Análisis numérico del efecto de la velocidad de deformación en laminados CFRP tipo tejido con agujero

ANÁLISIS NUMÉRICO DEL EFECTO DE LA VELOCIDAD DE DEFORMACIÓN EN LAMINADOS CFRP TIPO TEJIDO CON AGUJERO

J.M. Rodríguez Sereno^1*, J. Pernas-Sánchez¹, J.A. Artero-Guerrero¹, J. López Puente¹

¹Departamento de Mecánica de Medios Continuos y Teoría de Estructuras de la Universidad Carlos III de Madrid

*josemanr@ing.uc3m.es

1. Introducción

Los laminados de material compuesto se utilizan en la industria aeronáutica y en aplicaciones de ingeniería debido a sus grandes prestaciones mecánicas con relación a su bajo peso [1]. Los CFRP de tipo tejido ofrecen mejor rendimiento en ductilidad, resistencia y tolerancia al daño en comparación con los compuestos unidireccionales [2]. Además, presenta mayor resistencia a la delaminación y una mayor tenacidad a la fractura y tolerancia al impacto [3].

Eventualmente las estructuras aeronáuticas pueden estar sometidas a eventos de impactos como los que pueden ocurrir durante un aterrizaje de emergencia o un accidente aéreo. En estos sucesos es necesario poder predecir el comportamiento de las estructuras sometidas a procesos dinámicos para poder asegurar la seguridad e integridad de las mismas. Dado que en la actualidad una gran parte de las estructuras se realizan en materiales compuesto es necesario definir un sólido conocimiento de cómo éstos se comportan bajo cargas dinámicas o procesos a altas velocidades de deformación. En los últimos años, el estudio del comportamiento mecánico de los CFRP bajo cargas elevadas ha adquirido una importancia fundamental en la industria aeronáutica. Se han realizado estudios recientes sobre el comportamiento a altas velocidades de deformación en estructuras de tipo tejido en fibra de vidrio [4] [5] y fibra de carbono [6] [7] [8]. La mayoría de los estudios han utilizado el sistema de barra Hopkinson. Hoy en día, existen varios modelos analíticos para predecir las propiedades mecánicas de laminados CFRP de tejido, tanto en rigidez [9] [10] como en resistencia [11]. Aunque los materiales compuestos muestran un incremento de las propiedades mecánicas proporcional a la velocidad de carga, la comunidad investigadora aún no ha llegado a un acuerdo para encontrar una metodología precisa que describa la respuesta al impacto.

La predicción del comportamiento mecánico y los mecanismos de fallo es esencial a nivel industrial para mejorar la eficiencia y reducir costes. Varios investigadores han desarrollado modelos constitutivos para describir tanto el comportamiento mecánico antes del daño como el proceso de fractura en compuestos tejidos [12] [13]. Martínez-Hergueta et al. [14] propusieron una metodología para implementar el efecto de la velocidad de deformación en las propiedades mecánicas del material para materiales con fibras de vidrio en simulaciones numéricas.

El estudio del efecto de agujeros en los materiales compuestos ha sido un campo profundo de estudio. Lekhnitskii en 1968 estudió el efecto de este tipo de imperfecciones en placas anisótropas [15] El factor de concentración de tensiones en agujeros circulares es un tema de interés en las últimas décadas [16]. Camanho et al. [17] propusieron modelos basados en la mecánica de fractura para predecir la resistencia a tracción de laminados de material compuesto con agujero. Desde el punto de vista numérico, se han desarrollado varios estudios de simulaciones numéricas para analizar el proceso de fractura en especímenes de CFRP con agujero utilizando Abaqus/Explicit [18] [19]. Sin embargo, hay escasa información acerca del comportamiento de estas imperfecciones en régimen dinámico [20].

En los siguientes apartados se describe la metodología numérica llevada a cabo para describir el comportamiento mecánico del CFRP de tejido. Además, se muestran los modelos numéricos diseñados para la validación de los ensayos experimentales y los resultados correspondientes.

