​

===F. Perazzo<sup>1,3</sup>, E. Oñate<sup>1,2</sup>, J. Miquel<sup>2</sup>===

​

<sup>1</sup> Centre Internacional de Metodes Numerics a l'Enginyeria - CIMNE, Barcelona, Spain

​

<sup>2</sup> Universitat Politècnica de Catalunya (UPC)

​

<sup>3</sup> Universidad Técnica Federico Santa María, Valparaíso, Chile

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'' A mi esposa y compañera Ivette, a mis lindos hijos Flavia y Gianluca, por todo el cariño y apoyo entregado durante la realización de este trabajo''

​

=Agradecimientos=

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Deseo expresar mi gratitud y agradecimiento en primer lugar a los profesores Dr. Eugenio Oñate Ibáñez de Navarra y Dr. Juan Miquel Canet, por toda la ayuda, orientación y apropiados consejos entregados durante la dirección de esta tesis. La palabra y motivación oportuna que me han entregado, posibilitó mi comprensión de los métodos sin malla en este apasionante mundo de la investigación.

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Mi total gratitud también para mi esposa e hijos, por la paciencia y comprensión demostrada, también por el constante apoyo y en especial, el cariño y todas las alegrías que me han brindado. En estos instantes especiales de mi vida, deseo expresar y agradecer a mi padre Aldo Perazzo y mi madre María Maggi, el haberme enseñado el camino correcto para llegar a tan importante meta.

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Mi más sincero agradecimiento para mi amigo Dr. Carlos Sacco, por su inusual característica de escuchar y atender siempre a mis dudas, sin duda echaré de menos todos los análisis y conversaciones que mantuvimos en el bar de la escuela, en torno al tema de los métodos sin malla.

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Quiero agradecer también a todos mis amigos y compañeros que me han alentado y acompañado durante este largo camino, a los doctores Alex Hanganu y Juan Carlos Cante, y finalmente a Quino, Loli, Carlos, Dudiño y Fernando, a quienes les deseo toda la suerte del mundo.

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Por último quiero tener una palabra de agradecimiento para con mis colegas del departamento de Ingeniería Mecánica de la UTFSM de Chile, a todo el personal del CIMNE y del Departamento de Resistencia de Materiales de la UPC en Barcelona, por todo el apoyo y confianza que me han brindado.

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=1 Introducción=

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El método de elementos finitos (MEF) ha sido durante los últimos 25 años, y sigue siendo, la herramienta numérica más utilizada para simular diversos problemas en mecánica computacional. El buen prestigio que ostenta el método se debe en gran medida a la fiabilidad de sus resultados, cuando este se utiliza adecuadamente, y la variada gama de problemas que permite simular. Sin embargo, en la última década se ha producido un avance importante en el conocimiento y posibilidades de aplicación de un nuevo tipo de método numérico denominado  'sin malla''', ''en inglés ''meshless, gridless, element-free. ''Este método, que presenta ciertas particularidades desde el punto de vista de su formulación, es hoy en día objeto de numerosas investigaciones y lentamente se ha comenzado a posicionar como una alternativa de solución para problemas en donde los métodos tradicionales, como el de elementos finitos y volúmens finitos, presentan ciertas desventajas.

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A pesar del auge experimentado en el último tiempo por esta técnica, su utilización y primeras aplicaciones corresponden a la década de los setenta en el campo de la astrofísica <span id='citeF-59'></span>[[#cite-59|[59]]], principalmente para modelar determinados fenómenos como fisión de estrellas en rotación, donde intervienen masas de fluído en movimiento sin la presencia de contornos. Durante los siguientes diez años el método, bautizado con el acrónimo de SPH (smoothed-particle-hydrodynamics) pasó inadvertido hasta que su versatilidad y posible utilización en otros campos fué redescubierta <span id='citeF-64'></span>[[#cite-64|[64]]], dando lugar al desarrollo de diversas variantes que han dado origen a otros tantos nuevos métodos sin malla.

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Entre éstos se destacan aquellas técnicas en las que se construye la aproximación local, utilizando un polinomio interpolante mediante mínimos cuadrados, hoy en día, se reconoce al método DEM (diffuse-element.method) <span id='citeF-69'></span>[[#cite-69|[69]]] como precursor en utilizar este tipo de técnica en conjunto con una formulación de Galekin. Sin embargo, al igual que en otros métodos sin malla, en el DEM es necesario recurrir a una malla de fondo o auxiliar para resolver la cuadratura numérica en su forma débil. Esto produce cierta confusión respecto de la idea de método ''sin malla'' planteada en un comienzo y, aunque el uso de una malla de fondo sea para propósitos de cuadratura numérica y no para construir la aproximación, se aparta de la filosofía o motivación original de este tipo de técnica.

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Una forma alternativa de eliminar el uso de esta malla de fondo es utilizar un procedimiento de Colocación Puntual, el cual también se utiliza en el método SPH, empero, el método resultante puede presentar ciertas restricciones debido a la sensibilidad en la ubicación de estos puntos de colocación. Buscar una forma de atenuar esta sensibilidad o contar con una estrategia para corregirla, permitiría aprovechar en toda su potencialidad el procedimiento de colocación en el contexto de los métodos sin malla.

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==1.1 Motivación==

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En la utilización de todo método sin malla se busca que el modelo discreto sea completamente descrito por nodos. Con esto se consigue que los datos necesarios para describir el dominio de la solución sean simplemente las coordenadas de estos nodos y cierta información del contorno. La ausencia de una malla de elementos o elementos y sus conectividades, reporta ciertas ventajas respecto de los métodos tradicionales:

​

*  La sencillez para discretizar el dominio de la solución en base a un conjunto de puntos distribuidos arbitrariamente, esta información por ejemplo se puede obtener a partir de cualquier sistema CAD

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*  No existe una conectividad fija entre los nodos que conforman el subdominio de interpolación y que permiten obtener la aproximación en forma local

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*  Menor tiempo empleado en la preparación de la información necesaria para el cálculo. Buena parte del tiempo total de una modelación compleja se invierte en realizar el modelo y la discretización por elementos o mallado, si bien los generadores de malla hoy en día son rápidos y eficientes en geometrías relativemente sencillas, lograr una malla de calidad en problemas tridimensionales sigue siendo una tarea ardua y no exenta de problemas. Por ejemplo, el proceso de generación de una malla en 3D puede tardar más tiempo que el tiempo de cálculo involucrado en la solución del sistema de ecuaciones discreto del modelo <span id='citeF-84'></span>[[#cite-84|[84]]].

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*  Facilidad para realizar un procedimiento de solución adaptable, puesto que sólo es necesario agregar más nodos en las zonas de interés sin preocupase por la cercanía con los demás. En el MEF la cercanía entre dos nodos produce un fuerte gradiente en la función de forma, lo que origina errores numéricos en la solución <span id='citeF-71'></span>[[#cite-71|[71]]].

​

*  Facilidad para modelar problemas que involucren grandes deformaciones de la geometría o superfiicies en movimiento. Grandes distorsiones en los elementos de una malla hacen necesario realizar un procedimiento de remallado antes de efectuar el cálculo, esto conlleva un encarecimiento del coste computacional en aquellos problemas como conformado de metales o propagación de una grieta, que se caracterizan por un constante cambio en la geometría del dominio de análisis.

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*  Pueden proporcionar soluciones cuyas derivadas sean continuas. Es fácil construir funciones del tipo <math display="inline">\mathcal{C}^{1}</math>, con lo cual el campo de deformaciones y tensiones en el dominio es continuo, haciendo innecesario el uso de técnicas de alisado que pueden resultar complicadas y costosas de implementar.

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Para dimensionar el alcance real que pueden tener estas ventajas en un método sin malla, surge la necesidad de estudiar detenidamente su formulación matemática y evaluar las distintas alternativas que presenta su implementación para la resolución de las ecuaciones de la elasticidad lineal de sólidos. Esta ha sido la principal motivación para el desarrollo de la presente tesis, que nace dentro del las líneas de investigación en métodos sin malla que en forma conjunta llevan a cabo el Departamento de Resistencia de Materiales y Estructuras en la Ingeniería y el Centro Internacional de Métodos Numéricos en la Universidad Politécnica de Cataluña, En particular, se enfocará el estudio en el llamado 'Método de Puntos Finitos (MPF)' que ha sido la respuesta dada por estos centros de investigación a la iniciativa de formular un nuevo método sin malla.

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Es pertinente mencionar en este apartado una breve aclaración respecto del nombre de ''Puntos Finitos,'' con el cual se ha denominado al método numérico objeto de investigación en esta tesis. El nombre se debe a las características particulares del método, es decir: una técnica numérica totalmente libre de malla en la cual el dominio se discretiza mediante un número finito de puntos.

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==1.2 Objetivos de la tesis==

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El objetivo principal de la tesis es obtener y desarrollar la formulación del Método de Puntos Finitos, como método totalmente libre de malla, para la resolución de las ecuaciones de la elasticidad en sólidos. Para cumplir este objetivo se pretende determinar y estudiar los aspectos relevantes de la fundamentación matemática del método, entre otros, la aproximación mediante mínimos cuadrados móviles, la función de ponderación y la técnica de colocación puntual. Para un completo análisis de las capacidades del método, se implementará un código que permita resolver diversos problemas, de índole mas bien académico, principalmente en 1D, 2D y en forma complementaria en 3D.

