Sobre los alcances del dominio de validez de los diagramas de Venn-Euler

Sobre los alcances del dominio de validez de los diagramas de Venn-Euler

Carlos Oscar Rodríguez Leal

Universidad de Guadalajara. CUCEI.

Resumen

En este trabajo se muestra de forma rigurosa que los métodos de diagramas de Venn sí son procedimientos formales de demostración de las fórmulas de conjuntos para ciertos subconjuntos, determinándose de forma exacta la familia de conjuntos que cumplen con esta condición.

Cabe mencionar que en este trabajo solo se considera la teoría de conjuntos clásica que acepta la hipótesis del continuo, por lo que el dominio de validez de los diagramas de Venn que aquí se demuestra solo es aplicable a los conjuntos considerados bajo este supuesto.

Abstract

In this paper, it is rigorously shown that the methods of Venn's diagrams are formal methods of demostration the formulas of sets for certain subsets, and I determine in an exact way the family of sets that fulfill this condition. It should be mentioned that this work only considers the theory of the classical sets that accepts the hypothesis of the continuum, so that the domain of the validity of the Venn's diagrams only is applicable to the sets considered under this assumption.

1 Introducción

En la teoría de conjuntos es cuestionada la validez del uso de los diagramas de Venn-Euler como demostración formal de las fórmulas que ahí se presentan. Para muchos matemáticos e investigadores el método de diagramas de Venn representa una prueba informal de las fórmulas de conjuntos, por lo que según ellos solo deben ser usados como guía para ver si dichas fórmulas son ciertas o no, y en caso de superar el test de los diagramas deberán usarse los métodos convencionales deductivos-analíticos formales para demostrarlas. Sin embargo, en la actualidad existen muchos investigadores que consideran que los diagramas de Venn sí representan una demostración formal de tales fórmulas, esto debido a lo evidente e inobjetable de sus pruebas.

Sin embargo, en este trabajo se demuestra de forma rigurosa que los métodos de diagramas de Venn sí son procedimientos formales de demostración de las fórmulas de conjuntos pero solo para ciertos conjuntos. Y más aún, se determinan de forma exacta el tipo de conjuntos que entran dentro de esta categoría, es decir, se establece la familia de conjuntos que cumplen con esta condición.

Cabe mencionar que en este trabajo solo se considera la teoría de conjuntos clásica que acepta la hipótesis del continuo, por lo que el dominio de validez de los diagramas de Venn que aquí se demuestra solo es aplicable a los conjuntos considerados bajo este supuesto.

2 Demostración de teoremas previos

En esta sección demostraremos ciertos teoremas que necesitaremos posteriormente.

Primeramente estableceremos el siguiente teorema.

