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==Aprendizaje automático y profundo para la simulación numérica del transporte de contaminantes en sistemas hídricos: una revisión narrativa==
 
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'''Gerardo Tinoco-Guerrero<sup>a,b</sup>, Francisco J. Domínguez-Mota<sup>a,c</sup>, J. Alberto Guzmán-Torres<sup>a,b</sup>, Gabriela Pedraza-Jiménez<sup>c</sup>, Eli Chagolla Inzunza<sup>c</sup>, Jorge L. González-Figueroa<sup>c</sup>'''
 
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==Abstract==
 
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La simulación del transporte de contaminantes en ríos, suelos, acuíferos, medios porosos y fracturas ayuda a interpretar monitoreos, anticipar riesgos y diseñar acciones de remediación. Estos problemas combinan advección, difusión, dispersión hidrodinámica, reacción, sorción, fuentes, sumideros y condiciones de frontera, por lo que su modelación exige tanto precisión numérica como consistencia física. Aunque los solvers tradicionales siguen siendo la base de la simulación hidrológica e hidrogeológica, su costo dificulta tareas multi-consulta como calibración, incertidumbre, optimización e identificación de fuentes. Esta revisión narrativa examina cómo el aprendizaje automático y el aprendizaje profundo se integran en ese contexto mediante modelos sustitutos, redes neuronales informadas por física, operadores neuronales, modelos híbridos numérico&#8211;ML y arquitecturas basadas en grafos, transformers o representaciones latentes. La evidencia revisada muestra que estas herramientas pueden acelerar consultas, asimilar datos escasos, aprender cierres e invertir parámetros o fuentes, pero su utilidad depende de condiciones claras: diseño representativo de datos, trazabilidad del solver generador, conservación de masa, estabilidad, incertidumbre, extrapolación física e interpretabilidad hidrogeológica. El punto de partida es que la precisión estadística no equivale a validez física. El uso más defendible de ML/DL no es reemplazar los métodos numéricos, sino ampliar sus capacidades mediante esquemas híbridos en los que solvers, datos, restricciones físicas y cuantificación de incertidumbre trabajen de manera coordinada.
 
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'''Palabras clave:''' aprendizaje automático; aprendizaje profundo; transporte de contaminantes; aguas subterráneas; redes neuronales informadas por física; modelos sustitutos; operadores neuronales.
 
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==1 Introducción==
 
==1 Introducción==
  
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El transporte de contaminantes en sistemas hídricos es un problema científico, ambiental y socialmente relevante. Un derrame industrial, la infiltración de lixiviados, el uso agrícola de fertilizantes o plaguicidas, la liberación accidental de sustancias peligrosas o la remobilización de contaminantes acumulados pueden afectar ríos, suelos, acuíferos y medios fracturados. Anticipar la trayectoria, concentración, transformación y persistencia de estas sustancias permite evaluar riesgos, diseñar redes de monitoreo, definir estrategias de remediación y tomar decisiones de gestión del agua.
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El transporte de contaminantes en sistemas hídricos condiciona la calidad del agua superficial y subterránea, afectando el abastecimiento humano y los ecosistemas asociados. Anticipar la distribución espacial, los tiempos de llegada y la concentración de solutos en ríos, suelos y acuíferos permite evaluar riesgos de exposición y diseñar esquemas de remediación ambiental.
  
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Desde el punto de vista matemático, estos procesos suelen describirse mediante modelos de flujo y transporte. En medios porosos, el marco clásico se apoya en balances de masa, leyes constitutivas y relaciones de flujo tipo Darcy, junto con ecuaciones para especies químicas <span id='citeF-1'></span>[[#cite-1|[1]]]. En aguas superficiales pueden aparecer formulaciones unidimensionales o bidimensionales acopladas a hidrodinámica; en fracturas, la apertura, rugosidad y conectividad pueden dominar el comportamiento; en suelos, la infiltración, la sorción y la reacción modifican la movilidad. En todos los casos, el modelado requiere articular ecuaciones físicas, parámetros inciertos, condiciones de frontera parcialmente conocidas y datos observacionales incompletos.
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En términos físico-matemáticos, estos fenómenos se describen mediante ecuaciones acopladas de flujo y transporte reactivo. En medios porosos saturados, el marco clásico articula la ley de Darcy con balances de masa que incorporan advección, difusión molecular, dispersión hidrodinámica, sorción y reacciones de degradación <span id='citeF-1'></span>[[#cite-1|[1]]]. En ríos y canales abiertos, el transporte se acopla a las ecuaciones de flujo en lámina libre o formulaciones unidimensionales de dispersión longitudinal, mientras que en medios fracturados intervienen la geometría de apertura y la conectividad hidráulica del medio.
  
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Los métodos numéricos tradicionales siguen siendo el soporte de la simulación hidrológica e hidrogeológica. Diferencias finitas, elementos finitos, volúmenes finitos, métodos estabilizados y códigos especializados como MODFLOW, MT3D-USGS o STOMP permiten resolver problemas complejos y producir predicciones físicamente interpretables. Sin embargo, su costo computacional puede volverse prohibitivo cuando se necesitan muchas evaluaciones: análisis de sensibilidad, propagación de incertidumbre, calibración, optimización de remediación, identificación de fuentes, diseño de redes de monitoreo o actualización en tiempo cercano al real.
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La resolución práctica de estos problemas se apoya en métodos numéricos consolidados. Esquemas de diferencias finitas, volúmenes finitos y elementos finitos, implementados en códigos estándar como MODFLOW, MT3D-USGS y STOMP, permiten resolver dominios heterogéneos y condiciones de frontera complejas <span id='citeF-1'></span><span id='citeF-2'></span>[[#cite-1|[1,2]]]. Cada discretización numérica agrega compromisos operativos: difusión numérica en mallas gruesas, dispersión artificial ante gradientes abruptos, restricciones de paso temporal por estabilidad y pérdidas o ganancias artificiales de masa global. Pese a su confiabilidad física, la carga computacional de estos simuladores se vuelve restrictiva en tareas multiconsulta que exigen miles de evaluaciones del modelo, tales como la calibración inversa de parámetros, el análisis de sensibilidad, la propagación de incertidumbre y la optimización de sistemas de remediación <span id='citeF-2'></span><span id='citeF-3'></span>[[#cite-2|[2,3]]].
  
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El aprendizaje automático (machine learning, ML) y el aprendizaje profundo (deep learning, DL) han comenzado a ocupar un lugar intermedio entre datos, física y simulación. En ciencias del agua, DL se ha usado para series temporales, imágenes, predicción de calidad del agua, regionalización, inferencia espacial y exploración de relaciones no lineales <span id='citeF-2'></span><span id='citeF-3'></span>[[#cite-2|[2,3]]]. En calidad de agua subterránea, ML se ha aplicado a predicción de contaminantes, clasificación, imputación, selección de variables y evaluación de riesgo <span id='citeF-4'></span>[[#cite-4|[4]]]. Pero la simulación numérica de transporte de contaminantes plantea un reto más exigente que la predicción estadística convencional: un modelo puede ajustar datos y aun así violar conservación, desplazar frentes, suavizar extremos, ocultar incertidumbre o extrapolar sin señal de alarma.
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Frente a estas restricciones, el aprendizaje automático (''machine learning'', ML) y el aprendizaje profundo (''deep learning'', DL) ofrecen alternativas para mitigar la carga de cálculo. En hidrología y calidad del agua, las técnicas de ML y DL se han empleado en predicción de series temporales, mapeo de contaminantes e inferencia espacial <span id='citeF-4'></span><span id='citeF-5'></span><span id='citeF-6'></span>[[#cite-4|[4,5,6]]]. Sin embargo, la simulación del transporte de solutos no se reduce al ajuste estadístico de curvas observadas: un modelo puede registrar un error cuadrático medio reducido y, aun así, vulnerar la conservación de masa, desplazar frentes advectivos o generar concentraciones negativas sin sustento físico <span id='citeF-7'></span>[[#cite-7|[7]]]. Por otra parte, cuando un modelo de ML se entrena con datos generados por un simulador numérico, asimila la respuesta del esquema discretizado con sus correspondientes aproximaciones y sesgos de malla, en lugar de la solución física continua del problema.
  
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En ese marco, ML/DL no se entiende aquí como reemplazo automático de los solvers, sino como un conjunto de herramientas que pueden ocupar funciones distintas. Un modelo sustituto puede emular un simulador costoso; una red neuronal informada por física puede regularizar el aprendizaje mediante residuos de ecuaciones; un operador neuronal puede aprender familias de soluciones parametrizadas; un modelo híbrido puede preservar estructura conservativa mientras aprende cierres; una GNN o un transformer puede explotar redes de sensores, conectividad espacial o dinámica latente. Cada familia responde a una necesidad diferente y falla de manera distinta.
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Por consiguiente, la integración de ML y DL en la mecánica de fluidos ambientales busca complementar las capacidades de los códigos numéricos tradicionales en ámbitos computacionalmente exigentes. La literatura reciente se organiza principalmente en dos grandes vertientes metodológicas: los modelos sustitutos o emuladores, diseñados para aproximar la relación entrada&#8211;salida de simuladores costosos para tareas multiconsulta <span id='citeF-2'></span><span id='citeF-8'></span>[[#cite-2|[2,8]]], y las redes neuronales informadas por física (''physics-informed neural networks'', PINNs), que incorporan los residuos de las ecuaciones diferenciales y las condiciones de frontera dentro de la función de pérdida para guiar el aprendizaje en regímenes con datos escasos o problemas inversos <span id='citeF-9'></span><span id='citeF-10'></span><span id='citeF-7'></span>[[#cite-9|[9,10,7]]]. De forma complementaria, emergen formulaciones basadas en redes neuronales de grafos (''graph neural networks'', GNN) y operadores neuronales, concebidas para capturar conectividades hidrogeológicas no estructuradas y mapeos continuos independientes de malla.
  
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La pregunta que guía esta revisión es: ''¿cómo pueden integrarse ML y DL en la simulación, emulación e inversión de problemas de transporte de contaminantes en sistemas hídricos, y bajo qué condiciones esas herramientas pueden considerarse físicamente confiables?'' Para responderla, el artículo no organiza la literatura como una simple sucesión de trabajos, sino como una discusión sobre funciones metodológicas, supuestos, evidencia, límites y criterios de validación. La tesis del artículo es que la calidad de un modelo ML/DL para contaminantes no puede medirse sólo por error predictivo: también se evalúa por conservación, estabilidad, costo total, incertidumbre, extrapolación, interpretabilidad y reproducibilidad.
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La pregunta central de esta revisión es: ''¿en qué condiciones técnicas y bajo qué criterios de consistencia física pueden integrarse los modelos sustitutos y las PINNs en la simulación e inversión del transporte de contaminantes en sistemas hídricos?'' Para responderla, el presente trabajo examina los supuestos matemáticos, la evidencia empírica, las demandas computacionales y los límites de extrapolación de ambas familias. El análisis parte de que la validez de estos modelos exige evaluar de forma conjunta las métricas estadísticas de error, la conservación de masa, la estabilidad en regímenes dominados por advección, el balance de costo computacional y la interpretabilidad de los parámetros inferidos.
  
 
==2 Alcance y metodología de revisión==
 
==2 Alcance y metodología de revisión==
  
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Esta revisión es narrativa y técnica. No busca ordenar la literatura como una sucesión de contribuciones aisladas, sino examinar qué tipo de problema resuelve cada familia de métodos, qué supuestos introduce, qué evidencia ofrece y qué riesgos aparecen cuando se traslada desde ejemplos controlados hacia sistemas hídricos reales. El foco está en trabajos relacionados con ML/DL para simulación, emulación, inversión o caracterización de problemas gobernados por ecuaciones de advección, difusión, dispersión y reacción. Se priorizan aplicaciones en aguas subterráneas, suelos, ríos, medios porosos y fracturas, junto con artículos metodológicos de operadores neuronales y redes neuronales informadas por física que, aunque no siempre tratan contaminantes hídricos, aportan herramientas directamente transferibles.
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Esta revisión narrativa examina el desarrollo reciente de ML y DL en la simulación y caracterización del transporte de solutos en sistemas hídricos, con énfasis en medios porosos, acuíferos y aguas superficiales gobernados por la ecuación de advección&#8211;dispersión&#8211;reacción. A diferencia de las revisiones centradas exclusivamente en predicción hidrológica basada en datos observacionales, el análisis se sitúa en la intersección entre la formulación física, la consistencia numérica y el aprendizaje computacional. El corpus bibliográfico se seleccionó a partir de artículos indexados, revisiones temáticas y desarrollos metodológicos con código o formulación reproducible, priorizando estudios que reportan comparaciones directas con simuladores numéricos o datos de laboratorio y campo.
  
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La unidad de análisis no fue únicamente el artículo individual, sino la relación entre formulación física, arquitectura computacional y forma de validación. En cada fuente se identificó el problema físico considerado, el papel del modelo ML/DL dentro del flujo de simulación, el tipo de datos usado para entrenamiento o inferencia, las métricas reportadas, la forma en que se incorporan restricciones físicas y las limitaciones explícitas o inferidas. Esta lectura permite distinguir entre modelos que sustituyen un simulador, modelos que regularizan el aprendizaje mediante ecuaciones, operadores que aprenden familias de soluciones, arquitecturas que explotan estructura espacial o temporal, y esquemas híbridos que conservan partes del método numérico clásico.
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Para estructurar el análisis con claridad, la discusión se concentra en dos familias: (1) ''modelos sustitutos y emuladores'', que emplean redes neuronales, procesos gaussianos y reducción de orden para acelerar la evaluación entrada&#8211;salida de simuladores numéricos en regímenes multiconsulta; y (2) ''PINNs'', que integran las ecuaciones gobernantes y condiciones de contorno en la función de pérdida para resolver problemas directos e inversos con datos escasos.
  
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El corpus revisado combina referencias fundacionales, revisiones especializadas y aplicaciones recientes verificadas mediante DOI, repositorios abiertos, páginas editoriales y textos completos disponibles. Para sostener una discusión publicable se adopta un criterio de trazabilidad: las afirmaciones metodológicas de mayor peso se apoyan en fuentes contrastables y en evidencia técnica revisada con detalle; la literatura emergente cuyos resultados aún requieren consolidación se usa para ubicar tendencias, posibles líneas de desarrollo y preguntas abiertas, no para sostener conclusiones generales. La revisión no pretende ser un metaanálisis estadístico: los estudios difieren en ecuaciones, dominios, escalas, métricas, disponibilidad de datos, condiciones de frontera y objetivos de modelación. Por esa razón, la comparación se organiza por función metodológica, consistencia física, costo computacional, estabilidad, transferibilidad y utilidad para problemas directos o inversos.
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La Figura&nbsp;[[#img-1|1]] ilustra el flujo metodológico en el que se insertan estas herramientas. Mientras los sustitutos emulan la respuesta del simulador a partir de conjuntos de datos previamente calculados, las PINNs incorporan los operadores diferenciales directamente en la fase de optimización. En ambas familias, la evaluación técnica debe verificar la reproducibilidad del esquema generador, el costo computacional total y el comportamiento ante variaciones en las condiciones hidrodinámicas del medio.
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Las fuentes se agruparon en seis categorías de lectura:
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<li>fundamentos físicos, numéricos y de calidad del agua;            </li>
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<li>modelos sustitutos y emuladores de simuladores;            </li>
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<li>aprendizaje informado por física y redes neuronales;            </li>
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<li>operadores neuronales;            </li>
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<li>modelos híbridos numérico&#8211;ML;            </li>
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<li>arquitecturas espaciotemporales basadas en grafos, transformers o representaciones latentes.        </li>
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Esta clasificación no implica jerarquía. Más bien delimita niveles de evidencia: los trabajos aplicados a contaminantes, acuíferos, ríos o medios porosos aportan evidencia directa; los estudios generales sobre redes neuronales informadas por física, operadores neuronales o aprendizaje informado por física aportan principios transferibles, pero requieren una discusión explícita antes de extrapolar sus resultados a transporte de contaminantes. Así, cada sección posterior combina síntesis bibliográfica con reflexión metodológica: en qué condiciones el enfoque aporta, qué condiciones requiere y qué validación resulta razonable antes de usarlo en decisiones ambientales.
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La Figura&nbsp;[[#img-1|1]] sintetiza la lectura funcional adoptada en esta revisión. El objetivo no es ordenar los métodos por novedad o complejidad, sino mostrar dónde se insertan dentro de un flujo de modelación física, generación de datos, aprendizaje computacional, validación y decisión ambiental.
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{| class="floating_imageSCP" style="text-align: center; border: 1px solid #BBB; margin: 1em auto; width: 100%;max-width: 100%;"
 
{| class="floating_imageSCP" style="text-align: center; border: 1px solid #BBB; margin: 1em auto; width: 100%;max-width: 100%;"
 
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|[[Image:Draft_Tinoco Guerrero_343414372-figura_tikz.png|570px|Integración conceptual de física, datos y aprendizaje automático/profundo en el estudio del transporte de contaminantes. Las familias metodológicas se distinguen por la función que cumplen dentro del flujo de modelación: emular solvers, regularizar con ecuaciones, aprender operadores, conservar estructura numérica o explotar redes de monitoreo.]]
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|[[Image:Review_691056789131-figura_tikz.png|570px|Integración conceptual de física, datos y ML/DL en el modelado del transporte de contaminantes. Los modelos sustitutos emulan la respuesta entrada&#8211;salida de simuladores numéricos para agilizar tareas multiconsulta, mientras que las PINNs incorporan residuos de las ecuaciones gobernantes y condiciones de frontera durante el entrenamiento.]]
 
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| colspan="1" | '''Figure 1:''' Integración conceptual de física, datos y aprendizaje automático/profundo en el estudio del transporte de contaminantes. Las familias metodológicas se distinguen por la función que cumplen dentro del flujo de modelación: emular solvers, regularizar con ecuaciones, aprender operadores, conservar estructura numérica o explotar redes de monitoreo.
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| colspan="1" | '''Figure 1:''' Integración conceptual de física, datos y ML/DL en el modelado del transporte de contaminantes. Los modelos sustitutos emulan la respuesta entrada&#8211;salida de simuladores numéricos para agilizar tareas multiconsulta, mientras que las PINNs incorporan residuos de las ecuaciones gobernantes y condiciones de frontera durante el entrenamiento.
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La Tabla&nbsp;[[#table-1|1]] complementa esta síntesis visual y resume los ejes de análisis usados para interpretar el corpus.
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{|  class="floating_tableSCP wikitable" style="text-align: left; margin: 1em auto;min-width:50%;"
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|+ style="font-size: 75%;" |<span id='table-1'></span>Table. 1 Organización conceptual y ejes de análisis del corpus revisado.
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| 3.1cm
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|                  '''Grupo'''
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| '''Función en la revisión'''
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| '''Preguntas de discusión'''
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|                  Fundamentos físicos y de contexto
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| Definir procesos de transporte, calidad del agua y retos de modelación <span id='citeF-1'></span><span id='citeF-2'></span><span id='citeF-4'></span><span id='citeF-3'></span>[[#cite-1|[1,2,4,3]]].
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| ¿Qué propiedades físicas no deberían perderse al introducir ML/DL? ¿Dónde termina la predicción estadística y dónde empieza la simulación físicamente gobernada?
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|                  Sustitutos y emuladores
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| Acelerar simuladores para tareas multi-consulta <span id='citeF-5'></span><span id='citeF-6'></span><span id='citeF-7'></span><span id='citeF-8'></span><span id='citeF-9'></span>[[#cite-5|[5,6,7,8,9]]].
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| ¿El modelo aprende una aproximación confiable del simulador o sólo interpola un conjunto estrecho de escenarios? ¿Cómo se comporta fuera del dominio de entrenamiento?
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|                  Aprendizaje informado por física y redes neuronales
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| Incorporar ecuaciones, condiciones de frontera y datos escasos en el entrenamiento <span id='citeF-10'></span><span id='citeF-11'></span><span id='citeF-12'></span><span id='citeF-13'></span><span id='citeF-14'></span><span id='citeF-15'></span><span id='citeF-16'></span><span id='citeF-17'></span><span id='citeF-18'></span>[[#cite-10|[10,11,12,13,14,15,16,17,18]]].  
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| ¿La penalización física mejora la identificación de parámetros y fuentes, o introduce pérdidas difíciles de balancear? ¿Se conserva masa en regímenes advectivos exigentes?
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|                  Operadores neuronales
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| Aprender mapas entre funciones y familias de soluciones parametrizadas <span id='citeF-19'></span><span id='citeF-20'></span><span id='citeF-21'></span><span id='citeF-22'></span><span id='citeF-23'></span>[[#cite-19|[19,20,21,22,23]]].
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| ¿La ganancia computacional compensa el costo de generar datos de entrenamiento? ¿Qué tan bien generalizan ante geometrías, parámetros o condiciones no vistas?
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|                  Modelos híbridos numérico&#8211;ML
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| Preservar estructura física mientras se aprenden cierres, parámetros o componentes difíciles de representar <span id='citeF-24'></span><span id='citeF-25'></span>[[#cite-24|[24,25]]].
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| ¿Qué parte del problema conviene aprender y qué parte conviene dejar al modelo físico? ¿La hibridación mejora la conservación y la interpretabilidad o sólo desplaza la complejidad?
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|                  Grafos, transformers y representaciones latentes
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| Explotar redes de monitoreo, conectividad espacial y dinámica espaciotemporal <span id='citeF-26'></span><span id='citeF-27'></span>[[#cite-26|[26,27]]].
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| ¿Cómo se representa la conectividad espacial cuando los datos son escasos o irregulares? ¿La arquitectura captura procesos de transporte o patrones estadísticos locales?
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==3 Marco físico y numérico del transporte de contaminantes==
 
==3 Marco físico y numérico del transporte de contaminantes==
  
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Esta sección fija el lenguaje físico del resto de la revisión. La distinción es importante: en transporte de contaminantes, un modelo no es sólo una función que predice concentraciones. Es una representación de balances de masa, flujos, almacenamiento, intercambio entre fases, fuentes, sumideros, condiciones de frontera y escalas de observación. Así, cuando se incorporan modelos de ML/DL, la pregunta no es únicamente si reducen el RMSE; la pregunta de fondo es si respetan la estructura que hace interpretable una predicción ambiental.
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Para ilustrar el modelo matemático que subyace a las metodologías de ML y DL, considérese el problema prototipo del transporte reactivo de un soluto en un acuífero saturado. En este sistema, la velocidad intersticial promedio de poro <math display="inline">\mathbf{v}</math> se deriva del campo de flujo hidrodinámico según la ley de Darcy:
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===3.1 Balance de masa y forma conservativa===
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El punto de partida es un balance local de masa para una especie química. En una forma conservativa general puede escribirse como
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| style="text-align: center;" | <math>\frac{\partial m_C}{\partial t}                 + \nabla \cdot \mathbf{J}_C                = r_C + s_C,                             </math>
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| style="text-align: center;" | <math>\mathbf{v} = -\frac{\mathbf{K}}{\phi }\nabla h,                     </math>
 
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|}
 
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donde <math display="inline">m_C</math> es la masa almacenada por unidad de volumen representativo, <math display="inline">\mathbf{J}_C</math> es el flujo total de masa, <math display="inline">r_C</math> agrupa producción, consumo o transformación química, y <math display="inline">s_C</math> representa fuentes externas. Esta forma es más informativa que una ecuación ya expandida porque obliga a preguntar qué se almacena, qué se transporta y qué se transforma. En un acuífero saturado, por ejemplo, <math display="inline">m_C</math> puede depender de la porosidad y de la masa sorbida en la matriz sólida; en un río, el almacenamiento puede incluir zonas muertas o intercambio hiporreico; en una fractura, la geometría de apertura controla el flujo y la superficie disponible para reacción.
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donde <math display="inline">\mathbf{K}</math> es el tensor de conductividad hidráulica del medio poroso, <math display="inline">\phi </math> es la porosidad efectiva y <math display="inline">h</math> representa la carga hidráulica <span id='citeF-1'></span>[[#cite-1|[1]]].
  
