineal, ello no sucede, pero la consecuencia es la aparición de grandes desplazamientos y rotaciones y, en la mayoría de los casos, un gran aumento de las tensiones. En muchas ocasiones, pues, la estructura pierde su funcionalidad, bien sea por colapso plástico o por la aparición de desplazamientos no admisibles.
+Por lo tanto, queda claro que los problemas asociados al fenómeno de pandeo en elementos estructurales de acero son a veces la causa más importante de fallo mecánico [[#bib0135|[1]]] ; [[#bib0145|[3]]] ; [[#bib0150|[4]]] ; [[#bib0165|[7]]]  ;  [[#bib0175|[9]]] , sobre todo hoy día, que el material cada vez es más resistente y las estructuras proyectadas cada vez más esbeltas.
-Los problemas asociados al fenómeno del pandeo en elementos estructurales de acero son, en ocasiones, la causa más importante de fallo mecánico [[#bib0160|[1]]] ; [[#bib0170|[3]]] ; [[#bib0175|[4]]] ; [[#bib0285|[26]]]  ;  [[#bib0290|[27]]] . Por otro lado, se considera que el método exacto que plantea el estudio detallado de los problemas de inestabilidad estructural de las barras de acero presenta una gran dificultad matemática [[#bib0215|[12]]] ; [[#bib0220|[13]]] ; [[#bib0275|[24]]]  ;  [[#bib0300|[29]]] . Además, no siempre se conocen con precisión las restricciones existentes en los extremos del tramo más crítico de la barra, lo cual hace que los resultados obtenidos sean poco fiables [[#bib0190|[7]]]  ;  [[#bib0200|[9]]] .
+La formulación matricial del Método Directo de Rigidez (MDR) de estructuras de barras para el caso de no linealidad geométrica en hipótesis de linealidad material facilita la estimación de la carga crítica de pandeo global teórica de forma sistemática con la ayuda del ordenador [[#bib0180|[10]]] ; [[#bib0185|[11]]] ; [[#bib0190|[12]]]  ;  [[#bib0195|[13]]] . Sin embargo, lógicamente no permite ningún tipo de comprobación sobre la posible inestabilidad local de los elementos que forman los perfiles de tipo doble-T, las alas y el alma, de las estructuras analizadas. Entre otros motivos, porque la tipología estructural necesaria para realizar dicho análisis es otra, tipo placa en lugar de tipo barra [[#bib0160|[6]]] ; [[#bib0205|[15]]] ; [[#bib0210|[16]]]  ;  [[#bib0215|[17]]] .
-Sin embargo, la formulación del método matricial de rigidez 3D para el caso de no linealidad geométrica en hipótesis de linealidad material facilita la estimación teórica de la carga crítica de pandeo de forma sistemática con la ayuda del ordenador [[#bib0205|[10]]] ; [[#bib0210|[11]]] ; [[#bib0260|[21]]]  ;  [[#bib0270|[23]]] . Ello permite abordar problemas con casos de carga y condiciones de contorno en desplazamientos que no se incluyen en los casos descritos en la normativa vigente, y cuyo cálculo lógicamente es necesario abordar con rigor y con suficiente precisión desde el punto de vista práctico y de la seguridad estructural [[#bib0165|[2]]] ; [[#bib0180|[5]]] ; [[#bib0195|[8]]]  ;  [[#bib0225|[14]]] .
+Por este motivo, es muy interesante y es el objetivo de este trabajo llevar a cabo dicha comprobación a partir de los resultados disponibles tras un análisis matricial del sistema estructural de barras, desplazamientos y esfuerzos a nivel de sección. Y mediante la teoría de Resistencia de Materiales pasar dichos resultados como condiciones de contorno al problema de placas, con el fin de poder estimar el valor del factor crítico de carga que provoca el fenómeno de abolladura [[#bib0140|[2]]] ; [[#bib0155|[5]]] ; [[#bib0170|[8]]]  ;  [[#bib0200|[14]]] .
-El trabajo se ha organizado de la manera siguiente: en primer lugar, tras esta introducción, se presenta la metodología utilizada. A continuación, se muestran varios ejemplos de aplicación y, en el último apartado, se presentan las principales conclusiones obtenidas de este trabajo.
+Este trabajo se ha organizado de la manera siguiente: en primer lugar, tras esta introducción, se presenta la metodología empleada. A continuación, se muestran varios ejemplos de aplicación y en el último apartado se presentan las principales conclusiones obtenidas.
 ==2. Metodología==
-Todo problema de inestabilidad requiere plantear el equilibrio en la configuración deformada de la estructura. Para el caso de interés, es necesario analizar la barra objeto de estudio como elemento estructural espacial o 3D. Por tanto, lo más sencillo es formular las ecuaciones de equilibrio de fuerzas y momentos de forma integral a partir del principio de los trabajos virtuales (PTV), que, en el caso de las barras, tiene la expresión siguiente [[#bib0185|[6]]] ; [[#bib0240|[17]]] ; [[#bib0245|[18]]]  ;  [[#bib0250|[19]]] :
+Se pretende realizar la comprobación a pandeo local de los elementos más comprometidos de cualquier sistema espacial de barras de perfil tipo doble-T. Se asume comportamiento elástico-lineal del material y se adopta un estado proporcional de carga, siendo λ dicho factor de proporcionalidad. Para alcanzar dicho objetivo se establece la siguiente metodología:
+* Análisis lineal de la estructura. La estructura se modela con elementos tipo barra esbelta y se resuelve mediante MDR. Así, se obtienen los grados de libertad de la estructura, desplazamientos y giros desconocidos en los nudos para el valor nominal de las cargas (''λ''  = 1).
+* Análisis de estabilidad. Se realiza un análisis no lineal del modelo de barras para calcular el factor de carga crítico de pandeo global (''λ''<sub>''cr'' ,1                                        </sub> ) y se determina la correspondiente carga crítica asociada a los posibles modos de pandeo del elemento tipo barra: pandeo por flexión, pandeo por flexión y/o torsión, pandeo lateral o vuelco, etc.
+* Se pasa del modelo de barras al modelo de placas para analizar el elemento más solicitado de la estructura frente a posible abolladura. Para lo cual se trasladan ciertos resultados del modelo de barras obtenidos en el primer análisis, como condiciones de contorno en desplazamientos del modelo de placas.
+* Análisis para obtener los esfuerzos en el modelo de placas.
+* Análisis no lineal del modelo de placas, para estimar las cargas críticas asociadas al pandeo local (''λ''<sub>''cr'' ,2                                        </sub> ) del elemento más solicitado.
-{| class="formulaSCP" style="width: 100%; text-align: center;"
+==3. Resultados y discusión==
-|-
-|
-{| style="text-align: center; margin:auto;"
-|-
-| <math>{\int }_V\left(\sigma \delta \epsilon +{\tau }_{\xi \varsigma }\delta {\gamma }_{\xi \varsigma }+\right. </math><math>\left. {\tau }_{\eta \varsigma }\delta {\gamma }_{\eta \varsigma }\right)dV=</math><math>{\int }_St_i\delta u_ids</math>
-|}
-| style="width: 5px;text-align: right;white-space: nowrap;" | ( 1)
-|}
-donde ''σ''  es la tensión normal; ''τ''<sub>''ξς''</sub> , ''τ''<sub>''ης''</sub>  son tensiones tangenciales; ''ɛ''  es la deformación longitudinal; ''γ''<sub>''ξς''</sub> , ''γ''<sub>''ης''</sub>  son las deformaciones transversales; ''t''<sub>''i''</sub>  es el vector de fuerzas externas de superficie y ''u''<sub>''i''</sub>  son las componentes de desplazamiento de los puntos materiales de aplicación de dicho sistema de cargas exteriores.
+A continuación se muestran varios ejemplos a los que se aplica la metodología de este trabajo. Los dos primeros ejemplos a modo de validación del método y un tercer ejemplo de aplicación.
-A partir de las magnitudes representadas en la [[#fig0005|figura 1]]  y tomando como base la teoría de la flexión de Navier-Bernouilli y la teoría de la torsión de Vlasov, se hace la siguiente definición de esfuerzos internos en la barra:
-{| class="formulaSCP" style="width: 100%; text-align: center;"
-|-
-|
-{| style="text-align: center; margin:auto;"
-|-
-| <math>\begin{array}{ll}
-\begin{array}{l}
-f_{\xi }={\int }_A{\tau }_{\xi \varsigma }dA=\frac{dm_{\eta }}{d\varsigma }=m_{\eta }^'\\
-f_{\eta }={\int }_A{\tau }_{\eta \varsigma }dA=\frac{dm_{\xi }}{d\varsigma }=m_{\xi }^'\\
-f_{\varsigma }={\int }_A\sigma dA=P
-\end{array} & \begin{array}{l}
-m_{\xi }={\int }_A\sigma \eta dA\\
-m_{\eta }={\int }_A\sigma \xi dA\\
-m_{\varsigma }=T_{\omega }+T_{sv};\mbox{ }T_{\omega }=-m_{\omega }^'\\
-m_{\omega }={\int }_A\sigma \omega dA
-\end{array}
-\end{array}</math>
-|}
-| style="width: 5px;text-align: right;white-space: nowrap;" | ( 2)
-|}
-donde ''f''<sub>''ς''</sub>  es el esfuerzo axil; ''f''<sub>''ξ''</sub> , ''f''<sub>''η''</sub>  son los esfuerzos cortantes; ''m''<sub>''η''</sub> , ''m''<sub>''ξ''</sub>  son los momentos flectores; ''m''<sub>''ς''</sub>  es el momento torsor; ''m''<sub>''ω''</sub>  es el esfuerzo bimomento; ''A''  es el área de la sección transversal de la barra; ''ξ'' , ''η  ''  son las coordenadas del punto material de la sección; <math display="inline">T_{sv}</math>  el torsor según la teoría de la torsión uniforme o de Saint-Venant; ''T''<sub>''ω''</sub>  es el torsor restringido, y ''ω''  es lo que se conoce como área sectorial principal en la teoría de la torsión no uniforme de Vlasov.
+Para todos los cálculos los datos son: longitud <math display="inline">\left(L=4\mbox{ }m\right)</math> , sección tipo doble-T <math display="inline">\left(h=300\mbox{ }mm,b=150\mbox{ }mm,e_1=10.7\mbox{ }mm,e=\right. </math><math>\left. 7.1\mbox{ }mm\right)</math> , corresponde al perfil comercial IPE300 (véase [[#fig0005|fig. 1]] ), de acero <math display="inline">\left(E=2.1\cdot {10}^{11}\mbox{ }Pa,\nu =0.3,{\sigma }_y=\right. </math><math>\left. 275\mbox{ }MPa\right)</math> .
 <span id='fig0005'></span>
@@ Line 88: / Line 63: @@
-[[Image:draft_Content_117447000-1-s2.0-S0213131515000632-gr1.jpg|center|356px|Esfuerzos en la sección.]]
+[[Image:draft_Content_117447000-1-s2.0-S0213131516000080-gr1.jpg|center|196px|Perfil laminado serie IPE.]]
@@ Line 96: / Line 71: @@
 Figura 1.
-Esfuerzos en la sección.
+Perfil laminado serie IPE.
 </span>
 |}
-En cuanto a las solicitaciones exteriores, en el modelo 1D/unidimensional se definen como cargas por unidad de longitud según cada uno de los ejes de referencia: ''q''<sub>''ξ''</sub> , ''q''<sub>''η''</sub> , ''q''<sub>''ς''</sub> , siendo estas las más habituales en este tipo de problemas.
