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== Abstract ==
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==1 Introducción ==
  
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In this work bending in two planes of long fiber composite laminates is proposed as a test method for knowing the behaviour of this material in case of combined loads. Different samples have been manufactured and tested using carbon/epoxy T6T/F593 material. Three cases have been considered dendending on the value of the ratio between normal stress in fiber direction and normal stress in direction perpendicular to fibre: less tan 1, equal to 1 and greater than 1.
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<span id='_Ref481775622'></span>Tsai and Wu [<span id='cite-1'></span>[[#1|1]]] propusieron un criterio de fallo para materiales anisótropos sometidos a estados de tensión complejos. Mujika [<span id='cite-2'></span>[[#2|2]]] propuso una nueva aproximación para el ensayo de flexión de 3 puntos de laminados multidireccionales basada en métodos energéticos. En este trabajo se pretende conocer el comportamiento de laminados composite unidireccionales frente a un estado de tensión plano debido a la existencia de momentos flectores en 2 planos.
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In all cases failure has been related to matrix failure, being a linear relation between stress and deformation until failure. Stress values have been analized by three failure criteria: Rankine, Tsai-Wu and maximum strain energy. Rankine criteria fits well the first two cases. The parameter of Tsai-Wu criteria between normal stresses in fiber direction and normal stresses in direction perpendicular to fibre has been obtained using experimental results. When stress in fiber direction is much greater than stress in direction perpendicular to fiber, this small stress can be ignored in the calculus of maximum strain energy.
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== Full document ==
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==2 Aproximación analítica==
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<pdf>Media:Draft_Content_908512468native-articles-202.pdf</pdf>
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En la figura Figura 1 se muestra la configuración del ensayo realizado con flexión en dos planos.
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[[File:Carbajal_Mujika_2019a-image5.jpeg|centre|600x600px]]
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<div class="center" style="width: auto; margin-left: auto; margin-right: auto;">
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<span style="text-align: center; font-size: 75%;">'''Figura 1.''' Ensayo de flexión en dos planos.</span></div>
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Se han calculado las tensiones máximas en dirección de la fibra ''σ''<sub>x</sub> y en dirección perpendicular a la fibra ''σ''<sub>y</sub>
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{| class="formulaSCP" style="width: 100%; text-align: center;"
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{| style="text-align: center; margin:auto;"
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| <math display="inline">\begin{matrix}{\sigma }_{x}=\frac{3P{L}_{x}}{2b{h}^{2}}\\{\sigma }_{y}=\frac{3P{L}_{y}}{2L{h}^{2}}\end{matrix}</math>
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| style="width: 5px;text-align: right;white-space: nowrap;" | (1)
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donde ''P'' es la máxima carga, ''L''<sub>x</sub> es la luz entre apoyos en dirección de la fibra, ''L''<sub>y</sub> es la luz entre apoyos en dirección perpendicular a la fibra, L es la longitud total en dirección ''x'' y b es la longitud en dirección perpendicular a la pieza del laminado.
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Asimismo se define ''B'' como el ratio entre las tensiones σ<sub>x</sub> y σ<sub>y.</sub>
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{| class="formulaSCP" style="width: 100%; text-align: center;"
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{| style="text-align: center; margin:auto;"
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| <math display="inline">B=\frac{{\sigma }_{x}}{{\sigma }_{y}}</math>
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| style="width: 5px;text-align: right;white-space: nowrap;" | (2)
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Sustituyendo las ecuaciones (1) en la ecuación (2) y considerando la condición de L/b = L<sub>x</sub>/ L<sub>y </sub>
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{| class="formulaSCP" style="width: 100%; text-align: center;"
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{| style="text-align: center; margin:auto;"
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| <math display="inline">B={\left( \frac{{L}_{x}}{{L}_{y}}\right) }^{2}</math>
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| style="width: 5px;text-align: right;white-space: nowrap;" | (3)
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Si se define ''t ''como el ratio entre las luces L<sub>x</sub> y L<sub>y </sub>la ecuación (3) se puede expresar
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{| class="formulaSCP" style="width: 100%; text-align: center;"
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{| style="text-align: center; margin:auto;"
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| <math display="inline">B={t}^{2}</math>
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| style="width: 5px;text-align: right;white-space: nowrap;" | (4)
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De acuerdo a la ecuación (4) la relación de tensiones σ<sub>x</sub> y σ<sub>y</sub> es igual al cuadrado de la relación entre luces ''L''<sub>x</sub> y ''L''<sub>y</sub>.
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El criterio de Tsai-Wu [<span id='cite-_Ref481775622'></span>[[#_Ref481775622|1]]] para caso de tensión plana cuando las únicas tensiones distintas de cero son σ<sub>x </sub>y σ<sub>y</sub> se expresa
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{| class="formulaSCP" style="width: 100%; text-align: center;"
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|-
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{| style="text-align: center; margin:auto;"