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Para un soluto disuelto en un medio poroso saturado, una forma frecuente es
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A partir del balance de masa sobre un volumen representativo elemental, el transporte transitorio de la concentración disuelta <math display="inline">C(\mathbf{x},t)</math> queda gobernado por la ecuación de advección&#8211;dispersión&#8211;reacción:
  
 
<span id="eq-2"></span>
 
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| style="text-align: center;" | <math>\frac{\partial (\phi C)}{\partial t}                 + \nabla \cdot (\mathbf{q}C)                =                 \nabla \cdot (\phi \mathbf{D}\nabla C)                 + \phi R(C,\boldsymbol{\theta })                + Q_C(\mathbf{x},t),                             </math>
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| style="text-align: center;" | <math>R_f \frac{\partial C}{\partial t}             + \mathbf{v}\cdot \nabla C             =             \nabla \cdot (\mathbf{D}\nabla C)             - \lambda C             + S(\mathbf{x},t),                     </math>
 
|}
 
|}
 
| style="width: 5px;text-align: right;white-space: nowrap;" | (2)
 
| style="width: 5px;text-align: right;white-space: nowrap;" | (2)
 
|}
 
|}
  
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donde <math display="inline">C</math> es concentración acuosa, <math display="inline">\phi </math> es porosidad, <math display="inline">\mathbf{q}</math> es flujo de Darcy, <math display="inline">\mathbf{D}</math> es el tensor de dispersión hidrodinámica, <math display="inline">R</math> representa reacciones o decaimiento y <math display="inline">Q_C</math> describe fuentes o sumideros. Esta forma muestra por qué el transporte de contaminantes es más delicado que una regresión espacio-temporal: los términos no son intercambiables. La advección mueve masa con el flujo; la dispersión redistribuye masa por gradientes; la reacción cambia la cantidad o identidad química; la fuente introduce masa en el sistema; y la porosidad define cuánto volumen móvil participa en el transporte <span id='citeF-1'></span>[[#cite-1|[1]]].
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donde <math display="inline">R_f = 1 + \frac{\rho _b K_d}{\phi }</math> cuantifica la retardación por sorción lineal (<math display="inline">\rho _b</math> es la densidad aparente del suelo y <math display="inline">K_d</math> el coeficiente de distribución isotérmica), <math display="inline">\mathbf{v}\cdot \nabla C</math> representa el transporte advectivo a lo largo de las líneas de flujo, <math display="inline">\lambda </math> es la tasa de decaimiento reactivo de primer orden y <math display="inline">S(\mathbf{x},t)</math> describe la tasa neta de inyección o extracción volumétrica de soluto. En medios anisótropos, el tensor de dispersión hidrodinámica <math display="inline">\mathbf{D}</math> combina la difusión molecular y la dispersión mecánica debida a la variabilidad de velocidades a escala de poro según la formulación de Bear&#8211;Scheidegger <span id='citeF-1'></span>[[#cite-1|[1]]]:
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===3.2 Acoplamiento entre flujo y transporte===
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En aguas subterráneas, la velocidad advectiva no suele ser una variable libre. Se deriva de un problema de flujo. Bajo hipótesis de flujo saturado, la ley de Darcy se escribe como
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<span id="eq-3"></span>
 
<span id="eq-3"></span>
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{| style="text-align: left; margin:auto;width: 100%;"  
 
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| style="text-align: center;" | <math>\mathbf{q} = -\mathbf{K}\nabla h,                \qquad                  \mathbf{v} = \frac{\mathbf{q}}{\phi },                             </math>
+
| style="text-align: center;" | <math>\mathbf{D} = \left(\alpha _T \| \mathbf{v}\| + D_m\right)\mathbf{I} + \frac{\alpha _L - \alpha _T}{\| \mathbf{v}\| }\mathbf{v}\mathbf{v}^T,                     </math>
 
|}
 
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−
donde <math display="inline">\mathbf{K}</math> es la conductividad hidráulica, <math display="inline">h</math> es la carga hidráulica y <math display="inline">\mathbf{v}</math> es la velocidad promedio de poro. Así, un error en <math display="inline">K</math>, en <math display="inline">h</math>, en la porosidad o en las condiciones hidráulicas se propaga directamente hacia la pluma contaminante. Esta dependencia explica por qué muchas aplicaciones no resuelven sólo transporte: resuelven flujo y transporte acoplados, o bien entrenan modelos que predicen simultáneamente presión/carga y concentración <span id='citeF-12'></span><span id='citeF-13'></span><span id='citeF-16'></span>[[#cite-12|[12,13,16]]].
+
donde <math display="inline">\alpha _L</math> y <math display="inline">\alpha _T</math> son las dispersividades longitudinal y transversal del medio, <math display="inline">D_m</math> es el coeficiente de difusión molecular efectivo e <math display="inline">\mathbf{I}</math> es el tensor identidad.
  
−
En problemas reales, además, <math display="inline">\mathbf{K}</math> rara vez es homogénea. Puede variar por estratos, facies, fracturas, porosidad secundaria o procesos reactivos que modifican la geometría del medio. En medios fracturados, la conectividad puede dominar más que el valor promedio de permeabilidad. En transporte reactivo, la propia reacción puede precipitar o disolver material, alterando porosidad, permeabilidad y área específica; esta retroalimentación micro&#8211;macro es precisamente la que motiva modelos multiescala y operadores recurrentes como el de <span id='citeF-23'></span>[[#cite-23|[23]]].
+
La resolución de la ecuación&nbsp;([[#eq-2|2]]) requiere condiciones iniciales y de contorno: una distribución inicial <math display="inline">C(\mathbf{x},0) = C_0(\mathbf{x})</math>, concentraciones prescritas en zonas de recarga o entrada (frontera de Dirichlet, <math display="inline">C = C_b</math>), flujos nulos en límites impermeables (frontera de Neumann homogénea, <math display="inline">\nabla C \cdot \mathbf{n} = 0</math>) y balances de flujo en puntos de descarga (frontera de Cauchy). En aplicaciones inversas de caracterización ambiental, la fuente <math display="inline">S(\mathbf{x},t)</math> o el campo de conductividad <math display="inline">\mathbf{K}</math> suelen ser incógnitas que deben reconstruirse a partir de mediciones dispersas de concentración en pozos de monitoreo <span id='citeF-11'></span><span id='citeF-12'></span>[[#cite-11|[11,12]]].
  
−
===3.3 Advección, dispersión, sorción y reacción===
+
La dificultad analítica y numérica de este modelo matemático se cuantifica mediante dos números adimensionales: el número de Péclet (<math display="inline">Pe</math>) y el número de Damköhler (<math display="inline">Da</math>), definidos como:
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La advección transporta masa con el movimiento del agua. La difusión molecular aparece por movimiento aleatorio de las moléculas, mientras que la dispersión hidrodinámica refleja variaciones de velocidad a escala de poro o de medio efectivo. En modelos de acuíferos, el tensor <math display="inline">\mathbf{D}</math> suele depender de la velocidad y de dispersividades longitudinales y transversales. En este sentido, el término dispersivo no es un simple suavizador matemático: codifica cómo la estructura del flujo ensancha o deforma la pluma.
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La sorción introduce una dificultad adicional porque parte del contaminante puede quedar temporal o permanentemente asociado a la fase sólida. En el caso lineal en equilibrio, el almacenamiento puede expresarse mediante un factor de retardación
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| style="text-align: center;" | <math>R_f = 1 + \frac{\rho _b K_d}{\phi },                             </math>
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| style="text-align: center;" | <math>Pe = \frac{UL}{D},            \qquad              Da = \frac{\lambda L}{U},                     </math>
 
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donde <math display="inline">\rho _b</math> es la densidad aparente del medio y <math display="inline">K_d</math> el coeficiente de distribución. Entonces, de manera esquemática,
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donde <math display="inline">U</math> es una velocidad característica de flujo, <math display="inline">L</math> es la longitud característica del dominio y <math display="inline">D</math> es el coeficiente de dispersión efectivo. Valores elevados de Péclet (<math display="inline">Pe \gg 1</math>) identifican regímenes dominados por advección, caracterizados por frentes de pluma pronunciados y gradientes locales agudos. En estas condiciones, los métodos de aproximación numérica y las redes neuronales estándar tienden a sufrir difusión numérica espuria u oscilaciones artificiales <span id='citeF-13'></span><span id='citeF-14'></span>[[#cite-13|[13,14]]]. Este problema prototipo sirve como base física común para evaluar las dos familias analizadas a continuación: los modelos sustitutos orientados a acelerar simulaciones repetidas de este sistema, y las PINNs diseñadas para resolverlo o estimar sus parámetros.
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==4 Modelos sustitutos y emuladores==
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===4.1 Aproximación funcional del operador en regímenes multiconsulta===
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Un modelo sustituto aproxima el mapeo entrada&#8211;salida evaluado por un simulador numérico de alto costo. Sea <math display="inline">\mathcal{G}: \mathcal{P} \to \mathcal{Y}</math> el operador de referencia que transforma un vector paramétrico <math display="inline">\boldsymbol{\mu } \in \mathcal{P} \subset \mathbb{R}^p</math> (conductividades hidráulicas, dispersividades, cinéticas reactivas o concentraciones de frontera) en un espacio de respuestas <math display="inline">\mathbf{y} \in \mathcal{Y}</math> (distribuciones de concentración <math display="inline">C(\mathbf{x}, t)</math> o curvas de ruptura). El emulador aproxima dicha relación mediante una estructura funcional parametrizada por <math display="inline">\boldsymbol{\eta } \in \mathbb{R}^m</math>:
  
 
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| style="text-align: center;" | <math>R_f \frac{\partial C}{\partial t}                 + \mathbf{v}\cdot \nabla C                =                 \nabla \cdot (\mathbf{D}\nabla C)                + R(C,\boldsymbol{\theta })                 + S(\mathbf{x},t).                              </math>
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| style="text-align: center;" | <math>\widehat{\mathcal{G}}_{\boldsymbol{\eta }}:\mathcal{P}\longrightarrow \mathcal{Y},                 \qquad                  \widehat{\mathcal{G}}_{\boldsymbol{\eta }}(\boldsymbol{\mu })\approx \mathcal{G}(\boldsymbol{\mu }).                              </math>
 
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Sin embargo, muchas sustancias no siguen una sorción lineal simple. Isotermas de Freundlich o Langmuir, cinética de no equilibrio, intercambio mobile&#8211;immobile, difusión en matriz, biodegradación y reacciones multiespecie pueden producir curvas de ruptura con colas largas, frentes retardados o transporte no Fickiano <span id='citeF-24'></span><span id='citeF-17'></span><span id='citeF-25'></span>[[#cite-24|[24,17,25]]]. Desde el punto de vista de ML/DL, esta es una oportunidad y un riesgo: un modelo flexible puede aprender cierres constitutivos que no se conocen bien, pero también puede absorber errores de formulación física si no se imponen restricciones adecuadas.
+
Este planteamiento impone una limitación directa: el sustituto asimila el comportamiento del simulador sobre un conjunto finito de corridas <math display="inline">\{ \boldsymbol{\mu }_i\} _{i=1}^{N_{\mathrm{sim}}}</math>, reproduciendo los sesgos de discretización y dispersión del código generador en lugar de las leyes continuas de conservación. La literatura clasifica estos esquemas en tres vertientes principales <span id='citeF-2'></span>[[#cite-2|[2]]]: modelos basados en datos (redes densas, recurrentes, procesos gaussianos y expansiones de ''polynomial chaos''), métodos de reducción de orden (''proper orthogonal decomposition'' y bases reducidas que proyectan la dinámica sobre variedades de baja dimensión) y enfoques multifidelidad que corrigen simulaciones simplificadas con evaluaciones de alta fidelidad. El diseño experimental, mediante muestreo de hipercubo latino o estrategias adaptativas guiadas por incertidumbre, define la capacidad del modelo para explorar configuraciones físicamente plausibles en acuíferos <span id='citeF-2'></span><span id='citeF-3'></span>[[#cite-2|[2,3]]].
  
−
===3.4 Fuentes, condiciones iniciales y fronteras===
+
===4.2 Evidencia hidrogeológica y límites de extrapolación===
  
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La predicción de una pluma depende tanto de la ecuación como de la forma en que se especifica el problema. Las condiciones iniciales definen el estado de contaminación al inicio del horizonte de simulación; las condiciones de frontera describen entradas, salidas, no-flujo, concentración impuesta, flujo impuesto o intercambio con dominios vecinos; y las fuentes describen ubicación, duración, intensidad y composición de la liberación.
+
La aplicación de sustitutos se concentra en tareas iterativas de calibración, análisis de incertidumbre, optimización de remediación e identificación de fuentes contaminantes <span id='citeF-3'></span>[[#cite-3|[3]]]. En acuíferos 2D con advección, dispersión y sorción lineal, redes de perceptrón multicapa (MLP) para concentraciones puntuales y redes de memoria a corto y largo plazo (LSTM) para curvas de ruptura alcanzan <math display="inline">R^2 \approx 0.99</math> frente a simulaciones de MODFLOW/MT3D <span id='citeF-8'></span>[[#cite-8|[8]]]. En transporte reactivo multiespecie acoplado (contaminante primario y subproducto), redes entrenadas con diferencias finitas logran aceleraciones inferenciales de decenas a cientos de veces con errores cuadráticos medios (RMSE) inferiores a <math display="inline">0.03</math>, aunque con variabilidad local de precisión según el número de Péclet y desajustes cerca de la fuente <span id='citeF-15'></span>[[#cite-15|[15]]].
  
−
En problemas de identificación de fuentes, <math display="inline">S(\mathbf{x},t)</math> no es conocido. Puede parametrizarse como una fuente puntual, una fuente distribuida, una historia de liberación por periodos o una función continua. La inversión intenta recuperar esa información a partir de observaciones escasas de concentración, a menudo en pozos o estaciones de monitoreo. Esto vuelve el problema mal condicionado: distintas combinaciones de fuente, velocidad, dispersión, reacción y frontera pueden generar señales similares en pocos puntos de observación.
+
En problemas inversos con condiciones de contorno inciertas, esquemas basados en aprendizaje automático automatizado (''AutoML'') identifican fuentes puntuales y distribuidas; no obstante, el error relativo crece al pasar de fuentes concentradas a fuentes distribuidas, lo que expone las dificultades de identificabilidad física bajo observaciones incompletas <span id='citeF-11'></span>[[#cite-11|[11]]]. De manera similar, la emulación en fracturas rugosas acelera la predicción del flujo preferencial, pero experimenta pérdidas de precisión ante zonas de contacto y rugosidades fuera del rango entrenado <span id='citeF-16'></span>[[#cite-16|[16]]]. Estos resultados confirman que los coeficientes <math display="inline">R^2</math> globales pueden encubrir desviaciones locales relevantes en frentes de avance o pozos de captación, y que la extrapolación fuera del espacio paramétrico <math display="inline">\mathcal{P}</math> permanece sujeta a fallas imprevistas ante modificaciones en el régimen hidrodinámico.
  
−
La frontera merece atención especial. En muchos estudios se fija por conveniencia, pero <span id='citeF-28'></span>[[#cite-28|[28]]] muestran que una condición de frontera desconocida puede estimarse junto con fuentes y parámetros. Esta decisión es físicamente relevante: una frontera mal especificada puede desplazar la responsabilidad del error hacia una fuente inexistente o hacia parámetros hidrológicos equivocados. Para ML/DL, esto significa que la incertidumbre de frontera no se puede esconder dentro del entrenamiento; es mejor declararla como parte del problema inverso.
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===4.3 Balance computacional y umbral analítico de amortización===
  
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===3.5 Regímenes físicos y dificultad numérica===
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La conveniencia operativa de un emulador exige distinguir el costo de preparación fuera de línea (''offline'') del costo de consulta en línea (''online''). Resolver <math display="inline">N_{\mathrm{eval}}</math> consultas mediante el código numérico demanda <math display="inline">C_{\mathrm{direct}}(N_{\mathrm{eval}}) = N_{\mathrm{eval}} C_{\mathrm{sim}}</math>, con <math display="inline">C_{\mathrm{sim}}</math> como tiempo medio por corrida. La vía del sustituto requiere generar <math display="inline">N_{\mathrm{sim}}</math> simulaciones numéricas, un esfuerzo de entrenamiento <math display="inline">C_{\mathrm{train}}</math> e inferencias aceleradas <math display="inline">C_{\mathrm{surr}}</math> por consulta:
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No todos los problemas de transporte tienen la misma dificultad. Dos números adimensionales ayudan a interpretar los regímenes: el número de Péclet y el número de Damköhler. De forma usual,
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| style="text-align: center;" | <math>Pe = \frac{UL}{D},                 \qquad                  Da = \frac{kL}{U},                             </math>
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| style="text-align: center;" | <math>C_{\mathrm{total}}(N_{\mathrm{eval}})                =                 N_{\mathrm{sim}} C_{\mathrm{sim}}                + C_{\mathrm{train}}                + N_{\mathrm{eval}} C_{\mathrm{surr}}.                             </math>
 
