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==Formulación analítica del método de rigidez para estructuras reticulares planas empleando funciones de Green Analytical formulation of the stiffness method for 2D reticular structures using Green functions==2
3
'''Juan Camilo Molina-Villegas<sup>a,b</sup>, Harold Nolberto Diaz Giraldo<sup>b</sup>, Andrés Felipe Acosta Ochoa<sup>b</sup>'''4
5
==Resumen==6
7
Las funciones de Green (F.G.) se definen como la respuesta de un medio ante una carga puntual unitaria y son usadas ampliamente para la solución de problemas de valores en la frontera. Desafortunadamente, en el análisis estructural su uso es limitado y solo se emplean de forma indirecta y con otro nombre en el cálculo de lineas de influencia y en algunos casos esporádicos en la formulación del método del trabajo virtual. En este artículo se presenta el método de rigidez con funciones de Green (Green functions stiffness method) el cual es una metodología novedosa para obtener la respuesta analítica o exacta de estructuras reticulares planas, y como su nombre lo indica mezcla al método de rigidez con las funciones de Green. En particular se realizará la formulación para elementos tipo barra (sometidos a fuerza axial), viga (sometidos a fuerza cortante y momento flector), viga sobre fundación flexible (sometidos a fuerza cortante y momento flector) y pórtico plano (sometidos a fuerza axial, fuerza cortante y momento flector). Esta formulación tiene como propiedad principal que puede ser empleada para obtener la respuesta analítica ante cualquier distribución de carga externa y minimiza el número de elementos a emplear en las discretizaciones. Además se presenta la equivalencia de esta formulación con aquella obtenida mediante una implementación “exacta” del método de elementos finitos.8
9
Green functions (F.G.) are defined as the response of a medium to a unit point load and are widely used to solve boundary value problems. Unfortunately, in structural analysis, its use is limited and they are only used indirectly and with another name in the calculation of influence lines and in the formulation of the virtual work method. This article presents the Green functions stiffness method, which is a novel methodology to obtain the analytical or exact response of two dimensional frames, which mixes the stiffnes method and the Green functions, the latter used for the calculation of displacement fields. In particular, the formulation will be carried out for bar elements (subjected to axial force), beam elements (subjected to shear force and bending moment), beam over flexible foundation elements (subjected to shear force and bending moment) and two dimensional frames (subjected to axial force, cutting force and bending moment). This formulation has as its main property that it can be used to compute the analytic reponse for any external load distribution and minimizes the number of elements to be used in discretizations. In addition, the equivalence of this formulation with that obtained by an “exact” implementation of the finite element method is presented.10
11
'''keywords''' Método de rigidez con funciones de Green, Funciones de Green, Método de rigidez, Método de elementos finitos, Vigas de Bernoulli, Pórticos planos, Vigas sobre fundación flexible, Funciones de forma.12
13
==1 Introducción==14
15
Las funciones de Green (F.G.) son la respuesta de un medio o elemento ante la acción de una fuente o fuerza puntual unitaria y son muy importantes en la solución de problemas de valor en la frontera (P.V.F.) de fenómenos físicos e ingenieriles, cuyas ecuaciones diferenciales (E.D.) gobernantes sean lineales [Challis2003Green]. Esto es debido a que ellas por si solas son solución de problemas fundamentales, pueden ser empleadas para resolver problemas con fuentes o fuerzas distribuidas [Duffy2015Green] o de forma indirecta se emplean en métodos numéricos de frontera o contorno, como el método directo de elementos de frontera [Banerjee1981], el método indirecto de elementos de frontera [SanchezSesma1993indirect] o el método de las soluciones fundamentales [Fairweather2003]. En geotecnia las principales F.G. son: la respuesta de un espacio completo o infinito [Thomson1950Transmission], la respuesta de un semi-espacio ante la acción de un fuerza en superficie [Boussinesq1885Application], [Cerruti1882Ricerche] y en el interior [Mindlin1936Force]. En sismología las principales F.G. son: la respuesta de un espacio completo [Stokes1849], la respuesta de un semi-espacio debida a la acción de una fuerza normal [Lamb1904] y tangencial [Chao1960], para el lector interesado en este tema se le recomiendan los libros [Kausel2006] y [Aki2002]. Pese a lo anteriormente mencionado, es desafortunado el poco uso que se les da a las F.G. en el análisis estructural, donde su uso (con otro nombre) se limita al cálculo de lineas de influencia y en algunos casos esporádicos a la formulación del método del trabajo virtual.16
17
Para el caso particular de la elasticidad y análisis estructural, las funciones de Green se expresan como <math display="inline">G_{ij}(\mathbf{x},\boldsymbol \xi )</math>, la cual corresponde al desplazamiento en dirección <math display="inline">i</math> del punto <math display="inline">\mathbf{x}</math>, debido a una fuerza puntual unitaria en dirección <math display="inline">j</math> aplicada en el punto <math display="inline">\boldsymbol \xi </math>.18
19
En la actualidad los métodos matriciales son los más empleados para la solución de problemas de análisis estructural, entre estos destacan el método de rigidez y el método de elementos finitos (M.E.F.). El primero de estos es más complejo de implementar y busca la solución exacta del modelo estructural en estudio, mientras que el segundo es más general y simple de implementar y busca una solución aproximada. Por esta razón es usual emplear el método de rigidez para solucionar problemas “sencillos” que involucran modelos lineales con elementos de sección transversal constante y cargas de geometrías simples, como puntuales o distribuidas con variación lineal. Mientras que el M.E.F. suele emplearse para el análisis de estructuras de sección transversal constante o variable pero sometidas a cargas cuya definición es compleja, o para problemas no lineales. Pese a lo anterior, ambos métodos tienen pequeñas falencias intrínsecas, en el método de rigidez hay gran dificultad para manejo de cargas genéricas y no es usual el cálculo del campo de desplazamientos ([TenaColunga2007AnalisisDeEstructuras], [McCormac2007StructuralAnalysis] y [Kassimali2012MatrixAnalysis]), mientras que en el M.E.F. la solución es aproximada, lo cual lleva contradicciones a la hora de calcular las fuerzas internas a partir de los campos de desplazamientos ([Reddy2006] y [Bathe2006]).20
21
En este artículo se presenta una formulación particular del método de rigidez para obtener la respuesta analítica de problemas de análisis estructural formados por estructuras reticulares planas (pudiendo estar formadas por elementos tipo barra, viga, viga sobre fundación flexible o pórtico plano), la cual se llamará el método de rigidez con funciones de Green (Green functions stiffness method), y emplea a las funciones de Green para realizar el cálculo de los desplazamientos al interior de los elementos. Esta metodología busca combinar las principales fortalezas del método de rigidez (obtención de soluciones analíticas) y del M.E.F. (posibilidad de manejar cargas complejas), para la solución total de estas estructuras, es decir, para el calculo de sus reacciones, campos de desplazamiento y campos de fuerzas internas. Al final de este artículo se presentan tres apéndices donde se presenta la equivalencia de la actual metodología (la cual parte de las ecuaciones diferenciales gobernantes de cada tipo de elemento) y una “exacta” por el M.E.F. (la cual parte de la forma débil de las ecuaciones diferenciales en lugar de estas).22
23
A continuación se comenzarán presentando las ecuaciones diferenciales gobernantes de cada uno de los cuatro tipos de elementos a analizar (barra, viga, pórtico plano y viga sobre fundación flexible), luego se describirá en detalle la metodología de análisis propuesta en este artículo, seguido a esto se realizará la formulación “exacta” del método de rigidez para cada uno de los tipos de elemento estudiados y se concluirá con la realización tres ejemplos ilustrativos (para una viga, una viga sobre fundación flexible y un pórtico plano respectivamente).24
25
==2 Ecuaciones diferenciales gobernantes==26
27
A continuación se definirán las propiedades de los elementos tipo barra, viga, pórtico plano y viga sobre fundación flexible a estudiar en este documento, al igual que sus ecuaciones diferenciales gobernantes. Como generalidad, para todos estos tipos elementos se empleará la convención de fuerzas internas positiva presentada en la Figura [[#img-1|1]], la cual se inspira en aquella usada para la definición de los esfuerzos positivos en la mecánica del medio continuo o de sólidos. <div id='img-1'></div>28
{| class="floating_imageSCP" style="text-align: center; border: 1px solid #BBB; margin: 1em auto; width: 100%;max-width: 100%;"29
|-30
|[[Image:Review_992381919967_4558_Figura01.png|420px|Convención positiva para las fuerzas internas. P(x) es la fuerza axial (dirección eje local x), V(x) es la fuerza cortante (dirección eje local y) y M(x) es el momento flector (dirección eje local z, perpendicular tanto a x como a y.)]]31
|- style="text-align: center; font-size: 75%;"32
| colspan="1" | '''Figura 1:''' Convención positiva para las fuerzas internas. <math>P(x)</math> es la fuerza axial (dirección eje local <math>x</math>), <math>V(x)</math> es la fuerza cortante (dirección eje local <math>y</math>) y <math>M(x)</math> es el momento flector (dirección eje local <math>z</math>, perpendicular tanto a <math>x</math> como a <math>y</math>.)33
|}34
===2.1 Elemento tipo barra===35
36
Se define como elemento tipo barra, a aquel cuya única fuerza interna es axial y se encuentra sometido a una fuerza externa distribuida por unidad de longitud (<math display="inline">p(x)</math>), la cual actúa en dirección del eje <math display="inline">x</math>, y su valor es positivo si se dirige en la dirección de dicho eje local (ver Figura [[#img-2|2]]). Para el caso que el elemento sea de sección transversal constante con área de la sección transversal <math display="inline">A</math>, material elástico lineal con módulo de elasticidad <math display="inline">E</math>, su ecuación diferencial gobernante es:37
38
<span id="eq-1"></span>39
{| class="formulaSCP" style="width: 100%; text-align: left;" 40
|-41
| 42
{| style="text-align: left; margin:auto;width: 100%;" 43
|-44
| style="text-align: center;" | <math>AE\dfrac{d^2 u}{dx^2}(x)=-p(x) </math>45
|}46
| style="width: 5px;text-align: right;white-space: nowrap;" | (1)47
|}48
49
Donde <math display="inline">u(x)</math> es el desplazamiento en dirección axial del elemento (eje local <math display="inline">x</math>). <div id='img-2'></div>50
{| class="floating_imageSCP" style="text-align: center; border: 1px solid #BBB; margin: 1em auto; width: 100%;max-width: 100%;"51
|-52
|[[Image:Review_992381919967_9662_Figura02.png|420px|Elemento tipo barra y el sistema coordenado local empleado para la definición de su E.D. gobernante.]]53
|- style="text-align: center; font-size: 75%;"54
| colspan="1" | '''Figura 2:''' Elemento tipo barra y el sistema coordenado local empleado para la definición de su E.D. gobernante.55
|}56
Mientras que a partir de la ley de Hooke unidimensional su fuerza interna axial <math display="inline">(P)</math> se calcula como:57
58
<span id="eq-2"></span>59
{| class="formulaSCP" style="width: 100%; text-align: left;" 60
|-61
| 62
{| style="text-align: left; margin:auto;width: 100%;" 63
|-64
| style="text-align: center;" | <math>P(x)=A\sigma (x)=AE \epsilon (x) =AE\dfrac{d u}{dx}(x) </math>65
|}66
| style="width: 5px;text-align: right;white-space: nowrap;" | (2)67
|}68
69
Donde <math display="inline">\sigma (x)</math> es el esfuerzo axial y <math display="inline">\epsilon (x)</math> es la deformación unitaria axial.70
71
===2.2 Elemento tipo viga (viga de Euler)===72
73
El elemento tipo viga está sometido tanto a fuerza cortante en dirección del eje local <math display="inline">y</math>, como a momento flector alrededor del eje local <math display="inline">z</math> (perpendicular a los ejes <math display="inline">x</math> y <math display="inline">y</math>, ver Figura [[#img-3|3]]). Sus cargas externas se definen en términos de la carga por unidad de longitud en dirección del eje local <math display="inline">y</math> (<math display="inline">q(x)</math>), la cual es positiva en la dirección de este eje (ver Figura [[#img-3|3]]). Si el elemento es de sección transversal constante, con momento de inercia <math display="inline">I</math> y material elástico lineal con módulo de elasticidad <math display="inline">E</math>, su ecuación diferencial gobernante es:74
75
<span id="eq-3"></span>76
{| class="formulaSCP" style="width: 100%; text-align: left;" 77
|-78
| 79
{| style="text-align: left; margin:auto;width: 100%;" 80
|-81
| style="text-align: center;" | <math>EI\dfrac{d^4 v}{dx^4}(x)=q(x) </math>82
|}83
| style="width: 5px;text-align: right;white-space: nowrap;" | (3)84
|}85
86
Donde <math display="inline">v(x)</math> es el desplazamiento en dirección del eje local <math display="inline">y</math>, es decir, perpendicular al eje longitudinal del elemento. <div id='img-3'></div>87
{| class="floating_imageSCP" style="text-align: center; border: 1px solid #BBB; margin: 1em auto; width: 100%;max-width: 100%;"88
|-89
|[[File:Review_992381919967_6607_Figura03.png|420px|Elemento tipo viga y el sistema coordenado local empleado para la definición de su E.D. gobernante.]]90
|- style="text-align: center; font-size: 75%;"91
| colspan="1" | '''Figura 3:''' Elemento tipo viga y el sistema coordenado local empleado para la definición de su E.D. gobernante.92
|}93
Mientras que las fuerzas internas cortante y momento flector se calculan a partir del campo de desplazamiento <math display="inline">v(x)</math>, respectivamente como:94
95
{| class="formulaSCP" style="width: 100%; text-align: left;" 96
|-97
| 98
{| style="text-align: left; margin:auto;width: 100%;" 99
|-100
| style="text-align: center;" | <math>V(x)=-EI \dfrac{d^3 v}{dx^3}(x) </math>101
| style="width: 5px;text-align: right;white-space: nowrap;" | (4.a)102
|-103
| style="text-align: center;" | <math> M(x)= EI \dfrac{d^2 v}{dx^2}(x) </math>104
| style="width: 5px;text-align: right;white-space: nowrap;" | (4.b)105
|}106
|}107
108
===2.3 Elemento tipo viga sobre fundación flexible===109
110
El elemento viga sobre fundación flexible se define como un elemento tipo viga que esta apoyado sobre un medio elástico, el cual tiene una rigidez por unidad de longitud <math display="inline">k</math> y genera una fuerza por unidad de longitud sobre la viga igual a <math display="inline">-kv(x)</math> (ver Figura [[#img-4|4]]). Sus fuerzas internas son iguales a las de la viga, es decir, fuerza cortante y momento flector, y su ecuación diferencial gobernante es ([Hetenyi1971Beams]):111
112
<span id="eq-5"></span>113
{| class="formulaSCP" style="width: 100%; text-align: left;" 114
|-115
| 116
{| style="text-align: left; margin:auto;width: 100%;" 117
|-118
| style="text-align: center;" | <math>EI\dfrac{d^4 v}{dx^4}(x)+kv(x)=q(x) </math>119
|}120
| style="width: 5px;text-align: right;white-space: nowrap;" | (5)121
|}122
123
<div id='img-4'></div>124
{| class="floating_imageSCP" style="text-align: center; border: 1px solid #BBB; margin: 1em auto; width: 100%;max-width: 100%;"125
|-126
|[[Image:Review_992381919967_7521_Figura04.png|420px|Elemento tipo viga sobre fundación flexible y el sistema coordenado local empleado para la definición de su E.D. gobernante.]]127
|- style="text-align: center; font-size: 75%;"128
| colspan="1" | '''Figura 4:''' Elemento tipo viga sobre fundación flexible y el sistema coordenado local empleado para la definición de su E.D. gobernante.129
|}130
Al igual que para los elementos tipo viga, para este elemento las fuerzas internas se calculan a partir del campo de desplazamientos empleando [[#2.2 Elemento tipo viga (viga de Euler)|2.2]].131
132
===2.4 Elemento tipo pórtico plano===133
134
El elemento tipo pórtico plano se define como la superposición de un elemento tipo barra y uno tipo viga, por lo cual sus fuerzas internas son la fuerza axial, la fuerza cortante y el momento flector respecto al eje local <math display="inline">z</math>. Sus ecuaciones diferenciales gobernantes son [[#eq-1|1]] para el desplazamiento axial y [[#eq-3|3]] para el desplazamiento perpendicular al eje longitudinal del elemento (eje <math display="inline">y</math>) y sus fuerzas internas se calculan a partir de los campos de desplazamiento empleando [[#eq-2|2]] y [[#2.2 Elemento tipo viga (viga de Euler)|2.2]].135
136
==3 Metodología==137
138
En la formulación del método de rigidez para elementos prismáticos se expresan las fuerzas y momentos en los extremos de estos en función de los desplazamiento y rotaciones en esos mismos puntos (lo cual comúnmente se conoce como grados de libertad). Esta formulación se expresa matricialmente en un sistema local de coordenadas como:139
140
<span id="eq-6"></span>141
{| class="formulaSCP" style="width: 100%; text-align: left;" 142
|-143
| 144
{| style="text-align: left; margin:auto;width: 100%;" 145
|-146
| style="text-align: center;" | <math>\{ {F'}_E \} {=[K'}_E]\{ \Delta' _E \} +\{ \left.{F'}_E \right.^f \} </math>147
|}148
| style="width: 5px;text-align: right;white-space: nowrap;" | (6)149
|}150
151
Donde <math display="inline">\{ {F'}_E \} </math> es el vector de fuerzas en los extremos del elemento en coordenadas locales, <math display="inline">{[K'}_E]</math> es la matriz de rigidez en coordenadas locales, <math display="inline">\{ \Delta' _E \} </math> es el vector de desplazamientos en los extremos del elemento en coordenadas locales y <math display="inline">\{ \left.{F'}_E \right.^f \} </math> es el vector de fuerzas de empotramiento en coordenadas locales.152
153
De analizar los dos términos del lado derecho de [[#eq-6|6]] es evidente que el problema se puede descomponer como la superposición o suma de dos problemas fundamentales. El primero se llamará problema homogéneo (la justificación de esto se presentará mas adelante) y es el encargado de la aparición del término que incluye a la matriz de rigidez, este problema solo depende de los desplazamientos de los nodos (nodales) y no de las cargas externas. El segundo problema se llamará problema empotrado (la justificación para su nombre también se dará mas adelante) y es el encargado de la aparición del vector de fuerzas de empotramiento y no depende de los desplazamientos nodales, pero si de las fuerzas externas. A partir de esta idea, las componentes de los campos de desplazamientos para los elementos estudiados se expresan como:154
155
<span id="eq-7"></span>156
{| class="formulaSCP" style="width: 100%; text-align: left;" 157
|-158
| 159
{| style="text-align: left; margin:auto;width: 100%;" 160
|-161
| style="text-align: center;" | <math>d(x)=d_h(x)+d_f(x) </math>162
|}163
| style="width: 5px;text-align: right;white-space: nowrap;" | (7)164
|}165
166
Donde:167
168
<math display="inline">d(x)</math>: Componente del campo de desplazamiento.169
170
<math display="inline">d_h(x)</math>: Componente del campo homogéneo de desplazamiento.171
172
<math display="inline">d_f(x)</math>: Componente del campo empotrado de desplazamiento.173
174
A continuación, a partir de [[#eq-7|7]], se definirán y solucionarán los problemas de valor en la frontera (P.V.F.) empleados para la formulación del método de rigidez con funciones de Green de cada uno de los cuatro tipos de elementos a analizar, así como los P.V.F. que dan lugar a los campos homogéneos y empotrados de estos mismos.175
176
==4 Formulación analítica del método de rigidez con funciones de Green para elementos tipo barra==177
178
El P.V.F. que gobierna la formulación del método de rigidez para elementos tipo barra de sección transversal constante y longitud <math display="inline">L</math> es (ver la Figura [[#img-2|2]]):179
180
<span id="eq-8.a"></span>181
<span id="eq-8.b"></span>182
<span id="eq-8.c"></span>183
{| class="formulaSCP" style="width: 100%; text-align: left;" 184
|-185
| 186
{| style="text-align: left; margin:auto;width: 100%;" 187
|-188
| style="text-align: center;" | <math>AE\frac{d^2 u}{dx^2}(x)=-p(x) </math>189
| style="width: 5px;text-align: right;white-space: nowrap;" | (8.a)190
|-191
| style="text-align: center;" | <math> u(0)=u_i </math>192
| style="width: 5px;text-align: right;white-space: nowrap;" | (8.b)193
|-194
| style="text-align: center;" | <math> u(L)=u_j </math>195
| style="width: 5px;text-align: right;white-space: nowrap;" | (8.c)196
|}197
|}198
199
Donde <math display="inline">u(0)=u_i</math> es el desplazamiento en dirección axial (eje local <math display="inline">x</math>) en el extremo inicial del elemento y <math display="inline">u(L)=u_j</math> es el desplazamiento en la misma dirección pero en el extremo final del elemento.200
201
Para este caso la particularización de [[#eq-7|7]] es:202
203
<span id="eq-9"></span>204
{| class="formulaSCP" style="width: 100%; text-align: left;" 205
|-206
| 207
{| style="text-align: left; margin:auto;width: 100%;" 208
|-209
| style="text-align: center;" | <math>u(x)=u_h(x)+u_f(x) </math>210
|}211
| style="width: 5px;text-align: right;white-space: nowrap;" | (9)212
|}213
214
Donde <math display="inline">u_h(x)</math> es el campo de desplazamiento homogéneo (sección [[#4.1 Solución del P.V.F. homogéneo|4.1]]), mientras que <math display="inline">u_f(x)</math> es el campo empotrado (sección [[#4.2 Solución del P.V.F. empotrado|4.2]]).215
216
===4.1 Solución del P.V.F. homogéneo===217
218
El P.V.F. que gobierna al campo homogéneo se presenta en [[#4.1 Solución del P.V.F. homogéneo|4.1]] y su nombre se debe a que [[#eq-10.a|10.a]] es una ecuación diferencial homogénea.219
220
<span id="eq-10.a"></span>221
<span id="eq-10.b"></span>222
<span id="eq-10.c"></span>223
{| class="formulaSCP" style="width: 100%; text-align: left;" 224
|-225
| 226
{| style="text-align: left; margin:auto;width: 100%;" 227
|-228
| style="text-align: center;" | <math>AE\frac{d^2 u_h}{dx^2}(x)=0 </math>229
| style="width: 5px;text-align: right;white-space: nowrap;" | (10.a)230
|-231
| style="text-align: center;" | <math> u_h(0)=u_i </math>232
| style="width: 5px;text-align: right;white-space: nowrap;" | (10.b)233
|-234
| style="text-align: center;" | <math> u_h(L)=u_j </math>235
| style="width: 5px;text-align: right;white-space: nowrap;" | (10.c)236
|}237
|}238
239
Es fácil probar que la solución de [[#4.1 Solución del P.V.F. homogéneo|4.1]] es el siguiente polinomio de primer grado:240
241
<span id="eq-11"></span>242
{| class="formulaSCP" style="width: 100%; text-align: left;" 243
|-244
| 245
{| style="text-align: left; margin:auto;width: 100%;" 246
|-247
| style="text-align: center;" | <math>u_h(x)=\psi _1(x)u_i+\psi _4(x)u_j </math>248
|}249
| style="width: 5px;text-align: right;white-space: nowrap;" | (11)250
|}251
252
Donde:253
254
{| class="formulaSCP" style="width: 100%; text-align: left;" 255
|-256
| 257
{| style="text-align: left; margin:auto;width: 100%;" 258
|-259
| style="text-align: center;" | <math>\psi _1(x)=1-\dfrac{x}{L} </math>260
| style="width: 5px;text-align: right;white-space: nowrap;" | (12.a)261
|-262
| style="text-align: center;" | <math> \psi _4(x)=\dfrac{x}{L} </math>263
| style="width: 5px;text-align: right;white-space: nowrap;" | (12.b)264
|}265
|}266
267
<math display="inline">\psi _1(x)</math> y <math display="inline">\psi _4(x)</math> son conocidas como las funciones de forma “exactas” de este problema y en este caso son iguales a aquellas que suelen emplearse en el M.E.F. para interpolar el campo de desplazamientos en un elemento tipo barra. Un par de propiedades muy importantes de <math display="inline">\psi _1(x)</math> y <math display="inline">\psi _4(x)</math>, las cuales nos permitirán expresar de forma compacta algunos cálculos posteriores, son:268
269
{| class="formulaSCP" style="width: 100%; text-align: left;" 270
|-271
| 272
{| style="text-align: left; margin:auto;width: 100%;" 273
|-274
| style="text-align: center;" | <math>\psi _1(x)=\psi _4(L-x) </math>275
| style="width: 5px;text-align: right;white-space: nowrap;" | (13.a)276
|-277
| style="text-align: center;" | <math> \psi _4(x)=\psi _1(L-x) </math>278
| style="width: 5px;text-align: right;white-space: nowrap;" | (13.b)279
|}280
|}281
282
En este punto es importante resaltar que en el M.E.F. es usual emplear [[#eq-11|11]] para aproximar el campo total de desplazamientos, lo cual, a partir de [[#eq-9|9]], se observa que es inexacto pues no incluye al campo empotrado.283
284
Por su parte, empleando la ley de Hooke uniaxial, se tiene que la fuerza axial homogénea se puede calcular como:285
286
<span id="eq-14"></span>287
{| class="formulaSCP" style="width: 100%; text-align: left;" 288
|-289
| 290
{| style="text-align: left; margin:auto;width: 100%;" 291
|-292
| style="text-align: center;" | <math>P_h(x)=AE\dfrac{du_h}{dx}(x)=\dfrac{AE}{L} \left(-u_i+u_j\right) </math>293
|}294
| style="width: 5px;text-align: right;white-space: nowrap;" | (14)295
|}296
297
Mientras que las fuerzas en dirección del eje local <math display="inline">x</math> en los extremos de la barra son:298
299
{| class="formulaSCP" style="width: 100%; text-align: left;" 300
|-301
| 302
{| style="text-align: left; margin:auto;width: 100%;" 303
|-304
| style="text-align: center;" | <math>FX_i^h=-P_h(0)=\dfrac{AE}{L} \left(u_i-u_j\right) </math>305
| style="width: 5px;text-align: right;white-space: nowrap;" | (15.a)306
|-307
| style="text-align: center;" | <math> FX_j^h= P_h(L)=\dfrac{AE}{L} \left(-u_i+u_j\right) </math>308
| style="width: 5px;text-align: right;white-space: nowrap;" | (15.b)309
|}310
|}311
312
===4.2 Solución del P.V.F. empotrado===313
314