+===3.1. Ejemplo 1. Abolladura del ala comprimida===
-La necesidad de plantear el equilibrio en la configuración deformada o actual requiere la definición de deformación de Euler-Lagrange, que lleva a las siguientes relaciones entre deformaciones y desplazamientos:
+El primer ejemplo objeto de estudio es un pilar empotrado-libre sometido a un momento concentrado de valor ''M''<sub>0</sub>  = 10<sup>5</sup>  ''N''  · ''m''  en su extremo libre. Para el valor nominal de las cargas (''λ''  = 1) se lleva a cabo un análisis lineal de la estructura mediante un modelo de barras 3D (se emplean 16 elementos) y se obtiene entre otros resultados un desplazamiento máximo de valor ''δ''<sub>''MAX''</sub>  = 0.0456 ''m'' . A continuación se realiza un análisis de estabilidad global del modelo de barras, que considera flexión según ambos planos y torsión no uniforme, y tras el análisis del equilibrio en la configuración deformada se obtiene un valor crítico del factor de carga de ''λ''<sub>''cr'' ,1                            </sub>  = 0.63, que corresponde al nivel de carga que provoca el pandeo global o vuelco de la estructura. Del análisis lineal se conocen los grados de libertad de toda la estructura, por lo tanto se malla el pilar con elementos tipo placa (4x4, 16 elementos placa por pared del perfil, dos alas y el alma, en total 48 elementos placa) y se pasan los resultados de desplazamientos y giros del modelo de barra 3D al modelo placa, con objeto de determinar los esfuerzos de tipo placa. Por último, se hace un análisis no lineal del modelo placa para estimar a qué nivel de carga se pueden producir inestabilidades locales y se comprueba que para un factor de carga de ''λ''<sub>''cr'' ,2                            </sub>  = 11.45 se produce la abolladura el ala comprimida tal y como puede verse en la [[#fig0010|fig. 2]] .
-{| class="formulaSCP" style="width: 100%; text-align: center;"
-|-
-|
-{| style="text-align: center; margin:auto;"
-|-
-| <math>\begin{array}{l}
-\epsilon =u_{\varsigma ,\varsigma }+\frac{1}{2}\left(u_{\xi ,\varsigma }^2+u_{\eta ,\varsigma }^2+u_{\varsigma ,\varsigma }^2\right)\\
-{\gamma }_{\xi \varsigma }=u_{\varsigma ,\xi }+u_{\xi ,\varsigma }+(u_{\xi ,\xi }u_{\xi ,\varsigma }+u_{\eta ,\xi }u_{\eta ,\varsigma }+u_{\varsigma ,\xi }u_{\varsigma ,\varsigma })\\
-{\gamma }_{\eta \varsigma }=u_{\varsigma ,\eta }+u_{\eta ,\varsigma }+(u_{\xi ,\eta }u_{\xi ,\varsigma }+u_{\eta ,\eta }u_{\eta ,\varsigma }+u_{\varsigma ,\eta }u_{\varsigma ,\varsigma })
-\end{array}</math>
-|}
-| style="width: 5px;text-align: right;white-space: nowrap;" | ( 3)
-|}
-También se asume la hipótesis de pequeños desplazamientos, con lo cual resulta:
-{| class="formulaSCP" style="width: 100%; text-align: center;"
-|-
-|
-{| style="text-align: center; margin:auto;"
-|-
-| <math>\begin{array}{l}
-u_{\xi }=u_{\xi 0}-(\eta -e_{\eta }){\theta }_{\varsigma }\\
-u_{\eta }=u_{\eta 0}+(\xi -e_{\xi }){\theta }_{\varsigma }\\
-u_{\varsigma }=u_{\varsigma c}-\eta u_{\eta 0}^'-\xi u_{\xi 0}^'+\omega {\theta }_{\varsigma }^'
-\end{array}</math>
-|}
-| style="width: 5px;text-align: right;white-space: nowrap;" | ( 4)
-|}
-donde ''u''<sub>''ξ''</sub> , ''u''<sub>''η''</sub> , ''u''<sub>''ς''</sub>  son las componentes de desplazamiento de un punto material cualquiera de la barra según cada uno de los ejes de coordenadas; ''u''<sub>''ξ'' 0                            </sub> , ''u''<sub>''η'' 0                            </sub> , ''u''<sub>''ς''</sub>  son los desplazamientos de los puntos de la directriz de la barra; ''θ''<sub>''ς''</sub>  es el ángulo girado por la sección según el eje longitudinal; <math display="inline">{{\theta }^{{'}}}_{\varsigma }</math>  es la magnitud del alabeo de la sección correspondiente, y, por último, <math display="inline">\left(e_{\xi },e_{\eta }\right)</math>  son las cotas de la posición del centro de esfuerzos cortantes con respecto al centro de gravedad de la sección.
-Según los modelos de flexión y torsión adoptados, se llegan a plantear las siguientes ecuaciones de compatibilidad-comportamiento:
-{| class="formulaSCP" style="width: 100%; text-align: center;"
-|-
-|
-{| style="text-align: center; margin:auto;"
-|-
-| <math>\begin{array}{lll}
-\begin{array}{l}
-P=EAu_{\varsigma c}^'\\
-m_{\xi }=-EI_{\xi }u_{\eta 0}^{''}\\
-m_{\eta }=-EI_{\eta }u_{\xi 0}^{''}\\
-m_{\omega }=EI_{\omega }{\theta }_{\varsigma }^{''}\\
-T_{sv}=GK_T{\theta }_{\varsigma }^'
-\end{array} & \begin{array}{l}
-A={\int }_AdA\\
-I_{\xi }={\int }_A{\eta }^2dA\\
-I_{\eta }={\int }_A{\xi }^2dA
-\end{array} & \begin{array}{l}
-I_{\omega }={\int }_A{\omega }^2dA\\
-K_T=\frac{1}{3}\sum_{i=1}^Nb_ie_i^3
-\end{array}
-\end{array}</math>
-|}
-| style="width: 5px;text-align: right;white-space: nowrap;" | ( 5)
-|}
-donde ''I''<sub>''ξ''</sub> , ''I''<sub>''η''</sub>  son los momentos principales de inercia, ''I''<sub>''ω''</sub>  es el módulo de alabeo y ''K''<sub>''T''</sub>  es la constante de rigidez torsional.
-===2.1. Aproximación de desplazamientos===
-En cuanto al campo de desplazamientos, se asume que las barras son suficientemente esbeltas para considerar despreciable el efecto de las deformaciones transversales asociadas a los esfuerzos cortantes, lo cual implica las relaciones siguientes:
-{| class="formulaSCP" style="width: 100%; text-align: center;"
-|-
-|
-{| style="text-align: center; margin:auto;"
-|-
-| <math>{\theta }_{\eta 0}=u_{\xi 0}^';\mbox{ }{\theta }_{\xi 0}=</math><math>u_{\eta 0}^'</math>
-|}
-| style="width: 5px;text-align: right;white-space: nowrap;" | ( 6)
-|}
-Para los desplazamientos longitudinales, se supone una variación lineal:
-{| class="formulaSCP" style="width: 100%; text-align: center;"
-|-
-|
-{| style="text-align: center; margin:auto;"
-|-
-| <math>u_{\varsigma c}\left(\beta \right)=\left[n_1\left(\beta \right)\right]\left\{u_{\varsigma c}\right\},\mbox{   }\left[n_1\left(\beta \right)\right]=</math><math>\left(1-\beta ;\beta \right)</math>
-|}
-| style="width: 5px;text-align: right;white-space: nowrap;" | ( 7)
-|}
-donde <math display="inline">\beta =\frac{\varsigma }{L}</math>  es la coordenada longitudinal adimensional en el elemento y <math display="inline">\left\{u_{\varsigma c}\right\}={\left(u_{\varsigma c}^p;u_{\varsigma c}^q\right)}^T</math>  son los valores nodales del desplazamiento longitudinal.
-Sin embargo, para la aproximación de desplazamientos transversales a la sección, se supone una variación cúbica:
-{| class="formulaSCP" style="width: 100%; text-align: center;"
-|-
-|
-{| style="text-align: center; margin:auto;"
-|-
-| <math>\begin{array}{l}
-u_{\xi 0}\left(\beta \right)=\left[n_3\left(\beta \right)\right]\left\{u_{\xi 0}\right\};\mbox{ }\mbox{ }u_{\eta 0}\left(\beta \right)=\left[n_3\left(\beta \right)\right]\left\{u_{\eta 0}\right\}\\
-\left[n_3\left(\beta \right)\right]=\left(1-3{\beta }^2+2{\beta }^3;\beta -2{\beta }^2+{\beta }^3;3{\beta }^2-2{\beta }^3;{\beta }^3-{\beta }^2\right)
-\end{array}</math>
-|}
-| style="width: 5px;text-align: right;white-space: nowrap;" | ( 8)
-|}
-donde <math display="inline">\left\{u_{\xi 0}\right\}={\left(u_{\xi 0}^p;L{\theta }_{\eta 0}^p;u_{\xi 0}^q;L{\theta }_{\eta 0}^q\right)}^T</math>  y <math display="inline">\left\{u_{\eta 0}\right\}={\left(u_{\eta 0}^p;L{\theta }_{\xi 0}^p;u_{\eta 0}^q;L{\theta }_{\xi 0}^q\right)}^T</math>  son los valores de los desplazamientos y de giros escalados en las secciones extremas del elemento.
-Y, por último, también se asume una variación cúbica para el giro según el eje longitudinal:
-{| class="formulaSCP" style="width: 100%; text-align: center;"
-|-
-|
-{| style="text-align: center; margin:auto;"
-|-
-| <math>{\theta }_{\varsigma }\left(\beta \right)=\left[n_3\left(\beta \right)\right]\left\{{\theta }_{\varsigma }\right\}</math>
-|}
-| style="width: 5px;text-align: right;white-space: nowrap;" | ( 9)
-|}
-donde <math display="inline">\left\{{\theta }_{\varsigma }\right\}={\left({\theta }_{\varsigma }^p;L{\theta }_{\varsigma ,\varsigma }^p;{\theta }_{\varsigma }^q;L{\theta }_{\varsigma ,\varsigma }^q\right)}^T</math>  son los valores del giro y del alabeo escalado en los nodos del elemento.
-===2.2. Ecuaciones aproximadas===
-Para el cálculo de las ecuaciones de equilibrio mecánico, también se supone que el esfuerzo axil es constante y que los momentos flectores tienen una variación de tipo lineal a lo largo del elemento de barra considerado:
-* Flexión en el plano ''ς''  − ''ξ'' :
-{| class="formulaSCP" style="width: 100%; text-align: center;"
-|-
-|
-{| style="text-align: center; margin:auto;"
-|-
-| <math>\frac{EI_{\eta }}{L^3}K_{33}^{220}\left\{u_{\xi 0}\right\}+</math><math>\frac{P}{L}K_{33}^{110}\left\{u_{\xi 0}\right\}+\left(\frac{\left(Pe_{\eta }-m_{\xi }^p\right)}{L}K_{33}^{110}-\right. </math><math>\left. f_{\eta }\left(K_{33}^{111}+K_{33}^{100}\right)\right)\left\{{\theta }_{\varsigma }\right\}=</math><math>\left(\begin{array}{c}
-f_{\xi }^p\\
--m_{\eta }^p/L\\
-f_{\xi }^q\\
--m_{\eta }^q/L
-\end{array}\right)</math>
-|}
-| style="width: 5px;text-align: right;white-space: nowrap;" | ( 10)
-|}
-* Flexión en el plano ''ς''  − ''η'' :
-{| class="formulaSCP" style="width: 100%; text-align: center;"
-|-
-|
-{| style="text-align: center; margin:auto;"
-|-
-| <math>\frac{EI_{\xi }}{L^3}K_{33}^{220}\left\{u_{\eta 0}\right\}+</math><math>\frac{P}{L}K_{33}^{110}\left\{u_{\eta 0}\right\}-\left(\frac{\left(Pe_{\xi }-m_{\eta }^p\right)}{L}K_{33}^{110}-\right. </math><math>\left. f_{\xi }\left(K_{33}^{111}+K_{33}^{100}\right)\right)\left\{{\theta }_{\varsigma }\right\}=</math><math>\left(\begin{array}{c}
-f_{\eta }^p\\
--m_{\xi }^p/L\\
-f_{\eta }^q\\
--m_{\xi }^q/L
-\end{array}\right)</math>
-|}
-| style="width: 5px;text-align: right;white-space: nowrap;" | ( 11)
-|}
-* Torsión:
-{| class="formulaSCP" style="width: 100%; text-align: center;"
-|-
-|
-{| style="text-align: center; margin:auto;"
-|-
-| <math>\begin{array}{l}
-\left(\frac{EI_{\omega }}{L^3}K_{33}^{220}+\frac{GK_T}{L}K_{33}^{110}\right)\left\{{\theta }_{\varsigma }\right\}+\left(\frac{\left(Pe_{\eta }-m_{\xi }^p\right)}{L}K_{33}^{110}-f_{\eta }\left(K_{33}^{111}+K_{33}^{010}\right)\right)\left\{u_{\xi 0}\right\}-\\
-\left(\frac{\left(Pe_{\xi }-m_{\eta }^p\right)}{L}K_{33}^{110}-f_{\xi }\left(K_{33}^{111}+K_{33}^{010}\right)\right)\left\{u_{\eta 0}\right\}+\left(\frac{{\overline{K}}^p}{L}K_{33}^{110}+\frac{\left({\overline{K}}^q-{\overline{K}}^p\right)}{L}K_{33}^{111}\right)=\left(\begin{array}{c}
-m_{\varsigma }^p\\
-m_{\omega }^p/L\\
-m_{\varsigma }^q\\
-m_{\omega }^q/L
-\end{array}\right)
-\end{array}</math>
-|}
-| style="width: 5px;text-align: right;white-space: nowrap;" | ( 12)
-|}
-donde <math display="inline">{\overline{K}}^p,{\overline{K}}^q</math>  son los coeficientes que cuantifican el efecto Wagner en cada uno de los extremos del elemento: nodo inicial (''p'' ) y nodo final (''q'' ).
