Abstract: Gas distributive network in settlements are usually with contours, which assure that gas is available for consumers from few different directions. By application of concept of looped network least possible number of consumers can remain without gas in the case of malfunction in some branch. But, calculation of these types of networks is much more complicated compared with branch type of network. Here is shown example of one possible way of improvement of iterative procedure during the calculation of network according to Hardy Cross method.
Keywords: Natural Gas, Distribution Network, Hardy Cross.
1. УВОД
Харди Крос метод се врло често у користи за прорачун, односно оптимизацију прстенастих гасних дистрибутивних мрежа, било да је примењен у оригиналном облику [1] или у коригованом облику какав је првенствено развијен за потребе пројектовања водоводних система [2] (тзв. нумеричко решење Њутновом методом1 за систем нелинеарних алгебарских једначина), и који је овде прилагођен за оптимизацију [3] прстенасте гасне дистрибутивне мреже. Харди Крос (Hardy Cross; 1885-1959, амерички инжењер), је развио још 1936. године метод за прорачун стационарног протока некомпресибилног флуида [1] (односно избора оптималне структуре пречника цеви у мрежи). Узимајући да је пад притисака у дистрибутивној мрежи доста мали, може се без великих грешака сматрати да се природни гас у овом типу мрежа понаша као течност. Када се метод користи за прорачун водоводних мрежа прстенастог типа, уместо Реноарове (енг. Renouard) (5) једначине [4], која се уобичајено користи за опис протока гаса при датим условима који владају у цевоводу, користе се друге прикладније једначине као што су Дарси-Вајсбах (енг. Darcy-Weisbach), односно Хазен-Вилијамс (енг. Hazen-Williams). Овај метод се не може користити у случају нестационарног протока некомпресибилног флуида, односно у случају када у мрежи владају велики падови притисака, тј. када су силе инерције које владају у флуиду велике.
2. МАТЕМАТИЧКИ ОПИС МРЕЖЕ
Харди-Крос методом прорачуна унапред се одабира максимална потрошња по чворовима на основу потреба потрошача дуж деонице, и једно или више места за напајање дистрибутивне мреже (Слика 1). Ови параметри су константе у прорачуну. У пракси потрошачи су распоређени дуж појединих грана мреже целом дужином. Сва потрошња дуж одређене гране се своди на потрошњу у чвору.
Прорачун мреже се даље врши тако да се као резултат прорачунају протоци кроз деонице у зависности од изабраног пречника цеви. На крају се врши провера дозвољених брзина струјања гаса по деоницама и падови притисака, односно притисци у чворовима. Ако је брзина протока већа од дозвољене, за такве деонице се бира већи пречник и цео прорачун се понавља. Ограничење брзине је 6 m/s за цеви мањег пречника (од 0,09 m до 0,225 m) и 12 m/s за цеви већег пречника (преко 0,225 m) [5]. На основу првих претпоставки протока, бирају се унутрашњи пречници по следећој формули (1):
|
(1) |
У овој формули (1) фигурише вредност протока (Qa [m3/s]) на условима притиска који влада у мрежи (v-брзина [m/s], Ac-површина попречног пресека цеви [m2], Du-унутрашњи пречник цеви [m]). Уколико у дистрибутивној мрежи влада надпритисак од 3·105 Pa, односно pa=4·105 Pa aпсолутних, потребно је свести вредности протока са нормалних услова према пропорцији pa·Qa=pn·Qn. За овако добијене вредности унутрашњих пречника бирају се најближе стандардне цеви du (du~Du). Изабрани пречници могу остати даље током прорачуна непроменљиви, док се повећање пречника у деоницама у којима је прекорачена дозвољена брзина врши на крају уз обавезно понављање прорачуна.