2. Modelo constitutivo para laminados de tejido

En este apartado se describe el comportamiento mecánico del laminado de CFRP de tejido para el modelo numérico desarrollado. El comportamiento intralaminar ha sido desarrollado mediante una subrutina VUMAT de usuario, mientras que el interlaminar se modeliza mediante superficies cohesivas.

2.1. Comportamiento Intralaminar

El comportamiento intralaminar propuesto en el presenta trabajo, es un modelo de daño continuo que modeliza el comportamiento del material compuesto elástico lineal. Al considerarse un tejido en el que las fibras en las direcciones de trama y urdimbre (11 y 22) el porcentaje de fibras es similar, se asume mismo comportamiento en ambas direcciones. En cuanto al comportamiento antes cargas de cortadura (12) en el plano el modelo contempla un comportamiento previo al fallo siguiendo la ley de Ramberg-Osgood [21], que relaciona la tensión efectiva de cortadura ${\textstyle {\hat {\tau }}_{12}}$ con la deformación a cortadura ${\textstyle {\gamma }_{12}\,}$ siguiendo la expresión:

${\hat {\tau }}_{12}={\frac {{G}_{12}\,{\gamma }_{12}\,}{{\left(1+{\left({\frac {{G}_{12}\,\left|{\gamma }_{12}\right|}{{\tau }_{a}}}\right)}^{\rho }\right)}^{1/\rho }}}$

(1)

Donde ${\textstyle {G}_{12}}$ representa el módulo de elasticidad a cortadura en el plano, mientras que ${\textstyle {\tau }_{a}}$ y ${\textstyle \rho }$ son parámetros de ajuste de la ecuación exponencial. El modelo de Ramberg-Osgood es utilizado por muchos autores para materiales similares tipo tejido [12] [14] [2].

La iniciación del daño se define utilizando el criterio de máxima tensión acorde con varios autores [2] [14] [22] con materiales similares. Además, Koerber et al. [8] implementaron este criterio para diferentes velocidades de deformación en un compuesto de tejido de 5 Harness-Satin. Por tanto, las ecuaciones que rigen el criterio de envolvente de fallo son las siguientes:

${\textstyle {\frac {{\sigma }_{11}}{{X}_{C}}}=}$$1$; ${\textstyle {\frac {{\sigma }_{22}}{{Y}_{C}}}=1}$; ${\textstyle \quad \quad {\frac {{\tau }_{12}}{{S}_{L}}}=}$$1$

(2)

Los estudios experimentales previos mostraron que las resistencias (X_C, Y_C y S_L) del material muestran una dependencia con la velocidad de deformación [23]. En la literatura científica hay diferentes propuestas de cómo incluir esta dependencia con la velocidad de deformación. La mayoría de los autores utilizan una función logarítmica [24] [25]. Otros utilizan una función exponencial en CFRPs tipo unidireccional [26] y tejido [14]. En este caso, la expresión que se ha utilizado para el modelo representado en este trabajo es la de Cowper-Symonds (Ecuación 3). Este modelo es ampliamente reconocido debido a su concepto simple [27]. Duan et al. [28] implementaron el modelo de Cowper-Symonds para describir la dependencia de la velocidad en la resistencia de un material compuesto de fibra de vidrio. Chen et al. [29] describen el modelo de Cowper-Symonds, tanto a tracción como a compresión, en un CFRP tipo tejido de fibra de carbono. En este trabajo, el factor de velocidad de deformación sigue el modelo de Cowper-Symonds mediante la siguiente expresión:

${\textstyle {\Delta }_{i}=1+{\left({\frac {{{\overset {\cdot }{\epsilon }}_{i}}^{damp}}{{C}_{i}}}\right)}^{\left(1/{p}_{i}\right)}}$,

(3)

donde i = {11,22,12}. C y p representan parámetros de ajuste de la ecuación de Cowper-Symonds. Por último, ${\textstyle {{\overset {\cdot }{\epsilon }}_{i}}^{damp}}$ representa la velocidad de deformación amortiguada por un factor de amortiguamiento ξ para evitar oscilaciones espurias o consecuencias de efectos de borde [14]. Esta velocidad de deformación amortiguada se basa en las deformaciones actuales y las de un paso previo de computación mediante la siguiente expresión:

${{\overset {\cdot }{\epsilon }}_{i}}^{damp}={{\overset {\cdot }{\epsilon }}_{i}}^{t-1}\cdot \xi +$${{\overset {\cdot }{\epsilon }}_{i}}^{t}\cdot (1-\xi )$

(4)

En cuanto a la rigidez, no se observaron diferencias claras en dirección de la fibra con el aumento de la velocidad de deformación.

