Resumo

Os critérios de estado limite último (superfícies de interação) aplicados para projetos estruturais são de melhor utilidade quando são resultantes de tensões. Existem muitas dificuldades para gerar superfícies de interação com 6 esforços seccionais obtidos por modelos numéricos ou experimentais de uma análise de pórtico espacial. O enfoque, na literatura, para a análise não linear de estruturas com vigas 3D é o uso de superfícies de interação com somente 3 esforços combinados na secção transversal. Portanto, uma melhor compreensão do tipo de carga, das interações entre os 6 esforços e da estabilidade global e local da estrutura são necessárias. As superfícies de interação com 3 esforços são apresentadas em formas planas, quádricas, complexas ou mistas, de modo que as técnicas que usam formulações analíticas com esforços combinados e várias formas de secções são mais ou menos complexas. O modelo de regressão linear múltipla permite tratar esforços resultantes de várias análises para obter uma superfície de escoamento com esforços combinados. Neste trabalho, a formulação para obter superfícies e suas aplicações nas análises de estruturas elastoplásticas de pórticos espaciais são apresentadas.

Abstract

The ultimate limit state criteria (yielding surfaces) applied to structural designs are easier in stress resultants. There are many difficulties to generating interaction surfaces with six sectional efforts obtained through to numerical or experimental models of a space-frame analysis. The approach, in the literature, to nonlinear analysis of structures with 3D beams is use of interaction surfaces with only three combined efforts in the cross-section. Therefore, a better understanding of load types, of interactions between the six efforts and of local and global stability of structure are necessary. The interaction surfaces with three efforts are presented in planes, quadrics, more complex, or a mixture of them shapes, so that techniques which use analytical formulations with combined efforts and several section shapes are more or less complex. Multiple linear regression allows to treat the resultant efforts of several analyses for obtaining a yielding surface with the combined efforts. In this paper, the formulation to obtaining of the surfaces and their applications in the analysis of elasto-plastic frame structures are presented.

Palavras-chave

Funções de escoamento ; Curvas de interação ; Vigas de Timoshenko 3D ; Regressão linear múltipla ; Esforços seccionais

Keywords

Yield functions ; Interaction curves ; 3D Timoshenko beams ; Multiple linear regression ; Sectional efforts

1. Introdução

Quando é feita uma análise elastoplástica com modelos de viga 3D (fig. 1 ), necessita-se de uma função da superfície de escoamento que controlará o término da fase elástica e o estado plástico da estrutura. O limite entre a zona elástica e a plástica estabelece-se mediante a superfície de fluência ou superfície de descontinuidade e, a partir deste limite, esta superfície adquire mobilidade no espaço de tensões, seguindo a evolução do processo plástico, transformando-se na denominada superfície de carga plástica. Para estabelecer, durante o processo de carga, o início do comportamento inelástico e a posterior evolução das fronteiras do domínio elástico dentro do espaço, adota-se o critério de fluência ou descontinuidade como visto na equação (1) . A teoria de viga de Timoshenko 3D e seus detalhes é apresentada, por exemplo, em Hanganu [1] . A formulação do modelo de dano e seus detalhes são discutidos, por exemplo, por Vieira [2] , Oller [3] e Hanganu [1] .

( 1)

onde: = tensão efetiva e fc = limite de dano.


Barra 3D com secção dividida mediante uma malha retangular. Eixos locais.


Figura 1.

Barra 3D com secção dividida mediante uma malha retangular. Eixos locais.

Foi utilizado o programa da tese doutoral de Hanganu que trata da metodologia de avaliação da degradação em estruturas de concreto armado (Hanganu [1] ), adaptado para o caso de estruturas de aço. A formulação de viga de Timoshenko 3D com o modelo de dano usada pelo programa permite o tipo de análise necessária para a obtenção das superfícies (curvas) de interação, levando em conta a não linearidade física do material com resultados em resultantes de tensão. Uma representação da superfície de degradação é vista na figura 2 (Hanganu [1] ). Foram feitas análises, para a validação do programa, de cada esforço seccional de forma a verificar a carga de colapso de cada esforço de forma independente, ou seja, sem levar em conta a interação entre eles. Comprovou-se que o programa pode ser utilizado na proposição de usar a regressão linear múltipla com dados de entrada oriundos destas análises de viga de Timoshenko 3D. Esta abordagem é apresentada em detalhes por Vieira [2] .