-* Extensión:
-{| class="formulaSCP" style="width: 100%; text-align: center;"
-|-
-|
-{| style="text-align: center; margin:auto;"
-|-
-| <math>\frac{EA}{L}K_{11}^{110}\left\{u_{\varsigma c}\right\}=</math><math>\left(\begin{array}{c}
-P^p\\
-P^q
-\end{array}\right)</math>
-|}
-| style="width: 5px;text-align: right;white-space: nowrap;" | ( 13)
-|}
-Y donde se ha hecho uso de la definición de las siguientes matrices:
-{| class="formulaSCP" style="width: 100%; text-align: center;"
-|-
-|
-{| style="text-align: center; margin:auto;"
-|-
-| <math>\begin{array}{l}
-\cdot K_{33}^{110}=\left[\begin{array}{cccc}
-& 3 & -36 & 3\\
-& 4 & -3 & -1\\
--36 & -3 & 36 & -3\\
-& -1 & -3 & 4
-\end{array}\right];\mbox{ }30\cdot K_{33}^{111}=\left[\begin{array}{cccc}
-& 3 & -18 & 0\\
-& 1 & -3 & -1/2\\
--18 & -3 & 18 & 0\\
-& -1/2 & 0 & 3
-\end{array}\right]\\
-\cdot K_{33}^{100}=\left[\begin{array}{cccc}
--15 & -3 & -15 & 3\\
-& 0 & -3 & 1/2\\
-& 3 & 15 & -3\\
--3 & -1/2 & 3 & 0
-\end{array}\right];\mbox{ }K_{33}^{220}=\left[\begin{array}{cccc}
-& 6 & -12 & 6\\
-& 4 & -6 & 2\\
--12 & -6 & 12 & -6\\
-& 2 & -6 & 4
-\end{array}\right]\\
-\mbox{ }\mbox{ }\mbox{ }\mbox{ }\mbox{ }\mbox{ }K_{33}^{010}={\left(K_{33}^{100}\right)}^T;\mbox{ }\mbox{ }K_{11}^{110}=\left[\begin{array}{cc}
-& -1\\
--1 & 1
-\end{array}\right]
-\end{array}</math>
-|}
-| style="width: 5px;text-align: right;white-space: nowrap;" | ( 14)
-|}
-===2.3. Matriz de rigidez===
-A continuación, se organizan y se escalan el vector de grados de libertad y el vector de fuerzas del elemento, de la manera siguiente:
-{| class="formulaSCP" style="width: 100%; text-align: center;"
-|-
-|
-{| style="text-align: center; margin:auto;"
-|-
-| <math>\begin{array}{l}
-\left\{u\right\}={\left(u_{\xi }^p;u_{\eta }^p;u_{\varsigma }^p;{\theta }_{\varsigma }^p;L{\theta }_{\eta }^p;L{\theta }_{\xi }^p;L{\theta }_{\varsigma }^{'p};u_{\xi }^q;u_{\eta }^q;u_{\varsigma }^q;{\theta }_{\varsigma }^q;L{\theta }_{\eta }^q;L{\theta }_{\xi }^q;L{\theta }_{\varsigma }^{'q}\right)}^T\\
-\left\{F\right\}={\left(f_{\xi }^p;f_{\eta }^p;P^p;m_{\varsigma }^p;m_{\eta }^p;m_{\xi }^p;m_{\omega }^p;f_{\xi }^q;f_{\eta }^q;P^q;m_{\varsigma }^q;m_{\eta }^q;m_{\xi }^q;m_{\omega }^q\right)}^T
-\end{array}</math>
-|}
-| style="width: 5px;text-align: right;white-space: nowrap;" | ( 15)
-|}
-Así, el conjunto de ecuaciones de equilibrio de la barra puede expresarse de forma matricial como se indica a continuación:
-{| class="formulaSCP" style="width: 100%; text-align: center;"
-|-
-|
-{| style="text-align: center; margin:auto;"
-|-
-| <math>\begin{array}{l}
-\left\{F\right\}=K\cdot \left\{u\right\}\\
-K=\left(K_S+K_G\right)
-\end{array}</math>
-|}
-| style="width: 5px;text-align: right;white-space: nowrap;" | ( 16)
-|}
-La matriz ''K''<sub>''S''</sub>  es la parte material de la matriz de rigidez y tiene la expresión explícita siguiente:
-{| class="formulaSCP" style="width: 100%; text-align: center;"
-|-
-|
-{| style="text-align: center; margin:auto;"
-|-
-| <math>K_S=\left[\begin{array}{cccccccccccccc}
-a & 0 & 0 & 0 & b & 0 & 0 & -a & 0 & 0 & 0 & b & 0 & 0\\
-\mbox{ } & e & 0 & 0 & 0 & f & 0 & 0 & -e & 0 & 0 & 0 & f & 0\\
-\mbox{ } & \mbox{ } & m & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & -m & 0 & 0 & 0 & 0\\
-\mbox{ } & \mbox{ } & \mbox{ } & i & 0 & 0 & j & 0 & 0 & 0 & -i & 0 & 0 & j\\
-\mbox{ } & \mbox{ } & \mbox{ } & \mbox{ } & c & 0 & 0 & -b & 0 & 0 & 0 & d & 0 & 0\\
-\mbox{ } & \mbox{ } & \mbox{ } & \mbox{ } & \mbox{ } & g & 0 & 0 & -f & 0 & 0 & 0 & h & 0\\
-\mbox{ } & \mbox{ } & \mbox{ } & \mbox{ } & \mbox{ } & \mbox{ } & k & 0 & 0 & 0 & -j & 0 & 0 & n\\
-\mbox{ } & \mbox{ } & \mbox{ } & \mbox{ } & \mbox{ } & \mbox{ } & \mbox{ } & a & 0 & 0 & 0 & -b & 0 & 0\\
-\mbox{ } & \mbox{ } & \mbox{ } & SIM & \mbox{ } & \mbox{ } & \mbox{ } & \mbox{ } & e & 0 & 0 & 0 & -f & 0\\
-\mbox{ } & \mbox{ } & \mbox{ } & \mbox{ } & \mbox{ } & \mbox{ } & \mbox{ } & \mbox{ } & \mbox{ } & m & 0 & 0 & 0 & 0\\
-\mbox{ } & \mbox{ } & \mbox{ } & \mbox{ } & \mbox{ } & \mbox{ } & \mbox{ } & \mbox{ } & \mbox{ } & \mbox{ } & i & 0 & 0 & -j\\
-\mbox{ } & \mbox{ } & \mbox{ } & \mbox{ } & \mbox{ } & \mbox{ } & \mbox{ } & \mbox{ } & \mbox{ } & \mbox{ } & \mbox{ } & c & 0 & 0\\
-\mbox{ } & \mbox{ } & \mbox{ } & \mbox{ } & \mbox{ } & \mbox{ } & \mbox{ } & \mbox{ } & \mbox{ } & \mbox{ } & \mbox{ } & \mbox{ } & g & 0\\
-\mbox{ } & \mbox{ } & \mbox{ } & \mbox{ } & \mbox{ } & \mbox{ } & \mbox{ } & \mbox{ } & \mbox{ } & \mbox{ } & \mbox{ } & \mbox{ } & \mbox{ } & k
-\end{array}\right]</math>
-|}
-| style="width: 5px;text-align: right;white-space: nowrap;" | ( 17)
-|}
-donde los coeficientes de la matriz son:
-{| class="formulaSCP" style="width: 100%; text-align: center;"
-|-
-|
-{| style="text-align: center; margin:auto;"
-|-
-| <math>\begin{array}{l}
-a=\frac{12EI_{\eta }}{L^3}\mbox{ }e=\frac{12EI_{\xi }}{L^3}\mbox{ }i=\frac{12EI_{\omega }}{L^3}+\frac{36}{30}\frac{GK_T}{L}\\
-b=\frac{6EI_{\eta }}{L^3}\mbox{ }f=\frac{6EI_{\xi }}{L^3}\mbox{ }j=\frac{6EI_{\omega }}{L^3}+\frac{3}{30}\frac{GK_T}{L}\\
-c=\frac{4EI_{\eta }}{L^3}\mbox{ }g=\frac{4EI_{\xi }}{L^3}\mbox{ }k=\frac{4EI_{\omega }}{L^3}+\frac{4}{30}\frac{GK_T}{L}\\
-d=\frac{2EI_{\eta }}{L^3}\mbox{ }h=\frac{2EI_{\xi }}{L^3}\mbox{ }n=\frac{2EI_{\omega }}{L^3}-\frac{1}{30}\frac{GK_T}{L}\\
-\mbox{ }\mbox{ }\mbox{ }\mbox{ }\mbox{ }\mbox{ }\mbox{ }m=\frac{EA}{L}
-\end{array}</math>
-|}
-| style="width: 5px;text-align: right;white-space: nowrap;" | ( 18)
-|}
-Por otro lado, la matriz ''K''<sub>''G''</sub>  es la matriz geométrica, también denominada ''matriz de tensión inicial'' , y se define por:
-{| class="formulaSCP" style="width: 100%; text-align: center;"
-|-
-|
-{| style="text-align: center; margin:auto;"
-|-
-| <math>K_G=\left[\begin{array}{cccccccccccccc}
-a & 0 & 0 & e & b & 0 & f & -a & 0 & 0 & -k & b & 0 & g\\
-\mbox{ } & a & 0 & -e^' & 0 & b & -f^' & 0 & -a & 0 & k^' & 0 & b & -g^'\\
-\mbox{ } & \mbox{ } & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0\\
-\mbox{ } & \mbox{ } & \mbox{ } & m & -i & i^' & n & -e & e^' & 0 & -m & s & -s^' & q\\
-\mbox{ } & \mbox{ } & \mbox{ } & \mbox{ } & c & 0 & h & -b & 0 & 0 & i & d & 0 & j\\
-\mbox{ } & \mbox{ } & \mbox{ } & \mbox{ } & \mbox{ } & c & -h^' & 0 & -b & 0 & -i^' & 0 & d & -j^'\\
-\mbox{ } & \mbox{ } & \mbox{ } & \mbox{ } & \mbox{ } & \mbox{ } & z & -f & f^' & 0 & -n & t & -t^' & p\\
-\mbox{ } & \mbox{ } & \mbox{ } & \mbox{ } & \mbox{ } & \mbox{ } & \mbox{ } & a & 0 & 0 & k & -b & 0 & -g\\
-\mbox{ } & \mbox{ } & \mbox{ } & \mbox{ } & \mbox{ } & \mbox{ } & \mbox{ } & \mbox{ } & a & 0 & -k^' & 0 & -b & g^'\\
-\mbox{ } & \mbox{ } & \mbox{ } & SIM & \mbox{ } & \mbox{ } & \mbox{ } & \mbox{ } & \mbox{ } & 0 & 0 & 0 & 0 & 0\\
-\mbox{ } & \mbox{ } & \mbox{ } & \mbox{ } & \mbox{ } & \mbox{ } & \mbox{ } & \mbox{ } & \mbox{ } & \mbox{ } & m & -s & s^' & -q\\
-\mbox{ } & \mbox{ } & \mbox{ } & \mbox{ } & \mbox{ } & \mbox{ } & \mbox{ } & \mbox{ } & \mbox{ } & \mbox{ } & \mbox{ } & c & 0 & w\\
-\mbox{ } & \mbox{ } & \mbox{ } & \mbox{ } & \mbox{ } & \mbox{ } & \mbox{ } & \mbox{ } & \mbox{ } & \mbox{ } & \mbox{ } & \mbox{ } & c & -w^'\\
-\mbox{ } & \mbox{ } & \mbox{ } & \mbox{ } & \mbox{ } & \mbox{ } & \mbox{ } & \mbox{ } & \mbox{ } & \mbox{ } & \mbox{ } & \mbox{ } & \mbox{ } & r
-\end{array}\right]</math>
-|}
-| style="width: 5px;text-align: right;white-space: nowrap;" | ( 19)
-|}
-siendo sus términos:
-{| class="formulaSCP" style="width: 100%; text-align: center;"
-|-
-|
-{| style="text-align: center; margin:auto;"
-|-
-| <math>\begin{array}{l}
-\begin{array}{l}
-a=\frac{36}{30}\frac{P}{L}\\
-b=\frac{3}{30}\frac{P}{L}\\
-c=\frac{4}{30}\frac{P}{L}\\
-d=-\frac{1}{30}\frac{P}{L}
-\end{array}\\
-\begin{array}{l}
-\begin{array}{ll}
-e=\frac{36}{30L}\left(Pe_{\eta }-m_{\xi }^p\right)-\frac{3}{30}f_{\eta } & e^'=\frac{36}{30L}\left(Pe_{\xi }-m_{\eta }^p\right)-\frac{3}{30}f_{\xi }
-\end{array}\\
-\begin{array}{ll}
-f=\frac{3}{30L}\left(Pe_{\eta }-m_{\xi }^p\right) & f^'=\frac{3}{30L}\left(Pe_{\xi }-m_{\eta }^p\right)
-\end{array}\\
-\begin{array}{ll}