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donde <math display="inline">U</math> es una velocidad característica, <math display="inline">L</math> una longitud característica, <math display="inline">D</math> una difusividad o dispersividad efectiva y <math display="inline">k</math> una tasa de reacción. Valores altos de <math display="inline">Pe</math> indican transporte dominado por advección; valores bajos indican difusión o dispersión dominante. Valores altos de <math display="inline">Da</math> indican que la reacción ocurre rápido respecto al transporte advectivo. Estos regímenes modifican lo que se le pide a un modelo: en difusión dominante, suavizar puede ser aceptable; en advección dominante, una pequeña difusión numérica puede desplazar el frente; en reacción dominante, un error local puede cambiar la masa total o la especie química dominante.
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La condición de rentabilidad <math display="inline">C_{\mathrm{total}}(N_{\mathrm{eval}}) < C_{\mathrm{direct}}(N_{\mathrm{eval}})</math> define el umbral analítico de amortización:
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Los frentes agudos, shocks, discontinuidades y gradientes fuertes son especialmente problemáticos. El caso Buckley&#8211;Leverett revisado por <span id='citeF-15'></span>[[#cite-15|[15]]] muestra que una formulación PINN directa puede fallar si no incorpora condiciones de entropía o restricciones físicas adicionales. Del mismo modo, <span id='citeF-16'></span>[[#cite-16|[16]]] reportan que los errores se concentran en regiones de alto gradiente, aun cuando el desempeño global sea bueno. Esa observación también afecta la evaluación: un promedio global de error puede esconder fallas justamente donde se toman decisiones ambientales, como cerca de fuentes, fronteras o frentes de concentración.
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===3.6 Discretización, conservación y papel de los solvers clásicos===
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Los métodos numéricos tradicionales son más que una línea base histórica. Diferencias finitas, elementos finitos y volúmenes finitos codifican distintas decisiones sobre geometría, continuidad, estabilidad y conservación. Los esquemas de volumen finito son atractivos porque imponen balances por celda de control; los elementos finitos manejan geometrías complejas y formulaciones variacionales; las diferencias finitas han ocupado un lugar importante en códigos hidrogeológicos estructurados. En la práctica, herramientas como MODFLOW, MT3D-USGS, STOMP, FEM, FDM, FVM y esquemas temporales como Crank&#8211;Nicolson aparecen como generadores de soluciones, referencias de validación o componentes de modelos híbridos <span id='citeF-6'></span><span id='citeF-12'></span><span id='citeF-13'></span><span id='citeF-24'></span><span id='citeF-29'></span>[[#cite-6|[6,12,13,24,29]]].
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Cada discretización introduce compromisos. Puede aparecer difusión numérica, dispersión artificial, oscilación cerca de frentes, restricciones de estabilidad o pérdida de conservación global. En un problema ambiental, estos defectos no son detalles técnicos: pueden alterar concentraciones máximas, tiempos de llegada o estimaciones de masa remanente. Por eso, cuando un modelo ML/DL se entrena contra un solver, no aprende la “realidad” directamente, sino una realidad discretizada. Si el solver de referencia suaviza una pluma o conserva masa con precisión, el sustituto heredará parte de ese comportamiento; si el dataset no cubre ciertos regímenes, el modelo puede extrapolar sin señal de alarma.
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===3.7 Implicaciones para modelos ML/DL===
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Esta base física impone criterios mínimos. Un modelo puede tener bajo RMSE y aun así ser físicamente cuestionable si no conserva masa, viola condiciones de frontera, no reproduce frentes de concentración, extrapola fuera del dominio de entrenamiento o ignora incertidumbre en parámetros. La revisión de PINNs para aguas subterráneas de <span id='citeF-18'></span>[[#cite-18|[18]]] resume bien esta tensión: el campo avanza hacia datos escasos, inversión y modelos híbridos, pero sigue limitado por estabilidad, escalabilidad, generalización, UQ y ausencia de benchmarks comunitarios.
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Así, cada familia de ML/DL se evalúa mejor contra la estructura física del problema. Un sustituto se describe mejor cuando especifica qué simulador reproduce, en qué rango paramétrico y con qué costo offline. Una red neuronal informada por física resulta más clara cuando reporta residuos, pesos de pérdida, condiciones de frontera, conservación y sensibilidad a escalamiento. Un operador neuronal aporta más evidencia cuando demuestra generalización entre funciones de entrada, no sólo interpolación entre muestras. Un modelo híbrido gana interpretabilidad cuando aclara qué parte aprende y qué parte conserva mediante el esquema numérico. Una GNN o transformer se defiende mejor si su conectividad o dinámica latente corresponde a procesos de transporte y no sólo a correlaciones espaciales.
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De ahí que la revisión adopte criterios físicos además de estadísticos. Para contaminantes, la pregunta final no es si el modelo predice una curva suave y cercana a datos observados, sino si permite defender una afirmación ambiental: cuánta masa se movió, hacia dónde, bajo qué incertidumbre, con qué tiempo de llegada y con qué confianza física.
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==4 Modelos sustitutos y emuladores==
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===4.1 Función de los sustitutos en problemas multi-consulta===
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Un modelo sustituto no es, en sentido estricto, una nueva ley de transporte. Es una aproximación computacional de una relación entrada&#8211;salida que normalmente sería evaluada mediante un simulador físico o numérico de mayor costo. Si <math display="inline">\mathcal{G}</math> denota el operador computacional que transforma parámetros, geometría, fuentes y condiciones de frontera en una respuesta observable, un sustituto busca construir una aproximación
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| style="text-align: center;" | <math>\widehat{\mathcal{G}}_{\eta }:\boldsymbol{\mu }\longmapsto \mathbf{y},                \qquad                  \widehat{\mathcal{G}}_{\eta }(\boldsymbol{\mu })\approx \mathcal{G}(\boldsymbol{\mu }),                              </math>
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| style="text-align: center;" | <math>N_{\mathrm{eval}} > N_{\mathrm{eval}}^* = \frac{N_{\mathrm{sim}} C_{\mathrm{sim}} + C_{\mathrm{train}}}{C_{\mathrm{sim}} - C_{\mathrm{surr}}} \approx N_{\mathrm{sim}} + \frac{C_{\mathrm{train}}}{C_{\mathrm{sim}}},                              </math>
 
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| style="width: 5px;text-align: right;white-space: nowrap;" | (7)
 
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donde <math display="inline">\boldsymbol{\mu }</math> agrupa las variables de entrada, <math display="inline">\mathbf{y}</math> representa concentraciones, curvas de ruptura, mapas de pluma, parámetros inferidos o funciones objetivo, y <math display="inline">\eta </math> contiene los parámetros entrenables del sustituto. Esta formulación es útil porque hace explícito un punto metodológico de fondo: el sustituto aprende la respuesta de un modelo de referencia, no necesariamente la física completa del sistema. De este modo, su validez queda condicionada por el simulador que genera los datos, por el diseño del espacio paramétrico y por la forma en que se mide el error.
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dado que <math display="inline">C_{\mathrm{surr}} \ll C_{\mathrm{sim}}</math> (con razones habituales <math display="inline">C_{\mathrm{surr}} / C_{\mathrm{sim}} \le 10^{-3}</math>). La relación [[#eq-7|(7)]] demuestra que el sustituto incurre en un sobrecosto computacional si el número de evaluaciones no supera el lote de entrenamiento más el equivalente en simulaciones del tiempo de ajuste. Esta condición se cumple en propagación de incertidumbre Monte Carlo o calibración estocástica (<math display="inline">N_{\mathrm{eval}} \sim 10^4</math> a <math display="inline">10^6</math>), pero resulta deficitaria en análisis aislados o cuando modificaciones en la geometría del dominio exigen regenerar la base de datos <span id='citeF-2'></span>[[#cite-2|[2]]].
  
−
La motivación aparece con claridad en tareas multi-consulta. La calibración, la inversión de fuentes, el análisis de sensibilidad, la propagación de incertidumbre, la optimización de remediación y el diseño de redes de monitoreo pueden requerir miles de evaluaciones de un modelo de flujo y transporte. En ese régimen, incluso un solver confiable puede volverse impráctico. El sustituto desplaza parte del costo hacia una fase offline de generación de datos y entrenamiento, con la expectativa de que cada evaluación posterior sea mucho más barata. Esta lógica explica por qué los sustitutos han sido revisados de forma amplia en modelación hidrogeológica y en aplicaciones de contaminantes subterráneos <span id='citeF-5'></span><span id='citeF-7'></span>[[#cite-5|[5,7]]].
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==5 Aprendizaje informado por física y redes neuronales==
  
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Sin embargo, la aceleración no es garantía de confiabilidad. Un sustituto puede interpolar con gran precisión dentro de un rango de entrenamiento y fallar de forma silenciosa cuando cambia el régimen de Péclet, la heterogeneidad hidráulica, la geometría, la ubicación de la fuente, la condición de frontera o el tiempo de predicción. En problemas ambientales, esa falla silenciosa es especialmente delicada: una subestimación local de concentración cerca de una fuente o de un frente de pluma puede producir decisiones de remediación o monitoreo incorrectas aunque el error promedio global sea pequeño.
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===5.1 Formulación continua y optimización multiobjetivo===
  
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===4.2 Familias metodológicas y supuestos implícitos===
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Las PINNs integran las ecuaciones diferenciales gobernantes en la función de pérdida de la optimización. En lugar de limitarse al aprendizaje supervisado sobre pares discretos de entrada&#8211;salida, se parametriza la solución continua del campo de transporte mediante una red diferenciable <math display="inline">C_{\boldsymbol{\theta }}(\mathbf{x}, t)</math>, con parámetros <math display="inline">\boldsymbol{\theta } \in \mathbb{R}^m</math>. El entrenamiento ajusta simultáneamente observaciones, condiciones iniciales, restricciones de frontera y residuos de la ecuación diferencial en el dominio espaciotemporal <math display="inline">\Omega \times (0, T]</math>. La función de pérdida se define como:
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La literatura suele organizar los sustitutos en tres familias amplias: modelos basados en datos, métodos de reducción de orden y enfoques multifidelidad o jerárquicos <span id='citeF-5'></span>[[#cite-5|[5]]]. La clasificación no es meramente taxonómica; cada familia supone una forma distinta de relacionar datos, física y extrapolación.
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Los sustitutos basados en datos aprenden directamente pares entrada&#8211;salida. En esta categoría se encuentran redes neuronales, Gaussian processes, Kriging, radial basis functions, support vector machines, random forests, gradient boosting y expansiones de polynomial chaos. Su mayor ventaja es la flexibilidad para aproximar relaciones no lineales sin modificar el solver de referencia. Su límite más visible es que el conocimiento físico entra de forma indirecta: está contenido en los datos de entrenamiento y, en ocasiones, en variables de entrada cuidadosamente elegidas. Por eso, la calidad del muestreo, la normalización, la partición entrenamiento&#8211;prueba y la representatividad del dominio físico son tan importantes como la arquitectura.
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Los métodos de reducción de orden parten de una intuición diferente: aunque el sistema completo tenga muchas variables, las soluciones relevantes pueden vivir cerca de una variedad o subespacio de dimensión menor. Técnicas como proper orthogonal decomposition, reduced basis methods o dynamic mode decomposition buscan proyectar la dinámica en una base compacta. Estos enfoques son atractivos cuando los campos de concentración presentan patrones coherentes y el rango paramétrico no rompe la estructura dominante. En transporte de contaminantes, el reto aparece cuando hay frentes abruptos, fuentes móviles, cambios fuertes de régimen, medios altamente heterogéneos o reacciones que introducen escalas múltiples.
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Los enfoques multifidelidad combinan simulaciones baratas y aproximadas con simulaciones caras y más precisas. La idea puede adoptar varias formas: corregir un modelo grueso con un residual aprendido, combinar datos de diferente resolución, usar simulaciones simplificadas para explorar el espacio paramétrico y reservar simulaciones de alta fidelidad para regiones informativas. Esta familia resulta conceptualmente atractiva para sistemas hídricos porque muchos proyectos ya operan con jerarquías de modelos: analíticos, 1D, 2D, 3D, estacionarios, transitorios, homogéneos o heterogéneos. La pregunta técnica es cómo fusionar esas fidelidades sin propagar sesgos del modelo barato hacia la predicción final.
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En las revisiones especializadas de contaminantes subterráneos se observa que los sustitutos se concentran en seis usos recurrentes: identificación de fuentes, diseño de remediación, gestión de acuíferos costeros, análisis de incertidumbre, diseño de redes de monitoreo e inversión de parámetros <span id='citeF-7'></span>[[#cite-7|[7]]]. Esta distribución revela que el valor principal de los sustitutos no está sólo en predecir concentraciones más rápido, sino en habilitar ciclos de decisión que serían demasiado costosos si cada propuesta exigiera una simulación completa.
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===4.3 Diseño de datos y relación con el simulador de referencia===
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La etapa más decisiva de un sustituto suele ocurrir antes del entrenamiento. El conjunto de datos define qué fenómenos podrá aprender el modelo y cuáles quedarán fuera de su experiencia. En problemas de transporte, las variables de entrada pueden incluir conductividades hidráulicas, porosidad, dispersividades, coeficientes de distribución, factores de retardación, tasas de decaimiento, intensidades de fuente, duración de liberación, ubicación espacial, condiciones iniciales, concentración de frontera y parámetros geométricos. Cada elección restringe el tipo de pregunta que el sustituto podrá responder.
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El diseño experimental funciona mejor cuando cubre no sólo rangos individuales, sino combinaciones físicamente plausibles. Un muestreo Latin hypercube o aleatorio puede ser suficiente en dimensiones moderadas, pero se vuelve débil cuando aumentan las variables, aparecen restricciones físicas o existen regiones raras de alto impacto. En esos casos, el muestreo adaptativo, la selección activa de simulaciones y los diseños orientados por incertidumbre pueden ser más adecuados que una exploración uniforme. La dificultad no es simplemente generar muchos datos; es generar datos que contengan los mecanismos que importan para la predicción o la decisión.
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También es útil distinguir entre salidas de naturaleza diferente. Predecir una concentración puntual en un pozo no es equivalente a emular toda una pluma espacial ni a reproducir una curva de ruptura. Las concentraciones puntuales pueden tolerar cierta pérdida de estructura espacial; los mapas de pluma requieren coherencia geométrica; las curvas de ruptura dependen del tiempo de llegada, el pico, la cola y la masa total recuperada. Por esa razón, la métrica de error corresponde mejor al objeto físico de interés. Un <math display="inline">R^2</math> alto para todos los puntos concatenados puede ocultar errores relevantes en el frente de avance, en zonas de baja concentración o en el tiempo del máximo.
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El simulador de referencia ocupa un papel doble. Por un lado, funciona como generador de datos confiables. Por otro, impone su propia discretización, estabilización numérica, tratamiento de fronteras y supuestos constitutivos. Un sustituto entrenado con MODFLOW/MT3D, diferencias finitas u otro solver reproduce, en primera instancia, la respuesta de ese flujo de trabajo. Si el solver de referencia contiene sesgos por malla, dispersión numérica o simplificación de procesos reactivos, el sustituto puede aprenderlos con gran precisión. Así, la documentación del solver, malla, tolerancias, paso de tiempo y versiones no es un detalle menor de reproducibilidad, sino parte de la definición científica del modelo emulado.
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===4.4 Evidencia en transporte de contaminantes subterráneos===
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Un ejemplo representativo de emulación en agua subterránea usa MODFLOW-NWT y MT3D-USGS para generar simulaciones de un acuífero conceptual 2D con advección, dispersión y sorción lineal <span id='citeF-6'></span>[[#cite-6|[6]]]. El flujo de trabajo combina muestreo Latin hypercube, simulación física, filtrado de corridas válidas, entrenamiento de redes y evaluación de costo. Las redes MLP se emplean para concentraciones puntuales y funciones objetivo, mientras que arquitecturas recurrentes como RNN/LSTM se usan para curvas de ruptura. El interés metodológico no se limita al valor reportado de <math display="inline">R^2</math> cercano a 0.99 ni al error relativo RMSE/media de concentración de 4.39%; reside en mostrar cómo un sustituto puede insertarse dentro de un flujo completo de simulación, calibración e incertidumbre.
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Esta evidencia también ilustra un patrón común: el desempeño es convincente dentro de un dominio conceptual controlado, pero la transferibilidad no queda resuelta. El acuífero considerado es 2D, con propiedades por zonas y sin la complejidad completa de heterogeneidad tridimensional de campo. En ese contexto, el sustituto aprende una familia de respuestas generada por un diseño paramétrico específico. La pregunta práctica para aplicaciones reales es si el mismo modelo mantiene estabilidad cuando se modifican conectividades hidráulicas, anisotropías, fuentes múltiples, fronteras transitorias o escalas espaciales. En la práctica, el éxito dentro de un benchmark no elimina la necesidad de pruebas fuera de distribución.
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El transporte reactivo multiespecie añade otra capa de dificultad porque la salida ya no es una concentración aislada, sino un conjunto acoplado de especies. En un caso 1D homogéneo con contaminante padre y producto de degradación, se han entrenado redes neuronales con datos de diferencias finitas para aproximar advección, dispersión hidrodinámica, decaimiento de primer orden y sorción lineal en equilibrio <span id='citeF-8'></span>[[#cite-8|[8]]]. Los resultados reportan errores bajos para ambas especies, con RMSE aproximados de 0.0291 para <math display="inline">C_1</math> y 0.0152 para <math display="inline">C_2</math> al usar dos millones de muestras, además de speed-ups de decenas a cientos de veces según el régimen de Péclet.
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La lectura de ese resultado tiene dos caras. Por una parte, demuestra que una red puede aprender respuestas reactivas acopladas y que el análisis por especie es necesario: un sustituto puede comportarse de manera distinta para el contaminante primario y para el producto de degradación. Por otra parte, el dominio 1D homogéneo reduce muchas fuentes de dificultad presentes en acuíferos reales. El propio comportamiento por régimen, con mejor desempeño en escenarios de mayor Péclet y posibles sobreestimaciones cerca de la fuente o en Péclet bajo, confirma que la precisión del sustituto no es homogénea en el espacio físico. Esta observación importa más que el speed-up agregado, porque señala dónde el modelo puede fallar en términos hidrogeológicos.
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En problemas inversos, los sustitutos se vuelven aún más sensibles a la especificación del modelo. Una formulación reciente incorpora la concentración de frontera como variable desconocida junto con la información de fuente y los parámetros del modelo <span id='citeF-28'></span>[[#cite-28|[28]]]. El enfoque usa un flujo simulation&#8211;optimization con un sustituto AutoML construido mediante TPOT y lo compara contra XGBoost, random forest, extra trees y elastic net. En casos sintéticos de fuente puntual y fuente areal, el sustituto AutoML alcanza <math display="inline">R^2=0.9980</math> con RMSE de <math display="inline">0.0078\,\mathrm{mg/L}</math> para la fuente puntual, y <math display="inline">R^2=0.9754</math> con RMSE de <math display="inline">22.846\,\mathrm{mg/L}</math> para la fuente areal.
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La contribución conceptual de este tipo de estudio no está sólo en automatizar la selección de modelos, sino en desplazar la discusión hacia la incertidumbre estructural de las fronteras. Una frontera mal especificada puede ser absorbida artificialmente por la fuente estimada o por los parámetros hidráulicos, produciendo una inversión aparentemente buena pero físicamente equivocada. El descenso de precisión al pasar de fuente puntual a fuente areal también es informativo: al crecer la dimensión efectiva del problema, el sustituto requiere más datos, mejor regularización o una representación más estructurada. La inversión de contaminantes no es únicamente una tarea de regresión; es un problema de identificabilidad bajo datos parciales.
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La extensión hacia fracturas de paredes rugosas muestra otra frontera metodológica. En medios fracturados, la geometría controla conectividad, canales preferenciales, zonas de estancamiento y dispersión efectiva. Un sustituto profundo construido con fracturas autoafines, aumento de datos y simulaciones de alta fidelidad busca acelerar la predicción de transporte en geometrías complejas <span id='citeF-9'></span>[[#cite-9|[9]]]. El caso es relevante porque los acuíferos fracturados desafían la representación homogénea clásica. Sin embargo, la degradación bajo condiciones extremas, como regiones de contacto o geometrías fuera del rango entrenado, confirma que la extrapolación geométrica sigue siendo un problema abierto.
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===4.5 Métricas: precisión estadística frente a validez física===
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La evaluación de sustitutos no puede reducirse a <math display="inline">R^2</math>, RMSE o MAE globales. Esas métricas son útiles, pero no necesariamente capturan conservación de masa, tiempo de llegada, posición del frente, extensión de la pluma, valor máximo, cola de la curva de ruptura o excedencia de umbrales regulatorios. En transporte de contaminantes, pequeños errores locales pueden tener consecuencias grandes si ocurren cerca de pozos de abastecimiento, fronteras de extracción o zonas de descarga.
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Una evaluación más informativa combina error estadístico y error físico. Para una salida discreta <math display="inline">\mathbf{c}</math> y su aproximación <math display="inline">\widehat{\mathbf{c}}</math>, el error relativo puede escribirse como
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<span id="eq-8"></span>
 
<span id="eq-8"></span>
Line 302: Line 158:
 
{| style="text-align: left; margin:auto;width: 100%;"  
 
{| style="text-align: left; margin:auto;width: 100%;"  
 
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| style="text-align: center;" | <math>\varepsilon _{\mathrm{rel}}                 =                \frac{\left\|\widehat{\mathbf{c}}-\mathbf{c}\right\|_2}{\left\|\mathbf{c}\right\|_2+\epsilon },                              </math>
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| style="text-align: center;" | <math>\mathcal{L}(\boldsymbol{\theta })                = \lambda _d \mathcal{L}_{\mathrm{datos}}(\boldsymbol{\theta })                + \lambda _b \mathcal{L}_{\mathrm{frontera}}(\boldsymbol{\theta })                + \lambda _i \mathcal{L}_{\mathrm{inicial}}(\boldsymbol{\theta })                + \lambda _f \mathcal{L}_{\mathrm{PDE}}(\boldsymbol{\theta }),                              </math>
 
|}
 
|}
 
| style="width: 5px;text-align: right;white-space: nowrap;" | (8)
 
| style="width: 5px;text-align: right;white-space: nowrap;" | (8)
 
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pero esta cantidad se entiende mejor acompañada de diagnósticos por región, especie, tiempo y régimen físico. En problemas donde la masa total sea decisiva, también es conveniente medir la discrepancia entre masa inyectada, masa almacenada, masa removida y masa que cruza las fronteras. En curvas de ruptura, es útil reportar errores en tiempo de llegada, pico, cola y área bajo la curva. En problemas inversos, la evaluación separa error de concentración, error de fuente, error de parámetros y error predictivo en sensores no usados durante la calibración.
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donde los coeficientes <math display="inline">\lambda _d, \lambda _b, \lambda _i, \lambda _f > 0</math> ponderan cada término. Cada componente se calcula sobre conjuntos discretos de puntos:
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La incertidumbre del sustituto es igualmente relevante. Muchos estudios reportan una predicción puntual, pero la toma de decisiones ambientales requiere saber cuándo el modelo no sabe. Gaussian processes, ensambles, dropout aproximado, cuantiles, conformal prediction o estimadores de error a posteriori pueden ofrecer señales de confianza, aunque ninguna de estas herramientas sustituye pruebas físicas. La incertidumbre útil no es sólo una banda estadística: sirve cuando indica si la entrada está dentro del dominio entrenado, si el régimen físico fue observado y si la salida respeta balances básicos.
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===4.6 Costo computacional y amortización===
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El argumento de eficiencia de un sustituto sólo es completo si separa el costo offline y el costo online. Una forma simple de expresarlo es
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<span id="eq-9"></span>
 
<span id="eq-9"></span>
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<span id="eq-10"></span>
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<span id="eq-11"></span>
 
{| class="formulaSCP" style="width: 100%; text-align: left;"  
 
{| class="formulaSCP" style="width: 100%; text-align: left;"  
 
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Line 321: Line 173:
 
{| style="text-align: left; margin:auto;width: 100%;"  
 
{| style="text-align: left; margin:auto;width: 100%;"  
 
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| style="text-align: center;" | <math>C_{\mathrm{total}}                 \approx                  N_{\mathrm{sim}} C_{\mathrm{solver}}                 + C_{\mathrm{train}}                 + N_{\mathrm{eval}} C_{\mathrm{surr}},                             </math>
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| style="text-align: center;" | <math>\mathcal{L}_{\mathrm{datos}}(\boldsymbol{\theta })                =                \frac{1}{N_d}\sum _{k=1}^{N_d} \left|C_{\boldsymbol{\theta }}(\mathbf{x}_k^d, t_k^d) - C_{\mathrm{obs}}^k\right|^2,                                 </math>
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| style="width: 5px;text-align: right;white-space: nowrap;" | (9)
 
| style="width: 5px;text-align: right;white-space: nowrap;" | (9)
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donde <math display="inline">N_{\mathrm{sim}}</math> es el número de simulaciones usadas para generar datos, <math display="inline">C_{\mathrm{solver}}</math> el costo de cada corrida física, <math display="inline">C_{\mathrm{train}}</math> el costo de entrenamiento, <math display="inline">N_{\mathrm{eval}}</math> el número de consultas posteriores y <math display="inline">C_{\mathrm{surr}}</math> el costo de inferencia del sustituto. La aceleración online puede ser espectacular, pero si <math display="inline">N_{\mathrm{eval}}</math> es pequeño o si el espacio paramétrico cambia con frecuencia, el costo de construir el sustituto puede no amortizarse.
 