El problema de P.V.F. que gobierna al campo empotrado se presenta en [[#4.2 Solución del P.V.F. empotrado|4.2]]. Su nombre se debe a que representa la respuesta de una barra doblemente empotrada sometida a una carga externa por unidad de longitud igual a la del elemento en estudio (ver Figura [[#img-5a|5a]]).315
316
<span id="eq-16.a"></span>317
<span id="eq-16.b"></span>318
<span id="eq-16.c"></span>319
{| class="formulaSCP" style="width: 100%; text-align: left;" 320
|-321
| 322
{| style="text-align: left; margin:auto;width: 100%;" 323
|-324
| style="text-align: center;" | <math>AE\frac{d^2 u_f}{dx^2}(x)=-p(x) </math>325
| style="width: 5px;text-align: right;white-space: nowrap;" | (16.a)326
|-327
| style="text-align: center;" | <math> u_f(0)=0 </math>328
| style="width: 5px;text-align: right;white-space: nowrap;" | (16.b)329
|-330
| style="text-align: center;" | <math> u_f(L)=0 </math>331
| style="width: 5px;text-align: right;white-space: nowrap;" | (16.c)332
|}333
|}334
335
<div id='img-5a'></div>336
<div id='img-5b'></div>337
<div id='img-5'></div>338
{| class="floating_imageSCP" style="text-align: center; border: 1px solid #BBB; margin: 1em auto; width: 100%;max-width: 100%;"339
|-340
|[[Image:Review_992381919967_1269_Figura05a.png|360px|Carga distribuida arbitraria.]]341
|[[Image:Review_992381919967_1441_Figura05c.png|360px|Fuerza puntual unitaria.]]342
|- style="text-align: center; font-size: 75%;"343
| (a) Carga distribuida arbitraria.344
| (b) Fuerza puntual unitaria.345
|- style="text-align: center; font-size: 75%;"346
| colspan="2" | '''Figura 5:''' Barras de sección transversal contante doblemente empotradas, sometidas a una carga distribuida arbitraria y una carga puntual unitaria.347
|}348
Para la solución del P.V.F. [[#4.2 Solución del P.V.F. empotrado|4.2]] se empleará la función de Green de un elemento tipo barra doblemente empotrada, que es de sección transversal constante y material elástico lineal (ver Figura [[#img-5b|5b]]). Esta corresponde a la respuesta (campo de desplazamiento axial) debido a la aplicación de una carga puntual unitaria ubicada a una distancia <math display="inline">\xi </math> del origen de coordenadas y está gobernada por el siguiente P.V.F (notar que las dos últimas ecuaciones corresponden a la continuidad de desplazamiento y equilibrio en el punto de aplicación de la fuerza puntual unitaria <math display="inline">(x=\xi )</math>):349
350
<span id="eq-17.a"></span>351
{| class="formulaSCP" style="width: 100%; text-align: left;" 352
|-353
| 354
{| style="text-align: left; margin:auto;width: 100%;" 355
|-356
| style="text-align: center;" | <math>AE\frac{\partial ^2 G_{xx}}{\partial x^2}(x,\xi )=-\delta (x-\xi ) </math>357
| style="width: 5px;text-align: right;white-space: nowrap;" | (17.a)358
|-359
| style="text-align: center;" | <math> G_{xx}(0,\xi )=0 </math>360
| style="width: 5px;text-align: right;white-space: nowrap;" | (17.b)361
|-362
| style="text-align: center;" | <math> G_{xx}(L,\xi )=0 </math>363
| style="width: 5px;text-align: right;white-space: nowrap;" | (17.c)364
|-365
| style="text-align: center;" | <math> G_{xx}(\xi ^-,\xi )-G_{xx}(\xi ^+,\xi )=0 </math>366
| style="width: 5px;text-align: right;white-space: nowrap;" | (17.d)367
|-368
| style="text-align: center;" | <math> -AE\dfrac{\partial G_{xx}}{\partial x}(\xi ^-,\xi )+AE\dfrac{\partial G_{xx}}{\partial x}(\xi ^+,\xi )=-1 </math>369
| style="width: 5px;text-align: right;white-space: nowrap;" | (17.e)370
|}371
|}372
373
Donde <math display="inline">\delta (x)</math> es la función delta de Dirac y lo superíndices - y + significan a la izquierda y a la derecha del punto en cuestión.374
375
La solución de [[#4.2 Solución del P.V.F. empotrado|4.2]] expresada en términos de las funciones de forma [[#4.1 Solución del P.V.F. homogéneo|4.1]], se puede escribir de forma compacta como:376
377
<span id="eq-18"></span>378
{| class="formulaSCP" style="width: 100%; text-align: left;" 379
|-380
| 381
{| style="text-align: left; margin:auto;width: 100%;" 382
|-383
| style="text-align: center;" | <math>G_{xx}(x,\xi )= \begin{cases}G_{xx}^I (x,\xi )=\dfrac{L}{AE}\psi _4(x)\psi _1(\xi ) & 0 < x \leq \xi \\[0.3cm] G_{xx}^{II}(x,\xi )=\dfrac{L}{AE}\psi _1(x)\psi _4(\xi ) \qquad & \xi \leq x < L \end{cases} </math>384
|}385
| style="width: 5px;text-align: right;white-space: nowrap;" | (18)386
|}387
388
Donde, para su escritura se han explotado las propiedades de simetría de las funciones de forma presentadas en [[#4.1 Solución del P.V.F. homogéneo|4.1]], así como las siguientes propiedades de simetría la función de Green:389
390
{| class="formulaSCP" style="width: 100%; text-align: left;" 391
|-392
| 393
{| style="text-align: left; margin:auto;width: 100%;" 394
|-395
| style="text-align: center;" | <math>G_{xx}^I(x,\xi )=G_{xx}^{II}(\xi ,x)=G_{xx}^{II}(L-x,L-\xi ) </math>396
| style="width: 5px;text-align: right;white-space: nowrap;" | (19.a)397
|-398
| style="text-align: center;" | <math> G_{xx}^{II}(x,\xi )=G_{xx}^I(\xi ,x)=G_{xx}^I(L-x,L-\xi ) </math>399
| style="width: 5px;text-align: right;white-space: nowrap;" | (19.b)400
|}401
|}402
403
Como se verá más adelante, es importante reescribir a <math display="inline">G_{xx}(x,\xi )</math> en los intervalos <math display="inline">0 < \xi \leq x</math> y <math display="inline">x \leq \xi < L</math>, lo cual da como resultado:404
405
<span id="eq-20"></span>406
{| class="formulaSCP" style="width: 100%; text-align: left;" 407
|-408
| 409
{| style="text-align: left; margin:auto;width: 100%;" 410
|-411
| style="text-align: center;" | <math>G_{xx}(x,\xi )= \begin{cases}G_{xx}^{II}(x,\xi ) & 0 < \xi \leq x \\[0.3cm] G_{xx}^I (x,\xi ) \qquad & x \leq \xi < L \end{cases} </math>412
|}413
| style="width: 5px;text-align: right;white-space: nowrap;" | (20)414
|}415
416
Multiplicando a ambos lados de [[#eq-17.a|17.a]] por <math display="inline">p(\xi )</math> e integrando respecto a <math display="inline">\xi </math> entre 0 y <math display="inline">L</math> se obtiene:417
418
<span id="eq-21"></span>419
{| class="formulaSCP" style="width: 100%; text-align: left;" 420
|-421
| 422
{| style="text-align: left; margin:auto;width: 100%;" 423
|-424
| style="text-align: center;" | <math>AE \int _0^L \dfrac{\partial ^2 G_{xx}}{\partial x^2}(x,\xi )p(\xi )d\xi =-\int _0^L \delta (x-\xi ) p(\xi ) d\xi </math>425
|-426
| style="text-align: center;" | <math> AE\dfrac{\partial ^2}{\partial x^2} \left[\int _0^L G_{xx}(x,\xi )p(\xi )d\xi \right]=-p(x) </math>427
|}428
| style="width: 5px;text-align: right;white-space: nowrap;" | (21)429
|}430
431
Donde se empleó la siguiente propiedad de la función delta de Dirac: <math display="inline">p(x)=\int _0^L \delta (x-\xi ) p(\xi ) d\xi </math> (<math display="inline">0<\xi{<}L</math>).432
433
De comparar [[#eq-21|21]] y [[#eq-16.a|16.a]], así como empleando [[#eq-20|20]] se concluye que:434
435
<span id="eq-22"></span>436
{| class="formulaSCP" style="width: 100%; text-align: left;" 437
|-438
| 439
{| style="text-align: left; margin:auto;width: 100%;" 440
|-441
| style="text-align: center;" | <math>u_f(x)=\int _0^L G_{xx}(x,\xi ) p(\xi ) d\xi =\int _0^x G^{II}_{xx}(x,\xi ) p(\xi ) d\xi{+\int}_x^L G^I_{xx}(x,\xi ) p(\xi ) d\xi </math>442
|}443
| style="width: 5px;text-align: right;white-space: nowrap;" | (22)444
|}445
446
La cual también puede interpretarse mediante el principio de superposición pues el desplazamiento en cada punto <math display="inline">x</math> de la barra doblemente empotrada es la suma de los desplazamientos causados en ese mismo punto por infinitas cargas puntuales ubicadas en <math display="inline">\xi </math> desde 0 hasta <math display="inline">L</math> y cuyo valor es <math display="inline">q(\xi )d\xi </math>, donde los limites de ambas integrales se explican por [[#eq-20|20]].447
448
Empleando la ley de Hooke uniaxial, a partir de [[#eq-22|22]] el campo de fuerza axial empotrado se calcula como:449
450
{| class="formulaSCP" style="width: 100%; text-align: left;" 451
|-452
| 453
{| style="text-align: left; margin:auto;width: 100%;" 454
|-455
| style="text-align: center;" | <math>P_f(x)=AE\dfrac{du_f}{dx}(x) </math>456
|-457
| style="text-align: center;" | <math> = AE \int _0^L \dfrac{\partial G_{xx}}{\partial x}(x,\xi )p(\xi )d\xi </math>458
|-459
| style="text-align: center;" | <math> =AE \left[\int _0^x \dfrac{\partial G_{xx}^{II}}{\partial x}(x,\xi )p(\xi )d\xi +\int _x^L \dfrac{\partial G_{xx}^I}{\partial x}(x,\xi )p(\xi )d\xi \right]</math>460
|-461
| style="text-align: center;" | <math> =-\int _0^x \psi _4(\xi )p(\xi ) d\xi{+\int}_x^L \psi _1(\xi )p(\xi ) d\xi </math>462
|}463
| style="width: 5px;text-align: right;white-space: nowrap;" | (23)464
|}465
466
Y las reacciones o fuerzas de empotramiento en dirección del eje local <math display="inline">x</math> son:467
468
{| class="formulaSCP" style="width: 100%; text-align: left;" 469
|-470
| 471
{| style="text-align: left; margin:auto;width: 100%;" 472
|-473
| style="text-align: center;" | <math>FX_i^f=-P_f(0)=-\int _0^L \psi _1(\xi ) p(\xi ) d\xi=-\int_0^L \psi _1(x) p(x) dx </math>474
| style="width: 5px;text-align: right;white-space: nowrap;" | (24.a)475
|-476
| style="text-align: center;" | <math> FX_j^f= P_f(L)=-\int _0^L \psi _4(\xi ) p(\xi ) d\xi=-\int_0^L \psi _4(x) p(x) dx </math>477
| style="width: 5px;text-align: right;white-space: nowrap;" | (24.b)478
|}479
|}480
481
Es de destacar que la anterior forma de expresar las fuerzas de empotramiento en función de la funciones de forma es coherente con aquella presentada para la formulación “exacta” del M.E.F., la cual se encuentra en el Apéndice [[#11 Formulación exacta del M.E.F. para un elemento tipo barra|11]].482
483
===4.3 Superposición del campo homogéneo y el campo empotrado===484
485
Reemplazando [[#eq-11|11]] y [[#eq-22|22]] en [[#eq-9|9]] se tiene que el campo de desplazamiento en el elemento, expresado en función de los desplazamientos nodales y las cargas externas es:486
487
<span id="eq-25"></span>488
{| class="formulaSCP" style="width: 100%; text-align: left;" 489
|-490
| 491
{| style="text-align: left; margin:auto;width: 100%;" 492
|-493
| style="text-align: center;" | <math>u(x)=\psi _1(x)u_i+\psi _4(x)u_j+\int _0^{x} G_{xx}^{II}(x,\xi ) p(\xi ) d\xi +\int _{x}^{L} G_{xx}^{I}(x,\xi ) p(\xi )d\xi </math>494
|}495
| style="width: 5px;text-align: right;white-space: nowrap;" | (25)496
|}497
498
Mientras que a partir de sumar [[#4.1 Solución del P.V.F. homogéneo|4.1]] y [[#4.2 Solución del P.V.F. empotrado|4.2]], se tiene que las fuerzas en dirección del eje local <math display="inline">x</math> en los extremos del elemento, se expresan en términos de los desplazamientos en esos mismos puntos y en la misma dirección axial:499
500
<span id="eq-26"></span>501
{| class="formulaSCP" style="width: 100%; text-align: left;" 502
|-503
| 504
{| style="text-align: left; margin:auto;width: 100%;" 505
|-506
| style="text-align: center;" | <math>\begin{Bmatrix}FX_i \\ FX_j \end{Bmatrix}= \begin{Bmatrix}FX_i^h \\ FX_j^h \end{Bmatrix}+ \begin{Bmatrix}FX_i^f \\ FX_j^f \end{Bmatrix} =\dfrac{AE}{L} \begin{bmatrix}1 & -1 \\ -1 & 1 \end{bmatrix} \begin{Bmatrix}u_i \\ u_j \end{Bmatrix}- \begin{Bmatrix}\int _0^L \psi _1(x) p(x)dx \\ \int _0^L \psi _4(x) p(x)dx \end{Bmatrix} </math>507
|}508
| style="width: 5px;text-align: right;white-space: nowrap;" | (26)509
|}510
511
La cual es la formulación en coordenadas locales del método de rigidez con funciones de Green para un elemento tipo barra y es equivalente a la presentada en el Apéndice [[#11 Formulación exacta del M.E.F. para un elemento tipo barra|11]] para el caso de la formulación “exacta” por el método de elementos finitos.512
513
Para finalizar es importante resaltar que las definiciones de los P.V.F. [[#4.1 Solución del P.V.F. homogéneo|4.1]] y [[#4.2 Solución del P.V.F. empotrado|4.2]] no han sido arbitrarias y son totalmente coherentes con [[#4 Formulación analítica del método de rigidez con funciones de Green para elementos tipo barra|4]] y [[#eq-9|9]]. Por ejemplo si se reemplaza [[#eq-9|9]] en [[#4 Formulación analítica del método de rigidez con funciones de Green para elementos tipo barra|4]] y se emplean [[#4.2 Solución del P.V.F. empotrado|4.2]], se obtiene directamente el P.V.F. [[#4.1 Solución del P.V.F. homogéneo|4.1]], lo cual también ocurre para los demás tipos de elementos analizados en este artículo.514
515
==5 Formulación analítica del método de rigidez con funciones de Green para elementos tipo viga==516
517
El P.V.F. que gobierna la formulación del método de rigidez de un elemento tipo viga de sección transversal constante con momento de inercia <math display="inline">I</math>, material elástico lineal homogéneo con módulo de elasticidad <math display="inline">E</math> y longitud <math display="inline">L</math> es (ver Figura [[#img-3|3]]):518
519
<span id="eq-27.a"></span>520
<span id="eq-27.b"></span>521
<span id="eq-27.c"></span>522
<span id="eq-27.d"></span>523
<span id="eq-27.e"></span>524
{| class="formulaSCP" style="width: 100%; text-align: left;" 525
|-526
| 527
{| style="text-align: left; margin:auto;width: 100%;" 528
|-529
| style="text-align: center;" | <math>EI\frac{d^4 v}{dx^4}(x)=q(x) </math>530
| style="width: 5px;text-align: right;white-space: nowrap;" | (27.a)531
|-532
| style="text-align: center;" | <math> v(0)=v_i </math>533
| style="width: 5px;text-align: right;white-space: nowrap;" | (27.b)534
|-535
| style="text-align: center;" | <math> \dfrac{dv}{dx}(0)=\theta _i </math>536
| style="width: 5px;text-align: right;white-space: nowrap;" | (27.c)537
|-538
| style="text-align: center;" | <math> v(L)=v_j </math>539
| style="width: 5px;text-align: right;white-space: nowrap;" | (27.d)540
|-541
| style="text-align: center;" | <math> \dfrac{dv}{dx}(L)=\theta _j </math>542
| style="width: 5px;text-align: right;white-space: nowrap;" | (27.e)543
|}544
|}545
546
Donde <math display="inline">v(0)=v_i</math> es el desplazamiento en dirección del eje local <math display="inline">y</math> en extremo inicial del elemento, <math display="inline">\dfrac{dv}{dx}(0)=\theta _i</math> es la pendiente en ese mismo punto, <math display="inline">v(L)=v_j</math> es el desplazamiento en dirección del eje local <math display="inline">y</math> en extremo final del elemento y <math display="inline">\dfrac{dv}{dx}(L)=\theta _j</math> es la rotación en ese último punto.547
548
Para este caso la particularización de [[#eq-7|7]] es:549
550
<span id="eq-28"></span>551
{| class="formulaSCP" style="width: 100%; text-align: left;" 552
|-553
| 554
{| style="text-align: left; margin:auto;width: 100%;" 555
|-556
| style="text-align: center;" | <math>v(x)=v_h(x)+v_f(x) </math>557
|}558
| style="width: 5px;text-align: right;white-space: nowrap;" | (28)559
|}560
561
Donde <math display="inline">v_h(x)</math> es el campo de desplazamiento homogéneo (sección [[#5.1 Solución del P.V.F. homogéneo|5.1]]), mientras que <math display="inline">v_f(x)</math> es el campo empotrado (sección [[#5.2 Solución del P.V.F. empotrado|5.2]]).562
563
===5.1 Solución del P.V.F. homogéneo===564
565
Para este caso el P.V.F. gobernante es:566
567
<span id="eq-29.a"></span>568
<span id="eq-29.b"></span>569
<span id="eq-29.c"></span>570
<span id="eq-29.d"></span>571
<span id="eq-29.e"></span>572
{| class="formulaSCP" style="width: 100%; text-align: left;" 573
|-574
| 575
{| style="text-align: left; margin:auto;width: 100%;" 576
|-577
| style="text-align: center;" | <math>EI\frac{d^4 v_h}{dx^4}(x)=0 </math>578
| style="width: 5px;text-align: right;white-space: nowrap;" | (29.a)579
|-580
| style="text-align: center;" | <math> v_h(0)=v_i </math>581
| style="width: 5px;text-align: right;white-space: nowrap;" | (29.b)582
|-583
| style="text-align: center;" | <math> \dfrac{d v_h}{dx}(0)=\theta _i </math>584
| style="width: 5px;text-align: right;white-space: nowrap;" | (29.c)585
|-586
| style="text-align: center;" | <math> v_h(L)=v_j </math>587
| style="width: 5px;text-align: right;white-space: nowrap;" | (29.d)588
|-589
| style="text-align: center;" | <math> \dfrac{d v_h}{dx}(L)=\theta _j </math>590
| style="width: 5px;text-align: right;white-space: nowrap;" | (29.e)591
|}592
|}593
594
Cuya solución, es el siguiente polinomio de orden tres:595
596
<span id="eq-30"></span>597
{| class="formulaSCP" style="width: 100%; text-align: left;" 598
|-599
| 600
{| style="text-align: left; margin:auto;width: 100%;" 601
|-602
| style="text-align: center;" | <math>v_h(x)=\psi _2(x) v_i+\psi _3(x) \theta _i+\psi _5(x) v_j+\psi _6(x) \theta _j </math>603
|}604
| style="width: 5px;text-align: right;white-space: nowrap;" | (30)605
|}606
607
Donde <math display="inline">\psi _2(x)</math>, <math display="inline">\psi _3(x)</math>, <math display="inline">\psi _5(x)</math> y <math display="inline">\psi _6(x)</math> se conocen coma las funciones de forma “exactas” de este problema y tienen el siguiente valor:608
609
{| class="formulaSCP" style="width: 100%; text-align: left;" 610
|-611
| 612
{| style="text-align: left; margin:auto;width: 100%;" 613
|-614
| style="text-align: center;" | <math>\psi _2(x)=1-3\left(\dfrac{x}{L}\right)^2+2\left(\dfrac{x}{L}\right)^3 </math>615
| style="width: 5px;text-align: right;white-space: nowrap;" | (31.a)616
|-617
| style="text-align: center;" | <math> \psi _3(x)=\left[\dfrac{x}{L}-2\left(\dfrac{x}{L} \right)^2+\left(\dfrac{x}{L} \right)^3 \right]L </math>618
| style="width: 5px;text-align: right;white-space: nowrap;" | (31.b)619
|-620
| style="text-align: center;" | <math> \psi _5(x)=3\left(\dfrac{x}{L} \right)^2-2\left(\dfrac{x}{L} \right)^3</math>621
| style="width: 5px;text-align: right;white-space: nowrap;" | (31.c)622
|-623
| style="text-align: center;" | <math> \psi _6(x)=\left[-\left(\dfrac{x}{L} \right)^2+\left(\dfrac{x}{L} \right)^3\right]L </math>624
| style="width: 5px;text-align: right;white-space: nowrap;" | (31.d)625
|}626
|}627
628
Fuera de lo anterior, las siguientes propiedades de simetría de las funciones de forma <math display="inline">\psi _2(x)</math>, <math display="inline">\psi _3(x)</math>, <math display="inline">\psi _5(x)</math> y <math display="inline">\psi _2(x)</math> son muy importantes de resaltar:629
630
{| class="formulaSCP" style="width: 100%; text-align: left;" 631
|-632
| 633
{| style="text-align: left; margin:auto;width: 100%;" 634
|-635
| style="text-align: center;" | <math>\psi _2(x)=\psi _5(L-x) </math>636
| style="width: 5px;text-align: right;white-space: nowrap;" | (32.a)637
|-638
| style="text-align: center;" | <math> \psi _5(x)=\psi _2(L-x) </math>639
| style="width: 5px;text-align: right;white-space: nowrap;" | (32.b)640
|-641
| style="text-align: center;" | <math> \psi _3(x)=-\psi _6(L-x) </math>642
| style="width: 5px;text-align: right;white-space: nowrap;" | (32.c)643
|-644
| style="text-align: center;" | <math> \psi _6(x)=-\psi _3(L-x) </math>645
| style="width: 5px;text-align: right;white-space: nowrap;" | (32.d)646
|}647
|}648
649
Al igual que para el caso de las barras, las funciones de forma “exactas” presentadas en [[#5.1 Solución del P.V.F. homogéneo|5.1]] son iguales a las empleadas en el M.E.F. para aproximar o interpolar el campo total de desplazamiento, lo cual de nuevo es inexacto pues se omite el campo empotrado (ver [[#eq-28|28]]).650
651
A partir de [[#eq-30|30]] y [[#2.2 Elemento tipo viga (viga de Euler)|2.2]], las fuerzas internas homogéneas son:652
653
{| class="formulaSCP" style="width: 100%; text-align: left;" 654
|-655
| 656
{| style="text-align: left; margin:auto;width: 100%;" 657
|-658
| style="text-align: center;" | <math>M_h(x)=EI\frac{d^2 v_h}{dx^2}(x)=\frac{EI}{L^2} \left[\left(-6+12 \frac{x}{L} \right)v_i +\left(-4+6\frac{x}{L} \right)\theta _i L +\left(6-12 \frac{x}{L} \right)v_j +\left(-2+6\frac{x}{L} \right)\theta _j L \right]</math>659
| style="width: 5px;text-align: right;white-space: nowrap;" | (33.a)660
|-661
| style="text-align: center;" | <math> V_h(x)=-EI\frac{d^3 v_h}{dx^3}(x)=\frac{EI}{L^3} (-12v_i-6\theta _i L+12v_j-6\theta _j L) </math>662
| style="width: 5px;text-align: right;white-space: nowrap;" | (33.b)663
|}664
|}665
666
Mientras que las fuerzas homogéneas en los extremos del elemento en dirección de los ejes locales <math display="inline">y</math>, <math display="inline">z</math> son:667
668
{| class="formulaSCP" style="width: 100%; text-align: left;" 669
|-670
| 671
{| style="text-align: left; margin:auto;width: 100%;" 672
|-673
| style="text-align: center;" | <math>FY_i^h=-V_h(0)= \dfrac{12EI}{L^3}v_i+\dfrac{6EI}{L^2}\theta _i-\dfrac{12EI}{L^3}v_j+\dfrac{6EI}{L^2}\theta _j </math>674
| style="width: 5px;text-align: right;white-space: nowrap;" | (34.a)675
|-676
| style="text-align: center;" | <math> M_i^h =-M_h(0)= \dfrac{ 6EI}{L^2}v_i+\dfrac{4EI}{L }\theta _i-\dfrac{ 6EI}{L^2}v_j+\dfrac{2EI}{L}\theta _j </math>677
| style="width: 5px;text-align: right;white-space: nowrap;" | (34.b)678
|-679
| style="text-align: center;" | <math> FY_j^h= V_h(L)=-\dfrac{12EI}{L^3}v_i-\dfrac{6EI}{L^2}\theta _i+\dfrac{12EI}{L^3}v_j-\dfrac{6EI}{L^2}\theta _j </math>680
| style="width: 5px;text-align: right;white-space: nowrap;" | (34.c)681
|-682
| style="text-align: center;" | <math> M_j^h = M_h(0)= \dfrac{ 6EI}{L^2}v_i+\dfrac{2EI}{L }\theta _i-\dfrac{ 6EI}{L^2}v_j+\dfrac{4EI}{L}\theta _j </math>683
| style="width: 5px;text-align: right;white-space: nowrap;" | (34.d)684
|}685
|}686
687
===5.2 Solución del P.V.F. empotrado===688
689
El problema de P.V.F. que gobierna al campo empotrado se presenta en [[#5.2 Solución del P.V.F. empotrado|5.2]] y corresponde a la respuesta de una viga doblemente empotrada sometida a una carga externa genérica definida por la función <math display="inline">q(x)</math> (ver Figura [[#img-6a|6a]]).690
691
<span id="eq-35.a"></span>692
<span id="eq-35.b"></span>693
<span id="eq-35.c"></span>694
<span id="eq-35.d"></span>695
<span id="eq-35.e"></span>696
{| class="formulaSCP" style="width: 100%; text-align: left;" 697
|-698
| 699
{| style="text-align: left; margin:auto;width: 100%;" 700
|-701
| style="text-align: center;" | <math>EI\frac{d^4 v_f}{dx^4}(x)=q(x) </math>702
| style="width: 5px;text-align: right;white-space: nowrap;" | (35.a)703
|-704
| style="text-align: center;" | <math> v_f(0)=0 </math>705
| style="width: 5px;text-align: right;white-space: nowrap;" | (35.b)706
|-707
| style="text-align: center;" | <math> \dfrac{d v_f}{dx}(0)=0 </math>708
| style="width: 5px;text-align: right;white-space: nowrap;" | (35.c)709
|-710
| style="text-align: center;" | <math> v_f(L)=0 </math>711
| style="width: 5px;text-align: right;white-space: nowrap;" | (35.d)712
|-713
| style="text-align: center;" | <math> \dfrac{d v_f}{dx}(L)=0 </math>714
| style="width: 5px;text-align: right;white-space: nowrap;" | (35.e)715
|}716
|}717
718
<div id='img-6a'></div>719
<div id='img-6b'></div>720
<div id='img-6'></div>721
{| class="floating_imageSCP" style="text-align: center; border: 1px solid #BBB; margin: 1em auto; width: 100%;max-width: 100%;"722
|-723
|[[Image:Review_992381919967_2212_Figura06a.png|360px|Carga distribuida arbitraria.]]724
|[[Image:Review_992381919967_5675_Figura06c.png|360px|Fuerza puntual unitaria.]]725
|- style="text-align: center; font-size: 75%;"726
| (a) Carga distribuida arbitraria.727
| (b) Fuerza puntual unitaria.728
|- style="text-align: center; font-size: 75%;"729
| colspan="2" | '''Figura 6:''' Vigas de sección transversal contante doblemente empotradas, sometidas a una carga distribuida arbitraria y una carga puntual unitaria.730
|}731
Para solucionar el P.V.F. [[#5.2 Solución del P.V.F. empotrado|5.2]] se definirá la función que Green asociada con este problema, es decir, la respuesta de una viga doblemente empotrada de sección transversal constante y material elástico lineal, sometida a una fuerza puntual unitaria ubicada a una distancia <math display="inline">\xi </math> del extremo izquierdo del elemento (ver Figura [[#img-6b|6b]]). Esta función de Green está gobernada por el P.V.F. [[#5.2 Solución del P.V.F. empotrado|5.2]], el cual contiene el cumplimiento de la ecuación diferencial gobernante, condiciones de frontera, condiciones de continuidad de desplazamientos y rotaciones en (<math display="inline">x=\xi </math>) y equilibrio vertical y rotacional en este mismo punto:732
733
<span id="eq-36.a"></span>734
{| class="formulaSCP" style="width: 100%; text-align: left;" 735
|-736
| 737
{| style="text-align: left; margin:auto;width: 100%;" 738
|-739
| style="text-align: center;" | <math>EI\frac{\partial ^4 G_{yy}}{\partial x^4}(x,\xi )=\delta (x-\xi ) </math>740
| style="width: 5px;text-align: right;white-space: nowrap;" | (36.a)741
|-742
| style="text-align: center;" | <math> G_{yy}(0,\xi )=0 </math>743
| style="width: 5px;text-align: right;white-space: nowrap;" | (36.b)744
|-745
| style="text-align: center;" | <math> \dfrac{\partial G_{yy}}{\partial x}(0,\xi )=0 </math>746
| style="width: 5px;text-align: right;white-space: nowrap;" | (36.c)747
|-748
| style="text-align: center;" | <math> G_{yy}(L,\xi )=0 </math>749
| style="width: 5px;text-align: right;white-space: nowrap;" | (36.d)750
|-751
| style="text-align: center;" | <math> \dfrac{\partial G_{yy}}{\partial x}(L,\xi )=0 </math>752
| style="width: 5px;text-align: right;white-space: nowrap;" | (36.e)753
|-754
| style="text-align: center;" | <math> G_{yy}(\xi ^-,\xi )-G_{yy}(\xi ^+,\xi )=0 </math>755
| style="width: 5px;text-align: right;white-space: nowrap;" | (36.f)756
|-757
| style="text-align: center;" | <math> \dfrac{\partial G_{yy}}{\partial x}(\xi ^-,\xi )-\dfrac{\partial G_{yy}}{\partial x}(\xi ^+,\xi )=0 </math>758
| style="width: 5px;text-align: right;white-space: nowrap;" | (36.g)759
|-760
| style="text-align: center;" | <math> EI\dfrac{\partial ^3 G_{yy}}{\partial x^3}(\xi ^-,\xi )-EI\dfrac{\partial ^3 G_{yy}}{\partial x^3}(\xi ^+,\xi )=-1 </math>761
| style="width: 5px;text-align: right;white-space: nowrap;" | (36.h)762
|-763
| style="text-align: center;" | <math> -EI\dfrac{\partial ^2 G_{yy}}{\partial x^2}(\xi ^-,\xi )+EI\dfrac{\partial ^2 G_{yy}}{\partial x^2}(\xi ^+,\xi )=0 </math>764
| style="width: 5px;text-align: right;white-space: nowrap;" | (36.i)765
|}766
|}767
768
La solución de [[#5.2 Solución del P.V.F. empotrado|5.2]], es decir, la función de Green para la viga doblemente empotrada presentada en la Figura [[#img-6b|6b]] es:769
770
<span id="eq-37"></span>771
{| class="formulaSCP" style="width: 100%; text-align: left;" 772