Падови притисака се по договору узимају са позитивним предзнаком уколико се смер обилажења контуре поклопи са смером протока гаса, и обрнуто. Први Кирхофов закон мора бити задовољен у сваком тренутку. Међутим, у итеративном поступку услов по другом Кирхофовом закону бива задовољен тек у каснијим итерацијама (алгебарски збир падова притисака по контурама ковергира ка 0). Прорачун је сложенији него код електричних кола зато што еквивалент електричног отпора у гасним мрежама није константна величина већ зависи од протока и притиска (разлика притисака је аналогна електричном напону, док је протоку аналогна електрична струја). За N-1 чворова може од исто толико независних једначина континуитета (2) по првом кирхофовом закону, за мрежу која има X цеви:
|
(2) |
| Цев припада чвору, смер протока ка чвору |
| Цев не припада чвору |
| Цев припада чвору, смер протока из чвора |
Ако се мрежа напаја из више извора, тада те количине гаса које улазе у мрежу преко других чворова фигурирају у једначини (2) као Q са знаком минус [6], док се тај исти члан у матрици [Q] појављује са негативним предзнаком. Јeдначина (2) у матричном облику може да се напише као; [sgn(Q)]* *[Q]=[Qoutput], односно; за случај мреже са слике 1, може се написати (2а):
(2а)
За независне контуре може се написати скуп od X-N+1 независних једначина одржања енергије по другом кирхофовом закону (3):
|
(3) |
| Цев припада контури, смер обиласка и смер протока се поклапају |
| Цев не припада контури, |
| Цев припада контури, смер обиласка и смер протока се не поклапају |
Односно; у матричном облику као [sgn(Δp)]·[Δp]=0, Такође, за мрежу са слике 1 може се написати (3а):
(3а)
Једначина (4) служи као провера тачности поступка и мора бити задовољена у свакој итерацији ([Z]T је транспонована матрица [Z]). Уколико су једначине формиране без грешке мора бити задовољен услов (4):
[sgn(Q)]·[sgn(Δp)]T=0 (4)
Свака формула [4] за одређивање пада притиска при протоку гаса за средње и високе притиске може се изразити у облику p22-p12=R·Qn, и у облику p2-p1=R·Qn за ниске притиске испод 5 kPa, као нпр. Реноарова једначина (енг. Renouard) (5) за прорачун дистрибутивних мрежа средњег притиска:
|
(5) |
може се написати у облику Δp2=R·Qn, где је: n=1,82, ρr-релативна густина гаса, L-дужина цеви [m], a
(5а)
3. МЕТОД КОНТУРА – ОПШТЕ РЕШЕЊЕ
Два типа метода су уобичајена за решавање једначина контура:
- Харди Крос метод [1], [5], [7-9]; тј. метод појединачних прорачуна поправки за сваку контуру посебно, (енг. successive substitution method; single loop adjustment method)
- Модификовани Харди Крос метод [2], [6, 7]; тј. метод једновременог израчунавања поправки за све контуре (енг. simultaneous loop solution method)
Модификовани Харди Крос метод спада у групу тзв. Њутн-Рапсон метода (енг. Newton-Raphson method).
Решење (протоци кроз цеви) зависи од улазне количине гаса у мрежу кроз улазни чвор (чворове) и потрошње по чворовима, као и одабраних пречника и дужина цеви и за такав систем је јединствено уз константне вредности притиска на улазима (тј. улазу). Уколико за потпуно исте наведене податке одаберемо различите почетне иницијалне протоке по цевима резултат ће конвергирати истом решењу после мање или више итерација.