-g=\frac{3}{30L}\left(Pe_{\eta }-m_{\xi }^p\right)-\frac{3}{30}f_{\eta } & g^'=\frac{3}{30L}\left(Pe_{\xi }-m_{\eta }^p\right)-\frac{3}{30}f_{\xi }
-\end{array}\\
-\begin{array}{ll}
-h=\frac{4}{30L}\left(Pe_{\eta }-m_{\xi }^p\right)-\frac{1}{30}f_{\eta } & h^'=\frac{4}{30L}\left(Pe_{\xi }-m_{\eta }^p\right)-\frac{1}{30}f_{\xi }
-\end{array}\\
-\begin{array}{ll}
-i=-\frac{3}{30L}\left(Pe_{\eta }-m_{\xi }^p\right)+\frac{6}{30}f_{\eta } & i{}'=\frac{3}{30L}\left(Pe_{\xi }-m_{\eta }^p\right)+\frac{6}{30}f_{\xi }
-\end{array}\\
-\begin{array}{ll}
-j=-\frac{1}{30L}\left(Pe_{\eta }-m_{\xi }^p\right) & j^'=\frac{1}{30L}\left(Pe_{\xi }-m_{\eta }^p\right)
-\end{array}\\
-\begin{array}{ll}
-k=\frac{36}{30L}\left(Pe_{\eta }-m_{\xi }^p\right)-\frac{33}{30}f_{\eta } & k^'=\frac{36}{30L}\left(Pe_{\xi }-m_{\eta }^p\right)-\frac{33}{30}f_{\xi }
-\end{array}\\
-\begin{array}{ll}
-w=\frac{4}{30L}\left(Pe_{\eta }-m_{\xi }^p\right)-\frac{3}{30}f_{\eta } & w^'=\frac{4}{30L}\left(Pe_{\xi }-m_{\eta }^p\right)-\frac{3}{30}f_{\xi }
-\end{array}\\
-\begin{array}{ll}
-s=\frac{3}{30L}\left(Pe_{\eta }-m_{\xi }^p\right)+\frac{3}{30}f_{\eta } & s^'=\frac{3}{30L}\left(Pe_{\xi }-m_{\eta }^p\right)+\frac{3}{30}f_{\xi }
-\end{array}\\
-\begin{array}{ll}
-t=-\frac{1}{30L}\left(Pe_{\eta }-m_{\xi }^p\right)+\frac{1}{30}f_{\eta } & t^'=-\frac{1}{30L}\left(Pe_{\xi }-m_{\eta }^p\right)+\frac{1}{30}f_{\xi }
-\end{array}
-\end{array}\\
-\begin{array}{l}
-\begin{array}{ll}
-m=\frac{36}{30L}{\overline{K}}^p+\frac{18}{30L}\left({\overline{K}}^q-{\overline{K}}^p\right) & z=\frac{4}{30L}{\overline{K}}^p+\frac{1}{30L}\left({\overline{K}}^q-{\overline{K}}^p\right)
-\end{array}\\
-\begin{array}{ll}
-n=\frac{3}{30L}{\overline{K}}^p+\frac{3}{30L}\left({\overline{K}}^q-{\overline{K}}^p\right) & p=-\frac{1}{30L}{\overline{K}}^p-\frac{1}{60L}\left({\overline{K}}^q-{\overline{K}}^p\right)
-\end{array}\\
-\begin{array}{ll}
-q=\frac{3}{30L}{\overline{K}}^p & r=\frac{4}{30L}{\overline{K}}^p+\frac{3}{30L}\left({\overline{K}}^q-{\overline{K}}^p\right)
-\end{array}
-\end{array}
-\end{array}</math>
-|}
-| style="width: 5px;text-align: right;white-space: nowrap;" | ( 20)
-|}
-===2.4. Fuerzas de empotramiento===
-En caso de tener cargas aplicadas dentro del elemento barra, debe calcularse su efecto equivalente en los nudos. Y la ecuación del comportamiento mecánico del elemento barra se modifica ligeramente [[#bib0230|[15]]] ; [[#bib0280|[25]]]  ;  [[#bib0305|[30]]] :
-{| class="formulaSCP" style="width: 100%; text-align: center;"
-|-
-|
-{| style="text-align: center; margin:auto;"
-|-
-| <math>\left\{F\right\}=K\cdot \left\{u\right\}+\left\{F_{emp}\right\}</math>
-|}
-| style="width: 5px;text-align: right;white-space: nowrap;" | ( 21)
-|}
-siendo ''F''<sub>''emp''</sub>  el vector de fuerzas de empotramiento del elemento.
-Por tanto, este vector de fuerzas de empotramiento se debe calcular sobre la base de su expresión en el PTV:
-{| class="formulaSCP" style="width: 100%; text-align: center;"
-|-
-|
-{| style="text-align: center; margin:auto;"
-|-
-| <math>\begin{array}{l}
-\mbox{ }\mbox{ }\left(P^p;P^q\right)=-{\int }_o^1q_{\varsigma }n_1\left(\beta \right)\cdot L\cdot d\beta \\
-\left(f_{\xi }^p,m_{\eta }^p/L;f_{\xi }^q,m_{\eta }^q/L\right)=-{\int }_o^1q_{\xi }n_3\left(\beta \right)\cdot L\cdot d\beta \\
-\left(f_{\eta }^p,m_{\xi }^p/L;f_{\eta }^q,m_{\xi }^q/L\right)=-{\int }_o^1q_{\eta }n_3\left(\beta \right)\cdot L\cdot d\beta
-\end{array}</math>
-|}
-| style="width: 5px;text-align: right;white-space: nowrap;" | ( 22)
-|}
-De hecho, si se particulariza para el caso más habitual de carga distribuida uniforme, se obtiene:
-{| class="formulaSCP" style="width: 100%; text-align: center;"
-|-
-|
-{| style="text-align: center; margin:auto;"
-|-
-| <math>\begin{array}{l}
-\mbox{ }\mbox{ }\left(P^p;P^q\right)=\left(-\frac{q_{\varsigma }L}{2};-\frac{q_{\varsigma }L}{2}\right)\\
-\left(f_{\xi }^p,m_{\eta }^p/L;f_{\xi }^q,m_{\eta }^q/L\right)=\left(-\frac{q_{\xi }L}{2};-\frac{q_{\xi }L}{12};-\frac{q_{\xi }L}{2};\frac{q_{\xi }L}{12}\right)\\
-\left(f_{\eta }^p,m_{\xi }^p/L;f_{\eta }^q,m_{\xi }^q/L\right)=\left(-\frac{q_{\eta }L}{2};-\frac{q_{\eta }L}{12};-\frac{q_{\eta }L}{2};\frac{q_{\eta }L}{12}\right)
-\end{array}</math>
-|}
-| style="width: 5px;text-align: right;white-space: nowrap;" | ( 23)
-|}
-===2.5. Ensamblaje de los elementos===
-Una vez determinado el comportamiento mecánico de cada elemento barra, dado por la ecuación (21), es necesario imponer las condiciones de equilibrio y de compatibilidad de desplazamientos en los nodos. Este proceso es conocido en la formulación del método directo de rigidez como la etapa de ensamblaje de la matriz de rigidez de la estructura y del vector de fuerzas [[#bib0235|[16]]] ; [[#bib0255|[20]]]  ;  [[#bib0265|[22]]] .
-Para llevar a cabo este proceso, un requisito previo es expresar la ecuación (21) en un sistema de referencia global <math display="inline">\left(x,y,z\right)</math> , común para todos los elementos barra que forman la estructura objeto de análisis. Es decir, se requiere un cambio de base 3D del sistema de ejes local al sistema global, para obtener para cada elemento la matriz de rigidez en las coordenadas globales:
-{| class="formulaSCP" style="width: 100%; text-align: center;"
-|-
-|
-{| style="text-align: center; margin:auto;"
-|-
-| <math>\left(K\right)_g=T^T\cdot K\cdot T</math>
-|}
-| style="width: 5px;text-align: right;white-space: nowrap;" | ( 24)
-|}
-siendo ''T  ''  la correspondiente matriz de transformación de coordenadas de locales a globales. El vector <math display="inline">F_{eqv}</math>  es el vector de fuerzas equivalentes en los nodos, que ya se ha expresado en el sistema global según la fórmula siguiente:
-{| class="formulaSCP" style="width: 100%; text-align: center;"
-|-
-|
-{| style="text-align: center; margin:auto;"
-|-
-| <math>F_{eqv}=-T^T\cdot F_{emp}</math>
-|}
-| style="width: 5px;text-align: right;white-space: nowrap;" | ( 25)
-|}
-A continuación, se lleva a cabo la fase de ensamblaje de la matriz de rigidez y del vector de fuerzas, y se llega a una expresión matricial que representa las ecuaciones de equilibrio en todos los nodos de la estructura, esto es:
-{| class="formulaSCP" style="width: 100%; text-align: center;"
-|-
-|
-{| style="text-align: center; margin:auto;"
-|-
-| <math>\left\{F_{est}\right\}+\left\{F_{eqv}\right\}=K_{est}\cdot \left\{u_{est}\right\}</math>
-|}
-| style="width: 5px;text-align: right;white-space: nowrap;" | ( 26)
-|}
-donde ''F''<sub>''est''</sub>  es el vector de fuerzas aplicadas en los nodos, <math display="inline">F_{eqv}</math>  es el vector de fuerzas equivalentes, ''K''<sub>''est''</sub>  es lo que se conoce como matriz de rigidez de la estructura y <math display="inline">\left\{u_{est}\right\}</math>  es el vector de desplazamientos en los nodos de la estructura.
-===2.6. Pandeo/Inestabilidad===
-Por último, en este trabajo interesa estimar los valores de las cargas críticas que pueden originar fenómenos de inestabilidad estructural asociados a deformaciones de flexión y/o torsión con respecto al centro de esfuerzos cortantes [[#bib0225|[14]]] ; [[#bib0235|[16]]] ; [[#bib0295|[28]]]  ;  [[#bib0155|[31]]] .
-Para llevar a cabo este cálculo, lo más inmediato es, en primer lugar, imponer en el sistema de ecuaciones (26) las condiciones de contorno en desplazamientos, giros y la posibilidad de alabeo de los nodos de la estructura que se pretende analizar.
-Por tanto, los valores críticos de carga son aquellos para los cuales la rigidez de la estructura se reduce al valor nulo, esto es:
-{| class="formulaSCP" style="width: 100%; text-align: center;"
-|-
-|
-{| style="text-align: center; margin:auto;"
-|-
-| <math>\left|K_{est}^\ast \left(\lambda \right)\right|=0\Rightarrow {\lambda }_{cri}</math>
-|}
-| style="width: 5px;text-align: right;white-space: nowrap;" | ( 27)
-|}
-siendo ''λ  ''  el factor de carga proporcional, un coeficiente por el cual se multiplica a todas las cargas que solicitan la estructura, y <math display="inline">K_{est}^\ast \left(\lambda \right)</math>  es la matriz de rigidez de la estructura tras la imposición de las condiciones de contorno en los desplazamientos.
