Galoisian and numerical approach of three dimensional linear differential systems with skew symmetric matrices defined in a non- constant differential field

Submitted: 28/03/2017	

Accepted: 08/05/2017

==Resumen==

Este trabajo contrasta métodos numéricos con métodos algebraicos  aplicados ambos a la resolución de un sistema de ecuaciones  diferenciales lineales 3-dimensionales con matrices antisimétricas  definidas en un cuerpo diferencial no constante. Al mismo sistema se aplican métodos y algorítmos propios de la Teoría de Galois Diferencial, lo que permite resolverlo algebraicamente y métodos numé ricos, en particular métodos de la familia de Runge - Kutta. Por último, se calculan los errores absolutos y relativos entre las soluciones Liouvillianas, obtenidas mediante la resolución algebraica y  las soluciones obtenidas aplicando métodos numéricos.

'''Palabras claves''': Teoría de Galois diferencial, métodos de la familia de Runge -  Kutta, soluciones Liouvillianas, sistemas de ecuaciones diferenciales,  matrices antisimétricas, cuerpo diferencial no constante.

==Abstract==

This work contrasts numerical methods with algebraic methods.  These methods are applied to solve a three dimensional linear  differential system with skew symmetric matrices defined in a  non- constant differential field. Algorithms and methods of Differential Galois  Theory, are used to provide an algebraic solution, while numerical methods,  in particular, methods from Runge - Kutta family, are applied to the  same system. Finally, the absolute and relative errors between  Liouvillians solution are calculated comparing the solutions obtained by means  of algebraic methods and by means of numerical methods.


==1 Introducción==

Este trabajo es una versión mejorada de <span id='citeF-12'></span>[[#cite-12|[12]]], la cual corresponde a la tesis de maestría del segundo autor, dirigida por el primer y el tercer autor en la Universidad del Norte.

El objetivo de este trabajo es contrastar mé todos numéricos con métodos algebraicos en la resolución de  sistemas de ecuaciones diferenciales lineales 3-dimensionales con matrices  antisimétricas definidas en un cuerpo diferencial no constante.

Para lograr este objetivo se hizo un estudio de las formas de resolución  de sistemas de ecuaciones diferenciales lineales cuando la matriz de  coeficientes es constante y se muestra que en el caso que los coeficientes  del sistema de ecuaciones diferenciales pertenezca a un cuerpo diferencial  no constante, el método de solución útil cuando los coeficientes  son constantes, sólo es aplicable a un tipo muy restringido de matrices  con entradas en un cuerpo diferencial no constante.

Ante esta realidad se hace uso de la Teoría de Galois Diferencial, <span id='citeF-1'></span><span id='citeF-15'></span>[[#cite-1|[1,15]]]. El sistema original se somete a una serie de transformaciones a trav és de las cuales el sistema se convierte en una ecuación diferencial  lineal reducida a la cual puede aplicarse el algoritmo implementado por  Jerry Kovacic, <span id='citeF-2'></span>[[#cite-2|[2]]]. Para el desarrollo de estas transformaciones se  aplicaron conceptos expuestos por Emili Picard, Ernest Vessiot y Jean Gaston  Darboux, en trabajos relativos a estos temas. Es un hecho conocido que só lo una clase bastante pequeña de ecuaciones diferenciales o de sistemas  de las mismas tiene solución mediante métodos analíticos, ante  esta circunstancia los métodos numéricos proveen una herramienta  poderosa y adecuada que permite una aproximación a la solución bajo  ciertas condiciones que debe cumplir el sistema. El estudio del sistema  objetivo permitió comprobar que es posible resolverlo mediante la  aplicación de métodos numéricos. Al sistema de ecuaciones se le  aplicó métodos de la familia de Runge-Kutta, en particular mé todos de cuarto orden que en Matlab <span id='citeF-14'></span>[[#cite-14|[14]]] se especifican como ODE45, <span id='citeF-5'></span><span id='citeF-6'></span><span id='citeF-7'></span><span id='citeF-8'></span><span id='citeF-11'></span><span id='citeF-13'></span><span id='citeF-16'></span>[[#cite-5|[5,6,7,8,11,13,16]]]. Recientemente se han aplicado técnicas algebraicas y numéricas usando la algebrización Hamiltoniana para resolver un sistema de ecuaciones no-lineales de primer orden, ver <span id='citeF-4'></span>[[#cite-4|[4]]].

==2  Movimiento de un sólido rígido y la  ecuación diferencial objetivo==

===2.1 Movimiento de un sólido rígido===

Un sólido rígido es un conjunto de puntos del espacio  que conservan la distancia entre ellos, bajo la acción de fuerzas  aplicadas. Cualquier movimiento de un sólido rígido, es un movimiento  rígido. Los movimientos rígidos pueden ser traslaciones o  rotaciones. En una traslación, dos puntos cualesquiera del conjunto de  puntos se mueven siguiendo una trayectoria paralela. Una rotación se  realiza alrededor de un eje que bien puede pasar por puntos del sólido o  por puntos que no forman parte del mismo, dos puntos cualesquiera que se  encuentren sobre el mismo vector, cuyo origen es un punto del eje de  rotación se mueven con la misma velocidad angular, en general, el  movimiento de un sólido rígido es una combinación de rotación  y traslación. Todo movimiento rígido es una isometría y por  tanto puede ser descrito mediante transformaciones algebraicas, si V y W  son espacios vectoriales, cada uno con un producto interno y dV es la  métrica asociada al producto interno en V y dW es la métrica asociada  al producto interno en W, una isometría es una función de V en W tal  que

{| class="formulaSCP" style="width: 100%; text-align: left;" 
|-
| 
{| style="text-align: left; margin:auto;width: 100%;" 
|-
| style="text-align: center;" | <math>  \forall \left( v_{1},v_{2}\right) \in V\times V,d_{V}\left( v_{1} ,v_{2}\right) =d_{W}\left( \phi \left( v_{1}\right) ,\phi \left( v_{w}\right) \right) </math>
|}
|}

Un movimiento de un sólido rígido en el espacio  tridimensional se puede describir mediante un grupo de isometrías  uniparamétricas, eligiendo como parámetro el tiempo. Sea <math display="inline">\overrightarrow{\gamma }:</math> <math display="inline">I\longrightarrow \mathbb{R}   ^{3} </math>una función analítica, I un intervalo en R, la  longitud de arco entre los puntos a y b de I se define como

{| class="formulaSCP" style="width: 100%; text-align: left;" 
|-
| 
{| style="text-align: left; margin:auto;width: 100%;" 
|-
| style="text-align: center;" | <math>  s=\int _{a}^{b}\left\Vert \overrightarrow{\gamma ^{\prime }}\left( t\right) \right\Vert dt  </math>
|}
|}

El vector tangente unitario de la curva en R3 cuando esta ha sido  parametrizada por su longitud de arco es,

{| class="formulaSCP" style="width: 100%; text-align: left;" 
|-
| 
{| style="text-align: left; margin:auto;width: 100%;" 
|-
| style="text-align: center;" | <math>  \overrightarrow{\mu }\left( s\right) =\overrightarrow{\gamma ^{\prime }}\left( s\right) </math>
|}
|}