Међутим, постоје случајеви када поједине цеви у реалности могу бити напајане двострано [10]. При прорачуну по Харди Крос методи, сва потрошња дуж деоница се придружује чворовима и кроз све цеви се предвиђа смер протока (од почетног граничног чвора до другог крајњег граничног чвора). Ово поједностављење искључује могућност да поједине деонице у појединим режимима рада мреже могу бити напајане двостано, односно да две зграде које су везане на исту деоницу повлаче гас из два различита гранична (себи ближа) чвора. Ово узрокује да се зона минималног притиска јави негде између два чвора, чиме реално стање у цеви не може просто бити описано. Ипак ова појава није занимљива за разматрање прорачуна мреже ако се не јавља при прорачунским (максималним) вредностима јер се у зависности од тренутне потрошње и распореда потрошача, може јавити бесконачно много дистрибуција протока по цевима које увек задовољавају јер су по дефиницији сви ови протоци мањи од прорачунских вредности. Међутим, ако се овај случај, двострано напајаних деоница јави при прорачунским условима (обично код симетричних мрежа), вредности протока по деоницама у итеративном поступаку могу да дивергирају. Решење је промена методе прорачуна, или што је још боље промена топологије мреже (распореда цеви), чиме се искључује опасност да неки од потрошача остану без гаса при највећем оптерећењу (они су обично на срединама деоница – удаљени од чворова).
Критеријуми за прекид итеративног поступка су [11]:
- Вредност алгебарске суме падова притисака по свим контурама мреже мора пасти испод унапред задате мале вредности,
- Разлика између израчунатих вредности протока за сваку цев у две узастопне итерације мора пасти испод унапред задате мале вредности,
- Разлика између израчунатих вредности поправки протока за сваку контуру у две узастопне итерације мора пасти испод унапред задате мале вредности, итд.
3.1 ХАРДИ КРОС МЕТОД2
Оптимизација мреже по оригиналној Харди Крос методологији се може спровести према једначини (6) и правилима за алгебарско сабирање поправки из главе 4 овога рада.
|
(6) |
F(Q) је алгебарски збир једначина за пад притисака (или њихових квадрата) по цевима у контури (5) по контурама (други кирхофов закон). Поступак се понавља у итеративном поступку (са m је означена текућа итерација) док се не достигне унапред задата тачност.
3.2 МОДИФИКОВАНИ ХАРДИ КРОС МЕТОД3
Систем једначина F(Q) написаних за сваку контуру може се нумерички решити Њутновом методом тако да се поправке за сваку контуру добију истовремено. У матричном облику систем се може записати као (7):
|
(7) |
где је матрица непознатих корекција за случај са слике 1 у итерацији m (7а):
, (7a)
док је једначина падова притисака по контурама у итерацији (m-1) (7b):
(7b)
Једначину (7) је најбоље решавати у матричном облику. Сходно Тејлоровој (енг. Taylor) формули, добија се Јакобијан (енг. Jacobian) матрица (8) првих извода једначина алгебарских збирова (квадрата) падова притисака по контурама (где је проток променљива по којој се диференцира) за итерацију означену као (m-1). Матрица извода је квадратна (има онолико редова и колона колико гасна мрежа има независних контура) и симетрична у односу на главну дијагоналу. Редови у матрици (8) одговарају утицајима заједничких цеви које посматрана контура има са другим контурама. Дакле, главну дијаголу чине чланови који чије су вредности исте као и у оригиналном Харди Крос методу, тј. то су збирови апсолутних вредности извода падова притисака за сваку цев у контури. Остали чланови су изводи падова притисака за сваку цев из суседних контура које су заједничке са предметном контуром (ако их нема онда су ти чланови једнаки нули). У оригиналном Харди Крос методу из 1936. године сви елементи ван главне дијагоналке су једнаки нули.
|
(8) |
За пример са слике 1, претходна матрица (8) постаје (8а). Ако се све контуре описују у истом смеру, а нема цеви које се укрштају, сви чланови ван главне дијагонале у матрици градијената су са негативним предзнаком. Чланови на главној дијагонали су увек позитивни. Поступак се даље одвија итеративно као у случају оригиналног Харди Крос метода.
File:Draft Brkic 289707814-image19.png (8а)
У ј-ни (8а) се у члановима ван главне дијагонале појављује као аргумент само проток кроз цев 2 (пример мреже са слике 1) пошто је ова цев једина заједничка у две за овај случај једине контуре.