​

Como objetivos secundarios merecen ser destacados además, los siguientes:

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*  estudiar y analizar las principales propiedades de la aproximación, entre otras la consistencia y convergencia

​

*  desarrollar una estrategia para seleccionar adecuadamente los puntos que conformarán la nube o subdominio de interpolación

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*  analizar la sensibilidad del método respecto de la adecuada colocación de los puntos en el dominio, tanto para discretizaciones regulares como irregulares de nodos

​

*  evaluar la correcta implementación de las condiciones de contorno

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*  identificar aquellos aspectos relevantes que afecten y comprometan la exactitud de la aproximación, buscando plantear alternativas de solución para estos casos

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Se pretende finalmente extender el desarrollo en la formulación del MPF para abarcar, además del análisis estático, algunos problemas de la dinámica lineal de sólidos.

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==1.3 Contenidos de la tesis==

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Para cumplir con los objetivos de este trabajo, la tesis se ha estructurado en 8 capítulos, el primero de ellos describe la motivación y el marco teórico en que esta se desarrollará. En el Capítulo 2 se entregan los principales fundamentos teóricos de los métodos sin malla bajo la perspectiva de las tres caracteristicas básicas que los distinguen como son, el tipo de aproximación, la función de ponderación y la forma de resolver el sistema discreto de ecuaciones. Bajo estos mismos conceptos, en el Capítulo 3 se presentan los aspectos matemáticos necesarios para comprender el Método de Puntos Finitos como método sin malla. Es en el Capítulo 4 donde se analiza en detalle la consistencia y convergencia del MPF, a través del desarrollo de diversos ejemplos de resolución de las ecuaciones de la elasticidad en sólidos, los resultados de este capítulo son fundamentales para comprender la importancia de plantear la estrategia que se presenta posteriormente. En el Capítulo 5 se formula una nueva metodología para mejorar la solución numérica de la aproximación por el MPF, principalmente en las zonas del contorno. Con los ejemplos de la elasticidad lineal de sólidos, estáticos y dinámicos, implementados en los Capítulos 6 y 7, se pretende comprobar la validez de la modificación propuesta. Se completa el estudio y análisis de la metodología sin malla formulada, con las conclusiones y las futuras líneas de investigación presentes en el Capítulo 8.

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=2 Revisión de los fundamentos teóricos de los métodos sin malla=

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Es conveniente especificar o definir globalmente, a manera de introducción y para aclarar conceptos, las características que posee una técnica numérica para que pueda ser interpretada como sin malla o libre de malla.

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Duarte <span id='citeF-25'></span>[[#cite-25|[25]]] entrega en su trabajo una primera propuesta para definir este tipo de técnica: un método se considera sin malla si las ecuaciones básicas que gobiernan el modelo discreto del problema de contorno no dependen de la disponibilidad de una malla bien definida. Sin embargo, como podrá constatarse en este capítulo, algunos métodos son aceptados como sin malla a pesar de tener una débil dependencia respecto de una malla utilizada para calcular la cuadratura numérica de las ecuaciones integrales que gobiernan el modelo discreto.

​

Con posterioridad, Oñate <span id='citeF-74'></span>[[#cite-74|[74]]] formula en su trabajo una segunda propuesta al respecto, planteando que un procedimiento sin malla debiera satisfacer las siguientes condiciones:

​

<ol>

​

<li>

​

</li>

<li> La discretización de la función incógnita y sus derivadas deben poder ser definidas solamente en términos de la posición de los puntos localizados dentro del dominio de análisis y de los parámetros especificados en éstos. </li>

​

<li> La función de ponderación y sus derivadas deben poder ser definidas solamente en términos de la posición de los puntos localizados dentro del dominio de análisis. </li>

​

<li>

​

</li>

<li> No es necesario realizar ninguna integración de volumen o superficie, o </li>

​

<li> Cualquier integración de volumen o superficie debiera ser independiente del procedimiento de interpolación escogido. </li>

​

</ol>

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Este último planteamiento es un buen punto de partida para comprender las características y funcionamiento de los distintos métodos numéricos ''mesh-free'' existentes, ya que entrega conceptos claves que son comunes a todos ellos: ''discretización de la función incógnita, función de ponderación, procedimiento de interpolación, ''e incorpora formalmente la posible utilización de una malla de fondo o celda de integración''. ''Estos aspectos y la similitud que presentan estas técnicas, desde el punto de vista de su formulación matemática, ha sido objeto de análisis y estudio por parte de diversos grupos de trabajo <span id='citeF-71'></span>[[#cite-71|[71]]] <span id='citeF-25'></span>[[#cite-25|[25]]] <span id='citeF-61'></span>[[#cite-61|[61]]] <span id='citeF-11'></span>[[#cite-11|[11]]].

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En el presente capítulo se exponen y examinan los diversos fundamentos matemáticos de las aproximaciones numéricas sin malla, para la resolución de sistemas de ecuaciones diferenciales en derivadas parciales sometidas a condiciones iniciales y de contorno conocidas. El análisis comprende cuatro etapas estrechamente relacionadas con el Método de Puntos Finitos: ''proceso de interpolación o de aproximación, uso de funciones de ponderación, discretización del sistema de ecuaciones diferenciales e implementación de las condiciones de contorno prescritas.''

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==2.1 Aproximación y funciones de interpolación==

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Una característica importante de todo método sin malla es, sin lugar a dudas, la forma de obtener la aproximación de la función incógnita o desconocida en el dominio de análisis. Para este propósito, y en lo que resta de este capítulo, consideraremos que la aproximación <math display="inline">\widehat{u}(\mathbf{x})</math> de la función <math display="inline">u(\mathbf{x})</math> en el dominio <math display="inline">\Omega \subset \Bbb{R}^{d}</math>,<math display="inline"> d=1</math>,<math display="inline">2</math> o <math display="inline">3</math>, se obtiene mediante la siguiente combinación de funciones

​

<span id="eq-2.1"></span>

{| class="formulaSCP" style="width: 100%; text-align: left;" 

|-

| 

{| style="text-align: left; margin:auto;width: 100%;" 

|-

| style="text-align: center;" | <math>u(\mathbf{x})\cong \widehat{u}(\mathbf{x})=\stackrel{N}{\underset{I=1}{\sum }}\phi _{I}(\mathbf{x})u_{I}^{h}   </math>

|}

| style="width: 5px;text-align: right;white-space: nowrap;" | (2.1)

|}

​

El dominio <math display="inline">\Omega </math> se discretiza por medio de un conjunto de nodos o puntos <math display="inline">\mathbf{x}_{I}</math>, con <math display="inline">I=1</math>,<math display="inline">.....</math>,<math display="inline">N</math>, siendo <math display="inline">N</math> el número total de puntos y <math display="inline">u_{I}^{h}</math> el valor aproximado de la función <math display="inline">u(\mathbf{x})</math> en el punto <math display="inline">I</math>, <math display="inline">u(\mathbf{x}_{I})\cong u_{I}^{h}</math>. La función <math display="inline">\phi _{I}(\mathbf{x})</math> se define localmente para cada subdominio <math display="inline">\Omega _{I}\subset \Omega </math>, cumpliéndose:

​

<span id="eq-2.2"></span>

{| class="formulaSCP" style="width: 100%; text-align: left;" 

|-

| 

{| style="text-align: left; margin:auto;width: 100%;" 

|-

| style="text-align: center;" | <math>\begin{array}{l}\phi _{I}(\mathbf{x})\neq 0\hbox{ }\forall \hbox{ }\mathbf{x}\in  \Omega _{I} \\  \phi _{I}(\mathbf{x})=0\hbox{ }\forall \hbox{ }\mathbf{x}\notin  \Omega _{I} \end{array}  </math>

|}

| style="width: 5px;text-align: right;white-space: nowrap;" | (2.2)

|}

​

En los métodos sin malla la función <math display="inline">\phi _{I}(\mathbf{x})</math> se denomina indistintamente como función de forma o ''función de interpolación'', quedando definida en el subdominio <math display="inline">\Omega _{I}</math> que contiene una cantidad <math display="inline">n</math> de puntos, tal que <math display="inline">n\ll N</math>.

​

Para que la función de forma tenga un carácter local, es común en estos métodos el uso de una ''función de ponderación ''<math display="inline">w_{\overline{\mathbf{x}}}(\mathbf{x})=w(\overline{\mathbf{x}}-\mathbf{x})</math> cuyo valor es distinto de cero, sobre el subdominio <math display="inline">\Omega _{\overline{\mathbf{x}}}</math> relativamente pequeño respecto del resto del dominio <math display="inline">\Omega </math>. En el argumento de la función de ponderación: <math display="inline">\mathbf{x}</math> indica un punto cualquiera<math display="inline"></math><span id="fnc-1"></span>[[#fn-1|<sup>1</sup>]] del subdominio <math display="inline">\Omega _{\overline{\mathbf{x}}}</math>, <math display="inline">\overline{\mathbf{x}}</math> referencia el punto donde se está efectuando la aproximación y donde la función de ponderación alcanza un máximo valor. El símbolo <math display="inline">\Omega _{I}</math> se reservará en esta tesis para indicar el subdominio asociado a un punto de coordenadas <math display="inline">\mathbf{x}_{I}</math> de la partición, sobre el cual se desea calcular o conocer los parámetros de la aproximación (figura [[#img-1|1]]). Dicho punto, en el léxico del MPF, se conoce como ''nodo estrella''. Por otro lado, el símbolo <math display="inline">\Omega _{\mathbf{x}}</math> o <math display="inline">\Omega _{\overline{\mathbf{x}}}</math> indicará el subdominio asociado a un punto de coordenadas genéricas <math display="inline">\mathbf{x}</math> o <math display="inline">\overline{\mathbf{x}}</math> respectivamente.