-==3. Resultados y discusión==
-A continuación, se presentan varios ejemplos de aplicación de la metodología expuesta en el apartado anterior.
-Para todos los cálculos, los datos son: longitud <math display="inline">\left(L=4m\right)</math> , sección de tipo doble-T <math display="inline">\left(h=300mm,b=150mm,e_1=10.7mm,e=7.1mm\right)</math> , que corresponde al perfil comercial IPE300 (véase la [[#fig0010|fig. 2]] ), y el acero como material <math display="inline">\left(E=2.1\cdot {10}^{11}Pa,\nu =0.3,{\sigma }_y=\right. </math><math>\left. 275MPa\right)</math> .
 <span id='fig0010'></span>
@@ Line 624: / Line 87: @@
-[[Image:draft_Content_117447000-1-s2.0-S0213131515000632-gr2.jpg|center|192px|Perfil laminado de la serie IPE.]]
+[[Image:draft_Content_117447000-1-s2.0-S0213131516000080-gr2.jpg|center|141px|Abolladura del ala.]]
@@ Line 632: / Line 95: @@
 Figura 2.
-Perfil laminado de la serie IPE.
+Abolladura del ala.
 </span>
 |}
-===3.1. Pandeo con deformaciones de flexión y/o torsión===
+A modo de comprobación, se ha resuelto el problema con el programa comercial de elementos finitos Simulation Mechanical 2015 de Autodesk (abreviado ASM), para ello se ha mallado el pilar completo con elementos placa (plate del software indicado), se ha empleado un total de 1218 elementos y se ha obtenido un valor crítico del factor de carga de <math display="inline">{\lambda }_{cr,2}^{ASM}=11.45</math>  para el fenómeno de inestabilidad por abolladura del ala.
+===3.2. Ejemplo 2. Abolladura del alma por cortadura===
-El ejemplo consiste en una viga biapoyada, sometida en sus secciones extremas a una carga de compresión centrada de valor ''P''  ( [[#fig0015|fig. 3]] ). Los apoyos son ambos de tipo horquilla, es decir, tales que se impide el giro longitudinal, mientras que se permite el libre alabeo de la sección.
+El segundo ejemplo corresponde a un pilar empotrado-libre sometido a una carga transversal puntual de valor ''P''<sub>0</sub>  = 10<sup>5</sup>  ''N''  en su extremo libre. Del análisis lineal se obtiene un desplazamiento máximo de valor ''δ''<sub>''MAX''</sub>  = 0.122 ''m''  (se emplean 16 elementos) y del análisis de estabilidad global se obtiene un valor crítico del factor de carga de ''λ''<sub>''cr'' ,1                            </sub>  = 1.40, que corresponde al nivel de carga que provoca el pandeo con deformaciones de flexión y/o torsión. Ahora, se malla el pilar con elementos tipo placa (16x4, 16 elementos placa en dirección longitudinal por 4 en dirección transversal y por pared del perfil, en total 192 elementos placa) y se lleva a cabo un análisis lineal del modelo placa para determinar los esfuerzos. A continuación, tras el análisis de estabilidad, se estima que el nivel de carga que puede producir inestabilidad local es de ''λ''<sub>''cr'' ,2                            </sub>  = 3.41 y corresponde a la abolladura del alma (véase la [[#fig0015|fig. 3]] ).
 <span id='fig0015'></span>
@@ Line 648: / Line 113: @@
-[[Image:draft_Content_117447000-1-s2.0-S0213131515000632-gr3.jpg|center|372px|Viga biapoyada, sometida a compresión.]]
+[[Image:draft_Content_117447000-1-s2.0-S0213131516000080-gr3.jpg|center|131px|Abolladura del alma.]]
@@ Line 656: / Line 121: @@
 Figura 3.
-Viga biapoyada, sometida a compresión.
+Abolladura del alma.
 </span>
 |}
-La [[#tbl0005|tabla 1]]  indica el primer valor crítico de la carga. Para este tipo de perfil, una sección con doble simetría, el valor teórico ''P''<sub>1</sub>  se corresponde con la conocida fórmula de Euler y equivale al fenómeno de inestabilidad por flexión en el plano débil del perfil. En dicha tabla, también se indican los resultados obtenidos con la formulación de este trabajo (columna de la derecha), donde <math display="inline">\left(n\right)</math>  indica el número de elementos que se han considerado.
+De nuevo, y a modo de comprobación, se ha resuelto el problema con el programa ASM (se ha empleado un total de 1218 elementos) y se ha obtenido un valor crítico del factor de carga de <math display="inline">{\lambda }_{cr,2}^{ASM}=3.42</math>  para el fenómeno de inestabilidad por abolladura del alma.
-<span id='tbl0005'></span>
+===3.3. Ejemplo 3. Pórtico espacial===
-{| class="wikitable" style="min-width: 60%;margin-left: auto; margin-right: auto;"
+Como ejemplo de aplicación se resuelve una estructura espacial de barras tipo pórtico 3D ([[#fig0020|fig. 4]] ). Las cargas aplicadas se suponen concentradas de valor (P). Se asume que todas las barras tienen la misma longitud (L), las bases de los pilares están perfectamente empotradas y todos los nudos son rígidos. Todas las barras son de perfil tipo IPE300 y su disposición espacial es la que se indica.
-|+
-Tabla 1.
-Pandeo por flexión en el plano débil (plano ''ς''  − ''ξ'' )
-|-
-| rowspan="6" | <math display="inline">P_1={\left(\frac{\pi }{L}\right)}^2E\cdot I_{\eta }=</math><math>782413.0</math>
-| n
-| ''P''<sub>1</sub> (''N'' )
-|-
-! 2
-| 788980,0
-|-
-! 4
-| 782814,0
-|-
-! 8
-| 782439,0
-|-
-! 16
-| 782415,0
-|-
-! 20
-| 782414,0
-|}
-La [[#tbl0010|tabla 2]]  indica el valor crítico de la carga ''P''<sub>2</sub> , asociado al fenómeno de inestabilidad por torsión alrededor del centro de esfuerzos cortantes del perfil. El valor teórico se indica en la tabla y coincide con el que se obtiene en este trabajo para al menos dieciséis elementos barra.
-<span id='tbl0010'></span>
-{| class="wikitable" style="min-width: 60%;margin-left: auto; margin-right: auto;"
-|+
-Tabla 2.
-Pandeo por torsión
-|-
-| rowspan="6" | <math display="inline">P_2=\left(GK_T+{\left(\frac{\pi }{L}\right)}^2E\cdot I_{\omega }\right)\frac{A}{\left(I_{\xi }+I_{\eta }\right)}=</math><math>1.95319\cdot {10}^6</math>
-| n
-| ''P''<sub>2</sub> (''N'' )
-|-
-! 2
-| 1.96056 · 10<sup>6</sup>
-|-
-! 4
-| 1.95369 · 10<sup>6</sup>
-|-
-! 8
-| 1.95322 · 10<sup>6</sup>
-|-
-! 16
-| 1.95319 · 10<sup>6</sup>
-|-
-! 20
-| 1.95319 · 10<sup>6</sup>
-|}
-Por último, por su interés teórico-práctico, se incluye el valor de la carga crítica ''P''<sub>6</sub>  asociado al fenómeno de inestabilidad por flexión en el plano fuerte del perfil ([[#tbl0015|tabla 3]] ). Se comprueba que, puesto que el problema de inestabilidad es no lineal, si se emplea un número suficiente de elementos de tipo barra se obtiene con precisión la solución exacta, según la expresión teórica de Euler.
-<span id='tbl0015'></span>
-{| class="wikitable" style="min-width: 60%;margin-left: auto; margin-right: auto;"
-|+
-Tabla 3.
-Pandeo por flexión en el plano fuerte (plano ''ς''  − ''η'' )
-|-
-| rowspan="6" | <math display="inline">P_6={\left(\frac{\pi }{L}\right)}^2E\cdot I_{\xi }=</math><math>1.08294\cdot {10}^7</math>
-| n
-| ''P''<sub>6</sub> (''N'' )
-|-
-! 2
-| 1.02045 · 10<sup>7</sup>
-|-
-! 4
-| 1.00772 · 10<sup>7</sup>
-|-
-! 8
-| 1.08298 · 10<sup>7</sup>
-|-
-! 16
-| 1.08294 · 10<sup>7</sup>
-|-
-! 20
-| 1.08294 · 10<sup>7</sup>
-|}
-===3.2. Pandeo lateral o vuelco===
-Este segundo ejemplo corresponde al problema de una viga biapoyada solicitada por cargas de flexión en el plano vertical, momentos concentrados en las secciones extremas de la barra ([[#fig0020|fig. 4]] ) o carga distribuida uniforme ([[#fig0025|fig. 5]] ) a lo largo de todo el elemento. De nuevo, se considera que ambos apoyos son de tipo horquilla.
 <span id='fig0020'></span>
@@ Line 786: / Line 139: @@
-[[Image:draft_Content_117447000-1-s2.0-S0213131515000632-gr4.jpg|center|372px|Viga biapoyada. Momentos puntuales en los extremos.]]
+[[Image:draft_Content_117447000-1-s2.0-S0213131516000080-gr4.jpg|center|301px|Pórtico 3D.]]
@@ Line 794: / Line 147: @@
 Figura 4.
-Viga biapoyada. Momentos puntuales en los extremos.
+Pórtico 3D.
 </span>
 |}
+Para resolver este problema lo primero que se lleva a cabo es un análisis lineal de la estructura, modelo de barras (se emplean 16 elementos/barra), mediante MDR y se obtienen los grados de libertad de la estructura, desplazamientos y giros desconocidos en los nudos. Para el valor nominal de carga <math display="inline">\left(P_0={10}^5\mbox{ }N;\mbox{ }\lambda =1\right)</math>  se obtiene un desplazamiento máximo de valor ''δ''<sub>''MAX''</sub>  = 0.0219 ''m'' .
+En segundo lugar, se realiza un análisis de inestabilidad del modelo de barras para calcular el factor de carga crítico de pandeo global ''λ''<sub>''cr'' ,1                            </sub>  = 2.08 y determinar la correspondiente carga crítica.
+A continuación, se pasa del modelo de barras al modelo de placas para analizar el pilar más solicitado. Para ello, se trasladan los resultados del modelo de barras obtenidos en el primer análisis como condiciones de contorno en desplazamientos del modelo de placa. Con el modelo placa se hace un análisis lineal para obtener los esfuerzos de placa y después un análisis de inestabilidad para estimar las cargas críticas asociadas al pandeo local. Se emplea una malla de 16x4 elementos placa por pared del pilar analizado (las dos alas y el alma), por lo tanto se emplean 16 elementos placa en dirección longitudinal por 4 en dirección transversal y por pared del perfil, en total 192 elementos placa. Se estima un valor crítico del factor de carga de ''λ''<sub>''cr'' ,2                            </sub>  = 10.78 para el fenómeno de abolladura del alma del pilar analizado.
+También para este ejemplo de aplicación se ha querido contrastar los resultados con los obtenidos con software ASM de elementos finitos. Para ello se ha mallado toda la estructura con elementos placa (se emplean un total de 9476 elementos) y el programa estima que la abolladura del alma del pilar más solicitado (véase la [[#fig0025|fig. 5]] ) se produce para un valor del factor de carga de <math display="inline">{\lambda }_{cr,2}^{ASM}=10.83</math> , valor muy próximo al estimado con la metodología de este trabajo.
 <span id='fig0025'></span>
@@ Line 806: / Line 167: @@
-[[Image:draft_Content_117447000-1-s2.0-S0213131515000632-gr5.jpg|center|357px|Viga biapoyada. Carga distribuida uniforme.]]
+[[Image:draft_Content_117447000-1-s2.0-S0213131516000080-gr5.jpg|center|282px|Pórtico 3D. Abolladura del alma.(asociado al valor crítico del factor de carga ...]]
@@ Line 814: / Line 175: @@
 Figura 5.
-Viga biapoyada. Carga distribuida uniforme.
+Pórtico 3D. Abolladura del alma.
+(asociado al valor crítico del factor de carga ''λ''<sub>''cr'' ,2                                                </sub>  = 10.83).
