Resumo

As superfícies de interação em resultantes de tensão podem ser de grande utilidade nos processos de análise estrutural, mas sua obtenção para pórticos planos ou espaciais, geralmente, é em esforços combinados de momentos fletores e normais. A literatura apresenta as superfícies em formas planas, quadriculares, complexas ou mistas para análise não linear de estruturas que apresentam os problemas de instabilidade local e global na execução. O modelo de regressão linear múltipla é um método que permite a obtenção de superfícies de interação em resultantes de tensão a partir de análises de elementos sólidos 3D. As análises elastoplásticas de pórticos planos ou espaciais usando estas superfícies facilitam os processos de análise estrutural para a execução de projetos com melhor segurança estrutural. Neste trabalho, a abordagem será para estruturas metálicas com superfícies em resultantes de tensão obtidas por análises não lineares do modelo de dano de vigas de Timoshenko 3D.

Palavras-chave: Superfícies de interação, vigas de Timoshenko 3D, regressão linear múltipla, resultantes de tensões, pórticos metálicos, análise elastoplástica

Abstract

The interaction surfaces in stress resultants can be of great use in the structural analysis processes, but their obtaining for plane or space frames, generally, is in combined efforts of bending moments and normal. The literature presents the surfaces in plane, quadric, complex or mixed forms for nonlinear analysis of structures that have the problems of local and global instability in the executing. The multiple linear regression model is a method that permit obtain interaction surfaces in the stress resultants from 3D solid element analysis. The plane and space frames elastoplastic analysis using these surfaces facilitate the structural analysis processes for the execution of projects with better structural safety. In this work, the approach will be for metallic structures with stress resultants surfaces obtained by Timoshenko 3D beams damage model non-linear analysis.

Keywords: Interaction curves, 3D Timoshenko beams, multiple linear regression, stress resultants, steel frame, elastoplastic analysis

1. Introdução

A análise elastoplástica com pórticos espaciais ou planos necessita da função de escoamento que controla o término da fase elástica e o estado plástico da estrutura. Usar superfícies de interação em resultantes de tensões é de mais fácil entendimento para os projetistas porque geralmente os esforços seccionais são apresentados nestas resultantes, a saber, momentos, cortantes e axial. O modelo de dano em vigas de Timoshenko em vigas 3D permite obter os esforços em resultantes de tensões com a versatilidade de poder usá-lo para estruturas de concreto armado ou aço, de acordo com os parâmetros adotados. No trabalho de Vieira [1] faz-se a aplicação da tese doutoral de Hanganu [2] para o caso de estruturas de aço com a definição do limite de dano quando o valor da função de endurecimento ( for igual a máxima resistência ao cortante octaédrica (). As verificações realizadas demonstraram que os limites plásticos foram atendidos. Este trabalho fará a aplicação das superfícies de interação em pórticos planos e espaciais, de modo que seja verificado se a regressão linear múltipla consegue demostrar se a função é de boa utilidade ou não na análise elastoplástica.

2. Métodos

A pesquisa foi desenvolvida com as formulações apresentadas nas Seções 2.1 a 2.6 e 3 (três) estudos de casos na Seção 2.7.

2.1 Funções de Escoamento

Na literatura, as funções de escoamento de uma seção retangular para combinações de esforços seccionais de momento fletor, axial, cortante e torção para pórticos planos e espaciais são apresentadas por Lubliner [3], Mrázik [4] e Crisfield [5] de forma resumida como:

(1)

onde:

;
(2)

com

= esforço normal atuante;

= esforço axial de plastificação;

= esforço de momento atuante;

= esforço de momento de plastificação;

= direções dos esforços no sistema de referência.

Outras funções apresentam as interações de esforços seccionais como segue:

(3)
(4)

com

(5)
(6)
(7)

com

onde = força cortante atuante; = força cortante de plastificação.