El proceso de evolución del daño es similar al propuesto por otros autores [30] [31] [32], en función de la energía de fractura, rigidez y longitud característica.

2.2. Comportamiento Interlaminar

Para modelizar el comportamiento Interlaminar se han empleado superficies cohesivas implementadas en el código de elementos finitos. Se ha aplicado la ley fuerza-desplazamiento siguiendo un modo mixto y una degradación linear, acorde con otros autores [47,48]. El inicio del daño viene marcado por el criterio cuadrático de Ye [49], siguiendo la expresión:

${\left({\frac {{\tau }_{n}}{{\tau }_{n}^{0}}}\right)}^{2}+{\left({\frac {{\tau }_{s}}{{\tau }_{s}^{0}}}\right)}^{2}+$${\left({\frac {{\tau }_{t}}{{\tau }_{t}^{0}}}\right)}^{2}=1$

(5)

donde ${\textstyle {\tau }_{n}}$, ${\textstyle {\tau }_{s}}$ y ${\textstyle {\tau }_{t}\,}$ van ligados a los modos de fallo I, II y III, respectivamente. El modo I representa el daño causado por la separación de dos láminas en la dirección normal del plano de dicha lámina. Los modos II y III representan el deslizamiento a cortadura entre dos láminas.

Por otro lado, la evolución del daño se ha modelado mediante una degradación linear teniendo en cuenta el modo mixto mediante el criterio de Benzeggagh-Kenane [50] mediante la siguiente expresión:

${G}_{c}={G}_{Ic}+({G}_{IIc}-{G}_{Ic}){\left({\frac {{G}_{IIc}+{G}_{IIIc}}{{G}_{T}}}\right)}^{\eta }$

(6)

donde ${\textstyle {G}_{T}={G}_{Ic}+{G}_{IIc}+{G}_{IIIc}}$ representa la energía total liberada por la intercara. Por último, ${\textstyle \eta }$ representa el coeficiente exponencial de Benzeggagh-Kenane.

2.3. Longitud crítica del elemento

La longitud característica del elemento definida por Maimí et al. [13] se define por la siguiente expresión:

${l}^{\ast }={\frac {\sqrt {{A}_{IP}}}{cos\gamma }}\,$

(7)

Donde ${\textstyle \gamma }$ representa la dirección de propagación de fractura, y ${\textstyle {A}_{IP}}$ el área del elemento proyectada en el plano de propagación de grieta. En elementos sólidos C3D8 o C3D8R, representa el volumen del elemento dividido entre el espesor de lámina.

Para la modelización de elementos finitos, es importante definir la longitud característica. La longitud crítica del elemento es aquella que representa la longitud máxima para representar adecuadamente los mecanismos de fallo. La ecuación (8) representa la longitud crítica por daño intralaminar:

${l}^{\ast }\leq {\frac {2{E}_{i}{G}_{i}}{{X}_{i}^{2}}}\quad \quad \,i=$$\lbrace 11\pm ,\,22\pm ,\,12,\,33,\,13,\,23\rbrace \,$

(8)

${\textstyle {E}_{i}}$, ${\textstyle {X}_{i}\,y\,{G}_{i}}$ representan la rigidez, resistencia y energía liberada en cada una de las direcciones de carga.

La longitud crítica también tiene en consideración una precisa predicción de fallo interlaminar. Para ello, es importante tener en cuenta la longitud de zona cohesiva [33] [34], la cual depende de cada una de las propiedades de la intercara definidas previamente por medio de la expresión (9). Por último, la longitud característica debe satisfacer el estudio paramétrico elaborado por Camanho et al. [35] donde se concluye que es necesario al menos tener 3 elementos a lo largo de la longitud de zona cohesiva obtenida ( ${\textstyle {l}_{cz}}$).