​

Cada subdominio <math display="inline">\Omega _{I}</math>, dominio de influencia o ''soporte ''de la función de ponderación, se define de manera que en 1D es siempre un intervalo, mientras que en 2D y 3D adopta la forma de disco y esfera respectivamente. También es posible emplear rectángulos o paralelepípedos, incluso es posible utilizar las dos geometrías circular y rectangular en un mismo modelo <span id='citeF-11'></span>[[#cite-11|[11]]]<span id="fnc-2"></span>[[#fn-2|<sup>2</sup>]]. Para un caso en 2D, la figura  [[#img-1|1]] muestra el dominio de análisis <math display="inline">\Omega </math>, su contorno <math display="inline">\Gamma </math> y algunos subdominios circulares <math display="inline">\Omega _{I}</math> asociados a su respectivo nodo estrella <math display="inline">I</math> (sean de interior o de contorno). Como para cada nodo de la partición existirá su correspondiente subdominio, la intersección o traslape existente entre ellos será mayor a la mostrada en la figura. Esta característica, que será analizada posteriormente, posibilita el hecho de que un mismo punto usualmente pertenezca a <math display="inline">6</math> o más subdominios de interpolación

​

<div id='img-1'></div>

{| class="floating_imageSCP" style="text-align: center; border: 1px solid #BBB; margin: 1em auto; width: 100%;max-width: 100%;"

|-

|[[Image:draft_Samper_249558229-subdominios.png|600px|Modelo para un metodo sin malla basado en subdominios circulares]]

|- style="text-align: center; font-size: 75%;"

| colspan="1" | '''Figura 1:''' Modelo para un metodo sin malla basado en subdominios circulares

|}

A continuación se describen y examinan los principales tipos de aproximación utilizados en los métodos sin malla, se analizarán sus propiedades y la conexión existente entre las distintas funciones de interpolación utilizadas. El análisis comprende fundamentalmente aquellas técnicas que por su construcción se asemejan al MPF, lo cual facilitará posteriormente su entendimiento desde el punto de vista de su mecánica operativa.

​

<span id="fn-1"></span>

<span style="text-align: center; font-size: 75%;">([[#fnc-1|<sup>1</sup>]]) En el caso de las aproximaciones utilizadas en los metodos sin malla, este punto pertenece a la partición <math>\rightarrow x=x_{I}</math></span>

​

<span id="fn-2"></span>

<span style="text-align: center; font-size: 75%;">([[#fnc-2|<sup>2</sup>]]) Las funciones de ponderación que permiten generar este tipo de subdominios se analizan en el apartado 2.3</span>

​

===2.1.1 Aproximación por mínimos cuadrados ponderados===

​

Una aproximación por mínimos cuadrados busca ajustar una curva o polinomio a los valores discretos de una función en unos puntos, de forma de minimizar el error cometido en la aproximación. A pesar que este tipo de aproximación difiere de lo que se conoce tradicionalmente como una interpolación, porque el polinomio no se iguala exactamente con los datos en los puntos, en la literatura de los métodos ''meshless'' los términos aproximación e interpolación suelen tratarse como sinónimos. Esta técnica ha sido utilizada en la resolución numérica de problemas de mecánica de sólidos y fluidos <span id='citeF-68'></span>[[#cite-68|[68]]] <span id='citeF-47'></span>[[#cite-47|[47]]] <span id='citeF-6'></span>[[#cite-6|[6]]] , para aproximar el campo desconocido o incógnita a través de unos valores nodales. Sin embargo, tal como se demuestra en <span id='citeF-71'></span>[[#cite-71|[71]]], el éxito de esta aproximación presenta una importante restricción o inconveniente. La aproximación se deteriora rápidamente en la medida que el número de puntos utilizados en la interpolación local, <math display="inline">n</math>, aumenta o crece demasiado respecto del número de términos en el polinomio base de interpolación, <math display="inline">m</math>. Para paliar este inconveniente se recurre al uso de una función de ponderación <math display="inline">w_{\overline{\mathbf{x}}}(\mathbf{x})</math>, que permite mejorar la aproximación por ejemplo, en la vecindad del punto <math display="inline">\overline{\mathbf{x}}</math> donde se requiere calcular la función o su derivada.

​

Una de las primeras aproximaciones por mínimos cuadrados, en la cual se introdujo el concepto de la función de ponderación, fue utilizada por Lancaster y Salkauskas <span id='citeF-42'></span>[[#cite-42|[42]]] para representar o generar diversos tipos de superficies, a partir de la interpolación de una función base polinómica (interpolante) sobre un set de puntos aleatoriamente distribuidos en un dominio. Posteriormente este método, denominado por los autores como `interpolating moving least squares method' IMLS, ha sido ampliamente utilizado en el contexto de los métodos sin malla, para obtener una solución numérica aproximada a sistemas de ecuaciones en derivadas parciales <span id='citeF-93'></span>[[#cite-93|[93]]]. Buen ejemplo de lo anterior, son las distintas familias de métodos sin malla que utilizan la técnica de interpolación tipo `moving least squares' (MLS), como: `diffuse element method' (DEM) <span id='citeF-69'></span>[[#cite-69|[69]]], `element-free Galerkin methods' (EFGM) <span id='citeF-9'></span>[[#cite-9|[9]]], `finite point method' (FPM) <span id='citeF-71'></span>[[#cite-71|[71]]], `meshless local Petrov-Galerkin method' (MLPG) <span id='citeF-3'></span>[[#cite-3|[3]]], `local boundary integral equation method' (LBIE) <span id='citeF-105'></span>[[#cite-105|[105]]], y más recientemente `local point interpolation method' (LPIM) <span id='citeF-49'></span>[[#cite-49|[49]]] y `least-squares collocation meshless method' (LSCMM) <span id='citeF-103'></span>[[#cite-103|[103]]].

​

====2.1.1.1 Aproximación tipo `moving least squares' MLS====

​

==Construcción==

​

En un método MLS, la aproximación local <math display="inline">\widehat{u}(\mathbf{x)}</math> de la función <math display="inline">u(\mathbf{x})</math> para cada punto <math display="inline">\overline{\mathbf{x}}\in  \Omega </math>, se obtiene mediante una base de <math display="inline">m</math> funciones linealmente independientes <math display="inline">\mathcal{P}:=\left\{p_{1}(\mathbf{x}),.....,p_{m}(\mathbf{x})\right\}</math> y de un conjunto de <math display="inline">m</math> coeficientes desconocidos <math display="inline">\mathcal{\alpha }:=\left\{\alpha _{1}(\overline{\mathbf{x}}),.....,\alpha _{m}(\overline{\mathbf{x}})\right\}</math>, de la siguiente manera

​

<span id="eq-2.3"></span>

{| class="formulaSCP" style="width: 100%; text-align: left;" 

|-

| 

{| style="text-align: left; margin:auto;width: 100%;" 

|-

| style="text-align: center;" | <math>u(\mathbf{x})\cong \widehat{u}(\mathbf{x}):=\stackrel{m}{\underset{i=1}{\sum }}p_{i}(\mathbf{x})\alpha _{i}(\overline{\mathbf{x}})=\mathbf{p}^{T}(\mathbf{x})\mathbf{\alpha }(\overline{\mathbf{x}})\hbox{ }\forall  \mathbf{\bar{x}}\in \Omega   </math>

|}

| style="width: 5px;text-align: right;white-space: nowrap;" | (2.3)

|}

​

siendo el operador <math display="inline">L_{\overline{x}}</math> una aplicación

​

<span id="eq-2.4"></span>

{| class="formulaSCP" style="width: 100%; text-align: left;" 

|-

| 

{| style="text-align: left; margin:auto;width: 100%;" 

|-

| style="text-align: center;" | <math>L_{\overline{x}}:C^{0}(\Omega _{\overline{\mathbf{x}}})\rightarrow  C^{m}(\Omega _{\overline{\mathbf{x}}})   </math>

|}

| style="width: 5px;text-align: right;white-space: nowrap;" | (2.4)

|}

​

con los vectores

​

<span id="eq-2.5"></span>

{| class="formulaSCP" style="width: 100%; text-align: left;" 

|-

| 

{| style="text-align: left; margin:auto;width: 100%;" 

|-

| style="text-align: center;" | <math>\begin{array}{ll}\mathbf{p}^{T}(\mathbf{x})\mathbf{:=}\left[\hbox{ }p_{1}(\mathbf{x})\hbox{ }p_{2}(\mathbf{x})\hbox{ .... }p_{m}(\mathbf{x})\hbox{ }\right]& \hbox{ , }\in Vec(m) \end{array}  </math>

|}

| style="width: 5px;text-align: right;white-space: nowrap;" | (2.5)

|}

​

<span id="eq-2.6"></span>

{| class="formulaSCP" style="width: 100%; text-align: left;" 

|-

| 

{| style="text-align: left; margin:auto;width: 100%;" 

|-

| style="text-align: center;" | <math>\begin{array}{rr}\mathbf{\alpha }^{T}(\overline{\mathbf{x}}):=\left[\hbox{ }\alpha _{1}(\overline{\mathbf{x}})\hbox{ }\alpha _{2}(\overline{\mathbf{x}})\hbox{ ... }\alpha _{m}(\overline{\mathbf{x}})\hbox{ }\right]& \hbox{ , }\in Vec(m) \end{array}  </math>

|}

| style="width: 5px;text-align: right;white-space: nowrap;" | (2.6)

|}

​

La base de funciones contiene típicamente monomios que dependen de las coordenadas espaciales <math display="inline">\mathbf{x}^{T}=\left[x,y\right]</math> (por ejemplo en 2D), mientras los coeficientes <math display="inline">\left\{\alpha _{i}(\overline{\mathbf{x}})\right\}_{i=1}^{m}</math> dependen de la posición del punto <math display="inline">\overline{\mathbf{x}}</math>. Como ejemplos, para el caso lineal y cuadrático respectivamente se tiene:

​

<span id="eq-2.7"></span>

{| class="formulaSCP" style="width: 100%; text-align: left;" 

|-

| 

{| style="text-align: left; margin:auto;width: 100%;" 

|-

| style="text-align: center;" | <math>\begin{array}{llllll}\mathbf{p}^{T}(\mathbf{x})=\left[1\hbox{  }x\right]& m=2 & \hbox{ y} &  \mathbf{p}^{T}(\mathbf{x})=\left[1\hbox{  }x\hbox{  }x^{2}\right]& m=3 &  \hbox{ en 1D,} \\  \mathbf{p}^{T}(\mathbf{x})=\left[1\hbox{  }x\hbox{  }y\right]& m=3 &  \hbox{ y} & \mathbf{p}^{T}(\mathbf{x})=\left[1\hbox{  }x\hbox{  }y\hbox{   }x^{2}\hbox{  }xy\hbox{  }y^{2}\right]& m=6 & \hbox{ en 2D} \end{array}  </math>

|}

| style="width: 5px;text-align: right;white-space: nowrap;" | (2.7)

|}

​

Es importante destacar la posibilidad de incluir otro tipo de funciones en la base, como por ejemplo, funciones que puedan tener singularidades o discontinuidades. Las bases así definidas, se han utilizado para la modelación de problemas en mecánica de fractura <span id='citeF-8'></span>[[#cite-8|[8]]] <span id='citeF-29'></span>[[#cite-29|[29]]] <span id='citeF-91'></span>[[#cite-91|[91]]].

​

De acuerdo a la expresión [[#eq-2.3|2.3]] , para cada punto de la partición con coordenadas <math display="inline">\mathbf{x}_{I}</math> <math display="inline">\in \mathcal{S}(\overline{\mathbf{x}})</math>, siendo <math display="inline">\mathcal{S}(\overline{\mathbf{x}})</math> el conjunto de <math display="inline">n</math> puntos pertenecientes al dominio de influencia del punto <math display="inline">\overline{\mathbf{x}}</math> donde <math display="inline">n\geq m</math>, existirá una diferencia o error entre el valor de la función y el valor de la aproximación, que puede ser cuantificada mediante<math display="inline"></math><span id="fnc-3"></span>[[#fn-3|<sup>1</sup>]]

​

<span id="eq-2.8"></span>

{| class="formulaSCP" style="width: 100%; text-align: left;" 

|-

| 

{| style="text-align: left; margin:auto;width: 100%;" 

|-

| style="text-align: center;" | <math>e(\mathbf{x}_{I},\overline{\mathbf{x}}):=u_{I}^{h}-\widehat{u}(\mathbf{x}_{I})=u_{I}^{h}-\mathbf{p}^{T}(\mathbf{x}_{I})\mathbf{\alpha (}\overline{\mathbf{x}})\hbox{, }\forall \mathbf{x}_{I}\in \mathcal{S}(\overline{\mathbf{x}})   </math>

|}

| style="width: 5px;text-align: right;white-space: nowrap;" | (2.8)

|}

​

Se debe notar de [[#eq-2.8|2.8]] que el valor de la aproximación, consiste en los términos de la base evaluados en <math display="inline">\mathbf{x}_{I}</math> y sus respectivos coeficientes en <math display="inline">\overline{\mathbf{x}}</math>. Para obtener el vector de parámetros desconocidos <math display="inline">\mathbf{\alpha }(\overline{\mathbf{x}})</math>, se recurre a la minimización del siguiente funcional discreto

​

<span id="eq-2.9"></span>

{| class="formulaSCP" style="width: 100%; text-align: left;" 

|-

| 

{| style="text-align: left; margin:auto;width: 100%;" 

|-

| style="text-align: center;" | <math>J(\mathbf{\alpha }(\overline{\mathbf{x}})):=\underset{I\in \mathcal{S}(\overline{\mathbf{x}})}{\sum }w(\overline{\mathbf{x}}-\mathbf{x}_{I})\left[ e(\mathbf{x}_{I},\overline{\mathbf{x}})\right]^{2}  </math>

|}

| style="width: 5px;text-align: right;white-space: nowrap;" | (2.9)

|}

​

cuya expresión compacta en forma matricial es

​

<span id="eq-2.10"></span>

{| class="formulaSCP" style="width: 100%; text-align: left;" 

|-

| 

{| style="text-align: left; margin:auto;width: 100%;" 

|-

| style="text-align: center;" | <math>J(\mathbf{\alpha }(\overline{\mathbf{x}}))=\mathbf{(u}^{h}\mathbf{-P(x}_{I})\mathbf{\alpha (}\overline{\mathbf{x}}))^{T}\hbox{ }\mathbf{W(}\overline{\mathbf{x}})\hbox{ }(\mathbf{u}^{h}\mathbf{-P(x}_{I})\mathbf{\alpha (}\overline{\mathbf{x}}))   </math>

|}

| style="width: 5px;text-align: right;white-space: nowrap;" | (2.10)

|}

​

donde

​

<span id="eq-2.11"></span>

{| class="formulaSCP" style="width: 100%; text-align: left;" 

|-

| 

{| style="text-align: left; margin:auto;width: 100%;" 

|-

| style="text-align: center;" | <math>\mathbf{u}^{h}:=\left[u_{1}^{h}\hbox{ }u_{2}^{h}\hbox{ ...... }u_{n}^{h}\right]^{T}\hbox{ , }\in Vec(n)\hbox{, }n=card(\mathcal{S}(\overline{\mathbf{x}}))   </math>

|}

| style="width: 5px;text-align: right;white-space: nowrap;" | (2.11)

|}

​

<span id="eq-2.12"></span>

{| class="formulaSCP" style="width: 100%; text-align: left;" 

|-

| 

{| style="text-align: left; margin:auto;width: 100%;" 

|-

| style="text-align: center;" | <math>\mathbf{P}(\mathbf{x}_{I}):=\left[ \begin{array}{cccc}p_{1}\left(\mathbf{x}_{1}\right)& p_{2}\left(\mathbf{x}_{1}\right)&  \cdots & p_{m}\left(\mathbf{x}_{1}\right)\\  p_{1}\left(\mathbf{x}_{2}\right)& p_{2}\left(\mathbf{x}_{2}\right)&  \cdots & p_{m}\left(\mathbf{x}_{2}\right)\\  \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\  p_{1}\left(\mathbf{x}_{n}\right)& p_{2}\left(\mathbf{x}_{n}\right)&  \cdots & p_{m}\left(\mathbf{x}_{n}\right) \end{array} \right]\hbox{ , }\in Mat(n\times m)   </math>

|}

| style="width: 5px;text-align: right;white-space: nowrap;" | (2.12)

|}

​

<span id="eq-2.13"></span>

{| class="formulaSCP" style="width: 100%; text-align: left;" 

|-

| 

{| style="text-align: left; margin:auto;width: 100%;" 

|-

| style="text-align: center;" | <math>\mathbf{W}(\overline{\mathbf{x}}):=\left[ \begin{array}{cccc}w(\overline{\mathbf{x}}-\mathbf{x}_{1}) & 0 & \cdots & 0 \\  0 & w(\overline{\mathbf{x}}-\mathbf{x}_{2}) & \cdots & 0 \\  \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\  0 & 0 & \cdots & w(\overline{\mathbf{x}}-\mathbf{x}_{n}) \end{array} \right]\hbox{ },\hbox{ }\in Mat(n\times n)   </math>

|}

| style="width: 5px;text-align: right;white-space: nowrap;" | (2.13)

|}

​

La función de ponderación <math display="inline">w(\overline{\mathbf{x}}-\mathbf{x}_{I})</math> en [[#eq-2.9|2.9]], al igual que en todos los métodos `mesh-free', confiere el carácter local a la aproximación. Esto significa que <math display="inline">\widehat{u}(\mathbf{x})</math> se construirá únicamente con la información que aportan los valores <math display="inline">u_{I}^{h}</math>, de los nodos que pertenezcan al subdominio para el cual <math display="inline">w(\overline{\mathbf{x}}-\mathbf{x}_{I})</math> tenga un valor diferente de cero. Este subdominio o soporte de la función de ponderación, suele tener forma circular (disco o esfera) centrado en <math display="inline">\overline{\mathbf{x}}</math> y de radio <math display="inline">r_{\overline{\mathbf{x}}}</math>.

