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Este trabajo combina un elemento de sólido basado en una formulación lagrangeana total que utiliza deformaciones logarítmicas con una aproximación clásica de deformaciones transversales impuestas para láminas gruesas. El objetivo es poder utilizar el elemento para la simulación de láminas sin que bloquee por cortante. Se resume la técnica de escalamiento selectivo de masa utilizada a los fines de que la discretización en el espesor no condicione el tiempo crítico en códigos con integración explícita de las ecuaciones de movimiento. Se presentan varios ejemplos que muestran el comportamiento libre de bloqueo por corte del elemento, la influencia del escalamiento de masa y las posibilidades del elemento para el análisis de laminados en régimen no lineal material.

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==Abstract==

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In this work a solid finite element based on a Total Lagrangian Formulation using logarithmic strains is combined with a classical assumed strain approach of the transverse strains for thick shells. The target is to use the element for shell simulations without shear locking. The selective mass scaling technique used to avoid that the discretization across the thickness reduce the critical time in codes with explicit integration of the momentum equations is summarized. Several examples are presented showing that the element is shear-locking free, the consequences of the selective mass scaling and the possibilities of the element for the analysis of composites laminates in non-linear material regime.

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==Palabras clave==

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Elementos finitos ; Sólidos ; Láminas ; Corte transversal

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==Keywords==

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Finite Elements ; Solids ; Shells ; Transversal Shear

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==1. Introducción==

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En el área de la mecánica de los sólidos, para la simulación de problemas de láminas (i.e. cuando una de las dimensiones del sólido es mucho menor que la otra), se prefiere la utilización de elementos finitos que utilicen hipótesis plausibles respecto al comportamiento de la normal a la lámina (hipótesis de Kirchhoff-Love o Reissner-Mindlin) lo que conduce a elementos donde el comportamiento cinemático queda descripto por el movimiento de la superficie media con una importante economía de recursos, tanto en memoria como en tiempo de proceso.

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Sin embargo, la utilización de elementos de sólidos para simular láminas ha crecido notoriamente en el último tiempo auspiciado en parte por la continua mejora en las facilidades de procesamiento y también por la necesidad de mejorar distintos aspectos de los modelos a los fines de lograr simulaciones más fieles. Algunas de las ventajas que se obtienen de utilizar elementos de sólido en vez de elementos de lámina son: ''a'' ) la posibilidad de utilizar relaciones constitutivas efectivamente tridimensionales y no restringirse a modelos de tensión plana; ''b'' ) incluir el efecto del contacto correctamente, en particular cuando hay fricción; ''c'' ) tratar grandes deformaciones de corte transversal o discontinuidades en las deformaciones a través del espesor; ''d'' ) evitar elementos especiales de transición entre mallas de elementos de sólidos y de elementos de láminas; ''e'' ) tratar correctamente contornos no paralelos a la normal a la lámina o campo director; ''f'' ) deshacerse de los grados de libertad rotacionales que son en general costosos y dificultosos de parametrizar y actualizar.      

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Los elementos de sólido estándar de 8 nudos integrados con 8 puntos cuando se utilizan para simular láminas adolecen (al igual que un elemento de lámina deformable por corte) del problema de bloqueo por cortante en forma pronunciada. Este problema se agudiza cuando la esbeltez de la lámina aumenta y si el comportamiento es predominantemente de flexión. Por otro lado al tratar materiales elásticos quasi-incompresibles o materiales elasto-plásticos con flujo plástico isócoro (típico de los metales) se generan problemas de bloqueo volumétrico. El uso de un solo elemento de sólido en el espesor de la lámina hace evidente la imposibilidad del elemento de adecuarse al efecto de Poisson en todo el espesor. Finalmente en modelos de láminas curvas donde el comportamiento es principalmente de flexión sin estiramiento de la superficie media es común la aparición de bloqueo membranal. Estos bloqueos numéricos indican la incapacidad de las funciones de interpolación utilizadas (y sus gradientes) de amoldarse al comportamiento del sólido que muchas veces invalidan las soluciones obtenidas.

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Los avances en el desarrollo de elementos de sólidos a los fines de evitar los diferentes bloqueos indicados son numerosos. En muchos casos el objetivo es lograr modelos que requieran un solo elemento en el espesor, estos elementos se denominan de «sólido-lámina» y en general utilizan formulaciones en deformaciones naturales impuestas «ANS» y deformaciones impuestas mejoradas «EAS» (de sus acrónimos en inglés) con la inclusión de distintos grados de libertad internos que se condensan localmente. Para solucionar el problema de bloqueo por corte transversal la ya clásica aproximación de Dvorkin y Bathe[[#bib0025|[5]]]  es la más utilizada cuando se realiza integración completa (ver por ejemplo [[#bib0050|[10]]]  and [[#bib0090|[18]]] ) y una variación de la misma cuando se realiza integración reducida (ver por ejemplo [[#bib0015|[3]]] ). Para solucionar el bloqueo membranal se han desarrollado elementos con ambos tipos de formulación. Para evitar el bloqueo debido al efecto de Poisson se suelen combinar ambas técnicas. El bloqueo volumétrico se soluciona habitualmente usando integración reducida selectiva (SRI del acrónimo en inglés) o promediando la dilatación sobre todo el elemento. En el plano de la lámina se utiliza 1 o 4 puntos de integración (en el primer caso se requiere estabilización para evitar los modos de «hourglass»), en tanto que en el espesor de la lámina se utilizan por lo menos dos puntos (a veces hasta 7 en problemas elasto-plásticos) para captar los efectos de flexión. La implementación es más compleja que los elementos de sólido estándar y pueden presentar algunas inestabilidades cuando se utiliza integración reducida debido a los modos de «hourglass» o en grandes deformaciones cuando se utiliza la técnica EAS. En la referencia [[#bib0080|[16]]]  se indica un detallado estado del arte de este tipo de elementos. A pesar de las mejoras, si se utiliza un solo elemento en el espesor estos elementos de «sólido-lámina» no pueden modelar discontinuidades en el espesor como las que aparecen en materiales composites y deben aumentar la discretización en el espesor para captar estos detalles, lo cual hace que pierdan algunas de sus ventajas. Como alternativa a la integración completa con 8 puntos Liu et al. [[#bib0055|[11]]]  proponen la utilización de 4 puntos de integración lo que representa una economía importante y un mejor seguimiento del comportamiento elastoplástico cuando se lo compara con los elementos con un punto de integración en el plano de la lámina. Esto a expensas de una posible dependencia de la malla.      

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En el caso de simulaciones a gran escala con fuertes no-linealidades asociadas a inestabilidades geométricas, modelos constitutivos complejos, contacto friccional, es común utilizar algoritmos explícitos que son condicionalmente estables. Al simular láminas discretizadas con varios elementos de sólido en el espesor el tiempo de avance crítico puede resultar prohibitivamente pequeño. Para este tipo de modelos Olovsson[[#bib0070|[14]]]  propuso una estrategia de escalamiento selectivo de masa que permite que el tiempo crítico no dependa de la discretización en el espesor.      

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Una de las motivaciones principales de este trabajo es la simulación de materiales laminados en régimen no lineal material que requiere incluir varios elementos en el espesor de la lámina. Por ello en lo que aquí se presenta solo se intenta aliviar el problema de bloqueo volumétrico (cuando se tratan problemas de flujo plástico) y por cortante transversal en problemas dominados por la flexión, pero no se considera bloqueo membranal de láminas inicialmente curvas o mejorar el comportamiento en flexión frente al efecto «Poisson» debido a una pobre interpolación en la dirección transversal. Para ello propondremos algo similar a lo que se usa en los elementos de lámina cuadrilátero [[#bib0025|[5]]] , es decir, que en la dirección local normal a la lámina utilizaremos para el cálculo de algunas componentes del tensor métrico una aproximación del tipo ANS. El objetivo final es tener un elemento sencillo, que no requiera estabilización alguna, no presente inestabilidades en grandes deformaciones y sea adecuado para problemas con contacto.      

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Un la siguiente sección se resumen las ecuaciones de la mecánica de sólidos más relevantes para este trabajo. En la sección [[#sec0015|3]]  se presenta la formulación del elemento de sólido. A continuación se muestra como tratar el corte transversal cuando se simulan láminas. En la sección [[#sec0025|5]]  se resume una técnica de escalamiento selectivo de masa usada para disminuir los tiempos de CPU. En la sección [[#sec0030|6]]  se presentan varios ejemplos mostrando el buen comportamiento del elemento y finalmente se resumen algunas conclusiones.      