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|-
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| <math display="inline">{{F}_{11}\sigma }_{x}^{2}+{{F}_{22}\sigma }_{y}^{2}+{F}_{1}{\sigma }_{x}+</math><math>{F}_{2}{\sigma }_{y}+{F}_{12}{{\sigma }_{x}\sigma }_{y}=1</math>
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| style="width: 5px;text-align: right;white-space: nowrap;" | (5)
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donde los parámetros ''F''<sub>11</sub>, ''F''<sub>22</sub>, ''F''<sub>1</sub> y ''F''<sub>2</sub> se obtienen a partir de estados uniaxiales de tensión mediante la siguientes expresiones
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{| class="formulaSCP" style="width: 100%; text-align: center;"
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|-
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{| style="text-align: center; margin:auto;"
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|-
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| <math display="inline">\begin{matrix}{F}_{11}=\frac{1}{{X}_{t}\left| {X}_{c}\right| }&{F}_{22}=\frac{1}{{Y}_{t}\left| {Y}_{c}\right| }\\{F}_{1}=\frac{1}{{X}_{t}}-\frac{1}{\left| {X}_{c}\right| }&{F}_{2}=\frac{1}{{Y}_{t}}-\frac{1}{\left| {Y}_{c}\right| }\end{matrix}</math>
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|}
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| style="width: 5px;text-align: right;white-space: nowrap;" | (6)
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siendo ''X''<sub>t</sub> la resistencia a tracción longitudinal, ''X''<sub>c </sub>la resistencia a compresión longitudinal, ''Y''<sub>t </sub>la resistencia a tracción transversal e ''Y''<sub>c</sub> la resistencia a compresión transversal.
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Sin embargo el parámetro F<sub>12</sub> precisa de un estado biaxial de tensiones  para su obtención [<span id='cite-3'></span>[[#3|3]]].
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En la ecuación (5) se puede despejar F<sub>12</sub>
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{| class="formulaSCP" style="width: 100%; text-align: center;"
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|-
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{| style="text-align: center; margin:auto;"
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|-
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| <math display="inline">{F}_{12}=\frac{1-{{F}_{11}\sigma }_{x}^{2}+{{F}_{22}\sigma }_{y}^{2}+{F}_{1}{\sigma }_{x}+{F}_{2}{\sigma }_{y}}{{{\sigma }_{x}\sigma }_{y}}</math>
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|}
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| style="width: 5px;text-align: right;white-space: nowrap;" | (7)
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|}
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Utilizando el criterio de la máxima energía de deformación para tensión plana cuando las únicas tensiones distintas de cero son σ<sub>x </sub>y σ<sub>y </sub>con valores de B mucho mayores que 1 la máxima energía de deformación por unidad de volumen U<sub>0</sub> se puede aproximar al valor correspondiente al estado uniaxial de tensiones
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{| class="formulaSCP" style="width: 100%; text-align: center;"
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|-
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{| style="text-align: center; margin:auto;"
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|-
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| <math display="inline">{U}_{0}=\frac{{\sigma }_{x}^{2}}{2{E}_{L}}</math>
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|}
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| style="width: 5px;text-align: right;white-space: nowrap;" | (8)
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donde E<sub>L </sub>es el módulo longitudinal del material.
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==3 Parte experimental==
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Se han fabricado laminados de espesores nominales 2 y 3,5 mm y se han ensayado hasta rotura laminados con valores de t 0,25, 1, ,4, 5, 6 y 7 que corresponden a valores de B 0,0625, 1, 16, 25, 36 y 49.
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En la Tabla 1 se muestran las dimensiones de las muestras
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{| style="width: 100%;margin: 1em auto 0.1em auto;border-collapse: collapse;"
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|-
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|  style="border-bottom: 2pt solid black;text-align: center;vertical-align: top;"|
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|  colspan='4'  style="border-bottom: 2pt solid black;text-align: center;"|<span style="text-align: center; font-size: 75%;">'''Tabla 1.''' Dimensiones de las muestras </span>
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|  style="border-bottom: 2pt solid black;text-align: center;vertical-align: top;"|
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|-
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|  style="border-top: 2pt solid black;border-bottom: 1pt solid black;text-align: right;vertical-align: top;"|<span style="text-align: center; font-size: 75%;">Muestra</span>
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|  style="border-top: 2pt solid black;border-bottom: 1pt solid black;text-align: right;"|<span style="text-align: center; font-size: 75%;">L<sub>x</sub>(mm)</span>
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|  style="border-top: 2pt solid black;border-bottom: 1pt solid black;text-align: right;vertical-align: top;"|<span style="text-align: center; font-size: 75%;">L<sub>y</sub> (mm)</span>
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|  style="border-top: 2pt solid black;border-bottom: 1pt solid black;text-align: right;"|<span style="text-align: center; font-size: 75%;">L(mm)</span>
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|  style="border-top: 2pt solid black;border-bottom: 1pt solid black;text-align: right;vertical-align: top;"|<span style="text-align: center; font-size: 75%;">b(mm)</span>
