Control law for a robot network formation using static diffusive coupling

Resumen

En este artículo se describe una propuesta de control para un objetivo de formación de una red de robots en trabajo colaborativo con acoplamiento difusivo estático utilizando herramientas derivadas de la teoría de grafos. Dicha propuesta se garantiza mediante la teoría de estabilidad de Lyapunov y se valida con resultados en simulación y en experimentación. Como parte importante de este trabajo, se detalla a manera de tutorial el procedimiento para la formulación de la red de robots abordada y también se propone una ley de control de formación con procedimiento para la no colisión entre los robots que forman la red utilizando la misma topología de red.

Palabras clave: Formación de redes de robots, acoplamiento difusivo estático, teoría de estabilidad de Lyapunov, validación experimental, no colisión.

Abstract

This article describes a control proposal for a formation objective of a robot network in collaborative work with static diffusive coupling using tools derived from graph theory. This proposal is guaranteed by the stability theory of Lyapunov and it is validated with results in simulation and experimentation. As an important part of this work, it is detailed like a tutorial the procedure for the formulation of the robot network addressed and also it is proposed a formation control law with procedure for non-collision between the robots that form the network using the same network topology.

1. Introducción

Desde principios del presente siglo se han incrementado notablemente los esfuerzos por coordinar y sincronizar grupos de robots que forman redes para el trabajo colaborativo. Estas Redes de Robots (RR´s) se justifican en misiones que no son posibles llevarlas a cabo con robots actuando de forma individual por razones de su propia capacidad. Entre los aspectos de estudio de mayor interés destaca la propuesta de leyes de control que gobiernen el comportamiento colectivo. Para muchas misiones de estas RR´s, la etapa primaria es su formación con un patrón geométrico o una distribución determinada [1]. La formación consiste en un posicionamiento relativo espacial con respecto a una o más referencias, fijas o móviles, para cada uno de los robots que forman parte de la red [2]. Para este problema de formación se han utilizado distintas metodologías [2-8]. La mayor parte de estas metodologías se fundamenta en la teoría de grafos cuyos inicios están documentados desde el siglo XVIII y que en la década de 1960 se extiende para aplicaciones en redes complejas [9-15]. Mediante la teoría de grafos es posible expresar interacciones entre sistemas dinámicos de manera general y organizada, facilitando la formulación de leyes de control para gobernar el comportamiento entero de una red.

Dentro del campo de la teoría de grafos y redes complejas, el acoplamiento difusivo estático es una estrategia ampliamente utilizada para realizar la interconexión entre los nodos (robots) de la red [16,17]. El principio de acoplamiento difusivo estático es un esquema de retroalimentación constante [17] entre los robots que forman parte de la red, pudiendo ser esta conectividad global o parcial (respectivamente: todos los robots se conectan con el resto de robots o sólo parte de ellos). La retroalimentación consiste en insertar como parte de la entrada del sistema dinámico del robot una señal que es la diferencia entre las variables de salida del robot de interés y las variables de salida del resto de robots en la red [18]. De este tipo de acoplamiento se han derivado distintas metodologías con el propósito de forzar una respuesta deseada en los robots, denominada estado de sincronía[14]; ó bien, una respuesta de sincronía natural, denominada consenso [19-21]. Una modalidad de estrategia de control que destaca para redes de gran dimensión es el control pinning (líderes referentes), que propone una acción de control en sólo un reducido número de sistemas dinámicos de la red y que inducen a la red entera hacia un estado de sincronía [11,14-15,22]. Estas estrategias se pueden llevar a cabo tanto mediante el control centralizado como con el control distribuido [23]. Con el control centralizado el procesamiento reside en un procesador que se encarga de monitorear las variables de estado de cada robot y de comunicar las acciones de control necesarias para alcanzar el objetivo de movimiento. Con el control distribuido el procesamiento reside en dos o más procesadores con acceso total o parcial a la información de variables de estado de la red; típicamente los robots llevan sus procesadores a bordo.

La formación de robots es aún un problema abierto [3-5], especialmente para RR´s de gran dimensión y RR´s heterogéneas. Las redes heterogéneas de robots están integradas por robots con distintos modelos dinámicos, con distintas dimensiones de vectores de variables de estado, con distinta dimensión de variables de salida o una combinación de las condiciones anteriores [16,17]. Las soluciones propuestas aún son parciales y requieren una integración para resolver problemas íntimamente relacionados. Tales problemas, además de los ya mencionados, son la evasión de obstáculos, la no colisión entre robots, las saturaciones en los accionamientos para el control, la diversidad de escenarios y las limitaciones en los enlaces de comunicación para el control [14-15].

Las contribuciones del presente trabajo se aplican en la formación de una RR´s utilizando herramientas derivadas de la teoría de grafos. Estas contribuciones son: (i) un tutorial para la formulación de RR´s mediante el acoplamiento difusivo estático en el que se describen de manera detallada los elementos y variables que intervienen en la red, (ii) una ley de control para una formación deseada de la RR´s bajo esta formulación y (iii) un procedimiento para la no colisión entre los robots que forman la red utilizando la misma topología de la RR´s. La metodología desarrollada se ejemplifica con simulaciones y experimentos mediante la construcción de una red de Robots Móviles Terrestres a base de Ruedas (RMTR’s).

El resto de este documento está organizado como sigue. En la sección 2 se expone un tutorial que describe paso a paso la formulación de una RR´s basado en el modelo para cada ${\textstyle i}$-ésimo robot que forma parte de la red y la estrategia de acoplamiento difusivo estático. En la sección 3 se propone la ley de control para la formación de una red de robots construida con robots tipo uniciclo. La efectividad de la ley de control se demuestra utilizando la teoría de estabilidad de Lyapunov. En la sección 4 se presentan los resultados de simulación y experimentación. En la sección 5 se describe un procedimiento para evitar las colisiones entre robots de la red ejemplificada en la sección 4 y se presentan resultados de simulación y experimentación. Finalmente, en la sección 6 se presentan las conclusiones generales.

2. Formulación de una red de robots

En esta sección se describe a manera de tutorial una metodología para la formulación de una RR´s. En la sección 2.1 se presenta el modelo de un robot individual. En la sección 2.2 se describe el modelo del ${\textstyle i}$-ésimo robot ${\textstyle {R}_{i}}$ en una red de robots considerando la contribución de todos los robots que pertenecen a la red sobre las entradas de dicho robot. En la sección 2.3 se muestra un esquema de red general de robots. En la sección 2.4 se explican los elementos necesarios para la formulación de una red de robots mediante el acoplamiento difusivo estático y la sección 2.5 expone un ejemplo detallado para la formulación de una red de robots con la estrategia descrita.

2.1 Modelo de un robot individual

El modelo de un robot individual resulta por lo general en una o más ecuaciones diferenciales no lineales que pueden expresarse de la forma

${\overset {\cdot }{\mathit {\boldsymbol {x}}}}={\mathit {\boldsymbol {f}}}(t,{\mathit {\boldsymbol {x}}},{\mathit {\boldsymbol {u}}})$, ${\mathit {\boldsymbol {y}}}={\mathit {\boldsymbol {h}}}(t,{\mathit {\boldsymbol {x}}},{\mathit {\boldsymbol {u}}})$, (1)

donde ${\textstyle {\mathit {\boldsymbol {x}}}\in \,{\mathit {\mathbb {R} }}^{r}}$ es el vector de variables de estado, ${\textstyle {\mathit {\boldsymbol {y\,\in \,}}}{\mathit {\mathbb {R} }}^{s}}$ es el vector de variables de salida, ${\textstyle t}$ denota la variable tiempo continuo, ${\textstyle {\mathit {\boldsymbol {u}}}\in \,{\mathit {\mathbb {R} }}^{p}}$ es el vector de variables de entrada. ${\textstyle {\mathit {\boldsymbol {f}}}:{\mathit {\mathbb {R} }}\times {\mathit {\mathbb {R} }}^{r}\times {\mathit {\mathbb {R} }}^{p}\rightarrow {\mathit {\mathbb {R} }}^{r}}$ y ${\textstyle {\mathit {\boldsymbol {h}}}:{\mathit {\boldsymbol {\,}}}{\mathit {\mathbb {R} }}\times {\mathit {\mathbb {R} }}^{r}\times {\mathit {\mathbb {R} }}^{p}\rightarrow {\mathit {\mathbb {R} }}^{s}}$ son funciones continuas. En la Figura 1 se muestra el diagrama a bloques de un robot individual en correspondencia con (1).

Figura 1. (a) Diagrama a bloques de un robot individual, (b) Representación simplificada

2.2 Modelo del i-ésimo robot en una red de robots

Para un robot ${\textstyle {R}_{i}}$ que pertenece a una red se puede proponer un nuevo vector de entrada ${\textstyle {\mathit {\boldsymbol {\vartheta }}}_{i}{\mathit {\boldsymbol {\in \,}}}{\mathit {\mathbb {R} }}^{{p}_{{\vartheta }_{i}}}}$, de manera que su modelo quedaría como

${\overset {\cdot }{\mathit {\boldsymbol {x}}}}_{i}={\mathit {\boldsymbol {f}}}_{i}(t,{\mathit {\boldsymbol {x}}}_{i},{\mathit {\boldsymbol {u}}}_{i})$, ${\mathit {\boldsymbol {y}}}_{i}={\mathit {\boldsymbol {h}}}_{i}(t,{\mathit {\boldsymbol {x}}}_{i},{\mathit {\boldsymbol {u}}}_{i})$, ${\mathit {\boldsymbol {u}}}_{i}={\mathit {\boldsymbol {\Upsilon }}}_{i}\left(t,{\mathit {\boldsymbol {y}}},{\mathit {\boldsymbol {\vartheta }}}_{i}\right)$, (2)

donde ${\textstyle {\mathit {\boldsymbol {\Upsilon }}}_{i}:{\mathit {\boldsymbol {\,}}}{\mathit {\mathbb {R} }}\times {\mathit {\mathbb {R} }}^{s}\times {\mathit {\mathbb {R} }}^{{p}_{{\vartheta }_{i}}}\rightarrow {\mathit {\mathbb {R} }}^{{p}_{i}}}$ es un mapeo de ${\textstyle {\mathit {\boldsymbol {y}}}}$ y ${\textstyle {\mathit {\boldsymbol {\vartheta }}}_{i}}$ hacia el vector de excitación ${\textstyle {\mathit {\boldsymbol {u}}}_{i}}$ con ${\textstyle {\mathit {\boldsymbol {y}}}}$ la concatenación de vectores de variables de salida de cada robot de la red, ${\textstyle s=}$$\sum _{i=1}^{N}{s}_{i}$ y ${\textstyle N}$ la cantidad de robots que integran la red. La Figura 2 muestra el modelo de (2) de manera simplificada.

Figura 2. Modelo de un ${\textstyle i}$-ésimo robot que pertenece a una red.

2.3 Modelo de una red de robots

En consecuencia, de acuerdo a (2), la Figura 3 muestra el diagrama a bloques de una red de robots.

Figura 3. Diagrama a bloques de una red de robots.

2.4 Estrategia de acoplamiento difusivo estático

Una red de robots también puede ser expresada mediante el conjunto de robots y de conexiones que la conforman mediante

${\textstyle {\mathit {\cal {G}}}=(R,\varepsilon )}$, (3)

donde ${\textstyle R=}$$\left\{{R}_{i}:i=1,2,\ldots ,N\right\}$ es el conjunto de ${\textstyle N}$ robots y ${\textstyle \varepsilon =}$$\left\{{\varepsilon }_{ij}({\mathit {\boldsymbol {y}}}_{j}):i,j=1,2,\ldots ,N\right\}$ es el conjunto de ${\textstyle N\times N}$ conexiones dirigidas de la red. Una conexión dirigida ${\textstyle \,{\varepsilon }_{ij}({\mathit {\boldsymbol {y}}}_{j})\in {\mathit {\mathbb {R} }}^{{p}_{i}}}$ es una función que corresponde a un par de robots ${\textstyle ({R}_{i},{R}_{j})}$ siendo la salida ${\textstyle {\mathit {\boldsymbol {y}}}_{j}\in {\mathit {\mathbb {R} }}^{{s}_{j}}}$ (salida del robot ${\textstyle {R}_{j}}$) el vector de información que se transfiere al robot ${\textstyle {R}_{i}}$ mediante una transformación ${\textstyle {\varepsilon }_{ij}:\,{\mathit {\mathbb {R} }}^{{s}_{j}}\rightarrow {\mathit {\mathbb {R} }}^{{p}_{i}}}$. La Figura 4 muestra las conexiones dirigidas de manera generalizada para un par de robots ${\textstyle {R}_{i}}$ y ${\textstyle {R}_{j}}$.