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==2. Expresiones relevantes de la mecánica de los sólidos==

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Referidos a un sistema cartesiano global arbitrario denotamos con '''X'''  la posición original de los puntos materiales del sólido, con <math display="inline">\boldsymbol{\mbox{R}}(\boldsymbol{\mbox{X}})=</math><math>\left[\boldsymbol{\mbox{t}}_1,\boldsymbol{\mbox{t}}_2,\boldsymbol{\mbox{t}}_3\right]</math> : la terna ortogonal respecto a la cual se caracteriza el material en cada punto del sólido indeformado (sistema local) y con '''Y''' : a las coordenadas originales referidas al sistema local

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{| class="formulaSCP" style="width: 100%; text-align: center;" 

|-

| 

{| style="text-align: center; margin:auto;" 

|-

| <math>\boldsymbol{\mbox{Y}}=\boldsymbol{\mbox{R}}^T\quad \boldsymbol{\mbox{X}}</math>

|}

| style="width: 5px;text-align: right;white-space: nowrap;" | ( 1)

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La posición de los puntos materiales del sólidos en un instante cualquiera ''t  ''  se escriben como <math display="inline">\boldsymbol{\mbox{x}}\left(\boldsymbol{\mbox{x}},t\right)</math> . Denominando con '''F'''  al gradiente de la deformación

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{| class="formulaSCP" style="width: 100%; text-align: center;" 

|-

| 

{| style="text-align: center; margin:auto;" 

|-

| <math>\boldsymbol{\mbox{F}}=\boldsymbol{\nabla }\boldsymbol{\mbox{x}}\left(\boldsymbol{\mbox{X}},t\right)</math>

|}

| style="width: 5px;text-align: right;white-space: nowrap;" | ( 3)

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{| class="formulaSCP" style="width: 100%; text-align: center;" 

|-

| 

{| style="text-align: center; margin:auto;" 

|-

| <math>F_{ij}=\frac{\partial x_i}{\partial X_j}</math>

|}

| style="width: 5px;text-align: right;white-space: nowrap;" | 

|}

​

que puede referirse al sistema local (indicaremos con un sombrero superpuesto <math display="inline">\overset{\mbox{ˆ}}{\left(\_\right)}</math> , las variables referidas al sistema local cuando sea necesario)

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{| class="formulaSCP" style="width: 100%; text-align: center;" 

|-

| 

{| style="text-align: center; margin:auto;" 

|-

| <math>\overset{\mbox{ˆ}}{\boldsymbol{\mbox{F}}}=\boldsymbol{\mbox{F}}\quad \boldsymbol{\mbox{R}}</math>

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| style="width: 5px;text-align: right;white-space: nowrap;" | ( 4)

|}

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{| class="formulaSCP" style="width: 100%; text-align: center;" 

|-

| 

{| style="text-align: center; margin:auto;" 

|-

| <math>{\overset{\mbox{ˆ}}{F}}_{ik}=\frac{\partial x_m}{\partial Y_k}=</math><math>\frac{\partial x_i}{\partial X_j}\frac{\partial X_j}{\partial Y_k}=</math><math>\frac{\partial x_i}{\partial X_j}R_{jk}</math>

|}

| style="width: 5px;text-align: right;white-space: nowrap;" | 

|}

​

El cual permite evaluar el tensor derecho de Cauchy-Green y las deformaciones de Green-Lagrange

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{| class="formulaSCP" style="width: 100%; text-align: center;" 

|-

| 

{| style="text-align: center; margin:auto;" 

|-

| <math>\overset{\mbox{ˆ}}{\boldsymbol{\mbox{C}}}={\overset{\mbox{ˆ}}{\boldsymbol{\mbox{F}}}}^T\overset{\mbox{ˆ}}{\boldsymbol{\mbox{F}}}=</math><math>\boldsymbol{\mbox{R}}^T\quad \boldsymbol{\mbox{C}}\quad \boldsymbol{\mbox{R}}</math>

|}

| style="width: 5px;text-align: right;white-space: nowrap;" | ( 5)

|}

​

La medida de tensión asociada (a través del principio de trabajos virtuales) es el segundo tensor de tensiones de Piola Kirchhoff <math display="inline">\overset{\mbox{ˆ}}{\boldsymbol{\mbox{S}}}</math>  que se relaciona con el tensor de tensiones (reales) de Cauchy ''σ''  o con el de Kirchhoff (''τ'' ) por:

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{| class="formulaSCP" style="width: 100%; text-align: center;" 

|-

| 

{| style="text-align: center; margin:auto;" 

|-

| <math>\overset{\mbox{ˆ}}{\boldsymbol{\mbox{S}}}=det(\boldsymbol{\overset{\mbox{ˆ}}{\boldsymbol{\mbox{F}}})}\quad {\overset{\mbox{ˆ}}{\boldsymbol{\mbox{F}}}}^{-1}\quad {\sigma \quad \overset{\mbox{ˆ}}{\boldsymbol{\mbox{F}}}}^{-T}=</math><math>{\overset{\mbox{ˆ}}{\boldsymbol{\mbox{F}}}}^{-1}\quad {\tau \quad \overset{\mbox{ˆ}}{\boldsymbol{\mbox{F}}}}^{-T}</math>

|}

| style="width: 5px;text-align: right;white-space: nowrap;" | ( 7)

|}

​

lo que permite escribir el trabajo virtual interno como

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<span id='eq0060'></span>

{| class="formulaSCP" style="width: 100%; text-align: center;" 

|-

| 

{| style="text-align: center; margin:auto;" 

|-

| <math>{\int }_{V_0}\overset{\mbox{ˆ}}{\boldsymbol{\mbox{S}}}:\delta \overset{\mbox{ˆ}}{\boldsymbol{\mbox{E}}}\quad {dV}_0</math>

|}

| style="width: 5px;text-align: right;white-space: nowrap;" | ( 8)

|}

​

donde ''V''<sub>0</sub>  es el volumen original indeformado del sólido.      

​

Este par conjugado tensión-deformación presenta algunas dificultades para el tratamiento de relaciones constitutivas elasto-plásticas en grandes deformaciones, por lo cual introduciremos la deformación de Hencky, lo cual requiere la descomposición espectral de <math display="inline">\overset{\mbox{ˆ}}{\boldsymbol{\mbox{C}}}</math>

​

<span id='eq0065'></span>

{| class="formulaSCP" style="width: 100%; text-align: center;" 

|-

| 

{| style="text-align: center; margin:auto;" 

|-

| <math>\overset{\mbox{ˆ}}{\boldsymbol{\mbox{C}}}=\boldsymbol{\mbox{L}}^T\quad \boldsymbol{{\Lambda }^2}\quad \boldsymbol{\mbox{L}}</math>

|-

|<math>=\sum_{i=1}^3{\lambda }_i^2\quad {\overset{\mbox{ˆ}}{\boldsymbol{\mbox{l}}}}_i\otimes {\overset{\mbox{ˆ}}{\boldsymbol{\mbox{l}}}}_i</math>

|-

|<math></math>

|}

| style="width: 5px;text-align: right;white-space: nowrap;" | ( 9)

|}

​

donde '''Λ'''<sup>2</sup>  es la matriz diagonal que agrupa a los autovalores <math display="inline">{\lambda }_i^2</math>  de '''C'''  y <math display="inline">{\overset{\mbox{ˆ}}{\boldsymbol{\mbox{l}}}}_i</math>  son los autovectores (unitarios) asociados. Entonces es posible escribir las deformaciones como

​

<span id='eq0070'></span>

{| class="formulaSCP" style="width: 100%; text-align: center;" 

|-

| 

{| style="text-align: center; margin:auto;" 

|-

| <math>\overset{\mbox{ˆ}}{\boldsymbol{\mbox{e}}}={\overset{\mbox{ˆ}}{\boldsymbol{\mbox{L}}}}^T\quad ln\left(\boldsymbol{\Lambda }\right)\quad \overset{\mbox{ˆ}}{\boldsymbol{\mbox{L}}}</math>

|}

| style="width: 5px;text-align: right;white-space: nowrap;" | ( 10)

|}

​

Esta medida de deformación es una extensión adecuada de la deformación logarítmica (natural) unidimensional y es lagrangeana, es decir, que mide deformaciones respecto a la terna original. Denominaremos con <math display="inline">\overset{\mbox{ˆ}}{\boldsymbol{\mbox{T}}}</math>  a la medida de tensión asociada, que puede relacionarse con <math display="inline">\overset{\mbox{ˆ}}{\boldsymbol{\mbox{S}}}</math>  a través de las expresiones siguientes: definiendo los tensores rotados

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{| class="formulaSCP" style="width: 100%; text-align: center;" 

|-

| 

{| style="text-align: center; margin:auto;" 

|-

| <math>\boldsymbol{\mbox{T}}_L={\overset{\mbox{ˆ}}{\boldsymbol{\mbox{L}}}}^T\quad \overset{\mbox{ˆ}}{\boldsymbol{\mbox{T}}}\quad \overset{\mbox{ˆ}}{\boldsymbol{\mbox{L}}}</math>

|-

|<math>\boldsymbol{\mbox{S}}_L={\overset{\mbox{ˆ}}{\boldsymbol{\mbox{L}}}}^T\quad \overset{\mbox{ˆ}}{\boldsymbol{\mbox{S}}}\quad \overset{\mbox{ˆ}}{\boldsymbol{\mbox{L}}}</math>

|}

| style="width: 5px;text-align: right;white-space: nowrap;" | ( 11)

|}

​

la relación entre el 2.<sup>o</sup>  tensor de Piola Kirchhoff y la tensión de Hencky es (ver por ejemplo la referencia [[#bib0020|[4]]] ):

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{| class="formulaSCP" style="width: 100%; text-align: center;" 

|-

| 

{| style="text-align: center; margin:auto;" 

|-

| <math>{\left[S_L\right]}_{\alpha \alpha }=\frac{1}{{\lambda }_{\alpha }^2}{\left[T_L\right]}_{\alpha \alpha }</math>

|-

|<math>{\left[S_L\right]}_{\alpha \beta }=\frac{ln\left({\lambda }_{\alpha }/{\lambda }_{\beta }\right)}{\frac{1}{2}\left({\lambda }_{\alpha }^2-{\lambda }_{\beta }^2\right)}{\left[T_L\right]}_{\alpha \beta }</math>

|}

| style="width: 5px;text-align: right;white-space: nowrap;" | ( 12)

|}

​

finalmente

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{| class="formulaSCP" style="width: 100%; text-align: center;" 

|-

| 

{| style="text-align: center; margin:auto;" 

|-

| <math>\overset{\mbox{ˆ}}{\boldsymbol{\mbox{S}}}={\overset{\mbox{ˆ}}{\boldsymbol{\mbox{R}}}}_L\quad \boldsymbol{\mbox{S}}_L{\quad \overset{\mbox{ˆ}}{\boldsymbol{\mbox{R}}}}_L^T</math>

|}

| style="width: 5px;text-align: right;white-space: nowrap;" | ( 13)

|}

​

El objetivo de calcular <math display="inline">\overset{\mbox{ˆ}}{\boldsymbol{\mbox{S}}}</math>  es que las condiciones de equilibrio se expresan a partir de la expresión [[#eq0060|(8)]]  debido a la complejidad computacional que representa obtener la variación de la deformación de Hencky (expresión [[#eq0070|(10)]] ).      