${l}^{\ast }\leq {\frac {{l}_{cz}}{3}}={\frac {E{G}_{c}}{3\,{\tau }_{0}^{2}}}\,\,$

(9)

3. Validación experimental

El material utilizado en este estudio es un material compuesto llamado AGP193-PW, el cual se compone de fibras tipo AS4 y matriz epoxi 8552 en estructura tipo tejido. Las muestras obtenidas para los ensayos provienen de paneles de 4 mm de espesor y una secuencia de laminado [20]_0. De estos paneles se cortan muestras con las fibras a 0º, 15º, 30º y 45º. Todas ellas tienen un tamaño estándar de 20 x 10 x 4 mm³. Para taladrar el agujero se utiliza una broca de 2 mm de diámetro. Finalmente, las muestras ensayadas se presentan en la Figura 1.

Figura 1. Muestras obtenidas para los ensayos experimentales de compresión con agujero.

Las muestras se ensayaron a compresión a tres velocidades diferentes de deformación. Para el régimen cuasi-estático, se ensayaron las muestras en una máquina de compresión servohidráulica. Para los ensayos en régimen dinámico, se utilizó el sistema de barra Split Hopkinson a dos velocidades iniciales de impacto. De esta forma, se obtienen tres velocidades de deformación en total: cuasi-estática (QS), intermedia (IR) y alta (HR). La Tabla 1 muestra los resultados experimentales de resistencia obtenidos en los ensayos experimentales, para su posterior validación en elementos finitos.

Orientación	Resistencia (Mpa)
	QS	IR	HR
0º	444.6 ± 11.1	561.0 ± 9.83	611.0 ± 20.14
15º	293.7 ± 0.5	490.5 ± 1.01	535.0 ± 1.85
30º	206.4 ± 1.6	365.0 ± 1.16	405.5 ± 0.5
45º	184.2 ± 3.1	315.5 ± 1.57	371.0 ± 1.91

Tabla 1. Resistencia obtenida en los ensayos de compresión experimentales

4. Metodología numérica

4.1. Modelo de elementos finitos

4.1.1. Modelo de compresión en régimen cuasi-estático

La Figura 2 muestra el modelo de elementos finitos elaborado para realizar las simulaciones numéricas con el fin de validarlas con los ensayos de compresión en régimen cuasi-estático. El modelo se compone de un espécimen de CFRP tipo tejido agujero abierto, cargado a compresión por dos platos de tungsteno. La muestra de CFRP ha sido mallada usando elementos hexaédricos de integración reducida (C3D8R). El tamaño obedece a la ley de longitud crítica del elemento descrita previamente. El mallado se ha refinado en la parte próxima al agujero para capturar el inicio y propagación de grieta de manera más precisa. Las propiedades interlaminares se han modelizado mediante superficies cohesivas. La velocidad se aplica en el plato de tungsteno inferior, mientras que el superior queda fijo. Los platos de tungsteno se han mallado utilizando elementos hexaédricos de integración reducida de tamaño de longitud característica de 1 mm aproximadamente. ]]

Figura 2. Modelo numérico de compresión cuasi-estática con agujero

4.1.2. Modelo de barra Hopkinson para compresión en régimen dinámico

La Figura 3 muestra el modelo de elementos finitos de barra Hopkinson utilizado para la validación numérica de los ensayos de compresión en régimen dinámico. Las barras de acero incidente y transmitida se han mallado utilizando elementos hexaédricos de integración reducida de tamaño de longitud característica de 2 mm aproximadamente. Los anillos de tungsteno, colocados a cada lado de la muestra de CFRP, se han mallado con el mismo tipo de elementos con un tamaño de 1 mm. La muestra de CFRP con agujero se ha mallado utilizando elementos C3D8R respetando la longitud crítica del elemento, con un tamaño y un refinamiento en la zona cercana al agujero similares a las del modelo de régimen cuasi-estático (ver Figura 2). Las galgas de ambas barras incidente y trasmitida se han modelizado con el objetivo de medir la deformación de manera similar al ensayo experimental. Se han modelado elementos tipo axial T3D2, y se han ubicado a una distancia de 300 mm del borde de las barras en contacto con los anillos de tungsteno, la cual es una distancia óptima para asegurar que se homogeniza el pulso y ahorrar el máximo coste computacional posible [36].