 </span>
 |}
-La [[#tbl0020|tabla 4]]  indica el valor del momento crítico de vuelco tanto teórico como estimado con la metodología de este trabajo para el caso de la [[#fig0020|figura 4]] . Se comprueba que los resultados tienen precisión suficiente, desde el punto de vista práctico, incluso empleando un número bajo de elementos por barra, por ejemplo 4. Y que, si se aumenta el número, se obtiene la solución teórica exacta, concretamente si se emplean 16 elementos barra.
+Por lo tanto, para el pórtico 3D analizado se comprueba que la metodología de este trabajo permite contar con una herramienta útil para la comprobación del fenómeno de inestabilidad local que corresponde a la posibilidad de abolladura del alma del pilar más solicitado.
-<span id='tbl0020'></span>
+==4. Conclusiones==
-{| class="wikitable" style="min-width: 60%;margin-left: auto; margin-right: auto;"
+La principal conclusión consiste en que este trabajo permite analizar un fenómeno de inestabilidad tan complejo como es la abolladura de este tipo de perfiles mediante una metodología sencilla, con mínimos requerimientos computacionales disponibles en cualquier oficina técnica.
-|+
-Tabla 4.
+Por lo tanto, es suficiente discretizar la estructura mediante elementos barra 1 D y emplear un sencillo método matricial (MDR) para resolver la estructura y posteriormente, en la siguiente etapa del análisis, calcular y comprobar la inestabilidad local de los elementos estructurales aisaldos mediante la metodología expuesta en este trabajo.
-Viga biapoyada. Momentos puntuales en los extremos
+==Anexo. Formulación de placa delgada==
-|-
+Para el análisis del fenómeno de abolladura, se emplea la teoría de placas delgadas (de Kirchhoff) con posibilidad de grandes desplazamientos [[#bib0215|[17]]] . La hipótesis fundamental de dicha teoría consiste en despreciar los efectos de las deformaciones transversales en base al pequeño espesor de la placa.
-| rowspan="5" | <math display="inline">\begin{array}{l}
+En base a esta hipótesis, se pueden expresar los desplazamientos de cualquier punto material de la placa como sigue:
-M_{cri}=\frac{\pi }{L}\sqrt{EI_{\eta }\left(GK_T+{\left(\frac{\pi }{L}\right)}^2EI_{\omega }\right)}\\
-M_{cri}=159570.0
-\end{array}</math>
-| n
-| ''M''<sub>''cri''</sub> (''N''  · ''m'' )
-|-
-! 2
+{| class="formulaSCP" style="width: 100%; text-align: center;"
-| 160470.0
 |-
+|
-! 4
+{| style="text-align: center; margin:auto;"
-| 159631.0
 |-
+| <math>\underline{u}=\left(\begin{array}{c}
-! 8
+u\\
-| 159574.0
+v\\
-|-
+w
+\end{array}\right)-z\left(\begin{array}{c}
-! 16
+{\theta }_x\\
-| 159570.0
+{\theta }_y\\
+\end{array}\right)</math>
 |}
+| style="width: 5px;text-align: right;white-space: nowrap;" | ( 1)
-Pandeo por flexión en el plano débil (plano ''ς''  − ''ξ'' ) y torsión).
-A continuación, se muestran los resultados para el caso de carga distribuida ([[#fig0025|figura 5]] , v. [[#tbl0025|tabla 5]] ). En dicha tabla, se incluyen los valores críticos de la carga distribuida que originan el fenómeno de la inestabilidad, con deformaciones de flexión en el plano débil del perfil junto con torsión alrededor del centro de esfuerzos cortantes.
-<span id='tbl0025'></span>
-{| class="wikitable" style="min-width: 60%;margin-left: auto; margin-right: auto;"
-|+
-Tabla 5.
-Viga biapoyada. Carga distribuida uniforme
-|-
-! n
-! ''q''<sub>''cri''</sub> (''N'' /''m'' )
-|-
-! 2
-| 109.298,0
-|-
-! 4
-| 94.735,8
-|-
-! 8
-| 91.330,6
-|-
-! 16
-| 90.528,7
-|-
-! 20
-| 90.433,8
 |}
-Pandeo por flexión en el plano débil (plano ''ς''  − ''ξ'' ) y torsión)
+De tal forma que las deformaciones de Green-Lagrange no nulas del modelo de placas son:
-===3.3. Pandeo combinado / Pandeo 3D===
+{| class="formulaSCP" style="width: 100%; text-align: center;"
-Este caso reproduce el problema anterior con una carga adicional (P) de tracción o de compresión. Se consideran, de nuevo, los casos de momentos puntuales ([[#fig0030|fig. 6]] ) y carga distribuida ([[#fig0035|fig. 7]] ).
-<span id='fig0030'></span>
-{| style="text-align: center; border: 1px solid #BBB; margin: 1em auto; max-width: 100%;"
 |-
 |
+{| style="text-align: center; margin:auto;"
-[[Image:draft_Content_117447000-1-s2.0-S0213131515000632-gr6.jpg|center|372px|Viga biapoyada. Cargas (M, P).]]
 |-
-| <span style="text-align: center; font-size: 75%;">
+| <math>\left(\begin{array}{c}
+E_{xx}\\
-Figura 6.
+E_{yy}\\
+E_{xy}
-Viga biapoyada. Cargas (M, P).
+\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}
+u,_x+\frac{1}{2}{\left(w,_x\right)}^2\\
-</span>
+v,_y+\frac{1}{2}{\left(w,_y\right)}^2\\
+u,_y+v,_x+w,_xw,_y
+\end{array}\right)-z\left(\begin{array}{c}
+w,_{xx}\\
+w,_{yy}\\
+w,_{xy}
+\end{array}\right)=E^p-z\cdot K^b</math>
 |}
+| style="width: 5px;text-align: right;white-space: nowrap;" | ( 2)
-<span id='fig0035'></span>
-{| style="text-align: center; border: 1px solid #BBB; margin: 1em auto; max-width: 100%;"
-|-
-|
-[[Image:draft_Content_117447000-1-s2.0-S0213131515000632-gr7.jpg|center|372px|Viga biapoyada. Cargas (q, P).]]
-|-
-| <span style="text-align: center; font-size: 75%;">
-Figura 7.
-Viga biapoyada. Cargas (q, P).
-</span>
 |}
-En las [[#tbl0030|Tabla 6]]  ;  [[#tbl0035|Tabla 7]] , se muestran los resultados estimados del momento crítico de vuelco para los casos de momentos concentrados en los extremos de la barra y carga adicional de tracción ([[#tbl0030|tabla 6]] ) o de compresión ([[#tbl0035|tabla 7]] ). Si comparamos estos valores con los obtenidos en el ejemplo anterior (v. [[#tbl0020|tabla 4]] ), se comprueba que una carga adicional de compresión ayuda a que el fenómeno de pandeo ocurra antes, es decir, a un nivel de carga menor y que, en cambio, un axil de tracción rigidiza la barra y aumenta el valor del momento flector necesario para que pueda originarse el fenómeno de inestabilidad.
+donde ''E''<sup>''p''</sup>  son las deformaciones de membrana en el plano y ''K''<sup>''b''</sup>  representa los cambios de curvatura por flexión.
-<span id='tbl0030'></span>
+==Matriz de rigidez tangente==
-{| class="wikitable" style="min-width: 60%;margin-left: auto; margin-right: auto;"
+La expresión de interés de la matriz de rigidez tangente se indica a continuación ([[#fig0030|fig. 6]] ):
-|+
-Tabla 6.
-Viga biapoyada. Cargas (M, P) de tracción
+{| class="formulaSCP" style="width: 100%; text-align: center;"
 |-
+|
-| rowspan="6" | ''P''  = +1.0 · 10<sup>5</sup>''N''
+{| style="text-align: center; margin:auto;"
-| n
-| ''M''<sub>''cri''</sub> (''N''  · ''m'' )
 |-
+| <math>{\left(K_T\right)}_{\alpha \beta }=\left(\begin{array}{cc}
-! 2
+{\left(K_M^p\right)}_{\alpha \beta } & {\left(K_M^L\right)}_{\alpha \beta }\\
-| 174.635,0
+{\left(K_M^L\right)}_{\alpha \beta }^T & {\left(K_M^b+K_G^L\right)}_{\alpha \beta }
-|-
+\end{array}\right);\mbox{ }\alpha ,\beta =1\ldots 4</math>
-! 4
-| 173.805,0
-|-
-! 8
-| 173.748,0
-|-
-! 16
-| 173.745,0
-|-
-! 20
-| 173.744,0
 |}
+| style="width: 5px;text-align: right;white-space: nowrap;" | ( 3)
-<span id='tbl0035'></span>
-{| class="wikitable" style="min-width: 60%;margin-left: auto; margin-right: auto;"
-|+
-Tabla 7.
-Viga biapoyada. Cargas (M, P) de compresión
-|-
-| rowspan="6" | ''P''  = −1.0 · 10<sup>5</sup>''N''
-| n
-| ''M''<sub>''cri''</sub> (''N''  · ''m'' )
-|-
-! 2
-| 146.073,0
-|-
-! 4
-| 145.221,0
-|-
-! 8
-| 145.163,0
-|-
-! 16
-| 145.159,0
-|-
-! 20
-| 145.159,0
 |}
-Como es lógico, la conclusión es exactamente la misma en el caso de la carga distribuida uniforme. Para ello, se pueden comparar los resultados de las [[#tbl0040|Tabla 8]]  ;  [[#tbl0045|Tabla 9]]  (tracción y compresión, respectivamente) con el caso sin esfuerzo axil adicional (v. [[#tbl0025|tabla 5]] ).
+donde cada submatriz tiene por expresión:
-<span id='tbl0040'></span>
-{| class="wikitable" style="min-width: 60%;margin-left: auto; margin-right: auto;"
-|+
-Tabla 8.
-Viga biapoyada. Cargas (q, P) de tracción
+{| class="formulaSCP" style="width: 100%; text-align: center;"
 |-
+|
-| rowspan="6" | ''P''  = +1.0 · 10<sup>5</sup>''N''
+{| style="text-align: center; margin:auto;"
-| n
-| ''q''<sub>''cri''</sub> (''N'' /''m'' )
 |-
+| <math>\begin{array}{c}
-! 2
+{\left(K_M^p\right)}_{\alpha \beta }=ab{\int }_{-1}^1{\int }_{-1}^1{\left(B_{\alpha }^p\right)}^TD^pB_{\beta }^pd\xi d\eta ;\mbox{ }\mbox{ }\alpha ,\beta =1\ldots 4\\
-| 118.599,0
+\begin{array}{c}
-|-
+{\left(K_M^b\right)}_{\alpha \beta }=ab{\int }_{-1}^1{\int }_{-1}^1{\left(B_{\alpha }^b\right)}^TD^bB_{\beta }^bd\xi d\eta ;\mbox{ }\alpha ,\beta =1\ldots 4\\
+{\left(K_M^L\right)}_{\alpha \beta }=ab{\int }_{-1}^1{\int }_{-1}^1{\left(B_{\alpha }^p\right)}^TD^pB_{\beta }^Ld\xi d\eta ;\mbox{ }\mbox{ }\alpha ,\beta =1\ldots 4
-! 4
+\end{array}\\
-| 102.948,0
+{\left(K_G^L\right)}_{\alpha \beta }=ab{\int }_{-1}^1{\int }_{-1}^1G_{\alpha }^T\left(\begin{array}{cc}
-|-
+T_x & T_{xy}\\
+T_{xy} & T_y
-! 8
+\end{array}\right)G_{\beta }d\xi d\eta ;\mbox{ }\mbox{ }\alpha ,\beta =1\ldots 4
-| 99.254,5
+\end{array}</math>
-|-
+|}
+| style="width: 5px;text-align: right;white-space: nowrap;" | ( 4)
-! 16
-| 98.385,9
-|-
-! 20
-| 98.283,2
 |}
-<span id='tbl0045'></span>
+y se define como:
-{| class="wikitable" style="min-width: 60%;margin-left: auto; margin-right: auto;"
-|+
-Tabla 9.