Figura 4. Grafo o esquema generalizado de conexiones dirigidas en los robots ${\textstyle {R}_{i}}$ y ${\textstyle {R}_{j}}$ de una red.

De esta forma, una estrategia común para la construcción de la función ${\textstyle {\mathit {\boldsymbol {\Upsilon }}}_{i}}$ relacionada con (2) [11,15-17], corresponde a un sistema lineal de acoplamiento difusivo estático donde el conjunto de conexiones de todos los robots respecto al robot ${\textstyle {R}_{i}}$ se expresa como

${\textstyle {\mathit {\boldsymbol {\varepsilon }}}_{i}({\mathit {\boldsymbol {y}}})=c\sum _{j=1}^{N}{\mathit {\boldsymbol {\varepsilon }}}_{ij}({\mathit {\boldsymbol {y}}}_{j})}$, (4)

donde ${\textstyle c>0}$ es la denominada fuerza global de acoplamiento, ${\textstyle {\mathit {\boldsymbol {\varepsilon }}}_{ij}({\mathit {\boldsymbol {y}}}_{j})=}$${g}_{ij}{\mathit {\boldsymbol {\Gamma }}}_{ij}{\mathit {\boldsymbol {y}}}_{j}$, con ${\textstyle {g}_{ij}}$ elemento de la matriz de configuración externa de red ${\textstyle {\mathit {\boldsymbol {\,G}}}\in {\mathit {\mathbb {R} }}^{N\times N}}$ obtenida mediante

${\textstyle {\mathit {\boldsymbol {G}}}={\mathit {\boldsymbol {\cal {A}}}}-{\Delta }_{ent}}$, (5)

donde ${\textstyle {\mathit {\boldsymbol {\cal {A}}}}{{\mathit {\boldsymbol {\,\,}}}\in {\mathit {\mathbb {R} }}}^{N\times N}}$ es la matriz de adyacencia ponderada con sus elementos ${\textstyle {a}_{ij}>0}$ si existe una conexión entre el robot ${\textstyle {R}_{i}}$ y el robot ${\textstyle {R}_{j}}$ y ${\textstyle {a}_{ij}=}$$0$ si no existe la conexión (${\textstyle {a}_{ij}}$ es la magnitud de la conexión y en particular ${\textstyle {a}_{ii}=}$$0$); ${\textstyle {\Delta }_{ent}=}$$diag\lbrace {d}_{ii}\rbrace {{\mathit {\boldsymbol {\,\,}}}\in {\mathit {\mathbb {R} }}}^{N\times N}$ es la matriz de grado de entrada con ${\textstyle {d}_{ii}=}$$\sum _{j=1}^{N}{a}_{ij}$ la suma de los pesos de las conexiones que ingresan a cada robot ${\textstyle {R}_{i}}$ (note que de esta forma ${\textstyle {\mathit {\boldsymbol {G}}}}$ es difundida puesto que la suma de sus elementos por renglón es nula); y ${\textstyle {\mathit {\boldsymbol {\Gamma }}}_{ij}\in {\mathit {\mathbb {R} }}^{{p}_{i}\times {s}_{j}}}$ es la matriz de configuración interna que expresa las proporciones de contribución de las variables de salida ${\textstyle {\mathit {\boldsymbol {y}}}_{j}}$ hacia ${\textstyle {\mathit {\boldsymbol {u}}}_{i}}$ y en consecuencia, define la relación interna entre las variables del robot ${\textstyle {R}_{j}}$ hacia las variables del robot ${\textstyle {R}_{i}}$.

De esta manera el acoplamiento difusivo estático para generar ${\textstyle {\mathit {\boldsymbol {u}}}_{i}}$ es

${\textstyle {\mathit {\boldsymbol {u}}}_{i}=c\sum _{j=1}^{N}{g}_{ij}{\mathit {\boldsymbol {\Gamma }}}_{ij}{\mathit {\boldsymbol {y}}}_{j}+}$${\mathit {\boldsymbol {\vartheta }}}_{i},\quad i=1,2,\ldots ,N$, (6)

donde se ha considerado en forma aditiva la nueva entrada de control ${\textstyle {\mathit {\boldsymbol {\vartheta }}}_{i}}$. La Figura 5 muestra el diagrama a bloques para una red formulada utilizando la estrategia (6), mientras que la Figura 6 presenta el esquema generalizado de conexiones dirigidas equivalente.

Figura 5. Diagrama a bloques para una red de robots con acoplamiento difusivo estático.

Figura 6. Esquema generalizado de conexiones dirigidas equivalente al diagrama a bloques de la Figura 5.

2.5 Ejemplo de formulación de una RR´s con acoplamiento difusivo estático

Ejemplo 2.1: Considérese la topología descrita en el grafo de la Figura 7 con los 4 robots distintos (red heterogénea) mostrados en la Figura 8.

Figura 7. Grafo para el ejemplo de formulación de red de robots. Observe que las autoconexiones en cada robot no son mostradas.

Figura 8. Detalle de los ${\textstyle N=}$$4$ robots distintos para el ejemplo de formulación de red.

Considere las siguientes magnitudes de conexión: ${\textstyle {a}_{12}=}$$3$, ${\textstyle {a}_{23}=}$$4$, ${\textstyle {a}_{31}=}$$2$, ${\textstyle {a}_{42}=}$$5$ y ${\textstyle {a}_{43}=}$$1$; tal que

${\textstyle {\mathit {\boldsymbol {A=}}}\left[{\begin{matrix}0\\0\\2\\0\end{matrix}}\,\,{\begin{matrix}3\\0\\0\\5\end{matrix}}\,\,{\begin{matrix}0\\4\\0\\1\end{matrix}}\,\,{\begin{matrix}0\\0\\0\\0\end{matrix}}\right]}$, y ${\textstyle {\Delta }_{ent}=}$$diag\lbrace 3,4,2,6\rbrace$.

De este modo, según (5), la matriz de conexión externa resulta

${\textstyle {\mathit {\boldsymbol {G}}}=\left[{\begin{matrix}{g}_{11}\\0\\{g}_{31}\\0\end{matrix}}\,\,{\begin{matrix}{g}_{12}\\{g}_{22}\\0\\{g}_{42}\end{matrix}}\,\,{\begin{matrix}0\\{g}_{23}\\{g}_{33}\\{g}_{43}\end{matrix}}\,\,{\begin{matrix}0\\0\\0\\{g}_{44}\end{matrix}}\right]=\left[{\begin{matrix}-3\\0\\2\\0\end{matrix}}\,\,{\begin{matrix}3\\-4\\0\\5\end{matrix}}\,\,{\begin{matrix}0\\4\\-2\\1\end{matrix}}\,\,{\begin{matrix}0\\0\\0\\-6\end{matrix}}\right]}$ (7)

Ahora bien, la matriz de matrices de configuración interna debe ser

${\textstyle {\mathit {\boldsymbol {\Gamma }}}=\left[{\begin{matrix}{\mathit {\boldsymbol {\Gamma }}}_{11}\\{\mathit {\boldsymbol {0}}}\\{\mathit {\boldsymbol {\Gamma }}}_{31}\\{\mathit {\boldsymbol {0}}}\end{matrix}}\,\,{\begin{matrix}{\mathit {\boldsymbol {\Gamma }}}_{12}\\{\mathit {\boldsymbol {\Gamma }}}_{22}\\{\mathit {\boldsymbol {0}}}\\{\mathit {\boldsymbol {\Gamma }}}_{42}\end{matrix}}\,\,{\begin{matrix}{\mathit {\boldsymbol {0}}}\\{\mathit {\boldsymbol {\Gamma }}}_{23}\\{\mathit {\boldsymbol {\Gamma }}}_{33}\\{\mathit {\boldsymbol {\Gamma }}}_{43}\end{matrix}}\,\,{\begin{matrix}{\mathit {\boldsymbol {0}}}\\{\mathit {\boldsymbol {0}}}\\{\mathit {\boldsymbol {0}}}\\{\mathit {\boldsymbol {\Gamma }}}_{44}\end{matrix}}\right]}$ (8)

con ${\textstyle {\mathit {\boldsymbol {\Gamma }}}_{ij}{{\mathit {\boldsymbol {\,\,}}}\in {\mathit {\mathbb {R} }}}^{{r}_{i}\times {s}_{j}}}$ cada matriz de configuración interna y con ${\textstyle {\mathit {\boldsymbol {0}}}}$ una matriz cero de dimensión adecuada; es decir

${\textstyle {\mathit {\boldsymbol {\Gamma }}}=\left[{\begin{matrix}\left[{\begin{matrix}{\gamma }_{11,11}\\{\gamma }_{11,21}\end{matrix}}\,\,{\begin{matrix}{\gamma }_{11,12}\\{\gamma }_{11,22}\end{matrix}}\,\,{\begin{matrix}{\gamma }_{11,13}\\{\gamma }_{11,23}\end{matrix}}\right]\\\left[\quad 0\quad \quad \,\,0\quad \quad \,\,0\quad \right]\\\left[{\begin{matrix}{\gamma }_{31,11}\\{\gamma }_{31,21}\end{matrix}}\,\,{\begin{matrix}{\gamma }_{31,12}\\{\gamma }_{31,22}\end{matrix}}\,\,{\begin{matrix}{\gamma }_{31,13}\\{\gamma }_{31,23}\end{matrix}}\right]\\\left[\quad {\begin{matrix}0\\0\end{matrix}}\quad \quad \,\,{\begin{matrix}0\\0\end{matrix}}\quad \quad \,\,{\begin{matrix}0\\0\end{matrix}}\quad \right]\end{matrix}}\,\,{\begin{matrix}\left[{\begin{matrix}{\gamma }_{12,11}\\{\gamma }_{12,21}\end{matrix}}\,\,{\begin{matrix}{\gamma }_{12,12}\\{\gamma }_{12,22}\end{matrix}}\right]\\\left[{\gamma }_{22,11}\,\,{\gamma }_{22,12}\right]\\\left[\quad {\begin{matrix}0\\0\end{matrix}}\quad \quad \,\,{\begin{matrix}0\\0\end{matrix}}\quad \right]\\\left[{\begin{matrix}{\gamma }_{42,11}\\{\gamma }_{42,21}\end{matrix}}\,\,{\begin{matrix}{\gamma }_{42,12}\\{\gamma }_{42,22}\end{matrix}}\right]\end{matrix}}\,\,{\begin{matrix}\left[\quad {\begin{matrix}0\\0\end{matrix}}\quad \quad \,\,{\begin{matrix}0\\0\end{matrix}}\quad \right]\\\left[{\gamma }_{23,11}\,\,{\gamma }_{23,12}\right]\\\left[{\begin{matrix}{\gamma }_{33,11}\\{\gamma }_{33,21}\end{matrix}}\,\,{\begin{matrix}{\gamma }_{33,12}\\{\gamma }_{33,22}\end{matrix}}\right]\\\left[{\begin{matrix}{\gamma }_{34,11}\\{\gamma }_{34,21}\end{matrix}}\,\,{\begin{matrix}{\gamma }_{34,12}\\{\gamma }_{34,22}\end{matrix}}\right]\end{matrix}}\,\,{\begin{matrix}\left[\quad {\begin{matrix}0\\0\end{matrix}}\quad \right]\\\left[\quad 0\quad \right]\\\left[\quad {\begin{matrix}0\\0\end{matrix}}\quad \right]\\\left[{\begin{matrix}{\gamma }_{44,11}\\{\gamma }_{44,21}\end{matrix}}\right]\end{matrix}}\right]}$ (9)

con cada ${\textstyle {\gamma }_{ij,kl}\geq 0}$ según la proporción de contribución de las variables ${\textstyle {\mathit {\boldsymbol {y}}}_{j}}$ hacia ${\textstyle {\mathit {\boldsymbol {u}}}_{i}}$.