|-773
| 774
{| style="text-align: left; margin:auto;width: 100%;" 775
|-776
| style="text-align: center;" | <math>G_{yy}(x,\xi )= \begin{cases}\dfrac{L^3}{6EI} \left[-\left(\dfrac{x}{L} \right)^3 \psi _2(\xi ) +3 \left(\dfrac{x}{L}\right)^2 \dfrac{\psi _3(\xi )}{L} \right] & 0 < x \leq \xi \\[0.3cm] \dfrac{L^3}{6EI} \left[-\left(1-\dfrac{x}{L} \right)^3 \psi _5(\xi ) -3 \left(1-\dfrac{x}{L}\right)^2 \dfrac{\psi _6(\xi )}{L} \right]\qquad & \xi \leq x v L \end{cases} </math>777
|}778
| style="width: 5px;text-align: right;white-space: nowrap;" | (37)779
|}780
781
La cual se ha podido expresar de forma tan compacta empleando las propiedades se simetría de las funciones de forma presentadas en [[#5.1 Solución del P.V.F. homogéneo|5.1]] y las siguientes propiedades de simetría de la función de Green:782
783
{| class="formulaSCP" style="width: 100%; text-align: left;" 784
|-785
| 786
{| style="text-align: left; margin:auto;width: 100%;" 787
|-788
| style="text-align: center;" | <math>G_{yy}^I(x,\xi )=G_{yy}^{II}(\xi ,x)=G_{yy}^{II}(L-x,L-\xi ) </math>789
| style="width: 5px;text-align: right;white-space: nowrap;" | (38.a)790
|-791
| style="text-align: center;" | <math> G_{yy}^{II}(x,\xi )=G_{yy}^I(\xi ,x)=G_{yy}^I(L-x,L-\xi ) </math>792
| style="width: 5px;text-align: right;white-space: nowrap;" | (38.b)793
|}794
|}795
796
La cual, por simplicidad en los próximos cálculos se reescribirá de forma compacta como:797
798
<span id="eq-39"></span>799
{| class="formulaSCP" style="width: 100%; text-align: left;" 800
|-801
| 802
{| style="text-align: left; margin:auto;width: 100%;" 803
|-804
| style="text-align: center;" | <math>G_{yy}(x,\xi )= \begin{cases}G_{yy}^I(x,\xi ) & 0 < x \leq \xi \\ G_{yy}^{II}(x,\xi ) \qquad & \xi \leq x < L \end{cases} </math>805
|}806
| style="width: 5px;text-align: right;white-space: nowrap;" | (39)807
|}808
809
O de forma alternativa como:810
811
<span id="eq-40"></span>812
{| class="formulaSCP" style="width: 100%; text-align: left;" 813
|-814
| 815
{| style="text-align: left; margin:auto;width: 100%;" 816
|-817
| style="text-align: center;" | <math>G_{yy}(x,\xi )= \begin{cases}G_{yy}^{II}(x,\xi ) & 0 < \xi \leq x \\ G_{yy}^I(x,\xi ) \qquad & x \leq \xi < L \end{cases} </math>818
|}819
| style="width: 5px;text-align: right;white-space: nowrap;" | (40)820
|}821
822
Multiplicando a ambos lados de [[#eq-36.a|36.a]] por <math display="inline">q(\xi )</math> e integrando respecto a <math display="inline">\xi </math> entre 0 y <math display="inline">L</math> se obtiene:823
824
<span id="eq-41"></span>825
{| class="formulaSCP" style="width: 100%; text-align: left;" 826
|-827
| 828
{| style="text-align: left; margin:auto;width: 100%;" 829
|-830
| style="text-align: center;" | <math>EI \int _0^L \dfrac{\partial ^4 G_{yy}}{\partial x^4}(x,\xi )q(\xi )d\xi =\int _0^L \delta (x-\xi ) q(\xi ) d\xi </math>831
|-832
| style="text-align: center;" | <math> EI\dfrac{\partial ^4}{\partial x^4} \left[\int _0^L G_{yy}(x,\xi )q(\xi )d\xi \right]=q(x) </math>833
|}834
| style="width: 5px;text-align: right;white-space: nowrap;" | (41)835
|}836
837
Donde se empleó que <math display="inline">q(x)=\int _0^L \delta (x-\xi ) q(\xi ) d\xi </math> <math display="inline">(0<\xi{<}L)</math>.838
839
De comparar [[#eq-21|21]] y [[#eq-35.a|35.a]], así como empleando [[#eq-40|40]], se concluye que:840
841
<span id="eq-42"></span>842
{| class="formulaSCP" style="width: 100%; text-align: left;" 843
|-844
| 845
{| style="text-align: left; margin:auto;width: 100%;" 846
|-847
| style="text-align: center;" | <math>v_f(x)=\int _0^L G_{yy}(x,\xi ) q(\xi ) d\xi =\int _0^x G^{II}_{yy}(x,\xi ) q(\xi ) d\xi{+\int}_x^L G^{I}_{yy}(x,\xi ) q(\xi ) d\xi </math>848
|}849
| style="width: 5px;text-align: right;white-space: nowrap;" | (42)850
|}851
852
Al igual que para el caso de la barra, el campo empotrado presentado en [[#eq-42|42]] puede interpretarse a partir del principio de superposición como la respuesta en un punto <math display="inline">x</math> debido a la suma de los aportes de los diferenciales de fuerza <math display="inline">q(\xi )d\xi </math> ubicados a lo largo de toda la viga, para lo cual se emplea [[#eq-40|40]].853
854
Mientras que los campos de fuerzas internas se calculan como:855
856
{| class="formulaSCP" style="width: 100%; text-align: left;" 857
|-858
| 859
{| style="text-align: left; margin:auto;width: 100%;" 860
|-861
| style="text-align: center;" | <math>M_f(x)=EI \dfrac{d^2 v_f}{dx^2}(x) </math>862
|-863
| style="text-align: center;" | <math> =EI \int _0^L \dfrac{\partial ^2 G_{yy}}{\partial x^2}(x,\xi ) q(\xi ) d\xi </math>864
|-865
| style="text-align: center;" | <math> =EI\int _0^x \dfrac{\partial ^2 G^{II}_{yy}}{\partial x^2} (x,\xi ) q(\xi ) d\xi +EI\int _x^L \dfrac{\partial ^2 G^{I}_{yy}}{\partial x^2}(x,\xi ) q(\xi ) d\xi </math>866
|-867
| style="text-align: center;" | <math> =\int _0^x \left[-\psi _6(\xi )-\psi _5(\xi )(L-x) \right]q(\xi ) d\xi +\int _x^L \left[\psi _3(\xi )-\psi _2(\xi )x\right]q(\xi ) d\xi </math>868
|}869
| style="width: 5px;text-align: right;white-space: nowrap;" | (43)870
|}871
872
{| class="formulaSCP" style="width: 100%; text-align: left;" 873
|-874
| 875
{| style="text-align: left; margin:auto;width: 100%;" 876
|-877
| style="text-align: center;" | <math>V_f(x)=-EI \dfrac{d^3 v_f}{dx^3}(x) </math>878
|-879
| style="text-align: center;" | <math> =-EI \int _0^L \dfrac{\partial ^3 G_{yy}}{\partial x^3}(x,\xi ) q(\xi ) d\xi </math>880
|-881
| style="text-align: center;" | <math> =-EI\int _0^x \dfrac{\partial ^3 G^{II}_{yy}}{\partial x^3} (x,\xi ) q(\xi ) d\xi -EI\int _x^L \dfrac{\partial ^3 G^I_{yy}}{\partial x^3}(x,\xi ) q(\xi ) d\xi </math>882
|-883
| style="text-align: center;" | <math> =-\int _0^x \psi _5(\xi ) q(\xi ) d\xi{+\int}_x^L \psi _2(\xi ) q(\xi ) d\xi </math>884
|}885
| style="width: 5px;text-align: right;white-space: nowrap;" | (44)886
|}887
888
Y las reacciones o fuerzas de empotramiento en dirección de los ejes locales <math display="inline">y</math> y <math display="inline">z</math> son:889
890
{| class="formulaSCP" style="width: 100%; text-align: left;" 891
|-892
| 893
{| style="text-align: left; margin:auto;width: 100%;" 894
|-895
| style="text-align: center;" | <math>FY_i^f=-V_f(0)=-\int _0^L \psi _2(\xi ) q(\xi ) d\xi=-\int_0^L \psi _2(x) q(x) dx </math>896
| style="width: 5px;text-align: right;white-space: nowrap;" | (45.a)897
|-898
| style="text-align: center;" | <math> M_i^f =-M_f(0)=-\int _0^L \psi _3(\xi ) q(\xi ) d\xi=-\int_0^L \psi _3(x) q(x) dx </math>899
| style="width: 5px;text-align: right;white-space: nowrap;" | (45.b)900
|-901
| style="text-align: center;" | <math> FY_j^f=V_f(L) =-\int _0^L \psi _5(\xi ) q(\xi ) d\xi=-\int_0^L \psi _5(x) q(x) dx </math>902
| style="width: 5px;text-align: right;white-space: nowrap;" | (45.c)903
|-904
| style="text-align: center;" | <math> M_j^f =M_f(L) =-\int _0^L \psi _6(\xi ) q(\xi ) d\xi=-\int_0^L \psi _6(x) q(x) dx </math>905
| style="width: 5px;text-align: right;white-space: nowrap;" | (45.d)906
|}907
|}908
909
Por su parte para el caso en que se presente un momento puntual, pese a que este se puede expresar como una función <math display="inline">q(x)</math> empleando el límite de dos funciones delta de Dirac, por comodidad a continuación se presenta la función de Green para este caso (ver Figura [[#img-7|7]]):910
911
{| class="formulaSCP" style="width: 100%; text-align: left;" 912
|-913
| 914
{| style="text-align: left; margin:auto;width: 100%;" 915
|-916
| style="text-align: center;" | <math>G_{y\theta }(x,\xi )=\lim _{\Delta \xi \to 0} \dfrac{G_{yy}(x,\xi{+\Delta}\xi )-G_{yy}(x,\xi )}{\Delta \xi }=\dfrac{\partial G_{yy}}{\partial \xi }(x,\xi ) </math>917
|}918
| style="width: 5px;text-align: right;white-space: nowrap;" | (46)919
|}920
921
Con lo cual:922
923
{| class="formulaSCP" style="width: 100%; text-align: left;" 924
|-925
| 926
{| style="text-align: left; margin:auto;width: 100%;" 927
|-928
| style="text-align: center;" | <math>G_{y\theta }(x,\xi )= \begin{cases}\dfrac{L^3}{6EI} \left[-\left(\dfrac{x}{L} \right)^3 \dfrac{d \psi _2}{d \xi }(\xi ) +\dfrac{3}{L} \left(\dfrac{x}{L}\right)^2 \dfrac{d \psi _3}{d\xi }(\xi ) \right] & 0 < x \leq \xi \\[0.3cm] \dfrac{L^3}{6EI} \left[-\left(1-\dfrac{x}{L} \right)^3 \dfrac{d\psi _5}{d\xi }(\xi ) -\dfrac{3}{L} \left(1-\dfrac{x}{L}\right)^2 \dfrac{d\psi _6}{d\xi }(\xi ) \right]\qquad & \xi \leq x < L \end{cases} </math>929
|}930
| style="width: 5px;text-align: right;white-space: nowrap;" | (47)931
|}932
933
Mientras que los campos de fuerzas internas debidas al momento puntual son:934
935
{| class="formulaSCP" style="width: 100%; text-align: left;" 936
|-937
| 938
{| style="text-align: left; margin:auto;width: 100%;" 939
|-940
| style="text-align: center;" | <math>M_f(x,\xi )=EI\dfrac{\partial ^2 G_{y\theta }}{\partial x^2}(x,\xi )= \begin{cases}\dfrac{d \psi _3}{d\xi }(\xi )-\dfrac{d\psi _2}{d\xi }(\xi )x & 0<x < \xi \\[0.3cm] -\dfrac{d \psi _6}{d\xi }(\xi )+\dfrac{d \psi _5}{d\xi }(\xi )(x-L) & \xi < x < L \end{cases} </math>941
|}942
| style="width: 5px;text-align: right;white-space: nowrap;" | (48)943
|}944
945
{| class="formulaSCP" style="width: 100%; text-align: left;" 946
|-947
| 948
{| style="text-align: left; margin:auto;width: 100%;" 949
|-950
| style="text-align: center;" | <math>V_f(x,\xi )=-EI\dfrac{\partial ^3 G_{y\theta }}{\partial x^3}(x,\xi )= \begin{cases}\dfrac{d \psi _2}{d\xi }(\xi ) & 0<x \leq \xi \\[0.3cm] -\dfrac{d \psi _5}{d\xi }(\xi ) \qquad & \xi \leq x < L \end{cases} </math>951
|}952
| style="width: 5px;text-align: right;white-space: nowrap;" | (49)953
|}954
955
Con lo cual las fuerzas de empotramiento para este caso son:956
957
{| class="formulaSCP" style="width: 100%; text-align: left;" 958
|-959
| 960
{| style="text-align: left; margin:auto;width: 100%;" 961
|-962
| style="text-align: center;" | <math>FY_i^f=-\dfrac{\psi _2}{\partial \xi }(\xi ) </math>963
| style="width: 5px;text-align: right;white-space: nowrap;" | (50.a)964
|-965
| style="text-align: center;" | <math> M_i^f=-\dfrac{\psi _3}{\partial \xi }(\xi ) </math>966
| style="width: 5px;text-align: right;white-space: nowrap;" | (50.b)967
|-968
| style="text-align: center;" | <math> FY_j^f=-\dfrac{\psi _5}{\partial \xi }(\xi ) </math>969
| style="width: 5px;text-align: right;white-space: nowrap;" | (50.c)970
|-971
| style="text-align: center;" | <math> M_j^f=-\dfrac{\psi _6}{\partial \xi }(\xi ) </math>972
| style="width: 5px;text-align: right;white-space: nowrap;" | (50.d)973
|}974
|}975
976
<div id='img-7'></div>977
{| class="floating_imageSCP" style="text-align: center; border: 1px solid #BBB; margin: 1em auto; width: 100%;max-width: 100%;"978
|-979
|[[Image:Review_992381919967_3635_Figura11.png|420px|Viga de sección transversal contante doblemente empotrada, sometidas a un momento puntual unitario.]]980
|- style="text-align: center; font-size: 75%;"981
| colspan="1" | '''Figura 7:''' Viga de sección transversal contante doblemente empotrada, sometidas a un momento puntual unitario.982
|}983
Debido a que el problema estudiado es lineal, en caso de que el momento aplicado no sea unitario sinó de valor <math display="inline">M</math>, los resultados anteriores se deberán simplemente multiplicar por <math display="inline">M</math>, y en caso de que sea un momento por unidad de longitud distribuido, este se deberá integrar de forma similar a como se realizó con la carga <math display="inline">q(\xi )</math> pero ahora empleando <math display="inline">G_{y\theta }(x,\xi )</math> en lugar de <math display="inline">G_{yy}(x,\xi )</math>.984
985
===5.3 Superposición del campo homogéneo y el campo empotrado===986
987
Reemplazando [[#eq-30|30]] y [[#eq-42|42]] en [[#eq-28|28]] se obtiene que el campo de desplazamientos puede expresarse en función de los desplazamientos nodales y las fuerzas externas como:988
989
<span id="eq-51"></span>990
{| class="formulaSCP" style="width: 100%; text-align: left;" 991
|-992
| 993
{| style="text-align: left; margin:auto;width: 100%;" 994
|-995
| style="text-align: center;" | <math>v(x)=\psi _2(x) v_i+\psi _3(x) \theta _i+\psi _5(x) v_j+\psi _6(x) \theta _j+\int _0^{x} G_{yy}^{II}(x,\xi ) q(\xi ) d\xi +\int _{x}^{L} G_{yy}^{I}(x,\xi ) q(\xi )d\xi </math>996
|}997
| style="width: 5px;text-align: right;white-space: nowrap;" | (51)998
|}999
1000
Mientras que las fuerzas en los extremos del elemento se expresan en términos de los desplazamiento y rotaciones en esos mismos puntos a partir de la suma de [[#5.1 Solución del P.V.F. homogéneo|5.1]] y [[#5.2 Solución del P.V.F. empotrado|5.2]]:1001
1002
<span id="eq-52"></span>1003
{| class="formulaSCP" style="width: 100%; text-align: left;" 1004
|-1005
| 1006
{| style="text-align: left; margin:auto;width: 100%;" 1007
|-1008
| style="text-align: center;" | <math>\begin{Bmatrix}FY_i \\ M_i \\ FY_j \\ M_j \end{Bmatrix}= \begin{Bmatrix}FY_i^h \\ M_i^h \\ FY_j^h \\ M_j^h \end{Bmatrix}+ \begin{Bmatrix}FY_i^f \\ M_i^f \\ FY_j^f \\ M_j^f \end{Bmatrix}= \begin{bmatrix}\dfrac{12EI}{L^3} & \dfrac{6EI}{L^2} & -\dfrac{12EI}{L^3} & \dfrac{6EI}{L^2} \\ \dfrac{6EI}{L^2} & \dfrac{4EI}{L} & -\dfrac{6EI}{L^2} & \dfrac{2EI}{L} \\ -\dfrac{12EI}{L^3} & -\dfrac{6EI}{L^2} & \dfrac{12EI}{L^3} & -\dfrac{6EI}{L^2} \\ \dfrac{6EI}{L^2} & \dfrac{2EI}{L} & -\dfrac{6EI}{L^2} & \dfrac{4EI}{L} \end{bmatrix} \begin{Bmatrix}v_i \\ \theta _i \\ v_j \\ \theta _j \end{Bmatrix}- \begin{Bmatrix}\int _0^L \psi _2(x) q(x)dx \\ \int _0^L \psi _3(x) q(x)dx \\ \int _0^L \psi _5(x) q(x)dx \\ \int _0^L \psi _6(x) q(x)dx \end{Bmatrix} </math>1009
|}1010
| style="width: 5px;text-align: right;white-space: nowrap;" | (52)1011
|}1012
1013
La cual es la formulación en coordenadas locales del método de rigidez con funciones de Green para un elemento tipo viga y es equivalente a la formulación “exacta” del M.E.F. presentada en el Apéndice [[#12 Formulación exacta del M.E.F. para un elemento tipo viga|12]].1014
1015
==6 Formulación analítica del método de rigidez con funciones de Green para elementos tipo viga sobre fundación flexible==1016
1017
El P.V.F. que gobierna la formulación del método de rigidez en coordenadas locales de un elemento tipo viga sobre fundación flexible de sección transversal constante, material elástico lineal, rigidez del suelo por unidad de longitud contante e igual <math display="inline">k</math> y longitud <math display="inline">L</math> es (ver Figura [[#img-4|4]]):1018
1019
<span id="eq-53.a"></span>1020
<span id="eq-53.b"></span>1021
<span id="eq-53.c"></span>1022
<span id="eq-53.d"></span>1023
<span id="eq-53.e"></span>1024
{| class="formulaSCP" style="width: 100%; text-align: left;" 1025
|-1026
| 1027
{| style="text-align: left; margin:auto;width: 100%;" 1028
|-1029
| style="text-align: center;" | <math>\frac{d^4v}{dx^4}(x)+4\lambda ^4 v(x)=\frac{q(x)}{EI} </math>1030
| style="width: 5px;text-align: right;white-space: nowrap;" | (53.a)1031
|-1032
| style="text-align: center;" | <math> v(0)=v_i </math>1033
| style="width: 5px;text-align: right;white-space: nowrap;" | (53.b)1034
|-1035
| style="text-align: center;" | <math> \dfrac{d v}{dx}(0)=\theta _i </math>1036
| style="width: 5px;text-align: right;white-space: nowrap;" | (53.c)1037
|-1038
| style="text-align: center;" | <math> v(L)=v_j </math>1039
| style="width: 5px;text-align: right;white-space: nowrap;" | (53.d)1040
|-1041
| style="text-align: center;" | <math> \dfrac{d v}{dx}(L)=\theta _j </math>1042
| style="width: 5px;text-align: right;white-space: nowrap;" | (53.e)1043
|}1044
|}1045
1046
Donde se ha empleado como ecuación diferencial una versión equivalente de [[#eq-5|5]], en la cual se define <math display="inline">\lambda =\sqrt=4</math> y <math display="inline">v_i</math>, <math display="inline">\theta _i</math>, <math display="inline">v_j</math> y <math display="inline">\theta _j</math> tienen el mismo significado que para la viga (sección [[#5 Formulación analítica del método de rigidez con funciones de Green para elementos tipo viga|5]]).1047
1048
Para este caso la particularización de [[#eq-7|7]] es:1049
1050
<span id="eq-54"></span>1051
{| class="formulaSCP" style="width: 100%; text-align: left;" 1052
|-1053
| 1054
{| style="text-align: left; margin:auto;width: 100%;" 1055
|-1056
| style="text-align: center;" | <math>v(x)=v_h(x)+v_f(x) </math>1057
|}1058
| style="width: 5px;text-align: right;white-space: nowrap;" | (54)1059
|}1060
1061
Donde <math display="inline">v_h(x)</math> es el campo de desplazamiento homogéneo (sección [[#6.1 Solución del P.V.F. homogéneo|6.1]]), mientras que <math display="inline">v_f(x)</math> es el campo empotrado (sección [[#6.2 Solución del P.V.F. empotrado|6.2]]).1062
1063
===6.1 Solución del P.V.F. homogéneo===1064
1065
Para este caso el P.V.F. gobernante es:1066
1067
<span id="eq-55.a"></span>1068
<span id="eq-55.b"></span>1069
<span id="eq-55.c"></span>1070
<span id="eq-55.d"></span>1071
<span id="eq-55.e"></span>1072
{| class="formulaSCP" style="width: 100%; text-align: left;" 1073
|-1074
| 1075
{| style="text-align: left; margin:auto;width: 100%;" 1076
|-1077
| style="text-align: center;" | <math>\frac{d^4v_h}{dx^4}(x)+4\lambda ^4 v_h(x)=0 </math>1078
| style="width: 5px;text-align: right;white-space: nowrap;" | (55.a)1079
|-1080
| style="text-align: center;" | <math> v_h(0)=v_i </math>1081
| style="width: 5px;text-align: right;white-space: nowrap;" | (55.b)1082
|-1083
| style="text-align: center;" | <math> \dfrac{d v_h}{dx}(0)=\theta _i </math>1084
| style="width: 5px;text-align: right;white-space: nowrap;" | (55.c)1085
|-1086
| style="text-align: center;" | <math> v_h(L)=v_j </math>1087
| style="width: 5px;text-align: right;white-space: nowrap;" | (55.d)1088
|-1089
| style="text-align: center;" | <math> \dfrac{d v_h}{dx}(L)=\theta _j </math>1090
| style="width: 5px;text-align: right;white-space: nowrap;" | (55.e)1091
|}1092
|}1093
1094
Cuya solución se expresa como:1095
1096
<span id="eq-56"></span>1097
{| class="formulaSCP" style="width: 100%; text-align: left;" 1098
|-1099
| 1100
{| style="text-align: left; margin:auto;width: 100%;" 1101
|-1102
| style="text-align: center;" | <math>v_h(x)=\Psi _2(x)v_i+\Psi _3(x)\theta _i+\Psi _5(x)v_j+\Psi _6(x)\theta _j </math>1103
|}1104
| style="width: 5px;text-align: right;white-space: nowrap;" | (56)1105
|}1106
1107
Donde <math display="inline">\Psi _2(x)</math>, <math display="inline">\Psi _3(x)</math>, <math display="inline">\Psi _5(x)</math> y <math display="inline">\Psi _6(x)</math> son las funciones de forma “exactas” de este problema y tienen el siguiente valor:1108
1109
<span id="eq-57"></span>1110
{| class="formulaSCP" style="width: 100%; text-align: left;" 1111
|-1112
| 1113
{| style="text-align: left; margin:auto;width: 100%;" 1114
|-1115
| style="text-align: center;" | <math>\Psi _2(x)=\frac{-(\hbox{s}^2 \cdot \hbox{ch}^2+\hbox{c}^2 \cdot \hbox{sh}^2) \sin (\lambda x)\sinh (\lambda x)+(\hbox{s} \cdot \hbox{c}+\hbox{sh} \cdot \hbox{ch})\sin (\lambda x) \cosh (\lambda x)}{\hbox{sh}^2-\hbox{s}^2} </math>1116
|-1117
| style="text-align: center;" | <math> +\frac{-(\hbox{s} \cdot \hbox{c}+\hbox{sh} \cdot \hbox{ch})\cos (\lambda x)\sinh (\lambda x) +(\hbox{sh}^2-\hbox{s}^2)\cos (\lambda x )\cosh (\lambda x)}{\hbox{sh}^2-\hbox{s}^2} </math>1118
|}1119
| style="width: 5px;text-align: right;white-space: nowrap;" | (57)1120
|}1121
1122
<span id="eq-58"></span>1123
{| class="formulaSCP" style="width: 100%; text-align: left;" 1124
|-1125
| 1126
{| style="text-align: left; margin:auto;width: 100%;" 1127
|-1128
| style="text-align: center;" | <math>\Psi _3(x)=\frac{1}{\lambda }\frac{(\hbox{s} \cdot \hbox{c}-\hbox{sh} \cdot \hbox{ch})\sin (\lambda x)\sinh (\lambda x) +\hbox{sh}^2\sin (\lambda x)\cosh (\lambda x)-\hbox{s}^2\cos (\lambda x)\sinh (\lambda x)}{\hbox{sh}^2-\hbox{s}^2} </math>1129
|}1130
| style="width: 5px;text-align: right;white-space: nowrap;" | (58)1131
|}1132
1133
<span id="eq-59"></span>1134
{| class="formulaSCP" style="width: 100%; text-align: left;" 1135
|-1136
| 1137
{| style="text-align: left; margin:auto;width: 100%;" 1138
|-1139
| style="text-align: center;" | <math>\Psi _5(x)=\frac{2\hbox{s} \cdot \hbox{sh} \cdot \sin (\lambda x)\sinh (\lambda x) -(\hbox{s} \cdot \hbox{ch}+\hbox{c} \cdot \hbox{sh})\sin (\lambda x)\cosh (\lambda x) +(\hbox{s} \cdot \hbox{ch}+\hbox{c} \cdot \hbox{sh})\cos (\lambda x)\sinh (\lambda x)}{\hbox{sh}^2-\hbox{s}^2} </math>1140
|}1141
| style="width: 5px;text-align: right;white-space: nowrap;" | (59)1142
|}1143
1144
<span id="eq-60"></span>1145
{| class="formulaSCP" style="width: 100%; text-align: left;" 1146
|-1147
| 1148
{| style="text-align: left; margin:auto;width: 100%;" 1149
|-1150
| style="text-align: center;" | <math>\Psi _6(x)=\frac{1}{\lambda }\frac{(\hbox{c} \cdot \hbox{sh}-\hbox{s} \cdot \hbox{ch})\sin (\lambda x)\sinh (\lambda x) +\hbox{s} \cdot \hbox{sh} \cdot \sin (\lambda x)\cosh (\lambda x) -\hbox{s} \cdot \hbox{sh} \cdot \cos (\lambda x)\sinh (\lambda x)}{\hbox{sh}^2-\hbox{s}^2} </math>1151
|}1152
| style="width: 5px;text-align: right;white-space: nowrap;" | (60)1153
|}1154
1155
Y para simplificar la escritura se ha definido: <math display="inline">\hbox{s}=\sin (\lambda L)</math>, <math display="inline">\hbox{c}=\cos (\lambda L)</math> , <math display="inline">\hbox{sh}=\sinh (\lambda L)</math> y <math display="inline">\hbox{ch}=\cosh (\lambda L)</math>.1156
1157
Al igual que para el caso de la viga, las funciones de forma para la viga sobre fundación flexible también poseen las siguientes propiedades de simetría:1158
1159
{| class="formulaSCP" style="width: 100%; text-align: left;" 1160
|-1161
| 1162
{| style="text-align: left; margin:auto;width: 100%;" 1163
|-1164
| style="text-align: center;" | <math>\Psi _2(x)= \Psi _5(L-x) </math>1165
| style="width: 5px;text-align: right;white-space: nowrap;" | (61.a)1166
|-1167
| style="text-align: center;" | <math> \Psi _5(x)= \Psi _2(L-x) </math>1168
| style="width: 5px;text-align: right;white-space: nowrap;" | (61.b)1169
|-1170
| style="text-align: center;" | <math> \Psi _3(x)=-\Psi _6(L-x) </math>1171
| style="width: 5px;text-align: right;white-space: nowrap;" | (61.c)1172
|-1173
| style="text-align: center;" | <math> \Psi _6(x)=-\Psi _3(L-x) </math>1174
| style="width: 5px;text-align: right;white-space: nowrap;" | (61.d)1175
|}1176
|}1177
1178
A diferencia de lo que ocurre para el caso la barra y la viga, las funciones de forma “exactas” presentadas en [[#eq-57|57]] a [[#eq-60|60]] no son aquellas que suelen emplearse en la formulación del M.E.F. para vigas sobre fundación flexible, en el cual se emplean las mismas funciones de forma que en este artículo se definieron para la viga (ecuaciones [[#5.1 Solución del P.V.F. homogéneo|5.1]]). Como se presentará en el apéndice [[#13 Formulación exacta del M.E.F. para un elemento tipo viga sobre fundación flexible|13]], si en la formulación del M.E.F. para una viga sobre fundación flexible se emplean las funciones de forma [[#eq-57|57]] a [[#eq-60|60]], se obtiene una formulación matricial “exacta” y una matriz de rigidez y fuerzas de empotramientos iguales a los obtenidos en el método presentado en este artículo (método de rigidez con funciones de Green), siempre y cuando se sumen tanto el campo de desplazamiento homogéneo como el empotrado.1179
1180
===6.2 Solución del P.V.F. empotrado===1181
1182
Para este caso el P.V.F. que define al problema empotrado es (ver Figura [[#img-8a|8a]]):1183
1184
<span id="eq-62.a"></span>1185
<span id="eq-62.b"></span>1186
<span id="eq-62.c"></span>1187
<span id="eq-62.d"></span>1188
<span id="eq-62.e"></span>1189
{| class="formulaSCP" style="width: 100%; text-align: left;" 1190
|-1191
| 1192
{| style="text-align: left; margin:auto;width: 100%;" 1193
|-1194
| style="text-align: center;" | <math>\frac{d^4v_f}{dx^4}(x)+4\lambda ^4 v_f(x)=\dfrac{q(x)}{EI} </math>1195
| style="width: 5px;text-align: right;white-space: nowrap;" | (62.a)1196
|-1197
| style="text-align: center;" | <math> v_f(0)=0 </math>1198
| style="width: 5px;text-align: right;white-space: nowrap;" | (62.b)1199
|-1200
| style="text-align: center;" | <math> \dfrac{d v_f}{dx}(0)=0 </math>1201
| style="width: 5px;text-align: right;white-space: nowrap;" | (62.c)1202
|-1203
| style="text-align: center;" | <math> v_f(L)=0 </math>1204
| style="width: 5px;text-align: right;white-space: nowrap;" | (62.d)1205
|-1206
| style="text-align: center;" | <math> \dfrac{d v_f}{dx}(L)=0 </math>1207
| style="width: 5px;text-align: right;white-space: nowrap;" | (62.e)1208
|}1209
|}1210
1211
<div id='img-8a'></div>1212
<div id='img-8b'></div>1213
<div id='img-8'></div>1214
{| class="floating_imageSCP" style="text-align: center; border: 1px solid #BBB; margin: 1em auto; width: 100%;max-width: 100%;"1215
|-1216
|[[Image:Review_992381919967_6853_Figura07a.png|360px|Carga distribuida arbitraria.]]1217
|[[Image:Review_992381919967_8284_Figura07c.png|360px|Fuerza puntual unitaria.]]1218
|- style="text-align: center; font-size: 75%;"1219
| (a) Carga distribuida arbitraria.1220
| (b) Fuerza puntual unitaria.1221
|- style="text-align: center; font-size: 75%;"1222
| colspan="2" | '''Figura 8:''' Vigas sobre fundación flexible de sección transversal contante doblemente empotradas, sometidas a una carga distribuida arbitraria y una carga puntual unitaria.1223
|}1224
Mientras que la función de Green se define por medio del siguiente P.V.F (ver Figura [[#img-8b|8b]]):1225
1226
<span id="eq-63.a"></span>1227
{| class="formulaSCP" style="width: 100%; text-align: left;" 1228
|-1229
| 1230
{| style="text-align: left; margin:auto;width: 100%;" 1231
|-1232
| style="text-align: center;" | <math>\frac{\partial ^4 \bar{G}_{yy}}{\partial x^4}(x)+4\lambda ^4 \bar{G}_{yy}(x)=\dfrac{\delta (x-\xi )}{EI} </math>1233
| style="width: 5px;text-align: right;white-space: nowrap;" | (63.a)1234
|-1235
| style="text-align: center;" | <math> \bar{G}_{yy}(0,\xi )=0 </math>1236
| style="width: 5px;text-align: right;white-space: nowrap;" | (63.b)1237
|-1238
| style="text-align: center;" | <math> \dfrac{\partial \bar{G}_{yy}}{\partial x}(0,\xi )=0 </math>1239
| style="width: 5px;text-align: right;white-space: nowrap;" | (63.c)1240
|-1241
| style="text-align: center;" | <math> \bar{G}_{yy}(L,\xi )=0 </math>1242
| style="width: 5px;text-align: right;white-space: nowrap;" | (63.d)1243
|-1244