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|  style="border-top: 2pt solid black;border-bottom: 1pt solid black;text-align: right;vertical-align: top;"|<span style="text-align: center; font-size: 75%;">h(mm)</span>
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|-
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|  style="border-top: 2pt solid black;border-bottom: 1pt solid black;text-align: right;vertical-align: top;"|<span style="text-align: center; font-size: 75%;">0.25-20-2</span>
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|  style="border-top: 2pt solid black;border-bottom: 1pt solid black;text-align: right;"|<span style="text-align: center; font-size: 75%;">20</span>
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|  style="border-top: 2pt solid black;border-bottom: 1pt solid black;text-align: right;vertical-align: top;"|<span style="text-align: center; font-size: 75%;">80</span>
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|  style="border-top: 2pt solid black;border-bottom: 1pt solid black;text-align: right;"|<span style="text-align: center; font-size: 75%;">25,4</span>
 +
|  style="border-top: 2pt solid black;border-bottom: 1pt solid black;text-align: right;vertical-align: top;"|<span style="text-align: center; font-size: 75%;">101,1</span>
 +
|  style="border-top: 2pt solid black;border-bottom: 1pt solid black;text-align: right;vertical-align: top;"|<span style="text-align: center; font-size: 75%;">2,00</span>
 +
|-
 +
|  style="border-top: 1pt solid black;border-bottom: 1pt solid black;text-align: right;vertical-align: top;"|<span style="text-align: center; font-size: 75%;">1-40-2</span>
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|  style="border-top: 1pt solid black;border-bottom: 1pt solid black;text-align: right;"|<span style="text-align: center; font-size: 75%;">40</span>
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|  style="border-top: 1pt solid black;border-bottom: 1pt solid black;text-align: right;vertical-align: top;"|<span style="text-align: center; font-size: 75%;">20</span>
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|  style="border-top: 1pt solid black;border-bottom: 1pt solid black;text-align: right;"|<span style="text-align: center; font-size: 75%;">50,7</span>
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|  style="border-top: 1pt solid black;border-bottom: 1pt solid black;text-align: right;vertical-align: top;"|<span style="text-align: center; font-size: 75%;">50,3</span>
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|  style="border-top: 1pt solid black;border-bottom: 1pt solid black;text-align: right;vertical-align: top;"|<span style="text-align: center; font-size: 75%;">1,99</span>
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|-
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|  style="border-top: 1pt solid black;border-bottom: 1pt solid black;text-align: right;vertical-align: top;"|<span style="text-align: center; font-size: 75%;">1-60-2</span>
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|  style="border-top: 1pt solid black;border-bottom: 1pt solid black;text-align: right;"|<span style="text-align: center; font-size: 75%;">60</span>
 +
|  style="border-top: 1pt solid black;border-bottom: 1pt solid black;text-align: right;vertical-align: top;"|<span style="text-align: center; font-size: 75%;">20</span>
 +
|  style="border-top: 1pt solid black;border-bottom: 1pt solid black;text-align: right;"|<span style="text-align: center; font-size: 75%;">75,4</span>
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|  style="border-top: 1pt solid black;border-bottom: 1pt solid black;text-align: right;vertical-align: top;"|<span style="text-align: center; font-size: 75%;">76,2</span>
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|  style="border-top: 1pt solid black;border-bottom: 1pt solid black;text-align: right;vertical-align: top;"|<span style="text-align: center; font-size: 75%;">2,02</span>
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|-
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|  style="border-top: 1pt solid black;border-bottom: 1pt solid black;text-align: right;vertical-align: top;"|<span style="text-align: center; font-size: 75%;">4-80-2</span>
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|  style="border-top: 1pt solid black;border-bottom: 1pt solid black;text-align: right;"|<span style="text-align: center; font-size: 75%;">80</span>
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|  style="border-top: 1pt solid black;border-bottom: 1pt solid black;text-align: right;vertical-align: top;"|<span style="text-align: center; font-size: 75%;">20</span>
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|  style="border-top: 1pt solid black;border-bottom: 1pt solid black;text-align: right;"|<span style="text-align: center; font-size: 75%;">100,6</span>
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|  style="border-top: 1pt solid black;border-bottom: 1pt solid black;text-align: right;vertical-align: top;"|<span style="text-align: center; font-size: 75%;">26,1</span>
 +
|  style="border-top: 1pt solid black;border-bottom: 1pt solid black;text-align: right;vertical-align: top;"|<span style="text-align: center; font-size: 75%;">2,00</span>
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|-
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|  style="border-top: 1pt solid black;border-bottom: 1pt solid black;text-align: right;vertical-align: top;"|<span style="text-align: center; font-size: 75%;">4-80-3.5</span>
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|  style="border-top: 1pt solid black;border-bottom: 1pt solid black;text-align: right;"|<span style="text-align: center; font-size: 75%;">80</span>
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|  style="border-top: 1pt solid black;border-bottom: 1pt solid black;text-align: right;vertical-align: top;"|<span style="text-align: center; font-size: 75%;">20</span>
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|  style="border-top: 1pt solid black;border-bottom: 1pt solid black;text-align: right;"|<span style="text-align: center; font-size: 75%;">100,5</span>
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|  style="border-top: 1pt solid black;border-bottom: 1pt solid black;text-align: right;vertical-align: top;"|<span style="text-align: center; font-size: 75%;">25,5</span>
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|  style="border-top: 1pt solid black;border-bottom: 1pt solid black;text-align: right;vertical-align: top;"|<span style="text-align: center; font-size: 75%;">3,50</span>
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|-
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|  style="border-top: 1pt solid black;border-bottom: 1pt solid black;text-align: right;vertical-align: top;"|<span style="text-align: center; font-size: 75%;">5-100-3.5</span>
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|  style="border-top: 1pt solid black;border-bottom: 1pt solid black;text-align: right;"|<span style="text-align: center; font-size: 75%;">100</span>
 +
|  style="border-top: 1pt solid black;border-bottom: 1pt solid black;text-align: right;vertical-align: top;"|<span style="text-align: center; font-size: 75%;">20</span>
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|  style="border-top: 1pt solid black;border-bottom: 1pt solid black;text-align: right;"|<span style="text-align: center; font-size: 75%;">125,3</span>
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|  style="border-top: 1pt solid black;border-bottom: 1pt solid black;text-align: right;vertical-align: top;"|<span style="text-align: center; font-size: 75%;">25,8</span>
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|  style="border-top: 1pt solid black;border-bottom: 1pt solid black;text-align: right;vertical-align: top;"|<span style="text-align: center; font-size: 75%;">3,38</span>
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|-
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|  style="border-top: 1pt solid black;border-bottom: 1pt solid black;text-align: right;vertical-align: top;"|<span style="text-align: center; font-size: 75%;">6-120-3.5</span>
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|  style="border-top: 1pt solid black;border-bottom: 1pt solid black;text-align: right;"|<span style="text-align: center; font-size: 75%;">120</span>
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|  style="border-top: 1pt solid black;border-bottom: 1pt solid black;text-align: right;vertical-align: top;"|<span style="text-align: center; font-size: 75%;">20</span>
 +
|  style="border-top: 1pt solid black;border-bottom: 1pt solid black;text-align: right;"|<span style="text-align: center; font-size: 75%;">150,6</span>
 +
|  style="border-top: 1pt solid black;border-bottom: 1pt solid black;text-align: right;vertical-align: top;"|<span style="text-align: center; font-size: 75%;">25,7</span>
 +
|  style="border-top: 1pt solid black;border-bottom: 1pt solid black;text-align: right;vertical-align: top;"|<span style="text-align: center; font-size: 75%;">3,39</span>
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|-
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|  style="border-bottom: 2pt solid black;text-align: right;vertical-align: top;"|<span style="text-align: center; font-size: 75%;">7-140-3.5</span>
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|  style="border-bottom: 2pt solid black;text-align: right;"|<span style="text-align: center; font-size: 75%;">140</span>
 +
|  style="border-bottom: 2pt solid black;text-align: right;vertical-align: top;"|<span style="text-align: center; font-size: 75%;">20</span>
 +
|  style="border-bottom: 2pt solid black;text-align: right;vertical-align: top;"|<span style="text-align: center; font-size: 75%;">175,7</span>
 +
|  style="border-bottom: 2pt solid black;text-align: right;"|<span style="text-align: center; font-size: 75%;">25,4</span>
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|  style="border-bottom: 2pt solid black;text-align: right;vertical-align: top;"|<span style="text-align: center; font-size: 75%;">3,52</span>
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|}
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<span id='_Ref478901444'></span>En la tabla 2 aparecen los valores de ''X''<sub>t</sub>, ''X''<sub>c</sub>, ''Y''<sub>t </sub> e''Y''<sub>c</sub>. , donde Xt e Y<sub>t</sub> se han obtenido mediante flexión de 3 puntos utilizando una muestra de espesor nominal 2,53 mm y una luz de 80 mm y otra muestra de espesor nominal 2,69 y una luz de 30 mm respectivamente. Por otro lado X<sub>c</sub> e Y<sub>c</sub> se han obtenido mediante flexión de 3 puntos [<span id='cite-4'></span>[[#4|4]], <span id='cite-5'></span>[[#5|5]]]
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{| style="width: 70%;margin: 1em auto 0.1em auto;border-collapse: collapse;"
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|-
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|  colspan='4'  style="border-bottom: 2pt solid black;text-align: center;"|<span style="text-align: center; font-size: 75%;">'''Tabla 2.''' Propiedades resistentes de T6T/F593</span>
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|-
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|  style="border-top: 2pt solid black;border-bottom: 1pt solid black;text-align: right;"|<span style="text-align: center; font-size: 75%;">X<sub>t</sub></span><span style="text-align: center; font-size: 75%;">(MPa)</span>
 +
|  style="border-top: 2pt solid black;border-bottom: 1pt solid black;text-align: right;vertical-align: top;"|<span style="text-align: center; font-size: 75%;">X<sub>c</sub></span><span style="text-align: center; font-size: 75%;">MPa)</span>
 +
|  style="border-top: 2pt solid black;border-bottom: 1pt solid black;text-align: right;"|<span style="text-align: center; font-size: 75%;">Y<sub>t</sub></span><span style="text-align: center; font-size: 75%;">(MPa)</span>
 +
|  style="border-top: 2pt solid black;border-bottom: 1pt solid black;text-align: right;vertical-align: top;"|<span style="text-align: center; font-size: 75%;">Y<sub>c</sub></span><span style="text-align: center; font-size: 75%;">(MPa)</span>
 +
|-
 +
|  style="border-bottom: 2pt solid black;text-align: right;"|<span style="text-align: center; font-size: 75%;">1500</span>
 +
|  style="border-bottom: 2pt solid black;text-align: right;vertical-align: top;"|<span style="text-align: center; font-size: 75%;">-1100</span>
 +
|  style="border-bottom: 2pt solid black;text-align: right;vertical-align: top;"|<span style="text-align: center; font-size: 75%;">100</span>
 +
|  style="border-bottom: 2pt solid black;text-align: right;"|<span style="text-align: center; font-size: 75%;">-400</span>
 +
|}
 +
 