De esta manera, se completa (6) para la red de la Figura 7 y la Figura 9 muestra su diagrama a bloques equivalente

Figura 9. Diagrama a bloques equivalente para el ejemplo de red heterogénea con 4 robots.

3. Formación de una red de robots

En esta sección se presenta la propuesta para la formación de una red de robots construida con RMTR’s tipo uniciclo de tracción diferencial como el que se muestra en la Figura 10. Los robots se han modelado para expresar la cinemática de un punto objetivo ${\textstyle {\mathit {\boldsymbol {q}}}=}$${[{q}_{x}\,{q}_{y}]}^{T}\,\in \,{\mathit {\mathbb {R} }}^{2}$ colocado en la parte superior del robot, centrado en referencia al eje que une sus ruedas en el punto ${\textstyle {\bar {O}}}$ pero desplazado una distancia ${\textstyle l}$ en dirección perpendicular a dicho eje (ver Figura 10). La cinemática de tal punto objetivo puede expresarse como [24]

${\textstyle {\overset {\cdot }{\mathit {\boldsymbol {q}}}}=\left[{\begin{matrix}{\text{cos}}{(\theta }_{R})&-l{\text{sen}}{(\theta }_{R})\\{\text{sen}}{(\theta }_{R})&l{\text{cos}}{(\theta }_{R})\end{matrix}}\right]\left[{\begin{matrix}{v}_{R}\\{\omega }_{R}\end{matrix}}\right]}$, ${\textstyle {\mathit {\boldsymbol {\quad }}}={\mathit {\boldsymbol {\Lambda }}}{(\theta }_{R})\left[{\begin{matrix}{v}_{R}\\{\omega }_{R}\end{matrix}}\right]}$ (10)

donde ${\textstyle {\theta }_{R}}$ denota la orientación del robot en referencia al marco global ${\textstyle {\Sigma }_{W}}$,${\textstyle {v}_{R}}$ es la variable de entrada correspondiente a la velocidad lineal del robot y ${\textstyle {\omega }_{R}}$ su otra variable de entrada correspondiente a su velocidad angular. Note que ${\textstyle {\mathit {\boldsymbol {\Lambda }}}{(\theta }_{R})}$ es invertible si ${\textstyle l\not =0}$, de manera que si esto se cumple (10) en forma simplificada quedaría

${\textstyle {\overset {\cdot }{\mathit {\boldsymbol {q}}}}={\mathit {\boldsymbol {u}}}}$. (11)

donde ${\textstyle {\mathit {\boldsymbol {u}}}=}$${[{u}_{x}\,\,{u}_{y}]}^{T}={\mathit {\boldsymbol {\Lambda }}}{(\theta }_{R}){[{v}_{R}\,\,{\omega }_{R}]}^{T}$ representa el vector de entrada correspondiente a las velocidades lineales en direcciones ${\textstyle {W}_{x}}$ y ${\textstyle {W}_{y}}$ como se muestra en la Figura 10(b). La ecuación (11) es el modelo de nuestro robot individual, significando que en relación a (1): ${\textstyle {\mathit {\boldsymbol {x}}}=}$${\mathit {\boldsymbol {q}}}$, ${\textstyle {\mathit {\boldsymbol {f}}}\left(t,{\mathit {\boldsymbol {x}}},{\mathit {\boldsymbol {u}}}\right)=}$${\mathit {\boldsymbol {u}}}$, ${\textstyle {\mathit {\boldsymbol {y}}}=}$${\mathit {\boldsymbol {q}}}$ y ${\textstyle {\mathit {\boldsymbol {h}}}\left(t,{\mathit {\boldsymbol {x}}},{\mathit {\boldsymbol {u}}}\right)=}$${\mathit {\boldsymbol {x}}}={\mathit {\boldsymbol {q}}}$.

Figura 10. (a) Robot tipo uniciclo de tracción diferencial, (b) Vista superior del robot.

Ahora, considérense ${\textstyle N}$ robots en red con acoplamiento difusivo estático con dinámica (11), de tal modo que para el ${\textstyle i}$-ésimo robot sería

${\textstyle {\overset {\cdot }{\mathit {\boldsymbol {q}}}}_{\mathit {\boldsymbol {i}}}=}$${\mathit {\boldsymbol {u}}}_{\mathit {\boldsymbol {i}}}$, (12)

y de acuerdo a (6)

${\textstyle {\mathit {\boldsymbol {u}}}_{i}=c\sum _{j=1}^{N}{g}_{ij}{\mathit {\boldsymbol {q}}}_{j}{+{\mathit {\boldsymbol {\vartheta }}}}_{i},\quad i=}$$1,2,\ldots ,N$, (13)

donde se ha sustituido ${\textstyle {\mathit {\boldsymbol {y}}}=}$${\mathit {\boldsymbol {q}}}$ y ${\textstyle {\mathit {\boldsymbol {\Gamma }}}_{ij}=}$${\mathit {\boldsymbol {I}}}_{2}$ por ser una red homogénea.

El objetivo de formación se propone como

${\textstyle {\text{lim}}_{t\rightarrow \infty }\,\|{\mathit {\boldsymbol {e}}}_{i}(t)\|=0,\quad i=}$$1,2,\ldots ,N$, (14)

donde ${\textstyle {\mathit {\boldsymbol {e}}}_{i}=}$${[{e}_{ix}\,{e}_{iy}]}^{T}={\mathit {\boldsymbol {q}}}_{i}-{\mathit {\boldsymbol {s}}}-$${\mathit {\boldsymbol {\varphi }}}_{i}$ es el error de formación y se ha insertado un líder virtual (sistema de referencia de red) con sistema dinámico ${\textstyle {\overset {\cdot }{\mathit {\boldsymbol {s}}}}=}$${\mathit {\boldsymbol {f}}}({\mathit {\boldsymbol {s}}})$ y un vector de posiciones finales deseadas constantes ${\textstyle {\mathit {\boldsymbol {\varphi }}}_{i}=}$${[{\varphi }_{ix}\,\,{\varphi }_{iy}]}^{T}\,\in \,{\mathit {\mathbb {R} }}^{2}$ para cada ${\textstyle {i}}$-ésimo robot respecto al líder. El vector ${\textstyle {\mathit {\boldsymbol {s}}}=}$${[{s}_{x}\,\,{s}_{y}]}^{T}$ puede ser un punto fijo o una trayectoria [11]. La derivada de ${\textstyle {\mathit {\boldsymbol {e}}}_{i}}$ es ${\textstyle {\overset {\cdot }{{\mathit {\boldsymbol {e}}}_{i}}}=}$ ${\overset {\cdot }{\mathit {\boldsymbol {q}}}}_{i}-{\overset {\cdot }{\mathit {\boldsymbol {s}}}}$ o bien sustituyéndole (12)

${\textstyle {\overset {\cdot }{{\mathit {\boldsymbol {e}}}_{i}}}={\mathit {\boldsymbol {u}}}_{i}-}$${\overset {\cdot }{\mathit {\boldsymbol {s}}}}$. (15)

3.1 Ley de control propuesta

La ley de control propuesta para el objetivo de formación es

${\textstyle {\mathit {\boldsymbol {\vartheta }}}_{i}=-c{d}_{i}{\mathit {\boldsymbol {e}}}_{i}-}$$c\sum _{j=1}^{N}{g}_{ij}{\mathit {\boldsymbol {\varphi }}}_{j}+{\overset {\cdot }{\mathit {\boldsymbol {s}}}},\quad i=$$1,2,\ldots ,N$, (16)

donde ${\textstyle {d}_{i}}$ es la ganancia del controlador para el ${\textstyle {i}}$-ésimo robot. Así (13), luego de sustituirle (16) resulta

${\textstyle {\mathit {\boldsymbol {u}}}_{i}=c\sum _{j=1}^{N}{g}_{ij}{\mathit {\boldsymbol {q}}}_{j}-}$$c{d}_{i}{\mathit {\boldsymbol {e}}}_{i}-c\sum _{j=1}^{N}{g}_{ij}{\mathit {\boldsymbol {\varphi }}}_{j}+$${\overset {\cdot }{\mathit {\boldsymbol {s}}}},\quad i=1,2,\ldots ,N$. (17)

Ya que ${\textstyle {\mathit {\boldsymbol {q}}}_{j}=}$${\mathit {\boldsymbol {e}}}_{j}+{\mathit {\boldsymbol {s}}}+{\mathit {\boldsymbol {\varphi }}}_{j}$ y que la matriz ${\textstyle {\mathit {\boldsymbol {G}}}}$ es difundida, la dinámica (15) del error ${\textstyle {\overset {\cdot }{{\mathit {\boldsymbol {e}}}_{i}}}}$ resulta

${\textstyle {\overset {\cdot }{{\mathit {\boldsymbol {e}}}_{i}}}=}$$c\sum _{j=1}^{N}{g}_{ij}{\mathit {\boldsymbol {e}}}_{j}-c{d}_{i}{\mathit {\boldsymbol {e}}}_{i},\quad i=$$1,2,\ldots ,N$, (18)

y en forma matricial (ver Apéndice A)

${\textstyle {\overset {\cdot }{\mathit {\boldsymbol {e}}}}=-{\mathit {\boldsymbol {Fe}}}}$, (19)

donde ${\textstyle {\overset {\cdot }{\mathit {\boldsymbol {e}}}}=}$${[{\overset {\cdot }{\mathit {\boldsymbol {e}}}}_{1}^{T}\,\,{\overset {\cdot }{\mathit {\boldsymbol {e}}}}_{2}^{T}\,\ldots \,{\overset {\cdot }{\mathit {\boldsymbol {e}}}}_{N}^{T}]}^{T}$, ${\textstyle {\mathit {\boldsymbol {F}}}=}$$c\left({\mathit {\boldsymbol {D}}}-{\mathit {\boldsymbol {G}}}\right)\otimes {\mathit {\boldsymbol {I}}}_{2}$, ${\textstyle {\mathit {\boldsymbol {D}}}=}$$diag\lbrace {d}_{1},\,{d}_{2},\,\ldots ,\,{d}_{N}\rbrace$ y ${\textstyle \otimes }$ expresa el producto Kronecker [26].

3.2 Punto de equilibrio y prueba de estabilidad

Para demostrar el cumplimiento del objetivo de formación (14) con la ley de control (16) en el sistema expresado por (13)-(12), considérense los siguientes lemas:

Lema 1 [25]. Un sistema homogéneo ${\textstyle {\mathit {\boldsymbol {Ay}}}=}$${\mathit {\boldsymbol {0}}}$, donde ${\textstyle {\mathit {\boldsymbol {A}}}\in {\mathit {\mathbb {R} }}^{r\times r}}$, posee una solución única (la solución trivial ${\textstyle {\mathit {\boldsymbol {y}}}=}$${\mathit {\boldsymbol {0}}}$) si y sólo si el ${\textstyle rank\left({\mathit {\boldsymbol {A}}}\right)=}$$r$.

Lema 2 [26]. Sea ${\textstyle {\mathit {\boldsymbol {A}}}\in {\mathit {\mathbb {R} }}^{m\times n}}$ con valores singulares ${\textstyle {\sigma }_{1}\geq \ldots \geq {\sigma }_{r}>0}$ y ${\textstyle {\mathit {\boldsymbol {B}}}\in {\mathit {\mathbb {R} }}^{p\times q}}$ con valores singulares ${\textstyle {\delta }_{1}\geq \ldots \geq {\delta }_{s}>0}$. Entonces ${\textstyle {\mathit {\boldsymbol {A}}}\otimes {\mathit {\boldsymbol {B}}}}$ (ó ${\textstyle {\mathit {\boldsymbol {B}}}\otimes {\mathit {\boldsymbol {A}}}}$) tiene ${\textstyle rs}$ valores singulares ${\textstyle {\sigma }_{1}{\delta }_{1}\geq \ldots \geq {\sigma }_{r}{\delta }_{s}>0}$ y ${\textstyle rank\left({\mathit {\boldsymbol {A}}}\otimes {\mathit {\boldsymbol {B}}}\right)=}$$rank\left({\mathit {\boldsymbol {B}}}\otimes {\mathit {\boldsymbol {A}}}\right)=$$rank\left({\mathit {\boldsymbol {A}}}\right)rank{\mathit {\boldsymbol {(B)}}}$. NOTA: Si las matrices son cuadradas puede intercambiarse "valores singulares" por "valores característicos".

Lema 3 [27]. Sea ${\textstyle {\mathit {\boldsymbol {P}}}\in {\mathit {\mathbb {R} }}^{N\times N}}$ una matriz cuadrada y haciendo ${\textstyle {\mathit {\boldsymbol {A}}}=}$${\frac {1}{2}}[{\mathit {\boldsymbol {P}}}+{\mathit {\boldsymbol {P}}}^{T}]$, el Teorema de Silvester establece que ${\textstyle {\mathit {\boldsymbol {P}}}}$ es definida positiva (${\textstyle {\mathit {\boldsymbol {P}}}>0}$) si y sólo si:

${\textstyle \mathrm {{\Delta }_{1}=det} \,\left[{a}_{11}\right]>0,\,\,{\Delta }_{2}=}$$det\left[{\begin{matrix}{a}_{11}&{a}_{12}\\{a}_{21}&{a}_{22}\end{matrix}}\right]>0,\ldots ,\mathrm {{\Delta }_{N}=det} \,\left[{\mathit {\boldsymbol {A}}}\right]>0$.

NOTA: Si ${\textstyle {\mathit {\boldsymbol {P}}}}$ es definida positiva (${\textstyle {\mathit {\boldsymbol {P}}}>0}$) entonces ${\textstyle {\mathit {\boldsymbol {-P}}}}$ es definida negativa (${\textstyle {\mathit {\boldsymbol {-P}}}<0}$). Si ${\textstyle {\mathit {\boldsymbol {P}}}}$ es semidefinida positiva (${\textstyle {\mathit {\boldsymbol {P}}}\geq 0}$) entonces ${\textstyle {\mathit {\boldsymbol {-P}}}}$ es semidefinida negativa (${\textstyle {\mathit {\boldsymbol {-P}}}\leq 0}$).

Lema 4 [28]. Sean ${\textstyle {\mathit {\boldsymbol {P}}}\in {\mathit {\mathbb {R} }}^{N\times N}}$ y ${\textstyle {\mathit {\boldsymbol {\Gamma }}}\in {\mathit {\mathbb {R} }}^{n\times n}}$ matrices definidas (semidefinidas) positivas, entonces ${\textstyle {\mathit {\boldsymbol {P}}}\otimes {\mathit {\boldsymbol {\Gamma }}}\in {\mathit {\mathbb {R} }}^{Nn\times Nn}}$ es una matriz definida (semidefinida) positiva.

Ahora, considere el punto de equilibrio ${\textstyle {\mathit {\boldsymbol {e}}}=}$${\mathit {\boldsymbol {0}}}$ de (19) y, para el análisis de su estabilidad, considérese la siguiente función candidata de Lyapunov

${\textstyle {\mathit {\boldsymbol {V}}}={\frac {1}{2}}{\mathit {\boldsymbol {e}}}^{T}{\mathit {\boldsymbol {e}}}>{\mathit {\boldsymbol {0}}}\,\forall \,{\mathit {\boldsymbol {e}}}\not ={\mathit {\boldsymbol {0}}}}$, (20)

por lo que la derivada temporal de ${\textstyle {\mathit {\boldsymbol {V}}}}$ es

${\textstyle {\overset {\cdot }{\mathit {\boldsymbol {V}}}}={\mathit {\boldsymbol {e}}}^{T}{\overset {\cdot }{\mathit {\boldsymbol {e}}}}}$. (21)

Tomando ${\textstyle {\overset {\cdot }{\mathit {\boldsymbol {e}}}}}$ de (19) y sustituyendo en (21) se tiene

${\textstyle {\overset {\cdot }{\mathit {\boldsymbol {V}}}}=-{\mathit {\boldsymbol {e}}}^{T}{\mathit {\boldsymbol {Fe}}}}$. (22)

De manera que si ${\textstyle {\mathit {\boldsymbol {F}}}>0}$ entonces ${\textstyle {\overset {\cdot }{\mathit {\boldsymbol {V}}}}{\mathit {\boldsymbol {<}}}0}$ ${\textstyle \forall \,{\mathit {\boldsymbol {e}}}\not ={\mathit {\boldsymbol {0}}}}$, significando que ${\textstyle {\mathit {\boldsymbol {e}}}=}$${\mathit {\boldsymbol {0}}}$ es un punto de equilibrio asintóticamente estable y con esto queda demostrado el cumplimiento del objetivo de formación (14).

Como ejemplos considérense las siguientes topologías típicas para una red con ${\textstyle N}$ robots.

Ejemplo 3.1: La red direccionada y no ponderada (magnitud de conexión unitaria) de la Figura 11 en configuración estrella con el robot ${\textstyle {R}_{1}}$ en la raíz. Su matriz de configuración externa resulta

${\textstyle {\mathit {\boldsymbol {G}}}=\left[{\begin{matrix}0\\1\\1\\\,\\1\end{matrix}}\quad {\begin{matrix}0\\-1\\0\\\vdots \\0\end{matrix}}\quad {\begin{matrix}0\\0\\-1\\\,\\0\end{matrix}}\quad {\begin{matrix}\,\\\ldots \\\,\\\ddots \\\ldots \end{matrix}}\quad {\begin{matrix}0\\0\\0\\\vdots \\-1\end{matrix}}\right]}$ (23)

Propóngase

${\textstyle {\mathit {\boldsymbol {D}}}-{\mathit {\boldsymbol {G}}}=\left[{\begin{matrix}{d}_{1}\\-1\\-1\\\,\\-1\end{matrix}}\quad {\begin{matrix}0\\1\\0\\\vdots \\0\end{matrix}}\quad {\begin{matrix}0\\0\\1\\\,\\0\end{matrix}}\quad {\begin{matrix}\,\\\cdots \\\,\\\ddots \\\ldots \end{matrix}}\quad {\begin{matrix}0\\0\\0\\\vdots \\1\end{matrix}}\right]}$ (24)

Figura 11. Una red de ${\textstyle N}$ robots con Topología Estrella.

Se ha considerado ${\textstyle {\mathit {\boldsymbol {D}}}=}$$diag\lbrace {d}_{1},0,\ldots ,0\rbrace$ ya que el robot en la raíz (${\textstyle {R}_{1}}$) de la red es el único viable para ser líder, pues es el único que mantiene conexiones direccionadas con el resto de los robots. Obsérvese que (24) es una matriz triangular, por lo que si ${\textstyle {d}_{1}\not =0}$ su rango es completo (${\textstyle rank({\mathit {\boldsymbol {D}}}-}$${\mathit {\boldsymbol {G}}})=N$). De esta manera, si ${\textstyle {d}_{1}\not =0}$ y apoyándonos en los Lemas 1 y 2 , ${\textstyle {\mathit {\boldsymbol {e}}}=}$$0$ es el único punto de equilibrio de (19).

Ahora, partiendo de (24) y aplicando el Lema 3 con ${\textstyle {\mathit {\boldsymbol {A}}}=}$$\left[\left({\mathit {\boldsymbol {D-G}}}\right){+\left({\mathit {\boldsymbol {D-G}}}\right)}^{T}\right]/2$ se tiene

${\textstyle {\mathit {\boldsymbol {A}}}=\left[{\begin{matrix}{d}_{1}\\-{\frac {1}{2}}\\-{\frac {1}{2}}\\\,\\-{\frac {1}{2}}\end{matrix}}\quad {\begin{matrix}-{\frac {1}{2}}\\1\\0\\\vdots \\0\end{matrix}}\quad {\begin{matrix}-{\frac {1}{2}}\\0\\1\\\,\\0\end{matrix}}\quad {\begin{matrix}\,\\\cdots \\\,\\\ddots \\\ldots \end{matrix}}\quad {\begin{matrix}-{\frac {1}{2}}\\0\\0\\\vdots \\1\end{matrix}}\right]}$ (25)

de forma que ${\textstyle {\Delta }_{1}=}$${d}_{1}$ (${\textstyle {\Delta }_{1}>0}$ si ${\textstyle {d}_{1}>0}$), ${\textstyle {\Delta }_{2}=}$${d}_{1}-{\frac {1}{4}}$ (${\textstyle {\Delta }_{2}>0}$ si ${\textstyle {d}_{1}>{\frac {1}{4)}}}$,…, ${\textstyle {\Delta }_{i}=}$${d}_{1}-{\frac {i-1}{4}}$ (${\textstyle {\Delta }_{i}>0}$ si ${\textstyle {d}_{1}>{\frac {i-1}{4}}}$),…, ${\textstyle {\Delta }_{N}=}$${d}_{1}-{\frac {N-1}{4}}$ (${\textstyle {\Delta }_{N}>0}$ si ${\textstyle {d}_{1}>{\frac {N-1}{4}}}$).

De manera que apoyándonos en el Lema 4, entonces si

${\textstyle {d}_{1}>{\frac {N-1}{4}}}$, (26)

entonces ${\textstyle {\mathit {\boldsymbol {F}}}>0}$; cumpliéndose el objetivo de formación (14) de forma global.

Ejemplo 3.2: La red direccionada y no ponderada de la Figura 12 en configuración anillo. Su matriz de configuración externa resulta

${\textstyle {\mathit {\boldsymbol {G}}}=\left[{\begin{matrix}-1\\1\\0\\\vdots \\0\\0\\0\end{matrix}}\,\,{\begin{matrix}0\\-1\\1\\\,\\0\\0\\0\end{matrix}}\,\,{\begin{matrix}0\\0\\-1\\\,\\0\\0\\0\end{matrix}}\,\,{\begin{matrix}\ldots \\\,\\\,\\\ddots \\\,\\\,\\\ldots \end{matrix}}\,\,{\begin{matrix}0\\0\\0\\\,\\-1\\1\\0\end{matrix}}\,\,{\begin{matrix}0\\0\\0\\\,\\0\\-1\\1\end{matrix}}\,\,{\begin{matrix}1\\0\\0\\\vdots \\0\\0\\-1\end{matrix}}\,\,\right]}$ (27)

Propóngase

${\textstyle {\mathit {\boldsymbol {D}}}-{\mathit {\boldsymbol {G}}}=\left[{\begin{matrix}1+{d}_{1}\\-1\\0\\\vdots \\0\\0\\0\end{matrix}}\,\,{\begin{matrix}0\\1+{d}_{2}\\-1\\\,\\0\\0\\0\end{matrix}}\,\,{\begin{matrix}0\\0\\1+{d}_{3}\\\,\\0\\0\\0\end{matrix}}\,\,{\begin{matrix}\ldots \\\,\\\,\\\ddots \\\,\\\,\\\ldots \end{matrix}}\quad {\begin{matrix}0\\0\\0\\\,\\1+{d}_{N-2}\\-1\\0\end{matrix}}\quad {\begin{matrix}0\\0\\0\\\,\\0\\1+{d}_{N-1}\\-1\end{matrix}}\,\,{\begin{matrix}-1\\0\\0\\\vdots \\0\\0\\1+{d}_{N}\end{matrix}}\right]}$ (28)

Figura 12. Una red de ${\textstyle N}$ robots con Topología Anillo.