Função limite de dano no plano principal σ1−σ2[1].


Figura 2.

Função limite de dano no plano principal σ1  − σ2[1] .

2. Formulação para a obtenção das superfícies

As curvas de interação em resultantes de tensões facilitam as análises de sistemas estruturais evitando o processo de integração numérica ao longo da secção transversal. Para a obtenção das curvas, em resultantes de tensões, foram utilizados os resultados dos esforços seccionais da análise numérica 3D, apresentados em Vieira [2] . Várias combinações de carregamentos foram usadas para gerar pontos (combinações de esforços) que pertencem a superfície proposta, ou seja, que tenham atingido o escoamento. Para um dado carregamento, obtém-se um ponto, como o ponto 1, cujas coordenadas (n1 , m1 ) são o esforço axial e o momento fletor, respetivamente, na figura (3 ). A regressão linear múltipla (Montgomery [4] ), trata os pontos obtidos pelas diversas análises e obtém a superfície que passa por estes pontos. Isto é retratado, por exemplo, na figura (3 ). Procura-se obter os valores dos coeficientes constantes das funções, como por exemplo β1 e β2 da superfície a ser gerada, como é demonstrado na equação (2) :

( 2)

onde:

  • n e m são os esforços normal e fletor adimensionalizados;
  • β1 e β2 são os coeficientes obtidos através da regressão.


Pontos gerados para criar a função de escoamento.


Figura 3.

Pontos gerados para criar a função de escoamento.

Para tal, é apresentado um exemplo com resultados de análises (tabela 1 ) obtidas para a equação (2) .

Tabela 1. Tipo de observações para nm
Observações
n m
0, 956445 0, 040370
0, 956445 0, 040370
0, 301715 0, 679861
0, 301718 0, 679855
0, 783473 0, 210572
0, 783473 0, 210570
0, 990255 0, 008484
0, 990255 0, 008484
0, 080420 0, 899851
0, 080422 0, 899851
0, 064067 0, 915098
0, 064068 0, 915098

Estes dados são tratados pela regressão, de maneira a encontrar os coeficientes β . Com esta formulação, existe a possibilidade de gerar vários tipos de superfícies de interação em resultantes de tensões.

Nesta secção, será apresentada a formulação que trata os dados obtidos até chegar à condição em que possam ser usados pela regressão linear múltipla.

É mais conveniente expressar o modelo com operações matemáticas na forma matricial (Vieira [2] ). Suponha-se que existem k variáveis de regressão e n   observações , com i  = 1, 2, …, n e j  = 1, 2, …, k , e em que o modelo que relaciona os regressores (xik ) com a resposta (y ) seja:

( 3)

Este modelo é um sistema de n equações que pode expressar-se em notação matricial como:

( 4)

onde:

( 5)
( 6)

Em geral, y é um vetor de observações de , X é um tensor (matriz) de dos níveis das variáveis independentes, β é um vetor de (p  × 1) formado pelos coeficientes de regressão e é um vetor (n  × 1) dos erros aleatórios.

Deve-se encontrar o vetor dos estimadores dos mínimos quadrados, , que minimiza

( 7)

O estimador de mínimos quadrados é a solução para β nas equações

( 8)

Desenvolvendo-se a equação (8 ), chega-se a:

( 9)

As equações (9 ) são as equações normais dos mínimos quadrados em forma matricial e são idênticas à forma escalar, como é apresentado em (10) :

( 10)

Para que sejam resolvidas as equações normais, multiplicam-se ambos os membros da equação (9 ) pela inversa de XTX . Por conseguinte, o estimador de mínimos quadrados de β é:

( 11)

Note-se que existem p  = k  + 1 equações normais e p  = k  + 1 incógnitas, ou seja, os valores de . Por outro lado, a matriz XTX não é singular, de modo que se pode empregar os métodos de inversão de matrizes que existem na literatura.