​

A los fines de considerar comportamiento inelástico se supondrá que las deformaciones elásticas son pequeñas y que es admisible descomponer en forma aditiva al tensor de deformación de Hencky en una componente elástica y una componente plástica

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{| class="formulaSCP" style="width: 100%; text-align: center;" 

|-

| 

{| style="text-align: center; margin:auto;" 

|-

| <math>\overset{\mbox{ˆ}}{\boldsymbol{\mbox{e}}}={\overset{\mbox{ˆ}}{\boldsymbol{\mbox{e}}}}^e+</math><math>{\overset{\mbox{ˆ}}{\boldsymbol{\mbox{e}}}}^p</math>

|}

| style="width: 5px;text-align: right;white-space: nowrap;" | ( 14)

|}

​

Para el caso de materiales isótropos se supondrá además que existe una relación lineal entre la medida de tensión de Hencky '''T'''  y la componente elástica del tensor de deformaciones '''e'''<sup>''e''</sup> .

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{| class="formulaSCP" style="width: 100%; text-align: center;" 

|-

| 

{| style="text-align: center; margin:auto;" 

|-

| <math>\boldsymbol{\mbox{T}}=\boldsymbol{\mbox{D}}:\boldsymbol{\mbox{e}}^e</math>

|}

| style="width: 5px;text-align: right;white-space: nowrap;" | ( 15)

|}

​

En el caso de materiales composites existen diferentes formas de tratarlo. Una posibilidad es considerarlo como un único material equivalente, en tal caso se aplica directamente la expresión anterior, esta aproximación en general es válida solo en el rango elástico lineal o el tratamiento plástico resulta muy complejo. Una segunda posibilidad, de mayor generalidad pero más costosa computacionalmente, es analizar separadamente el comportamiento de cada componente cuando corresponda (comportamiento en paralelo en la dirección de las fibras) y su interacción (comportamiento en serie en la dirección transversal al las fibras)[[#bib0075|[15]]]  and [[#bib0065|[13]]] . En este caso resulta conveniente expresar al tensor de deformaciones <math display="inline">\overline{\boldsymbol{\mbox{e}}}</math>  en las direcciones principales de ortotropía de cada componente

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{| class="formulaSCP" style="width: 100%; text-align: center;" 

|-

| 

{| style="text-align: center; margin:auto;" 

|-

| <math>{\overset{\mbox{ˆ}}{\boldsymbol{\mbox{e}}}}_i=\boldsymbol{\mbox{R}}_i^T\quad {\overset{\mbox{ˆ}}{\boldsymbol{\mbox{e}}}\quad \boldsymbol{\mbox{R}}}_i</math>

|}

| style="width: 5px;text-align: right;white-space: nowrap;" | ( 16)

|}

​

donde <math display="inline">\boldsymbol{\mbox{R}}_i=</math><math>\left[\boldsymbol{\mbox{t}}_1^i,\boldsymbol{\mbox{t}}_2^i,\boldsymbol{\mbox{t}}_3^i\right]</math>  son las direcciones principales de ortotropía de la componente ''i''  referidas al sistema local '''R.'''  La teoría de mezclas permite tratar separadamente la evolución de cada componente, evaluando su estado tensional y luego calcular el estado tensional equivalente en función de la fracción de volumen de cada componente dentro del compuesto.      

​

<span id='sec0015'></span>

==3. Elemento finito de sólido==

​

La cinemática descripta se ha implementado en un elemento sólido en 3 dimensiones [[#bib0030|[6]]] . Se han considerado un elemento hexaédrico de 8 nudos. Las geometrías inicial y deformada del elemento están descriptas por las aproximaciones isoparamétricas estándar [[#bib0095|[19]]] .

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{| class="formulaSCP" style="width: 100%; text-align: center;" 

|-

| 

{| style="text-align: center; margin:auto;" 

|-

| <math>\boldsymbol{\mbox{X}}\left(\xi \right)=\sum_{I=1}^8N^I\left(\xi \right)\quad \boldsymbol{\mbox{X}}^I</math>

|}

| style="width: 5px;text-align: right;white-space: nowrap;" | ( 17)

|}

​

donde '''X'''<sup>''I''</sup> , '''x<sup>I</sup>''' , y '''u<sup>I</sup>'''  son respectivamente las coordenadas originales, coordenadas actuales y desplazamientos del nudo ''I  '' . Las funciones de forma <math display="inline">N^I\left(\xi \right)</math>  son las habituales funciones de forma Lagrangeanas en función de las coordenadas locales ''ξ''  del elemento maestro correspondiente.      

​

La evaluación de las derivadas cartesianas se realiza en forma estándar, definiendo la matriz jacobiana en cada punto de integración

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{| class="formulaSCP" style="width: 100%; text-align: center;" 

|-

| 

{| style="text-align: center; margin:auto;" 

|-

| <math>\boldsymbol{\mbox{J}}=\frac{\partial \boldsymbol{\mbox{X}}}{\partial \xi }</math>

|}

| style="width: 5px;text-align: right;white-space: nowrap;" | ( 19)

|}

​

{| class="formulaSCP" style="width: 100%; text-align: center;" 

|-

| 

{| style="text-align: center; margin:auto;" 

|-

| <math>N_{{}^{{'}}\boldsymbol{\mbox{X}}}^I=\boldsymbol{\mbox{J}}^{-1}\quad N_{{}^{{'}}\xi }^I</math>

|}

| style="width: 5px;text-align: right;white-space: nowrap;" | ( 20)

|}

​

En cada elemento se define un sistema cartesiano local coincidente con las direcciones principales de ortotropía del material constitutivo

​

{| class="formulaSCP" style="width: 100%; text-align: center;" 

|-

| 

{| style="text-align: center; margin:auto;" 

|-

| <math>\boldsymbol{\mbox{R}}=\left[\boldsymbol{\mbox{t}}_1,\boldsymbol{\mbox{t}}_2,\boldsymbol{\mbox{t}}_3\right]</math>

|}

| style="width: 5px;text-align: right;white-space: nowrap;" | ( 21)

|}

​

de tal forma que las derivadas cartesianas referidas a este sistema ('''Y''' ) resultan

​

{| class="formulaSCP" style="width: 100%; text-align: center;" 

|-

| 

{| style="text-align: center; margin:auto;" 

|-

| <math>{\overset{\mbox{ˆ}}{N}}_{{}^{{'}}\boldsymbol{\mbox{Y}}}^I=</math><math>\boldsymbol{\mbox{R}}^T\quad N_{{}^{{'}}\boldsymbol{\mbox{X}}}^I</math>

|}

| style="width: 5px;text-align: right;white-space: nowrap;" | ( 22)

|}

​

lo que permite evaluar el gradiente de deformación <math display="inline">\overset{\mbox{ˆ}}{\boldsymbol{\mbox{F}}}</math>  en función de las coordenadas actuales de los nudos

​

{| class="formulaSCP" style="width: 100%; text-align: center;" 

|-

| 

{| style="text-align: center; margin:auto;" 

|-

| <math>{\overset{\mbox{ˆ}}{F}}_{ij}=\sum_{I=1}^{NN}{\overset{\mbox{ˆ}}{N}}_{{}^{{'}}j}^I\quad x_i^I</math>

|}

| style="width: 5px;text-align: right;white-space: nowrap;" | ( 23)

|}

​

y las componentes del tensor <math display="inline">\overset{\mbox{ˆ}}{\boldsymbol{\mbox{C}}}</math>

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{| class="formulaSCP" style="width: 100%; text-align: center;" 

|-

| 

{| style="text-align: center; margin:auto;" 

|-

| <math>{\overset{\mbox{ˆ}}{C}}_{ij}={\overset{\mbox{ˆ}}{F}}_{ki}{\overset{\mbox{ˆ}}{F}}_{kj}</math>

|}

| style="width: 5px;text-align: right;white-space: nowrap;" | ( 24)

|}

​

Para la descomposición espectral de <math display="inline">\overset{\mbox{ˆ}}{\boldsymbol{\mbox{C}}}</math>  en 3 dimensiones [[#eq0065|(9)]]  es necesario un cierto cuidado para deformaciones muy pequeñas o para autovalores casi-coincidentes para evitar problemas de precisión en la obtención de los autovectores correspondientes [[#bib0085|[17]]] .      

​

Para evitar problemas de bloqueo debido al flujo plástico incompresible el tensor derecho de Cauchy-Green se descompone multiplicativamente en sus componentes volumétrica y desviadora.