Nótese que ${\textstyle rank({\mathit {\boldsymbol {G}}})=N-}$$1$ (lo cual puede comprobarse directamente al aplicar el procedimiento de eliminación de Gauss). Para que ${\textstyle rank\left({\mathit {\boldsymbol {D-G}}}\right)}$ sea completo, por la simetría de la topología, resulta suficiente cualquier ${\textstyle {d}_{i}\not =0.}$ Supóngase ${\textstyle {\mathit {\boldsymbol {D=}}}diag{\mathit {\boldsymbol {\lbrace }}}{d}_{1}{\mathit {\boldsymbol {,\,}}}0,\ldots ,0\rbrace }$ de manera que si ${\textstyle {d}_{1}\not =0}$ y apoyándose en los Lemas 1 y 2, ${\textstyle {\mathit {\boldsymbol {e}}}=}$$0$ es el único punto de equilibrio de (19).

Ahora, sustituyendo la ${\textstyle {\mathit {\boldsymbol {D}}}}$ supuesta en (28) y aplicando el Lema 3 con ${\textstyle {\mathit {\boldsymbol {A}}}=}$$\left[\left({\mathit {\boldsymbol {D-G}}}\right){+\left({\mathit {\boldsymbol {D-G}}}\right)}^{T}\right]/2$ se tiene

${\textstyle {\mathit {\boldsymbol {A}}}=\left[{\begin{matrix}1+{d}_{1}\\-{\frac {1}{2}}\\0\\\vdots \\0\\0\\-{\frac {1}{2}}\end{matrix}}\,\,{\begin{matrix}-{\frac {1}{2}}\\1\\-{\frac {1}{2}}\\\,\\0\\0\\0\end{matrix}}\,\,{\begin{matrix}0\\-{\frac {1}{2}}\\1\\\,\\0\\0\\0\end{matrix}}\,\,{\begin{matrix}\ldots \\\,\\\,\\\ddots \\\,\\\,\\\ldots \end{matrix}}\quad {\begin{matrix}0\\0\\0\\\,\\1\\-{\frac {1}{2}}\\0\end{matrix}}\quad {\begin{matrix}0\\0\\0\\\,\\-{\frac {1}{2}}\\1\\-{\frac {1}{2}}\end{matrix}}\,\,{\begin{matrix}-{\frac {1}{2}}\\0\\0\\\vdots \\0\\-{\frac {1}{2}}\\1\end{matrix}}\right]}$ (29)

de forma que ${\textstyle {\Delta }_{i}=}$$a{d}_{1}+b$, donde ${\textstyle a=}$${\frac {i}{{2}^{i-1}}}$ para ${\textstyle i=}$$1,2,\ldots ,N$, ${\textstyle b=}$${\frac {(i+1)}{{2}^{i}}}$ para ${\textstyle i=1,2,\ldots ,N-}$$1$ y ${\textstyle b=}$$0$ para ${\textstyle i=}$$N$, siendo cada ${\textstyle {\Delta }_{i}>0}$ si ${\textstyle {d}_{1}>0}$. Por lo tanto, apoyándonos en el Lema 4, entonces si ${\textstyle {d}_{1}>0}$ se cumple que ${\textstyle {\mathit {\boldsymbol {F}}}>0}$ y el objetivo de formación (14) es satisfecho de forma global.

Ejemplo 3.3: La red direccionada y no ponderada de la Figura 13 en configuración malla. Su matriz de configuración externa resulta

${\textstyle {\mathit {\boldsymbol {G}}}=\left[{\begin{matrix}N-1\\-1\\\vdots \\-1\end{matrix}}\quad {\begin{matrix}-1\\N-1\\\,\\-1\end{matrix}}\quad {\begin{matrix}\ldots \\\,\\\ddots \\\ldots \end{matrix}}\quad {\begin{matrix}-1\\-1\\\vdots \\N-1\end{matrix}}\right]}$ (30)

Propóngase

${\textstyle {\mathit {\boldsymbol {D}}}-{\mathit {\boldsymbol {G}}}=\left[{\begin{matrix}N-1+{d}_{1}\\-1\\\,\\-1\end{matrix}}\quad {\begin{matrix}-1\\N-1+{d}_{2}\\\,\\-1\end{matrix}}\quad {\begin{matrix}\ldots \\\,\\\ddots \\\ldots \end{matrix}}\quad {\begin{matrix}-1\\-1\\\vdots \\N-1+{d}_{N}\end{matrix}}\right]}$ (31)

Figura 13. Una red de ${\textstyle N}$ robots con Topología Malla.

Nótese que ${\textstyle rank({\mathit {\boldsymbol {G}}})=N-}$$1$ (lo cual puede comprobarse al aplicar el procedimiento de eliminación de Gauss). Para que ${\textstyle rank\left({\mathit {\boldsymbol {D-G}}}\right)}$ sea completo resulta suficiente cualquier ${\textstyle {d}_{i}\not =0}$. Supóngase ${\textstyle {\mathit {\boldsymbol {D=}}}diag{\mathit {\boldsymbol {\lbrace }}}{d}_{1}{\mathit {\boldsymbol {,\,}}}0,\ldots ,0\rbrace }$ de manera que si ${\textstyle {d}_{1}\not =0}$ y apoyándose en los Lemas 1 y 2, ${\textstyle {\mathit {\boldsymbol {e}}}=}$$0$ es el único punto de equilibrio de (19).

Ahora, sustituyendo la ${\textstyle {\mathit {\boldsymbol {D}}}}$ supuesta en (31) y aplicando el Lema 3 con ${\textstyle {\mathit {\boldsymbol {A}}}=}$$\left[\left({\mathit {\boldsymbol {D-G}}}\right){+\left({\mathit {\boldsymbol {D-G}}}\right)}^{T}\right]/2$ se tiene

${\textstyle {\mathit {\boldsymbol {D}}}-{\mathit {\boldsymbol {G}}}=\left[{\begin{matrix}N-1+{d}_{1}\\-1\\\,\\-1\end{matrix}}\quad {\begin{matrix}-1\\N-1\\\,\\-1\end{matrix}}\quad {\begin{matrix}\ldots \\\,\\\ddots \\\ldots \end{matrix}}\quad {\begin{matrix}-1\\-1\\\vdots \\N-1\end{matrix}}\right]}$ (32)

donde ${\textstyle {{\Delta }_{i}=(N}^{i-1}-}$$\left(i-1\right){N}^{i-2}){d}_{1}+{N}^{i}-i{N}^{i-1},\quad i=1,2,\ldots ,N$. De manera que para que cada ${\textstyle {\Delta }_{i}>0}$, ${\textstyle {d}_{1}>{\frac {(i{N}^{i-1}-{N}^{i})}{\left({N}^{i-1}-\left(i-1\right){N}^{i-2}\right)}}=N(i-N)/(N-i+1)}$ para ${\textstyle i=}$$1,2,\ldots ,N$, es decir, ${\textstyle {d}_{1}>0}$. Por lo tanto, apoyándonos en el Lema 4, entonces si ${\textstyle {d}_{1}>0}$ se cumple que ${\textstyle {\mathit {\boldsymbol {F}}}>0}$ y el objetivo de formación (14) es satisfecho de forma global.

4. Simulación y experimento

4.1. Caso particular de una red con 5 robots tipo uniciclo

La Figura 14 muestra una RR’s direccionada, no típica y no ponderada, compuesta por cinco robots tipo uniciclo con dinámica de sus puntos objetivo (12) y para la cual resulta su matriz de configuración externa

${\textstyle {\mathit {\boldsymbol {G}}}=\left[{\begin{matrix}0\\{g}_{21}\\{g}_{31}\\0\\0\end{matrix}}\quad {\begin{matrix}0\\{g}_{22}\\0\\{g}_{42}\\0\end{matrix}}\quad {\begin{matrix}0\\0\\{g}_{33}\\{g}_{43}\\{g}_{53}\end{matrix}}\quad {\begin{matrix}0\\0\\{g}_{34}\\{g}_{44}\\0\end{matrix}}\quad {\begin{matrix}0\\0\\0\\0\\{g}_{55}\end{matrix}}\right]=\left[{\begin{matrix}0\\1\\1\\0\\0\end{matrix}}\quad {\begin{matrix}0\\-1\\0\\1\\0\end{matrix}}\quad {\begin{matrix}0\\0\\-2\\1\\1\end{matrix}}\quad {\begin{matrix}0\\0\\1\\-2\\0\end{matrix}}\quad {\begin{matrix}0\\0\\0\\0\\-1\end{matrix}}\right]}$ (33)

Figura 14. Topología externa de una RR´s no típica con 5 robots tipo uniciclo de tracción diferencial.

Nótese que ${\textstyle rank({\mathit {\boldsymbol {G}}})=N-}$$1$ ya que su renglón 1 es nulo. Se propone la matriz ${\textstyle {\mathit {\boldsymbol {D=}}}diag{\mathit {\boldsymbol {\lbrace }}}{d}_{1}{\mathit {\boldsymbol {,\,}}}0,\ldots ,0\rbrace }$ debido a que ${\textstyle {R}_{1}}$ tiene trayectorias direccionadas hacia el resto de los robots. Para que ${\textstyle rank\left({\mathit {\boldsymbol {D-G}}}\right)}$ sea completo resulta suficiente ${\textstyle {d}_{1}\not =0}$ (lo que se comprueba con el procedimiento de eliminación de Gauss) y apoyándose en los Lemas 1 y 2, ${\textstyle {\mathit {\boldsymbol {e}}}=}$$0$ es el único punto de equilibrio de (19).

Ahora, aplicando el Lema 3 en ${\textstyle {\mathit {\boldsymbol {D-G}}}}$ con ${\textstyle {\mathit {\boldsymbol {A}}}=}$$\left[\left({\mathit {\boldsymbol {D-G}}}\right){+\left({\mathit {\boldsymbol {D-G}}}\right)}^{T}\right]/2$ se tiene

${\textstyle {\mathit {\boldsymbol {A=}}}\left[{\begin{matrix}{d}_{1}\\-{\frac {1}{2}}\\-{\frac {1}{2}}\\0\\0\end{matrix}}\quad {\begin{matrix}-{\frac {1}{2}}\\1\\0\\-{\frac {1}{2}}\\0\end{matrix}}\quad {\begin{matrix}-{\frac {1}{2}}\\0\\2\\-1\\-{\frac {1}{2}}\end{matrix}}\quad {\begin{matrix}0\\-{\frac {1}{2}}\\-1\\2\\0\end{matrix}}\quad {\begin{matrix}0\\0\\-{\frac {1}{2}}\\0\\1\end{matrix}}\right]}$ (34)

donde resulta

${\textstyle {\Delta }_{1}={d}_{1}}$ (${\textstyle {\Delta }_{1}>0}$ si ${\textstyle {d}_{1}>0}$), ${\textstyle {\Delta }_{2}=}$${d}_{1}-{\frac {1}{4}}$ (${\textstyle {\Delta }_{2}>0}$ si ${\textstyle {d}_{1}>{\frac {1}{4}}}$), ${\textstyle {\Delta }_{3}=}$$2{d}_{1}-{\frac {3}{4}}$, (${\textstyle {\Delta }_{3}>0}$ si ${\textstyle {d}_{1}>{\frac {3}{8}}}$), ${\textstyle {\Delta }_{4}=}$${\frac {5}{2}}{d}_{1}-{\frac {23}{16}}$ (${\textstyle {\Delta }_{4}>0}$ si ${\textstyle {d}_{1}>{\frac {23}{40}}}$) y ${\textstyle {\Delta }_{5}=}$${\frac {33}{16}}{d}_{1}-{\frac {21}{16}}$ (${\textstyle {\Delta }_{5}>0}$ si ${\textstyle {d}_{1}>{\frac {21}{33}}}$).