A forma matricial das equações normais de (10 ) é apresentada na equação (12 ):

( 12)

Pode-se observar que a matriz XTX é uma matriz simétrica de (p  × p ) e que XTy é um vetor coluna de (p  × 1). Os elementos diagonais da matriz de XTX são as somas dos quadrados dos elementos nas colunas de X , enquanto que os elementos que estão fora da diagonal principal são as somas dos produtos cruzados dos elementos das colunas de X (Montegomery [4] ). Os elementos de XTy são as somas dos produtos cruzados das colunas de X e as observações de y .

O modelo de regressão ajustado tem a seguinte forma:

( 13)

A forma matricial do modelo é:

( 14)

A diferença entre a observação yi e o valor ajustado é um resíduo, . O vetor de resíduos de denota-se por:

( 15)

Aplicando a formulação apresentada, tem-se que os dados obtidos (ver tabela 1 ) são os pontos xij (ver equação (13 )) que fazem parte da superfície a obter. Analisando a figura 3 , pode-se observar que existem uma quantidade de pontos cujas coordenadas são em função do n (normal) e do m (fletor). Os esforços seccionais são apresentados, na forma matricial como na equação (5) , para os esforços normal, torçor e fletores com combinações adimensionais na equação (17) :

( 16)

( 17)

com j  = 1, 2, ⋯ , k

onde:

  • N e Nxp são o esforço axial atuante e plástico; Mx e Mxp são o momento torçor atuante e plástico (direção x ); My e Myp são o momento fletor atuante e plástico (direção y ), e Mz e Mzp são o momento fletor atuante e plástico (direção z );
  • αm são os expoentes dos termos de x1j .

As superfícies de interação podem ser feitas com as mais diversas possibilidades de interação entre esforços. Para o entendimento do processo, é descrito um modelo que leva em conta combinações dos esforços seccionais independentes para pórticos espaciais:

( 18)

com

( 19)

onde: i  = 1, 2, ⋯ , n (análises) e j  = 1, 2, ⋯ , k (combinações de esforços).

As observações de (19 ) são apresentadas para a regressão linear múltipla, forma matricial, na equação (20) :

( 20)

onde os termos xij são os esforços seccionais adimensionais (19 ), vistos anteriormente. Os αi são as constantes que determinam o grau da função; e são os esforços de cálculo e limites elastoplasticos, respetivamente.

Reapresentando a equação (18) e adotando os seguintes processos:

( 21)

com , , e

Chega-se à equação (22 ):

Na forma corrente de regressão, obtém-se:

( 22)

A equação (22 ) mostra uma curva de interação no formato que pode ser utilizado pela regressão linear múltipla (ver eq. (13 )).

3. Processo numérico de obtenção das superfícies

Para obtenção das curvas de interação, foram feitas análises numa viga engastada com diversos tipos de carregamentos. Como resultados das diversas análises, encontram-se pontos que alcançam a superfície de escoamento com resultados em resultantes de tensões. Os diversos grupos de esforços adimensionais são tratados pelo método de regressão múltipla, visto anteriormente, para obter uma função de escoamento correspondente às observações. As funções obtidas pelo processo numérico são comparadas com as apresentadas na literatura para verificar a aplicabilidade do método (Vieira [2] ). As propriedades da viga engastada (ver fig. 4 e tabela 2 ), como dimensões da secção transversal e comprimento, foram padronizadas para se obter uma comparação entres as funções obtidas. Os limites plásticos para a secção foram obtidos em função das fórmulas da literatura. O nível de dano do elemento, em que foram retirados os esforços, variou de 60 a 99%. Esta variação do nível do dano dependeu da convergência de cada análise. O elemento em que foram retiradas as observações (esforços seccionais) e observados os níveis de plastificação da secção foi o que tem a condição de contorno engastada. Para cada análise, foram extraídos os esforços adimensionais dos 2 (dois) pontos de Gauss como em Vieira [2] . A função f é a apresentada pela literatura e função fu é a obtida no presente trabalho. Foram geradas várias malhas de acordo com a necessidade do exemplo tratatado. O número de elementos foi obtido através de testes para verificar a convergência da solução. O exemplo 3.1 foi a base das funções usadas nas análises elastoplásticas.