Existem dificuldades para a obtenção das funções de escoamento por ensaios experimentais, assim como por modelos computacionais porque as mesmas dependem da geometria da seção transversal e das propriedades do material. A abordagem baseada no modelo de dano em vigas de Timoshenko 3D para a obtenção das superfícies com regressão linear múltipla é apresentada em Vieira e Silva [6] e com mais detalhes em Vieira [1].

2.2 Modelo de dano

Hanganu [2] desenvolve o modelo de dano isotrópico para problemas termicamente estáveis, na configuração material lagrangiana com pequenas deformações e deslocamentos com a descrição do dano pela variável em função de uma superfície elementar com um volume de material degradado como na Figura 1:

(8)

onde = área total da seção; = área resistente efetiva; = área ocupada pelas aberturas.

Review 967755629029 4053 test-image1.png
Figura 1. Superfície com dano


A relação de equilíbrio entre a tensão de Cauchy e a tensão efetiva é mostrada pela equação (9) e a Figura 2:

(9)
Review 967755629029 1811 test-image2.png Review 967755629029 8526 test-image3.png
(a) Região real com dano (b) Região equivalente sem dano
Figura 2. Tensão de Cauchy e tensão efetiva


Fazendo as relações entre as equações (8) e (9) obtém-se:

(10)

onde = módulo de elasticidade do material; = deformação do material.

Para problemas termicamente estáveis é válida a inequação de Clasius-Planck para representar a dissipação (), sempre crescente, com a potência dissipativa sendo positiva em um ponto para a forma lagrangiana seguinte:

(11)

com

= energia livre elástica de Helmholtz do material sem danos;

= energia livre de Helmholtz para um modelo com dano isotérmico;

= densidade na configuração material.

O termo necessita cumprir-se em qualquer variação temporal arbitrária da variável independente . Assim, pode ser “zero” ou

(12)

Desenvolvendo a equação (12) chega-se a:

(13)

onde é a matriz constitutiva secante do material com dano.

Por consequência o termo restante da equação (11) torna-se em

(14)


Pelas equações (11) e (14) o dano nunca pode diminuir, ou seja, .

A função equivalente utilizada no modelo de Hanganu [2] é mostrada na Figura 3 com e como resistências de tração e compressão, respectivamente.

O termo é

(15)
Review 967755629029 5411 test-image4.png
Figura 3. Função limite de dano no plano principal


A equação que a representa é a seguinte:

(16)

onde = função escalar, inversível, positiva e derivada positiva, a determinar.

A função de evolução do limite de dano, Hanganu [2], é mostrada na Figura 4.

Review 967755629029 3845 test-image5.png
Figura 4. Representação da função


O presente trabalho foi focado em estruturas de aço. Desta feita, adotou-se o critério de von Mises que depende de somente um parâmetro, ou seja, a máxima resistência ao cortante octaédrica , considerando somente o 2º invariante do tensor desviador de tensões , desprezando a influência do 1º invariante do tensor de tensões e do 3º invariante do tensor desviador de tensões . De acordo com este critério, se alcança o limite do dano quando o valor da função de endurecimento alcança a máxima resistência ao cortante octaédrico

(17)

Este critério é representado na equação (18):

(18)

2.3 Superfícies de interação por regressão linear múltipla

Na obtenção das superfícies foram feitas várias combinações de carregamentos de forma a ter um grupo de pontos para gerar a superfície proposta, ou seja, pontos que tenham alcançado a superfície de escoamento. Para um dado carregamento, obtém-se um ponto, como por exemplo o ponto 1 da Figura 5, cujas coordenadas (n1, m1) são o esforço axial e momento fletor respectivamente. Mais detalhes sobre os processos de obtenção das superfícies podem ser lidos em Vieira [1].

Review 967755629029 4024 test-image6.png
Figura 5. Pontos gerados para criar a função de escoamento (caso uniaxial)


A superfície para o caso da Figura 5 tem a seguinte descrição no formato do modelo de regressão linear múltipla:

(19)

onde = esforços normal e fletor adimensionais, respectivamente; = coeficientes obtidos pela regressão linear múltipla.