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{| class="formulaSCP" style="width: 100%; text-align: center;" 

|-

| 

{| style="text-align: center; margin:auto;" 

|-

| <math>\boldsymbol{\mbox{C}}_V=J^{\frac{2}{3}}\boldsymbol{1}</math>

|}

| style="width: 5px;text-align: right;white-space: nowrap;" | ( 25)

|}

​

{| class="formulaSCP" style="width: 100%; text-align: center;" 

|-

| 

{| style="text-align: center; margin:auto;" 

|-

| <math>\boldsymbol{\mbox{C}}_D=J^{-\frac{2}{3}}\boldsymbol{\mbox{C}}</math>

|}

| style="width: 5px;text-align: right;white-space: nowrap;" | ( 26)

|}

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La componente volumétrica resulta del determinante ''J''  del gradiente de la deformación '''F'''

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{| class="formulaSCP" style="width: 100%; text-align: center;" 

|-

| 

{| style="text-align: center; margin:auto;" 

|-

| <math>\Delta =ln\left(J\right)</math>

|}

| style="width: 5px;text-align: right;white-space: nowrap;" | ( 27)

|}

​

que se promedia sobre todo el elemento (<math display="inline">\overline{\Delta }</math> ), con lo cual se obtiene un valor corregido del tensor de deformaciones en cada punto de integración

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{| class="formulaSCP" style="width: 100%; text-align: center;" 

|-

| 

{| style="text-align: center; margin:auto;" 

|-

| <math>\overline{\boldsymbol{\mbox{e}}}=\frac{\overline{\Delta }}{3}\quad \boldsymbol{1}+</math><math>{\overset{\mbox{ˆ}}{\boldsymbol{\mbox{e}}}}_D</math>

|}

| style="width: 5px;text-align: right;white-space: nowrap;" | ( 28)

|}

​

Aceptando la hipótesis de aditividad de componentes elástica y plástica del tensor de deformaciones éste se escribe:

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{| class="formulaSCP" style="width: 100%; text-align: center;" 

|-

| 

{| style="text-align: center; margin:auto;" 

|-

| <math>\overline{\boldsymbol{\mbox{e}}}={\overline{\boldsymbol{\mbox{e}}}}^p+</math><math>{\overline{\boldsymbol{\mbox{e}}}}^e</math>

|}

| style="width: 5px;text-align: right;white-space: nowrap;" | ( 29)

|}

​

Para el caso de materiales donde la ley de fluencia es independiente de la componente volumétrica, la componente plástica tiene traza nula y <math display="inline">\overline{\Delta }</math>  es puramente elástica. El tensor de tensiones asociado se obtiene de suponer una ley constitutiva hiperelástica, lineal entre tensiones y componentes elásticas del tensor de deformaciones

​

{| class="formulaSCP" style="width: 100%; text-align: center;" 

|-

| 

{| style="text-align: center; margin:auto;" 

|-

| <math>\overset{\mbox{ˆ}}{\boldsymbol{\mbox{T}}}=\boldsymbol{\mbox{C}}\quad {\overline{\boldsymbol{\mbox{e}}}}^e</math>

|}

| style="width: 5px;text-align: right;white-space: nowrap;" | ( 30)

|}

​

Para el caso de un material isótropo con deformación plástica incompresible, lo anterior puede escribirse

​

{| class="formulaSCP" style="width: 100%; text-align: center;" 

|-

| 

{| style="text-align: center; margin:auto;" 

|-

| <math>\overset{\mbox{ˆ}}{\boldsymbol{\mbox{T}}}=2G\quad {\overline{\boldsymbol{\mbox{e}}}}_D^e+</math><math>K\quad \overline{\Delta }</math>

|}

| style="width: 5px;text-align: right;white-space: nowrap;" | ( 31)

|}

​

Si se utiliza el criterio de von Mises o el criterio de Hill es posible trabajar con las componentes desviadoras de tensiones y deformaciones, lo que facilita y hace más económica la integración de las ecuaciones constitutivas.

​

Como alternativa a la utilización de la deformación logarítmica la descomposición espectral [[#eq0065|(9)]]  permite considerar en forma sencilla materiales hiper-elásticos en grandes deformaciones (elastómeros), utilizando modelos tales como los de Ogden, Mooney-Rivlin, neohookeanos, etc. que habitualmente se definen en función de la energía interna de deformación a partir de los estiramientos principales.      

​

==4. Tratamiento del corte transversal==

​

En lo que aquí se presenta solo se intenta aliviar el problema de bloqueo por cortante transversal en problemas dominados por la flexión, pero no se considera bloqueo membranal o mejorar el comportamiento en flexión frente al efecto «Poisson» debido a una pobre interpolación en la dirección transversal.

​

Normalmente la discretización de una lámina con elementos de sólido de 8 nudos implica dos pasos: ''a'' ) una discretización de la superficie de la lámina con cuadriláteros de 4 nudos, y ''b'' ) un discretización del espesor de la lámina con uno o más elementos de sólido en base al cuadrilátero definido sobre la superficie media.      

​

En base a lo anterior supondremos que las conectividades del elemento de 8 nudos se introducen con los nudos locales 1 a 4 y 5 a 8 asociados con superficies paralelas a la superficie media i.e. que las conectividades del elemento de sólido son tales que los últimos cuatro nudos están por encima de los cuatro primeros en la dirección del espesor a una distancia igual al espesor de la capa (lo habitual en elementos de sólido-lámina). De esta forma la dirección normal a la superficie media (''y''<sub>3</sub>  local) coincide con la variable natural local ''ζ'' , llegado el caso se pueden modificar internamente las conectividades para que estas direcciones coincidan.      

​

El sistema de coordenadas cartesiano local ('''t'''<sub>1</sub> , '''t'''<sub>2</sub> , '''t'''<sub>3</sub> ) se define en cada punto de integración y en cada punto de muestreo en forma independiente, pero con un criterio similar de tal forma que haya una continuidad del mismo. Las condiciones sobre este sistema son que:

* el plano ''y''<sub>1</sub>  − ''y''<sub>2</sub>  local es el mismo que el plano tangente local definido por la coordenadas locales ''ξ''  − ''η'' . La elección final de la dirección '''t'''<sub>1</sub>  es arbitraria, pero es conveniente un criterio que permita un suavisado sencillo de los esfuerzos y/o deformaciones a los fines de visualización. Por otro lado, al tratar materiales ortótropos resulta conveniente que las direcciones '''t'''<sub>1</sub>  y '''t'''<sub>2</sub>  coincidan con las direcciones principales de ortotropía;                          

* la dirección ''y''<sub>3</sub>  resulta naturalmente normal al plano ''y''<sub>1</sub>  − ''y''<sub>2</sub>  y, si no hay distorsión inicial asociada a la dirección del espesor, coincidirá con la dirección local ''ζ'' .                  

​

La formulación del elemento de sólido de la sección anterior se basa en el tensor derecho de Cauchy-Green, por lo cual una posibilidad interesante es plantear una formulación basada en modificar las componentes de <math display="inline">\overset{\mbox{ˆ}}{\boldsymbol{\mbox{C}}}</math>  directamente asociadas al corte transversal

​

{| class="formulaSCP" style="width: 100%; text-align: center;" 

|-

| 

{| style="text-align: center; margin:auto;" 

|-

| <math>\overset{\mbox{ˆ}}{\boldsymbol{\mbox{C}}}=\left[\begin{array}{ccc}

{\overset{\mbox{ˆ}}{C}}_{11} & {\overset{\mbox{ˆ}}{C}}_{12} & {\overset{\mbox{ˆ}}{C}}_{13}^\ast \\

{\overset{\mbox{ˆ}}{C}}_{21} & {\overset{\mbox{ˆ}}{C}}_{22} & {\overset{\mbox{ˆ}}{C}}_{23}^\ast \\

{\overset{\mbox{ˆ}}{C}}_{31}^\ast  & {\overset{\mbox{ˆ}}{C}}_{32}^\ast  & {\overset{\mbox{ˆ}}{C}}_{33}

\end{array}\right]</math>

|}

| style="width: 5px;text-align: right;white-space: nowrap;" | ( 32)

|}

​

donde las componentes indicadas con un * son las que tienen directa influencia en el corte transversal. Esto permite separar el tensor en dos partes

​

{| class="formulaSCP" style="width: 100%; text-align: center;" 

|-

| 

{| style="text-align: center; margin:auto;" 

|-

| <math>\overset{\mbox{ˆ}}{\boldsymbol{\mbox{C}}}={\overset{\mbox{ˆ}}{\boldsymbol{\mbox{C}}}}_1+</math><math>{\overset{\mbox{ˆ}}{\boldsymbol{\mbox{C}}}}_2</math>

|}

| style="width: 5px;text-align: right;white-space: nowrap;" | ( 33)

|}

​

{| class="formulaSCP" style="width: 100%; text-align: center;" 

|-

| 

{| style="text-align: center; margin:auto;" 

|-

| <math>{\overset{\mbox{ˆ}}{\boldsymbol{\mbox{C}}}}_1={\overset{\mbox{ˆ}}{C}}_{11}\boldsymbol{\mbox{t}}^1\otimes \boldsymbol{\mbox{t}}^1+</math><math>{\overset{\mbox{ˆ}}{C}}_{22}\boldsymbol{\mbox{t}}^2\otimes \boldsymbol{\mbox{t}}^2+</math><math>{\overset{\mbox{ˆ}}{C}}_{33}\boldsymbol{\mbox{t}}^3\otimes \boldsymbol{\mbox{t}}^3+</math><math>{\overset{\mbox{ˆ}}{C}}_{12}\left(\boldsymbol{\mbox{t}}^1\otimes \boldsymbol{\mbox{t}}^2+\right. </math><math>\left. \boldsymbol{\mbox{t}}^2\otimes \boldsymbol{\mbox{t}}^1\right)</math>