Teorema 1: La cardinalidad del conjunto de puntos de un cuadrado abierto de longitud de arista igual a la unidad (el cuadrado sin su perímetro) es igual a la cardinalidad del continuo ${\textstyle c}$. Demostración. Pongamos primeramente al cuadrado ${\textstyle A}$ el el plano cartesiano, con su vértice inferior izquierdo coincidiendo con el origen, y con cada lado paralelo a algún eje coordenado, de tal forma que todo punto ${\textstyle (a,b)}$ en él ha de cumplir con la desigualdad ${\textstyle 0\leq a\leq 1,0\leq b\leq 1}$. Entonces, para algún punto ${\textstyle (a,b)\in A}$ están asociadas dos sucesiones ${\textstyle (p_{n}):\mathbb {N} \rightarrow \{0,1\},n\mapsto p_{n}}$ y ${\textstyle (q_{n}):\mathbb {N} \rightarrow \{0,1\},n\mapsto q_{n}}$, donde ${\textstyle p_{n}}$ y ${\textstyle q_{n}}$ solo pueden ser cero o uno, para ${\textstyle n\in \mathbb {N} }$, de tal forma que si definimos a las nuevas sucesiones ${\textstyle (P_{n})}$ y ${\textstyle (Q_{n})}$, con ${\textstyle P_{n}=p_{n}2^{-n}}$ y ${\textstyle Q_{n}=q_{n}2^{-n}}$, para ${\textstyle n\in \mathbb {N} }$, entonces ${\textstyle (a,b)=(S_{1},S_{2})}$, donde ${\textstyle S_{1}=\sum P_{n}}$, ${\textstyle S_{2}=\sum Q_{n}}$, es decir, las series generadas por las sucesiones ${\textstyle (P_{n})}$ y ${\textstyle (Q_{n})}$ convergen a ${\textstyle a}$ y ${\textstyle b}$ respectivamente. Por lo tanto, el par ordenado ${\textstyle (a,b)}$ se puede representar en código binario mediante el par ordenado ${\textstyle ((P_{n}),(Q_{n}))}$. Además es claro que a cada par ${\textstyle (a,b)}$ le corresponde un único par de números binarios mayores a cero y menores a uno, y viceversa, es decir que existe una relación biunínvoca entre los pares ${\textstyle (a,b)}$ y los pares de sucesiones ${\textstyle ((P_{n}),(Q_{n}))}$. De igual forma existe una biyección entre ${\textstyle (p_{n})}$ y ${\textstyle (P_{n})}$, y, ${\textstyle (q_{n})}$ y ${\textstyle (Q_{n})}$. Ahora, dadas las sucesiones ${\textstyle (p_{n})=p_{1},p_{2},p_{3},\ldots }$ y ${\textstyle (q_{n})=q_{1},q_{2},q_{3},\ldots }$ con ${\textstyle p_{n},q_{n}\in \{0,1\}}$, para ${\textstyle n\in \mathbb {N} }$, entonces podemos generar una nueva sucesión definida como ${\textstyle (r_{n})=p_{1},q_{1},p_{2},q_{2},p_{3},q_{3},\ldots }$, es decir, alternando los elementos de ambas sucesiones, de tal forma que a cada par de sucesiones ${\textstyle ((p_{n}),(q_{n}))}$ le corresponde una única sucesión ${\textstyle (r_{n})}$ y cada sucesión ${\textstyle (r_{n})}$ se puede desintegrar en un par único de sucesiones ${\textstyle (p_{n})}$ y ${\textstyle (q_{n})}$, con ${\textstyle (r_{n})}$ distinta de la sucesión compuesta por puros ceros y de la sucesión compuesta por puros unos. Es decir, existe una relación biunívoca entre los pares ${\textstyle ((p_{n}),(q_{n}))}$ y el conjunto de las sucesiones ${\textstyle (r_{n})}$. Y si ahora definimos a la sucesión ${\textstyle (R_{n})}$ como${\textstyle R_{n}=r_{n}2^{-n}}$, para ${\textstyle n\in \mathbb {N} }$, entonces nuevamente existe una biyección entre los conjuntos de sucesiones ${\textstyle (r_{n})}$ y ${\textstyle (R_{n})}$. Por otro lado, cada serie ${\textstyle S_{3}=\sum R(n)}$ representará un único número real ${\textstyle c}$, con ${\textstyle 0<c<1}$, de tal forma que existe otra biyección entre los conjuntos de sucesiones ${\textstyle (R_{n})}$ y el intervalo ${\textstyle (0,1)}$. De todo lo anterior se puede concluir que existe una función biyectiva entre el conjunto de los pares ordenados de reales ${\textstyle C=\{(a,b)|0<a<1,0<b<1\}}$ y el intervalo ${\textstyle (0,1)}$, i.e el cuadrado abierto de arista unitaria tiene cardinalidad ${\textstyle c}$ [7].

Ahora demostraremos este segundo teorema.

Teorema 2: Todo cuadrado abierto de longitud de arista ${\textstyle l}$ tiene la cardinalidad del continuo. Demostración Primeramente coloquemos el cuadrado en el plano cartesiano, de tal forma que sus puntos ${\textstyle (c,d)}$ cumplan con las desigualdes ${\textstyle 0<c<l}$ y ${\textstyle 0<d<l}$. Definamos ahora la función biyectiva ${\textstyle f:(0,1)\rightarrow (0,l)}$ como ${\textstyle f(x)=l\cdot x}$. Entonces tenemos que existe una correspondencia biunívoca entre los puntos ${\textstyle (a,b)}$ del cuadrado unitario y los puntos ${\textstyle (c,d)}$ del cuadrado de arista ${\textstyle l}$, dada por la función biyectiva ${\textstyle g((a,b))=(l\cdot a,l\cdot b)}$, i.e. como ya se demostró que la cardinalidad del cuadrado unitario es ${\textstyle c}$, eso significa que la cardinalidad del cuadrado de longitud ${\textstyle l}$ es también ${\textstyle c}$.