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Esta contabilidad es especialmente importante en revisiones de literatura porque los speed-ups reportados suelen comparar una evaluación del solver contra una evaluación del sustituto ya entrenado. Esa comparación es válida para optimización, Monte Carlo o inversión iterativa, pero menos convincente para una predicción única. Un reporte reproducible tendría que indicar cuántas simulaciones se generaron, cuántas fueron descartadas, qué costo tuvo el entrenamiento, qué hardware se usó, qué tan rápido se evalúa el sustituto y a partir de cuántas consultas empieza a ser ventajoso.
 
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===4.7 Límites actuales y criterios de reporte===
 
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La principal limitación de los sustitutos es la extrapolación. Un modelo entrenado en un rango acotado puede producir salidas visualmente plausibles fuera de ese rango, pero sin relación física confiable. Este riesgo aumenta en dominios de alta dimensión, medios heterogéneos, geometrías irregulares, transporte reactivo, fronteras inciertas y datos de campo ruidosos. También aparece el problema de sesgo del simulador: si el modelo de referencia simplifica procesos relevantes, el sustituto puede acelerar una aproximación incompleta.
 
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Así, la utilidad de los sustitutos se entiende mejor como complementaria a los modelos numéricos tradicionales. Son excelentes aceleradores cuando existe una familia de escenarios bien definida, un simulador confiable, un diseño de datos representativo y una tarea multi-consulta. Son menos adecuados cuando el problema cambia de forma abierta, cuando no se conoce el dominio de aplicación o cuando la decisión depende de extrapolación fuerte. En esas condiciones se integran mejor con restricciones físicas, estimación de incertidumbre, detección fuera de distribución o esquemas híbridos.
 
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Para que los estudios sean comparables y útiles en aplicaciones hídricas, se recomienda reportar al menos: solver generador, versión o configuración, malla, paso de tiempo, tolerancias, parámetros muestreados, distribuciones de muestreo, número de simulaciones, criterios de descarte, costo offline, partición entrenamiento&#8211;validación&#8211;prueba, métricas por variable, métricas por régimen físico, conservación de masa, incertidumbre, costo online y pruebas fuera del rango de entrenamiento. Sin esta información, un sustituto puede parecer exitoso por su precisión promedio, pero ser difícil de reproducir o inseguro para decisiones ambientales.
 
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==5 Aprendizaje informado por física y redes neuronales==
 
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===5.1 Fundamento y promesa metodológica===
 
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Las redes neuronales informadas por física incorporan ecuaciones diferenciales en la función de pérdida de una red neuronal. En lugar de entrenar únicamente con pares entrada&#8211;salida, se entrena una función aproximante que busca satisfacer observaciones, condiciones iniciales, condiciones de frontera y residuos de la ecuación gobernante. Esta idea resulta adecuada en transporte de contaminantes porque muchas veces los datos son escasos o indirectos, pero la estructura física del problema es conocida: balance de masa, ley de Darcy, advección, dispersión, sorción, reacción y términos fuente.
 
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Si <math display="inline">u_\theta </math> representa una aproximación neuronal de la variable de interés, por ejemplo concentración, carga hidráulica o presión, el entrenamiento puede escribirse como
 
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<span id="eq-10"></span>
 
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{| class="formulaSCP" style="width: 100%; text-align: left;"
 
 
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| style="text-align: center;" | <math>                \mathcal{L}_{\mathrm{PDE}}(\boldsymbol{\theta })                =                \frac{1}{N_f}\sum _{j=1}^{N_f} \left|r_{\boldsymbol{\theta }}(\mathbf{x}_j^f, t_j^f)\right|^2,                                  </math>
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{| style="text-align: left; margin:auto;width: 100%;"  
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| style="width: 5px;text-align: right;white-space: nowrap;" | (10)
 
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| style="text-align: center;" | <math>\mathcal{L}(\theta )                = \lambda _d \mathcal{L}_{datos}                 + \lambda _b \mathcal{L}_{frontera}                 + \lambda _i \mathcal{L}_{inicial}                 + \lambda _f \mathcal{L}_{PDE},                              </math>
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| style="text-align: center;" | <math>                 \mathcal{L}_{\mathrm{inicial}}(\boldsymbol{\theta })                =                 \frac{1}{N_i}\sum _{i=1}^{N_i} \left|C_{\boldsymbol{\theta }}(\mathbf{x}_i^i, 0) - C_0(\mathbf{x}_i^i)\right|^2,                              </math>
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| style="width: 5px;text-align: right;white-space: nowrap;" | (11)
 
|}
 
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| style="width: 5px;text-align: right;white-space: nowrap;" | (10)
 
 
|}
 
|}
  
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donde cada término penaliza una fuente distinta de discrepancia. La función de pérdida convierte el problema físico en un problema de optimización: se buscan parámetros <math display="inline">\theta </math> que produzcan una solución compatible con los datos y con la ecuación. El marco fue consolidado en problemas directos e inversos de ecuaciones diferenciales y posteriormente ampliado dentro del aprendizaje informado por física, con énfasis en sistemas multiescala, incertidumbre, restricciones físicas y acoplamiento con datos ruidosos <span id='citeF-10'></span><span id='citeF-11'></span>[[#cite-10|[10,11]]].
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mientras que <math display="inline">\mathcal{L}_{\mathrm{frontera}}(\boldsymbol{\theta })</math> penaliza la discrepancia en operadores de frontera en <math display="inline">N_b</math> puntos sobre <math display="inline">\partial \Omega \times (0, T]</math>. Para el transporte de solutos establecido en la Sección&nbsp;[[#5 Marco físico y numérico del transporte de contaminantes|5]], el residual continuo <math display="inline">r_{\boldsymbol{\theta }}(\mathbf{x},t)</math> corresponde a:
  
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La diferencia conceptual con un sustituto puramente data-driven es importante. En un sustituto, la red aprende a imitar un simulador a partir de ejemplos. En una red neuronal informada por física, el residual de la ecuación participa directamente en el entrenamiento y permite usar puntos de colocación donde no existen mediciones. Esto no significa que la red neuronal informada por física resuelva automáticamente la física: significa que se le exige minimizar una forma computable de la física. La calidad del resultado depende de cómo se formule el residual, de cómo se escalen las variables, de la distribución de puntos de colocación, de los pesos de pérdida, de la arquitectura y del optimizador.
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<span id="eq-12"></span>
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Para una ecuación de transporte tipo advección&#8211;dispersión&#8211;reacción, una red <math display="inline">C_\theta (\mathbf{x},t)</math> puede evaluarse en puntos del dominio y diferenciarse mediante automatic differentiation. Un residual representativo puede escribirse, de manera esquemática, como
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<span id="eq-11"></span>
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{| class="formulaSCP" style="width: 100%; text-align: left;"  
 
{| class="formulaSCP" style="width: 100%; text-align: left;"  
 
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Line 369: Line 192:
 
{| style="text-align: left; margin:auto;width: 100%;"  
 
{| style="text-align: left; margin:auto;width: 100%;"  
 
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| style="text-align: center;" | <math>r_\theta (\mathbf{x},t)                =                R\frac{\partial C_\theta }{\partial t}                + \nabla \!\cdot (\mathbf{q}C_\theta )                 - \nabla \!\cdot \!\left(\phi _m\mathbf{D}\nabla C_\theta \right)                - S(C_\theta ,\mathbf{x},t),                              </math>
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| style="text-align: center;" | <math>r_{\boldsymbol{\theta }}(\mathbf{x},t)                =                R_f \frac{\partial C_{\boldsymbol{\theta }}}{\partial t}                + \mathbf{v}\cdot \nabla C_{\boldsymbol{\theta }}                 - \nabla \cdot \left(\mathbf{D}\nabla C_{\boldsymbol{\theta }}\right)                + \lambda C_{\boldsymbol{\theta }}                - S(\mathbf{x},t),                              </math>
 
|}
 
|}
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| style="width: 5px;text-align: right;white-space: nowrap;" | (11)
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| style="width: 5px;text-align: right;white-space: nowrap;" | (12)
 
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donde <math display="inline">R</math> puede representar retardación, <math display="inline">\mathbf{q}</math> el flujo de Darcy, <math display="inline">\phi _m</math> el contenido móvil o porosidad efectiva, <math display="inline">\mathbf{D}</math> el tensor de dispersión y <math display="inline">S</math> fuentes, sumideros o reacciones. En una formulación ideal, <math display="inline">r_\theta=0</math> en el dominio. En la práctica se minimiza una norma discreta del residual en puntos de colocación. Esta diferencia entre satisfacer una ecuación continua y minimizar un residuo muestreado es una de las razones por las que la validación física sigue siendo necesaria.
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con <math display="inline">R_f</math> como factor de retardación, <math display="inline">\mathbf{v}</math> el campo de velocidad intersticial, <math display="inline">\mathbf{D}</math> el tensor de dispersión definido en [[#eq-3|(3)]], <math display="inline">\lambda </math> la tasa de decaimiento y <math display="inline">S(\mathbf{x},t)</math> el término de inyección o extracción volumétrica de soluto. Las derivadas parciales se evalúan sin mallas mediante diferenciación automática (''automatic differentiation'', AD) sobre el grafo de la red <span id='citeF-9'></span><span id='citeF-10'></span>[[#cite-9|[9,10]]].
  
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===5.2 Escalamiento, pesos de pérdida y entrenamiento===
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Durante el entrenamiento surge un compromiso entre el ajuste de datos y la consistencia física: si <math display="inline">\lambda _f</math> predomina, la red puede satisfacer la ecuación en promedio pero divergir de las mediciones; si <math display="inline">\lambda _d</math> domina, actúa como un interpolador empírico. La adimensionalización de las variables espaciotemporales y los coeficientes hidrogeológicos evita disparidades numéricas entre las magnitudes de los gradientes <span id='citeF-10'></span><span id='citeF-7'></span>[[#cite-10|[10,7]]]. Habitualmente se emplea el optimizador Adam para una fase exploratoria inicial, seguido de refinamiento local mediante L-BFGS <span id='citeF-17'></span><span id='citeF-13'></span>[[#cite-17|[17,13]]].
  
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El punto más delicado de una red neuronal informada por física no suele ser escribir el residual, sino lograr que todos los términos de la pérdida compitan de manera razonable. Los términos de datos, frontera, condición inicial y residual pueden tener magnitudes, unidades y gradientes muy distintos. Si <math display="inline">\lambda _f</math> domina demasiado, la red puede satisfacer la ecuación en promedio y fallar en las mediciones. Si dominan los datos, la red puede comportarse como un interpolador con poca consistencia física. Si las fronteras están mal ponderadas, el campo resultante puede parecer correcto en el interior y ser físicamente inconsistente en la entrada o salida del dominio.
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===5.2 Acoplamiento hidrodinámico, problemas inversos e incertidumbre===
  
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La no dimensionalización y el escalamiento de variables son decisiones metodológicas importantes. En transporte, <math display="inline">x</math>, <math display="inline">t</math>, <math display="inline">C</math>, <math display="inline">K</math>, <math display="inline">D</math>, <math display="inline">R</math> y los términos fuente pueden vivir en escalas muy diferentes. Entrenar con variables dimensionales sin normalización puede introducir jerarquías numéricas artificiales que el optimizador interpreta como importancia física. Lo mismo ocurre con dominios largos, tiempos de transporte extensos o concentraciones con varios órdenes de magnitud. La literatura sobre aprendizaje informado por física identifica estos problemas como parte de una tensión más amplia entre error de aproximación, error de optimización y error de generalización <span id='citeF-11'></span><span id='citeF-18'></span>[[#cite-11|[11,18]]].
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En sistemas subterráneos, el transporte está acoplado al campo de flujo. Las formulaciones multifísicas permiten estimar simultáneamente la conductividad hidráulica <math display="inline">K(\mathbf{x})</math>, la carga hidráulica <math display="inline">h(\mathbf{x})</math> y la concentración <math display="inline">C(\mathbf{x},t)</math> a partir de datos dispersos, superando a las redes puramente basadas en datos <span id='citeF-17'></span>[[#cite-17|[17]]]. Este esquema abarca problemas directos, inversos y retrospectivos en el tiempo (''backward-in-time'') gobernados por el flujo de Darcy <span id='citeF-18'></span>[[#cite-18|[18]]]. En medios heterogéneos, el uso de funciones de activación periódicas (<math display="inline">\sin </math>) reduce el error frente a <math display="inline">\tanh </math> en uno o dos órdenes de magnitud, facilitando la captura de gradientes abruptos <span id='citeF-19'></span>[[#cite-19|[19]]].
  
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Los optimizadores también importan. Muchas aplicaciones combinan Adam para una exploración inicial con L-BFGS o L-BFGS-B para refinar la solución, porque la pérdida es no convexa y puede presentar mesetas, mínimos locales y gradientes mal condicionados. Esta práctica aparece en aplicaciones de transporte subterráneo y en problemas de medios porosos, pero no resuelve por sí sola la selección de pesos, puntos de colocación o arquitectura <span id='citeF-12'></span><span id='citeF-13'></span><span id='citeF-15'></span><span id='citeF-16'></span>[[#cite-12|[12,13,15,16]]]. Por eso, un estudio reproducible con redes neuronales informadas por física reporta más que el error final: escalamiento, pesos, calendario de entrenamiento, optimizadores, número de puntos residuales y sensibilidad ante cambios de muestreo.
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Para abordar la incertidumbre paramétrica y observacional, las PINNs se han integrado con caos polinomial arbitrario, optimización bayesiana y datos multifidelidad <span id='citeF-20'></span>[[#cite-20|[20]]], así como esquemas de pre-entrenamiento sobre familias de problemas de transporte en suelos <span id='citeF-21'></span>[[#cite-21|[21]]]. En problemas inversos, los parámetros hidrogeológicos y las fuentes se tratan como variables optimizables diferenciables. No obstante, hacer entrenable un parámetro no asegura su identificabilidad: la convergencia exige ponderaciones adaptativas y reescalamiento de gradientes para evitar combinaciones espurias de parámetros que reproduzcan el campo de concentración <span id='citeF-12'></span>[[#cite-12|[12]]]. Estas formulaciones se han aplicado a la identificación de fuentes en canales fluviales 1D <span id='citeF-22'></span>[[#cite-22|[22]]], advección&#8211;difusión 2D <span id='citeF-23'></span>[[#cite-23|[23]]] y acuíferos mediante esquemas bayesianos en dos etapas <span id='citeF-24'></span>[[#cite-24|[24]]].
  
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===5.3 Transporte subterráneo acoplado a flujo===
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===5.3 Regímenes advectivos, balance de masa y criterios de reporte===
  
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En sistemas subterráneos, el contaminante rara vez evoluciona aislado. La velocidad advectiva depende del campo de flujo, y este campo depende de la conductividad hidráulica, la carga, la geometría y las condiciones de frontera. De ahí que las redes neuronales informadas por física multifísicas resulten útiles: permiten acoplar la ecuación de Darcy con una ecuación de advección&#8211;dispersión y entrenar, de manera conjunta, estados y parámetros.
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En regímenes dominados por advección (<math display="inline">Pe \gg 1</math>), el sesgo espectral de las redes neuronales favorece frecuencias espaciales bajas, lo que tiende a suavizar frentes pronunciados. En problemas hiperbólicos con discontinuidades (como el flujo de Buckley&#8211;Leverett), las formulaciones estándar divergen a menos que se introduzcan restricciones de entropía y condiciones admisibles de flujo <span id='citeF-13'></span>[[#cite-13|[13]]]. Aunque el uso de activaciones adaptativas mitiga oscilaciones espurias en problemas de advección&#8211;dispersión&#8211;reacción <span id='citeF-14'></span>[[#cite-14|[14]]], la minimización del residual diferencial [[#eq-10|(10)]] sobre puntos discretos no garantiza la conservación global de la masa; la inclusión de una penalización integral de balance reduce esta deficiencia <span id='citeF-25'></span>[[#cite-25|[25]]].
  
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Una aplicación directa estima simultáneamente conductividad hidráulica <math display="inline">K(\mathbf{x})</math>, carga hidráulica <math display="inline">h(\mathbf{x})</math> y concentración <math display="inline">C(\mathbf{x},t)</math> usando datos escasos y restricciones de Darcy/transporte <span id='citeF-12'></span>[[#cite-12|[12]]]. La comparación con redes puramente data-driven muestra que incorporar física mejora la reconstrucción cuando las observaciones son limitadas. El resultado es importante porque muchos problemas de campo no disponen de mediciones densas de concentración, pero sí pueden combinar datos de carga, conductividad parcial, condiciones de frontera y conocimiento de la ecuación.
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El reporte riguroso de PINNs en transporte hídrico exige consignar: formulación adimensional, arquitectura y funciones de activación, esquema de muestreo de puntos de colocación, evolución de las ponderaciones de pérdida <math display="inline">\lambda _k</math>, costo computacional de entrenamiento e inferencia, verificación del balance de masa y evaluación fuera de distribución.
  
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Otra línea resuelve la ecuación de advección-dispersión directa y su versión inversa o backward acoplada a Darcy <span id='citeF-13'></span>[[#cite-13|[13]]]. En problemas directos se reportan errores relativos <math display="inline">L_2</math> de orden <math display="inline">10^{-2}</math>, mientras que en problemas backward las mediciones de concentración ayudan a estabilizar la reconstrucción. La distinción importa: resolver hacia adelante con condiciones conocidas no plantea las mismas dificultades que inferir estados pasados, fuentes o parámetros desde observaciones incompletas. La red neuronal informada por física puede actuar como regularizador físico, pero la identificabilidad sigue dependiendo de dónde están los datos, qué variables se observan y qué condiciones de frontera se imponen.
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==6 Criterios de evaluación y comparación metodológica==
  
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En medios homogéneos y heterogéneos, las decisiones de arquitectura también pueden cambiar el desempeño de forma sustancial. En transporte transitorio de solutos acoplado a Darcy, el uso de activaciones periódicas tipo <code>sin</code> ha mostrado errores de concentración uno o dos órdenes de magnitud menores que <code>tanh</code> en varios casos, además de aceleraciones inferenciales frente a FEM en dominios 2D <span id='citeF-16'></span>[[#cite-16|[16]]]. La lectura útil no es que una activación sea universalmente superior, sino que la representación de gradientes, oscilaciones y escalas espaciales depende de la arquitectura. En contaminantes, donde los frentes pueden ser estrechos y las colas largas, estas elecciones requieren validación física.
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La evaluación de modelos de ML y DL en transporte de contaminantes no puede limitarse a métricas estadísticas globales. Coeficientes como el RMSE o el coeficiente de determinación (<math display="inline">R^2</math>) promedian las desviaciones espaciotemporales sobre la totalidad del dominio de cálculo <math display="inline">\Omega </math>. Dado que las plumas de soluto ocupan habitualmente una fracción reducida del acuífero, un modelo que prediga concentraciones nulas en zonas no perturbadas puede alcanzar con facilidad valores de <math display="inline">R^2 > 0.98</math>, encubriendo subestimaciones severas en frentes de avance o retrasos en la llegada a pozos de abastecimiento.
  