La función de curvatura de <math display="inline">\gamma </math>  es

{| class="formulaSCP" style="width: 100%; text-align: left;" 
|-
| 
{| style="text-align: left; margin:auto;width: 100%;" 
|-
| style="text-align: center;" | <math>  \kappa \left( s\right) =\left\Vert \overrightarrow{\mu }\left( s\right) \right\Vert  </math>
|}
|}

El vector normal principal de <math display="inline">\gamma </math> es

{| class="formulaSCP" style="width: 100%; text-align: left;" 
|-
| 
{| style="text-align: left; margin:auto;width: 100%;" 
|-
| style="text-align: center;" | <math>  \overrightarrow{\eta }\left( s\right) =\dfrac{\overrightarrow{\mu ^{\prime } }\left( s\right) }{\left\Vert \overrightarrow{\mu }\left( s\right) \right\Vert } </math>
|}
|}

y el vector binormal de <math display="inline">\gamma </math> es

{| class="formulaSCP" style="width: 100%; text-align: left;" 
|-
| 
{| style="text-align: left; margin:auto;width: 100%;" 
|-
| style="text-align: center;" | <math>  \overrightarrow{b}\left( s\right) =\overrightarrow{\mu }\left( s\right) \times \overrightarrow{\eta }\left( s\right) </math>
|}
|}

Además, existe una función escalar <math display="inline">\tau  :I\longrightarrow \mathbb{R}   </math> llamada la torsión de <math display="inline">\gamma </math>, tal que

<math display="inline">\overrightarrow{b^{\prime }}\left( s\right) =-</math> <math display="inline">\tau \left( s\right) \overrightarrow{\eta }\left( s\right) </math> . Si e1; e2;  e3 son vectores unitarios ortogonales dos a dos, y p <math display="inline">\in </math> R3,  un sistema ortonormal de coordenadas con origen en p se simboliza como: (p;  e1; e2; e3) y es un sistema de referencia en p.

Los vectores <math display="inline">\overrightarrow{\mu }\left( s\right) </math>, <math display="inline">\overrightarrow{\eta }\left( s\right) </math>, <math display="inline">\overrightarrow{b}\left( s\right) </math>, son vectores unitarios, ortogonales entre si, y  junto con <math display="inline">\overrightarrow{\gamma }\left( s\right)  </math>forman un  sistema de referencia para la curva <math display="inline">\overrightarrow{\gamma } </math> conocido como sistema de referencia de Frenet para la curva. El  siguiente teorema enuncia que es posible especificar una curva si se conoce su  función de curvatura y su torsión:

''Teorema Fundamental de Curvas: ''Dadas dos funciones diferenciables <math display="inline">\kappa \left( s\right) >0,\tau \left( s\right) , s\in I,</math> existe una curva  regular <math display="inline">\overrightarrow{\gamma }:I\rightarrow \mathbb{R}   ^{3}</math>tal que <math display="inline">s</math> es la longitud de arco, <math display="inline">\kappa \left( s\right) </math> es la  curvatura y y <math display="inline">\tau \left( s\right) </math> es la torsión de <math display="inline">\gamma </math>.  Además, si otra curva <math display="inline">\overrightarrow{\chi }</math> satisface las mismas  condiciones, esta difiere de <math display="inline">\overrightarrow{\gamma }</math> por un movimiento  rígido, esto es, existe una transformacion lineal y ortogonal <math display="inline">T</math> con  determinante positivo y un vector <math display="inline">\overrightarrow{c}</math> tal que <math display="inline">\overrightarrow{\chi }=T \overrightarrow{\gamma }+\overrightarrow{c}</math>, ver <span id='citeF-10'></span>[[#cite-10|[10]]].

===2.2 La ecuación objetivo===

El sistema diferencial lineal objeto de nuestro interés es:

{| class="formulaSCP" style="width: 100%; text-align: left;" 
|-
| 
{| style="text-align: left; margin:auto;width: 100%;" 
|-
| style="text-align: center;" | <math>  \left( \begin{array}{c}   \partial _{x}\gamma _{1}\\ \partial _{x}\gamma _{2}\\ \partial _{x}\gamma _{3} \end{array}  \right) =\left( \begin{array}{ccc} 0 & 0 & -\dfrac{2\sqrt{2}}{e^{x}+e^{-x}}\\ 0 & 0 & \dfrac{e^{x}-e^{-x}}{e^{x}+e^{-x}}\\ \dfrac{2\sqrt{2}}{e^{x}+e^{-x}} & -\dfrac{e^{x}-e^{-x}}{e^{x}+e^{-x}} & 0  \end{array}  \right) \left( \begin{array}{c}   \gamma _{1}\\ \gamma _{2}\\ \gamma _{3} \end{array}  \right) </math>
|}
|}

con matriz de coeficientes antisimétrica definida en un cuerpo diferencial  no constante, este sistema modela el movimiento de un sólido rígido  en el espacio vectorial <math display="inline">   \mathbb{C}   ^{3}</math> o en un espacio afín. Estamos interesados en mostrar dos enfoques,  uno numérico, otro analitico, en la resolución del sistema en  cuestión.

===2.3 Algebrización y cambio Hamiltoniano de  variable===

La teoría de Galois establece que es posible encontrar las  raices de un polinomio <math>p</math>, definido sobre un cuerpo <math>\Bbbk </math>, realizando  operaciones aritméticas y radicaciones con sus coeficientes, siempre y  cuando el grupo de Galois del polinomio sea resoluble, esto es, exista una  cadena finita de subgrupos normales,<math>\left\{ e\right\} =G_{0}\triangleleft G_{1} \triangleleft  ...\triangleleft Gal_{p}\left( F/\Bbbk \right) </math> . El grupo de Galois de un  polinomio está formado por los homomorfismos que al actuar sobre las  raices del polinomio producen también raices.

La teoría de Galois diferencial establece proposiciones  análogas para las ecuaciones diferenciales: permite decidir cuándo una  ecuación diferencial se puede resolver a partir de sus coeficientes  encontrando el correspondiente grupo resoluble.

Para determinar este grupo, es necesario desarrollar un proceso  de algebrización de la ecuación diferencial, el cual consiste en  expresar las funciones coeficientes de la ecuación diferencial como  funciones racionales, el proceso de algebrización es posible mediante el  procedimiento llamado ''cambio hamiltoniano de variable,'' <span id='citeF-1'></span>[[#cite-1|[1]]].    Un cambio de variable <math>x=x\left( t\right) </math> es un cambio  Hamiltoniano de variable, si y sólo si <math>\left( x\left( t\right) ,\partial _{t}x\left( t\right) \right) </math> es una solución del sistema  autónomo clásico Hamiltoniano con un grado de libertad, <math>H=H\left( x,p\right) =\frac{p^{2}}{2}+V\left( x\right) </math>, para algún <math>V</math>,  elemento de un cuerpo diferencial con coeficientes en <math>   \mathbb{C}   .</math>     Si un cambio de variable es Hamiltoniano, existe <math>\alpha </math> tal que <math>\left( \partial _{t}x\right) ^{2}=\alpha \left( x\right) </math> y por tanto, <math>\widehat{\partial _{t}}=\sqrt{\alpha }\partial _{t}</math> define una derivación  para la nueva variable.     Mediante el cambio hamiltoniano de variable <math>e^{x}=z, </math> las  funciones transcendentes del sistema diferencial objetivo se transforman en  funciones racionales, lo que permite la algebrización del proceso de  solución del sistema diferencial, en efecto:

{| class="formulaSCP" style="width: 100%; text-align: left;" 
|-
| 
{| style="text-align: left; margin:auto;width: 100%;" 
|-
| style="text-align: center;" | <math>  \partial _{x}z=e^{x}=z=\sqrt{\alpha }\Rightarrow \alpha =\left(  \partial  _{x}z\right) ^{2}=z^{2}\in    \mathbb{C}   \left( z\right) </math>
|}
|}

{| class="formulaSCP" style="width: 100%; text-align: left;" 
|-
| 
{| style="text-align: left; margin:auto;width: 100%;" 
|-
| style="text-align: center;" | <math>  \partial _{x}z=z\partial x=e^{x}\partial x=\sqrt{\alpha }\partial _{x}\gamma  _{i}\left( x\right) =\widehat{\partial _{z}}\widehat{\gamma }_{i}\left( z\right) </math>
|}
|}

además,

{| class="formulaSCP" style="width: 100%; text-align: left;" 
|-
| 
{| style="text-align: left; margin:auto;width: 100%;" 
|-
| style="text-align: center;" | <math>  e^{x}+e^{-x}=\dfrac{z^{2}+1}{z}\wedge e^{x}-e^{-x}=\dfrac{z^{2}-1}{z} </math>
|}
|}

entonces, el sistema se transforma en:

{| class="formulaSCP" style="width: 100%; text-align: left;" 
|-
| 
{| style="text-align: left; margin:auto;width: 100%;" 
|-
| style="text-align: center;" | <math>  \left( \begin{array}{c} \partial _{z}\widehat{\gamma }_{1}\\ \partial _{z}\widehat{\gamma }_{2}\\ \partial _{z}\widehat{\gamma }_{3} \end{array}  \right) =\left( \begin{array}{ccc} 0 & 0 & -\dfrac{2\sqrt{2}}{z^{2}+1}\\ 0 & 0 & \dfrac{z^{2}-1}{z\left( z^{2}+1\right) }\\ \dfrac{2\sqrt{2}}{z^{2}+1} & -\dfrac{z^{2}-1}{z\left( z^{2}+1\right) } & 0  \end{array}  \right) \left( \begin{array}{c}  \widehat{\gamma }_{1}\\ \widehat{\gamma }_{2}\\ \widehat{\gamma }_{3} \end{array}  \right) </math>
|}
|}

Mediante el uso de las'' coordenadas simétricas de Darboux,''  <span id='citeF-10'></span>[[#cite-10|[10]]], para la esfera compleja : <math display="inline">\widehat{\gamma }_{1}^{2}\left( z\right) +\widehat{\gamma }_{2}^{2}\left( z\right) -\widehat{\gamma }_{3} ^{2}\left( z\right) =u^{2}\left( z\right) </math>, el sistema algebrizado se  transforma en una ecuación lineal diferencial reducida.

{| class="formulaSCP" style="width: 100%; text-align: left;" 
|-
| 
{| style="text-align: left; margin:auto;width: 100%;" 
|-
| style="text-align: center;" | <math>  u=\dfrac{\widehat{\gamma }_{1}\left( z\right) +i\widehat{\gamma }_{2}\left( z\right) }{1-\widehat{\gamma }_{3}\left( z\right) }=\dfrac{1+\widehat{\gamma  }_{3}\left( z\right) }{\widehat{\gamma }_{1}\left( z\right) -i\widehat{\gamma }_{2}\left( z\right) } </math>
|}
|}

{| class="formulaSCP" style="width: 100%; text-align: left;" 
|-
| 
{| style="text-align: left; margin:auto;width: 100%;" 
|-
| style="text-align: center;" | <math>  v=\dfrac{\widehat{\gamma }_{3}\left( z\right) -1}{\widehat{\gamma }_{1}\left( z\right) -i\widehat{\gamma }_{2}\left( z\right) }=\dfrac{\widehat{\gamma  }_{1}\left( z\right) +i\widehat{\gamma }_{2}\left( z\right) }{-\left( 1+\widehat{\gamma }_{3}\left( z\right) \right) },z\in    \mathbb{C}</math>
|}
|}

Si se deriva a <math>u</math> con respecto a <math>z</math>, se tiene que

{| class="formulaSCP" style="width: 100%; text-align: left;" 
|-
| 
{| style="text-align: left; margin:auto;width: 100%;" 
|-
| style="text-align: center;" | <math>\begin{array}{l}  \partial _{z}u  & =\dfrac{\widehat{\gamma }_{3}}{1-\widehat{\gamma }_{3}}\left( i\dfrac{z^{2}-1}{z\left( z^{2}+1\right) }-\dfrac{2\sqrt{2}}{z^{2}+1}\right)\\ & -u\dfrac{1}{1-\widehat{\gamma }_{3}}\left( -\dfrac{2\sqrt{2}}{z^{2} +1}\widehat{\gamma }_{1}+\dfrac{z^{2}-1}{z\left( z^{2}+1\right) }\widehat{\gamma }_{2}\right)  \end{array}</math>
|}
| style="width: 5px;text-align: right;white-space: nowrap;" | (1)
|}

Teniendo en cuenta que:

{| class="formulaSCP" style="width: 100%; text-align: left;" 
|-
| 
{| style="text-align: left; margin:auto;width: 100%;" 
|-
| style="text-align: center;" | <math>\begin{array}{l}  \dfrac{u+v}{u-v}  & =\widehat{\gamma }_{3},1-\widehat{\gamma }_{3}=\dfrac{-2v}{u-v},\dfrac{\widehat{\gamma }_{3}}{1-\widehat{\gamma }_{3}}=-\dfrac{u+v}{2v}\\ \dfrac{1-uv}{u-v}  & =\widehat{\gamma }_{1}, \dfrac{1+uv}{u-v} i=\widehat{\gamma }_{2} \end{array}</math>
|}
|}

La expresión (1) se transforma en una Riccati:

{| class="formulaSCP" style="width: 100%; text-align: left;" 
|-
| 
{| style="text-align: left; margin:auto;width: 100%;" 
|-
| style="text-align: center;" | <math>  \partial _{z}u=\frac{1}{2}\left( \dfrac{2\sqrt{2}}{z^{2}+1}+\dfrac{z^{2} -1}{z\left( z^{2}+1\right) }i\right) u^{2}+\frac{1}{2}\left( \dfrac{2\sqrt{2}}{z^{2}+1}-\dfrac{z^{2}-1}{z\left( z^{2}+1\right) }i\right) </math>
|}
| style="width: 5px;text-align: right;white-space: nowrap;" | (2)
|}

Ahora, mediante el cambio <math>u=\varepsilon \dfrac{\partial _{z}y}{y} =\varepsilon \partial _{z}\left( \ln y\right) </math>, donde <math>\varepsilon </math> es una  función de <math>z\in \mathbb{C}</math>, por determinar, se tranformará la ecuación (2) en una ecuación  diferencial de segundo orden

{| class="formulaSCP" style="width: 100%; text-align: left;" 
|-
| 
{| style="text-align: left; margin:auto;width: 100%;" 
|-
| style="text-align: center;" | <math>  \partial _{z}^{2}y+  \left(\frac{\partial _{z}\varepsilon }{\varepsilon }\right) \partial _{z}y-\dfrac{\overline{\alpha }}{\varepsilon }y-\left( 1+\alpha  \varepsilon \right) \dfrac{\left( \partial _{z}y\right) ^{2}}{y}=0  </math>
|}
| style="width: 5px;text-align: right;white-space: nowrap;" | (3)
|}

donde <math>\alpha =\frac{1}{2}\left( \dfrac{2\sqrt{2}}{z^{2} +1}+\dfrac{z^{2}-1}{z\left( z^{2}+1\right) }i\right)</math>.    Para que (3) sea una ecuación diferencial ''lineal'' de  segundo orden es necesario que <math>1+\alpha \varepsilon=0</math>, por tanto <math>\varepsilon =\dfrac{-1}{\alpha } \wedge \partial _{z}\varepsilon =\dfrac{\partial _{z}\alpha }{\alpha ^{2}} </math>lo que finalmente conduce a:

{| class="formulaSCP" style="width: 100%; text-align: left;" 
|-
| 
{| style="text-align: left; margin:auto;width: 100%;" 
|-
| style="text-align: center;" | <math>  \partial _{z}^{2}y-\frac{\partial _{z}\alpha }{\alpha }\partial _{z}y+\alpha  \overline{\alpha }y=0  </math>
|}
| style="width: 5px;text-align: right;white-space: nowrap;" | (4)
|}

Ahora, la ecuación (4) puede transformarse en una ''EDLR'' <span id='citeF-1'></span>[[#cite-1|[1]]]

{| class="formulaSCP" style="width: 100%; text-align: left;" 
|-
| 
{| style="text-align: left; margin:auto;width: 100%;" 
|-
| style="text-align: center;" | <math>\begin{array}{l}  f  & =e^{\frac{1}{2}\int \frac{\partial _{z}\alpha }{\alpha }}=e^{\frac{1}{2} \ln \alpha }\Rightarrow f=\alpha ^{\frac{1}{2}}, t=y\alpha ^{\frac{1}{2}}\\ \partial _{z}^{2}t  & =\left( \dfrac{1}{2}\frac{\partial _{z}^{2}\alpha }{} {\alpha }-\frac{1}{4}\left( \frac{\partial _{z}\alpha }{\alpha }\right) ^{2}-\alpha \overline{\alpha }\right) t  \end{array}</math>
|}
|}

El proceso de algebrización del sistema diferencial lineal ha permitido  expresar el coeficiente de <math>t</math>, <math>\dfrac{1}{2}\frac{\partial _{z}^{2}\alpha  }{\alpha }-\frac{1}{4}\left( \frac{\partial _{z}\alpha }{\alpha }\right) ^{2}-\alpha \overline{\alpha }</math>, como una función racional, en efecto

{| class="formulaSCP" style="width: 100%; text-align: left;" 
|-
| 
{| style="text-align: left; margin:auto;width: 100%;" 
|-
| style="text-align: center;" | <math>\begin{array}{l}  & \dfrac{\alpha ^{\prime \prime }\left( z\right) }{2\alpha \left( z\right) }-\left( \dfrac{\alpha ^{\prime }\left( z\right) }{2\alpha \left( z\right) }\right) ^{2}-\alpha \overline{\alpha }=r=\frac{s}{q}=\\ & =\dfrac{z^{12}+24z^{10}+63 z^{8}-128z^{6}-33z^{4}+8z^{2} +1}{2z^{2}\left( z^{2}+1\right) ^{2}\left( z^{4}+6z^{2}+1\right) ^{2}}+\\ & +\dfrac{-2\sqrt{2}\left( 3z^{11}+21z^{9}+46z^{7}+42z^{5}+15z^{3} + z\right) i}{2z^{2}\left( z^{2}+1\right) ^{2}\left( z^{4}+6z^{2}+1\right) ^{2}} \end{array}</math>
|}
|}

<math>r\in \mathbb{C}\left[ x\right]</math>.     

Al transformar el sistema de ecuaciones diferenciales lineales  con coeficientes no constantes en una ''EDL ''o en una ''EDLR'' con  funciones racionales en <math>   \mathbb{C}   \left[ x\right] </math>, como coeficientes, es posible aplicar el Algoritmo de  Kovacic para obtener una base de soluciones <span id='citeF-3'></span>[[#cite-3|[3]]].     El Algoritmo de Kovacic clasifica las ''EDLR''' s en cuatro  tipos, éstos están relacionados con los ceros de <math>s</math>, los de <math>q</math> y el  orden de <math>r</math> en infinito, definido como: <math>\circ \left( r_{\infty }\right) </math> <math>=grad\left( q\right) -grad\left( s\right) </math>, además se define el  conjunto <math>\Gamma </math> como <math>\Gamma </math> <math>=\Gamma ^{\prime }\cup \infty </math>, donde <math>\Gamma ^{\prime }=\left\{ c\in    \mathbb{C}   :q\left( c\right) =0\right\} </math>. Para la ecuación que nos ocupa, <math>s</math>  y <math>q</math> tienen 12 y 14 ceros, respectivamente, dos de los ceros de <math>s</math> son de  multiplicidad algebraica 2 el resto son de orden o multiplicidad  algebraíca 1, todos los ceros de <math>q</math> son de orden par, y <math>\circ \left( r_{\infty }\right) </math> es 2, por tanto, si existe una solución para la  ''EDLR '' debe ser de la forma <math>y=Pe^{\int w}</math> donde <math>P</math> y <math>w</math> se  construyen con los pasos del algoritmo, ver <span id='citeF-2'></span>[[#cite-2|[2]]].     La ecuación:

{| class="formulaSCP" style="width: 100%; text-align: left;" 
|-
| 
{| style="text-align: left; margin:auto;width: 100%;" 
|-
| style="text-align: center;" | <math>  \partial _{z}^{2}t=\left( \dfrac{1}{2}\frac{\partial _{z}^{2}\alpha }{\alpha  }-\frac{1}{4}\left( \frac{\partial _{z}\alpha }{\alpha }\right) ^{2} -\alpha \overline{\alpha }\right) t  </math>
|}
|}

cae entonces en el caso 1 del Algoritmo de Kovacic y de existir la  solución, tendrá la forma <math display="inline">t=Pe^{\int w}</math>y será una solución  liouvilliana <span id='citeF-9'></span>[[#cite-9|[9]]]. 