Por lo tanto, apoyándonos en el Lema 4, entonces si ${\textstyle {d}_{1}>{\frac {21}{33}}}$ se cumple que ${\textstyle {\mathit {\boldsymbol {F}}}>0}$ y el objetivo de formación (14) es satisfecho de forma global.

4.2. Simulación y experimento

Para la simulación de la red formada por cinco robots se utilizó MATLAB R2011b. El experimento se realizó con cinco robots tipo uniciclo modelo YSR-A de la empresa Yujin que reciben las consignas de velocidad mediante módulos de comunicación inalámbrica operando a 418 MHz y a una tasa de 19.2 Kbps. Los módulos de comunicación se conectan a un procesador central vía puerto serie. Este procesador central ejecuta una aplicación de tiempo real en ambiente RTLinux, auxiliado de una tarjeta de video Leonardo de la empresa Arvoo y con programación basada en [33]. Para efectos de identificar la postura de los robots se colocaron dos puntos marca sobre cada robot, uno para la posición objetivo y el otro como auxiliar para el cálculo de su orientación. Las imágenes se registran mediante una cámara UF-1000CL de la empresa UNIQ cuyo eje óptico apunta perpendicularmente al plano de movimiento de los robots (ver Figura 10). La cámara es de alta velocidad y se configuró a razón de 200 cuadros por segundo, obteniéndose un periodo estricto de muestreo en los experimentos de 0.005 s.

En la Tabla 1 se muestran las condiciones iniciales y posiciones finales deseadas para el control de formación de la red de la Figura 14; utilizando un líder virtual con dinámica ${\textstyle {\overset {\cdot }{\mathit {\boldsymbol {s}}}}=}$$0$ y con condición inicial ${\textstyle {\mathit {\boldsymbol {s}}}(0)=}$${[0\,\,0]}^{T}$ m, una fuerza global de acoplamiento ${\textstyle c=}$$1.8$, ganancias ${\textstyle {\mathit {\boldsymbol {D}}}=}$$diag\lbrace 2\,\,0\,\,0\,\,0\,\,0\rbrace$ y una distancia ${\textstyle l=}$$0.036$ m entre marcas sobre cada robot. Obsérvese que se desea una formación en línea recta con un ángulo de ${\textstyle \pi /4}$ rad respecto al marco global ${\textstyle {\Sigma }_{W}}$.

Tabla 1. Condiciones de simulación y experimentación para la RR´s de la Figura 14.

$i$	${\textstyle {q}_{ix}(0)}$ [m]	${\textstyle {q}_{iy}(0)}$ [m]	${\textstyle {\theta }_{i}(0)}$ [rad]	${\textstyle {\varphi }_{ix}}$ [m]	${\textstyle {\varphi }_{iy}}$ [m]
1	0.1511	0.2286	-1.1802	0.30	0.30
2	0.4243	0.0891	-1.1310	0.15	0.15
3	-0.2135	-0.0247	-0.7598	0	0
4	0.0496	-0.0717	-0.3286	-0.15	-0.15
5	0.1259	-0.2499	2.8198	-0.30	-0.30

La Figura 15(a) muestra la evolución de los errores en simulación, los cuales tienden a cero a medida que el tiempo transcurre. Una apreciación visual simple destaca que es suficiente ${\textstyle t\approx 5}$ s para que el error pueda considerarse prácticamente cero. En la Figura 15(b) se presentan las gráficas de los errores en el experimento. Cabe destacar que el umbral de reacción de los robots se encuentra por encima de ${\textstyle 0.0156}$ m/s de manera que debajo de dicho valor no hay movimiento del robot. Lo anterior es lo que justifica que en el experimento exista un error en estado estacionario, es decir, cuando la ley de control demanda velocidades pequeñas (pues el robot está cerca del objetivo) se cae dentro del umbral de no reacción del robot deteniendo su movimiento. La norma de error más grande lo presenta ${\textstyle {R}_{5}}$ con ${\textstyle \left\|{e}_{5}\right\|=}$$0.0105$ m.

Figura 15. Evolución de los errores: (a) En simulación, (b) En experimento.

La Figura 16 muestra las trayectorias seguidas por los robots. Las trayectorias experimentales descritas difieren un tanto de las trayectorias simuladas, esto debido a factores no modelados, como deslizamientos, derrapes y umbrales de reacción. El objetivo final, sin embargo, se alcanza satisfactoriamente.

Figura 16. Trayectorias para la formación en línea recta en el marco global ${\textstyle {\Sigma }_{W}}$.

Las gráficas en las Figuras 17 y 18 muestran respectivamente la evolución de las velocidades lineales (${\textstyle {v}_{{R}_{i}}}$) y angulares (${\textstyle {\omega }_{{R}_{i}}}$) de los robots en simulación (17(a) y 18(a)) y en experimentación (17(b) y 18(b)). Las trayectorias experimentales muestran que luego de ${\textstyle t\approx 4}$ s permanece un pequeño valor constante ${\textstyle {v}_{{R}_{i}}}$ y un pequeño valor oscilatorio ${\textstyle {\omega }_{{R}_{i}}}$ incapaces de causar movimiento práctico en los robots.

Figura 17. Gráficas de velocidades lineales de los robots: (a) Simulación, (b) Experimento.

Figura 18. Gráficas de velocidades angulares de los robots: (a) Simulación, (b) Experimento.

5. Ley de control con procedimiento para evitar colisiones

La evasión de obstáculos y la no colisión entre los robots de una red aún es un problema abierto, especialmente cuando se tiene un número elevado de robots en áreas reducidas. En la literatura pueden encontrarse estudios que abordan esta problemática [24,29-32].

5.1. Ley de control

Se propone que la ley de control (16) contenga además, en forma aditiva, una acción de repulsión ${\textstyle {\mathit {\boldsymbol {u}}}_{ri}\,\in \,{\mathit {\mathbb {R} }}^{2}}$como procedimiento para evitar colisiones entre los robots. Para el planteamiento formulado en la Sección 3, la propuesta, inspirada en [31], es la siguiente (la cual incluye el vector adicional de acciones de control ${\textstyle {\mathit {\boldsymbol {U}}}_{r}=}$${[{\mathit {\boldsymbol {u}}}_{r1}^{T}\,{\mathit {\boldsymbol {u}}}_{r2}^{T}\ldots {\mathit {\boldsymbol {u}}}_{rN}^{T}]}^{T}\in \,{\mathit {\mathbb {R} }}^{2N}$):

${\textstyle {\mathit {\boldsymbol {\vartheta }}}_{i}=-c{d}_{i}{\mathit {\boldsymbol {e}}}_{i}-}$$c\sum _{j=1}^{N}{g}_{ij}{\mathit {\boldsymbol {\varphi }}}_{j}+{\overset {\cdot }{\mathit {\boldsymbol {s}}}}+$${\mathit {\boldsymbol {u}}}_{ri}$, ${\textstyle i=}$$1,2,\ldots N$, (35)

donde ${\textstyle {\mathit {\boldsymbol {u}}}_{ri}=}$${h}_{i}{[-{e}_{iy}\,\,{e}_{ix}]}^{T}$con ${\textstyle {h}_{i}\,\in \,{\mathit {\mathbb {R} }}}$ un factor de repulsión. De esta manera (13) resulta

${\textstyle {\mathit {\boldsymbol {u}}}_{i}=c\sum _{j=1}^{N}{g}_{ij}{\mathit {\boldsymbol {q}}}_{j}-}$$c{d}_{i}{\mathit {\boldsymbol {e}}}_{i}-c\sum _{j=1}^{N}{g}_{ij}{\mathit {\boldsymbol {\varphi }}}_{j}+$${\overset {\cdot }{\mathit {\boldsymbol {s}}}}+{h}_{i}{\left[-{e}_{iy}\,\,{e}_{ix}\right]}^{T},\quad i=$$1,2,\ldots N$. (36)

Manteniendo como objetivo el control de formación expresado por (14), la derivada del error es

${\textstyle {\overset {\cdot }{{\mathit {\boldsymbol {e}}}_{i}}}=}$$c\sum _{j=1}^{N}{g}_{ij}{\mathit {\boldsymbol {e}}}_{j}-c{d}_{i}{\mathit {\boldsymbol {e}}}_{i}+$${h}_{i}{\left[-{e}_{iy}\,\,{e}_{ix}\right]}^{T},\quad i=1,2,\ldots N$. (37)

Obsérvese que ${\textstyle {\mathit {\boldsymbol {e}}}_{i}=}$$0$ sigue siendo un punto de equilibrio. Ahora, considérese la función candidata de Lyapunov (20) y su derivada (21), entonces para este caso ${\textstyle {\overset {\cdot }{\mathit {\boldsymbol {V}}}}}$ puede escribirse como

${\textstyle {\overset {\cdot }{\mathit {\boldsymbol {V}}}}=-c{\mathit {\boldsymbol {e}}}^{T}\lbrace [{\mathit {\boldsymbol {D-G}}}]\otimes {\mathit {\boldsymbol {I}}}_{2}\rbrace {\mathit {\boldsymbol {e}}}+}$$c{\mathit {\boldsymbol {e}}}^{T}[{\mathit {\boldsymbol {H}}}\otimes {\mathit {\boldsymbol {I}}}_{2}]{\mathit {\boldsymbol {e}}}^{\bot }$, (38)

donde ${\textstyle {\mathit {\boldsymbol {\,H}}}=}$$diag\lbrace {h}_{1},{h}_{2},\ldots {h}_{N}\rbrace$ y ${\textstyle {\mathit {\boldsymbol {e}}}^{\bot }=}$${[-{e}_{1y}\,\,{e}_{1x}\,\,-{e}_{2y}\,\,{e}_{2x}\ldots \,-{e}_{Ny}\,\,{e}_{Nx}]}^{T}$.

La contribución ${\textstyle c{\mathit {\boldsymbol {e}}}^{T}[{\mathit {\boldsymbol {H}}}\otimes {\mathit {\boldsymbol {I}}}_{2}]{\mathit {\boldsymbol {e}}}^{\bot }}$ en (38) es

$c{\mathit {\boldsymbol {e}}}^{T}[{\mathit {\boldsymbol {H}}}\otimes {\mathit {\boldsymbol {I}}}_{2}]{\mathit {\boldsymbol {e}}}^{\bot }$ ${\textstyle =c{\left[{\begin{matrix}{e}_{1x}\\{e}_{1y}\\{e}_{2x}\\{e}_{2y}\\\vdots \\{e}_{Nx}\\{e}_{Ny}\end{matrix}}\right]}^{T}\,\left[{\begin{matrix}{h}_{1}\\0\\0\\0\\\vdots \\0\\0\end{matrix}}\,\,{\begin{matrix}0\\{h}_{1}\\0\\0\\\vdots \\0\\0\end{matrix}}\,\,{\begin{matrix}0\\0\\{h}_{2}\\0\\\vdots \\0\\0\end{matrix}}\,\,{\begin{matrix}0\\0\\0\\{h}_{2}\\\vdots \\0\\0\end{matrix}}\,\,{\begin{matrix}\ldots \\\ldots \\\ldots \\\ldots \\\ddots \\0\\0\end{matrix}}\,\,{\begin{matrix}0\\0\\0\\0\\\vdots \\{h}_{N}\\0\end{matrix}}\,\,{\begin{matrix}0\\0\\0\\0\\\vdots \\0\\{h}_{N}\end{matrix}}\right]\,\left[{\begin{matrix}-{e}_{1y}\\{e}_{1x}\\-{e}_{2y}\\{e}_{2x}\\\vdots \\-{e}_{Ny}\\{e}_{Nx}\end{matrix}}\right]}$ ${\textstyle =c\lbrace -{h}_{1}{e}_{1x}{e}_{1y}+{h}_{1}{e}_{1x}{e}_{1y}-}$${h}_{2}{e}_{2x}{e}_{2y}+{h}_{2}{e}_{2x}{e}_{2y}\ldots -{h}_{N}{e}_{Nx}{e}_{Ny}+{h}_{N}{e}_{Nx}{e}_{Ny}\rbrace =0$, (39)

y (38) resulta equivalente a (22). Con esto se demuestra que el objetivo de formación (14) se sigue satisfaciendo.