-Viga biapoyada. Cargas (q, P) de compresión
+{| class="formulaSCP" style="width: 100%; text-align: center;"
 |-
+|
-| rowspan="6" | ''P''  = −1.0 · 10<sup>5</sup>''N''
+{| style="text-align: center; margin:auto;"
-| n
-| ''q''<sub>''cri''</sub> (''N'' /''m'' )
 |-
+| <math>\begin{array}{c}
-! 2
+D^p=\frac{E\cdot t}{1-{\nu }^2}\left(\begin{array}{ccc}
-| 99.790,2
+& \nu  & 0\\
-|-
+\nu  & 1 & 0\\
+& 0 & \frac{\left(1-\nu \right)}{2}
-! 4
+\end{array}\right)\mbox{ }D^b=\frac{t^2}{12}D^p\\
-| 86.355,1
+B_{\alpha }=\left(\begin{array}{cc}
-|-
+\frac{1}{a}N_{\alpha ,\xi } & 0\\
+& \frac{1}{b}N_{\alpha ,\eta }\\
-! 8
+\frac{1}{b}N_{\alpha ,\eta } & \frac{1}{a}N_{\alpha ,\xi }
-| 83.244,5
+\end{array}\right)\mbox{ }B_{\alpha }^L=\left(\begin{array}{cc}
-|-
+\frac{1}{a}w,_{\xi } & 0\\
+& \frac{1}{b}w,_{\eta }\\
-! 16
+\frac{1}{b}w,_{\eta } & \frac{1}{a}w,_{\xi }
-| 82.511,3
+\end{array}\right)G_{\alpha }\\
-|-
+G_{\alpha }=\left(\begin{array}{ccc}
+N_{\alpha ,x}^w & N_{\alpha ,x}^{{\theta }_x} & N_{\alpha ,x}^{{\theta }_y}\\
-! 20
+N_{\alpha ,y}^w & N_{\alpha ,y}^{{\theta }_x} & N_{\alpha ,y}^{{\theta }_y}
-| 82.424,6
+\end{array}\right)=\left(\begin{array}{ccc}
+\frac{1}{a}N_{\alpha ,\xi }^w & \frac{1}{a}N_{\alpha ,\xi }^{{\theta }_x} & \frac{1}{a}N_{\alpha ,\xi }^{{\theta }_y}\\
+\frac{1}{b}N_{\alpha ,\eta }^w & \frac{1}{b}N_{\alpha ,\eta }^{{\theta }_x} & \frac{1}{b}N_{\alpha ,\eta }^{{\theta }_y}
+\end{array}\right)
+\end{array}</math>
 |}
+| style="width: 5px;text-align: right;white-space: nowrap;" | ( 5)
-===3.4. Inestabilidad de una estructura espacial===
-Como último ejemplo, se ha elegido resolver una estructura espacial de barras de tipo pórtico 3D. El sistema de barras que se quiere analizar se ilustra en las [[#fig0040|Figura 8]]  ;  [[#fig0045|Figura 9]] . Son casos de cargas puntuales y de carga distribuida uniforme, respectivamente. Se supone que todas las barras tienen la misma longitud (L), que las bases de los pilares están perfectamente empotradas y que todos los nudos son rígidos. Todas las barras son de perfil de tipo IPE300 y su disposición espacial es la que se indica (v. [[#fig0040|Figura 8]]  ;  [[#fig0045|Figura 9]] ).
-<span id='fig0040'></span>
-{| style="text-align: center; border: 1px solid #BBB; margin: 1em auto; max-width: 100%;"
-|-
-|
-[[Image:draft_Content_117447000-1-s2.0-S0213131515000632-gr8.jpg|center|372px|Pórtico 3D. Cargas puntuales.]]
-|-
-| <span style="text-align: center; font-size: 75%;">
-Figura 8.
-Pórtico 3D. Cargas puntuales.
-</span>
 |}
-<span id='fig0045'></span>
+<span id='fig0030'></span>
 {| style="text-align: center; border: 1px solid #BBB; margin: 1em auto; max-width: 100%;"
@@ Line 1,120: / Line 320: @@
-[[Image:draft_Content_117447000-1-s2.0-S0213131515000632-gr9.jpg|center|372px|Pórtico 3D. Carga distribuida uniforme.]]
+[[Image:draft_Content_117447000-1-s2.0-S0213131516000080-gr6.jpg|center|338px|Elemento placa normalizado (4 nodos, 5 grados de libertad/nodo).]]
@@ Line 1,126: / Line 326: @@
 | <span style="text-align: center; font-size: 75%;">
-Figura 9.
+Figura 6.
-Pórtico 3D. Carga distribuida uniforme.
+Elemento placa normalizado (4 nodos, 5 grados de libertad/nodo).
 </span>
 |}
-Para el caso del pórtico con cargas puntuales ([[#fig0040|fig. 8]] ), los resultados de la carga crítica de pandeo estimada se muestran en la [[#tbl0050|tabla 10]] . Se comprueba que, debido a la no linealidad del problema, es necesario emplear un número elevado de elementos por barra de la estructura.
+Es importante indicar que el término <math display="inline">B_{\alpha }^L</math>  supone un acoplamiento entre el comportamiento de membrana y de flexión de la placa, debido a la no linealidad geométrica del problema planteado.
-<span id='tbl0050'></span>
+Por último, se definen los esfuerzos de placa, fuerzas de membrana (''T''<sup>''p''</sup> ) y momentos flectores (''M''<sup>''b''</sup> ):
-{| class="wikitable" style="min-width: 60%;margin-left: auto; margin-right: auto;"
-|+
-Tabla 10.
-Pórtico 3D. Cargas puntuales. Carga crítica de pandeo
+{| class="formulaSCP" style="width: 100%; text-align: center;"
 |-
+|
-! n
+{| style="text-align: center; margin:auto;"
-! ''P''<sub>''cri''</sub> (''N'' )
 |-
+| <math>T^p=\left(\begin{array}{c}
-! 2
+T_x\\
-| 379.356,0
+T_y\\
-|-
+T_{xy}
+\end{array}\right)={\int }_{-\frac{t}{2}}^{\frac{t}{2}}\sigma \cdot dz=</math><math>{\int }_{-\frac{t}{2}}^{\frac{t}{2}}\left(\begin{array}{c}
-! 4
+{\sigma }_{xx}\\
-| 417.295,0
+{\sigma }_{yy}\\
-|-
+{\sigma }_{xy}
+\end{array}\right)dz</math>
-! 8
+|}
-| 511.979,0
+| style="width: 5px;text-align: right;white-space: nowrap;" | ( 6)
-|-
-! 16
-| 550.498,0
-|-
-! 20
-| 555.725,0
 |}
-En este último ejemplo y caso de carga (v. [[#tbl0055|tabla 11]] ), se confirma que, desde el punto de vista práctico del análisis de estructuras reales, los resultados se obtienen con precisión numérica suficiente y del lado de la seguridad utilizando discretizaciones del conjunto de cuatro elementos por barra de la estructura en 3D.
+{| class="formulaSCP" style="width: 100%; text-align: center;"
-<span id='tbl0055'></span>
-{| class="wikitable" style="min-width: 60%;margin-left: auto; margin-right: auto;"
-|+
-Tabla 11.
-Pórtico 3D. Carga distribuida uniforme. Carga crítica de pandeo
 |-
+|
-! n
+{| style="text-align: center; margin:auto;"
-! ''q''<sub>''cri''</sub> (''N'' /''m'' )
 |-
+| <math>M^b=\left(\begin{array}{c}
-! 2
+M_{xx}\\
-| 30.626,4
+M_{yy}\\
-|-
+M_{xy}
+\end{array}\right)=-{\int }_{-\frac{t}{2}}^{\frac{t}{2}}\sigma \cdot z\cdot dz=</math><math>-{\int }_{-\frac{t}{2}}^{\frac{t}{2}}\left(\begin{array}{c}
-! 4
+{\sigma }_{xx}\\
-| 42.512,4
+{\sigma }_{yy}\\
-|-
+{\sigma }_{xy}
+\end{array}\right)\cdot z\cdot dz</math>
-! 8
+|}
-| 47.688,4
+| style="width: 5px;text-align: right;white-space: nowrap;" | ( 7)
-|-
-! 16
-| 49.733,9
-|-
-! 20
-| 50.052,0
 |}
-==4. Conclusiones==
+donde ''t''  es el espesor de la placa.
-En este trabajo, se resume la metodología de análisis no lineal de estructuras espaciales de barras que permite resolver problemas de inestabilidad con deformaciones de flexión y/o torsión, así como calcular el momento crítico de vuelco para cualquier caso de carga y condiciones de sustentación, y combinaciones de las situaciones anteriores, que es lo que durante el desarrollo del trabajo se ha decidido denominar ''pandeo combinado''  o ''pandeo 3D'' .
-Asimismo, se da la posibilidad de aplicar esta metodología al estudio de las inestabilidades de sistemas espaciales de barras que se deforman según el modelo general de tracción/compresión-flexión-torsión. Dicha estructura 3D será susceptible de pandear por la combinación de deformaciones de flexión según ambos planos y de torsión respecto del centro de esfuerzos cortantes de la sección.
-Se observa la importancia de incluir efectos como las deformaciones a cortante y torsión y el alabeo en la formulación de la barra, sobre todo este último, para el análisis del pandeo lateral en perfiles con baja rigidez torsional, como es el caso de los perfiles abiertos de pared delgada. En muchas ocasiones, los momentos o cargas críticas hallados al considerar el fenómeno del alabeo son muy inferiores a los obtenidos en aquellos casos en que no se ha considerado dicho fenómeno. Por ello, es importante utilizar un modelo de barra que tenga en cuenta este efecto para el análisis del pandeo lateral.
-Este trabajo posibilita la realización de nuevas curvas de pandeo para una mayor cantidad de perfiles, condiciones de apoyo y tipos de carga. Puede ser de ayuda para el proyectista la realización de estas curvas, que proporcionan el agotamiento por la aparición de inestabilidad y que, por otros medios, analíticos o experimentales, sería imposible o muy costoso obtener. Además de las curvas de pandeo lateral, también se pueden realizar análisis de pandeo por flexión, torsión, flexotorsión, etc. El único efecto que no podría analizarse por este método sería la abolladura de partes del perfil, aunque este estudio también podría realizarse mediante una discretización del perfil por medio de elementos de tipo lámina.
-Por tanto, los problemas que este trabajo permiten resolver van más allá de los casos particulares recogidos en la normativa vigente, que solo considera el estudio de elementos estructurales aislados.