Viga engastada.


Figura 4.

Viga engastada.

Tabela 2. Propriedades do elemento engastado
Propriedades do elemento engastado
Descrição Valor adotado Unidade
Módulo de Young 2, 1e6 kgf/cm2
Módulo de Poisson 0, 3
Densidade 7, 85e−6 kgf/cm3
Limite de compressão 2, 4e3 kgf/cm2
Limite de tração 2, 4e3 kgf/cm2
Energia de fratura (dano) 1, 0e7 kgf.cm
Largura da secção (b) 4, 2 cm
Altura da secção (h) 8, 0 cm
Comprimento (l) 200, 0 cm
Nxp compressão 18410, 959 kgf
Nxp tração 80640, 0 kgf
Mxp 80660, 916 kgf.cm
Myp 161280, 0 kgf.cm
Mzp 84600, 0 kgf.cm

3.1. Exemplo 3.1

Neste caso, procura-se uma função que estabeleça a interação entre os esforços seccionais: axial e fletores . Considera-se a viga engastada, vista na figura 4 , com as propriedades padrões da tabela 2 . Foram aplicadas várias combinações de translações e rotações impostas no nó 1 (ver fig. 4 ) para a obtenção dos grupos de esforços seccionais adimensionais da curva de interação. Foram testadas interações nas duas direções dos momentos. As propriedades particulares do exemplo são apresentadas na tabela 3 .

Tabela 3. Propriedades particulares do exemplo modelo.
Propriedades do exemplo 3.1
Descrição Valor adotado
Número de elementos 50
Número de nós da malha 101
Número de divisões seccionais 8
Número de análises 6
Deslocamentos impostos (cm)
ux uz
0,10 10,00
0,20 12,00
0,30 14,00
0,60 18,00
0,90 18,00
0,50 20,00
ux uy
0,24 7,68
1,33 82,34
1,40 69,52
0,03 13,77
0,06 14,41
0,45 37,44

Foram testadas análises com os dados conjuntos das 2 direções e verificou-se que se pode propor as funções a seguir, analisadas de maneira mais completa em [2] .

  • n2  × m

( 23)
  • n × m2

( 24)
  • n2  × m2desacoplado

( 25)
  • n2  × m2  acoplado

( 26)

4. Análise elastoplástica de estruturas aporticadas

Foram feitas aplicações baseadas na teoria da elastoplasticidade em estruturas aporticadas com o objetivo de analisar o comportamento das superfícies geradas. A seguir, é mostrada a teoria envolvida na utilização de superfícies em resultantes de tensão.

Uma superfície de interação define o estado último de uma secção transversal e depende dos seguintes fatores:

  • Forma geométrica da secção transversal;
  • Combinação dos esforços seccionais que atuam na secção transversal;
  • Teoria de viga utilizada.

Encontram-se soluções analíticas fechadas para determinados tipos de secções (I, retangular, etc.) com casos especiais de combinações de esforços, tais como momentos fletores e esforço normal (Horne [5] , Neal [6] ). Neste trabalho, assume-se uma superfície descrita em função dos esforços seccionais (Silva [7] ), com base na equação (ver eq. (27 )), apresentada com as seguintes combinações de esforços seccionais:

( 27)

onde Fx é o esforço axial, Fy e Fz são os esforços cortantes, Mx é o momento torçor e My e Mz são os momentos fletores. é o esforço normal de plastificação puro, e são os esforços cortantes de plastificação puros, é o momento torçor de plastificação puro, e são os momentos fletores de plastificação puros. As constantes βi reais positivas são obtidas de observações oriundas das análises do modelo de dano em viga de Timoshenko 3D que levam em conta as propriedades da forma geométrica da secção transversal. Os expoentes αi  ≥ 1 são arbitrados em função do tipo de função desejada. Dentro do contexto da análise elastoplástica perfeita de estruturas, Silva [7] considera que:

  • Os esforços seccionais contidos no interior da superfície de interação geram somente deformações elásticas;
  • Os esforços seccionais que estejam na superfície de interação geram deformações plásticas;
  • Os esforços seccionais fora da superfície de interação representam estados de tensões inadmissíveis porque não se leva em conta o caso do endurecimento.

Durante o processo de aplicação do carregamento em passos de carga, os esforços seccionais em alguns nós dos elementos da estrutura poderão sair da superfície de interação. Para trazer estes esforços seccionais de volta à superfície, utiliza-se o método de Backward Euler, que necessita das derivadas primeira e segunda da superfície em relação aos esforços seccionais.

4.1. Derivadas de primeira ordem

Com base na equação (27 ), obtêm-se as derivadas de primeira ordem da superfície de interação (Silva [7] ), em relação aos esforços seccionais:

( 28)

onde e denotam os sinais das componentes do vetor de esforços nodais com e e .

A superfície de interação é assumida como um potencial plástico (Lubliner [8] ). As componentes são apresentadas na forma matricial para cada nó do elemento e definem o fluxo plástico nos nós do elemento durante o processo de carga. Têm-se, a seguir, os vetores para cada nó do elemento:

( 29)

onde 0 é um vetor nulo de 6 × 1.

4.2. Derivadas de segunda ordem

O gradiente do vetor de fluxo plástico é obtido através da diferenciação de cada componente do vetor da equação (29) em relação aos esforços seccionais. Desenvolvendo-se as derivadas em função da equação (28 ), são apresentadas, a seguir, as segundas derivadas:

ParaFxFk

( 30)

ParaFyFk

( 31)

ParaFzFk

( 32)

ParaMxFk

( 33)

ParaMyFk

( 34)

ParaMzFk

( 35)

As segundas derivadas na forma matricial representam o gradiente do fluxo plástico para cada nó do elemento (Silva [7] ):

( 36)
( 37)
( 38)
( 39)

onde 0 é uma matriz 6 × 6 com elementos nulos.

4.3. Algoritmo de retorno

Na aplicação do carregamento da estrutura, os esforços seccionais atingem, num ou em ambos os nós do elemento de viga, um estado que sai da superfície de interação, formando-se rótulas plásticas. Neste caso, aplica-se o método de Backward Euler para trazer de volta os esforços seccionais à superfície de interação. Portanto, assume-se, inicialmente, que exista uma combinação de esforços seccionais num dos nós do elemento que esteja fora da superfície de interação (visto em Silva [7] ). Utilizando-se o método de backward Euler, corrige-se o vetor de forças nodais da forma seguinte:

( 40)

onde corresponde a um vetor de forças nodais estimado. Este vetor é obtido através de uma solução elástica dos incrementos de deslocamentos dUj e da matriz de rigidez linear elástica Kij do elemento de viga 3D (fig. 1 ). é o vetor de forças nodais do último passo de carga convergido. O vetor está dentro ou fora da superfície de interação. Por outro lado, é o vetor de fluxo plástico definido em relação aos esforços seccionais que estão fora da superfície de interação e λ1 é o multiplicador plástico, tal que λ1  ≥ 0.

Geralmente, os vetores de forças nodais, estimado e corrigido , não satisfazem o critério de escoamento, isto é, não estão sobre a superfície de interação. Assim, torna-se necessário um tipo de processo iterativo para trazer o estado de tensão (esforços seccionais) de volta à superfície de interação (ver fig. 5 ).


Retorno à superfície com um vetor (ver Silva [7]).


Figura 5.

Retorno à superfície com um vetor (ver Silva [7] ).