Figura 3. Modelo numérico de barra Hopkinson para ensayos de compresión dinámica con agujero

Por último, para ambos modelos se ha impuesto una condición de eliminación de elementos para cada uno de los modos de fallo. Los daños evolucionan desde un valor de 0, que define el material como no dañado, hasta un valor de 1 para definir el material completamente dañado. Para los daños en dirección de la fibra (d1 y d2), que están modelizados siguiendo una evolución del daño bilineal, con el fin de evitar distorsiones excesivamente grandes, se ha definido un límite de 0.999, valor en el cual se elimina el elemento. Para los modos de fallo donde la matriz es el elemento dominante, por ejemplo, el de cortadura (d12), se ha definido un valor límite de 0.99, ya que la evolución del daño sigue una ley de ablandamiento exponencial, y en 0.99 el elemento ha liberado la mayor parte de la energía.

4.2. Resultados

En la Tabla 2 se observan los valores de resistencia obtenidos, tanto en los ensayos experimentales de compresión, como en las simulaciones numéricas, para cada una de las velocidades de deformación. El comportamiento del material en el inicio del fallo está representado correctamente, al comprobar que el error que se obtiene en las diferencias experimentales y numéricas se encuentra por debajo del 10% para cada una de las muestras. Además, la dependencia de la velocidad de deformación en el valor de la resistencia, observada en los ensayos experimentales, está correctamente representada gracias al modelo constitutivo de caracterización del material y la dependencia de la velocidad de deformación incluida en la formulación de su comportamiento mecánico.

Por último, la Figura 4 muestra la propagación de grieta en diferentes instantes de tiempo para cada uno de los ángulos de las muestras simuladas en el modelo de barra Hopkinson. Se puede observar como el modelo es capaz de capturar correctamente la propagación de grieta, y como ésta se inicia en los bordes del agujero, donde se produce la concentración de tensiones [15] , para posteriormente propagarse en la dirección de las fibras.

Orientación	Régimen	Resistencia (Mpa)		Error
		Experimental	Numérico
0º	QS	444.6 ± 11.1	443.2	-0.31
	IR	561.0 ± 9.83	549.6	-2.03
	HR	611.0 ± 20.14	593.58	-2.85
15º	QS	293.7 ± 0.5	318.0	8.27
	IR	490.5 ± 1.01	500.56	2.05
	HR	535.0 ± 1.85	545.44	1.95
30º	QS	206.4 ± 1.6	196.8	-0.46
	IR	365.0 ± 1.16	345.81	-5.25
	HR	405.5 ± 0.52	395.27	-2.52
45º	QS	184.2 ± 3.1	174.6	-5.21
	IR	315.5 ± 1.57	299.98	-4.92
	HR	371.0 ± 1.91	348.14	-6.16

Tabla 2. Comparación de los valores de resistencia experimentales y numéricos de cada una de las muestras CFRP con agujero.

Figura 4. Propagación de grieta en las muestras CFRP con agujero en un modelo de barra Hopkinson.

5. Conclusiones

Se puede concluir, por lo tanto, que la metodología numérica utilizada y el modelo constitutivo desarrollado para el CFRP tipo tejido están correctamente validados por los ensayos experimentales. La envolvente de fallo de máxima tensión ha logrado predecir de manera óptima las resistencias de cada una de las muestras ensayadas en régimen cuasi-estático. Además, la fórmula de Cowper-Symonds para la ley de dependencia de las propiedades mecánicas con la velocidad de deformación predice el incremento de las resistencias con el incremento de régimen de carga. Los resultados numéricos distan menos de un 10% en todos los casos con el resultado obtenido en la campaña experimental. Por último, el modelo numérico desarrollado es capaz de capturar correctamente el inicio y propagación de grieta, siendo esta siempre en dirección de las fibras, acorde con lo observado en los ensayos experimentales.

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