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===5.4 Incertidumbre, multifidelidad y pre-entrenamiento===
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Para garantizar consistencia física y utilidad hidrogeológica, un protocolo riguroso de validación integra cuatro dimensiones analíticas:
  
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Los sistemas hídricos reales no tienen una sola fuente de incertidumbre. Hay incertidumbre en mediciones, parámetros hidráulicos, dispersividades, reacciones, condiciones iniciales, fronteras, estructura del modelo y proceso de entrenamiento. Por esa razón, el aprendizaje informado por física se ha combinado con representaciones estocásticas, datos multifidelidad y optimización bayesiana. En sistemas advección&#8211;difusión&#8211;reacción estocásticos, el uso de arbitrary polynomial chaos, redes compuestas y optimización bayesiana permite aprender medias, varianzas y parámetros desde mediciones escasas y de fidelidad mixta <span id='citeF-14'></span>[[#cite-14|[14]]]. Esta línea es relevante porque acerca las redes neuronales informadas por física a escenarios donde no existe un único campo verdadero, sino una distribución de respuestas plausibles.
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<ol>
  
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El pre-entrenamiento y la descomposición de dominio representan otra ruta. En transporte de contaminantes en suelos, se ha propuesto entrenar redes en familias de problemas para después ajustarlas a casos específicos con pocos datos, incorporando además cuantificación de incertidumbre y particiones del dominio <span id='citeF-30'></span>[[#cite-30|[30]]]. Conceptualmente, esto es atractivo para sistemas hídricos porque muchos sitios comparten patrones: infiltración, retardación, frentes advectivos, sorción no lineal o capas con propiedades contrastantes. El riesgo está en definir una familia de pre-entrenamiento demasiado estrecha. Si la red aprende una clase de problemas que no contiene el sitio real, el ajuste fino puede transmitir confianza espuria.
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<li>'''Conservación de masa y positividad:''' Comprueba que el modelo no genere ni destruya masa de soluto de manera artificial. El error relativo instantáneo de balance de masa en el tiempo <math display="inline">t</math> se define formalmente como:  
  
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La multifidelidad requiere cuidado. Combinar mediciones de campo, simulaciones de baja resolución, soluciones analíticas y simulaciones de alta fidelidad puede reducir costos, pero también puede mezclar sesgos. Una red neuronal informada por física entrenada con datos baratos y residual físico no necesariamente corrige los errores del modelo barato. Para que la multifidelidad sea útil, las fuentes de datos se distinguen explícitamente y el reporte indica qué parte del aprendizaje proviene de observación, de simulación, de frontera, de residual y de regularización.
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<span id="eq-13"></span>
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{| class="formulaSCP" style="width: 100%; text-align: left;"
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|-
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{| style="text-align: left; margin:auto;width: 100%;"
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| style="text-align: center;" | <math>
  
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===5.5 Problemas inversos e identificación de fuentes===
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\varepsilon _{\mathrm{masa}}(t)                =                 \frac{\left|\int _\Omega \phi (\mathbf{x}) R_f(\mathbf{x}) C_{\boldsymbol{\theta }}(\mathbf{x},t)\,d\Omega - M_{\mathrm{teorico}}(t)\right|}{M_0 + \int _0^t \dot{M}_{\mathrm{in}}(\tau )\,d\tau },                              </math>
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|}
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| style="width: 5px;text-align: right;white-space: nowrap;" | (13)
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|}</li>
  
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Las redes neuronales informadas por física son particularmente atractivas para problemas inversos porque los parámetros físicos pueden tratarse como variables entrenables. En lugar de estimar sólo <math display="inline">C(\mathbf{x},t)</math>, el entrenamiento puede incluir velocidad efectiva, dispersividad, coeficientes de reacción, retardación, conductividad, transferencia entre dominios móvil&#8211;inmóvil, posición de fuente o intensidad de liberación. Esta capacidad acerca las redes neuronales informadas por física a problemas de calibración y trazabilidad de contaminantes.
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donde <math display="inline">M_0 = \int _\Omega \phi R_f C_0\,d\Omega </math> es la masa inicial disuelta y adsorbida en el medio poroso, <math display="inline">\dot{M}_{\mathrm{in}}</math> denota el flujo másico inyectado, y la masa teórica acumulada <math display="inline">M_{\mathrm{teorico}}(t)</math> integra los flujos advectivos y dispersivos en la frontera junto con la tasa de decaimiento reactivo: 
  
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Sin embargo, volver entrenable un parámetro no garantiza que sea identificable. En modelos de difusión, advección&#8211;difusión&#8211;reacción y transporte mobile&#8211;immobile, la convergencia de parámetros requiere ponderaciones adaptativas de la pérdida y escalamiento de gradientes de los parámetros físicos <span id='citeF-17'></span>[[#cite-17|[17]]]. El punto no es menor: el problema inverso puede producir soluciones visualmente aceptables para la concentración y, al mismo tiempo, parámetros equivocados. En contaminantes, esto sería grave porque los parámetros estimados suelen usarse para extrapolar escenarios de remediación o riesgo.
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<span id="eq-14"></span>
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La identificación de fuentes muestra con claridad el potencial y los límites. En canales fluviales, la posición e intensidad de una fuente pueden formularse como parámetros entrenables dentro de una red neuronal informada por física para una ecuación de advección&#8211;dispersión 1D <span id='citeF-31'></span>[[#cite-31|[31]]]. En una formulación matemática transferible a sistemas hídricos, las coordenadas de una fuente en una ecuación de advección&#8211;difusión también pueden entrenarse como incógnitas <span id='citeF-32'></span>[[#cite-32|[32]]]. Para agua subterránea, las variantes bayesianas de dos etapas buscan incorporar incertidumbre en la identificación de fuentes <span id='citeF-33'></span>[[#cite-33|[33]]]. En conjunto, estos trabajos sugieren que las redes neuronales informadas por física pueden convertir la trazabilidad de contaminantes en un problema diferenciable, pero la estabilidad del resultado depende de ruido, ubicación de sensores, unicidad de la fuente, condiciones de frontera y complejidad hidrogeológica.
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Un criterio práctico es separar tres tipos de éxito. El primero es reconstruir el campo de concentración observado. El segundo es estimar parámetros o fuentes con error bajo. El tercero es predecir correctamente en ubicaciones, tiempos o condiciones no usadas durante el entrenamiento. Muchos modelos cumplen el primer criterio y no necesariamente los otros dos. Para publicación y uso ambiental, la validación incluye los tres.
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===5.6 Frentes pronunciados, alto Péclet y conservación===
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En transporte dominado por advección, las redes neuronales informadas por física enfrentan dificultades parecidas a las de los métodos numéricos clásicos, aunque expresadas de otra forma. Los frentes pronunciados, las discontinuidades, los shocks, las rarefactions y las capas límite generan gradientes altos que las redes pueden suavizar. El sesgo espectral de las redes comunes favorece componentes suaves, por lo que una solución con estructura local intensa puede quedar subrepresentada aunque el residual promedio sea pequeño <span id='citeF-11'></span><span id='citeF-18'></span>[[#cite-11|[11,18]]].
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El caso Buckley&#8211;Leverett en medios porosos ilustra el punto. Una formulación PINN directa puede fallar en problemas hiperbólicos con shocks; el desempeño mejora cuando se incorporan restricciones de entropía, condiciones de velocidad, ponderaciones espaciales de la pérdida y formulaciones físicamente admisibles del flujo <span id='citeF-15'></span>[[#cite-15|[15]]]. La enseñanza para contaminantes es clara: la física que no se escribe en la pérdida puede no emerger por simple minimización. Si el problema exige conservación, positividad, monotonía, entropía o ausencia de oscilaciones no físicas, esas propiedades se verifican o se imponen.
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En problemas con reacción y convección&#8211;difusión, las redes neuronales informadas por física pueden capturar frentes pronunciados y reducir oscilaciones espurias en escenarios de alto Péclet, además de estimar parámetros con datos ruidosos <span id='citeF-34'></span>[[#cite-34|[34]]]. Aun así, estos resultados se interpretan mejor junto con el costo de entrenamiento, la selección de activaciones y la sensibilidad a hiperparámetros. En transporte ambiental, un frente correcto no es sólo una figura visualmente limpia: llega en el tiempo adecuado, transporta la masa correcta y no viola condiciones de frontera.
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La conservación merece un lugar propio. Minimizar el residual local de una PDE no garantiza conservación global en horizontes largos. En una ecuación 1D de advección&#8211;difusión con frontera periódica, una penalización explícita de masa reduce de forma importante el error de masa frente a una PINN estándar <span id='citeF-29'></span>[[#cite-29|[29]]]. Para contaminantes, la advertencia importa. Un modelo que pierde masa artificialmente puede subestimar exposición; uno que crea masa puede sobredimensionar riesgos o inducir falsas alarmas. En ambos casos, la precisión estadística sería insuficiente.
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===5.7 Criterios de uso y reporte===
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Las redes neuronales informadas por física son más útiles cuando existe conocimiento físico razonable, datos escasos pero informativos, necesidad de inversión o asimilación, y geometrías donde evitar mallas puede ser ventajoso. Son menos convincentes cuando se presentan como reemplazo universal de solvers maduros, cuando no se reporta el costo de entrenamiento o cuando la validación se reduce a comparar curvas suaves en ejemplos sintéticos.
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Para problemas de contaminantes, un reporte completo incluye: ecuación en forma dimensional y no dimensional, variables entrenadas, parámetros inferidos, términos de pérdida, pesos y su evolución, método de muestreo de puntos de colocación, tratamiento de fronteras, optimizadores, arquitectura, activaciones, normalización, costo de entrenamiento, costo de inferencia, error por variable, error por régimen físico, conservación de masa, sensibilidad a ruido, pruebas fuera de distribución e incertidumbre. Esta lista puede parecer larga, pero responde a una realidad sencilla: una red neuronal informada por física no se evalúa sólo por ajustar datos, sino por sostener una predicción físicamente confiable bajo información incompleta.
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En una revisión de este tipo, la conclusión equilibrada es que las redes neuronales informadas por física amplían el repertorio de simulación e inversión, pero no eliminan la necesidad de juicio numérico. Su ventaja es mezclar datos y ecuaciones en un marco diferenciable; su límite es que esa mezcla depende de muchas decisiones que rara vez son neutras. Para sistemas hídricos, la ruta más razonable probablemente no sea usar redes neuronales informadas por física de forma aislada, sino integrarlas con solvers, estimación de incertidumbre, restricciones conservativas y validación hidrogeológica.
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==6 Operadores neuronales==
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===6.1 De soluciones particulares a familias de soluciones===
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Los operadores neuronales desplazan el objetivo de aprendizaje. En vez de aproximar una solución particular de una PDE para un conjunto fijo de parámetros, buscan aprender el mapa que lleva una función de entrada a una función de salida. En transporte de contaminantes, la entrada puede ser un campo de conductividad, una condición inicial, una distribución de fuente, una concentración de frontera o un conjunto de parámetros espaciales; la salida puede ser el campo de concentración en espacio y tiempo. De manera esquemática,
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<span id="eq-12"></span>
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{| class="formulaSCP" style="width: 100%; text-align: left;"  
 
{| class="formulaSCP" style="width: 100%; text-align: left;"  
 
|-
 
|-
Line 442: Line 244:
 
{| style="text-align: left; margin:auto;width: 100%;"  
 
{| style="text-align: left; margin:auto;width: 100%;"  
 
|-
 
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| style="text-align: center;" | <math>\mathcal{A}:                 \left(K(\mathbf{x}), C_0(\mathbf{x}), S(\mathbf{x},t), \boldsymbol{\mu }\right)                \longmapsto                  C(\mathbf{x},t),                              </math>
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| style="text-align: center;" | <math>
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M_{\mathrm{teorico}}(t)                 =                M_0 + \int _0^t \left[\dot{M}_{\mathrm{in}}(\tau ) - \dot{M}_{\mathrm{out}}(\tau ) - \int _\Omega \phi (\mathbf{x}) \lambda C_{\boldsymbol{\theta }}(\mathbf{x},\tau )\,d\Omega \right]d\tau{.}                             </math>
 
|}
 
|}
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| style="width: 5px;text-align: right;white-space: nowrap;" | (12)
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| style="width: 5px;text-align: right;white-space: nowrap;" | (14)
 
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|}
  
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donde <math display="inline">\mathcal{A}</math> es el operador solución inducido por el modelo físico y las condiciones del problema. Una red de operador intenta aproximar <math display="inline">\mathcal{A}</math> y no sólo una realización particular de <math display="inline">C</math>. La distinción importa: un sustituto convencional puede ser excelente para un conjunto de sensores o una función objetivo; un operador neuronal aspira a reconstruir campos completos y a evaluar la solución en mallas, tiempos o ubicaciones no idénticos a los usados durante el entrenamiento.
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A la par de [[#eq-13|(13)]], debe verificarse la condición de positividad <math display="inline">C_{\boldsymbol{\theta }}(\mathbf{x},t) \ge 0</math>, cuya vulneración genera artefactos numéricos inadmisibles en ingeniería ambiental.
  
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El atractivo para sistemas hídricos es evidente. Si se dispone de una familia de acuíferos, suelos, ríos o fracturas parametrizados, el operador aprendido podría acelerar la evaluación de muchos escenarios sin entrenar un modelo nuevo para cada combinación de parámetros. La dificultad está en el entrenamiento, que exige un conjunto de simulaciones suficientemente amplio para representar la variabilidad funcional de entradas y salidas. En otras palabras, los operadores neuronales reducen el costo online a cambio de elevar la exigencia sobre el diseño del dataset.
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<li>'''Respuesta ante regímenes advectivos (<math>Pe</math>):''' El comportamiento predictivo debe examinarse en función del número de Péclet (<math display="inline">Pe = UL/D</math>). En regímenes con <math display="inline">Pe \gg 1</math>, se evalúa si la arquitectura amortigua el frente contaminante mediante difusión artificial o si induce oscilaciones espurias aguas arriba del frente de avance. </li>
  
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===6.2 Arquitecturas representativas y discretización===
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<li>'''Amortización del costo computacional:''' Evaluación formal del balance entre el costo preparatorio <math display="inline">C_{\mathrm{offline}}</math> (generación de lotes de simulación y convergencia de gradientes) y el costo inferencial <math display="inline">C_{\mathrm{online}}</math>, aplicando el umbral analítico de consultas <math display="inline">N_{\mathrm{eval}}^*</math> deducido en [[#eq-7|(7)]]. </li>
  
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DeepONet aproxima operadores mediante dos componentes: una red branch que codifica la función de entrada evaluada en sensores y una red trunk que codifica el punto donde se desea evaluar la salida <span id='citeF-19'></span>[[#cite-19|[19]]]. Esta separación permite representar un operador como combinación de información global de entrada e información local de evaluación. Para transporte de contaminantes, esa estructura resulta natural porque se asemeja a una pregunta común: dado un campo de propiedades o una fuente, ¿cuál será la concentración en un punto, tiempo o sensor específico?
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<li>'''Generalización y extrapolación fuera de distribución:''' Verificación del desempeño ante escenarios no contemplados en la etapa de optimización, tales como variaciones en el gradiente regional de flujo, desplazamientos imprevistos de la fuente o campos de conductividad hidráulica con estructuras de heterogeneidad no muestreadas.        </li>
  
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Fourier Neural Operator (FNO) adopta otra estrategia: parametriza capas integrales en el dominio de Fourier y aprende mapas entre funciones sobre mallas, con buenos resultados en benchmarks de Burgers, Darcy y Navier&#8211;Stokes <span id='citeF-20'></span>[[#cite-20|[20]]]. Su fortaleza está en aprender correlaciones globales y transferir, en ciertos casos, entre resoluciones. Para problemas hídricos, la afinidad con grillas estructuradas puede ser una ventaja en dominios rectangulares o simulaciones regulares, pero una limitación en geometrías irregulares, redes de ríos o acuíferos con fronteras complejas.
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</ol>
  
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El concepto de invariancia a discretización da profundidad teórica a esta familia. Un operador aprendido no depende, idealmente, sólo del vector discreto usado durante el entrenamiento; aproxima un mapa continuo que puede evaluarse bajo distintas discretizaciones <span id='citeF-21'></span>[[#cite-21|[21]]]. Esta propiedad es deseable en simulación ambiental porque la malla suele cambiar entre exploración conceptual, calibración de sitio y simulación de alta resolución. Sin embargo, la invariancia a discretización no elimina errores de aproximación, optimización, discretización ni sesgo de datos. Sólo define una aspiración matemática más exigente que la regresión en una malla fija.
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La Tabla&nbsp;[[#table-1|1]] sintetiza las diferencias operativas y conceptuales entre las dos familias metodológicas analizadas.
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===6.3 Utilidad para contaminantes y flujo reactivo===
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En transporte de contaminantes, los operadores neuronales son más pertinentes cuando el problema no se formula como una corrida aislada, sino como una familia de escenarios. Ejemplos naturales son la respuesta de un acuífero ante múltiples ubicaciones de fuente, campos alternativos de conductividad, historias de recarga, escenarios de remediación o condiciones de frontera inciertas. Si el operador aprende esa familia, puede usarse en optimización, análisis de incertidumbre, inversión y evaluación rápida de riesgo.
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Las revisiones recientes sitúan los operadores neuronales como herramientas de simulación científica e inverse design, con speed-ups potenciales de varios órdenes de magnitud en aplicaciones generales <span id='citeF-22'></span>[[#cite-22|[22]]]. Pero esa promesa se matiza para contaminantes hídricos. A diferencia de benchmarks limpios, los problemas ambientales combinan dominios irregulares, datos escasos, procesos reactivos, fronteras mal conocidas, heterogeneidad fuerte y eventos raros. El operador puede interpolar bien en escenarios comunes y fallar justo en condiciones de alto riesgo si esas condiciones no están representadas.
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Una ruta cercana al transporte reactivo es aprender cierres multiescala. En flujo reactivo en formaciones geológicas, un recurrent neural operator puede aproximar el operador de escala fina que relaciona historias de velocidad y concentración con propiedades efectivas como permeabilidad, difusividad, velocidad advectiva, área específica y fracción de volumen poroso <span id='citeF-23'></span>[[#cite-23|[23]]]. La contribución es importante porque el aprendizaje ya no sólo predice <math display="inline">C(\mathbf{x},t)</math>; aprende cómo la escala porosa modifica los coeficientes efectivos de una simulación geológica. Esto abre una vía para problemas donde resolver repetidamente la microescala es prohibitivo.
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El primer cuidado es que un cierre aprendido hereda la cobertura del dataset de microescala. Si las trayectorias de entrenamiento no contienen ciertos cambios morfológicos, reacciones, regímenes de Damköhler o patrones de canalización, el operador puede subestimar transiciones relevantes. En sistemas reactivos, la extrapolación no es sólo estadística: puede cambiar el mecanismo dominante del transporte.
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===6.4 Condiciones para adopción===
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Antes de adoptar operadores neuronales en contaminantes, es útil verificar cuatro condiciones. Primero, se requiere una familia de problemas suficientemente clara; si cada sitio requiere una física y geometría completamente distinta, el operador pierde ventaja. Segundo, el costo de generar datos se amortiza mediante muchas consultas posteriores. Tercero, las pruebas incluyen cambios de resolución, escenarios fuera de distribución y conservación. Cuarto, la incertidumbre se expresa mejor en espacio de funciones, no sólo como error promedio en una malla.
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Bajo esas condiciones, los operadores neuronales no sustituyen al solver de referencia: lo convierten en generador de una familia de soluciones y luego aprenden un mapa rápido para explorar esa familia. Su uso más defendible en el corto plazo parece estar en flujos multi-consulta, inversión diferenciable, diseño de escenarios y modelos híbridos donde el operador aprenda una parte costosa del acoplamiento físico.
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==7 Modelos híbridos, grafos y transformers==
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===7.1 Híbridos con estructura numérica===
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Los modelos híbridos buscan una posición intermedia entre solver clásico y red neuronal. En vez de aprender todo el mapa entrada&#8211;salida, preservan parte de la estructura física o numérica y aprenden sólo los componentes inciertos: cierres constitutivos, parámetros efectivos, términos de reacción, sorción, retardación, dispersión no Fickiana o errores sistemáticos del modelo. La idea es útil para contaminantes, donde el balance de masa y la forma conservativa no son decorativos, sino condiciones de interpretación ambiental.
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FINN, una red neuronal de volumen finito, ilustra esta filosofía en difusión&#8211;sorción de TCE en arcilla saturada <span id='citeF-24'></span>[[#cite-24|[24]]]. El método combina volumen finito, redes neuronales y Neural ODEs para aprender relaciones constitutivas y parámetros manteniendo una discretización inspirada en balances. La diferencia frente a una red puramente data-driven es sustantiva: el modelo no parte desde cero para descubrir que el transporte responde a flujos entre volúmenes de control; esa estructura ya está incorporada.
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En datos sintéticos y de laboratorio, FINN muestra buen comportamiento fuera de distribución, especialmente cuando cambia la condición de frontera, y utiliza un número reducido de parámetros entrenables frente a arquitecturas comparadas <span id='citeF-24'></span>[[#cite-24|[24]]]. Esto importa porque las condiciones de frontera son una de las fuentes más delicadas de incertidumbre en contaminantes. Un modelo que conserva estructura de flujo puede degradarse de forma más interpretable que una caja negra cuando se le exige extrapolar.
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El límite es que cada híbrido suele estar diseñado para una física particular. Extender un modelo de difusión&#8211;sorción 1D a advección, reacción multiespecie, heterogeneidad espacial, evaporación, fracturas o campo 3D no es automático. La ventaja de estructura viene acompañada de menor generalidad: hay que decidir qué parte del conocimiento se codifica y qué parte se aprende.
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===7.2 Incertidumbre en cierres aprendidos===
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Aprender un cierre físico no basta; también hay que estimar la confianza en ese cierre. En modelos de difusión&#8211;sorción, el factor de retardación <math display="inline">R(c)</math> puede aprenderse a partir de datos de concentración, pero distintas funciones <math display="inline">R(c)</math> pueden ser compatibles con observaciones escasas. Esta no unicidad es típica de problemas inversos en transporte.
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Una extensión reciente combina FINN con data-driven bootstrapping para construir intervalos de confianza en el término aprendido y compararlos con una alternativa BNN-MCMC <span id='citeF-25'></span>[[#cite-25|[25]]]. En el experimento reportado, el enfoque bootstrap requiere muchas menos muestras, es paralelizable y resulta mucho más eficiente en costo total. Más relevante para sistemas hídricos es que los intervalos se amplían al pasar de datos de entrenamiento a datos de prueba, lo que indica sensibilidad a cambio de régimen o de muestra.
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Esta discusión introduce una regla general: cuanto más físico parezca un componente aprendido, más importante es cuantificar su incertidumbre. Un <math display="inline">R(c)</math>, una dispersividad efectiva o una tasa de reacción aprendida pueden ser usados posteriormente como si fueran propiedades del medio. Si no se reporta su incertidumbre, el modelo puede transformar un ajuste parcial en una afirmación física demasiado fuerte.
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===7.3 Grafos para redes de monitoreo===
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Muchas aplicaciones reales no observan un campo continuo de concentración, sino datos puntuales en pozos, estaciones o sensores distribuidos de forma irregular. En ese contexto, las redes neuronales de grafos ofrecen una representación natural: los nodos representan sitios de monitoreo y las aristas codifican relaciones espaciales, hidrogeológicas, hidráulicas o de conectividad. En forma abstracta, un grafo <math display="inline">G=(V,E)</math> permite actualizar la representación de cada nodo usando información de sus vecinos, ponderada por atributos de arista y mecanismos de atención.
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Una red de grafos con atención se ha usado para modelar profundidad de agua subterránea, concentración de contaminantes y atribución de fuentes en acuíferos heterogéneos con monitoreo limitado <span id='citeF-26'></span>[[#cite-26|[26]]]. El uso de atención permite ponderar contribuciones de nodos o fuentes, mientras que SHAP agrega una capa de interpretación sobre la influencia relativa de fuentes contaminantes. Esta combinación es relevante porque la detección temprana no depende sólo de predecir concentración; también exige explicar qué fuente, zona o relación hidrogeológica está dominando la señal.
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La decisión física más delicada en una GNN no está sólo en la arquitectura, sino en la definición del grafo. Conectar pozos por distancia euclidiana puede ser insuficiente si el flujo preferencial sigue gradientes hidráulicos, estratigrafía, fracturas o bombeo. La conectividad incorpora mejor, cuando sea posible, dirección de flujo, tiempo de viaje, similitud hidroquímica, conectividad hidráulica o relaciones derivadas de un modelo de flujo. Si el grafo codifica mal la física, la atención puede producir interpretaciones visualmente convincentes pero hidrogeológicamente débiles.
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Las GNNs son herramientas útiles para monitoreo, detección temprana, imputación espacial e identificación de fuentes en redes irregulares. Su utilidad disminuye cuando el número de nodos es muy pequeño, cuando el dominio observado no cubre las rutas de transporte relevantes o cuando las aristas se definen sin soporte físico.
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===7.4 Transformers y dinámica latente===
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Los transformers aportan otra idea: aprender dependencias temporales largas y relaciones entre estados latentes. En contaminación subterránea, una arquitectura basada en autoencoder convolucional con ideas de Koopman, transformer y ensemble smoother se ha propuesto para caracterizar la evolución temporal de campos de concentración e invertir historias de liberación <span id='citeF-27'></span>[[#cite-27|[27]]]. El autoencoder reduce el campo a una representación latente; el transformer aprende la evolución en ese espacio; el ensemble smoother apoya la inversión.
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Esta ruta es conceptualmente distinta de una PINN o de un híbrido conservativo. El modelo no necesariamente impone la ecuación de transporte en cada punto; aprende una dinámica latente que resume patrones espaciales y temporales de las simulaciones. Puede ser potente cuando los campos son de alta dimensión y existe una estructura temporal repetible. También puede ser frágil si la representación latente descarta detalles físicamente decisivos, como concentraciones bajas pero persistentes, colas de ruptura, zonas de acumulación o excedencias locales.
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El lenguaje de Koopman es útil porque sugiere que una dinámica no lineal puede representarse de forma más simple en un espacio transformado. Para divulgación científica, la intuición es que el modelo aprende coordenadas internas donde la evolución contaminante resulta más predecible. Para uso ambiental, la exigencia es que esa compresión no destruya conservación, localización de fuentes ni tiempos de llegada. Un buen modelo latente se evalúa mejor tanto por reconstrucción visual como por cantidades físicas integradas y por desempeño en sensores no usados durante el entrenamiento.
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===7.5 Lectura conjunta===
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Operadores, híbridos, grafos y transformers no son rutas excluyentes. Un operador neuronal puede aprender una familia de soluciones; un híbrido puede preservar balance y aprender cierres; una GNN puede trabajar sobre la red de monitoreo; un transformer puede modelar dinámica latente. En una arquitectura compleja, estas piezas podrían combinarse: por ejemplo, un operador para generar escenarios rápidos, una GNN para asimilar datos de pozos y un módulo híbrido para imponer conservación local.
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La pregunta de fondo no es cuál arquitectura es más moderna, sino qué estructura del problema se quiere respetar. Si el dominio es una familia parametrizada de PDEs, un operador puede ser natural. Si la conservación y los cierres constitutivos son importantes, un híbrido es más defendible. Si los datos son sensores irregulares, una GNN encaja mejor. Si la dinámica espacial es de alta dimensión y recurrente, un transformer latente puede ser útil. La calidad científica aparece al alinear arquitectura, física, datos y forma de validación.
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==8 Criterios de evaluación==
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Una comparación responsable entre métodos va más allá de métricas promedio. En transporte de contaminantes, la predicción se usa para decidir monitoreo, remediación, riesgo y cumplimiento regulatorio. Por eso, el error estadístico se lee mejor junto con conservación, estabilidad, incertidumbre, costo, extrapolación e interpretabilidad física. La Tabla&nbsp;[[#table-2|2]] resume criterios útiles para un reporte sistemático.
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{|  class="floating_tableSCP wikitable" style="text-align: left; margin: 1em auto;min-width:50%;"
 