Por último estableceremos este tercer teorema.

Teorema 3: Un conjunto abierto acotado en el espacio normado ${\textstyle \mathbb {R} ^{2}}$ poseé cardinalidad ${\textstyle c}$. Demostración. Dado un conjunto abierto acotado ${\textstyle B}$ en el espacio normado ${\textstyle \mathbb {R} ^{2}}$, es obvio que ${\textstyle B}$ puede ser contenido dentro de un cuadrado abierto de tamaño suficientemente grande y en consecuencia dicho conjunto abierto no puede poseer cardinalidad mayor a ${\textstyle c}$. Por lo tanto bastará con demostrar que su cardinalidad no es menor a ${\textstyle c}$. Para ello tomemos un punto ${\textstyle p}$ de ${\textstyle B}$. Entonces, por ser ${\textstyle B}$ abierto, existe una bola abierta centrada en ${\textstyle p}$ y contenida en ${\textstyle B}$. Mas debido a la equivalencia de todas las normas en ${\textstyle R^{2}}$ [3], en particular podemos considerar la métrica del valor absoluto, por lo que existe un cuadrado abierto centrado en ${\textstyle p}$ y contenido en ${\textstyle B}$. Por lo tanto ${\textstyle B}$ contiene un subconjuto de cardinalidad ${\textstyle c}$ y en consecuencia su cardinalidad no puede ser menor a ${\textstyle c}$.

Ahora pasaremos a demostrar propiamente la validez de los diagramas de Venn.

3 Determinación precisa de la región de validez de los diagramas de Venn-Euler

En esta sección se establecen las propiedades que deben de cumplir los conjuntos sobre los cuales se pueden aplicar los procedimientos de diagramas de Venn.

En primer lugar debemos definir nuestros diagramas de Venn como conjuntos abiertos acotados en el espacio normado ${\textstyle \mathbb {R} ^{2}}$, i.e. no debemos considerar la línea frontera en nuestros dibujos. Además nuestros conjuntos iniciales con los que comenzaremos a trabajar deben ser simplemente conexos [5], para que así nuestras figuras concuerden con el tipo de figuras que se usan en los diagramas de Venn-Euler.

Así pues, las figuritas geométricas de los diagramas de Venn son conjuntos de puntos de cardinalida ${\textstyle c}$ de acuerdo al teorema 3, por lo que, dado un conjunto universo ${\textstyle U}$ también de cardinalidad ${\textstyle c}$, éste se puede poner en correspondencia biunívoca con los puntos geométricos de un subconjunto ${\textstyle {\tilde {U}}}$ de un diagrama de Venn ${\textstyle {\hat {U}}}$ (abierto, acotado y simplemente conexo) de una infinidad de maneras, i.e. existen múltiples posibles funciones biyectivas entre el universo del discurso y alguna región abstracta del plano que representemos con un dibujito imperfecto e inpreciso en sus puntos frontera pero cuya abastracción que representa es ideal.

El mismo procedimiento se realiza en las demostraciones geométricas de la clásica geometría euclidiana, donde las demostraciones se hacen basándose en alguna figura geométrica ideal, pero que hemos representado con una figura particular e imperfecta, no obstante nos sirve de guía para poder hacer todas las construcciones y deducciones en nuestra mente abstracta, donde la figura es genérica e ideal.

Por lo tanto, si de ese conjunto universal tomamos una familia finita ${\textstyle \tau }$ de subconjuntos (finitos o infinitos) con los que habremos de trabajar, entonces a su vez a estos conjuntos les corresponden puntos dentro del diagrama de Venn, de tal forma que si los representamos con una familia de figuras abiertas ${\textstyle {\tilde {\tau }}}$ (sin la línea frontera), simplemente conexas, y contenidas dentro de ${\textstyle {\hat {U}}}$, entonces mediante esa elección quedan excluidas muchas posibilidades de funciones biyectivas y solo sobrevivirán las que preserven la relación de algún subconjunto de ${\textstyle \tau }$ a alguna figura de ${\textstyle {\tilde {\tau }}}$ (las cuales siguen siendo una infinidad).