| style="text-align: center;" | <math> \dfrac{\partial \bar{G}_{yy}}{\partial x}(L,\xi )=0 </math>1245
| style="width: 5px;text-align: right;white-space: nowrap;" | (63.e)1246
|-1247
| style="text-align: center;" | <math> \bar{G}_{yy}(\xi ^-,\xi )-\bar{G}_{yy}(\xi ^+,\xi )=0 </math>1248
| style="width: 5px;text-align: right;white-space: nowrap;" | (63.f)1249
|-1250
| style="text-align: center;" | <math> \dfrac{\partial \bar{G}_{yy}}{\partial x}(\xi ^-,\xi )-\dfrac{\partial \bar{G}_{yy}}{\partial x}(\xi ^+,\xi )=0 </math>1251
| style="width: 5px;text-align: right;white-space: nowrap;" | (63.g)1252
|-1253
| style="text-align: center;" | <math> EI\dfrac{\partial ^3 \bar{G}_{yy}}{\partial x^3}(\xi ^-,\xi )-EI\dfrac{\partial ^3 \bar{G}_{yy}}{\partial x^3}(\xi ^+,\xi )=-1 </math>1254
| style="width: 5px;text-align: right;white-space: nowrap;" | (63.h)1255
|-1256
| style="text-align: center;" | <math> -EI\dfrac{\partial ^2 \bar{G}_{yy}}{\partial x^2}(\xi ^-,\xi )+EI\dfrac{\partial ^2 \bar{G}_{yy}}{\partial x^2}(\xi ^+,\xi )=0 </math>1257
| style="width: 5px;text-align: right;white-space: nowrap;" | (63.i)1258
|}1259
|}1260
1261
Donde se ha usado como convención emplear una linea horizontal encima de la letra <math display="inline">G</math> para diferenciar esta función de Green de aquella de las vigas.1262
1263
La solución de [[#6.2 Solución del P.V.F. empotrado|6.2]] se expresa en forma compacta empleando las funciones de forma [[#eq-57|57]] a [[#eq-60|60]], como:1264
1265
<span id="eq-64"></span>1266
{| class="formulaSCP" style="width: 100%; text-align: left;" 1267
|-1268
| 1269
{| style="text-align: left; margin:auto;width: 100%;" 1270
|-1271
| style="text-align: center;" | <math>\bar{G}_{yy}(x,\xi )= \begin{cases}\bar{G}_{yy}^I(x,\xi ) & 0 < x \leq \xi \\ \bar{G}_{yy}^{II}(x,\xi ) \qquad & \xi \leq x < L \end{cases} </math>1272
|}1273
| style="width: 5px;text-align: right;white-space: nowrap;" | (64)1274
|}1275
1276
Donde:1277
1278
<span id="eq-65"></span>1279
{| class="formulaSCP" style="width: 100%; text-align: left;" 1280
|-1281
| 1282
{| style="text-align: left; margin:auto;width: 100%;" 1283
|-1284
| style="text-align: center;" | <math>\bar{G}_{yy}^I(x,\xi )=\dfrac{1}{EI} \left[ -\dfrac{\sin (\lambda x)\cosh (\lambda x)-\sinh (\lambda x)\cos (\lambda x)}{4\lambda ^3} \Psi _2(\xi ) +\dfrac{\sin (\lambda x)\sinh (\lambda x)}{2\lambda ^2}\Psi _3(\xi ) \right] </math>1285
|}1286
| style="width: 5px;text-align: right;white-space: nowrap;" | (65)1287
|}1288
1289
<span id="eq-66"></span>1290
{| class="formulaSCP" style="width: 100%; text-align: left;" 1291
|-1292
| 1293
{| style="text-align: left; margin:auto;width: 100%;" 1294
|-1295
| style="text-align: center;" | <math> \bar{G}_{yy}^{II}(x,\xi)=\dfrac{1}{EI} \left\{ 1296
-\dfrac{\sin[\lambda (L-x)]\cosh[\lambda (L-x)]-\sinh[\lambda (L-x)]\cos[\lambda (L-x)]}{4\lambda^3} \Psi_5(\xi) 1297
-\dfrac{\sin[\lambda (L-x)]\sinh[\lambda (L-x)]}{2\lambda^2}\Psi_6(\xi) \right\} </math>1298
|}1299
| style="width: 5px;text-align: right;white-space: nowrap;" | (66)1300
|}1301
1302
La cual se ha podido expresar de forma tan compacta empleando las propiedades se simetría de las funciones de forma presentadas en [[#6.1 Solución del P.V.F. homogéneo|6.1]] y las siguientes propiedades de simetría de la misma función de Green:1303
1304
{| class="formulaSCP" style="width: 100%; text-align: left;" 1305
|-1306
| 1307
{| style="text-align: left; margin:auto;width: 100%;" 1308
|-1309
| style="text-align: center;" | <math>\bar{G}_{yy}^I(x,\xi )=\bar{G}_{yy}^{II}(\xi ,x)=\bar{G}_{yy}^{II}(L-x,L-\xi ) </math>1310
| style="width: 5px;text-align: right;white-space: nowrap;" | (67.a)1311
|-1312
| style="text-align: center;" | <math> \bar{G}_{yy}^{II}(x,\xi )=\bar{G}_{yy}^I(\xi ,x)=\bar{G}_{yy}^I(L-x,L-\xi ) </math>1313
| style="width: 5px;text-align: right;white-space: nowrap;" | (67.b)1314
|}1315
|}1316
1317
Multiplicando a ambos lados de [[#eq-63.a|63.a]] por <math display="inline">q(\xi )</math> e integrando respecto a <math display="inline">\xi </math> entre 0 y <math display="inline">L</math> se obtiene:1318
1319
<span id="eq-68"></span>1320
{| class="formulaSCP" style="width: 100%; text-align: left;" 1321
|-1322
| 1323
{| style="text-align: left; margin:auto;width: 100%;" 1324
|-1325
| style="text-align: center;" | <math>\int _0^L \dfrac{\partial ^4 \bar{G}_{yy}}{\partial x^4}(x,\xi )q(\xi )d\xi{+4}\lambda ^4 \int _0^L \bar{G}_{yy}(x,\xi )q(\xi )d\xi = \dfrac{1}{EI}\int _0^L \delta (x-\xi ) q(\xi ) d\xi </math>1326
|-1327
| style="text-align: center;" | <math> \dfrac{\partial ^4}{\partial x^4} \left[\int _0^L \bar{G}_{yy}(x,\xi )q(\xi )d\xi \right] +4\lambda ^4\int _0^L \bar{G}_{yy}(x,\xi )q(\xi )d\xi =\dfrac{q(x)}{EI} </math>1328
|}1329
| style="width: 5px;text-align: right;white-space: nowrap;" | (68)1330
|}1331
1332
Donde se empleó que <math display="inline">q(x)=\int _0^L \delta (x-\xi ) q(\xi ) d\xi </math>.1333
1334
De comparar [[#eq-21|21]] y [[#eq-62.a|62.a]] se concluye que:1335
1336
<span id="eq-69"></span>1337
{| class="formulaSCP" style="width: 100%; text-align: left;" 1338
|-1339
| 1340
{| style="text-align: left; margin:auto;width: 100%;" 1341
|-1342
| style="text-align: center;" | <math>v_f(x)=\int _0^L \bar{G}_{yy}(x,\xi ) q(\xi ) d\xi =\int _0^x \bar{G}^{II}_{yy}(x,\xi ) q(\xi ) d\xi{+\int}_x^L \bar{G}^I_{yy}(x,\xi ) q(\xi ) d\xi </math>1343
|}1344
| style="width: 5px;text-align: right;white-space: nowrap;" | (69)1345
|}1346
1347
A partir de [[#eq-69|69]] y [[#2.2 Elemento tipo viga (viga de Euler)|2.2]], se obtiene que las fuerzas internas se pueden calcular como:1348
1349
<span id="eq-70"></span>1350
{| class="formulaSCP" style="width: 100%; text-align: left;" 1351
|-1352
| 1353
{| style="text-align: left; margin:auto;width: 100%;" 1354
|-1355
| style="text-align: center;" | <math>M_f(x)=\int_0^x \left\{ -\dfrac{\sin[\lambda (L-x)]\cosh[\lambda (L-x)]+\cos[\lambda (L-x)]\sinh[\lambda (L-x)]}{2\lambda} \Psi_5(\xi)1356
-\cos[\lambda (L-x)]\cosh[\lambda (L-x)]\Psi_6(\xi) \right\} q(\xi) d\xi </math>1357
|-1358
| style="text-align: center;" | <math> +\int_x^L \left\{ -\dfrac{\sin(\lambda x)\cosh(\lambda x)+\cos(\lambda x)\sinh(\lambda x)}{2\lambda} \Psi_2(\xi)+\cos(\lambda x)\cosh(\lambda x)\Psi_3(\xi) \right\} q(\xi)d\xi </math>1359
|}1360
| style="width: 5px;text-align: right;white-space: nowrap;" | (70)1361
|}1362
1363
<span id="eq-71"></span>1364
{| class="formulaSCP" style="width: 100%; text-align: left;" 1365
|-1366
| 1367
{| style="text-align: left; margin:auto;width: 100%;" 1368
|-1369
| style="text-align: center;" | <math>V_f(x)=\int_0^x \left\{ -\cos[\lambda (L-x)]\cosh[\lambda (L-x)] \Psi_5(\xi)1370
+\lambda \left\{ \sin[\lambda (L-x)]\cosh[\lambda (L-x)]-\cos[\lambda (L-x)]\sinh[\lambda (L-x)]\right\} \Psi_6(\xi) \right\} q(\xi) d\xi </math>1371
|-1372
| style="text-align: center;" | <math> +\int_x^L \left\{ \cos(\lambda x)\cosh(\lambda x) \Psi_2(\xi)+\lambda \left[ \sin(\lambda x)\cosh(\lambda x)-\cos(\lambda x)\sinh(\lambda x)\right] \Psi_3(\xi) \right\}1373
q(\xi)d\xi </math>1374
|}1375
| style="width: 5px;text-align: right;white-space: nowrap;" | (71)1376
|}1377
1378
Y las reacciones o fuerzas de empotramiento en dirección de los ejes locales se calculan como:1379
1380
{| class="formulaSCP" style="width: 100%; text-align: left;" 1381
|-1382
| 1383
{| style="text-align: left; margin:auto;width: 100%;" 1384
|-1385
| style="text-align: center;" | <math>FY_i^f=-V_f(0)=-\int _0^L \Psi _2(\xi ) q(\xi ) d\xi=-\int_0^L \Psi _2(x) q(x) dx </math>1386
| style="width: 5px;text-align: right;white-space: nowrap;" | (72.a)1387
|-1388
| style="text-align: center;" | <math> M_i^f =-M_f(0)=-\int _0^L \Psi _3(\xi ) q(\xi ) d\xi=-\int_0^L \Psi _3(x) q(x) dx </math>1389
| style="width: 5px;text-align: right;white-space: nowrap;" | (72.b)1390
|-1391
| style="text-align: center;" | <math> FY_j^f=V_f(L) =-\int _0^L \Psi _5(\xi ) q(\xi ) d\xi=-\int_0^L \Psi _5(x) q(x) dx </math>1392
| style="width: 5px;text-align: right;white-space: nowrap;" | (72.c)1393
|-1394
| style="text-align: center;" | <math> M_j^f =M_f(L) =-\int _0^L \Psi _6(\xi ) q(\xi ) d\xi=-\int_0^L \Psi _6(x) q(x) dx </math>1395
| style="width: 5px;text-align: right;white-space: nowrap;" | (72.d)1396
|}1397
|}1398
1399
De forma similar a como se realizó para el caso de la viga, la función de Green debida a un momento puntual unitario se puede obtener directamente de aquella debida a una fuerza puntual mediante la derivada de la misma respecto a <math display="inline">\xi </math> (ver Figura [[#img-9|9]]), es decir:1400
1401
{| class="formulaSCP" style="width: 100%; text-align: left;" 1402
|-1403
| 1404
{| style="text-align: left; margin:auto;width: 100%;" 1405
|-1406
| style="text-align: center;" | <math>\bar{G}_{y\theta }(x,\xi )= \begin{cases}\bar{G}_{y\theta }^I(x,\xi ) & 0 \leq x \leq \xi \\ \bar{G}_{y\theta }^{II}(x,\xi ) \qquad & \xi \leq x \leq L \end{cases} </math>1407
|}1408
| style="width: 5px;text-align: right;white-space: nowrap;" | (73)1409
|}1410
1411
Donde:1412
1413
{| class="formulaSCP" style="width: 100%; text-align: left;" 1414
|-1415
| 1416
{| style="text-align: left; margin:auto;width: 100%;" 1417
|-1418
| style="text-align: center;" | <math>\bar{G}_{y\theta }^I(x,\xi )=\dfrac{1}{EI} \left[ -\dfrac{\sin (\lambda x)\cosh (\lambda x)-\sinh (\lambda x)\cos (\lambda x)}{4\lambda ^3} \dfrac{d \Psi _2}{d\xi }(\xi ) +\dfrac{\sin (\lambda x)\sinh (\lambda x)}{2\lambda ^2}\dfrac{d \Psi _3}{d\xi }(\xi ) \right] </math>1419
|}1420
| style="width: 5px;text-align: right;white-space: nowrap;" | (74)1421
|}1422
1423
<span id="eq-75"></span>1424
{| class="formulaSCP" style="width: 100%; text-align: left;" 1425
|-1426
| 1427
{| style="text-align: left; margin:auto;width: 100%;" 1428
|-1429
| style="text-align: center;" | <math> \bar{G}_{y\theta}^{II}(x,\xi)=1430
-\dfrac{\sin[\lambda (L-x)]\cosh[\lambda (L-x)]-\sinh[\lambda (L-x)]\cos[\lambda (L-x)]}{4\lambda^3EI} \dfrac{d \Psi_5}{d\xi}(\xi) </math>1431
|-1432
| style="text-align: center;" | <math> -\dfrac{\sin[\lambda (L-x)]\sinh[\lambda (L-x)]}{2\lambda^2EI}\dfrac{d\Psi_6}{d\xi}(\xi) </math>1433
|}1434
| style="width: 5px;text-align: right;white-space: nowrap;" | (75)1435
|}1436
1437
Mientras que el campo de momento flector es:1438
1439
<span id="eq-76"></span>1440
{| class="formulaSCP" style="width: 100%; text-align: left;" 1441
|-1442
| 1443
{| style="text-align: left; margin:auto;width: 100%;" 1444
|-1445
| style="text-align: center;" | <math>M_f(x,\xi )=EI\dfrac{\partial ^2 G_{y\theta }}{\partial x^2}(x,\xi )= \begin{cases}M_f^I(x,\xi ) & 0 < x < \xi \\ M_f^{II}(x,\xi ) & \xi < x < L \end{cases} </math>1446
|}1447
| style="width: 5px;text-align: right;white-space: nowrap;" | (76)1448
|}1449
1450
Donde:1451
1452
{| class="formulaSCP" style="width: 100%; text-align: left;" 1453
|-1454
| 1455
{| style="text-align: left; margin:auto;width: 100%;" 1456
|-1457
| style="text-align: center;" | <math>M_f^I(x,\xi )=-\dfrac{\sin (\lambda x)\cosh (\lambda x)+\cos (\lambda x)\sinh (\lambda x)}{2\lambda } \dfrac{\partial \Psi _2}{\partial \xi }(\xi ) +\cos (\lambda x)\cosh (\lambda x)\dfrac{\partial \Psi _3}{\partial \xi }(\xi ) </math>1458
|}1459
| style="width: 5px;text-align: right;white-space: nowrap;" | (77)1460
|}1461
1462
<span id="eq-78"></span>1463
{| class="formulaSCP" style="width: 100%; text-align: left;" 1464
|-1465
| 1466
{| style="text-align: left; margin:auto;width: 100%;" 1467
|-1468
| style="text-align: center;" | <math>M_f^{II}(x,\xi)=-\dfrac{\sin[\lambda (L-x)]\cosh[\lambda (L-x)]+\cos[\lambda (L-x)]\sinh[\lambda (L-x)]}{2\lambda} \dfrac{\partial \Psi_5}{\partial \xi}(\xi) </math>1469
|-1470
| style="text-align: center;" | <math> -\cos[\lambda (L-x)]\cosh[\lambda (L-x)]\dfrac{\partial \Psi_6}{\partial \xi}(\xi) </math>1471
|}1472
| style="width: 5px;text-align: right;white-space: nowrap;" | (78)1473
|}1474
1475
Y el campo de fuerza cortante es:1476
1477
<span id="eq-79"></span>1478
{| class="formulaSCP" style="width: 100%; text-align: left;" 1479
|-1480
| 1481
{| style="text-align: left; margin:auto;width: 100%;" 1482
|-1483
| style="text-align: center;" | <math>V_f(x,\xi )=-EI\dfrac{\partial ^3 G_{y\theta }}{\partial x^3}(x,\xi )= \begin{cases}V_f^I(x,\xi ) & 0 < x \leq \xi \\ V_f^{II}(x,\xi ) & \xi \leq x < L \end{cases} </math>1484
|}1485
| style="width: 5px;text-align: right;white-space: nowrap;" | (79)1486
|}1487
1488
Donde:1489
1490
{| class="formulaSCP" style="width: 100%; text-align: left;" 1491
|-1492
| 1493
{| style="text-align: left; margin:auto;width: 100%;" 1494
|-1495
| style="text-align: center;" | <math>V_f^I(x,\xi )=\cos (\lambda x)\cosh (\lambda x) \dfrac{\partial \Psi _2}{\partial \xi }(\xi ) +\lambda \left[\sin (\lambda x)\cosh (\lambda x)-\cos (\lambda x)\sinh (\lambda x))\right]\dfrac{\partial \Psi _3}{\partial \xi }(\xi ) </math>1496
|}1497
| style="width: 5px;text-align: right;white-space: nowrap;" | (80)1498
|}1499
1500
<span id="eq-81"></span>1501
{| class="formulaSCP" style="width: 100%; text-align: left;" 1502
|-1503
| 1504
{| style="text-align: left; margin:auto;width: 100%;" 1505
|-1506
| style="text-align: center;" | <math>M_f^{II}(x,\xi)=-\dfrac{\sin[\lambda (L-x)]\cosh[\lambda (L-x)]+\cos[\lambda (L-x)]\sinh[\lambda (L-x)]}{2\lambda} \dfrac{\partial \Psi_5}{\partial \xi}(\xi) </math>1507
|-1508
| style="text-align: center;" | <math> -\cos[\lambda (L-x)]\cosh[\lambda (L-x)]\dfrac{\partial \Psi_6}{\partial \xi}(\xi) </math>1509
|}1510
| style="width: 5px;text-align: right;white-space: nowrap;" | (81)1511
|}1512
1513
Con lo cual, a partir de [[#eq-76|76]] y [[#eq-79|79]] se tiene que las fuerzas de empotramiento son:1514
1515
{| class="formulaSCP" style="width: 100%; text-align: left;" 1516
|-1517
| 1518
{| style="text-align: left; margin:auto;width: 100%;" 1519
|-1520
| style="text-align: center;" | <math>FY_i^f=-V_f(0)=-\dfrac{\Psi _2}{\partial \xi }(\xi ) </math>1521
| style="width: 5px;text-align: right;white-space: nowrap;" | (82.a)1522
|-1523
| style="text-align: center;" | <math> M_i^f=-M_f(0)=-\dfrac{\Psi _3}{\partial \xi }(\xi ) </math>1524
| style="width: 5px;text-align: right;white-space: nowrap;" | (82.b)1525
|-1526
| style="text-align: center;" | <math> FY_j^f=V_f(L)=-\dfrac{\Psi _5}{\partial \xi }(\xi ) </math>1527
| style="width: 5px;text-align: right;white-space: nowrap;" | (82.c)1528
|-1529
| style="text-align: center;" | <math> M_j^f=M_f(L)=-\dfrac{\Psi _6}{\partial \xi }(\xi ) </math>1530
| style="width: 5px;text-align: right;white-space: nowrap;" | (82.d)1531
|}1532
|}1533
1534
Debido a que el problema estudiado es lineal, en caso de que el momento aplicado no sea unitario sino de valor <math display="inline">M</math>, los resultados anteriores se deberán simplemente multiplicar por <math display="inline">M</math>. Mientras que si se trata de un momento distruido, debe realizarse la integración del campo debido al momento puntual multiplicado por la función que define al momento distribuido. <div id='img-9'></div>1535
{| class="floating_imageSCP" style="text-align: center; border: 1px solid #BBB; margin: 1em auto; width: 100%;max-width: 100%;"1536
|-1537
|[[Image:Review_992381919967_1318_Figura12.png|420px|Viga sobre funcdación flexible doblemente empotrada y de de sección transversal contante, sometidas a un momento puntual unitario.]]1538
|- style="text-align: center; font-size: 75%;"1539
| colspan="1" | '''Figura 9:''' Viga sobre funcdación flexible doblemente empotrada y de de sección transversal contante, sometidas a un momento puntual unitario.1540
|}1541
1542
===6.3 Superposición del campo homogéneo y el campo empotrado===1543
1544
Reemplazando [[#eq-56|56]] y [[#eq-69|69]] en [[#eq-54|54]], el campo de desplazamiento total se expresa en función de los desplazamientos de los extremos del elemento y de la carga externa como:1545
1546
<span id="eq-83"></span>1547
{| class="formulaSCP" style="width: 100%; text-align: left;" 1548
|-1549
| 1550
{| style="text-align: left; margin:auto;width: 100%;" 1551
|-1552
| style="text-align: center;" | <math>v(x)=\Psi _2(x) v_i+\Psi _3(x) \theta _i+\Psi _5(x) v_j+\Psi _6(x) \theta _j+\int _0^{x} \bar{G}_{yy}^{II}(x,\xi ) q(\xi ) d\xi +\int _{x}^{L} \bar{G}_{yy}^{I}(x,\xi ) q(\xi )d\xi </math>1553
|}1554
| style="width: 5px;text-align: right;white-space: nowrap;" | (83)1555
|}1556
1557
Mientras que las fuerzas en los extremos del elemento se expresan en función de los desplazamientos en estos mismos puntos y de las cargas externas como:1558
1559
<span id="eq-84"></span>1560
{| class="formulaSCP" style="width: 100%; text-align: left;" 1561
|-1562
| 1563
{| style="text-align: left; margin:auto;width: 100%;" 1564
|-1565
| style="text-align: center;" | <math>\begin{Bmatrix}FY_i \\ M_i \\ FY_j \\ M_j \end{Bmatrix}= \begin{Bmatrix}FY_i^h \\ M_i^h \\ FY_j^h \\ M_j^h \end{Bmatrix}+ \begin{Bmatrix}FY_i^f \\ M_i^f \\ FY_j^f \\ M_j^f \end{Bmatrix}= \begin{bmatrix}k_{22} & k_{23} & k_{25} & k_{26} \\ k_{32} & k_{33} & k_{35} & k_{36} \\ k_{52} & k_{53} & k_{55} & k_{56} \\ k_{62} & k_{63} & k_{65} & k_{66} \end{bmatrix} \begin{Bmatrix}v_i \\ \theta _i \\ v_j \\ \theta _j \end{Bmatrix}- \begin{Bmatrix}\int _0^L \Psi _2(x) q(x)dx \\ \int _0^L \Psi _3(x) q(x)dx \\ \int _0^L \Psi _5(x) q(x)dx \\ \int _0^L \Psi _6(x) q(x)dx \end{Bmatrix} </math>1566
|}1567
| style="width: 5px;text-align: right;white-space: nowrap;" | (84)1568
|}1569
1570
Donde los términos de la matriz de rigidez son ([Eisemberger1985ExactStiffnessMatrix]):1571
1572
{| class="formulaSCP" style="width: 100%; text-align: left;" 1573
|-1574
| 1575
{| style="text-align: left; margin:auto;width: 100%;" 1576
|-1577
| style="text-align: center;" | <math>k_{22}=k_{55}=4EI \lambda ^3 \frac{\hbox{s} \cdot \hbox{c}+\hbox{sh} \cdot \hbox{ch}}{\hbox{sh}^2-\hbox{s}^2} </math>1578
| style="width: 5px;text-align: right;white-space: nowrap;" | (85.a)1579
|-1580
| style="text-align: center;" | <math> k_{23}=k_{32}=-k_{56}=-k_{65}=2EI \lambda ^2 \frac{\hbox{s}^2+\hbox{sh}^2}{\hbox{sh}^2-\hbox{s}^2} </math>1581
| style="width: 5px;text-align: right;white-space: nowrap;" | (85.b)1582
|-1583
| style="text-align: center;" | <math> k_{25}=k_{52}=-4EI \lambda ^3 \frac{\hbox{s} \cdot \hbox{ch}+\hbox{c} \cdot \hbox{sh}}{\hbox{sh}^2-\hbox{s}^2}</math>1584
| style="width: 5px;text-align: right;white-space: nowrap;" | (85.c)1585
|-1586
| style="text-align: center;" | <math> k_{26}=k_{62}=-k_{35}=-k_{53}=4EI \lambda ^2 \frac{\hbox{s} \cdot \hbox{sh}}{\hbox{sh}^2-\hbox{s}^2} </math>1587
| style="width: 5px;text-align: right;white-space: nowrap;" | (85.d)1588
|-1589
| style="text-align: center;" | <math> k_{33}=k_{66}=2 EI \lambda \frac{\hbox{sh} \cdot \hbox{ch}-\hbox{s} \cdot \hbox{c}}{\hbox{sh}^2-\hbox{s}^2}</math>1590
| style="width: 5px;text-align: right;white-space: nowrap;" | (85.e)1591
|-1592
| style="text-align: center;" | <math> k_{36}=k_{63}=2EI \lambda \frac{\hbox{s} \cdot \hbox{ch}-\hbox{c} \cdot \hbox{sh}}{\hbox{sh}^2-\hbox{s}^2} </math>1593
| style="width: 5px;text-align: right;white-space: nowrap;" | (85.f)1594
|}1595
|}1596
1597
Es importante resaltar que [[#eq-84|84]] corresponde a la formulación analítica del método de rigidez en coordenadas locales para una viga sobre fundación flexible y es equivalente a aquella formulación “exacta” del M.F.F. que se presenta en el Apéndice [[#13 Formulación exacta del M.E.F. para un elemento tipo viga sobre fundación flexible|13]].1598
1599
==7 Formulación analítica del método de rigidez con funciones de Green para elementos tipo pórtico plano==1600
1601
Como se mencionó en la sección [[#2.4 Elemento tipo pórtico plano|2.4]] el elemento tipo pórtico plano es simplemente la superposición de un elemento tipo barra y uno tipo viga, con lo cual a partir de lo presentado en [[#eq-26|26]] y [[#eq-52|52]] se tiene que la formulación del método de rigidez con fucniones de Green en coordenadas locales para un elemento tipo pórtico plano es:1602
1603
<span id="eq-86"></span>1604
{| class="formulaSCP" style="width: 100%; text-align: left;" 1605
|-1606
| 1607
{| style="text-align: left; margin:auto;width: 100%;" 1608
|-1609
| style="text-align: center;" | <math>\begin{Bmatrix}FX_i \\ FY_i \\ M_i \\ FX_j \\ FY_j \\ M_j \end{Bmatrix}= \begin{bmatrix}\dfrac{AE}{L} & 0 & 0 & -\dfrac{AE}{L} & 0 & 0 \\ 0 & \dfrac{12EI}{L^3} & \dfrac{6EI}{L^2} & 0 &-\dfrac{12EI}{L^3} & \dfrac{6EI}{L^2} \\ 0 & \dfrac{6EI}{L^2} & \dfrac{4EI}{L} & 0 & -\dfrac{6EI}{L^2} & \dfrac{2EI}{L} \\ -\dfrac{AE}{L} & 0 & 0 & \dfrac{AE}{L} & 0 & 0 \\ 0 & -\dfrac{12EI}{L^3} & -\dfrac{6EI}{L^2} & 0 & \dfrac{12EI}{L^3} & -\dfrac{6EI}{L^2} \\ 0 & \dfrac{6EI}{L^2} & \dfrac{2EI}{L} & 0 & -\dfrac{6EI}{L^2} & \dfrac{4EI}{L} \end{bmatrix} \begin{Bmatrix}u_i \\ v_i \\ \theta _i \\ u_j \\ v_j \\ \theta _j \end{Bmatrix}- \begin{Bmatrix}\int _0^L \psi _1(x) p(x)dx \\ \int _0^L \psi _2(x) q(x)dx \\ \int _0^L \psi _3(x) q(x)dx \\ \int _0^L \psi _4(x) p(x)dx \\ \int _0^L \psi _5(x) q(x)dx \\ \int _0^L \psi _6(x) q(x)dx \end{Bmatrix} </math>1610
|}1611
| style="width: 5px;text-align: right;white-space: nowrap;" | (86)1612
|}1613
1614
Mientras que los campos de desplazamiento en dirección de los ejes locales <math display="inline">x</math> y <math display="inline">y</math>, se calculan a partir de las ecuaciones [[#eq-25|25]] y [[#eq-51|51]] respectivamente.1615
1616
==8 Ejemplos==1617
1618
===8.1 Viga===1619
1620
Calcular la respuesta (reacciones, campos de desplazamientos y campos de fuerzas internas) de la viga presentada en la Figura [[#img-10a|10a]]. <div id='img-10a'></div>1621
<div id='img-10b'></div>1622
<div id='img-10'></div>1623
{| class="floating_imageSCP" style="text-align: center; border: 1px solid #BBB; margin: 1em auto; width: 100%;max-width: 100%;"1624
|-1625
|[[Image:Review_992381919967_1775_Figura08a.png|390px|Problema a resolver.]]1626
|[[Image:Review_992381919967_1083_Figura08b.png|390px|Discretización.]]1627
|- style="text-align: center; font-size: 75%;"1628
| (a) Problema a resolver.1629
| (b) Discretización.1630
|- style="text-align: center; font-size: 75%;"1631
| colspan="2" | '''Figura 10:''' Viga con articulación interior y discretización empleada para su solución.1632
|}1633
<u>Discretización</u>1634
1635
La discretización a emplear en la solución de este problema se presenta en la Figura [[#img-10b|10b]] y consta de solo dos elementos. El elemento <math display="inline">A</math> tiene una carga externa definida en tres tramos, mientras que el elemento <math display="inline">B</math> tiene una carga externa lineal sobre toda su longitud.1636
1637
<u>Definición de las funciones de carga externa</u>1638
1639
Para el elemento <math display="inline">A</math> su carga externa se define como:1640
1641
{| class="formulaSCP" style="width: 100%; text-align: left;" 1642
|-1643
| 1644
{| style="text-align: left; margin:auto;width: 100%;" 1645
|-1646
| style="text-align: center;" | <math> q_A(x'_A)=1647
\begin{cases}1648
Q\left[ -2+4\dfrac{x'_A}{L}-4\left( \dfrac{x'_A}{L} \right)^2 \right] \qquad & 0 \leq x'_A < \dfrac{L}{3} \\1649
0 & \dfrac{L}{3} < x'_A < \dfrac{2L}{3} \\1650
Q\left[ -2+4\dfrac{x'_A}{L}-4\left( \dfrac{x'_A}{L} \right)^2 \right] & \dfrac{2L}{3} < x'_A \leq L 1651
\end{cases} </math>1652
|}1653
| style="width: 5px;text-align: right;white-space: nowrap;" | (87)1654
|}1655
1656
O en forma compacta como:1657
1658
{| class="formulaSCP" style="width: 100%; text-align: left;" 1659
|-1660
| 1661
{| style="text-align: left; margin:auto;width: 100%;" 1662
|-1663
| style="text-align: center;" | <math> q_A(x'_A)=1664
\begin{cases}1665
q_A^{I}(x'_A) \qquad & 0 \leq x'_A < \dfrac{L}{3} \\[0.3cm]1666
q_A^{II}(x'_A) & \dfrac{L}{3} < x'_A < \dfrac{2L}{3} \\[0.3cm]1667
q_A^{III}(x'_A) & \dfrac{2L}{3} < x'_A \leq L 1668
\end{cases} </math>1669
|}1670
| style="width: 5px;text-align: right;white-space: nowrap;" | (88)1671
|}1672
1673
Por su parte la carga externa en el elemento <math display="inline">B</math> es:1674
1675
{| class="formulaSCP" style="width: 100%; text-align: left;" 1676
|-1677
| 1678
{| style="text-align: left; margin:auto;width: 100%;" 1679
|-1680
| style="text-align: center;" | <math>{q_B(x'}_B)=Q\left(-2+2\frac{{x'}_B}{L} \right) </math>1681
|}1682
| style="width: 5px;text-align: right;white-space: nowrap;" | (89)1683
|}1684
1685
<u>Cálculo de las fuerzas de empotramiento</u>1686
1687
Según lo presentado en [[#5.2 Solución del P.V.F. empotrado|5.2]], las fuerzas de empotramiento del elemento <math display="inline">A</math> se calculan como:1688
1689
{| class="formulaSCP" style="width: 100%; text-align: left;" 1690
|-1691
| 1692
{| style="text-align: left; margin:auto;width: 100%;" 1693
|-1694
| style="text-align: center;" | <math>FY_1^{Af}=-\int _0^L \psi {_2(x'}_Ax'_A)dx'_)dx'_A=\dfrac{40}{81}QL </math>1695
| style="width: 5px;text-align: right;white-space: nowrap;" | (90.a)1696
|-1697
| style="text-align: center;" | <math> M_1 ^{Af}=-\int _0^L \psi {_3(x'}_Ax'_A)dx'_)dx'_A=\dfrac{71}{1215}QL^2 </math>1698
| style="width: 5px;text-align: right;white-space: nowrap;" | (90.b)1699
|-1700
| style="text-align: center;" | <math> FY_2^{Af}=-\int _0^L \psi {_5(x'}_Ax'_A)dx'_)dx'_A=\dfrac{40}{81}QL </math>1701
| style="width: 5px;text-align: right;white-space: nowrap;" | (90.c)1702
|-1703
| style="text-align: center;" | <math> M_2 ^{Af}=-\int _0^L \psi {_6(x'}_A)'_A)dx'_)dx'_A=-\dfrac{71}{1215}QL^2 </math>1704
| style="width: 5px;text-align: right;white-space: nowrap;" | (90.d)1705
|}1706
|}1707
1708
Mientras que las del elemento <math display="inline">B</math> como:1709
1710
{| class="formulaSCP" style="width: 100%; text-align: left;" 1711
|-1712
| 1713
{| style="text-align: left; margin:auto;width: 100%;" 1714
|-1715
| style="text-align: center;" | <math>FY_2^{Bf}=-\int_0^L \psi_2(x'_B)q_B(x'_B)dx'_B=\dfrac{7}{10}QL </math>1716
| style="width: 5px;text-align: right;white-space: nowrap;" | (91.a)1717
|-1718
| style="text-align: center;" | <math> M_2 ^{Bf}=-\int_0^L \psi_3(x'_B)q_B(x'_B)dx'_B=\dfrac{1}{10}QL^2 </math>1719
| style="width: 5px;text-align: right;white-space: nowrap;" | (91.b)1720
|-1721
| style="text-align: center;" | <math> FY_3^{Bf}=-\int_0^L \psi_5(x'_B)q_B(x'_B)dx'_B=\dfrac{3}{10}QL </math>1722
| style="width: 5px;text-align: right;white-space: nowrap;" | (91.c)1723
|-1724