Muitas aplicações da análise de regressão envolvem situações em que há mais de uma variável de regressão. Um modelo de regressão que contém mais de um regressor recebe o nome de modelo de regressão múltipla como por exemplo em Montgomery [7].

O modelo desenvolvido para a formulação pretendida tem a seguinte forma:

(20)

onde:

com e como o esforço axial atuante e plástico;

com e como o esforço cortante atuante e plástico;

com e como o esforço cortante atuante e plástico;

com e como o momento torçor atuante e plástico;

com e como o momento fletor atuante e plástico;

com e como o momento fletor atuante e plástico.

Na regressão as observações da equação (20) podem ser apresentadas como

(21)

onde

= número de observações (ensaios);

= coeficientes de regressão da resposta ;

= variáveis independes (regressores): ; ; ; ; ; e suas combinações;

= erros do modelo.

O enfoque matricial da formulação é mostrado como segue:

(22)

com

(23)
(24)

onde

= é o vetor de observações de dimensão ;

= é o tensor (matriz) de dimensão dos níveis das variáveis independentes;

= é o vetor dos coeficientes de regressão de dimensão ;

= é o vetor dos erros aleatórios de dimensão .

Deve-se encontrar o vetor dos estimadores dos mínimos quadrado, , que minimiza

(25)

Desenvolvendo os cálculos chega-se a:

(26)

Mais detalhes dos processos de cálculo podem ser lidos em Montgomery [7].

O modelo ajustado passa a ter a seguinte forma;

(27)

Com .

Os testes de hipóteses utilizados são o estatístico de prova “F” e os de coeficientes individuais “t” que podem ser compreendidos com detalhes em Montgomery [7].

As superfícies e seus os resultados estatísticos (Tabelas de 1 a 6) que serão usados nas análises elastoplásticas, obtidos em Vieira [1], são as seguintes:

(28)
(29)
(30)
(31)
(32)
(33)


Tabela 1. Prova de significância da superfície
Fonte de variação Soma dos quadrados Graus de liberdade Média dos quadrados
Regressão 23,860 3 7,953 1183,674 0,000
Erro (resíduo) 0,1400 21 0,007
Total 24,000 24
Prova dos coeficientes individuais
Variáveis Estimado Erro
1,1580 0,0377 30,740 0,000
1,1180 0,0387 28,900 0,000
1,1240 0,0381 29,530 0,000


Tabela 2. Prova de significância da superfície
Fonte de variação Soma dos quadrados Graus de liberdade Média dos quadrados
Regressão 24,000 5 4,800 55913,754 0,000
Erro (resíduo) 0,000 19 0,000
Total 24,000 24
Prova dos coeficientes individuais
Variáveis Estimado Erro
1,0100 0,0056 179,500 0,000
0,9680 0,0086 113,100 0,000
0,9810 0,0085 115,500 0,000
0,5140 0,0312 16,500 0,000
0,0305 14,100 0,000


Tabela 3. Prova de significância da superfície
Fonte de variação Soma dos quadrados Graus de liberdade Média dos quadrados
Regressão 24,000 6 4,000 53308,230 0,000
Erro (resíduo) 0,000 18 0,000
Total 24,000 24
Prova dos coeficientes individuais
Variáveis Estimado Erro
1,0140 0,00552 183,500 0,000
0,9660 0,00806 119,800 0,000
0,9820 0,00795 123,500 0,000
0,5060 0,02951 17,100 0,000
0,4040 0,03146 12,800 0,000
0,0380 0,01980 1,900 0,000


Tabela 4. Prova de significância da superfície
Fonte de variação Soma dos quadrados Graus de liberdade Média dos quadrados
Regressão 12,000 2 6,000 84325,969 0,000
Erro (resíduo) 0,000 10 0,000
Total 12,000 12
Prova dos coeficientes individuais
Variáveis Estimado Erro
1,0120 0,0043 235, 300 0,000
1,0270 0,0044 233, 800 0,000