Solucionar a mano, mediante el Algoritmo de Kovacic,  ''EDLR'' es, en general, muy laborioso, normalmente la ''EDLR'' se  utiliza para conocer el tipo de ecuación y la estructura de su  correspondiente grupo de Galois Diferencial. En la práctica, para  solucionar la ecuación diferencial, se aplica'' ''el  programa"kovacicsols", implementado en Maple, a la ''EDL''     Las soluciones que se obtienen al aplicar "kovacicsols" a la  ecuación <math>\partial _{z}^{2}y-\frac{\partial _{z}\alpha }{\alpha }\partial  _{z}y+\alpha \overline{\alpha }y=0</math> son:

{| class="formulaSCP" style="width: 100%; text-align: left;" 
|-
| 
{| style="text-align: left; margin:auto;width: 100%;" 
|-
| style="text-align: center;" | <math>  y_{1}\left( z\right) =\dfrac{\sqrt{2}\left( 1+i\right) z+2}{2\sqrt  {z^{i}\left( z^{2}+1\right) }}, y_{2}\left( z\right) =\dfrac{\left( \sqrt{2}\left( i-1\right) z+2\right) \sqrt{z^{i}}}{2\sqrt{z^{2}+1}} </math>
|}
|}

al algoritmo proveer dos soluciones se tiene una base de soluciones, y  cualquier solución particular será de la forma:

{| class="formulaSCP" style="width: 100%; text-align: left;" 
|-
| 
{| style="text-align: left; margin:auto;width: 100%;" 
|-
| style="text-align: center;" | <math>  C_{1}\dfrac{\sqrt{2}\left( 1+i\right) z+2}{2\sqrt{z^{i}\left( z^{2}+1\right) }}+C_{2}\dfrac{\left( \sqrt{2}\left( i-1\right) z+2\right) \sqrt{z^{i}}}{2\sqrt{z^{2}+1}},C_{1},C_{2}\in    \mathbb{C}</math>
|}
|}

La base de soluciones de la ''EDLR ''será:

{| class="formulaSCP" style="width: 100%; text-align: left;" 
|-
| 
{| style="text-align: left; margin:auto;width: 100%;" 
|-
| style="text-align: center;" | <math>\begin{array}{l}  \hbox{ }t_{1}\left( z\right)  & =\dfrac{i\sqrt{z^{3}-4\sqrt{2}iz^{2}-\left( 9-10i\right) z^{1}-6\sqrt{2}+2iz^{-1}}}{2\sqrt{z^{i}}\left( z^{2}+1\right) }\\     t_{2}\left( z\right)  & =\dfrac{\sqrt{z^{i}\left( z^{3}-\left( \sqrt{2}+\sqrt{2}i+2i\right) z^{2}-5\left( 1-i\right) z+\sqrt{2}\left( 3-i\right) -iz^{-1}\right) }}{\left( z^{2}+1\right) } \end{array}</math>
|}
|}

La base de soluciones de la Riccati asociada a la ''EDL'', será:

{| class="formulaSCP" style="width: 100%; text-align: left;" 
|-
| 
{| style="text-align: left; margin:auto;width: 100%;" 
|-
| style="text-align: center;" | <math>\begin{array}{l}  u_{1}\left( z\right)  & =\dfrac{-2iz^{3}-\sqrt{2}\left( 3-i\right) z^{2}+2\left( 2-i\right) z-\sqrt{2}\left( 1+i\right) }{-2iz^{3}-\sqrt  {2}\left( 5+i\right) z^{2}-2\left( 2-3i\right) z+\sqrt{2}\left( 1+i\right) }\\ u_{2}\left( z\right)  & =\dfrac{2iz^{3}+\sqrt{2}\left( 3+i\right) z^{2}+2\left( 2+i\right) z+\sqrt{2}\left( 1-i\right) }{-2iz^{3}-\sqrt  {2}\left( 5-i\right) z^{2}+2\left( 2+3i\right) z+\sqrt{2}\left( 1+i\right) } \end{array}</math>
|}
|}

Aplicando el hecho que <math>\overline{u}=\dfrac{-1}{v}</math> y que

{| class="formulaSCP" style="width: 100%; text-align: left;" 
|-
| 
{| style="text-align: left; margin:auto;width: 100%;" 
|-
| style="text-align: center;" | <math>\begin{array}{l}  \dfrac{u+v}{u-v}  & =\widehat{\gamma }_{3},1-\widehat{\gamma }_{3}=\dfrac{-2v}{u-v},\dfrac{\widehat{\gamma }_{3}}{1-\widehat{\gamma }_{3}}=-\dfrac{u+v}{2v}\\ \dfrac{1-uv}{u-v}  & =\widehat{\gamma }_{1}, \dfrac{1+uv}{u-v} i=\widehat{\gamma }_{2} \end{array}</math>
|}
|}

es posible reconstruir la curva.

==3 Solución mediante métodos numéricos ==

En las últimas décadas, Matlab <span id='citeF-14'></span>[[#cite-14|[14]]] se ha convertido en un lenguage cada vez más importante para la computación científica, por ello en esta sección presentamos resultados numéricos, resueltos por medio de un código computacional generado en el lenguaje de Matlab.

Para que sea posible solucionar mediante métodos  numéricos un sistema diferencial, es necesario que la función  vectorial sea continua, acotada, y satisfaga una condición de Lipschitz  con constante de Lipschitz <math>\beta </math> en una región <math>\Re </math> de <math>   \mathbb{R}   ^{n+1}</math>.     A continuación se prueba que la función vectorial,

{| class="formulaSCP" style="width: 100%; text-align: left;" 
|-
| 
{| style="text-align: left; margin:auto;width: 100%;" 
|-
| style="text-align: center;" | <math>  \left( -\dfrac{2\sqrt{2}}{e^{x}+e^{-x}}\gamma _{3}\left( x\right) ,\dfrac{e^{x}-e^{-x}}{e^{x}+e^{-x}}\gamma _{3}\left( x\right) ,\dfrac{2\sqrt{2}}{e^{x}+e^{-x}}\gamma _{1}\left( x\right) -\dfrac{e^{x}-e^{-x} }{e^{x}+e^{-x}}\gamma _{2}\left( x\right) \right) </math>
|}
|}

cumple estas condiciones, por tanto, si <math display="inline">\left( x_{0},\mathbf{Y}_{0}\right) </math> es un punto cualquiera de <math display="inline">\Re </math>, entonces, el problema de valores iniciales

{| class="formulaSCP" style="width: 100%; text-align: left;" 
|-
| 
{| style="text-align: left; margin:auto;width: 100%;" 
|-
| style="text-align: center;" | <math> \begin{array}{cc}  \partial _{x}\mathbf{Y}= &  f\left( x,\mathbf{Y}\right)\\ \mathbf{Y}\left( x_{0}\right) = & \mathbf{Y}_{0} \end{array}  </math>
|}
|}

tiene solución única sobre el intervalo <math display="inline">\left[ a,b\right] </math> y la  gráfica de esta solución se encuentra en <math display="inline">\Re </math>.