​

Según <span id='citeF-63'></span>[[#cite-63|[63]]], esta función debe cumplir las siguientes propiedades <math display="inline">\forall \varrho \in \Bbb{R}^{+}</math>:

​

<ol style='list-style-type:lower-roman;'>

​

<li> <math display="inline">w\left(\overline{\mathbf{x}}-\mathbf{x},\varrho \right)>0</math> en un subdominio <math display="inline">\Omega _{\overline{\mathbf{x}}}</math> <math display="inline">\in </math> <math display="inline">\Omega </math>,  </li>

​

<li> <math display="inline">w\left(\overline{\mathbf{x}}-\mathbf{x},\varrho \right)=0</math> fuera del subdominio <math display="inline">\Omega _{\overline{\mathbf{x}}}</math>,  </li>

​

<li> Propiedad de normalidad: <math display="inline">\underset{\Omega }{\int }w\left( \overline{\mathbf{x}}-\mathbf{x},\varrho \right)dx=1</math>,  </li>

​

<li> <math display="inline">w\left(d,\varrho \right)</math> es una función monótonamente decreciente, donde <math display="inline">d=\left\|\overline{\mathbf{x}}-\mathbf{x}\right\|</math>,  </li>

​

<li> <math display="inline">w\left(d,\varrho \right)\rightarrow \delta \left(d\right)</math> cuando <math display="inline">\varrho \rightarrow 0</math>, donde <math display="inline">\delta \left(d\right)</math> es la función delta de Dirac. </li>

​

</ol>

​

Desde ahora y en lo que resta de la tesis, cada vez que se haga referencia a una función de ponderación, se entenderá que esta cumple con las cinco propiedades anteriores. En el argumento de la función de ponderación <math display="inline">\varrho </math> es una medida del tamaño de su soporte<span id="fnc-4"></span>[[#fn-4|<sup>2</sup>]]. En el caso de la aproximación MLS, como consecuencia de las propiedades (i) y (ii), únicamente intervendrán en el cálculo de [[#eq-2.3|2.3]], aquellos puntos <math display="inline">\mathbf{x}_{I}\in  \mathcal{S}(\overline{\mathbf{x}})</math> que cumplan <math display="inline">\mid \overline{\mathbf{x}}-\mathbf{x}_{I}\mid <\varrho </math>. En principio, para una distribución arbitraria de puntos, distintos valores de <math display="inline">\varrho </math> darán lugar a diferentes funciones de ponderación <math display="inline">w(\overline{\mathbf{x}}-\mathbf{x}_{I})</math>, lo que se traduce en la dificultad de no contar con una única manera de definirla globalmente.

​

Los parámetros desconocidos <math display="inline">\left\{\alpha _{i}(\overline{\mathbf{x}})\right\}_{i=1}^{m}</math>, que minimizan la expresión del error, se obtienen derivando vectorialmente [[#eq-2.10|2.10]] respecto del vector <math display="inline">\mathbf{\alpha (}\overline{\mathbf{x}})</math> e igualando a cero. Con esto se consigue un sistema lineal de ecuaciones

​

<span id="eq-2.14"></span>

{| class="formulaSCP" style="width: 100%; text-align: left;" 

|-

| 

{| style="text-align: left; margin:auto;width: 100%;" 

|-

| style="text-align: center;" | <math>\frac{\partial J(\mathbf{\alpha }(\overline{\mathbf{x}}))}{\partial \mathbf{\alpha }(\overline{\mathbf{x}})}=0  </math>

|}

| style="width: 5px;text-align: right;white-space: nowrap;" | (2.14)

|}

​

<span id="eq-2.15"></span>

{| class="formulaSCP" style="width: 100%; text-align: left;" 

|-

| 

{| style="text-align: left; margin:auto;width: 100%;" 

|-

| style="text-align: center;" | <math>\mathbf{A(}\overline{\mathbf{x}})\mathbf{\alpha }(\overline{\mathbf{x}})=\mathbf{B(}\overline{\mathbf{x}})\mathbf{u}^{h}   </math>

|}

| style="width: 5px;text-align: right;white-space: nowrap;" | (2.15)

|}

​

donde las matrices <math display="inline">\mathbf{A(}\overline{\mathbf{x}})</math> (''matriz de momentos), ''y <math display="inline">\mathbf{B(}\overline{\mathbf{x}})</math> son

​

<span id="eq-2.16"></span>

{| class="formulaSCP" style="width: 100%; text-align: left;" 

|-

| 

{| style="text-align: left; margin:auto;width: 100%;" 

|-

| style="text-align: center;" | <math>\mathbf{A(}\overline{\mathbf{x}}):=\mathbf{P}^{T}(\mathbf{x}_{I})\mathbf{W}(\overline{\mathbf{x}})\mathbf{P}(\mathbf{x}_{I})\hbox{ , }\in  Mat(m\times m)   </math>

|}

| style="width: 5px;text-align: right;white-space: nowrap;" | (2.16)

|}

​

<span id="eq-2.17"></span>

{| class="formulaSCP" style="width: 100%; text-align: left;" 

|-

| 

{| style="text-align: left; margin:auto;width: 100%;" 

|-

| style="text-align: center;" | <math>A_{ij}(\overline{\mathbf{x}})=\underset{I\in \mathcal{S}(\overline{\mathbf{x}})}{\sum }p_{i}(\mathbf{x}_{I})w(\overline{\mathbf{x}}-\mathbf{x}_{I})p_{j}(\mathbf{x}_{I})\hbox{ , }i,j=1,....,m  </math>

|}

| style="width: 5px;text-align: right;white-space: nowrap;" | (2.17)

|}

​

<span id="eq-2.18"></span>

{| class="formulaSCP" style="width: 100%; text-align: left;" 

|-

| 

{| style="text-align: left; margin:auto;width: 100%;" 

|-

| style="text-align: center;" | <math>\mathbf{B}(\overline{\mathbf{x}}):=\mathbf{P}^{T}(\mathbf{x}_{I})\mathbf{W}(\overline{\mathbf{x}})\hbox{ , }\in Mat(m\times n)   </math>

|}

| style="width: 5px;text-align: right;white-space: nowrap;" | (2.18)

|}

​

<span id="eq-2.19"></span>

{| class="formulaSCP" style="width: 100%; text-align: left;" 

|-

| 

{| style="text-align: left; margin:auto;width: 100%;" 

|-

| style="text-align: center;" | <math>B_{jI}(\overline{\mathbf{x}})=p_{j}(\mathbf{x}_{I})w(\overline{\mathbf{x}}-\mathbf{x}_{I})\hbox{ , }j=1,...,m\hbox{ }I\in \mathcal{S}(\overline{\mathbf{x}})   </math>

|}

| style="width: 5px;text-align: right;white-space: nowrap;" | (2.19)

|}

​

De la ecuación [[#eq-2.15|2.15]] se puede obtener el vector <math display="inline">\mathbf{\alpha (}\overline{\mathbf{x}})</math> como

​

<span id="eq-2.20"></span>

{| class="formulaSCP" style="width: 100%; text-align: left;" 

|-

| 

{| style="text-align: left; margin:auto;width: 100%;" 

|-

| style="text-align: center;" | <math>\mathbf{\alpha (}\overline{\mathbf{x}})=\mathbf{A}^{-1}\mathbf{(}\overline{\mathbf{x}})\mathbf{B(}\overline{\mathbf{x}})\mathbf{u}^{h}:=\mathbf{C}^{-1}(\overline{\mathbf{x}})\mathbf{u}^{h}\hbox{ , con }\mathbf{C}^{-1}(\overline{\mathbf{x}})\in Mat(m\times n)   </math>

|}

| style="width: 5px;text-align: right;white-space: nowrap;" | (2.20)

|}

​

<span id="eq-2.21"></span>

{| class="formulaSCP" style="width: 100%; text-align: left;" 

|-

| 

{| style="text-align: left; margin:auto;width: 100%;" 

|-

| style="text-align: center;" | <math>\alpha _{i}(\overline{\mathbf{x}})=\underset{I\in \mathcal{S}(\overline{\mathbf{x}})}{\sum }\stackrel{m}{\underset{j=1}{\sum }}A_{ij}^{-1}(\overline{\mathbf{x}})B_{jI}(\overline{\mathbf{x}})u_{I}^{h}\hbox{ , }i=1,....,m   </math>

|}

| style="width: 5px;text-align: right;white-space: nowrap;" | (2.21)

|}

​

lo que permite obtener finalmente de [[#eq-2.3|2.3]] la expresión de la aproximación local en su forma compacta