 +
 
 +
En la Tabla 3 se muestran los valores de los coeficientes de Tsai-Wu obtenidos según las ecuaciones (5) a partir de los valores de la Tabla 1.
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{| style="width: 73%;margin: 1em auto 0.1em auto;border-collapse: collapse;"
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|-
 +
|  colspan='4'  style="border-bottom: 2pt solid black;text-align: center;"|<span style="text-align: center; font-size: 75%;">'''Tabla 3.''' Valores de coeficientes de Tsai-Wu</span>
 +
 
 +
 
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|-
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|  style="border-top: 2pt solid black;border-bottom: 1pt solid black;text-align: right;"|<span style="text-align: center; font-size: 75%;">F<sub>11</sub></span><span style="text-align: center; font-size: 75%;">(MPa<sup>-2</sup></span><span style="text-align: center; font-size: 75%;">)</span>
 +
|  style="border-top: 2pt solid black;border-bottom: 1pt solid black;text-align: right;vertical-align: top;"|<span style="text-align: center; font-size: 75%;">F<sub>22</sub></span><span style="text-align: center; font-size: 75%;">(MPa<sup>-2</sup></span><span style="text-align: center; font-size: 75%;">)</span>
 +
|  style="border-top: 2pt solid black;border-bottom: 1pt solid black;text-align: right;"|<span style="text-align: center; font-size: 75%;">F<sub>1</sub></span><span style="text-align: center; font-size: 75%;">(MPa<sup>-1</sup></span><span style="text-align: center; font-size: 75%;">)</span>
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|  style="border-top: 2pt solid black;border-bottom: 1pt solid black;text-align: right;vertical-align: top;"|<span style="text-align: center; font-size: 75%;">F<sub>2</sub></span><span style="text-align: center; font-size: 75%;">(MPa<sup>-1</sup></span><span style="text-align: center; font-size: 75%;">)</span>
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|  style="border-bottom: 2pt solid black;text-align: right;"|<span style="text-align: center; font-size: 75%;">5,56·10<sup>-</sup></span><span style="text-align: center; font-size: 75%;"><sup>7</sup></span>
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|  style="border-bottom: 2pt solid black;text-align: right;vertical-align: top;"|<span style="text-align: center; font-size: 75%;">2,50·10<sup>-</sup></span><span style="text-align: center; font-size: 75%;"><sup>5</sup></span>
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|  style="border-bottom: 2pt solid black;text-align: right;vertical-align: top;"|<span style="text-align: center; font-size: 75%;">-1.67·10<sup>-4</sup></span>
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|  style="border-bottom: 2pt solid black;text-align: right;"|<span style="text-align: center; font-size: 75%;">7,50·10<sup>-</sup></span><span style="text-align: center; font-size: 75%;"><sup>3</sup></span>
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==4 Resultados==
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Todas las muestras ensayadas presentan relación lineal entre carga y desplazamiento hasta el momento de la rotura, tal como se observa en la Figura 2, que se produce de forma súbita
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<span style="text-align: center; font-size: 75%;">'''Figura 2.''' Curva carga –desplazamiento en muestra 7-140-3.5.</span></div>
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Todas las muestras sufren una rotura en transversal es decir la superficie de rotura es paralela a la dirección de la fibra según se muestra en la Figura 3.
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<span style="text-align: center; font-size: 75%;">'''Figura 3.''' Rotura transversal en la muestra 5-100-3.5.</span></div>
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En la Tabla 4 se muestran los valores de tensión máxima en dirección de la fibra σ<sub>x </sub>y en dirección perpendicular a la fibra σ<sub>y </sub>para las muestras con distinta valor de B.
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<span style="text-align: center; font-size: 75%;">'''Tabla 4.''' Valores de tensiones </span>σ<sub>x</sub><span style="text-align: center; font-size: 75%;"> y </span>σ<sub>y </sub><span style="text-align: center; font-size: 75%;">para cada muestra</span></div>
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Para el caso de B menor que 1 las tensiones σ<sub>y</sub> en dirección perpendicular a la fibra son mayores que la tensión en dirección de la fibra σ<sub>x</sub> , por lo que el criterio de Rankine de la máxima tensión normal explica el fallo transversal en por alcanzarse en primer lugar el valor menor de los de la tabla 2.