4.3.1. Algoritmo de retorno com 1 (um) vetor

Ao ocorrer a situação de somente uma rótula plástica no elemento de viga, emprega-se somente um vetor de fluxo plástico correspondente aos esforços seccionais que se encontra fora da superfície de interação (ver fig. 5 ).

O processo iterativo utiliza vetores de fluxo plástico atualizados para se aproximar da superfície. Este procedimento é chamado de algoritmo de retorno, sendo que, neste caso, é feito com um vetor. Na figura 5 , encontra-se a interpretação geométrica do algoritmo de retorno (Silva [7] ). Admite-se que os vetores de força nodais Fi (atual) e (corrigido) não cumprem o critério de escoamento, ou seja, e . Com isso, o vetor de forças residuais ri , baseado na equação (40) , é definido como:

( 41)

Expandindo a equação (41) numa série de Taylor até os termos de primeira ordem e mantendo o vetor de forças nodais de partida fixo, obtém-se um novo vetor de forças residuais . Este novo vetor é apresentado da forma seguinte:

( 42)

onde dFi é uma variação em Fi , 1 é uma variação em λ1 e é uma variação em . Aplicando a condição: , a equação (42) é reapresentada a seguir:

( 43)

Definindo a matriz Qik como segue:

( 44)

Aplicam-se manipulações indiciais nas equações (43) e (44) para determinar a correção do vetor de forças nodais, dFi , na iteração atual, chegando a:

( 45)

( 46)

Expandindo a função de escoamento (interação), f , numa série de Taylor até os termos de primeira ordem em torno do vetor de forças nodais final Fi , tem-se que

( 47)

Impondo que na equação (47) e usando a equação (46) , obtém-se a correção do multiplicador plástico, na iteração atual, como segue:

( 48)
( 49)
( 50)
( 51)

Este procedimento iterativo termina quando são alcançados os critérios de parada adotados:

( 52)

onde ||ri || é a norma euclidiana do vetor de forças residuais, é a norma euclidiana do vetor de forças estimado e TOL é a tolerância para a convergência.

4.3.2. Algoritmo de retorno com 2 (dois) vetores

Para o caso da formação de 2 rótulas plásticas no elemento de viga, são utilizados 2 vetores de fluxo plástico com um vetor para cada nó, ou seja, e . Os vetores de fluxo são os esforços seccionais de cada nó, que estão fora da superfície de interação, isto é, e . Durante o processo iterativo utilizam-se esses vetores de fluxo plástico atualizados para a aproximação da superfície de interação. Este procedimento é chamado algoritmo de retorno com 2 (dois) vetores. A interpretação geométrica do algoritmo é vista na figura 6 . Define-se o vetor de forças nodais de partida como: , onde é o vetor de forças nodais do último passo de carga convergido. O vetor estará dentro ou fora da superfície de interação, ou seja, ou , respetivamente. O vetor de forças nodais corrigido expressa-se como:

( 53)

onde λ1 e λ2 são os multiplicadores plásticos, sendo que λ1  ≥ 0 e λ2  ≥ 0. Admite-se que os vetores de forças nodais atual (F ) e corrigido ( ) não cumprem a condição de escoamento com e . Define-se o vetor de forças nodais r como:

( 54)


Retorno a superfície com 2 vetores (Silva [7]).


Figura 6.

Retorno a superfície com 2 vetores (Silva [7] ).

Expandindo a equação (54) em série de Taylor até os termos de primeira ordem e mantendo fixo o vetor de forças nodais , obtém-se um novo vetor de forças residuais , que é apresentado na equação (55) :

( 55)

Impondo-se a condição , a equação (55) pode ser reescrita como:

( 56)

Define-se a matriz Qik como:

( 57)

Aplicam-se, como anteriormente, manipulações indiciais nas equações (55) , (56) e (57) para a obtenção do vetor de forças nodais da iteração atual:

( 58)

( 59)