​

<span id="eq-2.22"></span>

{| class="formulaSCP" style="width: 100%; text-align: left;" 

|-

| 

{| style="text-align: left; margin:auto;width: 100%;" 

|-

| style="text-align: center;" | <math>\widehat{u}(\mathbf{x})=\mathbf{p}^{T}(\mathbf{x})\mathbf{C}^{-1}(\overline{\mathbf{x}})\mathbf{u}^{h}\hbox{ , }\forall \mathbf{x}\in \Omega _{\overline{\mathbf{x}}}   </math>

|}

| style="width: 5px;text-align: right;white-space: nowrap;" | (2.22)

|}

​

y en forma desarrollada

​

<span id="eq-2.23"></span>

{| class="formulaSCP" style="width: 100%; text-align: left;" 

|-

| 

{| style="text-align: left; margin:auto;width: 100%;" 

|-

| style="text-align: center;" | <math>\widehat{u}(\mathbf{x})=\stackrel{m}{\underset{i=1}{\sum }}p_{i}(\mathbf{x})\alpha _{i}(\overline{\mathbf{x}})=\underset{I\in \mathcal{S}(\overline{\mathbf{x}})}{\sum }\stackrel{m}{\underset{k=1}{\sum }}\stackrel{m}{\underset{i=1}{\sum }}p_{i}(\mathbf{x})A_{ik}^{-1}(\overline{\mathbf{x}})B_{kI}(\overline{\mathbf{x}})u_{I}^{h}\hbox{ , }\forall \mathbf{x}\in  \Omega _{\overline{\mathbf{x}}}   </math>

|}

| style="width: 5px;text-align: right;white-space: nowrap;" | (2.23)

|}

​

La expresión de las funciones de forma se obtiene agrupando los términos que multiplican a <math display="inline">u_{I}^{h}</math> en [[#eq-2.23|2.23]]

​

<span id="eq-2.24"></span>

{| class="formulaSCP" style="width: 100%; text-align: left;" 

|-

| 

{| style="text-align: left; margin:auto;width: 100%;" 

|-

| style="text-align: center;" | <math>\phi _{I}(\mathbf{x})=\stackrel{m}{\underset{k=1}{\sum }}\stackrel{m}{\underset{i=1}{\sum }}p_{i}(\mathbf{x})A_{ik}^{-1}(\overline{\mathbf{x}})B_{kI}(\overline{\mathbf{x}})\hbox{ , }\forall \mathbf{x\in }\Omega _{\overline{\mathbf{x}}}\hbox{, }\forall I\in \mathcal{S}(\overline{\mathbf{x}})   </math>

|}

| style="width: 5px;text-align: right;white-space: nowrap;" | (2.24)

|}

​

Para extender la aproximación local [[#eq-2.23|2.23]] a todo el dominio, se introduce un operador global <math display="inline">G</math> tal que <span id='citeF-63'></span>[[#cite-63|[63]]]

​

<span id="eq-2.25"></span>

{| class="formulaSCP" style="width: 100%; text-align: left;" 

|-

| 

{| style="text-align: left; margin:auto;width: 100%;" 

|-

| style="text-align: center;" | <math>u(\mathbf{x})\cong Gu(\mathbf{x})\hbox{ , }\forall \mathbf{x}\in \Omega   </math>

|}

| style="width: 5px;text-align: right;white-space: nowrap;" | (2.25)

|}

​

donde

​

<span id="eq-2.26"></span>

{| class="formulaSCP" style="width: 100%; text-align: left;" 

|-

| 

{| style="text-align: left; margin:auto;width: 100%;" 

|-

| style="text-align: center;" | <math>G:C^{0}(\Omega )\rightarrow C^{m}(\Omega )   </math>

|}

| style="width: 5px;text-align: right;white-space: nowrap;" | (2.26)

|}

​

lo que permite obtener en el límite <math display="inline">Gu(\mathbf{x})=\widehat{u}(\mathbf{x})</math>, siendo la aproximación global MLS en su forma compacta y desarrollada

​

<span id="eq-2.27"></span>

{| class="formulaSCP" style="width: 100%; text-align: left;" 

|-

| 

{| style="text-align: left; margin:auto;width: 100%;" 

|-

| style="text-align: center;" | <math>Gu(\mathbf{x}):=\underset{\overline{\mathbf{x}}\rightarrow \mathbf{x}}{\lim }\widehat{u}(\mathbf{x})=\mathbf{p}^{T}(\mathbf{x})\mathbf{C}^{-1}(\mathbf{x})\mathbf{u}^{h}\hbox{ , }\forall \mathbf{x}\in \Omega   </math>

|}

| style="width: 5px;text-align: right;white-space: nowrap;" | (2.27)

|}

​

<span id="eq-2.28"></span>

{| class="formulaSCP" style="width: 100%; text-align: left;" 

|-

| 

{| style="text-align: left; margin:auto;width: 100%;" 

|-

| style="text-align: center;" | <math>Gu(\mathbf{x})=\underset{I\in \mathcal{S}(\mathbf{x})}{\sum }\stackrel{m}{\underset{k=1}{\sum }}\stackrel{m}{\underset{i=1}{\sum }}p_{i}(\mathbf{x})A_{ik}^{-1}(\mathbf{x})B_{kI}(\mathbf{x})u_{I}^{h}=\underset{I\in  \mathcal{S}(\mathbf{x})}{\sum }\phi _{I}(\mathbf{x})u_{I}^{h}\hbox{ , }\forall \mathbf{x}\in \Omega   </math>

|}

| style="width: 5px;text-align: right;white-space: nowrap;" | (2.28)

|}

​

y la expresión de las funciones de forma

​

<span id="eq-2.29"></span>

{| class="formulaSCP" style="width: 100%; text-align: left;" 

|-

| 

{| style="text-align: left; margin:auto;width: 100%;" 

|-

| style="text-align: center;" | <math>\phi _{I}(\mathbf{x})=\stackrel{m}{\underset{k=1}{\sum }}\stackrel{m}{\underset{i=1}{\sum }}p_{i}(\mathbf{x})A_{ik}^{-1}(\mathbf{x})B_{kI}(\mathbf{x}),\quad \forall \mathbf{x}\in \Omega ,\forall I\in \mathcal{S}(\mathbf{x})   </math>

|}

| style="width: 5px;text-align: right;white-space: nowrap;" | (2.29)

|}

​

<span id="fn-3"></span>

<span style="text-align: center; font-size: 75%;">([[#fnc-3|<sup>1</sup>]]) La desigualdad <math>n\geq m</math> se justificará cuando se analice la propiedad de existencia en la aproximación MLS</span>

​

<span id="fn-4"></span>

<span style="text-align: center; font-size: 75%;">([[#fnc-4|<sup>2</sup>]]) Generalmente el parámetro <math>\varrho </math> se omite como argumento de la función de ponderación</span>

​

===2.1.2 Interpolante de Shepard===

​

Considérese el caso particular en que la función base de interpolación contiene como único elemento

​

<span id="eq-2.30"></span>

{| class="formulaSCP" style="width: 100%; text-align: left;" 

|-

| 

{| style="text-align: left; margin:auto;width: 100%;" 

|-

| style="text-align: center;" | <math>\mathcal{P}=\left\{p_{i}(\mathbf{x})\right\}_{i=1}^{m}=\left\{\hbox{ }1\hbox{ }\right\}\hbox{ , }\Rightarrow m=1   </math>

|}

| style="width: 5px;text-align: right;white-space: nowrap;" | (2.30)

|}

​

en este caso las componentes de la matriz <math display="inline">\mathbf{A}(\mathbf{x})</math> y <math display="inline">\mathbf{B(x)}</math> serán respectivamente (ver [[#eq-2.17|2.17]],  [[#eq-2.19|2.19]])

​

<span id="eq-2.31"></span>

{| class="formulaSCP" style="width: 100%; text-align: left;" 

|-

| 

{| style="text-align: left; margin:auto;width: 100%;" 

|-

| style="text-align: center;" | <math>A(\mathbf{x})=\underset{I\in \mathcal{S}(\mathbf{x)}}{\sum }w(\mathbf{x}-\mathbf{x}_{I}\mathbf{)}   </math>

|}

| style="width: 5px;text-align: right;white-space: nowrap;" | (2.31)

|}

​

<span id="eq-2.32"></span>

{| class="formulaSCP" style="width: 100%; text-align: left;" 

|-

| 

{| style="text-align: left; margin:auto;width: 100%;" 

|-

| style="text-align: center;" | <math>B_{1I}(\mathbf{x})=w(\mathbf{x}-\mathbf{x}_{I}\mathbf{)}\hbox{ , }I\in  \mathcal{S}(\mathbf{x)}   </math>

|}

| style="width: 5px;text-align: right;white-space: nowrap;" | (2.32)

|}

​

quedando la aproximación global definida como

​

<span id="eq-2.33"></span>

{| class="formulaSCP" style="width: 100%; text-align: left;" 

|-

| 

{| style="text-align: left; margin:auto;width: 100%;" 

|-

| style="text-align: center;" | <math>Gu(\mathbf{x})\mathbf{=}\frac{\underset{I\in \mathcal{S}(\mathbf{x)}}{\sum  }w(\mathbf{x}-\mathbf{x}_{I}\mathbf{)}u_{I}^{h}}{\underset{J\in \mathcal{S}(\mathbf{x)}}{\sum }w(\mathbf{x-x}_{J}\mathbf{)}}   </math>

|}

| style="width: 5px;text-align: right;white-space: nowrap;" | (2.33)

|}

​

y su correspondiente función de forma (recuérdese [[#eq-2.29|2.29]])

​

<span id="eq-2.34"></span>

{| class="formulaSCP" style="width: 100%; text-align: left;" 

|-

| 

{| style="text-align: left; margin:auto;width: 100%;" 

|-

| style="text-align: center;" | <math>\phi _{I}(\mathbf{x})\mathbf{=}\frac{w(\mathbf{x-x}_{I}\mathbf{)}}{\underset{J\in \mathcal{S}(\mathbf{x)}}{\sum }w(\mathbf{x-x}_{J}\mathbf{)}}  </math>

|}

| style="width: 5px;text-align: right;white-space: nowrap;" | (2.34)

|}

​

La aproximación global [[#eq-2.33|2.33]] recibe el nombre de ''interpolante ''de Shepard <span id='citeF-90'></span>[[#cite-90|[90]]], y sus funciones de forma o funciones de Shepard cumplen las siguientes propiedades<span id="fnc-5"></span>[[#fn-5|<sup>1</sup>]]:

​

<ol style='list-style-type:lower-roman;'>

​

<li> <math display="inline">0<\phi _{I}(\mathbf{x})\mathbf{<}1</math>  </li>

​

<li> <math display="inline">\stackrel{N}{\underset{I=1}{\sum }}\phi _{I}(\mathbf{x})\mathbf{=}1</math> <math display="inline">\quad \forall \mathbf{x\in }\Omega </math> </li>

​

</ol>

​

En el lenguaje matemático se dice que la colección de funciones que cumplen la propiedad (ii) representan una ''partición de la unidad  ''<span id='citeF-88'></span>[[#cite-88|[88]]]''.''