5.2. Cálculo de la matriz de repulsión H

Considérese la Figura 19 en la que se representa el plano ${\textstyle {\Sigma }_{W}}$ de movimiento de los robots. Obsérvese la posición final deseada ${\textstyle {\mathit {\boldsymbol {\varphi }}}_{i}}$ para el punto objetivo ${\textstyle {\mathit {\boldsymbol {q}}}_{i}}$ del robot ${\textstyle {R}_{i}}$, y obsérvese el punto objetivo ${\textstyle {\mathit {\boldsymbol {q}}}_{j}}$ del robot ${\textstyle {R}_{j}}$. El espacio físico que ocupa cada robot se delimita por un círculo de radio ${\textstyle r}$. Ahora note el punto ${\textstyle {\mathit {\boldsymbol {O}}}_{ij}\in \,{\mathit {\mathbb {R} }}^{2}}$ a una distancia ${\textstyle 2r}$ de la posición del robot ${\textstyle {R}_{j}}$ sobre la línea que une los puntos ${\textstyle {\mathit {\boldsymbol {q}}}_{i}}$ y ${\textstyle {\mathit {\boldsymbol {q}}}_{j}}$, el cual expresa la mínima distancia permitida al robot ${\textstyle {R}_{i}}$para no colisionar con el robot ${\textstyle {R}_{j}}$; es decir

${\textstyle {\mathit {\boldsymbol {O}}}_{ij}={\mathit {\boldsymbol {q}}}_{j}+}$$2r{\frac {{\mathit {\boldsymbol {q}}}_{i}-{\mathit {\boldsymbol {q}}}_{j}}{\left\|{\mathit {\boldsymbol {q}}}_{i}-{\mathit {\boldsymbol {q}}}_{j}\right\|}}$. (40)

Figura 19. Esquema para la evasión de obstáculos.

Considérese además una matriz ${\textstyle {\mathit {\boldsymbol {H}}}_{r}\in \,{\mathit {\mathbb {R} }}^{N\times N}}$ con componentes del factor de repulsión ${\textstyle {h}_{ij}>0}$ (para ${\textstyle i,j=}$$1,2,\ldots ,N$ con ${\textstyle i\not =j}$) si existe una trayectoria direccionada desde ${\textstyle {R}_{j}}$ hasta ${\textstyle {R}_{i}}$, tal que el robot ${\textstyle {R}_{i}}$ disponga de la información de las variables de salida del robot ${\textstyle {R}_{j}}$ de forma directa o a través de otro robot en dicha trayectoria; ${\textstyle {h}_{ij}=}$$0$ en caso contrario. Los elementos ${\textstyle {h}_{ii}=}$$0$ (los componentes del factor de repulsión en la diagonal de ${\textstyle {\mathit {\boldsymbol {H}}}_{r}}$ son nulos). De esta manera, los componentes no nulos del factor de repulsión estarían dados por

${\textstyle {h}_{ij}={\frac {\alpha \mathrm {tanh} \,(\lambda \lbrace {q}_{iy}-L({q}_{ix})\rbrace \lbrace {\varphi }_{ix}-{q}_{jx}\rbrace )}{\left\|{q}_{i}-{O}_{ij}\right\|+\sigma }}}$, (41)

donde ${\textstyle \alpha ,\lambda >0\,}$ son ganancias para ponderar la magnitud de la repulsión, ${\textstyle \sigma }$ es un escalar positivo (muy pequeño sólo para evitar singularidades) y ${\textstyle L({q}_{ix})}$ es la evaluación en el punto ${\textstyle {q}_{ix}}$de la ecuación de la línea recta que une los puntos ${\textstyle {\mathit {\boldsymbol {\varphi }}}_{i}}$y ${\textstyle {\mathit {\boldsymbol {q}}}_{j}}$; es decir

${\textstyle L\left({q}_{ix}\right)={\frac {{\varphi }_{iy}-{q}_{jy}}{{\varphi }_{ix}-{q}_{jx}}}\left({q}_{ix}-\right.}$$\left.{q}_{jx}\right)+{q}_{jy}$. (42)

Finalmente, los elementos de la diagonal en la matriz ${\textstyle {\mathit {\boldsymbol {H}}}}$ son ${\textstyle {h}_{i}=}$$\sum _{j=1}^{N}{h}_{ij}\,$ para ${\textstyle i=}$$1,2,\ldots ,N$.

5.3. Simulación y experimento considerando el procedimiento para evitar colisiones

Considérese la red mostrada en la Figura 14 y descrita en la Sección 4.2, de tal forma que su matriz de componentes del factor de repulsión es

${\textstyle {\mathit {\boldsymbol {H}}}_{r}\,=\left[{\begin{matrix}0\\{h}_{21}\\{h}_{31}\\{h}_{41}\\{h}_{51}\end{matrix}}\,\,{\begin{matrix}0\\0\\{h}_{32}\\{h}_{42}\\{h}_{52}\end{matrix}}\,\,{\begin{matrix}0\\0\\0\\{h}_{43}\\{h}_{53}\end{matrix}}\,\,{\begin{matrix}0\\0\\{h}_{34}\\0\\{h}_{54}\end{matrix}}\,\,{\begin{matrix}0\\0\\0\\0\\0\end{matrix}}\right]}$ (43)

Por lo que la matriz ${\textstyle {\mathit {\boldsymbol {H=}}}diag\lbrace 0,{h}_{2},{h}_{3},{h}_{4},{h}_{5}\rbrace }$ donde ${\textstyle {h}_{2}=}$${h}_{21}$, ${\textstyle {h}_{3}=}$${h}_{31}+{h}_{32}+{h}_{34}$, ${\textstyle {h}_{4}=}$${h}_{41}+{h}_{42}+{h}_{43}$ y ${\textstyle {h}_{5}=}$${h}_{51}+{h}_{52}+{h}_{53}+{h}_{54}$.

En la Tabla 2 se muestran las condiciones iniciales y posiciones finales deseadas. Para el control de esta red se utilizó un líder virtual fijo en el origen del marco global, una fuerza global de acoplamiento ${\textstyle c=}$$1.25$, ganancia ${\textstyle {\mathit {\boldsymbol {D}}}=}$$diag\lbrace 1\,\,0\,\,0\,\,0\,\,0\rbrace$, ${\textstyle \alpha =}$$0.25,\,\,\lambda =12$ y ${\textstyle \sigma =}$$0.001$. El radio de delimitación ${\textstyle r}$ fue igual a ${\textstyle 0.1}$ m, el cual incluye una tolerancia de ${\textstyle 0.02}$ m.

Tabla 2. Condiciones de simulación y experimentación para la RR´s de la Figura 14 que incluye la ley con procedimiento para la no colisión.

$i$	${\textstyle {q}_{ix}(0)}$ [m]	${\textstyle {q}_{iy}(0)}$ [m]	${\textstyle {\theta }_{i}(0)}$ [rad]	${\textstyle {\varphi }_{ix}}$ [m]	${\textstyle {\varphi }_{iy}}$ [m]
1	-0.1955	0.1706	0.0568	0	0
2	-0.0390	-0.0020	-0.0267	0.3	0.3
3	-0.1620	0.3492	-3.0882	-0.3	0.3
4	-0.1135	-0.3512	3.0847	-0.3	-0.3
5	0.0261	-0.1846	-0.0542	0.3	-0.3

En el proceso de simulación y experimentación se han calculado las normas de separación ${\textstyle {N}_{ij}=}$$\left\|{q}_{i}-{q}_{j}\right\|$ entre todos los robots con la finalidad de apreciar el desempeño del procedimiento para evitar colisiones en conjunto con la ley para la formación. La Figura 20 presenta las magnitudes de las normas ${\textstyle {N}_{ij}}$ de separación. Debe esperarse que ninguna norma resulte menor a ${\textstyle 2\left(r-\right.}$$\left.0.02\right)=0.16$ m. En la Figura 20(a), obtenida mediante simulación sin incluir el procedimiento para evitar colisiones, se muestra que existe un conflicto de colisión entre los robots ${\textstyle {R}_{1}}$ y ${\textstyle {R}_{2}}$ (en algún momento ${\textstyle {N}_{21}<0.16}$ m). La Figura 20(b), también mediante simulación, muestra que este conflicto se elimina al incluir la acción para la no colisión. Nótese además que entre ${\textstyle {R}_{1}}$ y ${\textstyle {R}_{3}}$ existe una condición inicial cercana a ${\textstyle 2(r-}$$0.02)$ sin causar colisión en la evolución de las trayectorias de los robots. La Figura 20(c), obtenida mediante el experimento, muestra que con las ganancias utilizadas se resuelve la colisión entre ${\textstyle {R}_{1}}$ y ${\textstyle {R}_{2}}$ y no se genera ninguna otra colisión.

Figura 20. Normas ${\textstyle \left\|{q}_{i}-\right.}$$\left.{q}_{j}\right\|$ : (a) Simulada sin incluir el procedimiento para evitar colisiones, (b) Simulada incluyendo el procedimiento para evitar colisiones y (c) Experimento incluyendo el procedimiento para evitar colisiones.

La Figura 21 grafica la evolución de los errores de formación. La Figura 21(a) muestra el comportamiento de la evolución de los errores en simulación y sugiere un tiempo de ${\textstyle t\approx 8}$ s para alcanzar prácticamente el objetivo de formación fijado. La Figura 21(b) presenta la gráfica obtenida mediante el experimento.

Figura 21. Evolución de los errores: (a) En simulación, (b) En el experimento.

En la Figura 22 se observan las posiciones iniciales y finales para cada robot; así como las trayectorias seguidas por cada uno de ellos. En la Figura 22(a) se muestran las trayectorias en simulación sin incluir la ley para la no colisión. En la Figura 22(b) se presentan las trayectorias de los robots cuando se incluye la ley para la no colisión, obsérvese que en el experimento el robot ${\textstyle {R}_{1}}$ no sigue una línea recta (como en la simulación) debido a que se hace presente la acción para no colisionar con el robot ${\textstyle {R}_{3}}$, mismo que describe una trayectoria en arco para evitar colisionar tanto con el robot ${\textstyle {R}_{1}}$ como con el robot ${\textstyle {R}_{2}}$. El movimiento inicial del robot ${\textstyle {R}_{2}}$ en dirección opuesta a su posición final deseada se debe a la dependencia con los estados de ${\textstyle {R}_{1}}$, que al acercarse a ${\textstyle {R}_{2}}$ incrementa la acción de no colisión en este último. En general, las trayectorias de los cinco robots han sufrido cambios con la ley de no colisión en virtud de la naturaleza de la repulsión entre todos ellos. Para las trayectorias de este experimento y de igual manera que para las de la Figura 16, es notable el logro en una medida satisfactoria del objetivo propuesto.

Figura 22. (a) Trayectorias para la formación simuladas sin incluir el procedimiento para evitar colisiones, (b) Trayectorias para la formación en simulación y experimentación incluyendo el procedimiento para evitar colisiones.

6. Conclusiones

Se ha presentado un tutorial para formular una red de robots mediante la estrategia de acoplamiento difusivo estático, típica en teoría de grafos. Se ha propuesto una ley de control para lograr el objetivo de formación de una red homogénea de robots utilizando la metodología descrita. Se ha realizado la experimentación para demostrar la validez de la ley de control propuesta y se ha demostrado el cumplimiento del objetivo de formación mediante la teoría de estabilidad de Lyapunov. Se ha particularizado en la inserción de la ganancia de control en tan solo un robot que recibe la información de estados de un líder virtual con la condición de que exista una trayectoria direccionada desde tal robot hacia todos los robots restantes de la red. Finalmente, utilizando la misma topología externa de la red se ha propuesto y validado experimentalmente el objetivo de formación con procedimiento para evitar colisiones entre los robots.