Expandindo-se as funções de escoamento no nó 1, f1 , e no nó 2, f2 , em série de Taylor até aos termos de primeira ordem em torno do vetor de forças nodais final Fk , chega-se a:

( 60)

Aplicando a equação (59) nas funções da equação (60) e impondo que e , tem-se que:

( 61)

com m  = 1, 2

As incógnitas são as correções dos multiplicadores plásticos 1 e 2 durante o processo iterativo (Silva [7] ). Colocando as equações (61) no sistema matricial:

( 62)

Reapresentado a equação (62) da seguinte forma:

( 63)

Solucionando o sistema da equação (63) , obtém-se que:

( 64)
( 65)

com

( 66)
( 67)
( 68)

O processo iterativo termina quando são cumpridos os seguintes critérios de parada:

( 69)

4.4. Matriz de rigidez consistente

No processo incremental-iterativo, é utilizado, na fase corretora, o método de Newton-Raphson para determinar a configuração de equilíbrio do sistema estrutural (Silva [7] ). Para não destruir a convergência quadrática do método, há necessidade da obtenção de uma matriz de rigidez consistente de forma que sejam apresentados os casos para 1 (um) vetor e 2 (dois) vetores. Na situação de uma rótula plástica, utiliza-se o algoritmo com um vetor e, para duas, o algoritmo com dois vetores. Ao alcançar a convergência atendendo aos critérios adotados nas equações (52) e (69) , atualiza-se a matriz de rigidez consistente ao início de cada passo de carga (ver fig. 7 ).


Procedimento incremental-iterativo de Newton-Raphson como visto em Crisfield ...


Figura 7.

Procedimento incremental-iterativo de Newton-Raphson como visto em Crisfield [9] .

4.4.1. Algoritmo de retorno com um vetor

Para trazer os esforços seccionais à superfície de interação, no final do processo iterativo, define-se a seguinte correção:

( 70)

e para o vetor de forças nodais de partida (inicial), define-se como:

( 71)

Aplicando-se o diferencial total na equação (70) , eq. (42) , chega-se a:

( 72)

Desenvolvendo a equação (72) , obtém-se que:

( 73)

Utilizando a matriz Qik definida na equação (44) e definindo que a matriz de redução plástica seja igual a:

( 74)

Com isso, reescreve-se a equação (73) da seguinte forma:

( 75)

A equação (75) é semelhante à forma não consistente, sendo diferente no termo Kij em relação ao e no facto de o vetor de fluxo plástico ser avaliado no ponto de retorno à superfície de interação (Silva [7] ). Como o vetor de forças nodais final, Fi tem de cumprir a condição , diferencia-se esta condição e tem-se por base a equação (75) , de maneira que

( 76)
( 77)

Desenvolvendo a equação anterior para a obtenção do multiplicador plástico (1 ), obtém-se:

( 78)

A matriz de rigidez elastoplástica consistente é obtida em função das equações (75) e (78) , Silva [7] :

4.4.2. Algoritmo de retorno com 2 vetores

Para a situação em que existam 2 rótulas plásticas, assume-se que e , e a correção para trazer os esforços seccionais de ambos nós para a superfície de interação, ao final do processo iterativo, é apresentada a seguir:

( 79)

Utilizando o vetor de forças nodais de partida, , na equação anterior e aplicando o diferencial total, chega-se a:

( 80)

Semelhantemente, as equações (56) e (57) desenvolvem a equação (80) da seguinte forma:

( 81)

Usando a matriz Qik (ver equação (57 )) e definindo a matriz de redução plástica como , apresenta-se a equação (81) da seguinte forma:

( 82)

Como o vetor de forças nodais final Fi cumpre as condições e , diferenciam-se estas condições com base na equação (82) , (Silva [7] ). Com isso, chega-se a:

( 83)

com m  = 1,2.

Reescrevendo as equações de (83) em função dos multiplicadores plásticos, na forma matricial, obtém-se:

( 84)

De forma semelhante ao sistema da equação (63) , a solução do sistema é:

( 85)
( 86)
( 87)

com

( 88)