​

<span id="fn-5"></span>

<span style="text-align: center; font-size: 75%;">([[#fnc-5|<sup>1</sup>]]) Las funciones de forma que se construyen en el MEF también cumplen estas propiedades</span>

​

===2.1.3 Propiedades. Existencia de la aproximación.===

​

La existencia de la aproximación MLS está condicionada a la resolución del sistema lineal de ecuaciones [[#eq-2.20|2.20]] , lo que se traduce en definitiva en calcular la inversa de la matriz de momentos. Recordando [[#eq-2.17|2.17]] , la matriz <math display="inline">\mathbf{A(}\overline{\mathbf{x}})</math> de un punto <math display="inline">\overline{\mathbf{x}}\in \Omega </math> para el cual existe un subdominio <math display="inline">\Omega _{\overline{\mathbf{x}}}</math> y un conjunto de puntos <math display="inline">\mathbf{x}_{I}\in \mathcal{S}(\overline{\mathbf{x}}),</math> donde <math display="inline">n=card(\mathcal{S}(\overline{\mathbf{x}}))</math>, puede escribirse como

​

<span id="eq-2.35"></span>

{| class="formulaSCP" style="width: 100%; text-align: left;" 

|-

| 

{| style="text-align: left; margin:auto;width: 100%;" 

|-

| style="text-align: center;" | <math>\mathbf{A(}\overline{\mathbf{x}})=\left[ \begin{array}{cccc}\left(p_{1},p_{1}\right)_{\overline{\mathbf{x}}} & \left( p_{1},p_{2}\right)_{\overline{\mathbf{x}}} & \cdots & \left( p_{1},p_{m}\right)_{\overline{\mathbf{x}}} \\  \left(p_{2},p_{1}\right)_{\overline{\mathbf{x}}} & \left( p_{2},p_{2}\right)_{\overline{\mathbf{x}}} & \cdots & \left( p_{2},p_{m}\right)_{\overline{\mathbf{x}}} \\  \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\  \left(p_{m},p_{1}\right)_{\overline{\mathbf{x}}} & \left( p_{m},p_{2}\right)_{\overline{\mathbf{x}}} & \cdots & \left( p_{m},p_{m}\right)_{\overline{\mathbf{x}}} \end{array} \right]  </math>

|}

| style="width: 5px;text-align: right;white-space: nowrap;" | (2.35)

|}

​

donde <math display="inline">\left(p_{i},p_{j}\right)_{\overline{\mathbf{x}}}</math> corresponde al producto interno ponderado que depende del punto <math display="inline">\overline{\mathbf{x}}</math>, definido por <span id='citeF-42'></span>[[#cite-42|[42]]]

​

<span id="eq-2.36"></span>

{| class="formulaSCP" style="width: 100%; text-align: left;" 

|-

| 

{| style="text-align: left; margin:auto;width: 100%;" 

|-

| style="text-align: center;" | <math>\left(p_{i},p_{j}\right)_{\overline{\mathbf{x}}}:=\stackrel{n}{\underset{I=1}{\sum }}p_{i}(\mathbf{x}_{I})w(\overline{\mathbf{x}}-\mathbf{x}_{I})p_{j}(\mathbf{x}_{I})   </math>

|}

| style="width: 5px;text-align: right;white-space: nowrap;" | (2.36)

|}

​

Como muestra [[#eq-2.35|2.35]] la matriz <math display="inline">\mathbf{A(}\overline{\mathbf{x}})</math> es simétrica por construcción, y definida positiva por la propiedad (i) de la función de ponderación estipulada del apartado 2.1.1, si además las funciones <math display="inline">\left\{p_{i}(\mathbf{x})\right\}_{i=1}^{m}</math> son linealmente independientes, la matriz es invertible y la solución del sistema [[#eq-2.20|2.20]] existe y es única. No obstante, la independencia lineal de la base de polinomios <math display="inline">\mathcal{P}</math> no es condición suficiente para asegurar la no singularidad de la matriz <math display="inline">\mathbf{A(}\overline{\mathbf{x}})</math> y por consiguiente la existencia de su inversa. Para que la aproximación sea factible, deberán además respetarse unos requerimientos mínimos en la definición de los subdominios de interpolación, de cara a obtener una ''distribución admisible'' de puntos <span id='citeF-56'></span>[[#cite-56|[56]]]. Una distribución admisible de puntos debe satisfacer los siguientes requerimientos:

​

<ol>

​

<li> El número de partículas <math display="inline">n</math> contenidas en el subdominio <math display="inline">\Omega _{\overline{\mathbf{x}}}</math> debe ser tal que

​

<span id="eq-2.37"></span>

{| class="formulaSCP" style="width: 100%; text-align: left;" 

|-

| 

{| style="text-align: left; margin:auto;width: 100%;" 

|-

| style="text-align: center;" | <math>

​

n_{\min .}\leq n\leq n_{\max .}   </math>

|}

| style="width: 5px;text-align: right;white-space: nowrap;" | (2.37)

|}</li>

​

donde <math display="inline">n_{\min .}</math> es un número que garantiza la existencia de las funciones de forma o regularidad de la matriz <math display="inline">\mathbf{A(}\overline{\mathbf{x}})</math><span id="fnc-6"></span>[[#fn-6|<sup>1</sup>]]. Una condición necesaria para que <math display="inline">\mathbf{A(}\overline{\mathbf{x}})</math> sea una matriz regular es que <math display="inline">\forall </math> <math display="inline">\overline{\mathbf{x}}\in \Omega </math>

​

<span id="eq-2.38"></span>

{| class="formulaSCP" style="width: 100%; text-align: left;" 

|-

| 

{| style="text-align: left; margin:auto;width: 100%;" 

|-

| style="text-align: center;" | <math>

​

m=card(\mathcal{P})\leq n=card(\mathcal{S}(\overline{\mathbf{x}}))  </math>

|}

| style="width: 5px;text-align: right;white-space: nowrap;" | (2.38)

|}

​

Recordando [[#eq-2.13|2.13]] y [[#eq-2.16|2.16]] se aprecia que el rango de la matriz <math display="inline">\mathbf{W}(\overline{\mathbf{x}})</math>, y en consecuencia de <math display="inline">\mathbf{A(}\overline{\mathbf{x}})</math>, puede ser como máximo igual a <math display="inline">n</math>, por consiguiente para que <math display="inline">\mathbf{A(}\overline{\mathbf{x}})\in Mat(m\times m)</math> sea definida positiva es necesario que <math display="inline">n\geq m</math>. Lo interesante de la propuesta [[#eq-2.38|2.38]] es la definición de un posible valor para <math display="inline">n_{\min .}</math>. A título de ejemplo, si se elige como base de interpolación <math display="inline">\mathcal{P}=\left[1\hbox{  }x\hbox{  }y\right]</math>, <math display="inline">m=3</math>, la figura [[#img-2|2]] muestra una serie de subdominios para los que no se satisface la condición <math display="inline">n\geq 3</math>.

​

<li> La distribución de puntos o partículas debe ser ''no degenerada'' , en concreto en 2D, significa que <math display="inline">\forall </math> <math display="inline">\overline{\mathbf{x}}\in \Omega </math> , un mínimo de 3 puntos deben pertenecer a <math display="inline">\Omega _{\overline{\mathbf{x}}}</math> y éstos no deben superponerse, es decir sus vectores de posición deben formar un elemento triangular no nulo.<div id='img-2'></div>

</li>

{| class="floating_imageSCP" style="text-align: center; border: 1px solid #BBB; margin: 1em auto; width: 100%;max-width: 100%;"

|-

|[[Image:draft_Samper_249558229-dist-inadmisible.png|600px|Distribucion de puntos inadmisible. En los subdominios marcados n=card(S(x))<3math]]

|- style="text-align: center; font-size: 75%;"

| colspan="1" | '''Figura 2:''' Distribucion de puntos inadmisible. En los subdominios marcados n=card(S(x))<3math

|}

​

</ol>

​

<span id="fn-6"></span>

<span style="text-align: center; font-size: 75%;">([[#fnc-6|<sup>1</sup>]]) El valor de <math>n_{\max .}</math> sólo tiene sentido a efectos computacionales.</span>

​

===2.1.4 Consistencia===

​

Cuando se estudia la convergencia de un método sin malla, la ''consistencia ''de la aproximación utilizada, es un aspecto que debe ser analizado con detenimiento''. ''Entenderemos por ''orden de consistencia'' de una aproximación, al grado del polinomio que debe ser representado exactamente, de esta forma la capacidad de reproducir polinomios de grado <math display="inline">k</math>'' ''es equivalente a la consistencia de orden <math display="inline">k</math>''. ''Los requerimientos de consistencia dependen del orden de las ecuaciones diferenciales parciales que deben ser resueltas y del esquema de discretización empleado.