Tabela 5. Prova de significância da superfície
Fonte de variação Soma dos quadrados Graus de liberdade Média dos quadrados
Regressão 11,960 2 5,979 1455,211 0,000
Erro (resíduo) 0,040 10 0,004
Total 12,000 12
Prova dos coeficientes individuais
Variáveis Estimado Erro
1,2420 0,0309 40,220 0,000
1,0870 0,0355 30,610 0,000


Tabela 6. Prova de significância da superfície
Fonte de variação Soma dos quadrados Graus de liberdade Média dos quadrados
Regressão 11,990 2 5,996 8547,240 0,000
Erro (resíduo) 0,010 10 0,001
Total 12,000 12
Prova dos coeficientes individuais
Variáveis Estimado Erro
1,0890 0,0112 97,600 0,000
0,9290 0,0150 62,040 0,000

2.4 Análise elastoplástica de estruturas de pórticos

Uma superfície de interação define o estado último de uma seção transversal e depende dos seguintes fatores:

1. Forma geométrica da seção transversal;
2. Combinação dos esforços seccionais que atuam na seção transversal;
3. Teoria de viga utilizada.

Encontram-se soluções analíticas fechadas para determinados tipos de seções (I, Retangular, etc) com casos especiais de combinações de esforços, tais como momentos fletores e esforço normal Horne [8], Lubliner [3] e Neal [9]. Neste trabalho, assume-se uma superfície descrita na equação (20) em função dos esforços seccionais.

A análise elastoplástica segue os conceitos apresentados no trabalho de Silva [10] com as seguintes considerações;

1) Os esforços seccionais contidos no interior da superfície de interação geram somente deformações elásticas;
2) Os esforços seccionais que estejam na superfície de interação geram deformações plásticas;
3) Os esforços seccionais fora da superfície de interação representam estados de tensões inadmissíveis porque não se leva em conta o caso do endurecimento.

Durante o processo de aplicação do carregamento em passos de carga os esforços seccionais em alguns nós dos elementos da estrutura poderão sair da superfície de interação. Para trazer estes esforços seccionais de volta a superfície utiliza-se o método de Backward Euler que necessita das derivadas primeira e segunda da superfície em relação aos esforços seccionais.

2.4.1 Derivadas de primeira ordem

Baseando-se na equação (20) são obtidas as derivadas de primeira ordem da superfície de interação em relação aos esforços seccionais:

(34)
(35)
(36)
(37)
(38)
(39)

onde = sinal do esforço seccional de forças; = sinal do esforço seccional de momentos.

A superfície de interação é assumida como um potencial plástico. As componentes são apresentadas na equação (40) na forma matricial para cada nó do elemento do fluxo plástico no nós do elemento durante o processo de carga

 ;
(40)

onde é o vetor nulo de dimensão .

2.4.2 Derivadas de segunda ordem

As derivadas de segunda ordem expressam o gradiente do vetor de fluxo plástico, obtido pela diferenciação de cada componente do vetores da equação (40). Desenvolvendo-se as derivadas, chega-se a:

Para

(41)
(42)
(43)
(44)
(45)
(46)


Para

(47)
(48)
(49)
(50)
(51)
(52)


Para

(53)
(54)
(55)
(56)
(57)
(58)


Para

(59)
(60)
(61)
(62)
(63)
(64)


Para

(65)
(66)
(67)
(68)
(69)
(70)


Para

(71)
(72)
(73)
(74)
(75)
(76)


As 2ª derivadas na forma matricial podem ser expressas como

(77)
(78)
(79)
(80)

onde é uma matriz de dimensão com elementos nulos.

2.5 Algoritmo de Retorno

O algoritmo de retorno proposto por Silva [10] servirá para trazer de volta os esforços seccionais inadmissíveis, ou seja, os que saem da superfície de interação. O método de backward Euler será utilizado para trazer de volta a superfície estes esforços seccionais. Quando os esforços atingem a superfície se formam as rótulas plásticas.