''La función es de Lipschitz en ''<math>\gamma </math>

La función <math>f:   \mathbb{R}   \times \mathbb{R}   ^{3}\rightarrow \mathbb{R}   ^{3}</math>, definida mediante,

{| class="formulaSCP" style="width: 100%; text-align: left;" 
|-
| 
{| style="text-align: left; margin:auto;width: 100%;" 
|-
| style="text-align: center;" | <math>  \left( \begin{array}{c}   \partial _{x}\gamma _{1}\\ \partial _{x}\gamma _{2}\\ \partial _{x}\gamma _{3} \end{array}  \right) =\left( \begin{array}{ccc} 0 & 0 & -\dfrac{2\sqrt{2}}{e^{x}+e^{-x}}\\ 0 & 0 & \dfrac{e^{x}-e^{-x}}{e^{x}+e^{-x}}\\ \dfrac{2\sqrt{2}}{e^{x}+e^{-x}} & -\dfrac{e^{x}-e^{-x}}{e^{x}+e^{-x}} & 0  \end{array}  \right) \left( \begin{array}{c}   \gamma _{1}\\ \gamma _{2}\\ \gamma _{3} \end{array}  \right) </math>
|}
|}

es de Lipschitz en su segunda variable, <math display="inline">\overrightarrow{\gamma }=\left( \gamma _{1},\gamma _{2},\gamma _{3}\right) ^{T}</math>, en efecto, sea

{| class="formulaSCP" style="width: 100%; text-align: left;" 
|-
| 
{| style="text-align: left; margin:auto;width: 100%;" 
|-
| style="text-align: center;" | <math>  A=\left( \begin{array}{ccc} 0 & 0 & -\dfrac{2\sqrt{2}}{e^{x}+e^{-x}}\\ 0 & 0 & \dfrac{e^{x}-e^{-x}}{e^{x}+e^{-x}}\\ \dfrac{2\sqrt{2}}{e^{x}+e^{-x}} & -\dfrac{e^{x}-e^{-x}}{e^{x}+e^{-x}} & 0  \end{array}  \right) </math>
|}
|}

<math display="inline">\Rightarrow </math>

{| class="formulaSCP" style="width: 100%; text-align: left;" 
|-
| 
{| style="text-align: left; margin:auto;width: 100%;" 
|-
| style="text-align: center;" | <math>\begin{array}{l}  \left\Vert A\left( \begin{array}{c}  \gamma _{1}^{\star }\\ \gamma _{2}^{\star }\\ \gamma _{3}^{\star } \end{array}  \right)  - A\left( \begin{array}{c}  \gamma _{1}\\ \gamma _{2}\\ \gamma _{3} \end{array}  \right) \right\Vert _{\infty }  & =\left\Vert A\left( \begin{array}{c}   \gamma _{1}^{\star }-\gamma _{1}\\ \gamma _{2}^{\star }-\gamma _{2}\\ \gamma _{3}^{\star }-\gamma _{3} \end{array}  \right) \right\Vert _{\infty }\\ & \leq \left\Vert A\right\Vert _{\infty }\left\Vert \left( \begin{array}{c}   \gamma _{1}^{\star }-\gamma _{1}\\ \gamma _{2}^{\star }-\gamma _{2}\\ \gamma _{3}^{\star }-\gamma _{3} \end{array}  \right) \right\Vert _{\infty } \end{array}</math>
|}
|}

Dado que

{| class="formulaSCP" style="width: 100%; text-align: left;" 
|-
| 
{| style="text-align: left; margin:auto;width: 100%;" 
|-
| style="text-align: center;" | <math>\begin{array}{l}  \left\Vert A\right\Vert _{\infty }  & =\underset{1 \leq  i \leq  3}{\max }{\displaystyle \sum \limits _{j=1}^{3}}   \left\vert a_{ij}\right\vert  \wedge \\   {\displaystyle \sum \limits _{j=1}^{3}}   \left\vert a_{1j}\right\vert  & =\dfrac{2\sqrt{2}}{e^{x}+e^{-x}}, \\   {\displaystyle \sum \limits _{j=1}^{3}}   \left\vert a_{2j}\right\vert  & =\dfrac{\left\vert e^{x}-e^{-x}\right\vert  }{e^{x}+e^{-x}},\\    {\displaystyle \sum \limits _{j=1}^{3}}   \left\vert a_{3j}\right\vert  & =\dfrac{2\sqrt{2}}{e^{x}+e^{-x}} +\dfrac{\left\vert e^{x}-e^{-x}\right\vert }{e^{x}+e^{-x}}\\ & \Rightarrow \left\Vert A\right\Vert _{\infty }=\dfrac{2\sqrt{2}+\left\vert  e^{-x}-e^{x}\right\vert }{e^{x}+e^{-x}} \end{array}</math>
|}
|}

Si <math>x\geq{0}</math>

{| class="formulaSCP" style="width: 100%; text-align: left;" 
|-
| 
{| style="text-align: left; margin:auto;width: 100%;" 
|-
| style="text-align: center;" | <math>\begin{array}{l}  \left\Vert A\right\Vert _{\infty }  & =\dfrac{2\sqrt{2}+\left\vert e^{x} -e^{-x}\right\vert }{e^{x}+e^{-x}}=\dfrac{e^{2x}+2\sqrt{2}e^{x}-1}{e^{2x} +1}=\\ & =\dfrac{e^{2x}-1}{e^{2x}+1}+\dfrac{2\sqrt{2}e^{x}}{e^{2x}+1} \end{array}</math>
|}
|}

<math>\dfrac{e^{2x}-1}{e^{2x}+1}\leq{1}</math> <math>h\left( x\right) =\dfrac{2\sqrt{2}e^{x} }{e^{2x}+1}>0</math> <math>\forall x\in    \mathbb{R}   </math>, alcanza su único máximo relativo en <math>0</math> y <math>\underset{x\rightarrow  \infty }{\lim }\dfrac{2\sqrt{2}e^{x}}{e^{2x}+1}=0</math>, se concluye que <math>0<\dfrac{2\sqrt{2}e^{x}}{e^{2x}+1}\leq \sqrt{2}\Rightarrow{0}<\dfrac{e^{2x} -1}{e^{2x}+1}+\dfrac{2\sqrt{2}e^{x}}{e^{2x}+1}\leq{1}+\sqrt{2}</math> <math>\Rightarrow </math> <math>\left\Vert A\right\Vert _{\infty }\leq{1}+\sqrt{2}</math>     Sea <math>x<0, \left\vert e^{-x}-e^{x}\right\vert =e^{-x}-e^{x}</math>  entonces,

{| class="formulaSCP" style="width: 100%; text-align: left;" 
|-
| 
{| style="text-align: left; margin:auto;width: 100%;" 
|-
| style="text-align: center;" | <math>\begin{array}{l}  \left\Vert A\right\Vert _{\infty }  & =\dfrac{2\sqrt{2}+\left\vert e^{x} -e^{-x}\right\vert }{e^{x}+e^{-x}}=\dfrac{2\sqrt{2}e^{x}+1-e^{2x}}{e^{2x} +1}=\\ & =\dfrac{2\sqrt{2}e^{x}}{e^{2x}+1}+\dfrac{1-e^{2x}}{e^{2x}+1}\leq \sqrt{2}+1  \end{array}</math>
|}
|}

La norma infinito de la matriz <math>A</math> está acotada por <math>1+\sqrt{2},</math>luego