|}

| style="width: 5px;text-align: right;white-space: nowrap;" | ( 34)

|}

​

{| class="formulaSCP" style="width: 100%; text-align: center;" 

|-

| 

{| style="text-align: center; margin:auto;" 

|-

| <math>{\overset{\mbox{ˆ}}{\boldsymbol{\mbox{C}}}}_2={\overset{\mbox{ˆ}}{C}}_{13}\left(\boldsymbol{\mbox{t}}^1\otimes \boldsymbol{\mbox{t}}^3+\right. </math><math>\left. \boldsymbol{\mbox{t}}^3\otimes \boldsymbol{\mbox{t}}^1\right)+</math><math>{\overset{\mbox{ˆ}}{C}}_{23}\left(\boldsymbol{\mbox{t}}^2\otimes \boldsymbol{\mbox{t}}^3+\right. </math><math>\left. \boldsymbol{\mbox{t}}^3\otimes \boldsymbol{\mbox{t}}^2\right)</math>

|}

| style="width: 5px;text-align: right;white-space: nowrap;" | ( 35)

|}

​

A los efectos de aproximar las componentes más relevantes para el corte transversal consideremos el elemento maestro correspondiente al cuadrilátero asociado a las coordenadas naturales (''ξ'' , ''η'' ), es decir, un cuadrado de lado dos. En este elemento impondremos la siguiente interpolación  [[#bib0025|[5]]]  para las componentes de corte transversal (en todos los casos para ''ζ''  = 0, es decir, sobre la superficie media):

​

<span id='eq0205'></span>

{| class="formulaSCP" style="width: 100%; text-align: center;" 

|-

| 

{| style="text-align: center; margin:auto;" 

|-

| <math>\left[\begin{array}{c}

C_{\xi 3}\\

C_{\eta 3}

\end{array}\right]=\frac{1}{2}\left[\begin{array}{cccc}

0 & 1-\eta  & 0 & 1+\eta \\

1-\xi  & 0 & 1+\xi  & 0

\end{array}\right]\left[\begin{array}{c}

C_{\eta 3}^A\\

C_{\xi 3}^B\\

C_{\eta 3}^C\\

C_{\xi 3}^D

\end{array}\right]=\boldsymbol{\mbox{P}}\left(\xi ,\eta \right)\quad \tilde{\boldsymbol{\mbox{c}}}</math>

|}

| style="width: 5px;text-align: right;white-space: nowrap;" | ( 36)

|}

​

donde las componentes de corte transversal han sido definidas en un sistema mixto, i.e. que incluye las coordenadas naturales en el plano y la coordenada espacial en la dirección transversal (''ξ'' , ''η'' , ''y''<sub>3</sub> ). Las componentes de interés se calculan en función del gradiente tangencial al contorno y el gradiente en la dirección normal '''t'''<sub>3</sub>  en cuatro puntos indicados como A<math display="inline">\left(\xi =\right. </math><math>\left. -1,\eta =0\right)</math> , B<math display="inline">\left(\xi =\right. </math><math>\left. 0,\eta =-1\right)</math> , C<math display="inline">\left(\xi =\right. </math><math>\left. 1,\eta =0\right)</math>  y D<math display="inline">\left(\xi =\right. </math><math>\left. 0,\eta =1\right)</math>  (ver [[#fig0005|fig. 1]] ). Según se ve en [[#eq0205|(36)]]  cada componente del gradiente se mantiene constante en una dirección y varía linealmente en la otra.

​

<span id='fig0005'></span>

​

{| style="text-align: center; border: 1px solid #BBB; margin: 1em auto; max-width: 100%;" 

|-

|

​

​

[[Image:draft_Content_584012652-1-s2.0-S0213131511000198-gr1.jpg|center|488px|Puntos de evaluación de las componentes transversales en cuadriláteros.]]

​

​

|-

| <span style="text-align: center; font-size: 75%;">

​

Figura 1.

​

Puntos de evaluación de las componentes transversales en cuadriláteros.

​

</span>

|}

​

Las componentes mixtas evaluadas en los puntos de muestreo son:

​

<span id='eq0210'></span>

{| class="formulaSCP" style="width: 100%; text-align: center;" 

|-

| 

{| style="text-align: center; margin:auto;" 

|-

| <math>\tilde{\boldsymbol{\mbox{c}}}=\left[\begin{array}{c}

C_{\eta 3}^A\\

C_{\xi 3}^B\\

C_{\eta 3}^C\\

C_{\xi 3}^D

\end{array}\right]=\left[\begin{array}{c}

\boldsymbol{\mbox{f}}_{\eta }^A\cdot \boldsymbol{\mbox{f}}_3^A\\

\boldsymbol{\mbox{f}}_{\xi }^B\cdot \boldsymbol{\mbox{f}}_3^B\\

\boldsymbol{\mbox{f}}_{\eta }^C\cdot \boldsymbol{\mbox{f}}_3^C\\

\boldsymbol{\mbox{f}}_{\xi }^D\cdot \boldsymbol{\mbox{f}}_3^D

\end{array}\right]</math>

|}

| style="width: 5px;text-align: right;white-space: nowrap;" | ( 37)

|}

​

donde las <math display="inline">\boldsymbol{\mbox{f}}_i^K</math>  son las derivadas de la configuración respecto a las coordenadas indicadas con un subíndice en cada punto de muestreo, lo cual permite evaluar alternativamente (se indica con una barra superpuesta las componentes modificadas)

​

{| class="formulaSCP" style="width: 100%; text-align: center;" 

|-

| 

{| style="text-align: center; margin:auto;" 

|-

| <math>{\overline{\boldsymbol{\mbox{C}}}}_2=C_{\xi 3}\left(\boldsymbol{\mbox{t}}^{\xi }\otimes \boldsymbol{\mbox{t}}^3+\right. </math><math>\left. \boldsymbol{\mbox{t}}^3\otimes \boldsymbol{\mbox{t}}^{\xi }\right)+</math><math>C_{\eta 3}\left(\boldsymbol{\mbox{t}}^{\eta }\otimes \boldsymbol{\mbox{t}}^3+\right. </math><math>\left. \boldsymbol{\mbox{t}}^3\otimes \boldsymbol{\mbox{t}}^{\eta }\right)</math>

|}

| style="width: 5px;text-align: right;white-space: nowrap;" | ( 38)

|}

​

y de allí calcular las componentes cartesianas modificadas:

​

{| class="formulaSCP" style="width: 100%; text-align: center;" 

|-

| 

{| style="text-align: center; margin:auto;" 

|-

| <math>{\overline{C}}_{13}=\boldsymbol{\mbox{t}}_1\cdot {\overline{\boldsymbol{\mbox{C}}}}_2\cdot \boldsymbol{\mbox{t}}_3=</math><math>\boldsymbol{\mbox{t}}_1\cdot \left[C_{\xi 3}\left(\boldsymbol{\mbox{t}}^{\xi }\otimes \boldsymbol{\mbox{t}}^3+\right. \right. </math><math>\left. \left. \boldsymbol{\mbox{t}}^3\otimes \boldsymbol{\mbox{t}}^{\xi }\right)+\right. </math><math>\left. C_{\eta 3}\left(\boldsymbol{\mbox{t}}^{\eta }\otimes \boldsymbol{\mbox{t}}^3+\right. \right. </math><math>\left. \left. \boldsymbol{\mbox{t}}^3\otimes \boldsymbol{\mbox{t}}^{\eta }\right)\right]\cdot \boldsymbol{\mbox{t}}_3</math>

|}

| style="width: 5px;text-align: right;white-space: nowrap;" | ( 39)

|}

​

{| class="formulaSCP" style="width: 100%; text-align: center;" 

|-

| 

{| style="text-align: center; margin:auto;" 

|-

| <math>{\overline{C}}_{13}=C_{\xi 3}\left(a_1^{\xi }a_3^3+\right. </math><math>\left. a_1^3a_3^{\xi }\right)+C_{\eta 3}\left(a_1^{\eta }a_3^3+\right. </math><math>\left. a_1^3a_{\eta }^3\right)</math>

|}

| style="width: 5px;text-align: right;white-space: nowrap;" | ( 40)

|}

​

{| class="formulaSCP" style="width: 100%; text-align: center;" 

|-

| 

{| style="text-align: center; margin:auto;" 

|-

| <math>\quad =C_{\xi 3}a_1^{\xi }+C_{\eta 3}a_1^{\eta }</math>

|}

| style="width: 5px;text-align: right;white-space: nowrap;" | ( 41)

|}

​

y similarmente para la otra componente de interés. Luego usando la condición <math display="inline">a_i^j=</math><math>{\delta }_i^j</math>  resulta

​

<span id='eq0235'></span>

{| class="formulaSCP" style="width: 100%; text-align: center;" 

|-

| 

{| style="text-align: center; margin:auto;" 

|-

| <math>\left[\begin{array}{c}

{\overline{C}}_{13}\\

{\overline{C}}_{23}

\end{array}\right]=\left[\begin{array}{cc}

a_1^{\xi } & a_1^{\eta }\\

a_2^{\xi } & a_2^{\eta }

\end{array}\right]\left[\begin{array}{c}

C_{\xi 3}\\

C_{\eta 3}

\end{array}\right]=\boldsymbol{\mbox{J}}_p^{-1}\left[\begin{array}{c}

C_{\xi 3}\\

C_{\eta 3}

\end{array}\right]</math>

|}

| style="width: 5px;text-align: right;white-space: nowrap;" | ( 42)

|}

​

donde <math display="inline">\boldsymbol{\mbox{J}}_p^{-1}</math>  es la inversa del jacobiano de la interpolación isoparamétrica restringido al plano tangente a la superficie media. Notar que debido a la forma en que se ha definido a los sistemas locales las componentes son nulas en la configuración de referencia.      

​

Para la evaluación de [[#eq0210|(37)]] , se expresan las componentes del gradiente en el plano tangente respecto al sistema coordenado natural:

​

{| class="formulaSCP" style="width: 100%; text-align: center;" 

|-

| 

{| style="text-align: center; margin:auto;" 

|-

| <math>\left[\boldsymbol{\mbox{f}}_{\xi },\boldsymbol{\mbox{f}}_{\eta }\right]=</math><math>{\nabla }_{\xi \eta }\boldsymbol{\mbox{x}}</math>

|}

| style="width: 5px;text-align: right;white-space: nowrap;" | ( 43)

|}

​

en tanto que el gradiente de las deformaciones respecto al sistema cartesiano resulta:

​

{| class="formulaSCP" style="width: 100%; text-align: center;" 

|-

| 

{| style="text-align: center; margin:auto;" 

|-

| <math>{\left[\boldsymbol{\mbox{f}}_1,\boldsymbol{\mbox{f}}_2\right]}_{3\times 2}=</math><math>{\left[\boldsymbol{\mbox{f}}_{\xi },\boldsymbol{\mbox{f}}_{\eta }\right]}_{3\times 2}\left[\begin{array}{cc}

\frac{\partial \xi }{\partial y_1} & \frac{\partial \xi }{\partial y_2}\\

\frac{\partial \eta }{\partial y_1} & \frac{\partial \eta }{\partial y_2}

\end{array}\right]=\left[\boldsymbol{\mbox{f}}_{\xi },\boldsymbol{\mbox{f}}_{\eta }\right]\boldsymbol{\mbox{J}}_p^{-T}</math>

|}

| style="width: 5px;text-align: right;white-space: nowrap;" | ( 44)

|}

​

Las componentes de interés del gradiente de la deformación en el sistema natural en los puntos de muestreo (A,B,C y D) se obtienen valuando las derivadas de las funciones de forma

​

{| class="formulaSCP" style="width: 100%; text-align: center;" 

|-

| 

{| style="text-align: center; margin:auto;" 

|-

| <math>\left[\begin{array}{c}

\boldsymbol{\mbox{f}}_{\eta }^A\\

\boldsymbol{\mbox{f}}_{\xi }^B\\

\boldsymbol{\mbox{f}}_{\eta }^C\\

\boldsymbol{\mbox{f}}_{\xi }^D

\end{array}\right]=\left[\begin{array}{c}

\boldsymbol{\mbox{f}}_{{}^{{'}}\eta }\left(\xi =-1,\eta =0\right)\\

\boldsymbol{\mbox{f}}_{{}^{{'}}\xi }\left(\xi =0,\eta =-1\right)\\

\boldsymbol{\mbox{f}}_{{}^{{'}}\eta }\left(\xi =1,\eta =0\right)\\

\boldsymbol{\mbox{f}}_{{}^{{'}}\xi }\left(\xi =0,\eta =1\right)

\end{array}\right]</math>

|}

| style="width: 5px;text-align: right;white-space: nowrap;" | ( 45)

|}

​

Recordando las funciones de forma del elemento de sólido de 8 nudos

​

{| class="formulaSCP" style="width: 100%; text-align: center;" 

|-

| 

{| style="text-align: center; margin:auto;" 

|-

| <math>N^I\left(\xi ,\eta ,\zeta \right)=\frac{1}{8}\left(1+\right. </math><math>\left. \xi {\xi }^I\right)\left(1+\eta {\eta }^I\right)\left(1+\right. </math><math>\left. \zeta {\zeta }^I\right)</math>

|}

| style="width: 5px;text-align: right;white-space: nowrap;" | ( 46)

|}

​

que derivadas respecto a las componentes en el plano y valuadas en la superficie media (''ζ''  = 0)

​

{| class="formulaSCP" style="width: 100%; text-align: center;" 

|-

| 

{| style="text-align: center; margin:auto;" 

|-

| <math>N_{\xi }^I\left(\eta \right)=\frac{{\xi }^I}{8}\left(1+\right. </math><math>\left. \eta {\eta }^I\right)</math>

|}

| style="width: 5px;text-align: right;white-space: nowrap;" | ( 47)

|}

​

{| class="formulaSCP" style="width: 100%; text-align: center;" 

|-

| 

{| style="text-align: center; margin:auto;" 

|-

| <math>N_{\eta }^I\left(\xi \right)=\frac{{\eta }^I}{8}\left(1+\right. </math><math>\left. \xi {\xi }^I\right)</math>

|}

| style="width: 5px;text-align: right;white-space: nowrap;" | ( 48)

|}

​

Evaluando en los puntos de muestreo resultan

​

{| class="formulaSCP" style="width: 100%; text-align: center;" 

|-

| 

{| style="text-align: center; margin:auto;" 

|-

| <math>\left[\begin{array}{c}

\boldsymbol{\mbox{f}}_{\eta }^A\\

\boldsymbol{\mbox{f}}_{\xi }^B\\

\boldsymbol{\mbox{f}}_{\eta }^C\\

\boldsymbol{\mbox{f}}_{\xi }^D

\end{array}\right]=\frac{1}{4}\left[\begin{array}{c}

-\boldsymbol{\mbox{x}}^1-\boldsymbol{\mbox{x}}^5+\boldsymbol{\mbox{x}}^4+\boldsymbol{\mbox{x}}^8\\

-\boldsymbol{\mbox{x}}^1-\boldsymbol{\mbox{x}}^5+\boldsymbol{\mbox{x}}^2+\boldsymbol{\mbox{x}}^6\\

-\boldsymbol{\mbox{x}}^2-\boldsymbol{\mbox{x}}^6+\boldsymbol{\mbox{x}}^3+\boldsymbol{\mbox{x}}^7\\

-x{\boldsymbol{}}^4-\boldsymbol{\mbox{x}}^8+\boldsymbol{\mbox{x}}^3+\boldsymbol{\mbox{x}}^7

\end{array}\right]</math>

|}

| style="width: 5px;text-align: right;white-space: nowrap;" | ( 49)

|}

​

Hasta aquí se ha escrito los gradientes (coordenadas naturales) de '''x'''  en los puntos de muestreo en función de las coordenadas nodales. Los gradientes en la dirección transversal se expresan como

​

{| class="formulaSCP" style="width: 100%; text-align: center;" 

|-

| 

{| style="text-align: center; margin:auto;" 

|-

| <math>\boldsymbol{\mbox{f}}_3=\left[\begin{array}{ccc}

\boldsymbol{\mbox{f}}_{\xi } & \boldsymbol{\mbox{f}}_{\eta } & \boldsymbol{\mbox{f}}_{\zeta }

\end{array}\right]\left[\begin{array}{c}

{\xi }_3\\

{\eta }_3\\

{\zeta }_3

\end{array}\right]=\left[\begin{array}{ccc}

\boldsymbol{\mbox{f}}_{\xi } & \boldsymbol{\mbox{f}}_{\eta } & \boldsymbol{\mbox{f}}_{\zeta }

\end{array}\right]\left[\begin{array}{c}

\frac{\partial \xi }{\partial y_3}\\

\frac{\partial \eta }{\partial y_3}\\

\frac{\partial \zeta }{\partial y_3}

\end{array}\right]={\nabla }_{\xi }\left(\boldsymbol{\mbox{x}}\right)\boldsymbol{\mbox{j}}_3^{-T}</math>

|}

| style="width: 5px;text-align: right;white-space: nowrap;" | ( 50)

|}

​

donde <math display="inline">(\frac{\partial }{\partial y_3})</math>  son las componentes en la dirección ''y''<sub>3</sub>  de la inversa del jacobiano (la tercera columna o <math display="inline">\boldsymbol{\mbox{j}}_3^{-1}</math> ) o también

​

{| class="formulaSCP" style="width: 100%; text-align: center;" 

|-

| 

{| style="text-align: center; margin:auto;" 

|-

| <math>\boldsymbol{\mbox{f}}_3=\sum_{I=1}^8{\overset{\mbox{ˆ}}{N}}_3^I\boldsymbol{\mbox{x}}^I</math>

|}

| style="width: 5px;text-align: right;white-space: nowrap;" | ( 51)

|}

​

con

​

{| class="formulaSCP" style="width: 100%; text-align: center;" 

|-

| 

{| style="text-align: center; margin:auto;" 

|-

| <math>{\overset{\mbox{ˆ}}{N}}_3^I=\left[\begin{array}{ccc}

N_{\xi }^I & N_{\eta }^I & N_{\zeta }^I

\end{array}\right]\boldsymbol{\mbox{j}}_3^{-T}</math>

|}

| style="width: 5px;text-align: right;white-space: nowrap;" | ( 52)

|}

​

Obtenidas las componentes de corte transversal, estas se pueden pasar al sistema cartesiano en la misma forma que el gradiente

​

{| class="formulaSCP" style="width: 100%; text-align: center;" 

|-

| 

{| style="text-align: center; margin:auto;" 

|-

| <math>\left[\begin{array}{c}

{\overline{C}}_{13}\\

{\overline{C}}_{23}

\end{array}\right]=\left[\begin{array}{cc}

\frac{\partial \xi }{\partial y_1} & \frac{\partial \eta }{\partial y_1}\\

\frac{\partial \xi }{\partial y_2} & \frac{\partial \eta }{\partial y_2}

\end{array}\right]\left[\begin{array}{c}

C_{\xi 3}\\

C_{\eta 3}

\end{array}\right]=\boldsymbol{\mbox{J}}_p^{-1}\left[\begin{array}{c}

C_{\xi 3}\\

C_{\eta 3}

\end{array}\right]</math>

|}

| style="width: 5px;text-align: right;white-space: nowrap;" | ( 53)

|}

​

Las componentes de corte transversal del tensor modificado <math display="inline">{\overline{\boldsymbol{\mbox{C}}}}_2</math>  respecto al sistema cartesiano resultan entonces de reemplazar las [[#eq0210|(37)]]  en las [[#eq0205|(36)]]  y éstas en las [[#eq0235|(42)]]

​

{| class="formulaSCP" style="width: 100%; text-align: center;" 

|-

| 

{| style="text-align: center; margin:auto;" 

|-

| <math>\left[\begin{array}{c}

{\overline{C}}_{13}\\

{\overline{C}}_{23}

\end{array}\right]\left(\xi ,\eta \right)=\boldsymbol{\mbox{J}}^{-1}\boldsymbol{\mbox{P}}\left(\xi ,\eta \right)\left[\begin{array}{c}

\boldsymbol{\mbox{f}}_{\eta }^A\cdot \boldsymbol{\mbox{f}}_3^A\\

\boldsymbol{\mbox{f}}_{\xi }^B\cdot \boldsymbol{\mbox{f}}_3^B\\

\boldsymbol{\mbox{f}}_{\eta }^C\cdot \boldsymbol{\mbox{f}}_3^C\\

\boldsymbol{\mbox{f}}_{\xi }^D\cdot \boldsymbol{\mbox{f}}_3^D

\end{array}\right]=\boldsymbol{\mbox{J}}^{-1}\boldsymbol{\mbox{P}}\left(\xi ,\eta \right)\tilde{\boldsymbol{\mbox{c}}}</math>

|}

| style="width: 5px;text-align: right;white-space: nowrap;" | ( 54)

|}

​

La matriz que relaciona el incremento de desplazamientos con el incremento de deformaciones <math display="inline">\overline{\boldsymbol{\mbox{B}}}</math> , resulta de primero evaluar en los puntos de muestreo

​

{| class="formulaSCP" style="width: 100%; text-align: center;" 

|-

| 

{| style="text-align: center; margin:auto;" 

|-

| <math>{\tilde{\boldsymbol{\mbox{B}}}}_s\delta \boldsymbol{\mbox{u}}^e=</math><math>\left[\begin{array}{c}

\boldsymbol{\mbox{f}}_{\eta }^A.{\boldsymbol{\delta \mbox{f}}}_3^A+{\boldsymbol{\delta \mbox{f}}}_{\eta }^A.\boldsymbol{\mbox{f}}_3^A\\

\boldsymbol{\mbox{f}}_{\xi }^B.\delta \boldsymbol{\mbox{f}}_3^B+{\boldsymbol{\delta \mbox{f}}}_{\xi }^B.\boldsymbol{\mbox{f}}_3^B\\

\boldsymbol{\mbox{f}}_{\eta }^C.{\boldsymbol{\delta \mbox{f}}}_3^C+\delta \boldsymbol{\mbox{f}}_{\eta }^C.\boldsymbol{\mbox{f}}_3^C\\

\boldsymbol{\mbox{f}}_{\xi }^D.{\boldsymbol{\delta \mbox{f}}}_3^D+{\boldsymbol{\delta \mbox{f}}}_{\xi }^D.\boldsymbol{\mbox{f}}_3^D

\end{array}\right]</math>

|}

| style="width: 5px;text-align: right;white-space: nowrap;" | ( 55)

|}

​

donde (con ''δ'''''x'''<sup>''e''</sup>  = ''δ'''''u'''<sup>''e''</sup> )

​

{| class="formulaSCP" style="width: 100%; text-align: center;" 

|-

| 

{| style="text-align: center; margin:auto;" 

|-

| <math>\delta \left[\begin{array}{c}

\boldsymbol{\mbox{f}}_{\eta }^A\\

\boldsymbol{\mbox{f}}_{\xi }^B\\

\boldsymbol{\mbox{f}}_{\eta }^C\\

\boldsymbol{\mbox{f}}_{\xi }^D

\end{array}\right]=\frac{1}{4}\left[\begin{array}{c}

{\boldsymbol{-\delta \mbox{u}}}^1-\delta \boldsymbol{\mbox{u}}^5+\delta \boldsymbol{\mbox{u}}^4+\delta \boldsymbol{\mbox{u}}^8\\

{\boldsymbol{-\delta \mbox{u}}}^1-{\boldsymbol{\delta \mbox{u}}}^5+{\boldsymbol{\delta \mbox{u}}}^2+\delta \boldsymbol{\mbox{u}}^6\\

{\boldsymbol{-\delta \mbox{u}}}^2-\delta \boldsymbol{\mbox{u}}^6+\delta \boldsymbol{\mbox{u}}^3+\delta \boldsymbol{\mbox{u}}^7\\

{\boldsymbol{-\delta \mbox{u}}}^4-{\boldsymbol{\delta \mbox{u}}}^8+{\boldsymbol{\delta \mbox{u}}}^3+\delta \boldsymbol{\mbox{u}}^7

\end{array}\right]</math>

|}

| style="width: 5px;text-align: right;white-space: nowrap;" | ( 56)

|}

​

{| class="formulaSCP" style="width: 100%; text-align: center;" 

|-

| 

{| style="text-align: center; margin:auto;" 

|-

| <math>\delta \left[\begin{array}{c}

\boldsymbol{\mbox{f}}_{\eta }^A\\

\boldsymbol{\mbox{f}}_{\xi }^B\\

\boldsymbol{\mbox{f}}_{\eta }^C\\

\boldsymbol{\mbox{f}}_{\xi }^D

\end{array}\right]=\frac{1}{4}\left[\begin{array}{cccccccc}

-1 & 0 & 0 & 1 & -1 & 0 & 0 & 1\\

-1 & 1 & 0 & 0 & -1 & 1 & 0 & 0\\

0 & -1 & 1 & 0 & 0 & -1 & 1 & 0\\

0 & 0 & 1 & -1 & 0 & 0 & 1 & -1

\end{array}\right]\delta \left[\begin{array}{c}

\boldsymbol{\mbox{u}}^1\\

\boldsymbol{\mbox{u}}^2\\

\boldsymbol{\mbox{u}}^3\\

\boldsymbol{\mbox{u}}^4\\

\boldsymbol{\mbox{u}}^5\\

\boldsymbol{\mbox{u}}^6\\

\boldsymbol{\mbox{u}}^7\\

\boldsymbol{\mbox{u}}^8

\end{array}\right]</math>

|}

| style="width: 5px;text-align: right;white-space: nowrap;" | ( 57)

|}

​

y

​

{| class="formulaSCP" style="width: 100%; text-align: center;" 

|-

| 

{| style="text-align: center; margin:auto;" 

|-

| <math>\delta \left[\begin{array}{c}

\boldsymbol{\mbox{f}}_3^A\\

\boldsymbol{\mbox{f}}_3^B\\

\boldsymbol{\mbox{f}}_3^C\\

\boldsymbol{\mbox{f}}_3^D

\end{array}\right]=\left[\begin{array}{cccc}

{\overset{\mbox{ˆ}}{N}}_3^{1(A)} & {\overset{\mbox{ˆ}}{N}}_3^{2(A)} & ... & {\overset{\mbox{ˆ}}{N}}_3^{8(A)}\\

{\overset{\mbox{ˆ}}{N}}_3^{1(B)} & {\overset{\mbox{ˆ}}{N}}_3^{2(B)} & ... & {\overset{\mbox{ˆ}}{N}}_3^{8(B)}\\

{\overset{\mbox{ˆ}}{N}}_3^{1(C)} & {\overset{\mbox{ˆ}}{N}}_3^{2(C)} & ... & {\overset{\mbox{ˆ}}{N}}_3^{8(C)}\\

{\overset{\mbox{ˆ}}{N}}_3^{1(D)} & {\overset{\mbox{ˆ}}{N}}_3^{2(D)} & ... & {\overset{\mbox{ˆ}}{N}}_3^{8(D)}

\end{array}\right]\delta \left[\begin{array}{c}

\boldsymbol{\mbox{u}}^1\\

\boldsymbol{\mbox{u}}^2\\

\boldsymbol{\mbox{u}}^3\\

\boldsymbol{\mbox{u}}^4\\

\boldsymbol{\mbox{u}}^5\\

\boldsymbol{\mbox{u}}^6\\

\boldsymbol{\mbox{u}}^7\\

\boldsymbol{\mbox{u}}^8

\end{array}\right]</math>

|}

| style="width: 5px;text-align: right;white-space: nowrap;" | ( 58)

|}

​

luego interpolar a los puntos de integración usando [[#eq0205|(36)]]  y finalmente pasar al sistema cartesiano

​

{| class="formulaSCP" style="width: 100%; text-align: center;" 

|-

| 

{| style="text-align: center; margin:auto;" 

|-

| <math>\overline{\boldsymbol{\mbox{B}}}\left(\xi ,\eta \right)=</math><math>\boldsymbol{\mbox{J}}_p^{-1}\boldsymbol{\mbox{P}}\left(\xi ,\eta \right){\tilde{\boldsymbol{\mbox{B}}}}_s</math>

|}

| style="width: 5px;text-align: right;white-space: nowrap;" | ( 59)

|}

​

<span id='sec0025'></span>

==5. Sobre el escalamiento selectivo de masa==

​

La utilización de elementos de sólido para simular láminas delgadas dentro de códigos con integración explícita de las ecuaciones de movimiento tiene una importante desventaja debido a la penalización que se introduce en el incremento de tiempo crítico. Mientras que cuando se usa elementos de lámina el tiempo crítico depende de la mínima dimensión de la malla en la discretización de la superficie, cuando se usan elementos de sólidos el tiempo crítico depende de la mínima distancia en la dirección del espesor, la que puede ser muy baja para láminas delgadas, lo cual se agrava aun más al utilizar varios elementos en el espesor. Para alivianar este problema Olovsson [[#bib0070|[14]]]  presentó un método sencillo orientado específicamente a mejorar el tiempo crítico en láminas discretizadas con varios elementos de sólido en el espesor de la lámina, que se describe a continuación en una forma diferente a la referencia original.      

​

La idea básica en dicha estrategia es distinguir entre las aceleraciones de la superficie media, i.e. del conjunto de nudos sobre una fibra normal a la lámina, y las aceleraciones relativas a esta. Para ello se define una aceleración promedio del conjunto de los nudos sobre la fibra normal <math display="inline">\overline{\boldsymbol{\mbox{a}}}</math>  que se interpreta como la aceleración de la superficie media

​

{| class="formulaSCP" style="width: 100%; text-align: center;" 

|-

| 

{| style="text-align: center; margin:auto;" 

|-

| <math>\overline{\boldsymbol{\mbox{a}}}=\frac{\boldsymbol{\mbox{f}}_f}{m_f}=</math><math>\frac{\sum \boldsymbol{\mbox{f}}_i}{\sum m_i}</math>

|}

| style="width: 5px;text-align: right;white-space: nowrap;" | ( 60)

|}

​

donde las sumatorias incluyen a los nudos ubicados sobre la fibra y '''f'''<sub>''i''</sub>  y ''m''<sub>''i''</sub>  son la fuerza nodal equivalente y la masa nodal respectivamente de cada uno de los nudos sobre la fibra normal. En cada nudo queda entonces una fuerza nodal equivalente que no ha sido considerada dentro de este promedio

​

{| class="formulaSCP" style="width: 100%; text-align: center;" 

|-

| 

{| style="text-align: center; margin:auto;" 

|-

| <math>{\overset{\mbox{ˆ}}{\boldsymbol{\mbox{f}}}}_i=\boldsymbol{\mbox{f}}_i-</math><math>\overline{\boldsymbol{\mbox{a}}}m_i</math>

|}

| style="width: 5px;text-align: right;white-space: nowrap;" | ( 61)

|}

​

cuya suma sobre cada fibra es nula

​

{| class="formulaSCP" style="width: 100%; text-align: center;" 

|-

| 

{| style="text-align: center; margin:auto;" 

|-

| <math>\sum {\overset{\mbox{ˆ}}{\boldsymbol{\mbox{f}}}}_i=</math><math>\sum \boldsymbol{\mbox{f}}_i-\overline{\boldsymbol{\mbox{a}}}\sum m_i=</math><math>\boldsymbol{\mbox{f}}_f-\overline{\boldsymbol{\mbox{a}}}m_f=</math><math>0</math>

|}

| style="width: 5px;text-align: right;white-space: nowrap;" | ( 62)

|}

​

La aceleración de la estrategia explícita estándar es

​

{| class="formulaSCP" style="width: 100%; text-align: center;" 

|-

| 

{| style="text-align: center; margin:auto;" 

|-

| <math>\boldsymbol{\mbox{a}}_i=\frac{\boldsymbol{\mbox{f}}_i}{m_i}=</math><math>\frac{{\overset{\mbox{ˆ}}{\boldsymbol{\mbox{f}}}}_i+\overline{\boldsymbol{\mbox{a}}}m_i}{m_i}=</math><math>\frac{{\overset{\mbox{ˆ}}{\boldsymbol{\mbox{f}}}}_i}{m_i}+</math><math>\overline{\boldsymbol{\mbox{a}}}={\overset{\mbox{ˆ}}{\boldsymbol{\mbox{a}}}}_i+</math><math>\overline{\boldsymbol{\mbox{a}}}</math>

|}

| style="width: 5px;text-align: right;white-space: nowrap;" | ( 63)

|}

​

Donde se ha separado la aceleración en la aceleración promedio de los nudos sobre la fibra (<math display="inline">\overline{\boldsymbol{\mbox{a}}}</math> ) y una aceleración «relativa» de cada nudo (<math display="inline">{\overset{\mbox{ˆ}}{\boldsymbol{\mbox{a}}}}_i</math> ). Es en esta expresión donde se introduce la noción de ''escalamiento selectivo de la masa'' , modificando la aceleración relativa de cada nudo individual en la forma:

​

{| class="formulaSCP" style="width: 100%; text-align: center;" 

|-

| 

{| style="text-align: center; margin:auto;" 

|-

| <math>{\overset{\mbox{ˆ}}{\boldsymbol{\mbox{a}}}}_i=\frac{{\overset{\mbox{ˆ}}{\boldsymbol{\mbox{f}}}}_i}{\beta m_i}</math>

|}

| style="width: 5px;text-align: right;white-space: nowrap;" | ( 64)

|}

​

donde se ha introducido un factor ''β''  > 1 que escala la masa de cada nudo ''i''  solo a los fines de evaluar la aceleración relativa pero no la del conjunto de nudos sobre una fibra. El efecto de este factor es disminuir la velocidad de propagación de las ondas en la dirección transversal de la lámina. El factor ''β''  disminuye entonces las aceleraciones relativas entre los nudos de una misma fibra y permite aumentar el tiempo crítico.      

​

Por otro lado denominando con ''α''  a la inversa del factor de escalamiento ''β''

​

{| class="formulaSCP" style="width: 100%; text-align: center;" 

|-

| 

{| style="text-align: center; margin:auto;" 

|-

| <math>\alpha ={\beta }^{-1}</math>

|}

| style="width: 5px;text-align: right;white-space: nowrap;" | ( 65)

|}

​

la aceleración del nudo modificada <math display="inline">{\tilde{\boldsymbol{\mbox{a}}}}_i</math>  se puede escribir

​

{| class="formulaSCP" style="width: 100%; text-align: center;" 

|-

| 

{| style="text-align: center; margin:auto;" 

|-

| <math>{\tilde{\boldsymbol{\mbox{a}}}}_i=\frac{\alpha {\overset{\mbox{ˆ}}{\boldsymbol{\mbox{f}}}}_i}{m_i}+</math><math>\overline{\boldsymbol{\mbox{a}}}=\alpha \frac{\boldsymbol{\mbox{f}}_i-\overline{\boldsymbol{\mbox{a}}}m_i}{m_i}+</math><math>\overline{\boldsymbol{\mbox{a}}}=\left(1-\alpha \right)\overline{\boldsymbol{\mbox{a}}}+</math><math>\alpha \boldsymbol{\mbox{a}}_i</math>

|}

| style="width: 5px;text-align: right;white-space: nowrap;" | ( 66)

|}

​

con lo cual puede interpretarse al factor ''α''  de forma independiente de ''β  '' . Es decir, que la aceleración modificada resulta de la suma de la aceleración promedio (<math display="inline">\overline{\boldsymbol{\mbox{a}}}</math> ) escalada por un valor ligeramente menor que uno (1 − ''α'' ) como valor principal y la aceleración estándar ('''a'''<sub>''i''</sub> ) escalada por ''α'' .      

​

Esta técnica modifica el comportamiento dinámico del modelo cuando se utilizan valores muy bajos de ''α''  (incrementa los períodos naturales al modificar la masa), por lo cual solo puede usarse en forma totalmente confiable para problemas pseudo-estáticos, donde no importe los detalles de la respuesta dinámica.      

​

<span id='sec0030'></span>

==6. Ejemplos==

​

En el conjunto de ejemplos presentados abajo se denota por «sólido estándar» al elemento descripto en el apartado 3 y se lo denota por «SOLID » en tanto que al elemento en el que se incorpora la técnica de deformaciones impuestas para el tratamiento del corte transversal se lo designa como la versión «shell» del elemento y se lo denota por «SOL-SHE ». Para materiales isótropos se realiza la descomposición de las deformaciones en partes esférica y desviadora, usando un punto de integración para la componente volumétrica y cuatro puntos de integración para la parte desviadora como se propone en [[#bib0055|[11]]] . Para materiales ortótropos, que no tienen flujo plástico isócoro, no se realiza la descomposición de las deformaciones y la integración de las fuerzas residuales se realiza con cuatro puntos.      

​

===6.1. Viga en voladizo con carga puntual===

​

En este primer ejemplo (tomado de [[#bib0070|[14]]] ) se considera una viga en voladizo de longitud, ancho y espesor ''L''  = 1, ''b''  = 0.1 y ''h''  = 0.01 (ver [[#fig0010|figura 2]] ). Las propiedades mecánicas son módulo de Young ''E''  = 1 × 10<sup>11</sup> Pa, relación de Poisson ''ν''  = 0 y densidad ''δ''  = 1.000 kg/m<sup>3</sup> . La carga puntual tiene un valor de 100 N.

​

<span id='fig0010'></span>

​

{| style="text-align: center; border: 1px solid #BBB; margin: 1em auto; max-width: 100%;"