{|  class="floating_tableSCP wikitable" style="text-align: left; margin: 1em auto;min-width:50%;"
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|+ style="font-size: 75%;" |<span id='table-2'></span>Table. 2 Criterios recomendables para evaluar modelos ML/DL en transporte de contaminantes.
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|+ style="font-size: 75%;" |<span id='table-1'></span>Table. 1 Comparación metodológica entre modelos sustitutos y PINNs en el transporte de contaminantes.
 
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|                 '''Dimensión'''
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| '''Modelos sustitutos y emuladores'''
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| '''PINNs'''
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| 3.0cm
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|                  '''Criterio'''
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|                  Entrada y salida
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| '''Qué mide'''
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| Parámetros globales o de diseño <math display="inline">\to </math> campos de concentración o series en pozos.
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| '''Por qué importa'''
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| Coordenadas <math display="inline">(\mathbf{x},t)</math> y parámetros <math display="inline">\to </math> concentración local <math display="inline">C(\mathbf{x},t)</math> y propiedades del medio.
 
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|                  Error predictivo
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|                  Requerimiento de datos
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| RMSE, MAE, error relativo, <math display="inline">R^2</math>, error por especie, sensor, tiempo o región
+
| Cientos a miles de simulaciones numéricas previas mediante diseño de experimentos.
−
| Permite comparar precisión estadística, pero puede ocultar errores locales delicados
+
| Mediciones dispersas de concentración y puntos de colocación en el dominio; no requieren simulador previo.
 
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|-
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|                  Conservación y consistencia
+
|                  Tratamiento de la física
−
| Balance de masa, positividad, estabilidad temporal, pérdida o ganancia artificial
+
| Indirecto; la física proviene del simulador numérico que genera la base de entrenamiento.
−
| Una predicción de contaminantes respeta cantidades físicas que sostienen la evaluación de riesgo
+
| Directo; el residuo diferencial de advección&#8211;dispersión&#8211;reacción se minimiza en la función de pérdida.
 
|-
 
|-
−
|                  Estabilidad física
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|                  Costo computacional
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| Desempeño por régimen de Péclet, heterogeneidad, geometría, fuente, frontera y ruido
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| Alto costo inicial (<math display="inline">C_{\mathrm{offline}}</math>); inferencia en milisegundos (<math display="inline">C_{\mathrm{online}}</math>).
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| Revela fallas al cambiar el régimen que produjo los datos de entrenamiento
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| Optimización prolongada para cada escenario; cada nuevo dominio o condición exige reentrenamiento.
 
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|                  Costo total
+
|                  Conservación y extrapolación
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| Costo offline, entrenamiento, costo online, memoria, hardware y número de consultas amortizadas
+
| Conservación aproximada; degradación rápida fuera del espacio paramétrico entrenado <math display="inline">\mathcal{P}</math>.
−
| Distingue aceleración real de simple traslado de costo al entrenamiento o a la generación de datos
+
| Susceptible a difusión numérica y pérdidas de masa si <math display="inline">Pe \gg 1</math>; regularización continua en interpolación.
 
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|                  Incertidumbre
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|                  Uso principal
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| Intervalos, ensambles, sensibilidad, ruido, incertidumbre epistemológica y aleatoria
+
| Análisis de sensibilidad global, optimización de pozos y propagación de incertidumbre Monte Carlo.
−
| Evita decisiones basadas en predicciones puntuales sin confiabilidad cuantificada
+
| Problemas inversos, estimación de parámetros hidrogeológicos y localización de fuentes contaminantes.
−
|-
+
−
|                  Interpretabilidad física
+
−
| Influencia de variables, fuentes, cierres aprendidos, parámetros inferidos y coherencia hidrogeológica
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| Ayuda a distinguir explicación útil de correlación estadística sin mecanismo plausible
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|                  Reproducibilidad
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| Datos, código, semillas, mallas, hiperparámetros, versiones de solvers y particiones de prueba
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| Facilita verificación, comparación y acumulación de evidencia
+
  
 
|}
 
|}
  
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La Tabla&nbsp;[[#table-3|3]] compara las familias metodológicas desde una perspectiva práctica. No se plantea como una jerarquía fija, sino como una guía para seleccionar herramientas según el tipo de pregunta, datos y restricción física disponible.
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==7 Desafíos abiertos para una adopción confiable==
  
 +
La adopción de estas técnicas en la toma de decisiones hidrogeológicas enfrenta retos metodológicos específicos que condicionan su fiabilidad práctica en escenarios de ingeniería ambiental.
  
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{|  class="floating_tableSCP wikitable" style="text-align: left; margin: 1em auto;min-width:50%;"
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En primer término, persiste una falta de problemas de referencia (''benchmarks'') compartidos en hidrogeología computacional. La literatura evalúa las arquitecturas sobre geometrías ''ad hoc'', fuentes simplificadas o condiciones de flujo homogéneo. Esta disparidad en los casos de prueba impide comparar de forma concluyente la precisión, la demanda de memoria y el tiempo de entrenamiento entre distintas alternativas. La comunidad requiere bancos de prueba abiertos basados en configuraciones representativas (como medios porosos con heterogeneidad espacial correlacionada o sistemas fracturados), provistos de mallas y particiones de datos estandarizadas.
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|+ style="font-size: 75%;" |<span id='table-3'></span>Table. 3 Familias metodológicas revisadas y utilidad relativa para transporte de contaminantes.
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| 3.0cm
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|                  '''Familia'''  
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| '''Cuándo conviene y qué aporta'''
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| '''Riesgo o cautela'''
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|                  Sustitutos ML/DL
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| Muchas consultas de un simulador confiable en un dominio bien definido; ofrecen alta velocidad online para calibración, incertidumbre y optimización
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| Extrapolación débil si el diseño de datos es estrecho, sesgado o no cubre fuentes y fronteras relevantes
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|-
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|                  Redes neuronales informadas por física
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| Datos escasos, problemas inversos o necesidad de regularización física; incorporan residuos PDE y permiten inferir fuentes o parámetros
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| Entrenamiento sensible; conservación global y convergencia no garantizadas sin restricciones adicionales
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|                  Operadores neuronales
+
−
| Familias parametrizadas de escenarios, mallas o condiciones funcionales; aprenden mapas entre funciones y pueden transferir entre discretizaciones
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| Requieren datasets amplios; eventos raros, fronteras complejas y cambios de mecanismo siguen siendo difíciles
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|-
+
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|                  Híbridos numérico&#8211;ML
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| Cierres físicos inciertos con necesidad de balance o estructura numérica; mejoran interpretabilidad y consistencia física local
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| Menor generalidad; cada diseño queda ligado a una formulación física y a supuestos de discretización
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|-
+
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|                  Grafos
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| Pozos, sensores o estaciones distribuidos irregularmente; son naturales para monitoreo limitado, imputación y atribución de fuentes
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| La conectividad representa mejor relaciones hidrogeológicas que sólo distancia geométrica
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|-
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|                  Transformers latentes
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| Campos espaciotemporales de alta dimensión con dinámica repetible; capturan dependencias temporales largas y reducen dimensionalidad
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| La compresión puede perder detalles delicados de conservación, tiempos de llegada o riesgo local
+
  
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|}
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En segundo término, existe una brecha notable entre los datos sintéticos de simulaciones numéricas y las condiciones del monitoreo ambiental de campo. Mientras que los simuladores numéricos entregan mallas densas y regulares, los acuíferos reales se registran mediante redes limitadas de pozos con muestreos asincrónicos, perturbados por ruido instrumental e incertidumbre en la estratigrafía subsuperficial. El desarrollo de modelos debe priorizar la asimilación de datos escasos y dispersos, contemplando las incertidumbres asociadas a las condiciones de frontera hidrogeológicas.
  
−
Una consecuencia práctica de estos criterios es que la validación se diseña mejor por escenario, no sólo por porcentaje de datos. Separar aleatoriamente entrenamiento y prueba puede sobrestimar desempeño si los escenarios comparten la misma fuente, frontera, régimen o campo hidráulico. Para evaluar generalización física, es útil reservar pruebas por régimen: fuentes no vistas, heterogeneidades nuevas, fronteras modificadas, sensores retenidos, horizontes temporales más largos y condiciones de ruido distintas.
+
En tercer lugar, la conservación estricta de masa en regímenes dominados por advección continúa siendo un problema abierto. En formulaciones estándar de PINNs, el residuo diferencial se penaliza como una pérdida suave en la optimización; en presencia de frentes de soluto pronunciados (<math display="inline">Pe \gg 1</math>), esto propicia difusión artificial o variaciones no físicas en la masa total de contaminante <span id='citeF-25'></span>[[#cite-25|[25]]]. Para mitigar este defecto, se investigan esquemas con conservación intrínseca, tales como redes neuronales de volúmenes finitos (FINN) <span id='citeF-26'></span>[[#cite-26|[26]]] o restricciones que imponen el balance de flujos mediante multiplicadores de Lagrange.
  
−
==9 Desafíos abiertos para una adopción confiable==
+
Asimismo, la cuantificación de incertidumbre en problemas inversos exige mayor rigor. La identificación de fuentes de contaminación o la estimación de conductividades hidráulicas presentan una acusada no unicidad: diversas combinaciones de parámetros generan curvas de concentración equivalentes en los pozos de observación <span id='citeF-23'></span><span id='citeF-12'></span>[[#cite-23|[23,12]]]. Las predicciones puntuales resultan insuficientes para la gestión de riesgos ambientales. La integración de redes neuronales bayesianas, ensambles y esquemas de remuestreo (''bootstrapping'') acoplados a modelos con estructura física <span id='citeF-27'></span><span id='citeF-24'></span>[[#cite-27|[27,24]]] proporciona una vía para estimar intervalos de confianza reproducibles.
  
−
La literatura revisada muestra un campo técnicamente activo, pero todavía fragmentado. Los resultados reportados son alentadores en precisión y velocidad, aunque con frecuencia se obtienen en dominios, métricas, ecuaciones, solvers y particiones de datos difíciles de comparar. Esta heterogeneidad no invalida los avances, pero sí limita la posibilidad de extraer conclusiones generales sobre qué familia de métodos resulta adecuada bajo cada régimen físico. Una necesidad transversal es construir problemas de referencia hídricos donde sustitutos, redes neuronales informadas por física, operadores neuronales, modelos híbridos, GNNs y transformers puedan evaluarse sobre ecuaciones, dominios, fuentes, fronteras y métricas comunes.
+
Finalmente, surgen arquitecturas complementarias dirigidas a resolver limitaciones topológicas y funcionales. Las GNN permiten modelar la conectividad hidráulica en redes de monitoreo con geometría irregular <span id='citeF-28'></span>[[#cite-28|[28]]]; los operadores neuronales, como DeepONet y las redes de operadores de Fourier (FNO), abordan la aproximación de operadores no lineales entre espacios de funciones continuas, con capacidad para predecir familias completas de soluciones parametrizadas por condiciones de frontera, campos de conductividad o tasas de inyección variables con independencia de malla <span id='citeF-29'></span><span id='citeF-30'></span><span id='citeF-31'></span><span id='citeF-32'></span>[[#cite-29|[29,30,31,32]]], incluyendo extensiones hacia flujos reactivos multiespecie en medios heterogéneos <span id='citeF-33'></span>[[#cite-33|[33]]]; y los modelos basados en ''transformers'' exploran la captura de dependencias de largo alcance en series hidrogeológicas complejas <span id='citeF-34'></span>[[#cite-34|[34]]]. Su consolidación operativa dependerá de verificar que preservan los principios de balance físico y garantizan estabilidad numérica con una inversión computacional competitiva frente a los simuladores consolidados.
  
−
El segundo desafío es la transferencia desde datos sintéticos hacia condiciones reales de monitoreo. Muchos trabajos dependen de soluciones analíticas, FEM, CFD, diferencias finitas o simuladores hidrogeológicos para generar datos. Esta dependencia es razonable: sin datos sintéticos controlados sería difícil aislar errores, probar extrapolación o explorar escenarios de riesgo. Sin embargo, el monitoreo real introduce ruido, sesgos instrumentales, datos faltantes, pozos irregularmente distribuidos, escalas espaciales cambiantes y condiciones de frontera mal caracterizadas. Por esa razón, una validación convincente avanza desde casos sintéticos controlados hacia pruebas con datos de campo, o al menos hacia escenarios sintéticos que reproduzcan limitaciones observacionales realistas.
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==8 Conclusiones==
  
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La conservación de masa y la estabilidad temporal constituyen otro punto de atención. En problemas de contaminantes, la masa no es sólo una propiedad matemática: se relaciona con exposición acumulada, persistencia, remediación y evaluación de riesgo. Un modelo con error promedio bajo puede ser inadecuado si pierde masa artificialmente, desplaza el frente de pluma o modifica la cola de una curva de ruptura. Por esta razón, las métricas de error ganan valor cuando se acompañan con balances globales y locales, pruebas de horizonte largo y diagnósticos por régimen de Péclet, heterogeneidad, reacción y geometría.
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El análisis bibliográfico desarrollado en este trabajo permite formular tres conclusiones principales sobre la función y los límites de ML y DL en el transporte de contaminantes hídricos:
  
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La incertidumbre permanece insuficientemente integrada. Muchos estudios consideran incertidumbre de parámetros, ruido en datos, incertidumbre del modelo o variabilidad de entrenamiento, pero rara vez las combinan dentro de un mismo flujo de decisión. Para aplicaciones ambientales, una predicción puntual tiene valor limitado si no comunica cuándo y dónde es confiable. Las variantes bayesianas, los ensambles, la multifidelidad, el bootstrapping y la detección fuera de distribución ofrecen rutas complementarias, siempre que sus intervalos o indicadores se interpreten junto con restricciones físicas y no como sustitutos de validación hidrogeológica.
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En primer lugar, los métodos analizados complementan a los simuladores numéricos tradicionales sin reemplazarlos. Los modelos sustitutos justifican su inversión de desarrollo en problemas de optimización de pozos, diseño de remediación y análisis de incertidumbre donde se evalúan miles de escenarios; en contraste, las PINNs aportan ventajas en la estimación de parámetros hidrogeológicos y la localización de fuentes a partir de datos dispersos, al integrar las ecuaciones gobernantes sin requerir una discretización espacial rígida.
  
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Finalmente, la interpretabilidad gana valor cuando se conecta con mecanismos físicos. Métodos como SHAP, atención, parámetros entrenables o cierres aprendidos pueden sugerir qué variables influyen en la predicción, pero esa explicación estadística se contrasta mejor con flujo, dispersión, sorción, reacción, fuentes y fronteras. Una interpretación útil no es sólo aquella que asigna importancia a una entrada, sino aquella que ayuda a entender por qué una pluma se mueve, se atenúa, se acumula o alcanza un punto de exposición.
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En segundo término, la precisión y la estabilidad física de estas herramientas están sujetas al régimen de transporte del sistema. En regímenes advectivos caracterizados por valores elevados del número de Péclet (<math display="inline">Pe \gg 1</math>), así como en acuíferos con heterogeneidades marcadas, los métodos sufren pérdidas no físicas de masa o difusión espuria del frente contaminante si se limitan a funciones de pérdida estándar. La inclusión de formulaciones de balance estricto y discretizaciones de tipo volumen de control permite evitar predicciones hidrogeológicamente incompatibles con los principios de conservación.
  
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Tomados en conjunto, estos desafíos sugieren que el desarrollo futuro no apunta tanto a sustituir los métodos numéricos tradicionales, sino a integrarlos de manera más inteligente. Los solvers clásicos seguirán siendo generadores de datos, referencias de validación y anclas físicas. El uso más defendible de ML/DL parece estar en ampliar sus capacidades: acelerar consultas repetidas, apoyar inversión, asimilar datos escasos, cuantificar incertidumbre, aprender cierres difíciles y explorar escenarios que serían prohibitivos con simulación directa.
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Finalmente, la consolidación metodológica en este ámbito demanda superar las evaluaciones limitadas a métricas estadísticas globales como el coeficiente de determinación o el error cuadrático medio. La utilidad real de estos modelos en la protección de recursos hídricos exige someterlos a bancos de pruebas estandarizados de la comunidad hidrogeológica, reportar balances de masa, evaluar su comportamiento fuera del dominio de entrenamiento y cuantificar sistemáticamente la incertidumbre en los parámetros inferidos ante el ruido y la escasez propios del monitoreo ambiental.
  