| style="text-align: center;" | <math> M_3 ^{Bf}=-\int_0^L \psi_6(x'_B)q_B(x'_B)dx'_B=-\dfrac{1}{15}QL^2 </math>1725
| style="width: 5px;text-align: right;white-space: nowrap;" | (91.d)1726
|}1727
|}1728
1729
<u>Sistema matricial de ecuaciones de cada elemento</u>1730
1731
A partir de lo presentado en [[#eq-52|52]], la formulación del método de rigidez para el elemento <math display="inline">A</math> es:1732
1733
<span id="eq-92"></span>1734
{| class="formulaSCP" style="width: 100%; text-align: left;" 1735
|-1736
| 1737
{| style="text-align: left; margin:auto;width: 100%;" 1738
|-1739
| style="text-align: center;" | <math>\begin{Bmatrix}FY_1 \\ M_1 \\ FY_2^A \\ M_2^A \end{Bmatrix}= \begin{bmatrix}\dfrac{12EI}{L^3} & \dfrac{6EI}{L^2} & -\dfrac{12EI}{L^3} & \dfrac{6EI}{L^2} \\ \dfrac{6EI}{L^2} & \dfrac{4EI}{L} & -\dfrac{6EI}{L^2} & \dfrac{2EI}{L} \\ -\dfrac{12EI}{L^3} & -\dfrac{6EI}{L^2} & \dfrac{12EI}{L^3} & -\dfrac{6EI}{L^2} \\ \dfrac{6EI}{L^2} & \dfrac{2EI}{L} & -\dfrac{6EI}{L^2} & \dfrac{4EI}{L} \end{bmatrix} \begin{Bmatrix}v_1 \\ \theta _1 \\ v_2^A \\ \theta _2^A \end{Bmatrix}+ \begin{Bmatrix}\dfrac{40}{81}QL \\ \dfrac{71}{1215}QL^2 \\ \dfrac{40}{81}QL \\ -\dfrac{71}{1215}QL^2 \end{Bmatrix} </math>1740
|}1741
| style="width: 5px;text-align: right;white-space: nowrap;" | (92)1742
|}1743
1744
Mientras que para elemento <math display="inline">B</math> este es:1745
1746
<span id="eq-93"></span>1747
{| class="formulaSCP" style="width: 100%; text-align: left;" 1748
|-1749
| 1750
{| style="text-align: left; margin:auto;width: 100%;" 1751
|-1752
| style="text-align: center;" | <math>\begin{Bmatrix}FY_2^B \\ M_2^B \\ FY_3 \\ M_3 \end{Bmatrix}= \begin{bmatrix}\dfrac{12EI}{L^3} & \dfrac{6EI}{L^2} & -\dfrac{12EI}{L^3} & \dfrac{6EI}{L^2} \\ \dfrac{6EI}{L^2} & \dfrac{4EI}{L} & -\dfrac{6EI}{L^2} & \dfrac{2EI}{L} \\ -\dfrac{12EI}{L^3} & -\dfrac{6EI}{L^2} & \dfrac{12EI}{L^3} & -\dfrac{6EI}{L^2} \\ \dfrac{6EI}{L^2} & \dfrac{2EI}{L} & -\dfrac{6EI}{L^2} & \dfrac{4EI}{L} \end{bmatrix} \begin{Bmatrix}v_2 \\ \theta _2^B \\ v_3 \\ \theta _3 \end{Bmatrix}+ \begin{Bmatrix}\dfrac{7}{10}QL \\ \dfrac{1}{10}QL^2 \\ \dfrac{3}{10}QL \\ -\dfrac{1}{15}QL^2 \end{Bmatrix} </math>1753
|}1754
| style="width: 5px;text-align: right;white-space: nowrap;" | (93)1755
|}1756
1757
<u>Cálculo de los desplazamientos nodales desconocidos</u>1758
1759
A partir de las fuerzas externas e internas conocidas en los nodos, y empleando continuidad de desplazamientos y equilibrio en estos, se obtiene el siguiente sistema lineal de tres ecuaciones con igual número de incógnitas:1760
1761
{| class="formulaSCP" style="width: 100%; text-align: left;" 1762
|-1763
| 1764
{| style="text-align: left; margin:auto;width: 100%;" 1765
|-1766
| style="text-align: center;" | <math>\begin{Bmatrix}FY_2 \\ M_2^A \\ M_2^B \end{Bmatrix}= \begin{Bmatrix}FY_2^A+FY_2^B \\ M_2^A \\ M_2^B \end{Bmatrix}= \begin{Bmatrix}0 \\ 0 \\ 0 \end{Bmatrix}= \begin{bmatrix}\dfrac{24EI}{L^3} & -\dfrac{6EI}{L^2} & \dfrac{6EI}{L^2} \\ -\dfrac{6EI}{L^2} & \dfrac{4EI}{L} & 0 \\ \dfrac{6EI}{L^2} & 0 & \dfrac{4EI}{L} \end{bmatrix} \begin{Bmatrix}v_2 \\ \theta _2^A \\ \theta _2^B \end{Bmatrix}+ \begin{Bmatrix}\dfrac{967}{810}QL \\ -\dfrac{71}{1215}QL^2 \\ \dfrac{1}{10}QL^2 \end{Bmatrix} </math>1767
|}1768
| style="width: 5px;text-align: right;white-space: nowrap;" | (94)1769
|}1770
1771
Cuya solución es:1772
1773
{| class="formulaSCP" style="width: 100%; text-align: left;" 1774
|-1775
| 1776
{| style="text-align: left; margin:auto;width: 100%;" 1777
|-1778
| style="text-align: center;" | <math>\begin{Bmatrix}v_2 \\ \theta _2^A \\ \theta _2^B \end{Bmatrix}= \begin{Bmatrix}-\dfrac{1549}{9720} \dfrac{QL^4}{EI} \\ -\dfrac{4363}{19440} \dfrac{QL^3}{EI} \\ \dfrac{1387}{6480} \dfrac{QL^3}{EI} \\ \end{Bmatrix} </math>1779
|}1780
| style="width: 5px;text-align: right;white-space: nowrap;" | (95)1781
|}1782
1783
<u>Cálculo del campo de desplazamiento del elemento <math>A</math></u>1784
1785
Reemplazando los desplazamientos nodales del elemento <math display="inline">A</math> en [[#eq-30|30]], se obtiene que el campo de desplazamiento homogéneo para este elemento es:1786
1787
<span id="eq-96"></span>1788
{| class="formulaSCP" style="width: 100%; text-align: left;" 1789
|-1790
| 1791
{| style="text-align: left; margin:auto;width: 100%;" 1792
|-1793
| style="text-align: center;" | <math>{ v_A^h(x'}_A)=\dfrac{QL^4}{EI} \left[-\dfrac{4931}{19440} \left(\dfrac{{x'}_A}{L} \right)^2 +\dfrac{611}{6480} \left(\dfrac{{x'}_A}{L} \right)^3 \right] </math>1794
|}1795
| style="width: 5px;text-align: right;white-space: nowrap;" | (96)1796
|}1797
1798
Mientras que debido a que la carga externa en el elemento <math display="inline">A</math> tiene tres tramos, el campo de desplazamientos empotrado también los tendrá, es decir:1799
1800
<span id="eq-97"></span>1801
{| class="formulaSCP" style="width: 100%; text-align: left;" 1802
|-1803
| 1804
{| style="text-align: left; margin:auto;width: 100%;" 1805
|-1806
| style="text-align: center;" | <math> v_A^f(x'_A)=1807
\begin{cases}1808
v_A^{f-1}(x'_A) \qquad & 0 < x'_A \leq \dfrac{L}{3} \\[0.3cm]1809
v_A^{f-2}(x'_A) \qquad & \dfrac{L}{3} \leq x'_A \leq \dfrac{2L}{3} \\[0.3cm]1810
v_A^{f-3}(x'_A) & \dfrac{2L}{3} \leq x'_A < L1811
\end{cases} </math>1812
|}1813
| style="width: 5px;text-align: right;white-space: nowrap;" | (97)1814
|}1815
1816
Donde, a partir de [[#eq-42|42]], el campo de desplazamiento empotrado en cada uno de los tres tramos se calcula como:1817
1818
{| class="formulaSCP" style="width: 100%; text-align: left;" 1819
|-1820
| 1821
{| style="text-align: left; margin:auto;width: 100%;" 1822
|-1823
| style="text-align: center;" | <math>v_A^{f-1}{(x'}_A)=\int _0^{{x'}_A} q_A^{I}(\xi _A) G_{yy}^{II}{(x'}_A,\xi _A)d\xi +\int _{{x'}_A}^{L/3} q_A^{I}(\xi ) G_{yy}^{I}{(x'}_A,\xi _A)d\xi _A +\int _{2L/3}^L q_A^{III}(\xi _A) G_{yy}^{I}{(x'}_A,\xi _A)d\xi _A </math>1824
|-1825
| style="text-align: center;" | <math> =\dfrac{QL^4}{EI}\left[-\dfrac{71}{2430}\left(\dfrac{{x'}_A}{L}\right)^2+\dfrac{20}{243} \left(\dfrac{{x'}_A}{L} \right)^3 -\dfrac{1}{12} \left(\dfrac{{x'}_A}{L} \right)^4 +\dfrac{1}{30} \left(\frac{{x'}_A}{L} \right)^5 -\dfrac{1}{90} \left(\frac{{x'}_A}{L} \right)^6 \right] </math>1826
|}1827
| style="width: 5px;text-align: right;white-space: nowrap;" | (98)1828
|}1829
1830
{| class="formulaSCP" style="width: 100%; text-align: left;" 1831
|-1832
| 1833
{| style="text-align: left; margin:auto;width: 100%;" 1834
|-1835
| style="text-align: center;" | <math>v_A^{f-2}{(x'}_A)=\int _0^{L/3} q_A^{I}(\xi _A) G_{yy}^{II}{(x'}_A,\xi _A)d\xi _A +\int _{2L/3}^L q_A^{III}(\xi ) G_{yy}^{I}{(x'}_A,\xi _A)d\xi _A </math>1836
|-1837
| style="text-align: center;" | <math> =\dfrac{QL^4}{EI} \left[\dfrac{83}{131220}-\dfrac{19}{2430} \dfrac{{x'}_A}{L} +\dfrac{19}{2430}\left(\dfrac{{x'}_A}{L}\right)^2 \right] </math>1838
|}1839
| style="width: 5px;text-align: right;white-space: nowrap;" | (99)1840
|}1841
1842
{| class="formulaSCP" style="width: 100%; text-align: left;" 1843
|-1844
| 1845
{| style="text-align: left; margin:auto;width: 100%;" 1846
|-1847
| style="text-align: center;" | <math>v_A^{f-3}{(x'}_A)=\int _0^{L/3} q_A^{I}(\xi _A) G_{yy}^{II}{(x'}_A,\xi _A)d\xi _A +\int _{2L/3}^{{x'}_A} q_A^{III}(\xi _A) G_{yy}^{II}{(x'}_A,\xi _A)d\xi _A +\int _{{x'}_A}^L q_A^{III}(\xi _A) G_{yy}^{I}{(x'}_A,\xi _A)d\xi _A </math>1848
|-1849
| style="text-align: center;" | <math> =\dfrac{QL^4}{EI} \left[-\dfrac{13}{1620}+\dfrac{109}{2430} \dfrac{{x'}_A}{L} -\dfrac{281}{2430}\left(\dfrac{{x'}_A}{L}\right)^2 +\dfrac{34}{243}\left(\dfrac{{x'}_A}{L}\right)^3 -\dfrac{1}{12}\left(\dfrac{{x'}_A}{L}\right)^4 +\dfrac{1}{30}\left(\dfrac{{x'}_A}{L}\right)^5-\dfrac{1}{90}\left(\dfrac{{x'}_A}{L}\right)^6 \right] </math>1850
|}1851
| style="width: 5px;text-align: right;white-space: nowrap;" | (100)1852
|}1853
1854
Ahora sumando [[#eq-96|96]] y [[#eq-97|97]] se obtiene que el campo de desplazamiento total en el elemento es:1855
1856
<span id="eq-101"></span>1857
{| class="formulaSCP" style="width: 100%; text-align: left;" 1858
|-1859
| 1860
{| style="text-align: left; margin:auto;width: 100%;" 1861
|-1862
| style="text-align: center;" | <math> v_A(x'_A)=1863
\begin{cases}1864
v_A^I(x'_A) & 0 < x'_A \leq \dfrac{L}{3}\\[0.5cm]1865
v_A^{II}(x'_A) & \dfrac{L}{3} \leq x'_A \leq \dfrac{2}{3}L \\[0.5cm]1866
v_A^{III}(x'_A) \qquad & \dfrac{2}{3}L \leq x'_A < L 1867
\end{cases} </math>1868
|}1869
| style="width: 5px;text-align: right;white-space: nowrap;" | (101)1870
|}1871
1872
Donde:1873
1874
{| class="formulaSCP" style="width: 100%; text-align: left;" 1875
|-1876
| 1877
{| style="text-align: left; margin:auto;width: 100%;" 1878
|-1879
| style="text-align: center;" | <math>{v_A^I(x'}_A)=\dfrac{QL^4}{EI} \left[-\dfrac{611}{2160}\left(\dfrac{{x'}_A}{L} \right)^2 +\dfrac{3433}{19440}\left(\dfrac{{x'}_A}{L} \right)^3 -\dfrac{1}{12} \left(\dfrac{{x'}_A}{L} \right)^4 + \dfrac{1}{30}\left(\dfrac{{x'}_A}{L} \right)^5 - \dfrac{1}{90}\left(\dfrac{{x'}_A}{L} \right)^6 \right] </math>1880
|}1881
| style="width: 5px;text-align: right;white-space: nowrap;" | (102)1882
|}1883
1884
{| class="formulaSCP" style="width: 100%; text-align: left;" 1885
|-1886
| 1887
{| style="text-align: left; margin:auto;width: 100%;" 1888
|-1889
| style="text-align: center;" | <math>v_A^{II}{(x'}=A)=\dfrac{QL^4}{EI} \left[\dfrac{83}{131220}-\dfrac{19}{2430}\dfrac{{x'}_A}{L} -\dfrac{59}{240} \left(\dfrac{{x'}_A}{L} \right)^2 +\dfrac{611}{6480} \left(\dfrac{{x'}_A}{L} \right)^3 \right] </math>1890
|}1891
| style="width: 5px;text-align: right;white-space: nowrap;" | (103)1892
|}1893
1894
{| class="formulaSCP" style="width: 100%; text-align: left;" 1895
|-1896
| 1897
{| style="text-align: left; margin:auto;width: 100%;" 1898
|-1899
| style="text-align: center;" | <math>v_A^{III}{(x'}=A)=\dfrac{QL^4}{EI} \left[-\dfrac{13}{1620}+\dfrac{109}{2430}\dfrac{{x'}_A}{L} -\dfrac{2393}{6480} \left(\dfrac{{x'}_A}{L} \right)^2 + \dfrac{4553}{19440}\left(\dfrac{{x'}_A}{L} \right)^3 - \dfrac{1}{12}\left(\dfrac{{x'}_A}{L} \right)^4 \right.</math>1900
|-1901
| style="text-align: center;" | <math>\left. + \dfrac{1}{30} \left(\dfrac{{x'}_A}{L} \right)^5 -\dfrac{1}{90} \left(\dfrac{{x'}_A}{L} \right)^6 \right] </math>1902
|}1903
| style="width: 5px;text-align: right;white-space: nowrap;" | (104)1904
|}1905
1906
<u>Cálculo del campo de desplazamiento del elemento <math>B</math></u>1907
1908
Procediendo de igual manera a como se hizo para el elemento <math display="inline">A</math>, se calculan los campos de desplazamiento homogéneo, empotrado y total del elemento <math display="inline">B</math>:1909
1910
{| class="formulaSCP" style="width: 100%; text-align: left;" 1911
|-1912
| 1913
{| style="text-align: left; margin:auto;width: 100%;" 1914
|-1915
| style="text-align: center;" | <math>{v_B^h(x'}_B)=\frac{QL^4}{EI} \left[-\frac{1549}{9720}+\frac{1387}{6480} \frac{{x'}_B}{L} +\frac{1}{20} \left(\frac{{x'}_B}{L} \right)^2-\frac{407}{3888} \left(\frac{{x'}_B}{L} \right)^3 \right]</math>1916
| style="width: 5px;text-align: right;white-space: nowrap;" | (105.a)1917
|-1918
| style="text-align: center;" | <math>{ v_B^f(x'}_B)=\frac{QL^4}{EI} \left[-\frac{1}{20} \left(\frac{{x'}_B}{L} \right)^2 +\frac{7}{60} \left(\frac{{x'}_B}{L} \right)^3-\frac{1}{12} \left(\frac{{x'}_B}{L} \right)^4 +\frac{1}{60} \left(\frac{{x'}_B}{L} \right)^5 \right] </math>1919
| style="width: 5px;text-align: right;white-space: nowrap;" | (105.b)1920
|}1921
|}1922
1923
<span id="eq-106"></span>1924
{| class="formulaSCP" style="width: 100%; text-align: left;" 1925
|-1926
| 1927
{| style="text-align: left; margin:auto;width: 100%;" 1928
|-1929
| style="text-align: center;" | <math>{ v_B(x'}_B)=\frac{QL^4}{EI} \left[-\frac{1549}{9720}+\frac{1387}{6480}\frac{{x'}_B}{L} +\frac{233}{19440} \left(\frac{{x'}_B}{L} \right)^3-\frac{1}{12} \left(\frac{{x'}_B}{L} \right)^4 +\frac{1}{60}\left(\frac{{x'}_B}{L} \right)^5 \right] </math>1930
|}1931
| style="width: 5px;text-align: right;white-space: nowrap;" | (106)1932
|}1933
1934
Como resumen, en la Figura [[#img-11|11]] se presenta el campo de desplazamientos en toda la viga: <div id='img-11'></div>1935
{| class="floating_imageSCP" style="text-align: center; border: 1px solid #BBB; margin: 1em auto; width: 100%;max-width: 100%;"1936
|-1937
|[[Image:Review_992381919967_7603_FiguraEjemplo1CampoDesplazamientoDefinitivo.png|600px|Diagrama del campo de desplazamientos.]]1938
|- style="text-align: center; font-size: 75%;"1939
| colspan="1" | '''Figura 11:''' Diagrama del campo de desplazamientos.1940
|}1941
<u>Cálculos de los campos de fuerzas internas</u>1942
1943
A partir de [[#eq-101|101]] y empleando [[#2.2 Elemento tipo viga (viga de Euler)|2.2]], se obtiene que las fuerzas internas para el elemento <math display="inline">A</math> son:1944
1945
{| class="formulaSCP" style="width: 100%; text-align: left;" 1946
|-1947
| 1948
{| style="text-align: left; margin:auto;width: 100%;" 1949
|-1950
| style="text-align: center;" | <math> V_A(x'_A)=1951
\begin{cases}1952
QL \left[-\dfrac{3433}{3240} + 2\dfrac{x'_A}{L} - 2\left( \dfrac{x'_A}{L} \right)^2+\dfrac{4}{3}\left( \dfrac{x'_A}{L} \right)^3 \right] \qquad & 0 < x'_A \leq \dfrac{L}{3}\\[0.5cm]1953
-\dfrac{611}{1080}QL & \dfrac{L}{3} \leq x'_A \leq \dfrac{2}{3}L \\[0.5cm]1954
QL\left[ -\dfrac{4553}{3240}+2\dfrac{x'_A}{L}-2\left( \dfrac{x'_A}{L} \right)^2+\dfrac{4}{3} \left( \dfrac{x'_A}{L} \right)^3 \right] & \dfrac{2}{3}L \leq x'_A < L 1955
\end{cases}</math>1956
|}1957
| style="width: 5px;text-align: right;white-space: nowrap;" | (107)1958
|}1959
1960
{| class="formulaSCP" style="width: 100%; text-align: left;" 1961
|-1962
| 1963
{| style="text-align: left; margin:auto;width: 100%;" 1964
|-1965
| style="text-align: center;" | <math>{M_A(x'}_A)= \begin{cases}QL^2 \left[-\dfrac{611}{1080} + \dfrac{3433}{3240}\dfrac{{x'}_A}{L} - \left(\dfrac{{x'}_A}{L} \right)^2 + \dfrac{2}{3}\left(\dfrac{{x'}_A}{L} \right)^3 - \dfrac{1}{3}\left(\dfrac{{x'}_A}{L} \right)^4 \right]& 0 \leq {x'}_A \leq \dfrac{L}{3}\\[0.5cm] QL^2 \left[-\dfrac{59}{120}+\dfrac{611}{1080}\dfrac{{x'}_A}{L} \right]& \dfrac{L}{3} \leq {x'}_A \leq \dfrac{2}{3}L \\[0.5cm] QL^2 \left[-\dfrac{2393}{3240} + \dfrac{4553}{3240}\dfrac{{x'}_A}{L} - \left(\dfrac{{x'}_A}{L} \right)^2 + \dfrac{2}{3} \left(\dfrac{{x'}_A}{L} \right)^3 -\dfrac{1}{3} \left(\dfrac{{x'}_A}{L} \right)^4 \right]\qquad & \dfrac{2}{3}L \leq {x'}_A \leq L \end{cases} </math>1966
|}1967
| style="width: 5px;text-align: right;white-space: nowrap;" | (108)1968
|}1969
1970
De forma similar, a partir de [[#eq-106|106]], se tiene que los campos de fuerzas internas en el elemento <math display="inline">B</math> son:1971
1972
{| class="formulaSCP" style="width: 100%; text-align: left;" 1973
|-1974
| 1975
{| style="text-align: left; margin:auto;width: 100%;" 1976
|-1977
| style="text-align: center;" | <math>{V_B(x'}_B)=QL \left[-\dfrac{233}{3240} + 2\dfrac{{x'}_B}{L} - \left(\dfrac{{x'}_B}{L} \right)^2 \right] \qquad 0 < {x'}_B < L </math>1978
| style="width: 5px;text-align: right;white-space: nowrap;" | (109.a)1979
|-1980
| style="text-align: center;" | <math>{ M_B(x'}_B)=QL^2 \left[\frac{233}{3240}{x'}_B-\left(\frac{{x'}_B}{L} \right)^2 + \frac{1}{3}\left(\frac{{x'}_B}{L} \right)^3 \right] \qquad 0 < {x'}_B < L </math>1981
| style="width: 5px;text-align: right;white-space: nowrap;" | (109.b)1982
|}1983
|}1984
1985
Como resumen de los anteriores resultados, en la Figura [[#img-12|12]] se presentan las fuerzas internas en toda la viga. <div id='img-12a'></div>1986
<div id='img-12b'></div>1987
<div id='img-12'></div>1988
{| class="floating_imageSCP" style="text-align: center; border: 1px solid #BBB; margin: 1em auto; width: 100%;max-width: 100%;"1989
|-1990
|[[Image:Review_992381919967_6117_FiguraEjemplo1CortanteDefinitivo.png|480px|Fuerza cortante.]]1991
|[[Image:Review_992381919967_2054_FiguraEjemplo1MomentoDefinitivo.png|480px|Momento flector.]]1992
|- style="text-align: center; font-size: 75%;"1993
| (a) Fuerza cortante.1994
| (b) Momento flector.1995
|- style="text-align: center; font-size: 75%;"1996
| colspan="2" | '''Figura 12:''' Diagramas de fuerzas internas.1997
|}1998
<u>Cálculo de las reacciones</u>1999
2000
Aunque es posible calcular las reacciones mediante el cálculo de un sistema lineal de ecuaciones, donde las incógnitas sean las cuatro reacciones, a continuación se calcularán a partir de los campo de fuerzas internas calculados anteriormente:2001
2002
{| class="formulaSCP" style="width: 100%; text-align: left;" 2003
|-2004
| 2005
{| style="text-align: left; margin:auto;width: 100%;" 2006
|-2007
| style="text-align: center;" | <math>FY_1=-V_A(0)=\dfrac{3433}{3240}QL </math>2008
| style="width: 5px;text-align: right;white-space: nowrap;" | (110.a)2009
|-2010
| style="text-align: center;" | <math> M_1=-M_A(0)=\dfrac{611}{1080}QL^2 </math>2011
| style="width: 5px;text-align: right;white-space: nowrap;" | (110.b)2012
|-2013
| style="text-align: center;" | <math> FY_3=V_B(L)=\dfrac{3007}{3240}QL </math>2014
| style="width: 5px;text-align: right;white-space: nowrap;" | (110.c)2015
|-2016
| style="text-align: center;" | <math> M_3=M_B(L)=-\dfrac{1927}{3240}QL^2 </math>2017
| style="width: 5px;text-align: right;white-space: nowrap;" | (110.d)2018
|}2019
|}2020
2021
Para revisar la validez de los resultados anteriores, a continuación se realizará el equilibrio vertical y rotacional respecto al nudo 1 de toda la viga:2022
2023
{| class="formulaSCP" style="width: 100%; text-align: left;" 2024
|-2025
| 2026
{| style="text-align: left; margin:auto;width: 100%;" 2027
|-2028
| style="text-align: center;" | <math>\sum FY=FY_1+FY_3+\int _0^{L/3} Q\left[-2+4\frac{{x'}_A}{L}-4\left(\frac{{x'}_A}{L} \right)^2 \right]{dx'}_A +\int _{2L/3}^{L}Q\left[-2+4\frac{{x'}_A}{L}-4\left(\frac{{x'}_A}{L} \right)^2 \right]{dx'}_A </math>2029
|-2030
| style="text-align: center;" | <math> +\int _0^L Q \left(-2+2\frac{{x'}_B}{L} \right){dx'}_B=0 </math>2031
|}2032
| style="width: 5px;text-align: right;white-space: nowrap;" | (111)2033
|}2034
2035
{| class="formulaSCP" style="width: 100%; text-align: left;" 2036
|-2037
| 2038
{| style="text-align: left; margin:auto;width: 100%;" 2039
|-2040
| style="text-align: center;" | <math>\sum M_1=M_1+M_3+2FY_3+\int _0^{L/3} Q\left[-2+4\frac{{x'}_A}{L}-4\left(\frac{{x'}_A}{L} \right)^2 \right]x'_A dx'_A+\int _{2L/3}^{L}Q\left[-2+4\frac{{x'}_A}{L}-4\left(\frac{{x'}_A}{L} \right)^2 \right]x'_A dx'_A </math>2041
|-2042
| style="text-align: center;" | <math> +\int _0^L Q \left(-2+2\frac{{x'}_B}{L} \right)(L+x'_B)dx'_B=0 </math>2043
|}2044
| style="width: 5px;text-align: right;white-space: nowrap;" | (112)2045
|}2046
2047
En el siguiente enlace se encuentra el código de Python empleado para la solución de este ejemplo: 2048
2049
https://drive.google.com/open?id=1-rqbQquE5YmvSKxRtQW2z7Lpm1O8C8-Y2050
2051
===8.2 Viga sobre fundación flexible===2052
2053
Resolver la viga sobre fundación flexible presentada en la Figura [[#img-13a|13a]]. <div id='img-13a'></div>2054
<div id='img-13b'></div>2055
<div id='img-13'></div>2056
{| class="floating_imageSCP" style="text-align: center; border: 1px solid #BBB; margin: 1em auto; width: 100%;max-width: 100%;"2057
|-2058
|[[Image:Review_992381919967_9710_Figura09a.png|390px|Problema a resolver.]]2059
|[[Image:Review_992381919967_7005_Figura09b.png|390px|Discretización.]]2060
|- style="text-align: center; font-size: 75%;"2061
| (a) Problema a resolver.2062
| (b) Discretización.2063
|- style="text-align: center; font-size: 75%;"2064
| colspan="2" | '''Figura 13:''' Viga sobre fundación flexible y discretización empleada para su solución.2065
|}2066
<u>Discretización</u>2067
2068
Para este problema se empleará la discretización de un solo elemento presentada en la Figura [[#img-13b|13b]], la cual muestra una de las principales bondades de la presente metodología, consitente en minimizar el número de elementos a emplear, pues usualmente en la solución de este problema se emplearía una discretización con tres elementos para obtener la respuesta analítica.2069
2070
<u>Preliminares</u>2071
2072
El coeficiente <math display="inline">\lambda </math> para este problema es:2073
2074
{| class="formulaSCP" style="width: 100%; text-align: left;" 2075
|-2076
| 2077
{| style="text-align: left; margin:auto;width: 100%;" 2078
|-2079
| style="text-align: center;" | <math>\lambda =\sqrt=4=1.535260 </math>2080
|}2081
| style="width: 5px;text-align: right;white-space: nowrap;" | (113)2082
|}2083
2084
Mientras que las funciones de forma son:2085
2086
<span id="eq-114"></span>2087
{| class="formulaSCP" style="width: 100%; text-align: left;" 2088
|-2089
| 2090
{| style="text-align: left; margin:auto;width: 100%;" 2091
|-2092
| style="text-align: center;" | <math>\Psi _2(x)=-1.0000017\sin (\lambda x)\sinh (\lambda x) + 1.0000014\sin (\lambda x)\cosh (\lambda x) - 1.0000014\cos (\lambda x)\sinh (\lambda x) </math>2093
|-2094
| style="text-align: center;" | <math> + 1.0\cos (\lambda x)\cosh (\lambda x) </math>2095
|}2096
| style="width: 5px;text-align: right;white-space: nowrap;" | (114)2097
|}2098
2099
<span id="eq-115"></span>2100
{| class="formulaSCP" style="width: 100%; text-align: left;" 2101
|-2102
| 2103
{| style="text-align: left; margin:auto;width: 100%;" 2104
|-2105
| style="text-align: center;" | <math>\Psi _3(x)=-0.6513563\sin (\lambda x)\sinh (\lambda x) + 0.6513561\sin (\lambda x)\cosh (\lambda x) - 5.426830x10^{-7}\cos (\lambda x)\sinh (\lambda x) </math>2106
|}2107
| style="width: 5px;text-align: right;white-space: nowrap;" | (115)2108
|}2109
2110
<span id="eq-116"></span>2111
{| class="formulaSCP" style="width: 100%; text-align: left;" 2112
|-2113
| 2114
{| style="text-align: left; margin:auto;width: 100%;" 2115
|-2116
| style="text-align: center;" | <math>\Psi _5(x)=1.825552x10^{-3}\sin (\lambda x)\sinh (\lambda x) - 1.076690x10^{-3}\sin (\lambda x)\cosh (\lambda x) </math>2117
|-2118
| style="text-align: center;" | <math> + 1.076690x10^{-3}\cos (\lambda x)\sinh (\lambda x) </math>2119
|}2120
| style="width: 5px;text-align: right;white-space: nowrap;" | (116)2121
|}2122
2123
<span id="eq-117"></span>2124
{| class="formulaSCP" style="width: 100%; text-align: left;" 2125
|-2126
| 2127
{| style="text-align: left; margin:auto;width: 100%;" 2128
|-2129
| style="text-align: center;" | <math>\Psi _6(x)=-4.877763x10^{-4}\sin (\lambda x)\sinh (\lambda x) +5.945417x10^{-4}\sin (\lambda x)\cosh (\lambda x) </math>2130
|-2131
| style="text-align: center;" | <math> - 5.945417x10^{-3}\cos (\lambda x)\sinh (\lambda x) </math>2132
|}2133
| style="width: 5px;text-align: right;white-space: nowrap;" | (117)2134
|}2135
2136
Por su parte la función de Green de la viga doblemente empotrada asociada con este problema se obtiene a partir de [[#eq-65|65]] y [[#eq-66|66]]:2137
2138
{| class="formulaSCP" style="width: 100%; text-align: left;" 2139
|-2140
| 2141
{| style="text-align: left; margin:auto;width: 100%;" 2142
|-2143
| style="text-align: center;" | <math>\bar{G}_{yy}(x,\xi )= \begin{cases}\bar{G}_{yy}^I (x,\xi ) & 0 \leq x \leq \xi \\ \bar{G}_{yy}^{II}(x,\xi ) & \xi \leq x \leq 10\hbox{ m} \end{cases}= \begin{cases}C(x)\Psi _2(\xi )+D(x)\Psi _3(\xi ) & 0 \leq x \leq \xi \\ A(x)\Psi _5(\xi )+B(x)\Psi _6(\xi ) & \xi \leq x \leq 10\hbox{ m} \end{cases} </math>2144
|}2145
| style="width: 5px;text-align: right;white-space: nowrap;" | (118)2146
|}2147
2148
Donde:2149
2150
{| class="formulaSCP" style="width: 100%; text-align: left;" 2151
|-2152
| 2153
{| style="text-align: left; margin:auto;width: 100%;" 2154
|-2155
| style="text-align: center;" | <math>A(x)=-1.535260x10^{-6}\sin=\lambda(5-x)\cosh=\lambda(5-x)+ 1.535260x10^{-6}\cos=\lambda(5-x)\sinh=\lambda(5-x)</math>2156
| style="width: 5px;text-align: right;white-space: nowrap;" | (119.a)2157
|-2158
| style="text-align: center;" | <math> B(x)=-4.714045x10^{-6}\sin=\lambda(5-x)\sinh=\lambda(5-x)</math>2159
| style="width: 5px;text-align: right;white-space: nowrap;" | (119.b)2160
|-2161
| style="text-align: center;" | <math> C(x)=-1.535260x10^{-6}\sin (\lambda x)\cosh (\lambda x) + 1.535260x10^{-6}\cos (\lambda x)\sinh (\lambda x) </math>2162
| style="width: 5px;text-align: right;white-space: nowrap;" | (119.c)2163
|-2164
| style="text-align: center;" | <math> D(x)=4.714045x10^{-6}\sin (\lambda x)\sinh (\lambda x) </math>2165
| style="width: 5px;text-align: right;white-space: nowrap;" | (119.d)2166
|}2167
|}2168
2169
<u>Cálculo de las fuerzas de empotramiento</u>2170
2171
Para este problema la carga externa se expresa por la siguiente función que posee tres tramos:2172
2173
{| class="formulaSCP" style="width: 100%; text-align: left;" 2174
|-2175
| 2176
{| style="text-align: left; margin:auto;width: 100%;" 2177
|-2178
| style="text-align: center;" | <math>q(x)= \begin{cases}0 & 0< x<3\hbox{ m} \\ -1\hbox{ kN} & 3\hbox{ m}< x<4\hbox{ m} \\ 0 & 4\hbox{ m}< x<5\hbox{ m} \end{cases} </math>2179
|}2180
| style="width: 5px;text-align: right;white-space: nowrap;" | (120)2181
|}2182
2183
Con lo cual las fuerzas de empotramiento se calculan a partir de las funciones de forma presentadas en [[#eq-114|114]] a [[#eq-117|117]], como:2184
2185
{| class="formulaSCP" style="width: 100%; text-align: left;" 2186
|-2187
| 2188
{| style="text-align: left; margin:auto;width: 100%;" 2189
|-2190
| style="text-align: center;" | <math>FY_i^f=-\int _0^L q(x) \Psi _2(x) dx=\int _3^4 \Psi _2(x) dx=-0.00217865 </math>2191
| style="width: 5px;text-align: right;white-space: nowrap;" | (121.a)2192
|-2193
| style="text-align: center;" | <math> M_i^f =-\int _0^L q(x) \Psi _3(x) dx=\int _3^4 \Psi _3(x) dx=-0.0027525 </math>2194
| style="width: 5px;text-align: right;white-space: nowrap;" | (121.b)2195
|-2196
| style="text-align: center;" | <math> FY_j^f=-\int _0^L q(x) \Psi _4(x) dx=\int _3^4 \Psi _5(x) dx=0.0351345 </math>2197
| style="width: 5px;text-align: right;white-space: nowrap;" | (121.c)2198
|-2199
| style="text-align: center;" | <math> M_j^f =-\int _0^L q(x) \Psi _5(x) dx=\int _3^4 \Psi _6(x) dx=-0.05640796 </math>2200
| style="width: 5px;text-align: right;white-space: nowrap;" | (121.d)2201
|}2202
|}2203
2204
<u>Formulación del sistema de ecuaciones de cada elemento</u>2205
2206
A partir de [[#eq-84|84]] se tiene que la formulación del método de rigidez para el único elemento de la discretización es:2207
2208
<span id="eq-122"></span>2209
{| class="formulaSCP" style="width: 100%; text-align: left;" 2210
|-2211
| 2212
{| style="text-align: left; margin:auto;width: 100%;" 2213
|-2214
| style="text-align: center;" | <math>\begin{Bmatrix}FY_1 \\ M_1 \\ FY_2 \\ M_2 \end{Bmatrix}= \begin{bmatrix}651356 & 212132 & -701 & 387 \\ 212132 & 138173 & -387 & 103 \\ -701 & -387 & 651356 & -212132 \\ 387 & 103 & -212132 & 138173 \end{bmatrix} \begin{Bmatrix}v_1^A \\ \theta _1^A \\ v_2^A \\ \theta _2^A \end{Bmatrix}+ \begin{Bmatrix}-0.00217865 \\ -0.0027525 \\ 0.0351345 \\ -0.05640796 \end{Bmatrix} </math>2215
|}2216
| style="width: 5px;text-align: right;white-space: nowrap;" | (122)2217
|}2218
2219
<u>Obtención de los desplazamientos nodales</u>2220
2221
La solución de [[#eq-122|122]] es:2222
2223
{| class="formulaSCP" style="width: 100%; text-align: left;" 2224
|-2225
| 2226
{| style="text-align: left; margin:auto;width: 100%;" 2227
|-2228
| style="text-align: center;" | <math>\begin{Bmatrix}v_1 \\ \theta _1 \\ v_2 \\ \theta _2 \end{Bmatrix}= \begin{Bmatrix}-6.690465x10^{-9} \, \hbox{m} \\ 3.014775x10^{-8} \, \hbox{rad} \\ 1.580475x10^{-7} \, \hbox{m} \\ 6.508803x10^{-7} \, \hbox{rad} \end{Bmatrix} </math>2229
|}2230
| style="width: 5px;text-align: right;white-space: nowrap;" | (123)2231
|}2232
2233
<u>Cálculo del campo de desplazamientos</u>2234
2235
Para el cálculo del campo de desplazamientos se realizará la siguiente superposición o descomposición:2236
2237
{| class="formulaSCP" style="width: 100%; text-align: left;" 2238
|-2239
| 2240
{| style="text-align: left; margin:auto;width: 100%;" 2241
|-2242
| style="text-align: center;" | <math>v(x)=v_h(x)+v_f(x) </math>2243
|}2244
| style="width: 5px;text-align: right;white-space: nowrap;" | (124)2245
|}2246
2247
Donde <math display="inline">v_h(x)</math> es el campo de desplazamientos homogéneo y <math display="inline">v_f(x)</math> es el campo de desplazamientos empotrado. A partir de [[#eq-56|56]] y empleando los desplazamientos y rotaciones nodales, se obtiene que el campo de desplazamiento homogéneo es:2248
2249
{| class="formulaSCP" style="width: 100%; text-align: left;" 2250
|-2251
| 2252
{| style="text-align: left; margin:auto;width: 100%;" 2253
|-2254
| style="text-align: center;" | <math>v_h(x)=-1.297541x10^{-8}\sin (\lambda x)\sinh (\lambda x) +1.316325x10^{-8}\sin (\lambda x)\cosh (\lambda x) </math>2255
|-2256
| style="text-align: center;" | <math> +6.473651x10^{-9}\cos (\lambda x)\sinh (\lambda x) -6.690466x10^{-9}\cos (\lambda x)\cosh (\lambda x) </math>2257
|}2258
| style="width: 5px;text-align: right;white-space: nowrap;" | (125)2259
|}2260
2261
Mientras que el campo de desplazamiento empotrado se calcula a partir de [[#eq-69|69]] y se expresa como:2262
2263
{| class="formulaSCP" style="width: 100%; text-align: left;" 2264
|-2265
| 2266
{| style="text-align: left; margin:auto;width: 100%;" 2267
|-2268
| style="text-align: center;" | <math>v_f(x)= \begin{cases}v_f^I(x) & 0 \leq x \leq 3\hbox{ m} \\ v_f^{II}(x) & 3\hbox{ m} \leq x \leq 4\hbox{ m} \\ v_f^{III}(x) & 4\hbox{ m} \leq x \leq 5\hbox{ m} \end{cases} </math>2269
|}2270
| style="width: 5px;text-align: right;white-space: nowrap;" | (126)2271
|}2272
2273
Donde:2274
2275
{| class="formulaSCP" style="width: 100%; text-align: left;" 2276
|-2277
| 2278
{| style="text-align: left; margin:auto;width: 100%;" 2279
|-2280
| style="text-align: center;" | <math>v_f^I(x)=\int _3^4 \bar{G}_{yy}^I(x,\xi )q(\xi )d\xi </math>2281
|-2282
| style="text-align: center;" | <math> =1.297541x10^{-8}\sin (\lambda x)\sinh (\lambda x) -3.344800x10^{-9}\sin (\lambda x)\cosh (\lambda x) </math>2283
|-2284
| style="text-align: center;" | <math> \quad +3.344800x10^{-9}\cos (\lambda x)\sinh (\lambda x) </math>2285
|}2286
| style="width: 5px;text-align: right;white-space: nowrap;" | (127)2287
|}2288
2289
{| class="formulaSCP" style="width: 100%; text-align: left;" 2290
|-2291
| 2292
{| style="text-align: left; margin:auto;width: 100%;" 2293
|-2294
| style="text-align: center;" | <math>v_f^{II}(x)= \int _3^x \bar{G}_{yy}^{II}(x,\xi )q(\xi )d\xi{+\int}_x^4 \bar{G}_{yy}^I(x,\xi )d\xi </math>2295
|-2296
| style="text-align: center;" | <math> =-3.779091x10^{-7}\sin=\lambda(x-3)\sinh=\lambda(x-3) + 7.449378x10^{-7}\sin=\lambda(x-3)\cosh=\lambda(x-3)</math>2297
|-2298
| style="text-align: center;" | <math> \quad - 7.449378x10^{-7}\cos=\lambda(x-3)\sinh=\lambda(x-3) + 1.0x10^{-6}\cos=\lambda(x-3)\cosh=\lambda(x-3)- 1.0x10^{-6} </math>2299
|}2300
| style="width: 5px;text-align: right;white-space: nowrap;" | (128)2301
|}2302
2303
{| class="formulaSCP" style="width: 100%; text-align: left;" 2304
|-2305
| 2306
{| style="text-align: left; margin:auto;width: 100%;" 2307
|-2308
| style="text-align: center;" | <math>v_f^{III}(x)=\int _3^4 \bar{G}_{yy}^{II}(x,\xi )q(\xi )d\xi </math>2309
|-2310
| style="text-align: center;" | <math> = 1.684965x10^{-5}\sin (\lambda x)\sinh (\lambda x) -1.684965x10^{-5}\sin (\lambda x)\cosh (\lambda x) </math>2311
|-2312
| style="text-align: center;" | <math> \quad +2.352508x10^{-4}\cos (\lambda x)\sinh (\lambda x) -2.352506x10^{-4}\cos (\lambda x)\cosh (\lambda x) </math>2313
|}2314
| style="width: 5px;text-align: right;white-space: nowrap;" | (129)2315
|}2316
2317
Con lo cual el campo de desplazamiento total es:2318
2319
{| class="formulaSCP" style="width: 100%; text-align: left;" 2320
|-2321
| 2322
{| style="text-align: left; margin:auto;width: 100%;" 2323
|-2324
| style="text-align: center;" | <math>v(x)= \begin{cases}v^I(x) & 0 \leq x \leq 3\hbox{ m} \\ v^{II}(x) & 3\hbox{ m} \leq x \leq 4\hbox{ m} \\ v^{III}(x) & 4\hbox{ m} \leq x \leq 5\hbox{ m} \end{cases} </math>2325
|}2326
| style="width: 5px;text-align: right;white-space: nowrap;" | (130)2327
|}2328
2329
{| class="formulaSCP" style="width: 100%; text-align: left;" 2330
|-2331
| 2332
{| style="text-align: left; margin:auto;width: 100%;" 2333
|-2334
| style="text-align: center;" | <math>v^I(x)=9.818452x10^{-9}\sin (\lambda x)\cosh (\lambda x) +9.818452x10^{-9}\cos (\lambda x)\sinh (\lambda x) </math>2335
|-2336
| style="text-align: center;" | <math> -6.690465x10^{-9}\cos (\lambda x)\cosh (\lambda x) </math>2337
|}2338
| style="width: 5px;text-align: right;white-space: nowrap;" | (131)2339
|}2340
2341
{| class="formulaSCP" style="width: 100%; text-align: left;" 2342
|-2343
| 2344
{| style="text-align: left; margin:auto;width: 100%;" 2345
|-2346
| style="text-align: center;" | <math>v^{II}(x)=1.034235x10^{-7}\sin (\lambda (x-3)]\sinh (\lambda (x-3)] </math>2347
|-2348
| style="text-align: center;" | <math> + 1.032491x10^{-7}\sin (\lambda (x-3)]\cosh=\lambda(x-3)</math>2349
|-2350
| style="text-align: center;" | <math> - 5.050451x10^{-7}\cos (\lambda (x-3)]\sinh=\lambda(x-3)</math>2351
|-2352
| style="text-align: center;" | <math> + 4.948749x10^{-7}\cos (\lambda (x-3)]\cosh=\lambda(x-3)- 1.0x10^{-6} </math>2353
|}2354
| style="width: 5px;text-align: right;white-space: nowrap;" | (132)2355
|}2356
2357
{| class="formulaSCP" style="width: 100%; text-align: left;" 2358
|-2359
| 2360
{| style="text-align: left; margin:auto;width: 100%;" 2361
|-2362
| style="text-align: center;" | <math>v^{III}(x)=1.683667x10^{-5}\sin (\lambda x)\sinh (\lambda x) -1.683648x10^{-5}\sin (\lambda x)\cosh (\lambda x) </math>2363
|-2364
| style="text-align: center;" | <math> +2.352573x10^{-4}\cos (\lambda x)\sinh (\lambda x) -2.352573x10^{-4}\cos (\lambda x)\cosh (\lambda x) </math>2365
|}2366
| style="width: 5px;text-align: right;white-space: nowrap;" | (133)2367
|}2368
2369
En la Figura [[#img-11|11]] se presenta de forma gráfica el campo de desplazamiento vertical en toda la viga.2370
2371
<u>Cálculo de las fuerzas que el suelo le hace a la viga</u>2372
2373
La fuerza que el suelo ejerce sobre la viga se calcula a partir del campo de desplazamientos de la siguiente forma:2374
2375
{| class="formulaSCP" style="width: 100%; text-align: left;" 2376
|-2377
| 2378
{| style="text-align: left; margin:auto;width: 100%;" 2379
|-2380
| style="text-align: center;" | <math>f_S(x)=-kv(x)= \begin{cases}f_S^I(x) & 0 \leq x \leq 3\hbox{ m} \\ f_S^{II}(x) & 3\hbox{ m} \leq x \leq 4\hbox{ m} \\ f_S^{III}(x) & 4\hbox{ m} \leq x \leq 5\hbox{ m} \end{cases} </math>2381
|}2382
| style="width: 5px;text-align: right;white-space: nowrap;" | (134)2383
|}2384
2385
Donde:2386
2387
{| class="formulaSCP" style="width: 100%; text-align: left;" 2388
|-2389
| 2390
{| style="text-align: left; margin:auto;width: 100%;" 2391
|-2392
| style="text-align: center;" | <math>f_S^I(x)=-kv^I(x)= -9.818452x10^{-3}\sin (\lambda x)\cosh (\lambda x) </math>2393
|-2394
| style="text-align: center;" | <math> -9.818452x10^{-3}\cos (\lambda x)\sinh (\lambda x) +6.690465x10^{-3}\cos (\lambda x)\cosh (\lambda x) </math>2395
|}2396
| style="width: 5px;text-align: right;white-space: nowrap;" | (135)2397
|}2398
2399
{| class="formulaSCP" style="width: 100%; text-align: left;" 2400
|-2401
| 2402
{| style="text-align: left; margin:auto;width: 100%;" 2403
|-2404
| style="text-align: center;" | <math>f_S^{II}(x)=-kv^{II}(x)= -0.1034235\sin=\lambda(x-3)\sinh=\lambda(x-3)</math>2405
|-2406
| style="text-align: center;" | <math> -0.1032491\sin=\lambda(x-3)\cosh=\lambda(x-3)</math>2407
|-2408
| style="text-align: center;" | <math> +0.5050450\cos=\lambda(x-3)\sinh=\lambda(x-3)</math>2409
|-2410
| style="text-align: center;" | <math> -0.4948749\cos=\lambda(x-3)\cosh=\lambda(x-3)+ 1 </math>2411
|}2412
| style="width: 5px;text-align: right;white-space: nowrap;" | (136)2413
|}2414
2415
{| class="formulaSCP" style="width: 100%; text-align: left;" 2416
|-2417
| 2418
{| style="text-align: left; margin:auto;width: 100%;" 2419
|-2420
| style="text-align: center;" | <math>f_S^{III}(x)=-kv^{III}(x)= 1.684965x10^{-5}\sin (\lambda x)\sinh (\lambda x) </math>2421
|-2422
| style="text-align: center;" | <math> -1.684965x10^{-5}\sin (\lambda x)\cosh (\lambda x) </math>2423
|-2424
| style="text-align: center;" | <math> +2.352508x10^{-4}\cos (\lambda x)\sinh (\lambda x) -2.352506x10^{-4}\cos (\lambda x)\cosh (\lambda x) </math>2425
|}2426
| style="width: 5px;text-align: right;white-space: nowrap;" | (137)2427
|}2428
2429
Como resumen de las anteriores tres ecuaciones, en la Figura [[#img-14b|14b]] se presenta la fuerza el suelo ejerce sobre la viga. <div id='img-14a'></div>2430
<div id='img-14b'></div>2431
<div id='img-14'></div>2432
{| class="floating_imageSCP" style="text-align: center; border: 1px solid #BBB; margin: 1em auto; width: 100%;max-width: 100%;"2433
|-2434
|[[Image:Review_992381919967_6958_FiguraEjemplo2CampoDesplazamientoDefinitiva.png|450px|Campo de desplazamientos.]]2435
|[[Image:Review_992381919967_6958_FiguraEjemplo2CampoDesplazamientoDefinitiva.png|450px|Campo de la fuerza que el suelo ejerce sobre la viga.]]2436
|- style="text-align: center; font-size: 75%;"2437
| (a) Campo de desplazamientos.2438
| (b) Campo de la fuerza que el suelo ejerce sobre la viga.2439
|- style="text-align: center; font-size: 75%;"2440
| colspan="2" | '''Figura 14:''' Campos de desplazamiento en la viga y fuerza que el suelo ejerce sobre esta.2441
|}2442
Como revisión de las fuerzas que el suelo realiza sobre la viga y por ende del campo de desplazamientos, a continuación se revisará el equilibrio vertical y rotacional al rededor del punto 1 para toda la viga:2443
2444
{| class="formulaSCP" style="width: 100%; text-align: left;" 2445
|-2446
| 2447
{| style="text-align: left; margin:auto;width: 100%;" 2448
|-2449
| style="text-align: center;" | <math>\sum FY= -1-k\int {_0^3 v^I(x)dx'}_A-k \int _3^4 v^{II}(x)dx-k\int _4^5 v^{III}(x)dx=0 </math>2450
| style="width: 5px;text-align: right;white-space: nowrap;" | (138.a)2451
|-2452
| style="text-align: center;" | <math> \sum M_1= -3.5-k \int _0^3 v^I(x)x dx-k \int _3^4 v^{II}(x)x dx-k \int _4^5 v^{III}(x)x dx=0 </math>2453
| style="width: 5px;text-align: right;white-space: nowrap;" | (138.b)2454
|}2455
|}2456
2457
<u>Cálculo de las fuerzas internas</u>2458
2459
A partir del campo de desplazamientos es posible obtener el campo de momento flector como:2460
2461
{| class="formulaSCP" style="width: 100%; text-align: left;" 2462
|-2463
| 2464
{| style="text-align: left; margin:auto;width: 100%;" 2465
|-2466
| style="text-align: center;" | <math>M(x)=EI \frac{d^2 v}{dx^2}(x)= \begin{cases}M^I(x) & 0 \leq x \leq 3\hbox{ m} \\ M^{II}(x) & 3\hbox{ m} \leq x \leq 4\hbox{ m} \\ M^{III}(x) & 4\hbox{ m} \leq x \leq 5\hbox{ m} \end{cases} </math>2467
|}2468
| style="width: 5px;text-align: right;white-space: nowrap;" | (139)2469
|}2470
2471
Donde:2472
2473
{| class="formulaSCP" style="width: 100%; text-align: left;" 2474
|-2475
| 2476
{| style="text-align: left; margin:auto;width: 100%;" 2477
|-2478
| style="text-align: center;" | <math>M^I(x)=EI \frac{d^2 v^I}{dx}(x)=1.419262x10^{-3}\sin (\lambda x)\sinh (\lambda x) </math>2479
|-2480
| style="text-align: center;" | <math> -2.082808x10^{-3}\sin (\lambda x)\cosh (\lambda x)+2.082808x10^{-3}\cos (\lambda x)\sinh (\lambda x) </math>2481
|}2482
| style="width: 5px;text-align: right;white-space: nowrap;" | (140)2483
|}2484
2485
{| class="formulaSCP" style="width: 100%; text-align: left;" 2486
|-2487
| 2488
{| style="text-align: left; margin:auto;width: 100%;" 2489
|-2490
| style="text-align: center;" | <math>M^{II}(x)=EI \frac{d^2 v^{II}}{dx^2}(x)=-0.104979\sin=1.535260(x-3)\sinh=1.535260(x-3)</math>2491
|-2492
| style="text-align: center;" | <math> +0.107136\sin=1.535260(x-3)\cosh=1.535260(x-3)</math>2493
|-2494
| style="text-align: center;" | <math> +0.0219024\cos=1.535260(x-3)\sinh=1.535260(x-3)</math>2495
|-2496
| style="text-align: center;" | <math> +0.0219394\cos=1.535260(x-3)\cosh=1.535260(x-3) </math>2497
|}2498
| style="width: 5px;text-align: right;white-space: nowrap;" | (141)2499
|}2500
2501
{| class="formulaSCP" style="width: 100%; text-align: left;" 2502
|-2503
| 2504
{| style="text-align: left; margin:auto;width: 100%;" 2505
|-2506
| style="text-align: center;" | <math>M^{III}(x)=EI \frac{d^2 v^{III}}{dx^2}(x)=49.905617\sin (\lambda x)\sinh (\lambda x) </math>2507
|-2508
| style="text-align: center;" | <math> -49.905603\sin (\lambda x)\cosh (\lambda x) </math>2509
|-2510
| style="text-align: center;" | <math> -3.571557\cos (\lambda x)\sinh (\lambda x) +3.571597\cos (\lambda x)\cosh (\lambda x) </math>2511
|}2512
| style="width: 5px;text-align: right;white-space: nowrap;" | (142)2513
|}2514
2515
Mientras que el campo de fuerza cortante se calcula como:2516
2517
{| class="formulaSCP" style="width: 100%; text-align: left;" 2518
|-2519
| 2520
{| style="text-align: left; margin:auto;width: 100%;" 2521
|-2522
| style="text-align: center;" | <math>V(x)=-EI \frac{d^3 v}{dx^3}(x)= \begin{cases}V^I(x) & 0 \leq x \leq 3\hbox{ m} \\ V^{II}(x) & 3\hbox{ m} \leq x \leq 4\hbox{ m} \\ V^{III}(x) & 4\hbox{ m} \leq x \leq 5\hbox{ m} \end{cases} </math>2523
|}2524
| style="width: 5px;text-align: right;white-space: nowrap;" | (143)2525
|}2526
2527
Donde:2528
2529
{| class="formulaSCP" style="width: 100%; text-align: left;" 2530
|-2531
| 2532
{| style="text-align: left; margin:auto;width: 100%;" 2533
|-2534
| style="text-align: center;" | <math>V^I(x)=-EI \frac{d^3 v^I}{dx^3}{(x'}_ 6.395303x10x10^{-3}\sin (\lambda x)\sinh (\lambda x) </math>2535
|-2536
| style="text-align: center;" | <math> -2.178936x10^{-3}\sin (\lambda x)\cosh (\lambda x) -2.178936x10^{-3}\cos (\lambda x)\sinh (\lambda x) </math>2537
|}2538
| style="width: 5px;text-align: right;white-space: nowrap;" | (144)2539
|}2540
2541
{| class="formulaSCP" style="width: 100%; text-align: left;" 2542
|-2543
| 2544
{| style="text-align: left; margin:auto;width: 100%;" 2545
|-2546
| style="text-align: center;" | <math>V^{II}(x)=-EI \frac{d^3 v^{II}}{dx}(x)= -0.1308560\sin=1.535260(x-3)\sinh=1.535260(x-3)</math>2547
|-2548
| style="text-align: center;" | <math> +0.1948525\sin=1.535260(x-3)\cosh=1.535260(x-3)</math>2549
|-2550
| style="text-align: center;" | <math> +0.1274870\cos=1.535260(x-3)\sinh=1.535260(x-3)</math>2551
|-2552
| style="text-align: center;" | <math> -0.1981079\cos=1.535260(x-3)\cosh=1.535260(x-3) </math>2553
|}2554
| style="width: 5px;text-align: right;white-space: nowrap;" | (145)2555
|}2556
2557
{| class="formulaSCP" style="width: 100%; text-align: left;" 2558
|-2559
| 2560
{| style="text-align: left; margin:auto;width: 100%;" 2561
|-2562
| style="text-align: center;" | <math>V^{III}(x)=-EI \frac{d^3 v^{III}}{dx^3}(x)=71.134797\sin (\lambda x)\sinh (\lambda x) </math>2563
|-2564
| style="text-align: center;" | <math> -71.134758\sin (\lambda x)\cosh (\lambda x) -82.101417\cos (\lambda x)\sinh (\lambda x) </math>2565
|-2566
| style="text-align: center;" | <math> +82.101334\cos (\lambda x)\cosh (\lambda x) </math>2567
|}2568
| style="width: 5px;text-align: right;white-space: nowrap;" | (146)2569
|}2570
2571
En las Figuras [[#img-12a|12a]] y [[#img-12b|12b]] se presentan respectivamente las Figuras de los campos de fuerza cortante y momento flector para toda la viga. <div id='img-15a'></div>2572
<div id='img-15b'></div>2573
<div id='img-15'></div>2574
{| class="floating_imageSCP" style="text-align: center; border: 1px solid #BBB; margin: 1em auto; width: 100%;max-width: 100%;"2575
|-2576
|[[Image:Review_992381919967_7936_FiguraEjemplo2CampoCortanteDefinitiva.png|450px|Fuerza cortante.]]2577
|[[Image:Review_992381919967_9992_FiguraEjemplo2CampoMomentoFlectorDefinitiva.png|450px|Momento flector.]]2578
|- style="text-align: center; font-size: 75%;"2579
| (a) Fuerza cortante.2580
| (b) Momento flector.2581
|- style="text-align: center; font-size: 75%;"2582
| colspan="2" | '''Figura 15:''' Campos de fuerzas internas.2583
|}2584
En el siguiente enlace se encuentra el código de Python empleado para la solución de este ejemplo: 2585
2586
https://drive.google.com/open?id=1yq_G2WYO3X6oUW3Nnlq4jb9ATUd_WvlP2587
2588
===8.3 Pórtico plano===2589
2590
Resolver el pórtico plano presentado en la Figura [[#img-16a|16a]] cuyos elementos son rectangulares de base y altura iguales a <math display="inline">L/20</math> y cuyo módulo de elasticidad es <math display="inline">E</math>. <div id='img-16a'></div>2591
<div id='img-16b'></div>2592
<div id='img-16'></div>2593
{| class="floating_imageSCP" style="text-align: center; border: 1px solid #BBB; margin: 1em auto; width: 100%;max-width: 100%;"2594
|-2595
|[[Image:Review_992381919967_5173_Figura10a.png|390px|Problema a resolver.]]2596
|[[Image:Review_992381919967_1071_Figura10b.png|390px|Discretización.]]2597
|- style="text-align: center; font-size: 75%;"2598
| (a) Problema a resolver.2599
| (b) Discretización.2600
|- style="text-align: center; font-size: 75%;"2601
| colspan="2" | '''Figura 16:''' Pórtico plano sometido a cargas externas oblicuas y discretización empleada para su solución.2602
|}2603
<u>Discretización</u>2604
2605
En la Figura [[#img-16b|16b]] se presenta la discretización y ejes locales a emplear en la solución de este ejercicio.2606
2607
<u>Definición de la carga externa en coordenadas locales</u>2608
2609
A partir de la Figura [[#img-16a|16a]], es posible obtener el valor de la carga externa en dirección <math display="inline">{x'}_A</math> del elemento <math display="inline">A</math>:2610
2611
<span id="eq-147"></span>2612
{| class="formulaSCP" style="width: 100%; text-align: left;" 2613
|-2614
| 2615
{| style="text-align: left; margin:auto;width: 100%;" 2616
|-2617
| style="text-align: center;" | <math>{ p_A(x'}_A)= \begin{cases}\dfrac{24}{25}Q\left(-\dfrac{1}{2}+\dfrac{{x'}_A}{L}\right) \qquad & 0 \leq {x'}_< < \dfrac{L}{2} \\[0.3cm] \dfrac{24}{25}Q\left(-1+\dfrac{{x'}_A}{L}\right) & \dfrac{L}{2}{ < x'}_A \leq L \end{cases} </math>2618
|}2619
| style="width: 5px;text-align: right;white-space: nowrap;" | (147)2620
|}2621
2622
Mientras que la carga externa en dirección del eje <math display="inline">{y'}_A</math> en el elemento <math display="inline">A</math> es:2623
2624
<span id="eq-148"></span>2625
{| class="formulaSCP" style="width: 100%; text-align: left;" 2626
|-2627
| 2628
{| style="text-align: left; margin:auto;width: 100%;" 2629
|-2630
| style="text-align: center;" | <math>{ q_A(x'}_A)= \begin{cases}\dfrac{32}{25}Q\left(-\dfrac{1}{2}+\dfrac{{x'}_A}{L}\right)\qquad & 0 \leq {x'}_< < \dfrac{L}{2} \\[0.3cm] \dfrac{32}{25}Q\left(-1+\dfrac{{x'}_A}{L}\right) & \dfrac{L}{2}{ < x'}_A \leq L \end{cases} </math>2631
|}2632
| style="width: 5px;text-align: right;white-space: nowrap;" | (148)2633
|}2634
2635
De forma similar, se tiene que las cargas externas en dirección de los ejes <math display="inline">{x'}_B</math> y <math display="inline">{y'}_B</math> en el elemento <math display="inline">B</math> son respectivamente:2636
2637
{| class="formulaSCP" style="width: 100%; text-align: left;" 2638
|-2639
| 2640
{| style="text-align: left; margin:auto;width: 100%;" 2641
|-2642
| style="text-align: center;" | <math>{p_B(x'}_B)=\dfrac{12}{25}Q\left(-1+\dfrac{{x'}_B}{L}\right)</math>2643
| style="width: 5px;text-align: right;white-space: nowrap;" | (149.a)2644
|-2645
| style="text-align: center;" | <math>{ q_B(x'}_B)=\dfrac{ 9}{25}Q\left(-1+\dfrac{{x'}_B}{L}\right) </math>2646
| style="width: 5px;text-align: right;white-space: nowrap;" | (149.b)2647
|}2648
|}2649
2650
<u>Cálculo del sistema de ecuaciones de cada elemento en coordenadas locales</u>2651
2652
A partir de lo presentado en [[#eq-86|86]] se tiene que las ecuaciones del método de rigidez en coordenadas locales para los elementos <math display="inline">A</math> y <math display="inline">B</math> son respectivamente:2653
2654
<span id="eq-150"></span>2655
{| class="formulaSCP" style="width: 100%; text-align: left;" 2656
|-2657
| 2658
{| style="text-align: left; margin:auto;width: 100%;" 2659
|-2660
| style="text-align: center;" | <math>\begin{Bmatrix}\left.{FX'}_1 \right.^{A} \\ \left.{FY'}_1 \right.^{A} \\ \left.{M'}_1 \right.^{A} \\ \left.{FX'}_2 \right.^{A} \\ \left.{FY'}_2 \right.^{A} \\ \left.{M'}_2 \right.^{A} \end{Bmatrix}=E \begin{bmatrix}\dfrac{L}{400} & 0 & 0 & -\dfrac{L}{400} & 0 & 0 \\ 0 & \dfrac{L}{160000} & \dfrac{L^2}{320000} & 0 & -\dfrac{L}{160000} & \dfrac{L^2}{320000} \\ 0 & \dfrac{L^2}{320000} & \dfrac{L^3}{480000} & 0 & -\dfrac{L^2}{320000} & \dfrac{L^3}{960000} \\ -\dfrac{L}{400} & 0 & 0 & \dfrac{L}{400} & 0 & 0 \\ 0 & -\dfrac{L}{160000} & -\dfrac{L^2}{320000} & 0 & \dfrac{L}{160000} & -\dfrac{L^2}{320000} \\ 0 & \dfrac{L^2}{320000} & \dfrac{L^3}{960000} & 0 & -\dfrac{L^2}{320000} & \dfrac{L^3}{480000} \end{bmatrix} \begin{Bmatrix}\left.{u'}_1 \right.^A \\ \left.{v'}_1 \right.^A \\ \left.\theta' _1 \right.^A \\ \left.{u'}_2 \right.^A \\ \left.{v'}_2 \right.^A \\ \left.\theta' _2 \right.^A \end{Bmatrix}+Q \begin{Bmatrix}\dfrac{7}{50}L \\ \dfrac{47}{250}L \\ \dfrac{41}{1500}L^2 \\ \dfrac{1}{10}L \\ \dfrac{33}{250}L \\ -\dfrac{13}{500}L^2 \end{Bmatrix} </math>2661
|}2662
| style="width: 5px;text-align: right;white-space: nowrap;" | (150)2663
|}2664
2665
<span id="eq-151"></span>2666
{| class="formulaSCP" style="width: 100%; text-align: left;" 2667
|-2668
| 2669
{| style="text-align: left; margin:auto;width: 100%;" 2670
|-2671
| style="text-align: center;" | <math>\begin{Bmatrix}\left.{FX'}_2 \right.^B \\ \left.{FY'}_2 \right.^B \\ \left.{M'}_2 \right.^B \\ \left.{FX'}_3 \right.^B \\ \left.{FY'}_3 \right.^B \\ \left.{M'}_3 \right.^B \end{Bmatrix}=E \begin{bmatrix}\dfrac{L}{400} & 0 & 0 & -\dfrac{L}{400} & 0 & 0] \\ 0 & \dfrac{L}{160000} & \dfrac{L^2}{320000} & 0 & -\dfrac{L}{160000} & \dfrac{L^2}{320000} \\ 0 & \dfrac{L^2}{320000} & \dfrac{L^3}{480000} & 0 & -\dfrac{L^2}{320000} & \dfrac{L^3}{960000} \\ -\dfrac{L}{400} & 0 & 0 & \dfrac{L}{400} & 0 & 0 \\ 0 & -\dfrac{L}{160000} & -\dfrac{L^2}{320000} & 0 & \dfrac{L}{160000} & -\dfrac{L^2}{320000} \\ 0 & \dfrac{L^2}{320000} & \dfrac{L^3}{960000} & 0 & -\dfrac{L^2}{320000} & \dfrac{L^3}{480000} \end{bmatrix} \begin{Bmatrix}\left.{u'}_2 \right.^B \\ \left.{v'}_2 \right.^B \\ \left.\theta' _2 \right.^B \\ \left.{u'}_3 \right.^B \\ \left.{v'}_3 \right.^B \\ \left.\theta' _3 \right.^B \end{Bmatrix}+Q \begin{Bmatrix}\dfrac{4}{25}L \\ \dfrac{63}{500}L \\ \dfrac{9}{500}L^2 \\ \dfrac{2}{25}L \\ \dfrac{27}{500}L \\ -\dfrac{3}{250}L^2 \end{Bmatrix} </math>2672
|}2673
| style="width: 5px;text-align: right;white-space: nowrap;" | (151)2674
|}2675
2676
<u>Cálculo del sistema de ecuaciones de cada elemento en coordenadas globales</u>2677
2678
Las ecuaciones [[#eq-150|150]] y [[#eq-151|151]] se transforman a coordenadas globales como:2679
2680
{| class="formulaSCP" style="width: 100%; text-align: left;" 2681
|-2682
| 2683
{| style="text-align: left; margin:auto;width: 100%;" 2684
|-2685
| style="text-align: center;" | <math>\begin{Bmatrix}FX_1^A \\ FY_1^A \\ M_1^A \\ FX_2^A \\ FY_2^A \\ M_2^A \end{Bmatrix}=E \begin{bmatrix}\dfrac{6409}{4000000}L & \dfrac{1197}{1000000}L & -\dfrac{3}{1600000}L^2 & -\dfrac{6409}{4000000}L & -\dfrac{1197}{1000000}L & -\dfrac{3}{1600000}L^2 \\ \dfrac{1197}{1000000}L & \dfrac{113}{125000}L & \dfrac{1}{400000}L^2 & -\dfrac{1197}{1000000}L & -\dfrac{113}{125000}L & \dfrac{1}{400000}L^2 \\ -\dfrac{3}{1600000}L^2 & \dfrac{1}{400000}L^2 & \dfrac{1}{480000}L^3 & \dfrac{3}{1600000}L^2 & -\dfrac{1}{400000}L^2 & \dfrac{1}{960000}L^3 \\ -\dfrac{6409}{4000000}L & -\dfrac{1197}{1000000}L & \dfrac{3}{1600000}L^2 & \dfrac{6409}{4000000}L & \dfrac{1197}{1000000}L & \dfrac{3}{1600000}L^2 \\ -\dfrac{1197}{1000000}L & -\dfrac{113}{125000}L & -\dfrac{1}{400000}L^2 & \dfrac{1197}{1000000}L & \dfrac{113}{125000}L & -\dfrac{1}{400000}L^2 \\ -\dfrac{3}{1600000}L^2 & \dfrac{1}{400000}L^2 & \dfrac{1}{960000}L^3 & \dfrac{3}{1600000}L^2 & -\dfrac{1}{400000}L^2 & \dfrac{1}{480000}L^3 \end{bmatrix} \begin{Bmatrix}u_1 \\ v_1 \\ \theta _1 \\ u_2 \\ v_2 \\ \theta _2^A \end{Bmatrix}+Q \begin{Bmatrix}-\dfrac{1}{1250}L \\ \dfrac{293}{1250}L \\ \dfrac{41}{1500}L^2 \\ \dfrac{1}{1250}L \\ \dfrac{207}{1250}L \\ -\dfrac{13}{500}L^2 \end{Bmatrix} </math>2686
|}2687
| style="width: 5px;text-align: right;white-space: nowrap;" | (152)2688
|}2689
2690
{| class="formulaSCP" style="width: 100%; text-align: left;" 2691
|-2692
| 2693
{| style="text-align: left; margin:auto;width: 100%;" 2694
|-2695