4. АЛГЕБАРСКИ ЗНАК ПОПРАВКИ ПРОТОКА
Горњи знак који се обично пише уз поправни проток корекције која потиче из суседне контуре (Δ2) при прорачуну; + (плус) или – (минус), указује нам на начин обилажења суседне контуре у односу на претпостављени смер протока. Уколико се смер претпостављеног протока поклопи са смером обилажења суседне контуре усваја се горњи знак + (плус), у супротном – (минус). Доњи знак се преписује из прве поправке суседне контуре са којом постоји заједничка цев. Корекција Δ1 се односи на припадајућу контуру, док се корекција Δ2 усваја из контура којима припадају заједничке цеви.
Алгебарско сабирање треба извршити на основу следећих правила [8, 9], [12]:
- 1. Алгебарски знак за поправку Δ1 треба узети са различитим предзнаком од свог знака, тј. потребно је сабрати када је знак – (минус), и обрнуто;
- 2. Алгебарска операција за поправку Δ2 треба да буде супротна од њеног доњег знака када је горњи знак исти као онај уз проток срачунат у претходној итерацији (односно у првој итерацији знак уз претпостављен иницијални проток), у супротном је исти као доњи знак.
5. ЗАКЉУЧАК
Оптимизацијом оригиналног Харди Крос метода, тј. увођењем модификованог Харди Крос метода смањује се број потребних итерација за око пет пута да би се достигла иста тачност.
У наставку се као сликовити закључак дају Слика 2 која приказује пад притиска за једну контуру сложене дистрибутивне мреже и Слика 3 која приказује промену поправног протока за исту контуру, који се добијају по итерацијама примењујући оба метода.
ЛИТЕРАТУРА
[1]. Cross H. Analysis of flow in networks of conduits or conductors. Engineering Experimental Station 1936; 286
[2]. Epp R, Fowler A.G. Efficient code for steady flows in networks. Journal of Hydraulics Division 1970; 96: 43-56
[3]. Петрић Ј. „Операцина истраживања”; Нелинеарно програмирање, Научна Књига, Београд 1979.
[4]. Coelho P. M, Pinho C. Considerations about equations for steady state flow in natural gas pipelines. Journal of the Brazilian Society of Mechanical Sciences and Engineering 2007, 3: 262-73
[5]. Manojlović V, Arsenović M, Pajović V. Optimized design of a gas-distribution pipeline network. Applied Energy 1994, 48: 217-24
[6]. Крстић М. Алгоритми за израчунавање стационарне расподеле протока и притисака у дистрибутвним гасоводним мрежама. Нафта 1991; 41: 265-73
[7]. Boulos P.F, Lansey K.E, Karney B.W. Comprehensive water distribution systems analysis handbook for engineers and planners. 2nd ed. Hardback: MWH; 2006
[8]. Corfield G, Hunt BE, Ott RJ, Binder GP, Vandaveer FE. Distribution Design for Increased Demand. In: Segeler CG, editor. Gas Engineers Handbook, New York: Industrial Press; 1973, p. 9/63-9/83
[9]. Бркић Д. Пројектовање посебне класе гасних дистрибутивних мрежа. Истраживања и пројектовања за привреду 2005, 9: 49-56
[10]. Калуђерчић П. Проблем двострано напајаних дионица у гасној дистрибутивној мрежи. Гас 2002, 2-3: 48-51
[11]. Бркић Д, Ђајић Н. Повећање тачности при прорачуну гасне дистрибутивне мреже Харди-Крос методом; XXXII Symopis 2005. Врњачка Бања; 187-90
[12]. Бркић Д. „Природни гас као гориво за грејање”; Задужбина Андрејевић, Београд 2006.
(1) на енглеском језику познатији као Newton-Raphson method
(2) енг. successive substitution-single loop adjustment method
(3) енг. simultaneous loop solution method
Document information
Published on 01/01/2008
Licence: CC BY-NC-SA license
Share this document
Keywords
claim authorship
Are you one of the authors of this document?