Resumo

Este artigo apresenta um novo esquema explícito para a solução das equações de águas rasas em uma e duas dimensões, desenvolvido a partir do método dos elementos de conservação e elementos de solução espaço-tempo, aqui abreviado por método CE/SE. As funções de base utilizadas são expansões de Taylor de segunda ordem no tempo e no espaço. Esse aumento na ordem das funções de aproximação produz o aumento no número de variáveis de marcha no tempo, por isso, além das variáveis fluxo e suas inclinações, também são incógnitas no presente esquema suas derivadas espaciais de segunda ordem. Um processo iterativo para o cálculo das derivadas de primeira e segunda ordem é formulado para problemas com choques e descontinuidades. Experimentos computacionais demonstram acurácia de terceira ordem. Os problemas de ruptura de barragem unidimensional e bidimensional considerados validam a acurácia e robustez do esquema.

Palavras-Chave: Leis de conservação, Equações de águas rasas, Volume de controle espaço-tempo, Alta ordem de acurácia.

Abstract

This paper presents a new explicit scheme for the solution of shallow water equations in one and two space dimensions, developed from the space-time conservation element and solution element (CE/SE) method. The basis functions used are second-order Taylor expansions in time and space. This increase in the order of the approximation functions produces an increase in the number of unknowns in the scheme, therefore, besides the flow variables and their slopes, their second-order partial derivatives are also unknown in the present scheme. An iterative process for the calculation of the first and second order derivatives is formulated for problems with shocks and discontinuities. Computational experiments demonstrate third-order accuracy. The one-dimensional and two-dimensional dam-break problems presented validate the accuracy and robustness of this scheme.


1 Introdução

As equações de águas rasas constituem um dos modelos mais comumente usados na análise de fluxo de água em rios ou áreas costais [1], sobretudo no que tange à simulações de fluxo de ruptura de barragem [2,3,4,5], parte essencial do projeto e avaliação da segurança de barragens, controle de inundação de rios, mitigação de desastres de bacias hidrográficas, etc [6]. Além da importância prática em hidráulica e engenharia costal, fornecem um ótimo modelo matemático para equações diferenciais hiperbólicas não lineares que podem ter soluções como ondas de choque [7] e, por isso, também são frequentemente utilizadas como problema de referência para novos esquemas de previsão numérica [8,9].

Extensivos estudos numéricos foram feitos no sentido de analisar os fenômenos governados por essas equações e diversos métodos foram desenvolvidos, como de volumes finitos [10,11,12], elementos finitos [13,14,15,16], diferenças finitas [17,18] e outros [19,20].

Recentemente, um novo método baseado em volumes de controle, denominado método dos elementos de conservação e elementos de solução espaço-tempo, do inglês, space-time conservation element and solution element method (CE/SE), foi proposto por Chang e To (1991) [21] e aplicações do mesmo em problemas de ruptura de barragem logo foram feitas [22,23,24]. Este método foi desenvolvido com o objetivo de obter soluções numéricas de leis de conservação e possui características importantes [25,26,27,28]: sua construção combina informações de ambas as formas diferencial e integral das leis de conservação; o conjunto de variáveis de marcha é formado pelas variáveis fluxo e suas derivadas espaciais; não são utilizadas técnicas de interpolação ou extrapolação nos valores da malha; não são utilizadas técnicas baseadas nas características, o que torna o método de fácil extensão à várias dimensões, bem como aplicável à equações não hiperbólicas, como as equações de Navier-Stokes, por exemplo; possui uma simples notação estêncil, o que facilita a programação. É caracterizado, também, por sua versatilidade, tendo em vista que pode ser adaptado à malhas não uniformes e não estruturadas [29,30], bem como pode ser estendido à altas ordens [31,32], razão pela qual possui aplicações nas mais diversas áreas [33,34,35,36].

O objetivo deste trabalho é apresentar a construção de um novo esquema CE/SE explícito de alta ordem para as equações de águas rasas e verificar sua eficiência em problemas de ruptura de barragem. Para isso, este artigo está organizado da seguinte maneira: na seção 2 é apresentado o modelo matemático a ser estudado (subseção 2.1), bem como é desenvolvido o esquema numérico discreto (subseção 2.2); na seção 3, experimentos numéricos unidimensionais e bidimensionais são considerados com a finalidade de validar o método; as conclusões são tecidas junto à seção 4 e, ao final, na seção 5, dispõe-se a lista de referências.

2 Equações Governantes e Método CE/SE

2.1 Equações de Águas Rasas

As equações de águas rasas, também conhecidas como equações de Saint Venant, possuem a seguinte forma vetorial conservativa

(1)

em que

(2)

(3)

sendo a profundidade do fluxo (m); e são as velocidades médias do escoamento (m/s) nas direções e , respectivamente; é a aceleração da gravidade (m/s); e são as inclinações do fundo do canal cuja topografia é dada por ; e são os termos de resistência ao escoamento, nas direções e , respectivamente, definidos por

(4)

em que (s/m) é o coeficiente de fricção de Manning.

2.2 Esquema CE/SE

Considere, por simplicidade, a Eq. (1) como

(5)

então, pelo teorema da divergência no espaço , tem-se que a Eq. (5) representa a forma diferencial da lei integral de conservação

(6)

em que , e representa o contorno de uma região espaço-tempo .

No método CE/SE, um elemento de conservação (CE) é uma região espaço-tempo em que a conservação do fluxo, Eq. (6), é forçada, enquanto que um elemento de solução (SE) é uma região espaço-tempo, normalmente distinta, em que as variáveis fluxo são supostamente suaves e a Eq. (5) é válida. Para definir estes dois importante objetos, considere primeiramente uma malha no plano -, conforme Fig. 1a. Existem dois grupos de pontos, marcados por círculos e cruzes, que representam nós da malha em dois níveis de tempo diferentes. A cada ponto da malha associa-se um CE e um SE. O CE é definido como o quadrilátero e o SE é a união do quadrilátero e o polígono (veja Fig. 1b).

Draft Aparicio Nogué 501194349-CE 2D 2.png a) Pontos da malha representativa no plano x-y e (b) as definições dos  elementos de solução SE(i,j,k) e elementos de conservação CE(i,j,k) no ponto (i,j,k) da malha  [2012_Zhang, 1999_Zhang].
(a) (b)
Figura 1: (a) Pontos da malha representativa no plano - e (b) as definições dos elementos de solução SE e elementos de conservação CE no ponto da malha [23,37].

Para todo , aproxima-se por um polinômio de Taylor de segunda ordem

(7)

Aproximações análogas são feitas sobre as funções e , . O termo fonte, por outro lado, é aproximado por uma ordem a menos:

(8)

Dessa forma, a Eq. (5) pode ser aproximada no SE por div , em que , , ao mesmo tempo em que a Eq. (6) é aproximada no CE por

(9)

2.2.1 Avaliação de (qm)i,jk

Substituindo as funções e em (9), após diversas simplificações, obtém-se o esquema de avanço no tempo para a variável :

(10)

em que

(11)

É importante notar que as Equações (10) e (11) dependem apenas das incógnitas e do tempo , para pois, pelas Equações (1)-(4), , e também dependem destas últimas. Por outro lado, é preciso conhecer e previamente à obtenção de no tempo , conforme Eq. (10). A seção a seguir descreve a obtenção dessas derivadas espaciais duplas.

2.2.2 Avaliação de [(qm)xx]i,jk, [(qm)xy]i,jk e [(qm)yy]i,jk

Para prosseguir com o cálculo de , constrói-se primeiramente uma equação auxiliar a partir da Eq. (5), derivando-a duas vezes em relação a , obtendo as seguintes formas diferencial e integral

(12)

As Equações em (12) possuem, conforme Equações (7) e (8), para todo SE, os seguintes análogos numéricos:

(13)

O campo vetorial aproximado é constante, de modo que a avaliação da Eq. (13) sobre o elemento de conservação descrito pela Fig. 1a retorna, para :

(14)

Para computar as variáveis de marcha e procede-se de modo análogo, obtendo-se após todos os cálculos e simplificações:

(15)
(16)

Aborda-se na seção a seguir o cálculo das derivadas de primeira ordem das variáveis dinâmicas , .

2.2.3 Avaliação de [(qm)x]i,jk e [(qm)y]i,jk

As variáveis e podem ser determinadas por meio de uma estratégia análoga àquela apresentada na seção [[#2.2.2 Avaliação de , e |2.2.2]] anterior, bastando, para isso, construir leis diferenciais de conservação (já nas formas aproximadas)

(17)

e integrais

(18)

As avaliações das equações em (18) fornecem as inclinações equacionadas por

(19)

para e , em que

(20)
(21)

O esquema formado pelo conjunto de Equações (10), (14)-(16) e (19) é interessante apenas em problemas com soluções de comportamento suave. Para problemas com descontinuidades ou formação de choque, é necessário modificar o cálculo das variáveis em (14)-(16) e (19). A proposta apresentada neste artigo é uma variação do procedimento adotado por [38,39] e consiste num processo iterativo.

Para prosseguir, considere as seguintes formas regressivas e progressivas:

(22)

tal que o operador seja definido como

(23)

As aproximações para as derivadas serão definidas como

(24)
(25)

e a função [26,24]:

(26)

Observe que neste caso, as Equações (24) e (25) representam médias ponderadas das diferenças progressivas e regressivas descritas em (22) e (23). No caso de , (24) e (25) tornam-se diferenças finitas centrais [23]. Adota-se neste trabalho .

Importante notar, no entanto, que as Equações (24) e (25) dependem da variável que, por sua vez, depende de e , conforme Eq. (10). Dito de outra forma, para obter é necessário obter antes e , e vice-versa. Para sanar esta dificuldade, construímos o processo iterativo descrito no Algoritmo 1.

Algoritmo 1: Algoritmo CE/SE para o cálculo das variáveis de marcha sobre um determinado ponto da malha.
início
Defina uma tolerância
Faça
repita
Faça ;
Calcule e com as Equações (14) e (15), respectivamente;
Calcule com a Eq. (10);
repita
Calcule e com a Eq. (24);
Calcule , e com a Eq.(25);
Calcule com a Eq. (10);
até
até
fim


A estabilidade do esquema CE/SE satisfaz a condição de Courant-Friedrichs-Lewy (CFL) que, para as equações de Saint Venant unidimensional e bidimensional são as restrições [23]

(27)

respectivamente, onde o número de Courant satisfaz . Maiores detalhes sobre estabilidade do método CE/SE pode ser encontrado em [40].

3 Exemplos Numéricos

Esta seção tem por objetivo avaliar e validar o esquema numérico desenvolvido. Para isso, alguns problemas teste são avaliados, como testes de acurácia em uma e duas dimensões, bem como problemas clássicos de ruptura de barragem unidimensionais (subseção 3.1) e bidimensionais (subseção 3.2).

3.1 Exemplos Unidimensionais

Exemplo 3.1.1: O objetivo deste exemplo teste é verificar experimentalmente a ordem de acurácia do esquema CE/SE. Considere o sistema hiperbólico linear unidimensional

(28)

e é uma constante dada. Impondo as condições inicias e , é possível obter a seguinte solução exata [41,42]:

(29)

As soluções são computadas com as Equações (10), (14)-(16) e (19). A Tabela 1 apresenta os erros calculados nas normas e , nas simulações realizadas sobre o domínio computacional , , até atingir o tempo s, sendo o número de células no espaço. O experimento verifica a terceira ordem de acurácia do esquema para ambas as variáveis e .


Tabela 1. Ordem de acurácia experimental do método CE/SE para o sistema hiperbólico linear unidimensional.
Norma Norma
n Erro () Ordem Erro () Ordem Erro () Ordem Erro () Ordem
20 8.322 1.662 7.157 1.347
40 1.849 2.170 2.524 2.719 1.488 2.266 2.042 2.722
80 3.067 2.592 3.401 2.892 2.443 2.607 2.715 2.911
160 4.369 2.811 4.386 2.955 3.493 2.806 3.465 2.970
320 5.813 2.910 5.566 2.978 4.665 2.904 4.369 2.987
640 7.490 2.956 7.010 2.989 6.030 2.952 5.490 2.992


Exemplo 3.1.2: Considera-se agora um problema ideal de ruptura de barragem sobre um domínio molhado, isto é, a quebra de barragem é instantânea, o fundo é plano e não existe resistência ao escoamento. As condições iniciais para esta configuração seguem o clássico problema de Riemann

(30)

O domínio considerado é , e a solução analítica pode ser encontrada em [43] ou [44]. Utiliza-se, para fins de análise de comportamento, a mesma relação de equações do Ex. 3.1.1 anterior, isto é, Equações (10), (14)-(16) e (19). As Fig. 2a e Fig. 2b demonstram o comportamento da solução numérica em relação à analítica, calculadas no tempo , com pontos, incremento espacial , e profundidades iniciais a montante e a jusante e , respectivamente. Note que a resposta numérica é coerente com a analítica, embora apresente suavidade que a distancie nas regiões com mudanças abruptas.


Draft Aparicio Nogué 501194349 7076 fig2a.png

Draft Aparicio Nogué 501194349 1886 fig2b.png

(a) (b)
Figura 2. Elevação da superfície da água e velocidade para o problema de ruptura de barragem, computada no tempo , utilizando uma malha uniforme com pontos, incremento espacial e .


Utilizando o Algoritmo 1, sob as mesmas condições e com os mesmos parâmetros, obtém-se os gráficos constantes na Fig. 3. Observa-se que esta solução numérica é superior à anterior, sobretudo no que tange às regiões de rápidas mudanças. Conforme Zhang et al. (2012) [23], a razão é um importante índice para julgar a aplicabilidade e a acurácia de esquemas numéricos no modelo 1D de ruptura de barragem. Segundo os mesmos autores, os regimes de escoamentos subcrítico e supercrítico existem simultaneamente num canal sem fricção, horizontal e retangular, quando . Altera-se, neste sentido, estes parâmetros para uma razão . Os resultados simulados são mostrados nas Figs. 3c e 3d.


Draft Aparicio Nogué 501194349 4710 fig3a.png

Draft Aparicio Nogué 501194349 9130 fig3b.png

(a) (b)

Draft Aparicio Nogué 501194349 7053 fig3c.png

Draft Aparicio Nogué 501194349 1821 fig3d.png

(c) (d)
Figura 3. Elevação da superfície da água e velocidade para o problema de ruptura de barragem, no tempo , numa malha uniforme com pontos e respectivo incremento espacial , calculados com o Algoritmo 1, sendo: (a)-(b) e , (c)-(d) e .

3.2 Exemplos Bidimensionais

Exemplo 3.2.1: Considere agora o sistema hiperbólico linear bidimensional

(31)

e é uma constante dada. Para os dados iniciais e , este problema admite a seguinte solução exata [41,42]:

(32)


A Tabela 2 apresenta os erros numéricos calculados nas normas e , no tempo s, com parâmetros especificados em , e domínio computacional definido em , sendo o número de células utilizadas na discretização. O experimento confirma novamente a acurácia de terceira ordem do esquema CE/SE.


Tabela 2. Ordem de acurácia experimental do método CE/SE para o sistema hiperbólico linear bidimensional..
Norma Norma
Erro () Ordem Erro () Ordem Erro () Ordem Erro () Ordem
2.595 1.283 1.797 7.478
4.231 2.617 2.032 2.658 3.377 2.412 1.169 2.678
7.519 2.492 2.924 2.797 6.111 2.466 1.653 2.822
1.197 2.651 3.938 2.892 9.602 2.670 2.217 2.898
1.735 2.786 5.128 2.941 1.397 2.781 2.895 2.937
2.364 2.876 6.554 2.968 1.939 2.849 3.723 2.959


Exemplo 3.2.2: Este problema hipotético bidimensional é um exemplo utilizado por [23,45,46]. Neste problema as velocidades iniciais são todas nulas, a profundidade a montante é de m, enquanto que a profundidade a jusante é assumida ser m ou m. O domínio computacional consiste de uma região de , com uma parede que se estende paralelamente ao eixo , tendo m de largura e está centrada em m. A falha é suposta ser instantânea, possui m de extensão a partir de m. O canal é horizontal e desconsidera-se resistência ao escoamento. Espera-se a formação de uma frente de choque após o rompimento. Os resultados em s são computados a partir de uma malha uniforme composta por células e . Constam nas Figuras 4a e 4b gráficos da profundidade, vetores velocidade e curvas de nível para o problema com profundidade inicial a jusante de m, enquanto que as Figuras 4c e 4d referem-se ao problema com profundidade inicial a jusante de m. Os resultados são consistentes com aqueles presentes na literatura [23,45,46].

Draft Aparicio Nogué 501194349-fig RB2D.png Draft Aparicio Nogué 501194349-fig CV RB2D.png
(a) (b)
Draft Aparicio Nogué 501194349-fig RB2D1.png Draft Aparicio Nogué 501194349-fig CV1 RB2D.png
(c) (d)
Figura 4. Elevação da superfície da água , (a) e (c), vetores velocidade e curvas de nível, (b) e (d), para a solução calculada no tempo com , do problema de ruptura de barragem anti-simétrica em um domínio horizontal e sem fricção, com profundidades a montante de m e a jusante de m (a)-(b) e m (c)-(d).

Exemplo 3.2.3: Este problema teste visa avaliar a habilidade do esquema em preservar simetria. Considera-se um domínio de com condições iniciais:

(33)

No instante da falha da barragem, supõe-se que a parede circular seja removida completamente e, subsequentemente, formam-se ondas que se espalham radialmente. A solução numérica é computada numa malha retangular uniforme com células e o passo de tempo é tal que . A Fig. 5a apresenta o perfil da superfície da água s após a hipotética falha na barragem circular. Vetores velocidade e curvas nível relativas à superfície estão dispostos na Fig. 5b. A simetria da solução numérica é bem preservada e está de acordo com a literatura [7,47].

Draft Aparicio Nogué 501194349-fig RBC2D.png Draft Aparicio Nogué 501194349-fig CV1 RBC2D.png
(a) (b)
Figura 5. Perfil da superfície da água (a), vetores velocidade e curvas de nível (b), para a solução calculada no tempo com , do problema de ruptura de barragem circular em um domínio horizontal e sem fricção.

4. Conclusões

Este artigo apresentou o desenvolvimento de um novo esquema CE/SE explícito para a solução das equações de águas rasas em uma e duas dimensões. Na formulação construída, as variáveis dinâmicas e, consequentemente, as leis diferencial e integral de conservação, foram aproximadas localmente por expansões de Taylor de segunda ordem. O conjunto de variáveis de marcha tornou-se constituído pelas variáveis fluxo e suas derivadas espaciais de primeira , e segunda ordem e . Os experimentos computacionais realizados indicaram acurácia de terceira ordem sobre os problemas hiperbólicos lineares testados. As soluções numéricas dos problemas teste de ruptura de barragem unidimensional e bidimensional, caracterizados pela formação de choque, descontinuidade ou simetria, apresentaram concordância com as soluções analíticas e/ou com a literatura. Conclui-se, com isso, que o esquema proposto possui considerável habilidade em capturar choques e descontinuidades fazendo com que seja uma boa ferramenta para análise de fluxo de ruptura de barragem.

Agradecimentos

Os autores agradecem à CAPES pelo apoio financeiro, ao Programa de Pós-Graduação em Métodos Numéricos em Engenharia (PPGMNE - UFPR) e ao Instituto Federal de Educação, Ciência e Tecnologia Catarinense, Campus Araquari, pelo apoio à pesquisa.

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Document information

Published on 03/01/18
Accepted on 07/05/17
Submitted on 24/11/16

Volume 34, Issue 1, 2018
DOI: 10.23967/j.rimni.2017.7.007
Licence: CC BY-NC-SA license

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