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==10 Conclusiones==
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==Agradecimientos==
  
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Esta revisión muestra que el aprendizaje automático y el aprendizaje profundo no constituyen una alternativa única ni homogénea para la simulación del transporte de contaminantes en sistemas hídricos. Su utilidad depende del papel que ocupan dentro del flujo de modelación. Los sustitutos aceleran consultas repetidas de simuladores; las redes neuronales informadas por física incorporan ecuaciones diferenciales en el entrenamiento y facilitan problemas inversos con datos escasos; los operadores neuronales buscan aprender familias completas de soluciones; los modelos híbridos preservan estructura numérica o física mientras aprenden cierres; y las arquitecturas de grafos o transformers permiten explotar redes de monitoreo y dinámica espaciotemporal latente. Esta diversidad es una fortaleza, pero también impide evaluar el campo como si se tratara de una sola técnica.
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Los autores agradecen a la Secretaría de Ciencias, Humanidades, Tecnología e Innovación (SeCiHTI) de México, a la Coordinación de la Investigación Científica de la Universidad Michoacana de San Nicolás de Hidalgo (CIC-UMSNH), a SIIIA MATH: Soluciones en Ingeniería y al Aula CIMNE-Morelia por el financiamiento brindado para el desarrollo, la revisión bibliográfica y la redacción del presente artículo.  
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Una primera conclusión es que la aceleración computacional sólo es científicamente significativa cuando se acompaña de trazabilidad física. Reportar un speed-up o un <math display="inline">R^2</math> alto no basta si no se documentan el costo offline, el solver generador, la malla, el rango de parámetros, las condiciones de frontera, la conservación de masa y la validez fuera del dominio de entrenamiento. En contaminantes, los errores no son intercambiables: un error pequeño en promedio puede ser grave si altera el tiempo de llegada, la extensión de una pluma, la cola de una curva de ruptura o la concentración en un punto de exposición.
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Una segunda conclusión es que los métodos informados por física no eliminan automáticamente los problemas numéricos clásicos. Las redes neuronales informadas por física y los modelos híbridos pueden reducir la dependencia de datos densos y permitir inversión de parámetros, pero siguen enfrentando dificultades de escalamiento, ponderación de pérdidas, alto Péclet, frentes pronunciados, no unicidad e inestabilidad de entrenamiento. Del mismo modo, los operadores neuronales y transformers pueden capturar familias de soluciones o dinámicas latentes, pero dependen de datasets representativos y pueden fallar ante eventos raros, geometrías no vistas o cambios de mecanismo físico.
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Una tercera conclusión es que la integración entre modelos numéricos y aprendizaje automático parece más razonable que la sustitución directa. Los solvers tradicionales siguen siendo referencias, generadores de datos y anclas de conservación. El aprendizaje automático aporta flexibilidad para acelerar consultas, aproximar cierres, asimilar observaciones escasas, construir representaciones latentes e incorporar redes de sensores. La frontera metodológica más fértil no está en abandonar la simulación física, sino en diseñar acoplamientos donde cada componente haga aquello para lo que es más confiable.
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Así, la evaluación de modelos ML/DL para transporte de contaminantes se desplaza desde métricas genéricas hacia criterios hidrogeológicos y ambientales. Un modelo publicable y potencialmente útil para la toma de decisiones demuestra precisión, conservación, estabilidad, incertidumbre, resistencia ante extrapolación, interpretabilidad física y reproducibilidad. Esta exigencia puede parecer más estricta que la usada en benchmarks generales de aprendizaje profundo, pero es necesaria porque las predicciones de contaminantes se conectan con riesgo, salud, remediación y gestión del agua.
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La conclusión general es que el aprendizaje automático y el aprendizaje profundo ya forman parte del repertorio metodológico para estudiar contaminantes en sistemas hídricos, pero su madurez dependerá de cómo se integren con la física, los datos y la validación. Las redes neuronales no sustituyen el conocimiento hidrológico; lo vuelven computacionalmente más flexible cuando se diseñan con cuidado. El avance más consistente vendrá de una práctica híbrida: solvers clásicos, datos observacionales, aprendizaje automático, cuantificación de incertidumbre y restricciones físicas trabajando de manera coordinada.
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==Agradecimientos==
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Los autores agradecen a la Secretaría de Ciencias, Humanidades, Tecnología e Innovación (SeCiHTI) de México, a la Coordinación de la Investigación Científica de la Universidad Michoacana de San Nicolás de Hidalgo (CIC-UMSNH), a SIIIA MATH: Soluciones en Ingeniería y al Aula CIMNE-Morelia por el financiamiento brindado para el desarrollo, la revisión bibliográfica y la redacción del presente artículo.
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Asimismo, expresan su agradecimiento a los editores y revisores del Boletín, cuyos comentarios y sugerencias contribuyeron a consolidar la estructura y precisión técnica de este artículo.
  
 
===BIBLIOGRAPHY===
 
===BIBLIOGRAPHY===
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<div id="cite-2"></div>
 
<div id="cite-2"></div>
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'''[[#citeF-2|[2]]]''' Shen, Chaopeng. (2018) "A Transdisciplinary Review of Deep Learning Research and Its Relevance for Water Resources Scientists", Volume 54. Water Resources Research 8558&#8211;8593
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'''[[#citeF-2|[2]]]''' Asher, M. J. and Croke, B. F. W. and Jakeman, A. J. and Peeters, L. J. M. (2015) "A review of surrogate models and their application to groundwater modeling", Volume 51. Water Resources Research 5957&#8211;5973
  
 
<div id="cite-3"></div>
 
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'''[[#citeF-3|[3]]]''' Zhi, Wei and Appling, Alison P. and Golden, Heather E. and Podgorski, Joel and Li, Li. (2024) "Deep learning for water quality", Volume 2. Nature Water 228&#8211;241
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'''[[#citeF-3|[3]]]''' Luo, Jiannan and Ma, Xi and Ji, Yefei and Li, Xueli and Song, Zhuo and Lu, Wenxi. (2023) "Review of machine learning-based surrogate models of groundwater contaminant modeling", Volume 238. Environmental Research 117268
  
 
<div id="cite-4"></div>
 
<div id="cite-4"></div>
−
'''[[#citeF-4|[4]]]''' Haggerty, Ryan and Sun, Jianxin and Yu, Hongfeng and Li, Yusong. (2023) "Application of machine learning in groundwater quality modeling - A comprehensive review", Volume 233. Water Research 119745
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'''[[#citeF-4|[4]]]''' Shen, Chaopeng. (2018) "A Transdisciplinary Review of Deep Learning Research and Its Relevance for Water Resources Scientists", Volume 54. Water Resources Research 8558&#8211;8593
  
 
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'''[[#citeF-5|[5]]]''' Asher, M. J. and Croke, B. F. W. and Jakeman, A. J. and Peeters, L. J. M. (2015) "A review of surrogate models and their application to groundwater modeling", Volume 51. Water Resources Research 5957&#8211;5973
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'''[[#citeF-5|[5]]]''' Haggerty, Ryan and Sun, Jianxin and Yu, Hongfeng and Li, Yusong. (2023) "Application of machine learning in groundwater quality modeling - A comprehensive review", Volume 233. Water Research 119745
  
 
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'''[[#citeF-6|[6]]]''' Yu, Xiayang and Cui, Tao and Sreekanth, J. and Mangeon, Stephane and Doble, Rebecca and Xin, Pei and Rassam, David and Gilfedder, Mat. (2020) "Deep learning emulators for groundwater contaminant transport modelling", Volume 590. Journal of Hydrology 125351
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'''[[#citeF-6|[6]]]''' Zhi, Wei and Appling, Alison P. and Golden, Heather E. and Podgorski, Joel and Li, Li. (2024) "Deep learning for water quality", Volume 2. Nature Water 228&#8211;241
  
 
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'''[[#citeF-7|[7]]]''' Luo, Jiannan and Ma, Xi and Ji, Yefei and Li, Xueli and Song, Zhuo and Lu, Wenxi. (2023) "Review of machine learning-based surrogate models of groundwater contaminant modeling", Volume 238. Environmental Research 117268
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'''[[#citeF-7|[7]]]''' Ma, Qingshan and Gong, Qixin and Ge, Weiya and Jing, Miao and Guo, Fei and Butscher, Christoph and Taherdangkoo, Reza. (2026) "Physics-informed neural networks for groundwater: evidence, limits, and a roadmap", Volume 85. Environmental Earth Sciences 123
  
 
<div id="cite-8"></div>
 
<div id="cite-8"></div>
−
'''[[#citeF-8|[8]]]''' Nguyen, Thu-Uyen and Suk, Heejun and Liang, Ching-Ping and Ho, Yu-Chieh and Chen, Jui-Sheng. (2025) "Using Machine Learning to Develop a Surrogate Model for Simulating Multispecies Contaminant Transport in Groundwater", Volume 12. Hydrology 185
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'''[[#citeF-8|[8]]]''' Yu, Xiayang and Cui, Tao and Sreekanth, J. and Mangeon, Stephane and Doble, Rebecca and Xin, Pei and Rassam, David and Gilfedder, Mat. (2020) "Deep learning emulators for groundwater contaminant transport modelling", Volume 590. Journal of Hydrology 125351
  
 
<div id="cite-9"></div>
 
<div id="cite-9"></div>
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'''[[#citeF-9|[9]]]''' Xue, Haoyu and Xu, Wenjie and Lou, Yihuai and Hu, Yingtao and Gao, Wu and Li, Jinlong and Zhuang, Duanyang and Liu, Wei and Zhan, Liangtong and Chen, Yunmin. (2026) "Deep-learning-based surrogate model for solute transport in rough-walled fractures", Volume 191. Computers and Geotechnics 107813
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'''[[#citeF-9|[9]]]''' Raissi, M. and Perdikaris, P. and Karniadakis, G. E. (2019) "Physics-informed neural networks: A deep learning framework for solving forward and inverse problems involving nonlinear partial differential equations", Volume 378. Journal of Computational Physics 686&#8211;707
  
 
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'''[[#citeF-10|[10]]]''' Raissi, M. and Perdikaris, P. and Karniadakis, G. E. (2019) "Physics-informed neural networks: A deep learning framework for solving forward and inverse problems involving nonlinear partial differential equations", Volume 378. Journal of Computational Physics 686&#8211;707
+
'''[[#citeF-10|[10]]]''' Karniadakis, George Em and Kevrekidis, Ioannis G. and Lu, Lu and Perdikaris, Paris and Wang, Sifan and Yang, Liu. (2021) "Physics-informed machine learning", Volume 3. Nature Reviews Physics 422&#8211;440
  
 
<div id="cite-11"></div>
 
<div id="cite-11"></div>
−
'''[[#citeF-11|[11]]]''' Karniadakis, George Em and Kevrekidis, Ioannis G. and Lu, Lu and Perdikaris, Paris and Wang, Sifan and Yang, Liu. (2021) "Physics-informed machine learning", Volume 3. Nature Reviews Physics 422&#8211;440
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'''[[#citeF-11|[11]]]''' Xu, Yaning and Lu, Wenxi and Pan, Zidong and Luo, Chengming and Bai, Yukun and Qiu, Shuwei. (2024) "Groundwater contaminant source identification considering unknown boundary condition based on an automated machine learning surrogate", Volume 15. Geoscience Frontiers 101732
  
 
<div id="cite-12"></div>
 
<div id="cite-12"></div>
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'''[[#citeF-12|[12]]]''' He, QiZhi and Barajas-Solano, David and Tartakovsky, Guzel and Tartakovsky, Alexandre M. (2020) "Physics-informed neural networks for multiphysics data assimilation with application to subsurface transport", Volume 141. Advances in Water Resources 103610
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'''[[#citeF-15|[15]]]''' Fraces, Cedric G. and Tchelepi, Hamdi. (2021) "Physics Informed Deep Learning for Flow and Transport in Porous Media". SPE Reservoir Simulation Conference
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'''[[#citeF-24|[24]]]''' Praditia, Timothy and Karlbauer, Matthias and Otte, Sebastian and Oladyshkin, Sergey and Butz, Martin V. and Nowak, Wolfgang. (2022) "Learning Groundwater Contaminant Diffusion-Sorption Processes With a Finite Volume Neural Network", Volume 58. Water Resources Research
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'''[[#citeF-24|[24]]]''' Zhou, Zhengchen and Yan, Xuesong and Hu, Chengyu. (2026) "Two-Stage Bayesian Physics-Informed Neural Networks for Groundwater Contaminant Source Identification", Volume 152. Journal of Water Resources Planning and Management
  
 
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'''[[#citeF-25|[25]]]''' Scheurer, Stefania and Frenner, Riccardo and Bruennette, Tim and Oladyshkin, Sergey and Nowak, Wolfgang. (2026) "Efficient confidence interval computation for physics-aware machine learning of diffusion-sorption models", Volume 8. Frontiers in Water 1813791
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'''[[#citeF-25|[25]]]''' Sigalingging, Eszra Forenita and Liu, Kin Men and Setianto, Setianto and Faizal, Ferry. (2026) "Mass-Conserving Physics-Informed Neural Networks For The One-Dimensional Advection-Diffusion Equation"
  
 
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'''[[#citeF-26|[26]]]''' Pang, Min and Du, Erhu and Zheng, Chunmiao. (2024) "Contaminant Transport Modeling and Source Attribution With Attention-Based Graph Neural Network", Volume 60. Water Resources Research
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'''[[#citeF-26|[26]]]''' Praditia, Timothy and Karlbauer, Matthias and Otte, Sebastian and Oladyshkin, Sergey and Butz, Martin V. and Nowak, Wolfgang. (2022) "Learning Groundwater Contaminant Diffusion-Sorption Processes With a Finite Volume Neural Network", Volume 58. Water Resources Research
  
 
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'''[[#citeF-27|[27]]]''' Bai, Tao and Tahmasebi, Pejman. (2022) "Characterization of groundwater contamination: A transformer-based deep learning model", Volume 164. Advances in Water Resources 104217
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'''[[#citeF-27|[27]]]''' Scheurer, Stefania and Frenner, Riccardo and Bruennette, Tim and Oladyshkin, Sergey and Nowak, Wolfgang. (2026) "Efficient confidence interval computation for physics-aware machine learning of diffusion-sorption models", Volume 8. Frontiers in Water 1813791
  
 
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'''[[#citeF-28|[28]]]''' Xu, Yaning and Lu, Wenxi and Pan, Zidong and Luo, Chengming and Bai, Yukun and Qiu, Shuwei. (2024) "Groundwater contaminant source identification considering unknown boundary condition based on an automated machine learning surrogate", Volume 15. Geoscience Frontiers 101732
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'''[[#citeF-28|[28]]]''' Pang, Min and Du, Erhu and Zheng, Chunmiao. (2024) "Contaminant Transport Modeling and Source Attribution With Attention-Based Graph Neural Network", Volume 60. Water Resources Research
  
 
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'''[[#citeF-29|[29]]]''' Sigalingging, Eszra Forenita and Liu, Kin Men and Setianto, Setianto and Faizal, Ferry. (2026) "Mass-Conserving Physics-Informed Neural Networks For The One-Dimensional Advection-Diffusion Equation"
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'''[[#citeF-29|[29]]]''' Lu, Lu and Jin, Pengzhan and Pang, Guofei and Zhang, Zhongqiang and Karniadakis, George Em. (2021) "Learning nonlinear operators via DeepONet based on the universal approximation theorem of operators", Volume 3. Nature Machine Intelligence 218&#8211;229
  
 
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'''[[#citeF-30|[30]]]''' Ke, Ze-Wei and Wei, Sheng-Jie and Yao, Shi-Yuan and Chen, Si and Chen, Yun-Min and Li, Yu-Chao. (2025) "Pre-trained Physics-Informed Neural Networks for Analysis of Contaminant Transport in Soils", Volume 180. Computers and Geotechnics 107055
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'''[[#citeF-30|[30]]]''' Li, Zongyi and Kovachki, Nikola and Azizzadenesheli, Kamyar and Liu, Burigede and Bhattacharya, Kaushik and Stuart, Andrew and Anandkumar, Anima. (2020) "Fourier Neural Operator for Parametric Partial Differential Equations"
  
 
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'''[[#citeF-31|[31]]]''' Zhao, Xu and Liu, Haifei and Leng, Fei and Yang, Wei and Yin, Xinan and Yi, Yujun. (2026) "Source Tracing for Pollutants in River Channels Based on a Physics-Informed Neural Network", Volume 62. Water Resources Research
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'''[[#citeF-31|[31]]]''' Kovachki, Nikola and Li, Zongyi and Liu, Burigede and Azizzadenesheli, Kamyar and Bhattacharya, Kaushik and Stuart, Andrew and Anandkumar, Anima. (2023) "Neural Operator: Learning Maps Between Function Spaces With Applications to PDEs", Volume 24. Journal of Machine Learning Research 89 1&#8211;97
  
 
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'''[[#citeF-32|[32]]]''' Chuprov, Ivan and Derkach, Denis and Efremenko, Dmitry and Kychkin, Aleksei. (2025) "Application of Physics-Informed Neural Networks for Solving the Inverse Advection-Diffusion Problem to Localize Pollution Sources"
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'''[[#citeF-32|[32]]]''' Azizzadenesheli, Kamyar and Kovachki, Nikola and Li, Zongyi and Liu-Schiaffini, Miguel and Kossaifi, Jean and Anandkumar, Anima. (2024) "Neural operators for accelerating scientific simulations and design", Volume 6. Nature Reviews Physics 320&#8211;328
  
 
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'''[[#citeF-33|[33]]]''' Zhou, Zhengchen and Yan, Xuesong and Hu, Chengyu. (2026) "Two-Stage Bayesian Physics-Informed Neural Networks for Groundwater Contaminant Source Identification", Volume 152. Journal of Water Resources Planning and Management
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'''[[#citeF-33|[33]]]''' Karimi, Mina and Bhattacharya, Kaushik. (2024) "A Learning-Based Multiscale Model for Reactive Flow in Porous Media", Volume 60. Water Resources Research e2023WR036303
  
 
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'''[[#citeF-34|[34]]]''' Hou, Qingzhi and Du, Honghan and Sun, Zewei and Wang, Jianping and Wang, Xiaojing and Wei, Jianguo. (2023) "PINN-CDR: A Neural Network-Based Simulation Tool for Convection-Diffusion-Reaction Systems", Volume 2023. International Journal of Intelligent Systems
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'''[[#citeF-34|[34]]]''' Bai, Tao and Tahmasebi, Pejman. (2022) "Characterization of groundwater contamination: A transformer-based deep learning model", Volume 164. Advances in Water Resources 104217

Latest revision as of 04:47, 20 October 2026

1 Introducción

El transporte de contaminantes en sistemas hídricos condiciona la calidad del agua superficial y subterránea, afectando el abastecimiento humano y los ecosistemas asociados. Anticipar la distribución espacial, los tiempos de llegada y la concentración de solutos en ríos, suelos y acuíferos permite evaluar riesgos de exposición y diseñar esquemas de remediación ambiental.

En términos físico-matemáticos, estos fenómenos se describen mediante ecuaciones acopladas de flujo y transporte reactivo. En medios porosos saturados, el marco clásico articula la ley de Darcy con balances de masa que incorporan advección, difusión molecular, dispersión hidrodinámica, sorción y reacciones de degradación [1]. En ríos y canales abiertos, el transporte se acopla a las ecuaciones de flujo en lámina libre o formulaciones unidimensionales de dispersión longitudinal, mientras que en medios fracturados intervienen la geometría de apertura y la conectividad hidráulica del medio.

La resolución práctica de estos problemas se apoya en métodos numéricos consolidados. Esquemas de diferencias finitas, volúmenes finitos y elementos finitos, implementados en códigos estándar como MODFLOW, MT3D-USGS y STOMP, permiten resolver dominios heterogéneos y condiciones de frontera complejas [1,2]. Cada discretización numérica agrega compromisos operativos: difusión numérica en mallas gruesas, dispersión artificial ante gradientes abruptos, restricciones de paso temporal por estabilidad y pérdidas o ganancias artificiales de masa global. Pese a su confiabilidad física, la carga computacional de estos simuladores se vuelve restrictiva en tareas multiconsulta que exigen miles de evaluaciones del modelo, tales como la calibración inversa de parámetros, el análisis de sensibilidad, la propagación de incertidumbre y la optimización de sistemas de remediación [2,3].

Frente a estas restricciones, el aprendizaje automático (machine learning, ML) y el aprendizaje profundo (deep learning, DL) ofrecen alternativas para mitigar la carga de cálculo. En hidrología y calidad del agua, las técnicas de ML y DL se han empleado en predicción de series temporales, mapeo de contaminantes e inferencia espacial [4,5,6]. Sin embargo, la simulación del transporte de solutos no se reduce al ajuste estadístico de curvas observadas: un modelo puede registrar un error cuadrático medio reducido y, aun así, vulnerar la conservación de masa, desplazar frentes advectivos o generar concentraciones negativas sin sustento físico [7]. Por otra parte, cuando un modelo de ML se entrena con datos generados por un simulador numérico, asimila la respuesta del esquema discretizado con sus correspondientes aproximaciones y sesgos de malla, en lugar de la solución física continua del problema.

Por consiguiente, la integración de ML y DL en la mecánica de fluidos ambientales busca complementar las capacidades de los códigos numéricos tradicionales en ámbitos computacionalmente exigentes. La literatura reciente se organiza principalmente en dos grandes vertientes metodológicas: los modelos sustitutos o emuladores, diseñados para aproximar la relación entrada–salida de simuladores costosos para tareas multiconsulta [2,8], y las redes neuronales informadas por física (physics-informed neural networks, PINNs), que incorporan los residuos de las ecuaciones diferenciales y las condiciones de frontera dentro de la función de pérdida para guiar el aprendizaje en regímenes con datos escasos o problemas inversos [9,10,7]. De forma complementaria, emergen formulaciones basadas en redes neuronales de grafos (graph neural networks, GNN) y operadores neuronales, concebidas para capturar conectividades hidrogeológicas no estructuradas y mapeos continuos independientes de malla.

La pregunta central de esta revisión es: ¿en qué condiciones técnicas y bajo qué criterios de consistencia física pueden integrarse los modelos sustitutos y las PINNs en la simulación e inversión del transporte de contaminantes en sistemas hídricos? Para responderla, el presente trabajo examina los supuestos matemáticos, la evidencia empírica, las demandas computacionales y los límites de extrapolación de ambas familias. El análisis parte de que la validez de estos modelos exige evaluar de forma conjunta las métricas estadísticas de error, la conservación de masa, la estabilidad en regímenes dominados por advección, el balance de costo computacional y la interpretabilidad de los parámetros inferidos.