{| class="formulaSCP" style="width: 100%; text-align: left;" 
|-
| 
{| style="text-align: left; margin:auto;width: 100%;" 
|-
| style="text-align: center;" | <math>  \left\Vert A\right\Vert _{\infty }\left\Vert \left( \begin{array}{c}  \gamma _{1}^{\star }-\gamma _{1}\\ \gamma _{2}^{\star }-\gamma _{2}\\ \gamma _{3}^{\star }-\gamma _{3} \end{array}  \right) \right\Vert _{\infty }\leq \left( 1+\sqrt{2}\right) \left\Vert  \left( \begin{array}{c}   \gamma _{1}^{\star }-\gamma _{1}\\ \gamma _{2}^{\star }-\gamma _{2}\\ \gamma _{3}^{\star }-\gamma _{3} \end{array}  \right) \right\Vert _{\infty } </math>
|}
|}

la función <math display="inline">f:   \mathbb{R}   \times \mathbb{R}   ^{3}\rightarrow \mathbb{R}   ^{3}</math> satisface una condición de Lipschitz en la variable <math display="inline">\gamma  </math>con  constante de Lipschitz <math display="inline">1+\sqrt{2}</math> en una región

{| class="formulaSCP" style="width: 100%; text-align: left;" 
|-
| 
{| style="text-align: left; margin:auto;width: 100%;" 
|-
| style="text-align: center;" | <math>\begin{array}{l}  \Re & =\left\{ \left( x,\gamma _{1}\left( x\right) ,\gamma _{2}\left( x\right) ,\gamma _{3}\left( x\right) :x\in    \mathbb{R}   \right) \right\}\\ \Re & \subseteq \mathbb{R}   ^{3+1} \end{array}</math>
|}
|}

y cada una de las funciones <math display="inline">\gamma _{1},\gamma _{2},\gamma _{3}</math> son funciones  acotadas en <math display="inline">   \mathbb{R}   </math> 

El punto <math>\left( 0,\mathbf{\gamma }_{0}\right) ^{T}=\left( 0,0,0.5,-0.5\right) ^{T}</math> es un punto de <math>\Re </math>, entonces el problema de  valores iniciales

{| class="formulaSCP" style="width: 100%; text-align: left;" 
|-
| 
{| style="text-align: left; margin:auto;width: 100%;" 
|-
| style="text-align: center;" | <math>\begin{array}{l}  \left( \begin{array}{c}   \partial _{x}\gamma _{1}\\ \partial _{x}\gamma _{2}\\ \partial _{x}\gamma _{3} \end{array}  \right)  & =\left( \begin{array}{ccc} 0 & 0 & -\dfrac{2\sqrt{2}}{e^{x}+e^{-x}}\\ 0 & 0 & \dfrac{e^{x}-e^{-x}}{e^{x}+e^{-x}}\\ \dfrac{2\sqrt{2}}{e^{x}+e^{-x}} & -\dfrac{e^{x}-e^{-x}}{e^{x}+e^{-x}} & 0  \end{array}  \right) \left( \begin{array}{c}   \gamma _{1}\\ \gamma _{2}\\ \gamma _{3} \end{array}  \right)\\ \left( 0,\mathbf{\gamma }_{0}\right) ^{T}  & =\left( 0,0,0.5,-0.5\right) ^{T} \end{array}</math>
|}
|}

tiene solución única en <math>\Re{.}</math>

Para encontrar la solución numérica del sistema  diferencial

{| class="formulaSCP" style="width: 100%; text-align: left;" 
|-
| 
{| style="text-align: left; margin:auto;width: 100%;" 
|-
| style="text-align: center;" | <math>  \left( \begin{array}{c}  \partial _{x}\gamma _{1}\\ \partial _{x}\gamma _{2}\\ \partial _{x}\gamma _{3} \end{array}  \right) =\left( \begin{array}{ccc} 0 & 0 & -\dfrac{2\sqrt{2}}{e^{x}+e^{-x}}\\ 0 & 0 & \dfrac{e^{x}-e^{-x}}{e^{x}+e^{-x}}\\ \dfrac{2\sqrt{2}}{e^{x}+e^{-x}} & -\dfrac{e^{x}-e^{-x}}{e^{x}+e^{-x}} & 0  \end{array}  \right) \left( \begin{array}{c}  \gamma _{1}\\ \gamma _{2}\\ \gamma _{3} \end{array}  \right) </math>
|}
|}

y de la forma algebrizada del mismo, se usará el método de Runge-Kutta  explícito de Dormand y Prince, DOPRI 5(4).

En la figura [[#img-1|1]] se presenta la gráfica de la solución  del sistema exponencial.  <div id='img-1'></div>
{| class="floating_imageSCP" style="text-align: center; border: 1px solid #BBB; margin: 1em auto; width: 100%;max-width: 100%;"
|-
|[[Image:draft_Samper_914115179-fig1.png|300px|Solución del sistema exponencial.]]
|- style="text-align: center; font-size: 75%;"
| colspan="1" | '''Figura 1:''' Solución del sistema exponencial.
|}
La figura [[#img-2|2]] representan las soluciones numérica y analítica del sistema exponencial.    <div id='img-2'></div>
{| class="floating_imageSCP" style="text-align: center; border: 1px solid #BBB; margin: 1em auto; width: 100%;max-width: 100%;"
|-
|[[Image:draft_Samper_914115179-fig9.png|300px|Sol numérica \left( X<sub>i</sub>\right)  versus Sol analítica \left( B<sub>i</sub>\right)  S. Exp.]]
|- style="text-align: center; font-size: 75%;"
| colspan="1" | '''Figura 2:''' Sol numérica <math>\left( X_{i}\right) </math> versus Sol analítica <math>\left( B_{i}\right) </math> S. Exp.
|}
El cálculo del error absoluto entre la solución analítica y la  numérica del sistema exponencial, produjo los resultados gráficos  mostrados en las figuras [[#img-3|3]], [[#img-4|4]] y [[#img-5|5]].    <div id='img-3'></div>
{| class="floating_imageSCP" style="text-align: center; border: 1px solid #BBB; margin: 1em auto; width: 100%;max-width: 100%;"
|-
|[[Image:draft_Samper_914115179-fig10.png|300px|Error absoluto entre B₁ y X₁.]]
|- style="text-align: center; font-size: 75%;"
| colspan="1" | '''Figura 3:''' Error absoluto entre <math>B_{1}</math> y <math>X_{1}</math>.
|}
<div id='img-4'></div>
{| class="floating_imageSCP" style="text-align: center; border: 1px solid #BBB; margin: 1em auto; width: 100%;max-width: 100%;"
|-
|[[Image:draft_Samper_914115179-fig11.png|300px|Error absoluto entre B₂ y X₂.]]
|- style="text-align: center; font-size: 75%;"
| colspan="1" | '''Figura 4:''' Error absoluto entre <math>B_{2}</math> y <math>X_{2}</math>.
|}
<div id='img-5'></div>
{| class="floating_imageSCP" style="text-align: center; border: 1px solid #BBB; margin: 1em auto; width: 100%;max-width: 100%;"
|-
|[[Image:draft_Samper_914115179-fig12.png|300px|Error absoluto entre B₃ y X₃.]]
|- style="text-align: center; font-size: 75%;"
| colspan="1" | '''Figura 5:''' Error absoluto entre <math>B_{3}</math> y <math>X_{3}</math>.
|}
Al calcular el error relativo entre las soluciones analíticas y  numérica del sistema exponencial se obtuvo la información gráfica  que se expone en las figuras [[#img-6|6]], [[#img-7|7]] y [[#img-8|8]].       <div id='img-6'></div>
{| class="floating_imageSCP" style="text-align: center; border: 1px solid #BBB; margin: 1em auto; width: 100%;max-width: 100%;"
|-
|[[Image:draft_Samper_914115179-fig14.png|300px|Error relativo entre B₁ y X₁.]]
|- style="text-align: center; font-size: 75%;"
| colspan="1" | '''Figura 6:''' Error relativo entre <math>B_{1}</math> y <math>X_{1}</math>.
|}
<div id='img-7'></div>
{| class="floating_imageSCP" style="text-align: center; border: 1px solid #BBB; margin: 1em auto; width: 100%;max-width: 100%;"
|-
|[[Image:draft_Samper_914115179-fig15.png|300px|Error relativo entre B₂ y X₂.]]
|- style="text-align: center; font-size: 75%;"
| colspan="1" | '''Figura 7:''' Error relativo entre <math>B_{2}</math> y <math>X_{2}</math>.
|}
<div id='img-8'></div>
{| class="floating_imageSCP" style="text-align: center; border: 1px solid #BBB; margin: 1em auto; width: 100%;max-width: 100%;"
|-
|[[Image:draft_Samper_914115179-fig16.png|300px|Error relativo entre B₃ y X₃.]]
|- style="text-align: center; font-size: 75%;"
| colspan="1" | '''Figura 8:''' Error relativo entre <math>B_{3}</math> y <math>X_{3}</math>.
|}