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Para el caso de B =1 también el criterio de Rankine explica el fallo transversal, aunque sin embargo las tensiones máximas que se obtienen son ligeramente menores que la resistencia a tracción transversal.
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Para el caso de B mayor o igual que 1 se ha utilizado la ecuación (7) del criterio de Rankine para calcular el valor de F12. En la figura 4 se muestra la variación de F<sub>12</sub> con el ratio de tensiones B. Se observa que al aumentar B el valor obtenido de F<sub>12</sub> se hace ligeramente mayor que el valor medio.
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Para el caso de B mayor que 1 en la Figura 5 se muestra la variación de σ<sub>x</sub> con B, observándose que cuando B se hace mucho mayor que 1 σ<sub>x</sub> tiende a un valor de 1000 MPa.
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Por último el criterio de la máxima energía de deformación en caso de B mucho mayor que 1 es equivalente al caso uniaxial de tensiones en que σ<sub>y </sub>es nula.
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==5 Conclusiones==
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Se ha analizado el comportamiento de laminados composites unidireccionales bajo un estado biaxial de tensiones σ<sub>x</sub> en dirección de la fibra y σ<sub>y</sub> en dirección perpendicular a la fibra ocasionado por flexión en dos planos, pudiendo ser el ratio entre estas tensiones, B, menor, igual o mayor que 1.
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En todos los casos el fallo observado es transversal relacionado con el fallo de la matriz, incluso para valores del ratio de tensiones mucho más grandes que 1.
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Cuando B es menor que 1 el criterio de Rankine explica bien el fallo transversal. Cuando B es igual a 1 los valores de tensión que se obtienen son ligeramente inferiores a la resistencia a tracción transversal.
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Mediante el estado biaxial de tensiones producido por flexión en dos planos se puede obtener el valor del parámetro F<sub>12</sub> del Criterio de Tsai-Wu.
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Para valores de B mayores que 1 los valores de tensión en dirección de la fibra aumentan a medida que aumenta B y tienden a un valor próximo al valor de resistencia a compresión longitudinal cuando B es mucho mayor que 1.
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Finalmente, para valores de B mucho mayores que 1 la máxima energía de deformación por unidad de volumen en estado biaxial de tensiones es independiente del valor de σ<sub>y</sub>.
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==Agradecimientos==
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Los autores agradecen a la Universidad del País Vasco (UPV/EHU) la financiación del Grupo de Investigación Mecánica de Materiales GIU 16/51 en la convocatoria de 2016.
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==Referencias==
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[[#cite-1|[1]]] S.W. Tsai, E.M. Wu. ''Journal of Composite Materials'', '''5, '''pág. 58-80 (1971).
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[http://dx.doi.org/ http://dx.doi.org/]10.1177/002199837100500106
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[[#cite-2|[2]]] F. Mujika, ''Journal of Composite Materials'', '''46, '''pág. 259-274 (2012).
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[http://dx.doi.org/10.1177/0021998311412636 http://dx.doi.org/10.1177/0021998311412636]
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 +
[[#cite-3|[3]]] E.M. Wu, ''Journal of Composite Materials'', '''6, '''pág. 472-489 (1972).
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[http://dx.doi.org/10.1177/002199837200600304 http://dx.doi.org/10.1177/002199837200600304]
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<div id="4"></div>
 +
[[#cite-4|[4]]]N. Carbajal. F. Mujika, ''Polymer Testing'', '''28, '''pág. 618–626 (2009).
 +
 
 +
[http://dx.doi.org/ http://dx.doi.org/]10.1016/j.polymertesting.2009.05.005
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<div id="5"></div>
 +
[[#cite-5|[5]]]N. Carbajal. F. Mujika, ''Polymer Testing'', '''30, '''pág. 578–584 (2011).
 +
 