​

Para demostrar la consistencia de orden <math display="inline">k</math> de una aproximación MLS si la base de interpolación está completa en el polinomio de orden'' ''<math display="inline">k</math>, considérese que se quieren aproximar simultáneamente el siguiente conjunto de funciones de la base, agrupadas en el vector <math display="inline">\mathbf{u}^{T}\mathbf{(x)=p}^{T}\mathbf{(x)=}\left[\hbox{ }p_{1}(\mathbf{x})\hbox{ }p_{2}(\mathbf{x})\hbox{ .... }p_{m}(\mathbf{x})\hbox{ }\right]</math> , siendo esta vez la matriz con los valores de las funciones en los puntos <math display="inline">\mathbf{x}_{I}</math>

​

<span id="eq-2.39"></span>

{| class="formulaSCP" style="width: 100%; text-align: left;" 

|-

| 

{| style="text-align: left; margin:auto;width: 100%;" 

|-

| style="text-align: center;" | <math>\mathbf{U}^{T}:=\left[\mathbf{u}_{1}\hbox{ }\mathbf{u}_{2}\hbox{ .........}\mathbf{u}_{n}\right]=\left[ \begin{array}{cccc}p_{1}\left(\mathbf{x}_{1}\right)& p_{1}\left(\mathbf{x}_{2}\right)&  \cdots & p_{1}\left(\mathbf{x}_{n}\right)\\  p_{2}\left(\mathbf{x}_{1}\right)& p_{2}\left(\mathbf{x}_{2}\right)&  \cdots & p_{2}\left(\mathbf{x}_{n}\right)\\  \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\  p_{m}\left(\mathbf{x}_{1}\right)& p_{m}\left(\mathbf{x}_{2}\right)&  \cdots & p_{m}\left(\mathbf{x}_{n}\right) \end{array} \right]\hbox{ , }\in Mat(m\times n)   </math>

|}

| style="width: 5px;text-align: right;white-space: nowrap;" | (2.39)

|}

​

Supóngase como antes, que <math display="inline">\overline{\mathbf{x}}</math> es un punto arbitrario de <math display="inline">\Omega </math> para el cual existe un subdomino <math display="inline">\Omega _{\overline{\mathbf{x}}}</math>, entonces para cada punto de la partición <math display="inline">\mathbf{x}_{I}\in \mathcal{S}(\overline{\mathbf{x}}),</math> donde <math display="inline">n=card(\mathcal{S}(\overline{\mathbf{x}})) </math>, la aproximación local [[#eq-2.22|2.22]] tendrá esta vez la siguiente expresión (recuérdese también exp. final vec. alfa , [[#eq-2.18|2.18]])

​

<span id="eq-2.40"></span>

{| class="formulaSCP" style="width: 100%; text-align: left;" 

|-

| 

{| style="text-align: left; margin:auto;width: 100%;" 

|-

| style="text-align: center;" | <math>L_{\overline{x}}\mathbf{u}^{T}(\mathbf{x}) =\mathbf{p}^{T}(\mathbf{x})\mathbf{C}^{-1}(\overline{\mathbf{x}})\mathbf{U}=\mathbf{p}^{T}(\mathbf{x})\mathbf{A}^{-1}\mathbf{(}\overline{\mathbf{x}})\mathbf{B(}\overline{\mathbf{x}})\mathbf{U}=   </math>

| style="width: 5px;text-align: right;white-space: nowrap;" | (2.40)

|-

| style="text-align: center;" | <math> =\mathbf{p}^{T}(\mathbf{x})\mathbf{A}^{-1}\mathbf{(}\overline{\mathbf{x}})\mathbf{P}^{T}(\mathbf{x}_{I})\mathbf{W}(\overline{\mathbf{x}})\mathbf{U=p}^{T}(\mathbf{x})\mathbf{A}^{-1}\mathbf{(}\overline{\mathbf{x}})\mathbf{A(}\overline{\mathbf{x}})=\mathbf{p}^{T}(\mathbf{x})   </math>

|}

|}

​

lo que demuestra el hecho de que cualquier función que aparezca en la base puede ser reproducida exactamente. Si por ejemplo, la base <math display="inline">\left\{ p_{i}(\mathbf{x})\right\}_{i=1}^{m}</math> contiene todos los términos constantes y monomios lineales, entonces el orden de consistencia de la aproximación MLS será lineal.

​

===2.1.5 No interpolación===

​

Sin duda el aspecto más destacado de las funciones de forma [[#eq-2.29|2.29]] que se acaban de deducir, presente además en todos los métodos sin malla que utilizan una interpolación por mínimos cuadrados, es el no cumplimiento de la propiedad de interpolación, es decir:

​

<span id="eq-2.41"></span>

{| class="formulaSCP" style="width: 100%; text-align: left;" 

|-

| 

{| style="text-align: left; margin:auto;width: 100%;" 

|-

| style="text-align: center;" | <math>\phi _{I}(\mathbf{x}_{J})\neq \delta _{IJ}   </math>

|}

| style="width: 5px;text-align: right;white-space: nowrap;" | (2.41)

|}

​

siendo el símbolo <math display="inline">\delta _{IJ}</math> la delta de Kronecker. Como consecuencia de lo anterior, ver figura [[#img-3|3]] , el valor de la función incógnita en el nodo <math display="inline">I</math> es distinto del valor de la aproximación en ese punto

​

<span id="eq-2.42"></span>

{| class="formulaSCP" style="width: 100%; text-align: left;" 

|-

| 

{| style="text-align: left; margin:auto;width: 100%;" 

|-

| style="text-align: center;" | <math>u(\mathbf{x}_{I})=u_{I}^{h}\neq \widehat{u}(\mathbf{x}_{I})  </math>

|}

| style="width: 5px;text-align: right;white-space: nowrap;" | (2.42)

|}

​

Por este motivo, los parámetros <math display="inline">u_{I}^{h}</math> no deben ser tratados como valores nodales, sino como ''contribuciones nodales,'' en el entendido de que cada nodo <math display="inline">I</math> aporta su contribución <math display="inline">u_{I}^{h}</math> en la construcción de la aproximación <math display="inline">\widehat{u}(\mathbf{x)}</math>. El subíndice que acompaña a la función de ponderación en la figura [[#img-3|3]] indica el centro del subdominio de influencia y su argumento el punto donde esta se evalúa.<div id='img-3'></div>

{| class="floating_imageSCP" style="text-align: center; border: 1px solid #BBB; margin: 1em auto; width: 100%;max-width: 100%;"

|-

|[[Image:draft_Samper_249558229-mls.png|600px|Aproximacion por minimos cuadrados ponderados tipo MLS]]

|- style="text-align: center; font-size: 75%;"

| colspan="1" | '''Figura 3:''' Aproximacion por minimos cuadrados ponderados tipo MLS

|}

​

===2.1.6 Continuidad y derivabilidad===

​

La continuidad de la aproximación ''moving least squares'' está supeditada a la regularidad de las funciones de la base de interpolación <math display="inline">\mathcal{P}=:\left\{p_{i}(\mathbf{x})\right\}_{i=1}^{m}</math> y de la función de ponderación <math display="inline">w(\mathbf{x-x}_{I})</math>. Se puede comprobar sin mayor dificultad, que para un caso en que <math display="inline">\left\{p_{i}(\mathbf{x})\right\} _{i=1}^{m}\in C^{q}(\Omega )</math> y <math display="inline">w(\mathbf{x-x}_{I})\in C^{r}(\Omega )</math>, entonces la aproximación global MLS <math display="inline">Gu(\mathbf{x})\in C^{\min (q,r)}</math>.

​

La derivada parcial de la función de forma, en la aproximación MLS, se obtiene como (recuérdese la expresión [[#eq-2.29|2.29]]):

​

<span id="eq-2.43"></span>

{| class="formulaSCP" style="width: 100%; text-align: left;" 

|-

| 

{| style="text-align: left; margin:auto;width: 100%;" 

|-

| style="text-align: center;" | <math>\phi _{I,j}\left(\mathbf{x}\right)=\stackrel{m}{\underset{k=1}{\sum }}\stackrel{m}{\underset{i=1}{\sum }}p_{i,j}\left(\mathbf{x}\right)\left( A_{ik}^{-1}\left(\mathbf{x}\right)B_{kI}\left(\mathbf{x}\right)\right)+  </math>

| style="width: 5px;text-align: right;white-space: nowrap;" | (2.43)

|-

| style="text-align: center;" | <math> +p_{i}\left(\mathbf{x}\right)\left(A_{ik,j}^{-1}\left(\mathbf{x}\right)B_{kI}\left(\mathbf{x}\right)+A_{ik}^{-1}\left(\mathbf{x}\right) B_{kI,j}\left(\mathbf{x}\right)\right)  </math>

|}

|}

​

donde

​