Apéndice A

Detalle de la forma matricial de ${\textstyle {\overset {\cdot }{\mathit {\boldsymbol {e}}}}}$

Para ${\textstyle i=}$$1,2,\ldots ,N$ y de acuerdo a (15) se tiene

${\textstyle {\overset {\cdot }{{\mathit {\boldsymbol {e}}}_{i}}}={\mathit {\boldsymbol {u}}}_{i}-}$${\overset {\cdot }{\mathit {\boldsymbol {s}}}}$,

y considerando (13)

${\textstyle {\overset {\cdot }{{\mathit {\boldsymbol {e}}}_{i}}}=c\sum _{j=1}^{N}{g}_{ij}{\mathit {\boldsymbol {q}}}_{j}+}$${\mathit {\boldsymbol {\vartheta }}}_{i}-{\overset {\cdot }{\mathit {\boldsymbol {s}}}}$.

Ahora, sustituyéndole la ley de control propuesta (16) tenemos (note que ${\textstyle {\mathit {\boldsymbol {q}}}_{j}=}$${\mathit {\boldsymbol {e}}}_{j}+{\mathit {\boldsymbol {s}}}+{\mathit {\boldsymbol {\varphi }}}_{j}$)

${\begin{array}{l}{\overset {\cdot }{{\mathit {\boldsymbol {e}}}_{i}}}&\displaystyle =c\sum _{j=1}^{N}{g}_{ij}{\mathit {\boldsymbol {q}}}_{j}-c{d}_{i}{\mathit {\boldsymbol {e}}}_{i}-c\sum _{j=1}^{N}{g}_{ij}{\mathit {\boldsymbol {\varphi }}}_{j}+{\overset {\cdot }{\mathit {\boldsymbol {s}}}}-{\overset {\cdot }{\mathit {\boldsymbol {s}}}},\\&\displaystyle =c\sum _{j=1}^{N}{g}_{ij}({\mathit {\boldsymbol {e}}}_{j}+{\mathit {\boldsymbol {s}}}+{\mathit {\boldsymbol {\varphi }}}_{j})-c{d}_{i}{\mathit {\boldsymbol {e}}}_{i}-c\sum _{j=1}^{N}{g}_{ij}{\mathit {\boldsymbol {\varphi }}}_{j},\\\displaystyle &=c\sum _{j=1}^{N}{g}_{ij}{\mathit {\boldsymbol {e}}}_{j}+c\sum _{j=1}^{N}{g}_{ij}{\mathit {\boldsymbol {s}}}+c\sum _{j=1}^{N}{g}_{ij}{\mathit {\boldsymbol {\varphi }}}_{j}-c{d}_{i}{\mathit {\boldsymbol {e}}}_{i}-c\sum _{j=1}^{N}{g}_{ij}{\mathit {\boldsymbol {\varphi }}}_{j},\\\displaystyle &=c\sum _{j=1}^{N}{g}_{ij}{\mathit {\boldsymbol {e}}}_{j}+c\sum _{j=1}^{N}{g}_{ij}{\mathit {\boldsymbol {s}}}-c{d}_{i}{\mathit {\boldsymbol {e}}}_{i}.\end{array}}$

Dado que ${\textstyle {\mathit {\boldsymbol {G}}}}$ es difundida

${\textstyle {\overset {\cdot }{{\mathit {\boldsymbol {e}}}_{i}}}=}$$c\sum _{j=1}^{N}{g}_{ij}{\mathit {\boldsymbol {e}}}_{j}-c{d}_{i}{\mathit {\boldsymbol {e}}}_{i}$.

El desarrollo de ${\textstyle {\overset {\cdot }{\mathit {\boldsymbol {e}}}}_{i}}$ para ${\textstyle i=}$$1,2,\ldots ,N$ es

${\textstyle {\overset {\cdot }{\mathit {\boldsymbol {e}}}}_{1}=c\left\{{g}_{11}{e}_{1}+\right.}$$\left.{g}_{12}{e}_{2}+\ldots +{g}_{1N}{e}_{N}\right\}-c{d}_{1}{e}_{1}$, ${\textstyle {\overset {\cdot }{\mathit {\boldsymbol {e}}}}_{2}=c\left\{{g}_{21}{e}_{1}+\right.}$$\left.{g}_{22}{e}_{2}+\ldots +{g}_{2N}{e}_{N}\right\}-c{d}_{2}{e}_{2}$, $\vdots$ ${\textstyle {\overset {\cdot }{\mathit {\boldsymbol {e}}}}_{N}=c\left\{{g}_{N1}{e}_{1}+\right.}$$\left.{g}_{N2}{e}_{2}+\ldots +{g}_{NN}{e}_{N}\right\}-c{d}_{N}{e}_{N}$,

ó bien en forma matricial

${\textstyle \left[{\begin{matrix}{\overset {\cdot }{\mathit {\boldsymbol {e}}}}_{1}\\{\overset {\cdot }{\mathit {\boldsymbol {e}}}}_{2}\\\vdots \\{\overset {\cdot }{\mathit {\boldsymbol {e}}}}_{N}\end{matrix}}\right]=}$$c\left[{\begin{matrix}{g}_{11}\\{g}_{21}\\\vdots \\{g}_{N1}\end{matrix}}\quad {\begin{matrix}{g}_{12}\\{g}_{22}\\\vdots \\{g}_{N2}\end{matrix}}\quad {\begin{matrix}\ldots \\\ldots \\\ddots \\\ldots \end{matrix}}\quad {\begin{matrix}{g}_{1N}\\{g}_{2N}\\\vdots \\{g}_{NN}\end{matrix}}\right]\left[{\begin{matrix}{\mathit {\boldsymbol {e}}}_{1}\\{\mathit {\boldsymbol {e}}}_{2}\\\vdots \\{\mathit {\boldsymbol {e}}}_{N}\end{matrix}}\right]-$$c\left[{\begin{matrix}{d}_{1}\\0\\\vdots \\0\end{matrix}}\quad {\begin{matrix}0\\{d}_{2}\\\vdots \\0\end{matrix}}\quad {\begin{matrix}\ldots \\\ldots \\\ddots \\\ldots \end{matrix}}\quad {\begin{matrix}0\\0\\\vdots \\{d}_{N}\end{matrix}}\right]\left[{\begin{matrix}{\mathit {\boldsymbol {e}}}_{1}\\{\mathit {\boldsymbol {e}}}_{2}\\\vdots \\{\mathit {\boldsymbol {e}}}_{N}\end{matrix}}\right]$ ${\textstyle =c\left(\left[{\begin{matrix}{g}_{11}\\{g}_{21}\\\vdots \\{g}_{N1}\end{matrix}}\quad {\begin{matrix}{g}_{12}\\{g}_{22}\\\vdots \\{g}_{N2}\end{matrix}}\quad {\begin{matrix}\ldots \\\ldots \\\ddots \\\ldots \end{matrix}}\quad {\begin{matrix}{g}_{1N}\\{g}_{2N}\\\vdots \\{g}_{NN}\end{matrix}}\right]-\right.}$$\left.\left[{\begin{matrix}{d}_{1}\\0\\\vdots \\0\end{matrix}}\quad {\begin{matrix}0\\{d}_{2}\\\vdots \\0\end{matrix}}\quad {\begin{matrix}\ldots \\\ldots \\\ddots \\\ldots \end{matrix}}\quad {\begin{matrix}0\\0\\\vdots \\{d}_{N}\end{matrix}}\right]\right)\left[{\begin{matrix}{\mathit {\boldsymbol {e}}}_{1}\\{\mathit {\boldsymbol {e}}}_{2}\\\vdots \\{\mathit {\boldsymbol {e}}}_{N}\end{matrix}}\right]$

y dado que el acoplamiento corresponde a una red homogénea con ${\textstyle {\mathit {\boldsymbol {\Gamma }}}_{ij}=}$${I}_{2}$ para ${\textstyle i,j=}$$1,2,\ldots ,N$

${\textstyle \left[{\begin{matrix}{\overset {\cdot }{e}}_{11}\\{\overset {\cdot }{e}}_{12}\\{\overset {\cdot }{e}}_{21}\\\vdots \\{\overset {\cdot }{e}}_{N2}\end{matrix}}\right]=}$$c\left(\left[{\begin{matrix}{g}_{11}{I}_{2}\\{g}_{21}{I}_{2}\\\vdots \\{g}_{N1}{I}_{2}\end{matrix}}\quad {\begin{matrix}{g}_{12}{I}_{2}\\{g}_{22}{I}_{2}\\\vdots \\{g}_{N2}{I}_{2}\end{matrix}}\quad {\begin{matrix}\ldots \\\ldots \\\ddots \\\ldots \end{matrix}}\quad {\begin{matrix}{g}_{1N}{I}_{2}\\{g}_{2N}{I}_{2}\\\vdots \\{g}_{NN}{I}_{2}\end{matrix}}\right]-\right.$$\left.\left[{\begin{matrix}{d}_{1}{I}_{2}\\0{I}_{2}\\\vdots \\0{I}_{2}\end{matrix}}\quad {\begin{matrix}0{I}_{2}\\{d}_{2}{I}_{2}\\\vdots \\0{I}_{2}\end{matrix}}\quad {\begin{matrix}\ldots \\\ldots \\\ddots \\\ldots \end{matrix}}\quad {\begin{matrix}0{I}_{2}\\0{I}_{2}\\\vdots \\{d}_{N}{I}_{2}\end{matrix}}\right]\right)\left[{\begin{matrix}{e}_{11}\\{e}_{12}\\{e}_{21}\\\vdots \\{e}_{N2}\end{matrix}}\right]$

o bien

${\textstyle \left[{\begin{matrix}{\overset {\cdot }{e}}_{11}\\{\overset {\cdot }{e}}_{12}\\{\overset {\cdot }{e}}_{21}\\\vdots \\{\overset {\cdot }{e}}_{N2}\end{matrix}}\right]=}$$c\left(\left(\left[{\begin{matrix}{g}_{11}\\{g}_{21}\\\vdots \\{g}_{N1}\end{matrix}}\quad {\begin{matrix}{g}_{12}\\{g}_{22}\\\vdots \\{g}_{N2}\end{matrix}}\quad {\begin{matrix}\ldots \\\ldots \\\ddots \\\ldots \end{matrix}}\quad {\begin{matrix}{g}_{1N}\\{g}_{2N}\\\vdots \\{g}_{NN}\end{matrix}}\right]-\right.\right.$$\left.\left.\left[{\begin{matrix}{d}_{1}\\0\\\vdots \\0\end{matrix}}\quad {\begin{matrix}0\\{d}_{2}\\\vdots \\0\end{matrix}}\quad {\begin{matrix}\ldots \\\ldots \\\ddots \\\ldots \end{matrix}}\quad {\begin{matrix}0\\0\\\vdots \\{d}_{N}\end{matrix}}\right]\right)\otimes {I}_{2}\right)\left[{\begin{matrix}{e}_{11}\\{e}_{12}\\{e}_{21}\\\vdots \\{e}_{N2}\end{matrix}}\right]$

que resulta en

${\textstyle {\overset {\cdot }{\mathit {\boldsymbol {e}}}}=c\left(\left({\mathit {\boldsymbol {G}}}-\right.\right.}$$\left.\left.{\mathit {\boldsymbol {D}}}\right)\otimes {\mathit {\boldsymbol {I}}}_{2}\right){\mathit {\boldsymbol {e}}}$,

es decir

${\begin{array}{ll}{\overset {\cdot }{\mathit {\boldsymbol {e}}}}&=-c\left(\left({\mathit {\boldsymbol {D}}}-{\mathit {\boldsymbol {G}}}\right)\otimes {\mathit {\boldsymbol {I}}}_{2}\right){\mathit {\boldsymbol {e}}},\\&=-{\mathit {\boldsymbol {F}}}{\mathit {\boldsymbol {e}}}.\blacksquare \end{array}}$

Agradecimientos

Se agradece el apoyo financiero del Tecnológico Nacional de México, del Instituto Tecnológico de Ensenada, del PRODEP y del CONACYT (Proyecto 166654).

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