 +
[http://dx.doi.org/ http://dx.doi.org/]10.1016/j.polymertesting.2011.04.012

Latest revision as of 12:12, 23 October 2022

1 Introducción

Tsai and Wu [1] propusieron un criterio de fallo para materiales anisótropos sometidos a estados de tensión complejos. Mujika [2] propuso una nueva aproximación para el ensayo de flexión de 3 puntos de laminados multidireccionales basada en métodos energéticos. En este trabajo se pretende conocer el comportamiento de laminados composite unidireccionales frente a un estado de tensión plano debido a la existencia de momentos flectores en 2 planos.

2 Aproximación analítica

En la figura Figura 1 se muestra la configuración del ensayo realizado con flexión en dos planos.

Carbajal Mujika 2019a-image5.jpeg
Figura 1. Ensayo de flexión en dos planos.

Se han calculado las tensiones máximas en dirección de la fibra σx y en dirección perpendicular a la fibra σy

(1)


donde P es la máxima carga, Lx es la luz entre apoyos en dirección de la fibra, Ly es la luz entre apoyos en dirección perpendicular a la fibra, L es la longitud total en dirección x y b es la longitud en dirección perpendicular a la pieza del laminado.

Asimismo se define B como el ratio entre las tensiones σx y σy.

(2)


Sustituyendo las ecuaciones (1) en la ecuación (2) y considerando la condición de L/b = Lx/ Ly

(3)


Si se define t como el ratio entre las luces Lx y Ly la ecuación (3) se puede expresar

(4)


De acuerdo a la ecuación (4) la relación de tensiones σx y σy es igual al cuadrado de la relación entre luces Lx y Ly.

El criterio de Tsai-Wu [1] para caso de tensión plana cuando las únicas tensiones distintas de cero son σx y σy se expresa

(5)


donde los parámetros F11, F22, F1 y F2 se obtienen a partir de estados uniaxiales de tensión mediante la siguientes expresiones

(6)


siendo Xt la resistencia a tracción longitudinal, Xc la resistencia a compresión longitudinal, Yt la resistencia a tracción transversal e Yc la resistencia a compresión transversal.

Sin embargo el parámetro F12 precisa de un estado biaxial de tensiones para su obtención [3].

En la ecuación (5) se puede despejar F12

(7)


Utilizando el criterio de la máxima energía de deformación para tensión plana cuando las únicas tensiones distintas de cero son σx y σy con valores de B mucho mayores que 1 la máxima energía de deformación por unidad de volumen U0 se puede aproximar al valor correspondiente al estado uniaxial de tensiones

(8)


donde EL es el módulo longitudinal del material.

3 Parte experimental

Se han fabricado laminados de espesores nominales 2 y 3,5 mm y se han ensayado hasta rotura laminados con valores de t 0,25, 1, ,4, 5, 6 y 7 que corresponden a valores de B 0,0625, 1, 16, 25, 36 y 49.

En la Tabla 1 se muestran las dimensiones de las muestras

Tabla 1. Dimensiones de las muestras


Muestra Lx(mm) Ly (mm) L(mm) b(mm) h(mm)
0.25-20-2 20 80 25,4 101,1 2,00
1-40-2 40 20 50,7 50,3 1,99
1-60-2 60 20 75,4 76,2 2,02
4-80-2 80 20 100,6 26,1 2,00
4-80-3.5 80 20 100,5 25,5 3,50
5-100-3.5 100 20 125,3 25,8 3,38
6-120-3.5 120 20 150,6 25,7 3,39
7-140-3.5 140 20 175,7 25,4 3,52


En la tabla 2 aparecen los valores de Xt, Xc, Yt eYc. , donde Xt e Yt se han obtenido mediante flexión de 3 puntos utilizando una muestra de espesor nominal 2,53 mm y una luz de 80 mm y otra muestra de espesor nominal 2,69 y una luz de 30 mm respectivamente. Por otro lado Xc e Yc se han obtenido mediante flexión de 3 puntos [4, 5]

Tabla 2. Propiedades resistentes de T6T/F593


Xt(MPa) XcMPa) Yt(MPa) Yc(MPa)
1500 -1100 100 -400


En la Tabla 3 se muestran los valores de los coeficientes de Tsai-Wu obtenidos según las ecuaciones (5) a partir de los valores de la Tabla 1.

Tabla 3. Valores de coeficientes de Tsai-Wu


F11(MPa-2) F22(MPa-2) F1(MPa-1) F2(MPa-1)
5,56·10-7 2,50·10-5 -1.67·10-4 7,50·10-3


4 Resultados

Todas las muestras ensayadas presentan relación lineal entre carga y desplazamiento hasta el momento de la rotura, tal como se observa en la Figura 2, que se produce de forma súbita

Carbajal Mujika 2019a-image6.png
Figura 2. Curva carga –desplazamiento en muestra 7-140-3.5.