| style="text-align: center;" | <math>\begin{Bmatrix}FX_2^B \\ FY_2^B \\ M_2^B \\ FX_3^B \\ FY_3^B \\ M_3^B \end{Bmatrix}=E \begin{bmatrix}\dfrac{6409}{4000000}L & -\dfrac{1197}{1000000}L & \dfrac{3}{1600000}L^2 & -\dfrac{6409}{4000000}L & \dfrac{1197}{1000000}L & \dfrac{3}{1600000}L^2 \\ -\dfrac{1197}{1000000}L & \dfrac{113}{125000}L & \dfrac{1}{400000}L^2 & \dfrac{1197}{1000000}L & -\dfrac{113}{125000}L & \dfrac{1}{400000}L^2 \\ \dfrac{3}{1600000}L^2 & \dfrac{1}{400000}L^2 & \dfrac{1}{480000}L^3 & -\dfrac{3}{1600000}L^2 & -\dfrac{1}{400000}L^2 & \dfrac{1}{960000}L^3 \\ -\dfrac{6409}{4000000}L & \dfrac{1197}{1000000}L & -\dfrac{3}{1600000}L^2 & \dfrac{6409}{4000000}L & -\dfrac{1197}{1000000}L & -\dfrac{3}{1600000}L^2 \\ \dfrac{1197}{1000000}L & -\dfrac{113}{125000}L & -\dfrac{1}{400000}L^2 & -\dfrac{1197}{1000000}L & \dfrac{113}{125000}L & -\dfrac{1}{400000}L^2 \\ \dfrac{3}{1600000}L^2 & \dfrac{1}{400000}L^2 & \dfrac{1}{960000}L^3 & -\dfrac{3}{1600000}L^2 & -\dfrac{1}{400000}L^2 & \dfrac{1}{480000}L^3 \end{bmatrix} \begin{Bmatrix}u_2 \\ v_2 \\ \theta _2^B \\ u_3 \\ v_3 \\ \theta _3 \end{Bmatrix}+Q \begin{Bmatrix}\dfrac{509}{2500}L \\ \dfrac{3}{625}L \\ \dfrac{9}{500}L^2 \\ \dfrac{241}{2500}L \\ -\dfrac{3}{625}L \\ -\dfrac{3}{250}L^2 \end{Bmatrix} </math>2696
|}2697
| style="width: 5px;text-align: right;white-space: nowrap;" | (153)2698
|}2699
2700
<u>Cálculo de los desplazamientos nodales desconocidos</u>2701
2702
A partir del equilibrio de los nudos en las direcciones donde las fuerzas externas o internas son conocidas, se obtiene el siguiente sistema lineal de cinco ecuaciones con igual número de incógnitas:2703
2704
{| class="formulaSCP" style="width: 100%; text-align: left;" 2705
|-2706
| 2707
{| style="text-align: left; margin:auto;width: 100%;" 2708
|-2709
| style="text-align: center;" | <math>\begin{Bmatrix}M_1 \\ FX_2 \\ FY_2 \\ M_2^A \\ M_2^B \\ M_3 \end{Bmatrix}= \begin{Bmatrix}0 \\ 0 \\ 0 \\ 0 \\ 0 \\ 0 \end{Bmatrix}=E \begin{bmatrix}\dfrac{1}{480000}L^3 & \dfrac{3}{1600000}L^2 & -\dfrac{1}{400000}L^2 & \dfrac{1}{960000}L^3 & 0 & 0 \\ \dfrac{3}{1600000}L^2 & \dfrac{6409}{2000000}L & 0 & \dfrac{3}{1600000}L^2 & \dfrac{3}{1600000}L^2 & \dfrac{3}{1600000}L^2 \\ -\dfrac{1}{400000}L^2 & 0 & \dfrac{113}{62500}L & -\dfrac{1}{400000}L^2 & \dfrac{1}{400000}L^2 & \dfrac{1}{400000}L^2 \\ \dfrac{1}{960000}L^3 & \dfrac{3}{1600000}L^2 & -\dfrac{1}{400000}L^2 & \dfrac{1}{480000}L^3 & 0 & 0 \\ 0 & \dfrac{3}{1600000}L^2 & \dfrac{1}{400000}L^2 & 0 & \dfrac{1}{480000}L^3 & \dfrac{1}{960000}L^3 \\ 0 & \dfrac{3}{1600000}L^2 & \dfrac{1}{400000}L^2 & 0 & \dfrac{1}{960000}L^3 & \dfrac{1}{480000}L^3 \end{bmatrix} \begin{Bmatrix}\theta _1 \\ u_2 \\ v_2 \\ \theta _2^A \\ \theta _2^B \\ \theta _3 \end{Bmatrix}+Q \begin{Bmatrix}\dfrac{41}{1500}L^2 \\ \dfrac{511}{2500}L \\ \dfrac{213}{1250}L \\ -\dfrac{13}{500}L^2 \\ \dfrac{9}{500}L^2 \\ -\dfrac{3}{250}L^2 \end{Bmatrix} </math>2710
|}2711
| style="width: 5px;text-align: right;white-space: nowrap;" | (154)2712
|}2713
2714
Cuya solución es:2715
2716
<span id="eq-155"></span>2717
{| class="formulaSCP" style="width: 100%; text-align: left;" 2718
|-2719
| 2720
{| style="text-align: left; margin:auto;width: 100%;" 2721
|-2722
| style="text-align: center;" | <math>\begin{Bmatrix}\theta _1 \\ u_2 \\ v_2 \\ \theta _2^A \\ \theta _2^B \\ \theta _3 \end{Bmatrix}=\dfrac{Q}{EL} \begin{Bmatrix}-\dfrac{1395895}{54} \\ -\dfrac{125}{2}L \\ -\dfrac{2500}{27}L \\ \dfrac{1368905}{54} \\ -\dfrac{823415}{54} \\ \dfrac{731785}{54} \end{Bmatrix} </math>2723
|}2724
| style="width: 5px;text-align: right;white-space: nowrap;" | (155)2725
|}2726
2727
<u>Cálculo de las reacciones</u>2728
2729
Del equilibrio de los nodos en las direcciones donde se desconocen las reacciones se obtiene el siguiente sistema lineal de cuatro ecuaciones:2730
2731
{| class="formulaSCP" style="width: 100%; text-align: left;" 2732
|-2733
| 2734
{| style="text-align: left; margin:auto;width: 100%;" 2735
|-2736
| style="text-align: center;" | <math>\begin{Bmatrix}FX_1 \\ FY_1 \\ FX_3 \\ FY_3 \end{Bmatrix}=E \begin{bmatrix}-\dfrac{3}{1600000}L^2 & -\dfrac{6409}{4000000}L & -\dfrac{1197}{1000000}L & -\dfrac{3}{1600000}L^2 & 0 & 0 \\ \dfrac{1}{400000}L^2 & -\dfrac{1197}{1000000}L & -\dfrac{113}{125000}L & \dfrac{1}{400000}L^2 & 0 & 0 \\ 0 & -\dfrac{6409}{4000000}L & \dfrac{1197}{1000000}L & 0 & -\dfrac{3}{1600000}L^2 & -\dfrac{3}{1600000}L^2 \\ 0 & \dfrac{1197}{1000000}L & -\dfrac{113}{125000}L & 0 & -\dfrac{1}{400000}L^2 & -\dfrac{1}{400000}L^2 \end{bmatrix} \begin{Bmatrix}\theta _1 \\ u_2 \\ v_2 \\ \theta _2^A \\ \theta _2^B \\ \theta _3 \end{Bmatrix}+QL \begin{Bmatrix}-\dfrac{1}{1250} \\ \dfrac{293}{1250} \\ \dfrac{241}{2500} \\ -\dfrac{3}{625} \end{Bmatrix}=QL \begin{Bmatrix}\dfrac{19}{90} \\ \dfrac{47}{120} \\ \dfrac{4}{45} \\ \dfrac{1}{120} \end{Bmatrix} </math>2737
|}2738
| style="width: 5px;text-align: right;white-space: nowrap;" | (156)2739
|}2740
2741
Donde se emplearon los valores de los desplazamientos nodales presentados en [[#eq-155|155]].2742
2743
Como revisión de las reacciones obtenidas anteriormente se realizará el equilibrio de toda la estructura:2744
2745
{| class="formulaSCP" style="width: 100%; text-align: left;" 2746
|-2747
| 2748
{| style="text-align: left; margin:auto;width: 100%;" 2749
|-2750
| style="text-align: center;" | <math>\sum FX=FX_1+FX_3-\frac{3}{10}QL=0</math>2751
| style="width: 5px;text-align: right;white-space: nowrap;" | (157.a)2752
|-2753
| style="text-align: center;" | <math> \sum FY=FY_1+FY_3-\frac{1}{5}QL-\frac{1}{5}QL=0 </math>2754
| style="width: 5px;text-align: right;white-space: nowrap;" | (157.b)2755
|-2756
| style="text-align: center;" | <math> \sum M_1=FY_3 \cdot \frac{8}{5}L -\frac{1}{5}QL \cdot \frac{2}{15}L-\frac{1}{5}QL \cdot \frac{8}{15} L + \frac{3}{10}QL \cdot \frac{2}{5}L=0 </math>2757
| style="width: 5px;text-align: right;white-space: nowrap;" | (157.c)2758
|}2759
|}2760
2761
<u>Cálculo del campo de desplazamiento del elemento <math>A</math></u>2762
2763
Para poder calcular el campo de desplazamiento homogéneo del elemento <math display="inline">A</math> es necesario haber transformado los desplazamientos en los extremos de este elemento de coordenadas globales a locales. Una vez realizado esto, se tiene que el campo de desplazamiento homogéneo en dirección <math display="inline">{x'}_A</math> del elemento <math display="inline">A</math> es:2764
2765
{| class="formulaSCP" style="width: 100%; text-align: left;" 2766
|-2767
| 2768
{| style="text-align: left; margin:auto;width: 100%;" 2769
|-2770
| style="text-align: center;" | <math>{u_A^h(x'}_A)=-\frac{950Q}{9E} \frac{{x'}_A}{L} </math>2771
|}2772
| style="width: 5px;text-align: right;white-space: nowrap;" | (158)2773
|}2774
2775
Mientras que a partir de lo presentado en [[#eq-22|22]] y [[#eq-147|147]], se tiene que el campo de desplazamiento empotrado en dirección <math display="inline">{x'}_A</math> del elemento <math display="inline">A</math> es:2776
2777
{| class="formulaSCP" style="width: 100%; text-align: left;" 2778
|-2779
| 2780
{| style="text-align: left; margin:auto;width: 100%;" 2781
|-2782
| style="text-align: center;" | <math>{u_A^f(x'}_A)= \begin{cases}\dfrac{Q}{E} \left[-56\dfrac{{x'}_A}{L} + 96\left(\dfrac{{x'}_A}{L}\right)^2 - 64\left(\dfrac{{x'}_A}{L}\right)^3 \right]&{ 0 < x'}_A \leq \dfrac{L}{2} \\[0.5cm] \dfrac{Q}{E} \left[24 - 152\dfrac{{x'}_A}{L} + 192\left(\dfrac{{x'}_A}{L}\right)^2 -64\left(\dfrac{{x'}_A}{L}\right)^3 \right] & \dfrac{L}{2} \leq {x'} < L \end{cases} </math>2783
|}2784
| style="width: 5px;text-align: right;white-space: nowrap;" | (159)2785
|}2786
2787
Con lo cual el campo total de desplazamiento en dirección <math display="inline">{x'}_A</math> del elemento <math display="inline">A</math> es:2788
2789
{| class="formulaSCP" style="width: 100%; text-align: left;" 2790
|-2791
| 2792
{| style="text-align: left; margin:auto;width: 100%;" 2793
|-2794
| style="text-align: center;" | <math>{u_A(x'}_A)= \begin{cases}\dfrac{Q}{E} \left[-\dfrac{1454}{9} \dfrac{{x'}_A}{L}+96 \left(\dfrac{{x'}_A}{L} \right)^2 -64\left(\dfrac{{x'}_A}{L} \right)^3 \right]& 0 \leq {x'}_A \leq \dfrac{L}{2} \\[0.4cm] \dfrac{Q}{E} \left[24-\dfrac{2318}{9}\dfrac{{x'}_A}{L}+192\left(\dfrac{{x'}_A}{L} \right)^2 -64\left(\dfrac{{x'}_A}{L} \right)^3 \right]& \dfrac{L}{2} \leq {x'}_A \leq L \end{cases} </math>2795
|}2796
| style="width: 5px;text-align: right;white-space: nowrap;" | (160)2797
|}2798
2799
Procediendo de forma similar a como se realizó en el ejemplo [[#8.1 Viga|8.1]], se tiene que los campos homogéneo, empotrado y total en dirección <math display="inline">{y'}_A</math> del elemento <math display="inline">A</math> son respectivamente:2800
2801
{| class="formulaSCP" style="width: 100%; text-align: left;" 2802
|-2803
| 2804
{| style="text-align: left; margin:auto;width: 100%;" 2805
|-2806
| style="text-align: center;" | <math>{v_A^h(x'}_A)=\dfrac{Q}{L} \left[-\dfrac{1395895}{54}\frac{{x'}_A}{L}+26240\left(\frac{{x'}_A}{L} \right)^2 -\frac{1280}{3}\left(\frac{{x'}_A}{L} \right)^3 \right] </math>2807
|}2808
| style="width: 5px;text-align: right;white-space: nowrap;" | (161)2809
|}2810
2811
{| class="formulaSCP" style="width: 100%; text-align: left;" 2812
|-2813
| 2814
{| style="text-align: left; margin:auto;width: 100%;" 2815
|-2816
| style="text-align: center;" | <math>{v_A^f(x'}_A)= \begin{cases}\dfrac{Q}{E} \left[ -26240 \left(\dfrac{{x'}_A}{L} \right)^2+60160 \left(\dfrac{{x'}_A}{L} \right)^3 -51200\left(\dfrac{{x'}_A}{L} \right)^4+20480\left(\dfrac{{x'}_A}{L} \right)^5 \right] &{ 0 < x'}_A \leq \dfrac{L}{2} \\[0.3cm] \dfrac{Q}{E} \left[-3200+25600 \dfrac{{x'}_A}{L}-103040\left(\dfrac{{x'}_A}{L} \right)^2 +162560\left(\dfrac{{x'}_A}{L} \right)^3-102400\left(\dfrac{{x'}_A}{L} \right)^4 +20480\left(\dfrac{{x'}_A}{L} \right)^5 \right] & \dfrac{L}{2} \leq {x'} < L \end{cases} </math>2817
|}2818
| style="width: 5px;text-align: right;white-space: nowrap;" | (162)2819
|}2820
2821
{| class="formulaSCP" style="width: 100%; text-align: left;" 2822
|-2823
| 2824
{| style="text-align: left; margin:auto;width: 100%;" 2825
|-2826
| style="text-align: center;" | <math>{v_A(x'}_A)= \begin{cases}\dfrac{Q}{E} \left[-\dfrac{1395895}{54} \dfrac{{x'}_A}{L}+\dfrac{179200}{3} \left(\dfrac{{x'}_A}{L}\right)^3 -51200\left(\dfrac{{x'}_A}{L}\right)^4 + 20480\left(\dfrac{{x'}_A}{L}\right)^5 \right] & 0 \leq {x'}_A \leq \dfrac{L}{2} \\[0.3cm] \dfrac{Q}{E} \left[-3200-\dfrac{13495}{54} \dfrac{{x'}_A}{L}-76800\left(\dfrac{{x'}_A}{L}\right)^2 +\dfrac{486400}{3}\left(\dfrac{{x'}_A}{L}\right)^3-102400\left(\dfrac{{x'}_A}{L}\right)^4 +20480\left(\dfrac{{x'}_A}{L}\right)^5 \right]& \dfrac{L}{2} \leq {x'}_A \leq L \end{cases} </math>2827
|}2828
| style="width: 5px;text-align: right;white-space: nowrap;" | (163)2829
|}2830
2831
<u>Cálculo del campo de desplazamiento del elemento <math>B</math></u>2832
2833
De igual forma a como se realizó con el elemento <math display="inline">A</math>, se tiene que los campos de desplazamiento homogéneo, empotrado y total en dirección <math display="inline">{x'}_B</math> del elemento <math display="inline">B</math> son respectivamente:2834
2835
{| class="formulaSCP" style="width: 100%; text-align: left;" 2836
|-2837
| 2838
{| style="text-align: left; margin:auto;width: 100%;" 2839
|-2840
| style="text-align: center;" | <math>{u_B^h(x'}_B)=\frac{Q}{E} \left(\frac{50}{9}-\frac{50}{9}\frac{{x'}_B}{L} \right) </math>2841
|}2842
| style="width: 5px;text-align: right;white-space: nowrap;" | (164)2843
|}2844
2845
{| class="formulaSCP" style="width: 100%; text-align: left;" 2846
|-2847
| 2848
{| style="text-align: left; margin:auto;width: 100%;" 2849
|-2850
| style="text-align: center;" | <math>{u_B^f(x'}_B)=\frac{Q}{E} \left[-64\frac{{x'}_B}{L}+96\left(\frac{{x'}_B}{L} \right)^2-32\left(\frac{{x'}_B}{L} \right)^3 \right] </math>2851
|}2852
| style="width: 5px;text-align: right;white-space: nowrap;" | (165)2853
|}2854
2855
{| class="formulaSCP" style="width: 100%; text-align: left;" 2856
|-2857
| 2858
{| style="text-align: left; margin:auto;width: 100%;" 2859
|-2860
| style="text-align: center;" | <math>{u_B(x'}_B)=\frac{Q}{E} \left[\frac{50}{9}-\frac{626}{9}\dfrac{{x'}_B}{L}+96 \left(\dfrac{{x'}_B}{L} \right)^2 - 32\left(\dfrac{{x'}_B}{L} \right)^3 \right] </math>2861
|}2862
| style="width: 5px;text-align: right;white-space: nowrap;" | (166)2863
|}2864
2865
Mientras que los campos de desplazamiento homogéneo, empotrado y total en dirección <math display="inline">{y'}_B</math> del elemento <math display="inline">B</math> son respectivamente:2866
2867
{| class="formulaSCP" style="width: 100%; text-align: left;" 2868
|-2869
| 2870
{| style="text-align: left; margin:auto;width: 100%;" 2871
|-2872
| style="text-align: center;" | <math>{v_B^h(x'}_B)=\frac{Q}{E} \left[-\frac{6025}{54} - \frac{823415}{54}\frac{{x'}_B}{L} + 17280\left(\frac{{x'}_B}{L} \right)^2 - 1920\left(\frac{{x'}_B}{L} \right)^3 \right] </math>2873
|}2874
| style="width: 5px;text-align: right;white-space: nowrap;" | (167)2875
|}2876
2877
{| class="formulaSCP" style="width: 100%; text-align: left;" 2878
|-2879
| 2880
{| style="text-align: left; margin:auto;width: 100%;" 2881
|-2882
| style="text-align: center;" | <math>{v_B^f(x'}_B)=\frac{Q}{E} \left[-17280\left(\frac{{x'}_B}{L} \right)^2+40320\left(\frac{{x'}_B}{L} \right)^3 -28800\left(\frac{{x'}_B}{L} \right)^4+5760\left(\frac{{x'}_B}{L} \right)^5 \right] </math>2883
|}2884
| style="width: 5px;text-align: right;white-space: nowrap;" | (168)2885
|}2886
2887
{| class="formulaSCP" style="width: 100%; text-align: left;" 2888
|-2889
| 2890
{| style="text-align: left; margin:auto;width: 100%;" 2891
|-2892
| style="text-align: center;" | <math>{v_B(x'}_B)=\frac{Q}{E} \left[-\frac{6025}{54}-\frac{823415}{54}\frac{{x'}_B}{L} +38400 \left(\frac{{x'}_B}{L} \right)^3-28800\left(\frac{{x'}_B}{L} \right)^4+5760\left(\frac{{x'}_B}{L} \right)^5 \right] </math>2893
|}2894
| style="width: 5px;text-align: right;white-space: nowrap;" | (169)2895
|}2896
2897
Como síntesis de los campos de desplazamiento calculados anteriormente en la Figura [[#img-17d|17d]] se presenta la configuración deformada de la estructura.2898
2899
<u>Cálculo de las fuerzas internas</u>2900
2901
A partir de la derivación de los campos de desplazamientos en coordenadas locales de ambos elementos se obtiene las fuerzas internas en estos (ecuaciones [[#eq-2|2]] y [[#2.2 Elemento tipo viga (viga de Euler)|2.2]]):2902
2903
{| class="formulaSCP" style="width: 100%; text-align: left;" 2904
|-2905
| 2906
{| style="text-align: left; margin:auto;width: 100%;" 2907
|-2908
| style="text-align: center;" | <math>{P_A(x'}_A)=AE \dfrac{{du'}_A}{{dx'}_A}{(x'}_A)= \begin{cases}QL \left[-\dfrac{727}{1800} + \dfrac{12}{25}\dfrac{{x'}_A}{L}-\dfrac{12}{25} \left(\dfrac{{x'}_A}{L}\right)^2 \right] \qquad & 0 \leq {x'}_< < \dfrac{L}{2} \\[0.4cm] QL \left[-\dfrac{1159}{1800} + \dfrac{24}{25}\dfrac{{x'}_A}{L}-\dfrac{12}{25} \left(\dfrac{{x'}_A}{L}\right)^2 \right] & \dfrac{L}{2}{ < x'}_A \leq L \end{cases} </math>2909
|}2910
| style="width: 5px;text-align: right;white-space: nowrap;" | (170)2911
|}2912
2913
{| class="formulaSCP" style="width: 100%; text-align: left;" 2914
|-2915
| 2916
{| style="text-align: left; margin:auto;width: 100%;" 2917
|-2918
| style="text-align: center;" | <math>{V_A(x'}I )=-EI \dfrac{{d^3 v'}_A}{\left.{dx'}_A \right.^3}{(x'}_A)= \begin{cases}QL \left[-\dfrac{14}{75} + \dfrac{16}{25}\dfrac{{x'}_A}{L}-\dfrac{16}{25} \left(\dfrac{{x'}_A}{L}\right)^2 \right] \qquad & 0 \leq {x'}_< < \dfrac{L}{2} \\[0.4cm] QL \left[-\dfrac{38}{75} + \dfrac{32}{25}\dfrac{{x'}_A}{L}-\dfrac{16}{25} \left(\dfrac{{x'}_A}{L}\right)^2 \right] & \dfrac{L}{2}{ < x'}_A \leq L \end{cases} </math>2919
|}2920
| style="width: 5px;text-align: right;white-space: nowrap;" | (171)2921
|}2922
2923
{| class="formulaSCP" style="width: 100%; text-align: left;" 2924
|-2925
| 2926
{| style="text-align: left; margin:auto;width: 100%;" 2927
|-2928
| style="text-align: center;" | <math>{M_A(x'}_A)=EI \dfrac{{d^2 v'}_A}{\left.{dx'}_A \right.^2}{(x'}_A) \begin{cases}QL^2 \left[\dfrac{14}{75}\dfrac{{x'}_A}{L} - \dfrac{8}{25}\left(\dfrac{{x'}_A}{L}\right)^2 +\dfrac{16}{75} \left(\dfrac{{x'}_A}{L}\right)^3 \right]\qquad & 0 \leq {x'}_< < \dfrac{L}{2} \\[0.3cm] QL^2 \left[-\dfrac{2}{25}+\dfrac{38}{75}\dfrac{{x'}_A}{L} - \dfrac{16}{25}\left(\dfrac{{x'}_A}{L}\right)^2 +\dfrac{16}{75} \left(\dfrac{{x'}_A}{L}\right)^3 \right]& \dfrac{L}{2}{ < x'}_A \leq L \end{cases} </math>2929
|}2930
| style="width: 5px;text-align: right;white-space: nowrap;" | (172)2931
|}2932
2933
{| class="formulaSCP" style="width: 100%; text-align: left;" 2934
|-2935
| 2936
{| style="text-align: left; margin:auto;width: 100%;" 2937
|-2938
| style="text-align: center;" | <math>{P_B(x'}_B)=AE \dfrac{{du'}_B}{{x'}_B}{(x'}=QL L \left[-\frac{313}{1800}+\frac{12}{25} \frac{{x'}_B}{L}-\frac{6}{25} \left(\frac{{x'}_B}{L}\right)^2 \right]</math>2939
| style="width: 5px;text-align: right;white-space: nowrap;" | (173.a)2940
|-2941
| style="text-align: center;" | <math>{ V_B(x'}_B)=EI \dfrac{{d^3 v'}_B}{\left.{dx'}_B \right.^3}{(x'}_B)=QL\left[-\frac{3}{25}+\frac{9}{25}\frac{{x'}_B}{L} - \frac{9}{50} \left(\frac{{x'}_B}{L}\right)^2 \right]</math>2942
| style="width: 5px;text-align: right;white-space: nowrap;" | (173.b)2943
|-2944
| style="text-align: center;" | <math>{ M_B(x'}_B)=EI \dfrac{{d^2 v'}_B}{\left.{dx'}_B \right.^2}{(x'}_QL^2L^2 \left[\frac{3}{25}\frac{{x'}_B}{L}-\frac{9}{50}\left(\frac{{x'}_B}{L}\right)^2 +\frac{3}{50}\left(\frac{{x'}_B}{L}\right)^3 \right] </math>2945
| style="width: 5px;text-align: right;white-space: nowrap;" | (173.c)2946
|}2947
|}2948
2949
Como resumen en las figuras [[#img-17a|17a]] a [[#img-17c|17c]] se presentan los diagramas de fuerzas internas en los dos elementos que componen la estructura. <div id='img-17c'></div>2950
<div id='img-17d'></div>2951
<div id='img-17'></div>2952
<div id='img-17a'></div>2953
<div id='img-17b'></div>2954
{| class="floating_imageSCP" style="text-align: center; border: 1px solid #BBB; margin: 1em auto; width: 100%;max-width: 100%;"2955
|-2956
|[[Image:Review_992381919967_6984_FiguraEjemplo3CampoMomentoFlectorDefinitivo.png|240px|Momento flector dividido QL², \left(\dfracMQL² \right).]]2957
|[[Image:Review_992381919967_4660_FiguraEjemplo3CampoDesplazamientoDefinitivo.png|240px|Configuración deformada de la estructura, los desplazamientos adimensionalizados han sido escalados 0.00002 veces.]]2958
|- style="text-align: center; font-size: 75%;"2959
| (c) Momento flector dividido <math display="inline">QL^2</math>, <math display="inline">\left(\dfrac{M}{QL^2} \right)</math>.2960
| (d) Configuración deformada de la estructura, los desplazamientos adimensionalizados han sido escalados 0.00002 veces.2961
|-2962
|[[Image:Review_992381919967_1285_FiguraEjemplo3CampoFuerzaAxialDefinitivo.png|240px|Fuerza axial dividida QL, \left(\dfracPQL \right).]]2963
|[[Image:Review_992381919967_9197_FiguraEjemplo3CampoFuerzaCortanteDefinitivo.png|240px|Fuerza cortante dividida QL, \left(\dfracVQL \right).]]2964
|- style="text-align: center; font-size: 75%;"2965
| (a) Fuerza axial dividida <math display="inline">QL</math>, <math display="inline">\left(\dfrac{P}{QL} \right)</math>.2966
|- style="text-align: center; font-size: 75%;"2967
| colspan="2" | '''Figura b:''' Fuerza cortante dividida <math display="inline">QL</math>, <math display="inline">\left(\dfrac{V}{QL} \right)</math>.2968
|}2969
En el siguiente enlace se encuentra el código de Python empleado para la solución de este ejemplo: 2970
2971
https://drive.google.com/open?id=1WNnbqC-09Odkh3GajgONgi8Al1sKhRz_2972
2973
==9 Conclusiones==2974
2975
<ol>2976
2977
<li>Se ha presentado una extensión del método de rigidez para estructuras reticulares planas, la cual puede ser aplicable para obtener la respuesta total de este tipo de estructural ante cualquier carga externa. Esta metodología ha sido nombrada el método de rigidez con funciones de Green (Green function stiffness method) y a partir de sus ideas básicas, esta metodología puede expandirse a otras configuraciones estructurales. </li>2978
<li>La metodología presentada, al ser definida de forma explicita para cualquier carga externa, permite minimizar el número de elementos que se emplearían respecto a aquellos usando el método de rigidez o el M.E.F. Como caso particular se tiene que en los textos clásicos de análisis matricial de estructuras ([TenaColunga2007AnalisisDeEstructuras], [McCormac2007StructuralAnalysis] y [Kassimali2012MatrixAnalysis]) es usual subdividir los elementos si las cargas externas son complejas y estas no aparecen en sus tablas de fuerzas de empotramiento, lo cual no es necesario con la presente metodología. </li>2979
<li>Se extiende el concepto de fuerzas de empotramiento típico del método de rigidez al concepto de campo de desplazamientos empotrado, el cual, al emplear las funciones de Green permite el cálculo de los campos de desplazamientos incluso cuando las fuerzas externas son complejas. </li>2980
<li>En la metodología presentada se da una gran importancia al cálculo de los campos de desplazamientos. Esto se debe a que los desplazamientos son las variables dependientes principales de los problemas de análisis estructural e incluso a partir de estos es posible calcular los campos de fuerzas internas. </li>2981
<li>Se presenta una forma novedosa de expresar a las funciones de Green en términos de las funciones de forma “exactas” para los diferentes tipos de elementos estructurales estudiados. Esta se base propiedades de simetría observadas tanto en las funciones de forma como en las funciones de Green. </li>2982
<li>Se hace explicita la gran importancia que tienen las funciones de forma “exactas” en la respuesta estructural, ya que estas no solo son la base para el cálculo del campo de desplazamiento homogéneo sinó también del empotrado pues aparecen de forma natural en las funciones de Green y en las fuerzas de empotramiento. </li>2983
<li>En los apéndices se presenta la equivalencia entre la metodología presentada en este artículo, la cual parte de las ecuaciones diferenciales gobernantes para cuatro tipos de elementos diferentes y aquella obtenida por medio de una formulación “exacta” del M.E.F. (la cual parte de la forma débil de dichas ecuaciones diferenciales). </li>2984
2985
</ol>2986
2987
==10 Agradecimientos==2988
2989
Las ideas fundamentales de este artículo han nacido del los cursos de análisis estructural y mecánica estructural que el autor Juan Camilo Molina-Villegas a dictado en lo últimos años en la Universidad de Medellín y en la Universidad Nacional de Colombia - Sede Medellín, y de los cuales han sido estudiantes los otros dos autores. Los comentarios de muchos de los estudiantes de dichos cursos han contribuido al nivel actual de maduración de las ideas presentadas en este artículo, por lo cual los autores les agradecen infinitamente.2990
2991
==Apéndices==2992
2993
equationsection2994
2995
==11 Formulación exacta del M.E.F. para un elemento tipo barra==2996
2997
A continuación se presentará una formulación “exacta” del M.E.F. la cual es equivalente a la presentada en la sección [[#4 Formulación analítica del método de rigidez con funciones de Green para elementos tipo barra|4]], la cual también se basa en la solución del P.V.F [[#4 Formulación analítica del método de rigidez con funciones de Green para elementos tipo barra|4]] pero ahora a partir de la llamada forma débil de [[#eq-8.a|8.a]] en lugar de esta directamente. De forma similar a como se indicó para el método de rigidez con funciones de Green, el campo de desplazamientos se expresará como:2998
2999
{| class="formulaSCP" style="width: 100%; text-align: left;" 3000
|-3001
| 3002
{| style="text-align: left; margin:auto;width: 100%;" 3003
|-3004
| style="text-align: center;" | <math>u(x)=u_h(x)+u_f(x)=\psi _1(x)u_i+\psi _4(x)u_j+u_f(x) </math>3005
|}3006
| style="width: 5px;text-align: right;white-space: nowrap;" | (174)3007
|}3008
3009
Donde <math display="inline">\psi _1(x)</math> y <math display="inline">\psi _4(x)</math> son las funciones de forma presentadas en [[#4.1 Solución del P.V.F. homogéneo|4.1]] y <math display="inline">u_f(x)</math> se calcula según lo presentado en [[#eq-22|22]].3010
3011
Además, es fácil probar que las funciones de forma <math display="inline">\psi _1(x)</math> y <math display="inline">\psi _4(x)</math> cumplen la siguiente propiedad asociada con [[#eq-10.a|10.a]] (ecuación diferencial del campo homogeneo):3012
3013
<span id="eq-175"></span>3014
{| class="formulaSCP" style="width: 100%; text-align: left;" 3015
|-3016
| 3017
{| style="text-align: left; margin:auto;width: 100%;" 3018
|-3019
| style="text-align: center;" | <math>\dfrac{d^2 \psi _i}{dx^2}(x)=0 \qquad i=1,4 </math>3020
|}3021
| style="width: 5px;text-align: right;white-space: nowrap;" | (175)3022
|}3023
3024
Multiplicando a ambos lados de [[#eq-8.a|8.a]] por una función de peso o ponderación <math display="inline">w(x)</math> se obtiene:3025
3026
<span id="eq-176"></span>3027
{| class="formulaSCP" style="width: 100%; text-align: left;" 3028
|-3029
| 3030
{| style="text-align: left; margin:auto;width: 100%;" 3031
|-3032
| style="text-align: center;" | <math>AE\dfrac{d^2 u}{dx^2}(x)w(x)=-p(x)w(x) </math>3033
|}3034
| style="width: 5px;text-align: right;white-space: nowrap;" | (176)3035
|}3036
3037
Ahora, integrando a ambos lados de [[#eq-176|176]] con respecto a <math display="inline">x</math> entre 0 y <math display="inline">L</math> se obtiene:3038
3039
{| class="formulaSCP" style="width: 100%; text-align: left;" 3040
|-3041
| 3042
{| style="text-align: left; margin:auto;width: 100%;" 3043
|-3044
| style="text-align: center;" | <math>AE \int _0^L \left[\dfrac{d^2 u_h}{dx^2}(x)+\dfrac{d^2 u_f}{dx^2}(x) \right]w(x)dx =-\int _0^L p(x)w(x)dx </math>3045
|}3046
| style="width: 5px;text-align: right;white-space: nowrap;" | (177)3047
|}3048
3049
E integrando por partes en el lado izquierdo de la anterior ecuación el resultado es:3050
3051
{| class="formulaSCP" style="width: 100%; text-align: left;" 3052
|-3053
| 3054
{| style="text-align: left; margin:auto;width: 100%;" 3055
|-3056
| style="text-align: center;" | <math>AE \left[\dfrac{du_h}{dx}(x) w(x)+\dfrac{du_f}{dx}(x) w(x) \right]_{x=0}^{x=L} -AE \int _0^L \left[\dfrac{du_h}{dx}(x)+\dfrac{du_f}{dx}(x) \right]\dfrac{dw}{dx}(x)dx =-\int _0^L p(x)w(x)dx </math>3057
|}3058
| style="width: 5px;text-align: right;white-space: nowrap;" | (178)3059
|}3060
3061
La cual luego de evaluar el primer y reordenarse, da lugar a:3062