 ==Referencias==
-<ol style='list-style-type: none;margin-left: 0px;'><li><span id='bib0160'></span>
+<ol style='list-style-type: none;margin-left: 0px;'><li><span id='bib0135'></span>
-[[#bib0160|[1]]] M. Cacho-Pérez, A. Lorenzana; Cálculo directo de la carga crítica de pandeo de pórticos. Parte II; Rev. Int. Mét. Num. Cálc. Dise. Ing., 26 (2010), pp. 31–38</li>
+[[#bib0135|[1]]] M. Cacho-Pérez, A. Lorenzana; Cálculo directo de la carga crítica de pandeo de pórticos. Parte II; Rev. Int. Mét. Num. Cálc. Dise. Ing., 26 (2010), pp. 31–38</li>
+<li><span id='bib0140'></span>
+[[#bib0140|[2]]] W.F. Chen, T. Atsuta; Theory of beam-columns. Volume 1: in-plane behaviour and design; J. Ross Pub Inc (2007)</li>
+<li><span id='bib0145'></span>
+[[#bib0145|[3]]] A. Lorenzana, M. Cacho-Pérez; Cálculo directo de la carga crítica de pandeo de pórticos; Parte I. Rev. Int. Mét. Num. Cálc. Dise. Ing., 25 (3) (2009), pp. 247–258</li>
+<li><span id='bib0150'></span>
+[[#bib0150|[4]]] M.A. Ortega, J.L. Romero,  Rosa.F E.; A historical study of the problem of straight prismatic elements subjected to compression; Informes de la Construcción, 59 (507) (1997), pp. 69–81</li>
+<li><span id='bib0155'></span>
+[[#bib0155|[5]]] M. Cacho-Pérez, A. Lorenzana; Optimización global de pórticos 2 D con barras de sección variable; DYNA, 85 (8) (2010), pp. 667–675</li>
+<li><span id='bib0160'></span>
+[[#bib0160|[6]]] W.F. Chen, T. Atsuta; Theory of beam-columns. Volume 2: space behaviour and design; J. Ross Pub Inc (2007)</li>
 <li><span id='bib0165'></span>
-[[#bib0165|[2]]] W.F. Chen, T. Atsuta; Theory of beam-columns. Volume 1: in-plane behaviour and design; J. Ross Pub Inc (2007)</li>
+[[#bib0165|[7]]] Z. Lei, T.G. Shu; Lateral buckling of web-tapered I-beams: A new theory; J. Constr. Steel Res., 64 (12) (2008), pp. 1379–1393</li>
 <li><span id='bib0170'></span>
-[[#bib0170|[3]]] A. Lorenzana, M. Cacho-Pérez; Cálculo directo de la carga crítica de pandeo de pórticos. Parte I; Rev. Int. Mét. Num. Cálc. Dise. Ing., 25 (3) (2009), pp. 247–258</li>
+[[#bib0170|[8]]] M. Kovac; Lateral-torsional buckling of web-tapered I-beams. 1D and 3D FEM approach; 23rd Czech and Slovak Conference on Steel Structures and Bridges, 40 (2012), pp. 217–222</li>
 <li><span id='bib0175'></span>
-[[#bib0175|[4]]] M.A. Ortega, J.L. Romero, E. Rosa; A historical study of the problem of straight prismatic elements subjected to compression; Informes de la Construcción, 59 (507) (1997), pp. 69–81</li>
+[[#bib0175|[9]]] S.E. Kim, C.M. Uang, S.H. Choi,  K.Y.; An. Practical advanced analysis of steel frames considering lateral-torsional buckling; Thin-Walled Structures, 44 (7) (2006), pp. 709–720</li>
 <li><span id='bib0180'></span>
-[[#bib0180|[5]]] M. Cacho-Pérez, A. Lorenzana; Optimización global de pórticos 2D con barras de sección variable; DYNA, 85 (8) (2010), pp. 667–675</li>
+[[#bib0180|[10]]] N. Hoveidae, B. Rafezy; Global buckling prevention condition of all-steel buckling restrained braces; J. Theor. App. Mech., 51 (4) (2013), pp. 891–892</li>
 <li><span id='bib0185'></span>
-[[#bib0185|[6]]] W.F. Chen, T. Atsuta; Theory of beam-columns. Volume 2: space behaviour and design; J. Ross Pub Inc (2007)</li>
+[[#bib0185|[11]]] M.A. Serna, A. Lopez, I. Puente,  Yong.F D.J.; Equivalent uniform moment factors for lateral-torsional buckling of steel members; J. Constr. Steel Res., 62 (6) (2006), pp. 566–580</li>
 <li><span id='bib0190'></span>
-[[#bib0190|[7]]] Z. Lei, T.G. Shu; Lateral buckling of web-tapered I-beams: A new theory; J. Constr. Steel Res., 64 (12) (2008), pp. 1379–1393</li>
+[[#bib0190|[12]]] J.D. Aristizabal-Ochoa; Column stability and minimum lateral bracing: Effects of shear deformations; J. Eng. Mech., 130 (10) (2004), pp. 1223–1232</li>
 <li><span id='bib0195'></span>
-[[#bib0195|[8]]] M. Kovac; Lateral-torsional buckling of web-tapered I-beams. 1D and 3D FEM approach; 23rd Czech and Slovak Conference on Steel Structures and Bridges, 40 (2012), pp. 217–222</li>
+[[#bib0195|[13]]] A. Andrade, D. Camotim, P.B. Dinis; Lateral-torsional buckling of singly symmetric web-tapered thin-walled I-beams: 1 D model vs. shell FEA; Comput. Struct., 85 (17–18) (2007), pp. 1343–1359</li>
 <li><span id='bib0200'></span>
-[[#bib0200|[9]]] S.E. Kim, C.M. Uang, S.H. Choi, K.Y. An; Practical advanced analysis of steel frames considering lateral-torsional buckling; Thin-Walled Structures, 44 (7) (2006), pp. 709–720</li>
+[[#bib0200|[14]]] W.F. Chen, E.M. Lui; Stability design of steel frames; CRC Press, Inc. (2000)</li>
 <li><span id='bib0205'></span>
-[[#bib0205|[10]]] N. Hoveidae, B. Rafezy; Global buckling prevention condition of all-steel buckling restrained braces; J. Theor. App. Mech., 51 (4) (2013), pp. 891–902</li>
+[[#bib0205|[15]]] W. McGuire, R.H. Gallagher; Matrix Structural Analysis; Wiley, New York (1979)</li>
 <li><span id='bib0210'></span>
-[[#bib0210|[11]]] M.A. Serna, A. Lopez, I. Puente, D.J. Yong; Equivalent uniform moment factors for lateral-torsional buckling of steel members; J. Constr. Steel Res., 62 (6) (2006), pp. 566–580</li>
+[[#bib0210|[16]]] H. Kardestuncer; Introducción al análisis estructural con matrices; McGraw-Hill (1975)</li>
 <li><span id='bib0215'></span>
-[[#bib0215|[12]]] J.D. Aristizabal-Ochoa; Column stability and minimum lateral bracing: Effects of shear deformations; J. Eng. Mech., 130 (10) (2004), pp. 1223–1232</li>
+[[#bib0215|[17]]] O.C. Zienkiewicz, R.L. Taylor; El método de los elementos finitos. Volumen 2: mecánica de sólidos;  (5 ª ed.)CIMNE, Barcelona (2004)</li>
 <li><span id='bib0220'></span>
-[[#bib0220|[13]]] A. Andrade, D. Camotim, P.B. Dinis; Lateral-torsional buckling of singly symmetric web-tapered thin-walled I-beams: 1D model vs. shell FEA; Comput. Struct., 85 (17-18) (2007), pp. 1343–1359</li>
+[[#bib0220|[18]]] N. Guerrero, M.E. Marante, R. Picon, J.F. Lopez; Analysis of steel hollow structural beams subjected to biaxial bending by lumped damage mechanics; Rev. Int. Mét. Num. Cálc. Dise. Ing., 25 (1) (2009), pp. 3–27</li>
 <li><span id='bib0225'></span>
-[[#bib0225|[14]]] W.F. Chen, E.M. Lui; Stability design of steel frames; CRC Press, Inc (2000)</li>
+[[#bib0225|[19]]] C. Basaglia, D. Camotim; Buckling Analysis of Thin-Walled Steel Structural Systems Using Generalized Beam Theory (GBT); International Journal of Structural Stability and Dynamics, 15 (1) (2015), p. 1540004</li>
 <li><span id='bib0230'></span>
-[[#bib0230|[15]]] W. McGuire, R.H. Gallagher; Matrix Structural Analysis; Wiley, New York (1979)</li>
+[[#bib0230|[20]]] D. Camotim, C. Basaglia; On the behaviour, failure and direct strength design of thin-walled steel structural systems; Thin-Walled Structures, 81 (2014), pp. 50–66</li>
 <li><span id='bib0235'></span>
-[[#bib0235|[16]]] H. Kardestuncer; Introducción al análisis estructural con matrices; McGraw-Hill (1975)</li>
+[[#bib0235|[21]]] C.K. Iu, M.A. Bradford; Second-order elastic finite element analysis of steel structures using a single element per member; Engineering Structures, 32 (9) (2010), pp. 2606–2616</li>
 <li><span id='bib0240'></span>
-[[#bib0240|[17]]] M.A. Martínez, M. Doblaré, L. Gracia; Estudio mediante elementos finitos del fenómeno de pandeo lateral en perfiles conformados en frío; Rev. Int. Mét. Num. Cálc. Dise. Ing., 17 (4) (2001), pp. 427–445</li>
+[[#bib0240|[22]]] J. Becque, K.J.R. Rasmussen; Experimental Investigation of the Interaction of Local and Overall Buckling of Stainless Steel I-Columns; Journal of Structural Engineering-ASCE, 135 (11) (2009), pp. 1340–1348</li>
 <li><span id='bib0245'></span>
-[[#bib0245|[18]]] C. Dou, Y.L. Guo, Y.L. Pi, S.Y. Zhao; Flexural-Torsional Buckling and Ultimate Resistance of Parabolic Steel Arches Subjected to Uniformly Distributed Vertical Load; Journal of Structural Engineering, 140 (10) (2014), p. 04014075</li>
+[[#bib0245|[23]]] M. Lecce, K.J.R. Rasmussen; Design of wide-flange stainless steel sections; Advanced Steel Construction, 5 (2) (2009), pp. 164–174</li>
 <li><span id='bib0250'></span>
-[[#bib0250|[19]]] P. Vargas, E. Oñate, S. Oller; Formulación de elementos finitos para vigas de sección abierta formadas por laminados compuestos incluyendo las deformaciones tangenciales por cortante y torsión; Revista Internacional de Métodos Numéricos para Cálculo y Diseño en Ingeniería, 30 (4) (2014), pp. 238–246</li>
+[[#bib0250|[24]]] P.B. Dinis, D. Camotim, N. Silvestre; FEM-based analysis of the local-plate/distortional mode interaction in cold-formed steel lipped channel columns; Computers & Structures, 85 (19–20) (2007), pp. 1461–1474</li>
 <li><span id='bib0255'></span>
-[[#bib0255|[20]]] N.S. Trahair; Bending and buckling of tapered steel beam structures; Engineering Structures, 59 (2014), pp. 229–237</li>
+[[#bib0255|[25]]] K. Kheradmandia, M. Azhari, M.A. Bradford; Local instability and free vibration of supported plates using the basic plate triangle; Computational Mechanics, 40 (1) (2007), pp. 73–84</li>
-<li><span id='bib0260'></span>
+<li><span id='bib0130'></span>
-[[#bib0260|[21]]] C.K. Iu, M.A. Bradford; Higher-order non-linear analysis of steel structures. Part I: elastic second-order formulation; Advanced Steel Construction, 8 (2) (2012), pp. 168–182</li>
+[[#bib0130|[26]]] B. Young, J.T. Tan; Channel columns undergoing local, distortional, and overall buckling; Journal of Structural Engineering-ASCE, 128 (6) (2002), pp. 728–736</li>
-<li><span id='bib0265'></span>
-[[#bib0265|[22]]] N.S. Trahair; Inelastic buckling design of monosymmetric I-beams; Engineering Structures, 34 (2012), pp. 564–571</li>
-<li><span id='bib0270'></span>
-[[#bib0270|[23]]] Y.L. Pi, M.A. Bradford, G.S. Tong; Elastic lateral-torsional buckling of circular arches subjected to a central concentrated load; International Journal of Mechanical Sciences, 52 (6) (2010), pp. 847–862</li>
-<li><span id='bib0275'></span>
-[[#bib0275|[24]]] N. Challamel, C.M. Wang; Exact lateral-torsional buckling solutions for cantilevered beams subjected to intermediate and end transverse point loads; Thin-Walled Structures, 48 (1) (2010), pp. 71–76</li>
-<li><span id='bib0280'></span>
-[[#bib0280|[25]]] R.E. Erkmen, M. Mohareb, M.A. Bradford; Complementary Energy Based on Formulation for Torsional Buckling of Columns; Journal of Engineering Mechanics-ASCE, 135 (12) (2009), pp. 1420–1426</li>
-<li><span id='bib0285'></span>
-[[#bib0285|[26]]] N.S. Trahair; Buckling analysis design of steel frames; Journal of Constructional Steel Research, 65 (7) (2009), pp. 1459–1463</li>
-<li><span id='bib0290'></span>
-[[#bib0290|[27]]] Y.L. Pi, M.A. Bradford, F. Tin-Loi; IN-PLANE STRENGTH OF STEEL ARCHES; Advanced Steel Construction, 4 (4) (2008), pp. 306–322</li>
-<li><span id='bib0295'></span>
-[[#bib0295|[28]]] N.S. Trahair; Lateral buckling of monorail beams; Engineering Structures, 30 (11) (2008), pp. 3213–3218</li>
-<li><span id='bib0300'></span>
-[[#bib0300|[29]]] W.H. Duan, C.M. Wang; Exact solution for buckling of columns including self-weight; Journal of Engineering Mechanics-ASCE, 134 (1) (2008), pp. 116–119</li>
-<li><span id='bib0305'></span>
-[[#bib0305|[30]]] Y.L. Pi, M.A. Bradford, F. Tin-Loi; Flexural-torsional buckling of shallow arches with open thin-walled section under uniform radial loads; Thin-Walled Structures, 45 (3) (2007), pp. 352–362</li>
-<li><span id='bib0155'></span>
-[[#bib0155|[31]]] N.S. Trahair; Biaxial bending and torsion of steel equal angle section beams; Journal of Structural Engineering-ASCE, 133 (1) (2007), pp. 78–84</li>
 </ol>