Todas las muestras sufren una rotura en transversal es decir la superficie de rotura es paralela a la dirección de la fibra según se muestra en la Figura 3.

Carbajal Mujika 2019a-image7-c.jpeg
Figura 3. Rotura transversal en la muestra 5-100-3.5.

En la Tabla 4 se muestran los valores de tensión máxima en dirección de la fibra σx y en dirección perpendicular a la fibra σy para las muestras con distinta valor de B.

Tabla 4. Valores de tensiones σx y σy para cada muestra


Muestra B σx(MPa) σy(MPa)
0.25-20-2 0.0625 6 101
1-40-2 1 94 93
1-60-2 1 89 90
4-80-2 16 600 39
4-80-3.5 80 695 44
5-100-3.5 25 798 33
6-120-3.5 36 986 28
7-140-3.5 49 1010 21


Para el caso de B menor que 1 las tensiones σy en dirección perpendicular a la fibra son mayores que la tensión en dirección de la fibra σx , por lo que el criterio de Rankine de la máxima tensión normal explica el fallo transversal en por alcanzarse en primer lugar el valor menor de los de la tabla 2.

Para el caso de B =1 también el criterio de Rankine explica el fallo transversal, aunque sin embargo las tensiones máximas que se obtienen son ligeramente menores que la resistencia a tracción transversal.

Para el caso de B mayor o igual que 1 se ha utilizado la ecuación (7) del criterio de Rankine para calcular el valor de F12. En la figura 4 se muestra la variación de F12 con el ratio de tensiones B. Se observa que al aumentar B el valor obtenido de F12 se hace ligeramente mayor que el valor medio.

Carbajal Mujika 2019a-image8.png
Figura 4. F12 según ecuación (6) en función de B.

Para el caso de B mayor que 1 en la Figura 5 se muestra la variación de σx con B, observándose que cuando B se hace mucho mayor que 1 σx tiende a un valor de 1000 MPa.

Carbajal Mujika 2019a-image9.png
Figura 5. Tensión en dirección de la fibra en función de B.

Por último el criterio de la máxima energía de deformación en caso de B mucho mayor que 1 es equivalente al caso uniaxial de tensiones en que σy es nula.

5 Conclusiones

Se ha analizado el comportamiento de laminados composites unidireccionales bajo un estado biaxial de tensiones σx en dirección de la fibra y σy en dirección perpendicular a la fibra ocasionado por flexión en dos planos, pudiendo ser el ratio entre estas tensiones, B, menor, igual o mayor que 1.

En todos los casos el fallo observado es transversal relacionado con el fallo de la matriz, incluso para valores del ratio de tensiones mucho más grandes que 1.

Cuando B es menor que 1 el criterio de Rankine explica bien el fallo transversal. Cuando B es igual a 1 los valores de tensión que se obtienen son ligeramente inferiores a la resistencia a tracción transversal.

Mediante el estado biaxial de tensiones producido por flexión en dos planos se puede obtener el valor del parámetro F12 del Criterio de Tsai-Wu.

Para valores de B mayores que 1 los valores de tensión en dirección de la fibra aumentan a medida que aumenta B y tienden a un valor próximo al valor de resistencia a compresión longitudinal cuando B es mucho mayor que 1.

Finalmente, para valores de B mucho mayores que 1 la máxima energía de deformación por unidad de volumen en estado biaxial de tensiones es independiente del valor de σy.

Agradecimientos

Los autores agradecen a la Universidad del País Vasco (UPV/EHU) la financiación del Grupo de Investigación Mecánica de Materiales GIU 16/51 en la convocatoria de 2016.

Referencias

[1] S.W. Tsai, E.M. Wu. Journal of Composite Materials, 5, pág. 58-80 (1971).

http://dx.doi.org/10.1177/002199837100500106

[2] F. Mujika, Journal of Composite Materials, 46, pág. 259-274 (2012).

http://dx.doi.org/10.1177/0021998311412636

[3] E.M. Wu, Journal of Composite Materials, 6, pág. 472-489 (1972).

http://dx.doi.org/10.1177/002199837200600304

[4]N. Carbajal. F. Mujika, Polymer Testing, 28, pág. 618–626 (2009).

http://dx.doi.org/10.1016/j.polymertesting.2009.05.005

[5]N. Carbajal. F. Mujika, Polymer Testing, 30, pág. 578–584 (2011).

http://dx.doi.org/10.1016/j.polymertesting.2011.04.012

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Published on 20/01/19
Accepted on 20/01/19
Submitted on 20/01/19

Volume 03 - Comunicaciones Matcomp17 (2019), Issue Núm. 1 - Materiales (2), 2019
DOI: 10.23967/r.matcomp.2019.01.008
Licence: Other

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