2 Alcance y metodología de revisión

Esta revisión narrativa examina el desarrollo reciente de ML y DL en la simulación y caracterización del transporte de solutos en sistemas hídricos, con énfasis en medios porosos, acuíferos y aguas superficiales gobernados por la ecuación de advección–dispersión–reacción. A diferencia de las revisiones centradas exclusivamente en predicción hidrológica basada en datos observacionales, el análisis se sitúa en la intersección entre la formulación física, la consistencia numérica y el aprendizaje computacional. El corpus bibliográfico se seleccionó a partir de artículos indexados, revisiones temáticas y desarrollos metodológicos con código o formulación reproducible, priorizando estudios que reportan comparaciones directas con simuladores numéricos o datos de laboratorio y campo.

Para estructurar el análisis con claridad, la discusión se concentra en dos familias: (1) modelos sustitutos y emuladores, que emplean redes neuronales, procesos gaussianos y reducción de orden para acelerar la evaluación entrada–salida de simuladores numéricos en regímenes multiconsulta; y (2) PINNs, que integran las ecuaciones gobernantes y condiciones de contorno en la función de pérdida para resolver problemas directos e inversos con datos escasos.

La Figura 1 ilustra el flujo metodológico en el que se insertan estas herramientas. Mientras los sustitutos emulan la respuesta del simulador a partir de conjuntos de datos previamente calculados, las PINNs incorporan los operadores diferenciales directamente en la fase de optimización. En ambas familias, la evaluación técnica debe verificar la reproducibilidad del esquema generador, el costo computacional total y el comportamiento ante variaciones en las condiciones hidrodinámicas del medio.

Integración conceptual de física, datos y ML/DL en el modelado del transporte de contaminantes. Los modelos sustitutos emulan la respuesta entrada–salida de simuladores numéricos para agilizar tareas multiconsulta, mientras que las PINNs incorporan residuos de las ecuaciones gobernantes y condiciones de frontera durante el entrenamiento.
Figure 1: Integración conceptual de física, datos y ML/DL en el modelado del transporte de contaminantes. Los modelos sustitutos emulan la respuesta entrada–salida de simuladores numéricos para agilizar tareas multiconsulta, mientras que las PINNs incorporan residuos de las ecuaciones gobernantes y condiciones de frontera durante el entrenamiento.

3 Marco físico y numérico del transporte de contaminantes

Para ilustrar el modelo matemático que subyace a las metodologías de ML y DL, considérese el problema prototipo del transporte reactivo de un soluto en un acuífero saturado. En este sistema, la velocidad intersticial promedio de poro se deriva del campo de flujo hidrodinámico según la ley de Darcy:

(1)

donde es el tensor de conductividad hidráulica del medio poroso, es la porosidad efectiva y representa la carga hidráulica [1].

A partir del balance de masa sobre un volumen representativo elemental, el transporte transitorio de la concentración disuelta queda gobernado por la ecuación de advección–dispersión–reacción:

(2)

donde cuantifica la retardación por sorción lineal ( es la densidad aparente del suelo y el coeficiente de distribución isotérmica), representa el transporte advectivo a lo largo de las líneas de flujo, es la tasa de decaimiento reactivo de primer orden y describe la tasa neta de inyección o extracción volumétrica de soluto. En medios anisótropos, el tensor de dispersión hidrodinámica combina la difusión molecular y la dispersión mecánica debida a la variabilidad de velocidades a escala de poro según la formulación de Bear–Scheidegger [1]:

(3)

donde y son las dispersividades longitudinal y transversal del medio, es el coeficiente de difusión molecular efectivo e es el tensor identidad.

La resolución de la ecuación (2) requiere condiciones iniciales y de contorno: una distribución inicial , concentraciones prescritas en zonas de recarga o entrada (frontera de Dirichlet, ), flujos nulos en límites impermeables (frontera de Neumann homogénea, ) y balances de flujo en puntos de descarga (frontera de Cauchy). En aplicaciones inversas de caracterización ambiental, la fuente o el campo de conductividad suelen ser incógnitas que deben reconstruirse a partir de mediciones dispersas de concentración en pozos de monitoreo [11,12].

La dificultad analítica y numérica de este modelo matemático se cuantifica mediante dos números adimensionales: el número de Péclet () y el número de Damköhler (), definidos como:

(4)

donde es una velocidad característica de flujo, es la longitud característica del dominio y es el coeficiente de dispersión efectivo. Valores elevados de Péclet () identifican regímenes dominados por advección, caracterizados por frentes de pluma pronunciados y gradientes locales agudos. En estas condiciones, los métodos de aproximación numérica y las redes neuronales estándar tienden a sufrir difusión numérica espuria u oscilaciones artificiales [13,14]. Este problema prototipo sirve como base física común para evaluar las dos familias analizadas a continuación: los modelos sustitutos orientados a acelerar simulaciones repetidas de este sistema, y las PINNs diseñadas para resolverlo o estimar sus parámetros.

4 Modelos sustitutos y emuladores

4.1 Aproximación funcional del operador en regímenes multiconsulta

Un modelo sustituto aproxima el mapeo entrada–salida evaluado por un simulador numérico de alto costo. Sea el operador de referencia que transforma un vector paramétrico (conductividades hidráulicas, dispersividades, cinéticas reactivas o concentraciones de frontera) en un espacio de respuestas (distribuciones de concentración o curvas de ruptura). El emulador aproxima dicha relación mediante una estructura funcional parametrizada por :

(5)

Este planteamiento impone una limitación directa: el sustituto asimila el comportamiento del simulador sobre un conjunto finito de corridas , reproduciendo los sesgos de discretización y dispersión del código generador en lugar de las leyes continuas de conservación. La literatura clasifica estos esquemas en tres vertientes principales [2]: modelos basados en datos (redes densas, recurrentes, procesos gaussianos y expansiones de polynomial chaos), métodos de reducción de orden (proper orthogonal decomposition y bases reducidas que proyectan la dinámica sobre variedades de baja dimensión) y enfoques multifidelidad que corrigen simulaciones simplificadas con evaluaciones de alta fidelidad. El diseño experimental, mediante muestreo de hipercubo latino o estrategias adaptativas guiadas por incertidumbre, define la capacidad del modelo para explorar configuraciones físicamente plausibles en acuíferos [2,3].

4.2 Evidencia hidrogeológica y límites de extrapolación

La aplicación de sustitutos se concentra en tareas iterativas de calibración, análisis de incertidumbre, optimización de remediación e identificación de fuentes contaminantes [3]. En acuíferos 2D con advección, dispersión y sorción lineal, redes de perceptrón multicapa (MLP) para concentraciones puntuales y redes de memoria a corto y largo plazo (LSTM) para curvas de ruptura alcanzan frente a simulaciones de MODFLOW/MT3D [8]. En transporte reactivo multiespecie acoplado (contaminante primario y subproducto), redes entrenadas con diferencias finitas logran aceleraciones inferenciales de decenas a cientos de veces con errores cuadráticos medios (RMSE) inferiores a , aunque con variabilidad local de precisión según el número de Péclet y desajustes cerca de la fuente [15].

En problemas inversos con condiciones de contorno inciertas, esquemas basados en aprendizaje automático automatizado (AutoML) identifican fuentes puntuales y distribuidas; no obstante, el error relativo crece al pasar de fuentes concentradas a fuentes distribuidas, lo que expone las dificultades de identificabilidad física bajo observaciones incompletas [11]. De manera similar, la emulación en fracturas rugosas acelera la predicción del flujo preferencial, pero experimenta pérdidas de precisión ante zonas de contacto y rugosidades fuera del rango entrenado [16]. Estos resultados confirman que los coeficientes globales pueden encubrir desviaciones locales relevantes en frentes de avance o pozos de captación, y que la extrapolación fuera del espacio paramétrico permanece sujeta a fallas imprevistas ante modificaciones en el régimen hidrodinámico.

4.3 Balance computacional y umbral analítico de amortización

La conveniencia operativa de un emulador exige distinguir el costo de preparación fuera de línea (offline) del costo de consulta en línea (online). Resolver consultas mediante el código numérico demanda , con como tiempo medio por corrida. La vía del sustituto requiere generar simulaciones numéricas, un esfuerzo de entrenamiento e inferencias aceleradas por consulta:

(6)

La condición de rentabilidad define el umbral analítico de amortización:

(7)

dado que (con razones habituales ). La relación (7) demuestra que el sustituto incurre en un sobrecosto computacional si el número de evaluaciones no supera el lote de entrenamiento más el equivalente en simulaciones del tiempo de ajuste. Esta condición se cumple en propagación de incertidumbre Monte Carlo o calibración estocástica ( a ), pero resulta deficitaria en análisis aislados o cuando modificaciones en la geometría del dominio exigen regenerar la base de datos [2].

5 Aprendizaje informado por física y redes neuronales

5.1 Formulación continua y optimización multiobjetivo

Las PINNs integran las ecuaciones diferenciales gobernantes en la función de pérdida de la optimización. En lugar de limitarse al aprendizaje supervisado sobre pares discretos de entrada–salida, se parametriza la solución continua del campo de transporte mediante una red diferenciable , con parámetros . El entrenamiento ajusta simultáneamente observaciones, condiciones iniciales, restricciones de frontera y residuos de la ecuación diferencial en el dominio espaciotemporal . La función de pérdida se define como:

(8)

donde los coeficientes ponderan cada término. Cada componente se calcula sobre conjuntos discretos de puntos:

(9)
(10)
(11)

mientras que penaliza la discrepancia en operadores de frontera en puntos sobre . Para el transporte de solutos establecido en la Sección 5, el residual continuo corresponde a:

(12)

con como factor de retardación, el campo de velocidad intersticial, el tensor de dispersión definido en (3), la tasa de decaimiento y el término de inyección o extracción volumétrica de soluto. Las derivadas parciales se evalúan sin mallas mediante diferenciación automática (automatic differentiation, AD) sobre el grafo de la red [9,10].

Durante el entrenamiento surge un compromiso entre el ajuste de datos y la consistencia física: si predomina, la red puede satisfacer la ecuación en promedio pero divergir de las mediciones; si domina, actúa como un interpolador empírico. La adimensionalización de las variables espaciotemporales y los coeficientes hidrogeológicos evita disparidades numéricas entre las magnitudes de los gradientes [10,7]. Habitualmente se emplea el optimizador Adam para una fase exploratoria inicial, seguido de refinamiento local mediante L-BFGS [17,13].

5.2 Acoplamiento hidrodinámico, problemas inversos e incertidumbre

En sistemas subterráneos, el transporte está acoplado al campo de flujo. Las formulaciones multifísicas permiten estimar simultáneamente la conductividad hidráulica , la carga hidráulica y la concentración a partir de datos dispersos, superando a las redes puramente basadas en datos [17]. Este esquema abarca problemas directos, inversos y retrospectivos en el tiempo (backward-in-time) gobernados por el flujo de Darcy [18]. En medios heterogéneos, el uso de funciones de activación periódicas () reduce el error frente a en uno o dos órdenes de magnitud, facilitando la captura de gradientes abruptos [19].

Para abordar la incertidumbre paramétrica y observacional, las PINNs se han integrado con caos polinomial arbitrario, optimización bayesiana y datos multifidelidad [20], así como esquemas de pre-entrenamiento sobre familias de problemas de transporte en suelos [21]. En problemas inversos, los parámetros hidrogeológicos y las fuentes se tratan como variables optimizables diferenciables. No obstante, hacer entrenable un parámetro no asegura su identificabilidad: la convergencia exige ponderaciones adaptativas y reescalamiento de gradientes para evitar combinaciones espurias de parámetros que reproduzcan el campo de concentración [12]. Estas formulaciones se han aplicado a la identificación de fuentes en canales fluviales 1D [22], advección–difusión 2D [23] y acuíferos mediante esquemas bayesianos en dos etapas [24].

5.3 Regímenes advectivos, balance de masa y criterios de reporte

En regímenes dominados por advección (), el sesgo espectral de las redes neuronales favorece frecuencias espaciales bajas, lo que tiende a suavizar frentes pronunciados. En problemas hiperbólicos con discontinuidades (como el flujo de Buckley–Leverett), las formulaciones estándar divergen a menos que se introduzcan restricciones de entropía y condiciones admisibles de flujo [13]. Aunque el uso de activaciones adaptativas mitiga oscilaciones espurias en problemas de advección–dispersión–reacción [14], la minimización del residual diferencial (10) sobre puntos discretos no garantiza la conservación global de la masa; la inclusión de una penalización integral de balance reduce esta deficiencia [25].

El reporte riguroso de PINNs en transporte hídrico exige consignar: formulación adimensional, arquitectura y funciones de activación, esquema de muestreo de puntos de colocación, evolución de las ponderaciones de pérdida , costo computacional de entrenamiento e inferencia, verificación del balance de masa y evaluación fuera de distribución.

6 Criterios de evaluación y comparación metodológica

La evaluación de modelos de ML y DL en transporte de contaminantes no puede limitarse a métricas estadísticas globales. Coeficientes como el RMSE o el coeficiente de determinación () promedian las desviaciones espaciotemporales sobre la totalidad del dominio de cálculo . Dado que las plumas de soluto ocupan habitualmente una fracción reducida del acuífero, un modelo que prediga concentraciones nulas en zonas no perturbadas puede alcanzar con facilidad valores de , encubriendo subestimaciones severas en frentes de avance o retrasos en la llegada a pozos de abastecimiento.

Para garantizar consistencia física y utilidad hidrogeológica, un protocolo riguroso de validación integra cuatro dimensiones analíticas:

  1. Conservación de masa y positividad: Comprueba que el modelo no genere ni destruya masa de soluto de manera artificial. El error relativo instantáneo de balance de masa en el tiempo se define formalmente como:
    		(13)

    2. donde es la masa inicial disuelta y adsorbida en el medio poroso, denota el flujo másico inyectado, y la masa teórica acumulada integra los flujos advectivos y dispersivos en la frontera junto con la tasa de decaimiento reactivo:

    		(14)

    A la par de (13), debe verificarse la condición de positividad , cuya vulneración genera artefactos numéricos inadmisibles en ingeniería ambiental.

  2. Respuesta ante regímenes advectivos (): El comportamiento predictivo debe examinarse en función del número de Péclet (). En regímenes con , se evalúa si la arquitectura amortigua el frente contaminante mediante difusión artificial o si induce oscilaciones espurias aguas arriba del frente de avance.
  3. Amortización del costo computacional: Evaluación formal del balance entre el costo preparatorio (generación de lotes de simulación y convergencia de gradientes) y el costo inferencial , aplicando el umbral analítico de consultas deducido en (7).
  4. Generalización y extrapolación fuera de distribución: Verificación del desempeño ante escenarios no contemplados en la etapa de optimización, tales como variaciones en el gradiente regional de flujo, desplazamientos imprevistos de la fuente o campos de conductividad hidráulica con estructuras de heterogeneidad no muestreadas.

La Tabla 1 sintetiza las diferencias operativas y conceptuales entre las dos familias metodológicas analizadas.


Table. 1 Comparación metodológica entre modelos sustitutos y PINNs en el transporte de contaminantes.
Dimensión Modelos sustitutos y emuladores PINNs
Entrada y salida Parámetros globales o de diseño campos de concentración o series en pozos. Coordenadas y parámetros concentración local y propiedades del medio.
Requerimiento de datos Cientos a miles de simulaciones numéricas previas mediante diseño de experimentos. Mediciones dispersas de concentración y puntos de colocación en el dominio; no requieren simulador previo.
Tratamiento de la física Indirecto; la física proviene del simulador numérico que genera la base de entrenamiento. Directo; el residuo diferencial de advección–dispersión–reacción se minimiza en la función de pérdida.
Costo computacional Alto costo inicial (); inferencia en milisegundos (). Optimización prolongada para cada escenario; cada nuevo dominio o condición exige reentrenamiento.
Conservación y extrapolación Conservación aproximada; degradación rápida fuera del espacio paramétrico entrenado . Susceptible a difusión numérica y pérdidas de masa si ; regularización continua en interpolación.
Uso principal Análisis de sensibilidad global, optimización de pozos y propagación de incertidumbre Monte Carlo. Problemas inversos, estimación de parámetros hidrogeológicos y localización de fuentes contaminantes.

7 Desafíos abiertos para una adopción confiable

La adopción de estas técnicas en la toma de decisiones hidrogeológicas enfrenta retos metodológicos específicos que condicionan su fiabilidad práctica en escenarios de ingeniería ambiental.

En primer término, persiste una falta de problemas de referencia (benchmarks) compartidos en hidrogeología computacional. La literatura evalúa las arquitecturas sobre geometrías ad hoc, fuentes simplificadas o condiciones de flujo homogéneo. Esta disparidad en los casos de prueba impide comparar de forma concluyente la precisión, la demanda de memoria y el tiempo de entrenamiento entre distintas alternativas. La comunidad requiere bancos de prueba abiertos basados en configuraciones representativas (como medios porosos con heterogeneidad espacial correlacionada o sistemas fracturados), provistos de mallas y particiones de datos estandarizadas.

En segundo término, existe una brecha notable entre los datos sintéticos de simulaciones numéricas y las condiciones del monitoreo ambiental de campo. Mientras que los simuladores numéricos entregan mallas densas y regulares, los acuíferos reales se registran mediante redes limitadas de pozos con muestreos asincrónicos, perturbados por ruido instrumental e incertidumbre en la estratigrafía subsuperficial. El desarrollo de modelos debe priorizar la asimilación de datos escasos y dispersos, contemplando las incertidumbres asociadas a las condiciones de frontera hidrogeológicas.

En tercer lugar, la conservación estricta de masa en regímenes dominados por advección continúa siendo un problema abierto. En formulaciones estándar de PINNs, el residuo diferencial se penaliza como una pérdida suave en la optimización; en presencia de frentes de soluto pronunciados (), esto propicia difusión artificial o variaciones no físicas en la masa total de contaminante [25]. Para mitigar este defecto, se investigan esquemas con conservación intrínseca, tales como redes neuronales de volúmenes finitos (FINN) [26] o restricciones que imponen el balance de flujos mediante multiplicadores de Lagrange.

Asimismo, la cuantificación de incertidumbre en problemas inversos exige mayor rigor. La identificación de fuentes de contaminación o la estimación de conductividades hidráulicas presentan una acusada no unicidad: diversas combinaciones de parámetros generan curvas de concentración equivalentes en los pozos de observación [23,12]. Las predicciones puntuales resultan insuficientes para la gestión de riesgos ambientales. La integración de redes neuronales bayesianas, ensambles y esquemas de remuestreo (bootstrapping) acoplados a modelos con estructura física [27,24] proporciona una vía para estimar intervalos de confianza reproducibles.

Finalmente, surgen arquitecturas complementarias dirigidas a resolver limitaciones topológicas y funcionales. Las GNN permiten modelar la conectividad hidráulica en redes de monitoreo con geometría irregular [28]; los operadores neuronales, como DeepONet y las redes de operadores de Fourier (FNO), abordan la aproximación de operadores no lineales entre espacios de funciones continuas, con capacidad para predecir familias completas de soluciones parametrizadas por condiciones de frontera, campos de conductividad o tasas de inyección variables con independencia de malla [29,30,31,32], incluyendo extensiones hacia flujos reactivos multiespecie en medios heterogéneos [33]; y los modelos basados en transformers exploran la captura de dependencias de largo alcance en series hidrogeológicas complejas [34]. Su consolidación operativa dependerá de verificar que preservan los principios de balance físico y garantizan estabilidad numérica con una inversión computacional competitiva frente a los simuladores consolidados.

8 Conclusiones

El análisis bibliográfico desarrollado en este trabajo permite formular tres conclusiones principales sobre la función y los límites de ML y DL en el transporte de contaminantes hídricos:

En primer lugar, los métodos analizados complementan a los simuladores numéricos tradicionales sin reemplazarlos. Los modelos sustitutos justifican su inversión de desarrollo en problemas de optimización de pozos, diseño de remediación y análisis de incertidumbre donde se evalúan miles de escenarios; en contraste, las PINNs aportan ventajas en la estimación de parámetros hidrogeológicos y la localización de fuentes a partir de datos dispersos, al integrar las ecuaciones gobernantes sin requerir una discretización espacial rígida.

En segundo término, la precisión y la estabilidad física de estas herramientas están sujetas al régimen de transporte del sistema. En regímenes advectivos caracterizados por valores elevados del número de Péclet (), así como en acuíferos con heterogeneidades marcadas, los métodos sufren pérdidas no físicas de masa o difusión espuria del frente contaminante si se limitan a funciones de pérdida estándar. La inclusión de formulaciones de balance estricto y discretizaciones de tipo volumen de control permite evitar predicciones hidrogeológicamente incompatibles con los principios de conservación.

Finalmente, la consolidación metodológica en este ámbito demanda superar las evaluaciones limitadas a métricas estadísticas globales como el coeficiente de determinación o el error cuadrático medio. La utilidad real de estos modelos en la protección de recursos hídricos exige someterlos a bancos de pruebas estandarizados de la comunidad hidrogeológica, reportar balances de masa, evaluar su comportamiento fuera del dominio de entrenamiento y cuantificar sistemáticamente la incertidumbre en los parámetros inferidos ante el ruido y la escasez propios del monitoreo ambiental.

Agradecimientos

Los autores agradecen a la Secretaría de Ciencias, Humanidades, Tecnología e Innovación (SeCiHTI) de México, a la Coordinación de la Investigación Científica de la Universidad Michoacana de San Nicolás de Hidalgo (CIC-UMSNH), a SIIIA MATH: Soluciones en Ingeniería y al Aula CIMNE-Morelia por el financiamiento brindado para el desarrollo, la revisión bibliográfica y la redacción del presente artículo.

Asimismo, expresan su agradecimiento a los editores y revisores del Boletín, cuyos comentarios y sugerencias contribuyeron a consolidar la estructura y precisión técnica de este artículo.

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Published on 20/10/26
Submitted on 14/07/26

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