La representación gráfica de la solución del sistema  algebrizado se presenta en la figura [[#img-9|9]].    <div id='img-9'></div>
{| class="floating_imageSCP" style="text-align: center; border: 1px solid #BBB; margin: 1em auto; width: 100%;max-width: 100%;"
|-
|[[Image:draft_Samper_914115179-fig17.png|300px|Solución sistema algebrizado.]]
|- style="text-align: center; font-size: 75%;"
| colspan="1" | '''Figura 9:''' Solución sistema algebrizado.
|}

El programa mediante el cual se comparan la solución  numérica y analítica del sistema algebrizado produce los resultados presentados en la figura [[#img-10|10]].    <div id='img-10'></div>
{| class="floating_imageSCP" style="text-align: center; border: 1px solid #BBB; margin: 1em auto; width: 100%;max-width: 100%;"
|-
|[[Image:draft_Samper_914115179-fig2.png|300px|Sol. numérica versus Sol. analítica. S. Algebrizado.]]
|- style="text-align: center; font-size: 75%;"
| colspan="1" | '''Figura 10:''' Sol. numérica versus Sol. analítica. S. Algebrizado.
|}
Las figuras [[#img-11|11]], [[#img-12|12]] y [[#img-13|13]] muestran el error absoluto entre la solución  numérica y la analítica del sistema algebrizado.       <div id='img-11'></div>
{| class="floating_imageSCP" style="text-align: center; border: 1px solid #BBB; margin: 1em auto; width: 100%;max-width: 100%;"
|-
|[[Image:draft_Samper_914115179-fig3.png|300px|Error absoluto entre X₁ y G₁.]]
|- style="text-align: center; font-size: 75%;"
| colspan="1" | '''Figura 11:''' Error absoluto entre <math>X_{1}</math> y <math>G_{1}</math>.
|}
<div id='img-12'></div>
{| class="floating_imageSCP" style="text-align: center; border: 1px solid #BBB; margin: 1em auto; width: 100%;max-width: 100%;"
|-
|[[Image:draft_Samper_914115179-fig4.png|300px|Error absoluto entre X₂ y G₂.]]
|- style="text-align: center; font-size: 75%;"
| colspan="1" | '''Figura 12:''' Error absoluto entre <math>X_{2}</math> y <math>G_{2}</math>.
|}
<div id='img-13'></div>
{| class="floating_imageSCP" style="text-align: center; border: 1px solid #BBB; margin: 1em auto; width: 100%;max-width: 100%;"
|-
|[[Image:draft_Samper_914115179-fig5.png|300px|Error absoluto entre X₃ y G₃.]]
|- style="text-align: center; font-size: 75%;"
| colspan="1" | '''Figura 13:''' Error absoluto entre <math>X_{3}</math> y <math>G_{3}</math>.
|}
En las figuras [[#img-14|14]], [[#img-15|15]] y [[#img-16|16]] se muestran los errores relativos entre las soluciones  analítica y numérica del sistema algebrizado:        <div id='img-14'></div>
{| class="floating_imageSCP" style="text-align: center; border: 1px solid #BBB; margin: 1em auto; width: 100%;max-width: 100%;"
|-
|[[Image:draft_Samper_914115179-fig6.png|300px|Error relativo entre X₁ y G₁.]]
|- style="text-align: center; font-size: 75%;"
| colspan="1" | '''Figura 14:''' Error relativo entre <math>X_{1}</math> y <math>G_{1}</math>.
|}
<div id='img-15'></div>
{| class="floating_imageSCP" style="text-align: center; border: 1px solid #BBB; margin: 1em auto; width: 100%;max-width: 100%;"
|-
|[[Image:draft_Samper_914115179-fig7.png|300px|Error relativo entre X₂ y G₂.]]
|- style="text-align: center; font-size: 75%;"
| colspan="1" | '''Figura 15:''' Error relativo entre <math>X_{2}</math> y <math>G_{2}</math>.
|}
<div id='img-16'></div>
{| class="floating_imageSCP" style="text-align: center; border: 1px solid #BBB; margin: 1em auto; width: 100%;max-width: 100%;"
|-
|[[Image:draft_Samper_914115179-fig8.png|300px|Error relativo entre X₃ y G₃.]]
|- style="text-align: center; font-size: 75%;"
| colspan="1" | '''Figura 16:''' Error relativo entre <math>X_{3}</math> y <math>G_{3}</math>.
|}

==4 Conclusiones==

Las gráficas que se obtienen al correr el programa que se  diseñó, ponen de manifiesto una diferencia notable entre las  soluciones numérica y analítica del sistema diferencial cuando el  mismo está en forma exponencial.

Se observa que la diferencia  existente entre las soluciones numérica y analítica, cuando se  trabaja con la forma algebrizada del sistema diferencial, es imperceptible,  gráficamente no hay distinción clara, el orden del error entre las dos  soluciones es pequeño.

Al menos para este sistema, es evidente la  necesidad de algebrizar previamente el sistema para que la solución  numérica obtenida sea la adecuada.

El proceso que permite la  algebrización del sistema diferencial hace uso de procesos proyectivos y  de las coordenadas simétricas de Darboux, mediante estos procesos se  obtuvieron las transformaciones expuestas. Este trabajo, al igual que <span id='citeF-4'></span>[[#cite-4|[4]]], pone en evidencia que la algebrización Hamiltoniana es una herramienta útil, junto con los métodos numéricos, puesto que permiten minimizar los errores.

==Agradecimientos==

Los autores agradecen a la Vicerrectoría de Investigaciones de la Universidad Simón Bolívar, por el apoyo brindado para la publicación de este artículo. Los autores agradecen también a la Universidad del Norte, en donde se realizó la mayor parte del trabajo. Finalmente los autores agradecen a los árbitros anónimos por su ayuda para mejorar este documento.


==Bibliografía==
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