Ahora, en el caso de que nuestro conjunto ${\textstyle U}$ sea de cardinalidad ${\textstyle \aleph _{0}}$, aún así tal conjunto queda expresado en un diagrama de Venn si solo conside-ramos una cantidad discreta de puntos para ${\textstyle {\tilde {U}}\subset {\hat {U}}}$. Y las explicaciones dadas para el caso ${\textstyle \#U=c}$ siguen siendo aplicables a este caso por analogía.

Y como último caso, si ${\textstyle U}$ es finito, se aplica el mismo argumento, tomando solo una cantidad finita de puntos para ${\textstyle {\tilde {U}}}$ y considerando solo una familia ${\textstyle \tau }$ de subconjuntos finitos.

En consecuencia, los razonamientos abstractos tipo geométricos que hagamos con diagramas de Venn serán válidos para los conjuntos de pares ${\textstyle (U,\tau )}$ de universos de cardinalidad finita, ${\textstyle \aleph _{0}}$ o ${\textstyle c}$, junto con sus respectivas familias “finitas” de subconjuntos ${\textstyle \tau }$ (ya que en las demostraciones con diagramas solo podemos trabajar con una familia ${\textstyle \tau }$ finita, por obvias razones). O por lo menos dichas demostraciones deben ser consideradas semiformales y no menos válidas que las hechas en geometría euclidiana (para la cual también es justo decir que existe la tendencia desde los tiempos de Descartes [1] de transformarla en una ciencia analítica, y más modernamente en una ciencia puramente axiomica [2], pero cuyos métodos gráficos de demostración en la actualidad todavía se siguen aceptando).

Y para conjutos de cardinalidad mayor a ${\textstyle c}$ evidentemente los métodos de diagramas de Venn ya no representan una demostración formal de las fórmulas propuestas, mas pueden seguir siendo en efecto un test para poner a prueba la validez de dichas fórmulas, de tal forma que si no pasan el test no hay elementos para considerar que se cumplan en los conjuntos de cardinalidad mayor a ${\textstyle c}$, mas si lo pasan, eso nos ha de dar confianza para proseguir en la demostración de la validez o invalidez de tales expresiones en los conjuntos de cardinalidad mayor a ${\textstyle c}$ por los métodos formales tradicionales. No obstante, en la práctica no es tan común trabajar con conjuntos de cardinalidad mayor a ${\textstyle c}$.

Por último he de mencionar que en este trabajo solo se considera la teoría de conjuntos clásica que acepta la hipótesis del continuo, por lo que el dominio de validez de los diagramas de Venn que aquí se demuestra también se restringe a los conjuntos considerados bajo este supuesto lógico.

4 Conclusiones

En este artículo se demostró mediante argumentos formales la validez de los diagramas de Venn-Euler para las demostraciones en teoría de conjuntos. A su vez se demostró que dicha validez se restringe a conjuntos cuya cardinalidad no es mayor a ${\textstyle c}$ y donde hemos aceptado la hipótesis del continuo.

La importancia de lo anterior radica en que nos indica en qué casos sí podemos considerar como válidas y formales las demostraciones en teoría de conjuntos mediante diagramas de Venn.

BIBLIOGRAPHY

[1] C. H. Lehmann, ``Geometría Analítica", Primera edición, Limusa, México, (1997).

[2] D. Hilbert, ``Fundamentos de la Geometría", Segunda edición, Consejo Superior de Investigaciones Científicas, España, (1996).

[3] E. Kreyszig, “Introductory Functional Analysis with Applications”, Segunda edición, Wiley, Estados Unidos de América, (1989).

[4] G. Villalobos y E. Gósteva, ``Teoría de Conjuntos", Primera edición, amate editorial, México, (2000).

[5] I. Bronshtein y K. Semendiaev, ``Manual de matemáticas para ingenieros y estudiantes", Tercera reimpresión, Ediciones de Cultura Popular, México, (1977).

[6] J. Wentworth y D. E. Smith, ``Geometría Plana y del Espacio", Vigésimocuarta edición, Editorial Porrua, México, (2003).

[7] S. Lipschutz, ``Topología General", Primera edición, Serie de compendios Schaum, México, (1970).