3063
<span id="eq-179"></span>3064
{| class="formulaSCP" style="width: 100%; text-align: left;" 3065
|-3066
| 3067
{| style="text-align: left; margin:auto;width: 100%;" 3068
|-3069
| style="text-align: center;" | <math>FX_i w(0)+FX_j w(L)= AE \int _0^L \left[\dfrac{du_h}{dx}(x)+\dfrac{du_f}{dx}(x) \right]\dfrac{dw}{dx}(x)dx -\int _0^L p(x)w(x)dx </math>3070
|}3071
| style="width: 5px;text-align: right;white-space: nowrap;" | (179)3072
|}3073
3074
Ahora si se emplean como las funciones de ponderación o peso (<math display="inline">w(x)</math>) a las funciones de forma (<math display="inline">\psi _1(x)</math> y <math display="inline">\psi _4(x)</math>) se tiene que:3075
3076
{| class="formulaSCP" style="width: 100%; text-align: left;" 3077
|-3078
| 3079
{| style="text-align: left; margin:auto;width: 100%;" 3080
|-3081
| style="text-align: center;" | <math>\int _0^L \dfrac{du_f}{dx}(x) \dfrac{dw}{dx}(x) dx=\left.\dfrac{dw}{dx}(x) u_f(x) \right|_{x=0}^{x=L} -\int _0^L u_f(x) \dfrac{d^2 w}{dx^2}(x) dx=0-0=0 </math>3082
|}3083
| style="width: 5px;text-align: right;white-space: nowrap;" | (180)3084
|}3085
3086
Lo anterior debido a que <math display="inline">u_f(0)=u_f(L)=0</math> y a [[#eq-175|175]].3087
3088
Con lo cual [[#eq-179|179]] se puede reescribir como:3089
3090
<span id="eq-181"></span>3091
{| class="formulaSCP" style="width: 100%; text-align: left;" 3092
|-3093
| 3094
{| style="text-align: left; margin:auto;width: 100%;" 3095
|-3096
| style="text-align: center;" | <math>FX_i w(0)+FX_j w(L)=AE \int _0^L \dfrac{du_h}{dx}(x) \dfrac{dw}{dx}(x)dx -\int _0^L p(x)w(x)dx </math>3097
|}3098
| style="width: 5px;text-align: right;white-space: nowrap;" | (181)3099
|}3100
3101
Ahora, si como caso particular primero se emplea <math display="inline">\psi _1(x)</math> en lugar de <math display="inline">w(x)</math> y luego <math display="inline">\psi _4(x)</math>, a partir de [[#eq-181|181]] se obtiene respectivamente:3102
3103
{| class="formulaSCP" style="width: 100%; text-align: left;" 3104
|-3105
| 3106
{| style="text-align: left; margin:auto;width: 100%;" 3107
|-3108
| style="text-align: center;" | <math>FX_i=\dfrac{AE}{L} \left(u_i-u_j \right)-\int _0^L \psi _1(x) p(x)dx</math>3109
| style="width: 5px;text-align: right;white-space: nowrap;" | (182.a)3110
|-3111
| style="text-align: center;" | <math> FX_j=\dfrac{AE}{L} \left(-u_i+u_j \right)-\int _0^L \psi _4(x) p(x)dx </math>3112
| style="width: 5px;text-align: right;white-space: nowrap;" | (182.b)3113
|}3114
|}3115
3116
La cual es equivalente a la formulación del método de rigidez para elementos tipo barra de sección constante y material elástico lineal presentada en [[#eq-26|26]].3117
3118
==12 Formulación exacta del M.E.F. para un elemento tipo viga==3119
3120
Ahora, de forma similar a como se realizó en el apéndice [[#11 Formulación exacta del M.E.F. para un elemento tipo barra|11]] para el elemento tipo barra, se procederá a realizar la formulación “exacta” del M.E.F. para un elemento tipo viga de sección transversal constante. Al igual que lo presentado en la sección [[#5 Formulación analítica del método de rigidez con funciones de Green para elementos tipo viga|5]], el objetivo es realizar esta formulación mediante la solución del P.V.F. [[#5 Formulación analítica del método de rigidez con funciones de Green para elementos tipo viga|5]] pero ahora empleando la forma de débil de la E.D. [[#eq-27.a|27.a]] en lugar de esta directamente. A diferencial de la formulación tradicional del M.E.F., en esta alternativa el campo de desplazamientos no solo dependerá de los desplazamientos y rotaciones de los extremos del elemento (campo homogéneo) sino también de la carga externa (campo empotrado), es decir:3121
3122
<span id="eq-183"></span>3123
{| class="formulaSCP" style="width: 100%; text-align: left;" 3124
|-3125
| 3126
{| style="text-align: left; margin:auto;width: 100%;" 3127
|-3128
| style="text-align: center;" | <math>v(x)=v_h(x)+v_f(x)=\psi _2(x)v_i+\psi _3(x)\theta _i+\psi _5(x) v_j+\psi _6(x) \theta _j+v_f(x) </math>3129
|}3130
| style="width: 5px;text-align: right;white-space: nowrap;" | (183)3131
|}3132
3133
Donde una propiedad importante de las funciones de forma <math display="inline">\psi _2(x)</math>, <math display="inline">\psi _3(x)</math>, <math display="inline">\psi _5(x)</math> y <math display="inline">\psi _6(x)</math> es que estas cumplen la siguiente ecuación diferencial:3134
3135
<span id="eq-184"></span>3136
{| class="formulaSCP" style="width: 100%; text-align: left;" 3137
|-3138
| 3139
{| style="text-align: left; margin:auto;width: 100%;" 3140
|-3141
| style="text-align: center;" | <math>\dfrac{d^4 \psi _i}{dx^4}(x)=0 \qquad i=2,3,5,6 </math>3142
|}3143
| style="width: 5px;text-align: right;white-space: nowrap;" | (184)3144
|}3145
3146
Multiplicando por una función de peso o ponderación <math display="inline">w(x)</math> a ambos lados de [[#eq-27.a|27.a]] se obtiene:3147
3148
<span id="eq-185"></span>3149
{| class="formulaSCP" style="width: 100%; text-align: left;" 3150
|-3151
| 3152
{| style="text-align: left; margin:auto;width: 100%;" 3153
|-3154
| style="text-align: center;" | <math>EI\frac{d^4 v}{dx^4}(x) w(x)=q(x) w(x) </math>3155
|}3156
| style="width: 5px;text-align: right;white-space: nowrap;" | (185)3157
|}3158
3159
E integrando con respecto a <math display="inline">x</math> entre 0 y <math display="inline">L</math> a ambos lados de [[#eq-185|185]] se obtiene:3160
3161
{| class="formulaSCP" style="width: 100%; text-align: left;" 3162
|-3163
| 3164
{| style="text-align: left; margin:auto;width: 100%;" 3165
|-3166
| style="text-align: center;" | <math>EI\int _0^L \frac{d^4 v}{dx^4}(x) w(x) dx=\int _0^L q(x) w(x) dx </math>3167
|}3168
| style="width: 5px;text-align: right;white-space: nowrap;" | (186)3169
|}3170
3171
Resolviendo con integración por partes la integral del lado izquierdo de la anterior ecuación se obtiene:3172
3173
{| class="formulaSCP" style="width: 100%; text-align: left;" 3174
|-3175
| 3176
{| style="text-align: left; margin:auto;width: 100%;" 3177
|-3178
| style="text-align: center;" | <math>EI \left[\left.\frac{d^3 v}{dx^3}(x)w(x) \right|_{x=0}^{x=L}-\int _0^L \frac{d^3 v}{dx^3}(x)\frac{dw}{dx}(x)dx \right]=\int _0^L q(x)w(x)dx </math>3179
|}3180
| style="width: 5px;text-align: right;white-space: nowrap;" | (187)3181
|}3182
3183
Ahora, teniendo en cuenta que la fuerza cortante se obtiene a partir del campo de desplazamiento vertical como <math display="inline">V(x)=-EI \dfrac{d^3v}{dx^3}(x)</math>, se obtiene:3184
3185
{| class="formulaSCP" style="width: 100%; text-align: left;" 3186
|-3187
| 3188
{| style="text-align: left; margin:auto;width: 100%;" 3189
|-3190
| style="text-align: center;" | <math>-V(L)w(L)+V(0)w(0) -EI \int _0^L \frac{d^3 v}{dx^3}(x)\frac{dw}{dx}(x)dx =\int _0^L q(x)w(x)dx </math>3191
|}3192
| style="width: 5px;text-align: right;white-space: nowrap;" | (188)3193
|}3194
3195
Mientras que debido a que <math display="inline">FY_i=-V(0)</math> y <math display="inline">FY_j=V(L)</math>, la anterior ecuación se reescribe como:3196
3197
{| class="formulaSCP" style="width: 100%; text-align: left;" 3198
|-3199
| 3200
{| style="text-align: left; margin:auto;width: 100%;" 3201
|-3202
| style="text-align: center;" | <math>-FY_iw(0)-FY_jw(L) -EI\int _0^L \dfrac{d^3 v}{dx^3}(x)\frac{dw}{dx}(x)dx=\int _0^L q(x)w(x)dx </math>3203
|}3204
| style="width: 5px;text-align: right;white-space: nowrap;" | (189)3205
|}3206
3207
Integrando por partes de nuevo, ahora en el tercer término del lado izquierdo de la ecuación anterior, se obtiene:3208
3209
{| class="formulaSCP" style="width: 100%; text-align: left;" 3210
|-3211
| 3212
{| style="text-align: left; margin:auto;width: 100%;" 3213
|-3214
| style="text-align: center;" | <math>-FY_iw(0)-FY_jw(L) -EI \left[\left.\frac{d^2 v}{dx^2}(x) \frac{dw}{dx}(x) \right|_{x=0}^{x=L} -\int _0^L \frac{d^2 v}{dx^2}(x)\frac{d^2 w}{dx^2}(x)dx \right]=\int _0^L q(x)w(x)dx </math>3215
|}3216
| style="width: 5px;text-align: right;white-space: nowrap;" | (190)3217
|}3218
3219
Por último, teniendo en cuenta que el campo de momentos interno se calcula como <math display="inline">M(x)=EI\dfrac{d^2 v}{dx^2}(x)</math> y que <math display="inline">M_i=-M(0)</math> y <math display="inline">M_j=M(L)</math>, la ecuación anterior se reescribe como:3220
3221
<span id="eq-191"></span>3222
{| class="formulaSCP" style="width: 100%; text-align: left;" 3223
|-3224
| 3225
{| style="text-align: left; margin:auto;width: 100%;" 3226
|-3227
| style="text-align: center;" | <math>FY_i w(0)+FY_j w(L)+M_i \frac{dw}{dx}(0)+M_j \frac{dw}{dx}(L)= EI\int _0^L \frac{d^2 v}{dx^2}(x)\frac{d^2 w}{dx^2}(x)dx-\int _0^L q(x)w(x)dx </math>3228
|}3229
| style="width: 5px;text-align: right;white-space: nowrap;" | (191)3230
|}3231
3232
Reemplazando [[#eq-183|183]] en el lado derecho de [[#eq-191|191]], se obtiene:3233
3234
<span id="eq-192"></span>3235
{| class="formulaSCP" style="width: 100%; text-align: left;" 3236
|-3237
| 3238
{| style="text-align: left; margin:auto;width: 100%;" 3239
|-3240
| style="text-align: center;" | <math>FY_i w(0)+FY_j w(L)+M_i \frac{dw}{dx}(0)+M_j \frac{dw}{dx}(L)= </math>3241
|-3242
| style="text-align: center;" | <math> EI\int _0^L \left[\frac{d^2 \psi _2}{dx^2}(x) v_i+\frac{d^2 \psi _3}{dx^2}(x) \theta _i+\frac{d^2 \psi _5}{dx^2}(x) v_j +\frac{d^2 \psi _6}{dx^2}(x) \theta _j +\frac{d^2 v_f}{dx^2}(x) \right]\frac{d^2 w}{dx^2}(x) dx-\int _0^L q(x)w(x)dx </math>3243
|}3244
| style="width: 5px;text-align: right;white-space: nowrap;" | (192)3245
|}3246
3247
Ahora, si como funciones de ponderación se emplean las funciones de forma, empleando integración por partes se prueba lo siguiente:3248
3249
<span id="eq-193"></span>3250
{| class="formulaSCP" style="width: 100%; text-align: left;" 3251
|-3252
| 3253
{| style="text-align: left; margin:auto;width: 100%;" 3254
|-3255
| style="text-align: center;" | <math>\int _0^L \frac{d^2 v_f}{dx^2}(x) \frac{d^2 w}{dx^2}(x)dx = \int _0^L \frac{d^2 v_f}{dx^2}(x) \frac{d^2 \psi _i }{dx^2}(x)dx i=2,3,5,6 </math>3256
|-3257
| style="text-align: center;" | <math> =\left.\dfrac{dv_f}{dx}(x)\dfrac{d^2 \psi _i}{dx^2}(x) \right|_{x=0}^{x=L} -\int _0^L \dfrac{dv_f}{dx}(x) \dfrac{d^3 \psi _i}{dx^3}(x)dx </math>3258
|-3259
| style="text-align: center;" | <math> =-\int _0^L \dfrac{dv_f}{dx}(x) \dfrac{d^3 \psi _i}{dx^3}(x)dx </math>3260
|-3261
| style="text-align: center;" | <math> =-\left.v_f(x) \dfrac{d^3 \psi _i}{dx^3}(x) \right|_{x=0}^{x=L}+\int _0^L v_f(x) \dfrac{d^4 \psi _i}{dx^4}(x)dx </math>3262
|-3263
| style="text-align: center;" | <math> =0 </math>3264
|}3265
| style="width: 5px;text-align: right;white-space: nowrap;" | (193)3266
|}3267
3268
Donde se ha empleado [[#eq-184|184]] y que los valores de <math display="inline">v_f(x)</math> y <math display="inline">\dfrac{dv_f}{dx}(x)</math> son iguales a cero en <math display="inline">x=0</math> y <math display="inline">x=L</math>.3269
3270
Con lo cual, a partir de [[#eq-193|193]], la ecuación [[#eq-192|192]] se puede reescribir como:3271
3272
<span id="eq-194"></span>3273
{| class="formulaSCP" style="width: 100%; text-align: left;" 3274
|-3275
| 3276
{| style="text-align: left; margin:auto;width: 100%;" 3277
|-3278
| style="text-align: center;" | <math>FY_i w(0)+FY_j w(L)+M_i \frac{dw}{dx}(0)+M_j \frac{dw}{dx}(L)= </math>3279
|-3280
| style="text-align: center;" | <math> EI\int _0^L \left[\frac{d^2 \psi _2}{dx^2}(x) v_i+\frac{d^2 \psi _3}{dx^2}(x) \theta _i+\frac{d^2 \psi _5}{dx^2}(x) v_j +\frac{d^2 \psi _6}{dx^2}(x) \theta _j \right]\frac{d^2 w}{dx^2}(x) dx-\int _0^L q(x)w(x)dx </math>3281
|}3282
| style="width: 5px;text-align: right;white-space: nowrap;" | (194)3283
|}3284
3285
Si como caso particular primero se emplea <math display="inline">\psi _2(x)</math>, luego <math display="inline">\psi _3(x)</math>, <math display="inline">\psi _5(x)</math> y <math display="inline">\psi _6(x)</math>, a partir de [[#eq-194|194]] se obtienen las siguientes cuatro ecuaciones:3286
3287
{| class="formulaSCP" style="width: 100%; text-align: left;" 3288
|-3289
| 3290
{| style="text-align: left; margin:auto;width: 100%;" 3291
|-3292
| style="text-align: center;" | <math>FY_i=\dfrac{12EI}{L^3}v_i+\dfrac{6EI}{L^2}\theta _i-\dfrac{12EI}{L^3}v_j+\dfrac{6EI}{L^2}\theta _j -\int _0^L \psi _2(x) q(x) dx </math>3293
| style="width: 5px;text-align: right;white-space: nowrap;" | (195.a)3294
|-3295
| style="text-align: center;" | <math> M_i=\dfrac{6EI}{L^2}v_i+\dfrac{4EI}{L}\theta _i-\dfrac{6EI}{L^2}v_j+\dfrac{2EI}{L}\theta _j -\int _0^L \psi _3(x) q(x) dx </math>3296
| style="width: 5px;text-align: right;white-space: nowrap;" | (195.b)3297
|-3298
| style="text-align: center;" | <math> FY_j=-\dfrac{12EI}{L^3}v_i-\dfrac{6EI}{L^2}\theta _i+\dfrac{12EI}{L^3}v_j-\dfrac{6EI}{L^2}\theta _j -\int _0^L \psi _5(x) q(x) dx </math>3299
| style="width: 5px;text-align: right;white-space: nowrap;" | (195.c)3300
|-3301
| style="text-align: center;" | <math> M_j=\dfrac{6EI}{L^2}v_i+\dfrac{2EI}{L}\theta _i-\dfrac{6EI}{L^2}v_j+\dfrac{4EI}{L}\theta _j -\int _0^L \psi _6(x) q(x) dx </math>3302
| style="width: 5px;text-align: right;white-space: nowrap;" | (195.d)3303
|}3304
|}3305
3306
Que son equivalentes al sistema de ecuaciones presentado en [[#eq-52|52]].3307
3308
==13 Formulación exacta del M.E.F. para un elemento tipo viga sobre fundación flexible==3309
3310
Para este caso el objetivo es resolver el P.V.F. [[#6 Formulación analítica del método de rigidez con funciones de Green para elementos tipo viga sobre fundación flexible|6]] pero ahora empleando la forma débil de [[#eq-53.a|53.a]] en lugar de esta directamente.3311
3312
Como se presentó en [[#eq-83|83]], la solución de [[#eq-53.a|53.a]] se expresa como la suma de un campo homogéneo (<math display="inline">v_h(x)</math>) y un campo empotrado (<math display="inline">v_f(x)</math>), es decir:3313
3314
<span id="eq-196"></span>3315
{| class="formulaSCP" style="width: 100%; text-align: left;" 3316
|-3317
| 3318
{| style="text-align: left; margin:auto;width: 100%;" 3319
|-3320
| style="text-align: center;" | <math>v(x)=v_h(x)+v_f(x) </math>3321
|}3322
| style="width: 5px;text-align: right;white-space: nowrap;" | (196)3323
|}3324
3325
Donde el campo homogéneo se expresa en función de los desplazamientos y rotaciones en los extremos del elemento y de las funciones de forma <math display="inline">\Psi _2(x)</math>, <math display="inline">\Psi _3(x)</math>, <math display="inline">\Psi _5(x)</math> y <math display="inline">\Psi _6(x)</math> de la siguiente manera:3326
3327
<span id="eq-197"></span>3328
{| class="formulaSCP" style="width: 100%; text-align: left;" 3329
|-3330
| 3331
{| style="text-align: left; margin:auto;width: 100%;" 3332
|-3333
| style="text-align: center;" | <math>v_h(x)=\Psi _2(x)v_i+\Psi _3(x)\theta _i+\Psi _5(x) v_j+\Psi _6(x) \theta _j </math>3334
|}3335
| style="width: 5px;text-align: right;white-space: nowrap;" | (197)3336
|}3337
3338
Mientras que el campo empotrado se calcula solo empleando la carga externa y las funciones de Green.3339
3340
Con lo cual, el campo de desplazamiento total, se expresa ahora como:3341
3342
<span id="eq-198"></span>3343
{| class="formulaSCP" style="width: 100%; text-align: left;" 3344
|-3345
| 3346
{| style="text-align: left; margin:auto;width: 100%;" 3347
|-3348
| style="text-align: center;" | <math>v(x)=\Psi _2(x)v_i+\Psi _3(x)\theta _i+\Psi _5(x) v_j+\Psi _6(x) \theta _j+v_f(x) </math>3349
|}3350
| style="width: 5px;text-align: right;white-space: nowrap;" | (198)3351
|}3352
3353
Es importante resaltar que debido a que <math display="inline">v_h(x)</math> es una combinación lineal de las funciones de forma <math display="inline">\Psi _2(x)</math>, <math display="inline">\Psi _3(x)</math>, <math display="inline">\Psi _5(x)</math> y <math display="inline">\Psi _6(x)</math>, estas últimas cumplen la propiedad de ser solución de la ecuación diferencial homogénea asociada con [[#eq-53.a|53.a]], es decir:3354
3355
<span id="eq-199"></span>3356
{| class="formulaSCP" style="width: 100%; text-align: left;" 3357
|-3358
| 3359
{| style="text-align: left; margin:auto;width: 100%;" 3360
|-3361
| style="text-align: center;" | <math>EI\dfrac{d^4 \Psi _i}{d x^4}(x)+k\Psi _i(x)=0 \qquad i=2,3,5,6 </math>3362
|}3363
| style="width: 5px;text-align: right;white-space: nowrap;" | (199)3364
|}3365
3366
Multiplicando por una función de peso o ponderación <math display="inline">w(x)</math> a ambos lados de [[#eq-5|5]] (o [[#eq-53.a|53.a]]) se obtiene:3367
3368
<span id="eq-200"></span>3369
{| class="formulaSCP" style="width: 100%; text-align: left;" 3370
|-3371
| 3372
{| style="text-align: left; margin:auto;width: 100%;" 3373
|-3374
| style="text-align: center;" | <math>EI\frac{d^4 v}{d x^4}(x)w(x)+kv(x)w(x)=q(x)w(x) </math>3375
|}3376
| style="width: 5px;text-align: right;white-space: nowrap;" | (200)3377
|}3378
3379
E integrando con respecto a <math display="inline">x</math> entre 0 y <math display="inline">L</math> a ambos lados de [[#eq-200|200]] se obtiene:3380
3381
{| class="formulaSCP" style="width: 100%; text-align: left;" 3382
|-3383
| 3384
{| style="text-align: left; margin:auto;width: 100%;" 3385
|-3386
| style="text-align: center;" | <math>EI \int _0^L \frac{d^4 v}{d x^4}(x)w(x)dx=-k \int _0^L v(x)w(x)dx+\int _0^L q(x)w(x) dx </math>3387
|}3388
| style="width: 5px;text-align: right;white-space: nowrap;" | (201)3389
|}3390
3391
Resolviendo con integración por partes la integral del lado izquierdo de la anterior ecuación, da como resultado:3392
3393
{| class="formulaSCP" style="width: 100%; text-align: left;" 3394
|-3395
| 3396
{| style="text-align: left; margin:auto;width: 100%;" 3397
|-3398
| style="text-align: center;" | <math>EI \left[\left.\frac{d^3 v}{d x^3}(x)w(x) \right|_{x=0}^{x=L}-\int _0^L \frac{d ^3 v}{d x^3}(x)\frac{dw}{dx}(x)dx \right] =-k \int _0^L v(x)w(x)dx+\int _0^L q(x)w(x) dx </math>3399
|}3400
| style="width: 5px;text-align: right;white-space: nowrap;" | (202)3401
|}3402
3403
Ahora teniendo en cuenta que la fuerza cortante se obtiene a partir del campo de desplazamiento vertical como <math display="inline">V(x)=-EI \dfrac{d^3v}{dx^3}(x)</math>, se obtiene:3404
3405
{| class="formulaSCP" style="width: 100%; text-align: left;" 3406
|-3407
| 3408
{| style="text-align: left; margin:auto;width: 100%;" 3409
|-3410
| style="text-align: center;" | <math>-V(L)w(L)+V(0)w(0)-EI \int _0^L \frac{d^3 v}{d x^3}(x)\frac{dw}{dx}(x)dx =-k \int _0^L v(x)w(x)dx+\int _0^L q(x)w(x) dx </math>3411
|}3412
| style="width: 5px;text-align: right;white-space: nowrap;" | (203)3413
|}3414
3415
Teniendo en cuenta que <math display="inline">FY_i=-V(0)</math> y <math display="inline">FY_j=V(L)</math>, la anterior ecuación toma la siguiente forma:3416
3417
{| class="formulaSCP" style="width: 100%; text-align: left;" 3418
|-3419
| 3420
{| style="text-align: left; margin:auto;width: 100%;" 3421
|-3422
| style="text-align: center;" | <math>-FY_i w(0)-FY_j w(L)-EI \int _0^L \dfrac{d^3 v}{dx^3}(x)\frac{dw}{dx}(x)dx =-k \int _0^L v(x)w(x)dx+\int _0^L q(x)w(x) dx </math>3423
|}3424
| style="width: 5px;text-align: right;white-space: nowrap;" | (204)3425
|}3426
3427
Integrando por partes de nuevo, ahora en el tercer término del lado izquierdo de la ecuación anterior, se obtiene:3428
3429
{| class="formulaSCP" style="width: 100%; text-align: left;" 3430
|-3431
| 3432
{| style="text-align: left; margin:auto;width: 100%;" 3433
|-3434
| style="text-align: center;" | <math>-FY_i w(0)-FY_j w(L) -EI \left[\left.\frac{d^2 v}{dx^2}(x) \frac{dw}{dx}(x) \right|_{x=0}^{x=L} -\int _0^L \frac{d^2 v}{dx^2}(x)\frac{d^2 w}{dx^2}(x)dx \right]=</math>3435
|-3436
| style="text-align: center;" | <math> -k \int _0^L v(x)w(x)dx+\int _0^L q(x)w(x) dx </math>3437
|}3438
| style="width: 5px;text-align: right;white-space: nowrap;" | (205)3439
|}3440
3441
Por último, teniendo en cuenta que el campo de momentos interno se calcula como <math display="inline">M(x)=EI\dfrac{d^2 v}{dx^2}(x)</math> y que <math display="inline">M_i=-M(0)</math> y <math display="inline">M_j=M(L)</math>, la ecuación anterior se reescribe como:3442
3443
<span id="eq-206"></span>3444
{| class="formulaSCP" style="width: 100%; text-align: left;" 3445
|-3446
| 3447
{| style="text-align: left; margin:auto;width: 100%;" 3448
|-3449
| style="text-align: center;" | <math>FY_i w(0)+FY_j w(L)+M_i \frac{dw}{dx}(0) +M_j \frac{dw}{dx}(L)=</math>3450
|-3451
| style="text-align: center;" | <math> EI\int _0^L \frac{d^2 v}{dx^2}(x)\frac{d^2 w}{dx^2}(x)dx +k \int _0^L v(x)w(x)dx-\int _0^L q(x)w(x) dx </math>3452
|}3453
| style="width: 5px;text-align: right;white-space: nowrap;" | (206)3454
|}3455
3456
Reemplazando [[#eq-198|198]] en el lado derecho de [[#eq-206|206]], se obtiene:3457
3458
<span id="eq-207"></span>3459
{| class="formulaSCP" style="width: 100%; text-align: left;" 3460
|-3461
| 3462
{| style="text-align: left; margin:auto;width: 100%;" 3463
|-3464
| style="text-align: center;" | <math>FY_i w(0)+FY_j w(L)+M_i \frac{dw}{dx}(0) +M_j\frac{dw}{dx}(L)=</math>3465
|-3466
| style="text-align: center;" | <math> EI\int _0^L \left[\frac{d^2 \Psi _2}{dx^2}(x) v_i +\frac{d^2 \Psi _3}{dx^2}(x) \theta _i +\frac{d^2 \Psi _5}{dx^2}(x) v_j +\frac{d^2 \Psi _6}{dx^2}(x) \theta _j +\frac{d^2 v_f}{dx^2}(x) \right]\frac{d^2 w}{dx^2}(x) dx </math>3467
|-3468
| style="text-align: center;" | <math> +k \int _0^L \left[\Psi _2(x)v_i+\Psi _3(x)\theta _i+\Psi _5(x) v_j+\Psi _6(x) \theta _j +v_f(x) \right]w(x)dx -\int _0^L q(x)w(x) dx </math>3469
|}3470
| style="width: 5px;text-align: right;white-space: nowrap;" | (207)3471
|}3472
3473
Ahora, si como funciones de ponderación se emplean las funciones de forma, empleando integración por partes se prueba lo siguiente:3474
3475
<span id="eq-208"></span>3476
{| class="formulaSCP" style="width: 100%; text-align: left;" 3477
|-3478
| 3479
{| style="text-align: left; margin:auto;width: 100%;" 3480
|-3481
| style="text-align: center;" | <math>EI \int _0^L \frac{d^2 v_f}{dx^2}(x) \frac{d^2 w}{dx^2}(x)dx +k\int _0^L v_f(x)w(x)dx= </math>3482
|-3483
| style="text-align: center;" | <math> EI \int _0^L \frac{d^2 v_f}{dx^2}(x) \frac{d^2 \Psi _i }{dx^2}(x)dx +k\int _0^L v_f(x) \Psi _i(x)dx = </math>3484
|-3485
| style="text-align: center;" | <math> EI \left.\dfrac{dv_f}{dx}(x)\dfrac{d^2 \Psi _i}{dx^2}(x) \right|_{x=0}^{x=L} -EI \int _0^L \dfrac{dv_f}{dx}(x) \dfrac{d^3 \psi _i}{dx^3}(x)dx +k\int _0^L v_f(x) \Psi _i(x)dx = </math>3486
|-3487
| style="text-align: center;" | <math> -EI \int _0^L \dfrac{dv_f}{dx}(x) \dfrac{d^3 \psi _i}{dx^3}(x)dx +k\int _0^L v_f(x) \Psi _i(x)dx = </math>3488
|-3489
| style="text-align: center;" | <math> -EI \left.v_f(x) \dfrac{d^3 \Psi _i}{dx^3}(x) \right|_{x=0}^{x=L} +\int _0^L v_f(x) \dfrac{d^4 \Psi _i}{\partial x^4}(x)dx +k \int _0^L v_f(x) \Psi _i(x)dx = </math>3490
|-3491
| style="text-align: center;" | <math> \int _0^L v_f(x) \left[\dfrac{d^4 \Psi _i}{dx^4}(x) +k \psi _i(x) \right]dx =0 </math>3492
|}3493
| style="width: 5px;text-align: right;white-space: nowrap;" | (208)3494
|}3495
3496
Donde se ha empleado [[#eq-199|199]] y que los valores de <math display="inline">v_f(x)</math> y <math display="inline">\dfrac{dv_f}{dx}(x)</math> son iguales a cero en <math display="inline">x=0</math> y <math display="inline">x=L</math>.3497
3498
Empleando [[#eq-208|208]] en [[#eq-207|207]] esta última toma la siguiente forma (donde para ser coherentes con [[#eq-208|208]], se ha tomado que <math display="inline">w(x)=\Psi _l(x)</math>):3499
3500
<span id="eq-209"></span>3501
{| class="formulaSCP" style="width: 100%; text-align: left;" 3502
|-3503
| 3504
{| style="text-align: left; margin:auto;width: 100%;" 3505
|-3506
| style="text-align: center;" | <math>FY_i \Psi _l(0)+FY_j \Psi _l(L)+M_i \frac{d\Psi _l}{dx}(0) +M_j\frac{d \Psi _l}{dx}(L)=</math>3507
|-3508
| style="text-align: center;" | <math> EI\int _0^L \left[\frac{d^2 \Psi _2}{dx^2}(x) v_i +\frac{d^2 \Psi _3}{dx^2}(x) \theta _i +\frac{d^2 \Psi _5}{dx^2}(x) v_j +\frac{d^2 \Psi _6}{dx^2}(x) \theta _j \right] \frac{d^2 \Psi _l }{dx^2}(x) dx </math>3509
|-3510
| style="text-align: center;" | <math> +k \int _0^L \Psi _l(x)\left[\Psi _2(x)v_i+\Psi _3(x)\theta _i+\Psi _5(x) v_j+\Psi _6(x) \theta _j\right]dx -\int _0^L q(x)\Psi _l(x) dx </math>3511
|}3512
| style="width: 5px;text-align: right;white-space: nowrap;" | (209)3513
|}3514
3515
Reemplazando <math display="inline">l</math> por 2,3,5 y 6 en [[#eq-209|209]] se obtienen cuatro ecuaciones, las cuales se expresan en forma matricial como:3516
3517
<span id="eq-210"></span>3518
{| class="formulaSCP" style="width: 100%; text-align: left;" 3519
|-3520
| 3521
{| style="text-align: left; margin:auto;width: 100%;" 3522
|-3523
| style="text-align: center;" | <math>\begin{Bmatrix}FY_i \\ M_i \\ FY_j \\ M_j \end{Bmatrix}= \begin{bmatrix}k_{22} & k_{23} & k_{25} & k_{26} \\ k_{32} & k_{33} & k_{35} & k_{36} \\ k_{52} & k_{53} & k_{55} & k_{56} \\ k_{62} & k_{63} & k_{65} & k_{66} \end{bmatrix} \begin{Bmatrix}v_i \\ \theta _i \\ v_j \\ \theta _j \end{Bmatrix} - \begin{Bmatrix}\int _0^L \Psi _2(x) q(x) dx \\ \int _0^L \Psi _3(x) q(x) dx \\ \int _0^L \Psi _5(x) q(x) dx \\ \int _0^L \Psi _6(x) q(x) dx \end{Bmatrix} </math>3524
|}3525
| style="width: 5px;text-align: right;white-space: nowrap;" | (210)3526
|}3527
3528
Donde:3529
3530
{| class="formulaSCP" style="width: 100%; text-align: left;" 3531
|-3532
| 3533
{| style="text-align: left; margin:auto;width: 100%;" 3534
|-3535
| style="text-align: center;" | <math>k_{ij}= \int _0^L \left[EI \dfrac{d^2 \Psi _i}{dx^2}(x) \dfrac{d^2 \Psi _j}{dx^2}(x)+k \Psi _i(x) \Psi _j(x) \right]dx </math>3536
|}3537
| style="width: 5px;text-align: right;white-space: nowrap;" | (211)3538
|}3539
3540
Lo cual es equivalente a lo presentado en [[#eq-84|84]].3541
3542
===BIBLIOGRAFÍA===3543
3544
<div id="cite-1"></div>3545
'''[[#citeF-1|[1]]]''' Challis, Lawrie and Sheard, Fred. The green of Green functions, Physics Today, 56(12):41-46,2003.3546
3547
<div id="cite-2"></div>3548
'''[[#citeF-2|[2]]]''' Duffy, Dean G. Green’s functions with applications. Chapman and Hall/CRC, 2015.3549
3550
<div id="cite-3"></div>3551
'''[[#citeF-3|[3]]]''' Banerjee, PK and Butterfield, R. Boundary Element Methods in Engineering Science. McGraw-Hill, New York, 1981.3552
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