Assume-se que exista uma combinação de esforços seccionais em um dos nós do elemento que esteja fora da superfície de interação. Usando o método de backward Euler para corrigir o vetor de forças nodais tem-se a seguinte forma:

(81)

onde

= vetor de forças nodais corrigido;

= vetor de força nodais estimado;

= multiplicador plástico do nó 1, de forma ;

= matriz de rigidez do elemento;

= vetor de fluxo plástico do nó 1.

O vetor de forças nodais estimado é expressado por:

(82)

onde = vetor de forças nodais do último passo de carga convergido; = incrementos do campo de deslocamentos do nó.

O vetor é obtido da solução elástica dos incrementos de deslocamentos e da matriz de rigidez linear elástica do elemento de viga 3D. O vetor pode estar dentro, fora ou tocando a superfície de interação. Geralmente, os vetores de forças nodais, estimado () e o corrigido () não estão sobre a superfície de interação quando atingem a fase de escoamento. Usar-se-á um método iterativo para trazer os esforços seccionais a um estado de tensão que esteja na superfície de interação.

O algoritmo irá trabalhar com 2 (duas) possibilidades de formação de rótulas plásticas, ou seja, para 1 (um) nó ou os 2 (dois) nós.

2.5.1 Algoritmo de retorno com 1 (um) vetor

O caso de formação de somente uma rótula plástica no elemento de viga emprega-se um vetor de fluxo plástico correspondente aos esforços seccionais que se encontra fora da superfície de interação, conforme Figura 6.

Review 967755629029 6569 test-image7.png
Figura 6. Retorno à superfície com um vetor


O processo iterativo utiliza vetores de fluxo plástico atualizados para aproximar-se da superfície. Este procedimento é chamado de algoritmo de retorno.

Admite-se que os vetores de força nodais (atual) e o corrigido não cumprem o critério de escoamento, ou seja, e

O vetor de forças residuais do processo iterativo será como

(83)

Desenvolvendo a equação (83) numa série de Taylor até os termos de 1ª ordem e mantendo o vetor de forças nodais de partida fixo, obtém-se um novo vetor de forças residuais , apresentado da seguinte forma:

(84)

onde

= passo do processo iterativo.

= variação do vetor de forças;

= variação do multiplicador plástico;

= variação do vetor de fluxo (gradiente).

Aplicando a condição de que , a equação (84) torna-se em

(85)

onde = Delta de Kronecker.

Definindo-se o termo

(86)

A equação (85), torna-se:

(87)

Obtendo os termos da variação do vetor de força, chega-se a:

(88)
(89)


Expandindo a superfície de interação, , numa série de Taylor até os termos de 1ª ordem entorno do vetor do vetor de forças nodais final (, obtém-se:

(90)

Tomando-se e desenvolvendo a equação (89) paro obter o multiplicador plástico, chega-se a:

(91)
(92)
(93)
(94)
(95)

O processo iterativo termina quando são alcançados os critérios de parada adotados:

(96)

onde

= norma euclidiana do vetor de forças nodais;

= norma euclidiana do vetor de forças estimado;

= vetor resíduo da superfície de interação;

= tolerância adotada.

2.5.2 Algoritmo de retorno com 2 (dois) vetores

O caso da existência de duas rótulas plástica no elemento de viga usa 2 (dois) vetores de fluxo plástico, um para cada nó. O vetores seguem a premissa de que

(97)

Durante o processo iterativo, usa-se dois vetores de fluxo para se aproximar da superfície de interação. Este procedimento é chamado algoritmo de retorno com 2 (dois) vetores. A interpretação geométrica é vista na Figura 7.

Review 967755629029 9634 test-image8.png
Figura 7. Retorno à superfície com dois vetores


O vetor nodal de partida é similar a equação (82). O vetor de forças nodais para os dois nós corrigido é expressado como

(98)

onde e são os multiplicadores plásticos.

O vetor resíduo das forças tem a forma seguinte: