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==Resumen==2
3
Las funciones de Green (F.G.) se definen como la respuesta de un medio ante una carga puntual unitaria y son usadas ampliamente para la solución de problemas de valores en la frontera. Desafortunadamente, en el análisis estructural su uso es limitado y solo se emplean de forma indirecta y con otro nombre en el cálculo de líneas de influencia y en algunos casos esporádicos en la formulación del método del trabajo virtual. En este artículo se presenta el método de rigidez con funciones de Green (Green functions stiffness method) el cual es una metodología novedosa para obtener la respuesta analítica o exacta de estructuras reticulares planas, y como su nombre lo indica mezcla al método de rigidez con las funciones de Green. En particular se realizará la formulación para elementos tipo barra (sometidos a fuerza axial), viga (sometidos a fuerza cortante y momento flector), viga sobre fundación flexible (sometidos a fuerza cortante y momento flector) y pórtico plano (sometidos a fuerza axial, fuerza cortante y momento flector). Esta formulación tiene como propiedad principal que puede ser empleada para obtener la respuesta analítica ante cualquier distribución de carga externa y minimiza el número de elementos a emplear en las discretizaciones. Además se presenta la equivalencia de esta formulación con aquella obtenida mediante una implementación “exacta” del método de elementos finitos.4
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'''Palabras clave''': Método de rigidez con funciones de Green, Funciones de Green, Método de rigidez, Método de elementos finitos, Vigas de Bernoulli, Pórticos planos, Vigas sobre fundación flexible, Funciones de forma6
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==Abstract==8
Green functions (F.G.) are defined as the response of a medium to a unit point load and are widely used to solve boundary value problems. Unfortunately, in structural analysis, its use is limited and they are only used indirectly and with another name in the calculation of influence lines and in the formulation of the virtual work method. This article presents the Green functions stiffness method, which is a novel methodology to obtain the analytical or exact response of two dimensional frames, which mixes the stiffnes method and the Green functions, the latter used for the calculation of displacement fields. In particular, the formulation will be carried out for bar elements (subjected to axial force), beam elements (subjected to shear force and bending moment), beam over flexible foundation elements (subjected to shear force and bending moment) and two dimensional frames (subjected to axial force, cutting force and bending moment). This formulation has as its main property that it can be used to compute the analytic reponse for any external load distribution and minimizes the number of elements to be used in discretizations. In addition, the equivalence of this formulation with that obtained by an “exact” implementation of the finite element method is presented.9
10
'''Keywords''': Green function stiffness method, Green functions, stiffness method, finite element method, Bernoulli beam, plane frames, beams on elastic foundations, shape functions11
12
==1. Introducción==13
14
Las funciones de Green (F.G.) son la respuesta de un medio o elemento ante la acción de una fuente o fuerza puntual unitaria y son muy importantes en la solución de problemas de valor en la frontera (P.V.F.) de fenómenos físicos e ingenieriles, cuyas ecuaciones diferenciales (E.D.) gobernantes sean lineales <span id='citeF-1'></span>[[#cite-1|[1]]]. Esto es debido a que ellas por sí solas son solución de problemas fundamentales, pueden ser empleadas para resolver problemas con fuentes o fuerzas distribuidas <span id='citeF-2'></span>[[#cite-2|[2]]] o de forma indirecta se emplean en métodos numéricos de frontera o contorno, como el método directo de elementos de frontera <span id='citeF-3'></span>[[#cite-3|[3]]], el método indirecto de elementos de frontera <span id='citeF-4'></span>[[#cite-4|[4]]] o el método de las soluciones fundamentales <span id='citeF-5'></span>[[#cite-5|[5]]]. En geotecnia las principales F.G. son: la respuesta de un espacio completo o infinito <span id='citeF-6'></span>[[#cite-6|[6]]], la respuesta de un semi-espacio ante la acción de un fuerza en superficie <span id='citeF-7'></span><span id='citeF-8'></span>[[#cite-7|[7,8]]] y en el interior <span id='citeF-9'></span>[[#cite-9|[9]]]. En sismología las principales F.G. son: la respuesta de un espacio completo <span id='citeF-10'></span>[[#cite-10|[10]]], la respuesta de un semi-espacio debida a la acción de una fuerza normal <span id='citeF-11'></span>[[#cite-11|[11]]] y tangencial <span id='citeF-12'></span>[[#cite-12|[12]]], para el lector interesado en este tema se le recomiendan los libros <span id='citeF-13'></span><span id='citeF-14'></span>[[#cite-13|[13,14]]]. Pese a lo anteriormente mencionado, es desafortunado el poco uso que se les da a las F.G. en el análisis estructural, donde su uso (con otro nombre) se limita al cálculo de líneas de influencia y en algunos casos esporádicos a la formulación del método del trabajo virtual.15
16
Para el caso particular de la elasticidad y análisis estructural, las funciones de Green se expresan como <math display="inline">G_{ij}(\mathbf{x},\boldsymbol \xi )</math>, la cual corresponde al desplazamiento en dirección <math display="inline">i</math> del punto <math display="inline">\mathbf{x}</math>, debido a una fuerza puntual unitaria en dirección <math display="inline">j</math> aplicada en el punto <math display="inline">\boldsymbol \xi </math>.17
18
En la actualidad los métodos matriciales son los más empleados para la solución de problemas de análisis estructural, entre estos destacan el método de rigidez y el método de elementos finitos (M.E.F.). El primero de estos es más complejo de implementar y busca la solución exacta del modelo estructural en estudio, mientras que el segundo es más general y simple de implementar y busca una solución aproximada. Por esta razón es usual emplear el método de rigidez para solucionar problemas “sencillos” que involucran modelos lineales con elementos de sección transversal constante y cargas de geometrías simples, como puntuales o distribuidas con variación lineal. Mientras que el M.E.F. suele emplearse para el análisis de estructuras de sección transversal constante o variable pero sometidas a cargas cuya definición es compleja, o para problemas no lineales. Pese a lo anterior, ambos métodos tienen pequeñas falencias intrínsecas, en el método de rigidez hay gran dificultad para manejo de cargas genéricas y no es usual el cálculo del campo de desplazamientos (<span id='citeF-15'></span><span id='citeF-16'></span><span id='citeF-17'></span>[[#cite-15|[15,16,17]]], mientras que en el M.E.F. la solución es aproximada, lo cual lleva contradicciones a la hora de calcular las fuerzas internas a partir de los campos de desplazamientos <span id='citeF-18'></span><span id='citeF-19'></span>[[#cite-18|[18,19]]].19
20
En este artículo se presenta una formulación particular del método de rigidez para obtener la respuesta analítica de problemas de análisis estructural formados por estructuras reticulares planas (pudiendo estar formadas por elementos tipo barra, viga, viga sobre fundación flexible o pórtico plano), la cual se llamará el método de rigidez con funciones de Green (Green functions stiffness method), y emplea a las funciones de Green para realizar el cálculo de los desplazamientos al interior de los elementos. Esta metodología busca combinar las principales fortalezas del método de rigidez (obtención de soluciones analíticas) y del M.E.F. (posibilidad de manejar cargas complejas), para la solución total de estas estructuras, es decir, para el cálculo de sus reacciones, campos de desplazamiento y campos de fuerzas internas. Al final de este artículo se presentan tres apéndices donde se presenta la equivalencia de la actual metodología (la cual parte de las ecuaciones diferenciales gobernantes de cada tipo de elemento) y una “exacta” por el M.E.F. (la cual parte de la forma débil de las ecuaciones diferenciales en lugar de estas).21
22
A continuación se comenzarán presentando las ecuaciones diferenciales gobernantes de cada uno de los cuatro tipos de elementos a analizar (barra, viga, pórtico plano y viga sobre fundación flexible), luego se describirá en detalle la metodología de análisis propuesta en este artículo, seguido a esto se realizará la formulación “exacta” del método de rigidez para cada uno de los tipos de elemento estudiados y se concluirá con la realización tres ejemplos ilustrativos (para una viga, una viga sobre fundación flexible y un pórtico plano respectivamente).23
24
==2. Ecuaciones diferenciales gobernantes==25
26
A continuación se definirán las propiedades de los elementos tipo barra, viga, pórtico plano y viga sobre fundación flexible a estudiar en este documento, al igual que sus ecuaciones diferenciales gobernantes. Como generalidad, para todos estos tipos elementos se empleará la convención de fuerzas internas positiva presentada en la [[#img-1|Figura 1]], la cual se inspira en aquella usada para la definición de los esfuerzos positivos en la mecánica del medio continuo o de sólidos. 27
28
<div id='img-1'></div>29
30
{| class="floating_imageSCP" style="text-align: center; border: 1px solid #BBB; margin: 1em auto; width: 50%;"31
|-32
|style="padding:10px;"| [[Image:Molina-Villegas_et_al_2020b-Figura01.png|420px|Convención positiva para las fuerzas internas. P(x) es la fuerza axial (dirección eje local x), V(x) es la fuerza cortante (dirección eje local y) y M(x) es el momento flector (dirección eje local z, perpendicular tanto a x como a y.)]]33
|- style="text-align: center; font-size: 75%;"34
| colspan="1" style="padding:10px;"| '''Figura 1'''. Convención positiva para las fuerzas internas. <math>P(x)</math> es la fuerza axial (dirección eje local <math>x</math>), <math>V(x)</math> es la fuerza cortante (dirección eje local <math>y</math>) y <math>M(x)</math> es el momento flector (dirección eje local <math>z</math>, perpendicular tanto a <math>x</math> como a <math>y</math>)35
|}36
37
===2.1 Elemento tipo barra===38
39
Se define como elemento tipo barra, a aquel cuya única fuerza interna es axial y se encuentra sometido a una fuerza externa distribuida por unidad de longitud (<math display="inline">p(x)</math>), la cual actúa en dirección del eje <math display="inline">x</math>, y su valor es positivo si se dirige en la dirección de dicho eje local ([[#img-2|Figura 2]]). Para el caso que el elemento sea de sección transversal constante con área de la sección transversal <math display="inline">A</math>, material elástico lineal con módulo de elasticidad <math display="inline">E</math>, su ecuación diferencial gobernante es:40
41
<span id="eq-1"></span>42
{| class="formulaSCP" style="width: 100%; text-align: left;" 43
|-44
| 45
{| style="text-align: left; margin:auto;width: 100%;" 46
|-47
| style="text-align: center;" | <math>AE\dfrac{d^2 u}{dx^2}(x)=-p(x) </math>48
|}49
| style="width: 5px;text-align: right;white-space: nowrap;" | (1)50
|}51
52
donde <math display="inline">u(x)</math> es el desplazamiento en dirección axial del elemento (eje local <math display="inline">x</math>). 53
54
<div id='img-2'></div>55
{| class="floating_imageSCP" style="text-align: center; border: 1px solid #BBB; margin: 1em auto; width: auto;"56
|-57
|style="padding:10px;"|[[Image:Molina-Villegas_et_al_2020b-Figura02.png|420px|Elemento tipo barra y el sistema coordenado local empleado para la definición de su E.D. gobernante.]]58
|- style="text-align: center; font-size: 75%;"59
| colspan="1" style="padding:10px;"| '''Figura 2'''. Elemento tipo barra y el sistema coordenado local empleado para la definición de su E.D. gobernante60
|}61
62
63
Mientras que a partir de la ley de Hooke unidimensional su fuerza interna axial <math display="inline">(P)</math> se calcula como:64
65
<span id="eq-2"></span>66
{| class="formulaSCP" style="width: 100%; text-align: left;" 67
|-68
| 69
{| style="text-align: left; margin:auto;width: 100%;" 70
|-71
| style="text-align: center;" | <math>P(x)=A\sigma (x)=AE \epsilon (x) =AE\dfrac{d u}{dx}(x) </math>72
|}73
| style="width: 5px;text-align: right;white-space: nowrap;" | (2)74
|}75
76
donde <math display="inline">\sigma (x)</math> es el esfuerzo axial y <math display="inline">\epsilon (x)</math> es la deformación unitaria axial.77
78
===2.2 Elemento tipo viga (viga de Euler)===79
80
El elemento tipo viga está sometido tanto a fuerza cortante en dirección del eje local <math display="inline">y</math>, como a momento flector alrededor del eje local <math display="inline">z</math> (perpendicular a los ejes <math display="inline">x</math> y <math display="inline">y</math>, [[#img-3|Figura 3]]). Sus cargas externas se definen en términos de la carga por unidad de longitud en dirección del eje local <math display="inline">y</math> (<math display="inline">q(x)</math>), la cual es positiva en la dirección de este eje ([[#img-3|Figura 3]]). Si el elemento es de sección transversal constante, con momento de inercia <math display="inline">I</math> y material elástico lineal con módulo de elasticidad <math display="inline">E</math>, su ecuación diferencial gobernante es:81
82
<span id="eq-3"></span>83
{| class="formulaSCP" style="width: 100%; text-align: left;" 84
|-85
| 86
{| style="text-align: left; margin:auto;width: 100%;" 87
|-88
| style="text-align: center;" | <math>EI\dfrac{d^4 v}{dx^4}(x)=q(x) </math>89
|}90
| style="width: 5px;text-align: right;white-space: nowrap;" | (3)91
|}92
93
donde <math display="inline">v(x)</math> es el desplazamiento en dirección del eje local <math display="inline">y</math>, es decir, perpendicular al eje longitudinal del elemento. 94
95
96
<div id='img-3'></div>97
{| class="floating_imageSCP" style="text-align: center; border: 1px solid #BBB; margin: 1em auto; width: auto;"98
|-99
|style="padding:10px;"|[[Image:Molina-Villegas_et_al_2020b-Figura03.png|420px|Elemento tipo viga y el sistema coordenado local empleado para la definición de su E.D. gobernante.]]100
|- style="text-align: center; font-size: 75%;"101
| colspan="1" style="padding:10px;"| '''Figura 3'''. Elemento tipo viga y el sistema coordenado local empleado para la definición de su E.D. gobernante102
|}103
104
105
Mientras que las fuerzas internas cortante y momento flector se calculan a partir del campo de desplazamiento <math display="inline">v(x)</math>, respectivamente como: 106
107
<span id="eq-4"></span>108
109
{| class="formulaSCP" style="width: 100%; text-align: left;" 110
|-111
| 112
{| style="text-align: left; margin:auto;width: 100%;" 113
|-114
| style="text-align: center;" | <math>V(x)=-EI \dfrac{d^3 v}{dx^3}(x) </math>115
|}116
| style="width: 5px;text-align: right;white-space: nowrap;" | (4.a)117
|-118
|119
{| style="text-align: left; margin:auto;width: 100%;" 120
|-121
| style="text-align: center;" | <math> M(x)= EI \dfrac{d^2 v}{dx^2}(x) </math>122
|}123
| style="width: 5px;text-align: right;white-space: nowrap;" | (4.b)124
|}125
126
===2.3 Elemento tipo viga sobre fundación flexible===127
128
El elemento viga sobre fundación flexible se define como un elemento tipo viga que esta apoyado sobre un medio elástico, el cual tiene una rigidez por unidad de longitud <math display="inline">k</math> y genera una fuerza por unidad de longitud sobre la viga igual a <math display="inline">-kv(x)</math> ([[#img-4|Figura 4]]). Sus fuerzas internas son iguales a las de la viga, es decir, fuerza cortante y momento flector, y su ecuación diferencial gobernante es <span id='citeF-20'></span>[[#cite-20|[20]]]:129
130
<span id="eq-5"></span>131
{| class="formulaSCP" style="width: 100%; text-align: left;" 132
|-133
| 134
{| style="text-align: left; margin:auto;width: 100%;" 135
|-136
| style="text-align: center;" | <math>EI\dfrac{d^4 v}{dx^4}(x)+kv(x)=q(x) </math>137
|}138
| style="width: 5px;text-align: right;white-space: nowrap;" | (5)139
|}140
141
<div id='img-4'></div>142
{| class="floating_imageSCP" style="text-align: center; border: 1px solid #BBB; margin: 1em auto; width: 50%;"143
|-144
|style="padding:10px;"|[[Image:Molina-Villegas_et_al_2020b-Figura04.png|420px|Elemento tipo viga sobre fundación flexible y el sistema coordenado local empleado para la definición de su E.D. gobernante.]]145
|- style="text-align: center; font-size: 75%;"146
| colspan="1" style="padding:10px;"| '''Figura 4'''. Elemento tipo viga sobre fundación flexible y el sistema coordenado local empleado para la definición de su E.D. gobernante147
|}148
149
150
Al igual que para los elementos tipo viga, para este elemento las fuerzas internas se calculan a partir del campo de desplazamientos empleando [[#eq-4|(4)]].151
152
===2.4 Elemento tipo pórtico plano===153
154
El elemento tipo pórtico plano se define como la superposición de un elemento tipo barra y uno tipo viga, por lo cual sus fuerzas internas son la fuerza axial, la fuerza cortante y el momento flector respecto al eje local <math display="inline">z</math>. Sus ecuaciones diferenciales gobernantes son [[#eq-1|(1)]] para el desplazamiento axial y [[#eq-3|(3)]] para el desplazamiento perpendicular al eje longitudinal del elemento (eje <math display="inline">y</math>) y sus fuerzas internas se calculan a partir de los campos de desplazamiento empleando [[#eq-2|(2)]] y [[#eq-4|(4)]].155
156
==3. Metodología==157
158
En la formulación del método de rigidez para elementos prismáticos se expresan las fuerzas y momentos en los extremos de estos en función de los desplazamiento y rotaciones en esos mismos puntos (lo cual comúnmente se conoce como grados de libertad). Esta formulación se expresa matricialmente en un sistema local de coordenadas como:159
160
<span id="eq-6"></span>161
{| class="formulaSCP" style="width: 100%; text-align: left;" 162
|-163
| 164
{| style="text-align: left; margin:auto;width: 100%;" 165
|-166
| style="text-align: center;" | <math>\{ {F'}_E \} {=[K'}_E]\{ \Delta' _E \} +\{ \left.{F'}_E \right.^f \} </math>167
|}168
| style="width: 5px;text-align: right;white-space: nowrap;" | (6)169
|}170
171
donde <math display="inline">\{ {F'}_E \} </math> es el vector de fuerzas en los extremos del elemento en coordenadas locales, <math display="inline">{[K'}_E]</math> es la matriz de rigidez en coordenadas locales, <math display="inline">\{ \Delta' _E \} </math> es el vector de desplazamientos en los extremos del elemento en coordenadas locales y <math display="inline">\{ \left.{F'}_E \right.^f \} </math> es el vector de fuerzas de empotramiento en coordenadas locales.172
173
De analizar los dos términos del lado derecho de [[#eq-6|(6)]] es evidente que el problema se puede descomponer como la superposición o suma de dos problemas fundamentales. El primero se llamará problema homogéneo (la justificación de esto se presentará mas adelante) y es el encargado de la aparición del término que incluye a la matriz de rigidez, este problema solo depende de los desplazamientos de los nodos (nodales) y no de las cargas externas. El segundo problema se llamará problema empotrado (la justificación para su nombre también se dará mas adelante) y es el encargado de la aparición del vector de fuerzas de empotramiento y no depende de los desplazamientos nodales, pero si de las fuerzas externas. A partir de esta idea, las componentes de los campos de desplazamientos para los elementos estudiados se expresan como:174
175
<span id="eq-7"></span>176
{| class="formulaSCP" style="width: 100%; text-align: left;" 177
|-178
| 179
{| style="text-align: left; margin:auto;width: 100%;" 180
|-181
| style="text-align: center;" | <math>d(x)=d_h(x)+d_f(x) </math>182
|}183
| style="width: 5px;text-align: right;white-space: nowrap;" | (7)184
|}185
186
donde <math display="inline">d(x)</math> es el componente del campo de desplazamiento, <math display="inline">d_h(x)</math> el omponente del campo homogéneo de desplazamiento y 187
<math display="inline">d_f(x)</math> el omponente del campo empotrado de desplazamiento.188
189
A continuación, a partir de [[#eq-7|(7)]], se definirán y solucionarán los problemas de valor en la frontera (P.V.F.) empleados para la formulación del método de rigidez con funciones de Green de cada uno de los cuatro tipos de elementos a analizar, así como los P.V.F. que dan lugar a los campos homogéneos y empotrados de estos mismos.190
191
==4. Formulación analítica del método de rigidez con funciones de Green para elementos tipo barra==192
193
El P.V.F. que gobierna la formulación del método de rigidez para elementos tipo barra de sección transversal constante y longitud <math display="inline">L</math> es (Figura [[#img-2|(2)]]): 194
195
<span id="eq-8"></span>196
<span id="eq-8.a"></span>197
<span id="eq-8.b"></span>198
<span id="eq-8.c"></span>199
{| class="formulaSCP" style="width: 100%; text-align: left;" 200
|-201
| 202
{| style="text-align: left; margin:auto;width: 100%;" 203
|-204
| style="text-align: center;" | <math>AE\frac{d^2 u}{dx^2}(x)=-p(x) </math>205
| style="width: 5px;text-align: right;white-space: nowrap;" | (8.a)206
|-207
| style="text-align: center;" | <math> u(0)=u_i </math>208
| style="width: 5px;text-align: right;white-space: nowrap;" | (8.b)209
|-210
| style="text-align: center;" | <math> u(L)=u_j </math>211
| style="width: 5px;text-align: right;white-space: nowrap;" | (8.c)212
|}213
|}214
215
donde <math display="inline">u(0)=u_i</math> es el desplazamiento en dirección axial (eje local <math display="inline">x</math>) en el extremo inicial del elemento y <math display="inline">u(L)=u_j</math> es el desplazamiento en la misma dirección pero en el extremo final del elemento.216
217
Para este caso la particularización de [[#eq-7|(7)]] es:218
219
<span id="eq-9"></span>220
{| class="formulaSCP" style="width: 100%; text-align: left;" 221
|-222
| 223
{| style="text-align: left; margin:auto;width: 100%;" 224
|-225
| style="text-align: center;" | <math>u(x)=u_h(x)+u_f(x) </math>226
|}227
| style="width: 5px;text-align: right;white-space: nowrap;" | (9)228
|}229
230
donde <math display="inline">u_h(x)</math> es el campo de desplazamiento homogéneo (sección [[#4.1 Solución del P.V.F. homogéneo|4.1]]), mientras que <math display="inline">u_f(x)</math> es el campo empotrado (sección [[#4.2 Solución del P.V.F. empotrado|4.2]]).231
232
===4.1 Solución del P.V.F. homogéneo===233
234
El P.V.F. que gobierna al campo homogéneo se presenta en [[#eq-10|(10)]] y su nombre se debe a que [[#eq-10.a|(10.a)]] es una ecuación diferencial homogénea. <span id="eq-10"></span>235
236
<span id="eq-10.a"></span>237
<span id="eq-10.b"></span>238
<span id="eq-10.c"></span>239
{| class="formulaSCP" style="width: 100%; text-align: left;" 240
|-241
| 242
{| style="text-align: left; margin:auto;width: 100%;" 243
|-244
| style="text-align: center;" | <math>AE\frac{d^2 u_h}{dx^2}(x)=0 </math>245
| style="width: 5px;text-align: right;white-space: nowrap;" | (10.a)246
|-247
| style="text-align: center;" | <math> u_h(0)=u_i </math>248
| style="width: 5px;text-align: right;white-space: nowrap;" | (10.b)249
|-250
| style="text-align: center;" | <math> u_h(L)=u_j </math>251
| style="width: 5px;text-align: right;white-space: nowrap;" | (10.c)252
|}253
|}254
255
Es fácil probar que la solución de [[#eq-10|(10)]] es el siguiente polinomio de primer grado:256
257
<span id="eq-11"></span>258
{| class="formulaSCP" style="width: 100%; text-align: left;" 259
|-260
| 261
{| style="text-align: left; margin:auto;width: 100%;" 262
|-263
| style="text-align: center;" | <math>u_h(x)=\psi _1(x)u_i+\psi _4(x)u_j </math>264
|}265
| style="width: 5px;text-align: right;white-space: nowrap;" | (11)266
|}267
268
donde: <span id="eq-12"></span>269
270
{| class="formulaSCP" style="width: 100%; text-align: left;" 271
|-272
| 273
{| style="text-align: left; margin:auto;width: 100%;" 274
|-275
| style="text-align: center;" | <math>\psi _1(x)=1-\dfrac{x}{L} </math>276
| style="width: 5px;text-align: right;white-space: nowrap;" | (12.a)277
|-278
| style="text-align: center;" | <math> \psi _4(x)=\dfrac{x}{L} </math>279
| style="width: 5px;text-align: right;white-space: nowrap;" | (12.b)280
|}281
|}282
283
<math display="inline">\psi _1(x)</math> y <math display="inline">\psi _4(x)</math> son conocidas como las funciones de forma “exactas” de este problema y en este caso son iguales a aquellas que suelen emplearse en el M.E.F. para interpolar el campo de desplazamientos en un elemento tipo barra. Un par de propiedades muy importantes de <math display="inline">\psi _1(x)</math> y <math display="inline">\psi _4(x)</math>, las cuales nos permitirán expresar de forma compacta algunos cálculos posteriores, son: <span id="eq-13"></span>284
285
{| class="formulaSCP" style="width: 100%; text-align: left;" 286
|-287
| 288
{| style="text-align: left; margin:auto;width: 100%;" 289
|-290
| style="text-align: center;" | <math>\psi _1(x)=\psi _4(L-x) </math>291
| style="width: 5px;text-align: right;white-space: nowrap;" | (13.a)292
|-293
| style="text-align: center;" | <math> \psi _4(x)=\psi _1(L-x) </math>294
| style="width: 5px;text-align: right;white-space: nowrap;" | (13.b)295
|}296
|}297
298
En este punto es importante resaltar que en el M.E.F. es usual emplear [[#eq-11|(11)]] para aproximar el campo total de desplazamientos, lo cual, a partir de [[#eq-9|(9)]], se observa que es inexacto pues no incluye al campo empotrado.299
300
Por su parte, empleando la ley de Hooke uniaxial, se tiene que la fuerza axial homogénea se puede calcular como:301
302
<span id="eq-14"></span>303
{| class="formulaSCP" style="width: 100%; text-align: left;" 304
|-305
| 306
{| style="text-align: left; margin:auto;width: 100%;" 307
|-308
| style="text-align: center;" | <math>P_h(x)=AE\dfrac{du_h}{dx}(x)=\dfrac{AE}{L} \left(-u_i+u_j\right) </math>309
|}310
| style="width: 5px;text-align: right;white-space: nowrap;" | (14)311
|}312
313
Mientras que las fuerzas en dirección del eje local <math display="inline">x</math> en los extremos de la barra son: <span id="eq-15"></span>314
315
{| class="formulaSCP" style="width: 100%; text-align: left;" 316
|-317
| 318
{| style="text-align: left; margin:auto;width: 100%;" 319
|-320
| style="text-align: center;" | <math>FX_i^h=-P_h(0)=\dfrac{AE}{L} \left(u_i-u_j\right) </math>321
| style="width: 5px;text-align: right;white-space: nowrap;" | (15.a)322
|-323
| style="text-align: center;" | <math> FX_j^h= P_h(L)=\dfrac{AE}{L} \left(-u_i+u_j\right) </math>324
| style="width: 5px;text-align: right;white-space: nowrap;" | (15.b)325
|}326
|}327
328
===4.2 Solución del P.V.F. empotrado===329
330
El problema de P.V.F. que gobierna al campo empotrado se presenta en [[#eq-16|(16)]]. Su nombre se debe a que representa la respuesta de una barra doblemente empotrada sometida a una carga externa por unidad de longitud igual a la del elemento en estudio ([[#img-5a|Figura 5a]]) <span id="eq-16"></span>331
332
<span id="eq-16.a"></span>333
<span id="eq-16.b"></span>334
<span id="eq-16.c"></span>335
{| class="formulaSCP" style="width: 100%; text-align: left;" 336
|-337
| 338
{| style="text-align: left; margin:auto;width: 100%;" 339
|-340
| style="text-align: center;" | <math>AE\frac{d^2 u_f}{dx^2}(x)=-p(x) </math>341
| style="width: 5px;text-align: right;white-space: nowrap;" | (16.a)342
|-343
| style="text-align: center;" | <math> u_f(0)=0 </math>344
| style="width: 5px;text-align: right;white-space: nowrap;" | (16.b)345
|-346
| style="text-align: center;" | <math> u_f(L)=0 </math>347
| style="width: 5px;text-align: right;white-space: nowrap;" | (16.c)348
|}349
|}350
351
<div id='img-5a'></div>352
<div id='img-5b'></div>353
<div id='img-5'></div>354
{| class="floating_imageSCP" style="text-align: center; border: 1px solid #BBB; margin: 1em auto; width: auto;"355
|-356
|style="padding:10px;"|[[Image:Molina-Villegas_et_al_2020b-Figura05a.png|360px|Carga distribuida arbitraria.]]357
|style="padding:10px;"|[[Image:Molina-Villegas_et_al_2020b-Figura05c.png|360px|Fuerza puntual unitaria.]]358
|- style="text-align: center; font-size: 75%;"359
| (a) Carga distribuida arbitraria.360
| (b) Fuerza puntual unitaria.361
|- style="text-align: center; font-size: 75%;"362
| colspan="2" style="padding:10px;"| '''Figura 5'''. Barras de sección transversal constante doblemente empotradas, sometidas a una carga distribuida arbitraria y una carga puntual unitaria363
|}364
365
366
Para la solución del P.V.F. [[#eq-16|(16)]] se empleará la función de Green de un elemento tipo barra doblemente empotrada, que es de sección transversal constante y material elástico lineal ([[#img-5b|Figura 5b]]). Esta corresponde a la respuesta (campo de desplazamiento axial) debido a la aplicación de una carga puntual unitaria ubicada a una distancia <math display="inline">\xi </math> del origen de coordenadas y está gobernada por el siguiente P.V.F (notar que las dos últimas ecuaciones corresponden a la continuidad de desplazamiento y equilibrio en el punto de aplicación de la fuerza puntual unitaria <math display="inline">(x=\xi )</math>): <span id="eq-17"></span>367
368
<span id="eq-17.a"></span>369
{| class="formulaSCP" style="width: 100%; text-align: left;" 370
|-371
| 372
{| style="text-align: left; margin:auto;width: 100%;" 373
|-374
| style="text-align: center;" | <math>AE\frac{\partial ^2 G_{xx}}{\partial x^2}(x,\xi )=-\delta (x-\xi ) </math>375
| style="width: 5px;text-align: right;white-space: nowrap;" | (17.a)376
|-377
| style="text-align: center;" | <math> G_{xx}(0,\xi )=0 </math>378
| style="width: 5px;text-align: right;white-space: nowrap;" | (17.b)379
|-380
| style="text-align: center;" | <math> G_{xx}(L,\xi )=0 </math>381
| style="width: 5px;text-align: right;white-space: nowrap;" | (17.c)382
|-383
| style="text-align: center;" | <math> G_{xx}(\xi ^-,\xi )-G_{xx}(\xi ^+,\xi )=0 </math>384
| style="width: 5px;text-align: right;white-space: nowrap;" | (17.d)385
|-386
| style="text-align: center;" | <math> -AE\dfrac{\partial G_{xx}}{\partial x}(\xi ^-,\xi )+AE\dfrac{\partial G_{xx}}{\partial x}(\xi ^+,\xi )=-1 </math>387
| style="width: 5px;text-align: right;white-space: nowrap;" | (17.e)388
|}389
|}390
391
donde <math display="inline">\delta (x)</math> es la función delta de Dirac y lo superíndices - y + significan a la izquierda y a la derecha del punto en cuestión.392
393
La solución de [[#eq-17|(17)]] expresada en términos de las funciones de forma [[#eq-12|(12)]], se puede escribir de forma compacta como:394
395
<span id="eq-18"></span>396
{| class="formulaSCP" style="width: 100%; text-align: left;" 397
|-398
| 399
{| style="text-align: left; margin:auto;width: 100%;" 400
|-401
| style="text-align: center;" | <math>G_{xx}(x,\xi )= \begin{cases}G_{xx}^I (x,\xi )=\dfrac{L}{AE}\psi _4(x)\psi _1(\xi ) & 0 < x \leq \xi \\[0.3cm] G_{xx}^{II}(x,\xi )=\dfrac{L}{AE}\psi _1(x)\psi _4(\xi ) \qquad & \xi \leq x < L \end{cases} </math>402
|}403
| style="width: 5px;text-align: right;white-space: nowrap;" | (18)404
|}405
406
donde, para su escritura se han explotado las propiedades de simetría de las funciones de forma presentadas en [[#eq-13|(13)]], así como las siguientes propiedades de simetría la función de Green:407
408
{| class="formulaSCP" style="width: 100%; text-align: left;" 409
|-410
| 411
{| style="text-align: left; margin:auto;width: 100%;" 412
|-413
| style="text-align: center;" | <math>G_{xx}^I(x,\xi )=G_{xx}^{II}(\xi ,x)=G_{xx}^{II}(L-x,L-\xi ) </math>414
| style="width: 5px;text-align: right;white-space: nowrap;" | (19.a)415
|-416
| style="text-align: center;" | <math> G_{xx}^{II}(x,\xi )=G_{xx}^I(\xi ,x)=G_{xx}^I(L-x,L-\xi ) </math>417
| style="width: 5px;text-align: right;white-space: nowrap;" | (19.b)418
|}419
|}420
421
Como se verá más adelante, es importante reescribir a <math display="inline">G_{xx}(x,\xi )</math> en los intervalos <math display="inline">0 < \xi \leq x</math> y <math display="inline">x \leq \xi < L</math>, lo cual da como resultado:422
423
<span id="eq-20"></span>424
{| class="formulaSCP" style="width: 100%; text-align: left;" 425
|-426
| 427
{| style="text-align: left; margin:auto;width: 100%;" 428
|-429
| style="text-align: center;" | <math>G_{xx}(x,\xi )= \begin{cases}G_{xx}^{II}(x,\xi ) & 0 < \xi \leq x \\[0.3cm] G_{xx}^I (x,\xi ) \qquad & x \leq \xi < L \end{cases} </math>430
|}431
| style="width: 5px;text-align: right;white-space: nowrap;" | (20)432
|}433
434
Multiplicando a ambos lados de [[#eq-17.a|(17.a)]] por <math display="inline">p(\xi )</math> e integrando respecto a <math display="inline">\xi </math> entre 0 y <math display="inline">L</math> se obtiene:435
436
<span id="eq-21"></span>437
{| class="formulaSCP" style="width: 100%; text-align: left;" 438
|-439
| 440
{| style="text-align: left; margin:auto;width: 100%;" 441
|-442
| style="text-align: center;" | <math>AE \int _0^L \dfrac{\partial ^2 G_{xx}}{\partial x^2}(x,\xi )p(\xi )d\xi =-\int _0^L \delta (x-\xi ) p(\xi ) d\xi </math>443
|-444
| style="text-align: center;" | <math> AE\dfrac{\partial ^2}{\partial x^2} \left[\int _0^L G_{xx}(x,\xi )p(\xi )d\xi \right]=-p(x) </math>445
|}446
| style="width: 5px;text-align: right;white-space: nowrap;" | (21)447
|}448
449
donde se empleó la siguiente propiedad de la función delta de Dirac: <math display="inline">p(x)=\int _0^L \delta (x-\xi ) p(\xi ) d\xi </math> (<math display="inline">0<\xi{<}L</math>).450
451
De comparar [[#eq-21|(21)]] y [[#eq-16.a|(16.a)]], así como empleando [[#eq-20|(20)]] se concluye que:452
453
<span id="eq-22"></span>454
{| class="formulaSCP" style="width: 100%; text-align: left;" 455
|-456
| 457
{| style="text-align: left; margin:auto;width: 100%;" 458
|-459
| style="text-align: center;" | <math>u_f(x)=\int _0^L G_{xx}(x,\xi ) p(\xi ) d\xi =\int _0^x G^{II}_{xx}(x,\xi ) p(\xi ) d\xi{+\int}_x^L G^I_{xx}(x,\xi ) p(\xi ) d\xi </math>460
|}461
| style="width: 5px;text-align: right;white-space: nowrap;" | (22)462
|}463
464
La cual también puede interpretarse mediante el principio de superposición pues el desplazamiento en cada punto <math display="inline">x</math> de la barra doblemente empotrada es la suma de los desplazamientos causados en ese mismo punto por infinitas cargas puntuales ubicadas en <math display="inline">\xi </math> desde 0 hasta <math display="inline">L</math> y cuyo valor es <math display="inline">q(\xi )d\xi </math>, donde los limites de ambas integrales se explican por [[#eq-20|(20)]].465
466
Empleando la ley de Hooke uniaxial, a partir de [[#eq-22|(22)]] el campo de fuerza axial empotrado se calcula como:467
468
{| class="formulaSCP" style="width: 100%; text-align: left;" 469
|-470
| 471
{| style="text-align: left; margin:auto;width: 100%;" 472
|-473
| style="text-align: center;" | <math>P_f(x)=AE\dfrac{du_f}{dx}(x) </math>474
|-475
| style="text-align: center;" | <math> = AE \int _0^L \dfrac{\partial G_{xx}}{\partial x}(x,\xi )p(\xi )d\xi </math>476
|-477
| style="text-align: center;" | <math> =AE \left[\int _0^x \dfrac{\partial G_{xx}^{II}}{\partial x}(x,\xi )p(\xi )d\xi +\int _x^L \dfrac{\partial G_{xx}^I}{\partial x}(x,\xi )p(\xi )d\xi \right]</math>478
|-479
| style="text-align: center;" | <math> =-\int _0^x \psi _4(\xi )p(\xi ) d\xi{+\int}_x^L \psi _1(\xi )p(\xi ) d\xi </math>480
|}481
| style="width: 5px;text-align: right;white-space: nowrap;" | (23)482
|}483
484
Y las reacciones o fuerzas de empotramiento en dirección del eje local <math display="inline">x</math> son: <span id="eq-24"></span>485
486
{| class="formulaSCP" style="width: 100%; text-align: left;" 487
|-488
| 489
{| style="text-align: left; margin:auto;width: 100%;" 490
|-491
| style="text-align: center;" | <math>FX_i^f=-P_f(0)=-\int _0^L \psi _1(\xi ) p(\xi ) d\xi=-\int_0^L \psi _1(x) p(x) dx </math>492
| style="width: 5px;text-align: right;white-space: nowrap;" | (24.a)493
|-494
| style="text-align: center;" | <math> FX_j^f= P_f(L)=-\int _0^L \psi _4(\xi ) p(\xi ) d\xi=-\int_0^L \psi _4(x) p(x) dx </math>495
| style="width: 5px;text-align: right;white-space: nowrap;" | (24.b)496
|}497
|}498
499
Es de destacar que la anterior forma de expresar las fuerzas de empotramiento en función de la funciones de forma es coherente con aquella presentada para la formulación “exacta” del M.E.F., la cual se encuentra en el Apéndice [[#A Formulación exacta del M.E.F. para un elemento tipo barra|A]].500
501
===4.3 Superposición del campo homogéneo y el campo empotrado===502
503
Reemplazando [[#eq-11|(11)]] y [[#eq-22|(22)]] en [[#eq-9|(9)]] se tiene que el campo de desplazamiento en el elemento, expresado en función de los desplazamientos nodales y las cargas externas es:504
505
<span id="eq-25"></span>506
{| class="formulaSCP" style="width: 100%; text-align: left;" 507
|-508
| 509
{| style="text-align: left; margin:auto;width: 100%;" 510
|-511
| style="text-align: center;" | <math>u(x)=\psi _1(x)u_i+\psi _4(x)u_j+\int _0^{x} G_{xx}^{II}(x,\xi ) p(\xi ) d\xi +\int _{x}^{L} G_{xx}^{I}(x,\xi ) p(\xi )d\xi </math>512
|}513
| style="width: 5px;text-align: right;white-space: nowrap;" | (25)514
|}515
516
Mientras que a partir de sumar [[#eq-15|(15)]] y [[#eq-24|(24)]], se tiene que las fuerzas en dirección del eje local <math display="inline">x</math> en los extremos del elemento, se expresan en términos de los desplazamientos en esos mismos puntos y en la misma dirección axial:517
518
<span id="eq-26"></span>519
{| class="formulaSCP" style="width: 100%; text-align: left;" 520
|-521
| 522
{| style="text-align: left; margin:auto;width: 100%;" 523
|-524
| style="text-align: center;" | <math>\begin{Bmatrix}FX_i \\ FX_j \end{Bmatrix}= \begin{Bmatrix}FX_i^h \\ FX_j^h \end{Bmatrix}+ \begin{Bmatrix}FX_i^f \\ FX_j^f \end{Bmatrix} =\dfrac{AE}{L} \begin{bmatrix}1 & -1 \\ -1 & 1 \end{bmatrix} \begin{Bmatrix}u_i \\ u_j \end{Bmatrix}- \begin{Bmatrix}\int _0^L \psi _1(x) p(x)dx \\ \int _0^L \psi _4(x) p(x)dx \end{Bmatrix} </math>525
|}526
| style="width: 5px;text-align: right;white-space: nowrap;" | (26)527
|}528
529
La cual es la formulación en coordenadas locales del método de rigidez con funciones de Green para un elemento tipo barra y es equivalente a la presentada en el Apéndice [[#A Formulación exacta del M.E.F. para un elemento tipo barra|A]] para el caso de la formulación “exacta” por el método de elementos finitos.530
531
Para finalizar es importante resaltar que las definiciones de los P.V.F. [[#eq-10|(10)]] y [[#eq-16|(16)]] no han sido arbitrarias y son totalmente coherentes con [[#eq-8|(8)]] y [[#eq-9|(9)]]. Por ejemplo si se reemplaza [[#eq-9|(9)]] en [[#eq-8|(8)]] y se emplean [[#eq-16|(16)]], se obtiene directamente el P.V.F. [[#eq-10|(10)]], lo cual también ocurre para los demás tipos de elementos analizados en este artículo.532
533
==5. Formulación analítica del método de rigidez con funciones de Green para elementos tipo viga==534
535
El P.V.F. que gobierna la formulación del método de rigidez de un elemento tipo viga de sección transversal constante con momento de inercia <math display="inline">I</math>, material elástico lineal homogéneo con módulo de elasticidad <math display="inline">E</math> y longitud <math display="inline">L</math> es (Figura [[#img-3|3]]): <span id="eq-27"></span>536
537
<span id="eq-27.a"></span>538
<span id="eq-27.b"></span>539
<span id="eq-27.c"></span>540
<span id="eq-27.d"></span>541
<span id="eq-27.e"></span>542
{| class="formulaSCP" style="width: 100%; text-align: left;" 543
|-544
| 545
{| style="text-align: left; margin:auto;width: 100%;" 546
|-547
| style="text-align: center;" | <math>EI\frac{d^4 v}{dx^4}(x)=q(x) </math>548
| style="width: 5px;text-align: right;white-space: nowrap;" | (27.a)549
|-550
| style="text-align: center;" | <math> v(0)=v_i </math>551
| style="width: 5px;text-align: right;white-space: nowrap;" | (27.b)552
|-553
| style="text-align: center;" | <math> \dfrac{dv}{dx}(0)=\theta _i </math>554
| style="width: 5px;text-align: right;white-space: nowrap;" | (27.c)555
|-556
| style="text-align: center;" | <math> v(L)=v_j </math>557
| style="width: 5px;text-align: right;white-space: nowrap;" | (27.d)558
|-559
| style="text-align: center;" | <math> \dfrac{dv}{dx}(L)=\theta _j </math>560
| style="width: 5px;text-align: right;white-space: nowrap;" | (27.e)561
|}562
|}563
564
donde <math display="inline">v(0)=v_i</math> es el desplazamiento en dirección del eje local <math display="inline">y</math> en extremo inicial del elemento, <math display="inline">\dfrac{dv}{dx}(0)=\theta _i</math> es la pendiente en ese mismo punto, <math display="inline">v(L)=v_j</math> es el desplazamiento en dirección del eje local <math display="inline">y</math> en extremo final del elemento y <math display="inline">\dfrac{dv}{dx}(L)=\theta _j</math> es la rotación en ese último punto.565
566
Para este caso la particularización de [[#eq-7|(7)]] es:567
568
<span id="eq-28"></span>569
{| class="formulaSCP" style="width: 100%; text-align: left;" 570
|-571
| 572
{| style="text-align: left; margin:auto;width: 100%;" 573
|-574
| style="text-align: center;" | <math>v(x)=v_h(x)+v_f(x) </math>575
|}576
| style="width: 5px;text-align: right;white-space: nowrap;" | (28)577
|}578
579
donde <math display="inline">v_h(x)</math> es el campo de desplazamiento homogéneo (sección [[#5.1 Solución del P.V.F. homogéneo|5.1]]), mientras que <math display="inline">v_f(x)</math> es el campo empotrado (sección [[#5.2 Solución del P.V.F. empotrado|5.2]]).580
581
===5.1 Solución del P.V.F. homogéneo===582
583
Para este caso el P.V.F. gobernante es: <span id="eq-29"></span>584
585
<span id="eq-29.a"></span>586
<span id="eq-29.b"></span>587
<span id="eq-29.c"></span>588
<span id="eq-29.d"></span>589
<span id="eq-29.e"></span>590
{| class="formulaSCP" style="width: 100%; text-align: left;" 591
|-592
| 593
{| style="text-align: left; margin:auto;width: 100%;" 594
|-595
| style="text-align: center;" | <math>EI\frac{d^4 v_h}{dx^4}(x)=0 </math>596
| style="width: 5px;text-align: right;white-space: nowrap;" | (29.a)597
|-598
| style="text-align: center;" | <math> v_h(0)=v_i </math>599
| style="width: 5px;text-align: right;white-space: nowrap;" | (29.b)600
|-601
| style="text-align: center;" | <math> \dfrac{d v_h}{dx}(0)=\theta _i </math>602
| style="width: 5px;text-align: right;white-space: nowrap;" | (29.c)603
|-604
| style="text-align: center;" | <math> v_h(L)=v_j </math>605
| style="width: 5px;text-align: right;white-space: nowrap;" | (29.d)606
|-607
| style="text-align: center;" | <math> \dfrac{d v_h}{dx}(L)=\theta _j </math>608
| style="width: 5px;text-align: right;white-space: nowrap;" | (29.e)609
|}610
|}611
612
Cuya solución, es el siguiente polinomio de orden tres:613
614
<span id="eq-30"></span>615
{| class="formulaSCP" style="width: 100%; text-align: left;" 616
|-617
| 618
{| style="text-align: left; margin:auto;width: 100%;" 619
|-620
| style="text-align: center;" | <math>v_h(x)=\psi _2(x) v_i+\psi _3(x) \theta _i+\psi _5(x) v_j+\psi _6(x) \theta _j </math>621
|}622
| style="width: 5px;text-align: right;white-space: nowrap;" | (30)623
|}624
625
donde <math display="inline">\psi _2(x)</math>, <math display="inline">\psi _3(x)</math>, <math display="inline">\psi _5(x)</math> y <math display="inline">\psi _6(x)</math> se conocen coma las funciones de forma “exactas” de este problema y tienen el siguiente valor: <span id="eq-31"></span>626
627
{| class="formulaSCP" style="width: 100%; text-align: left;" 628
|-629
| 630
{| style="text-align: left; margin:auto;width: 100%;" 631
|-632
| style="text-align: center;" | <math>\psi _2(x)=1-3\left(\dfrac{x}{L}\right)^2+2\left(\dfrac{x}{L}\right)^3 </math>633
| style="width: 5px;text-align: right;white-space: nowrap;" | (31.a)634
|-635
| style="text-align: center;" | <math> \psi _3(x)=\left[\dfrac{x}{L}-2\left(\dfrac{x}{L} \right)^2+\left(\dfrac{x}{L} \right)^3 \right]L </math>636
| style="width: 5px;text-align: right;white-space: nowrap;" | (31.b)637
|-638
| style="text-align: center;" | <math> \psi _5(x)=3\left(\dfrac{x}{L} \right)^2-2\left(\dfrac{x}{L} \right)^3</math>639
| style="width: 5px;text-align: right;white-space: nowrap;" | (31.c)640
|-641
| style="text-align: center;" | <math> \psi _6(x)=\left[-\left(\dfrac{x}{L} \right)^2+\left(\dfrac{x}{L} \right)^3\right]L </math>642
| style="width: 5px;text-align: right;white-space: nowrap;" | (31.d)643
|}644
|}645
646
Fuera de lo anterior, las siguientes propiedades de simetría de las funciones de forma <math display="inline">\psi _2(x)</math>, <math display="inline">\psi _3(x)</math>, <math display="inline">\psi _5(x)</math> y <math display="inline">\psi _2(x)</math> son muy importantes de resaltar: <span id="eq-32"></span>647
648
{| class="formulaSCP" style="width: 100%; text-align: left;" 649
|-650
| 651
{| style="text-align: left; margin:auto;width: 100%;" 652
|-653
| style="text-align: center;" | <math>\psi _2(x)=\psi _5(L-x) </math>654
| style="width: 5px;text-align: right;white-space: nowrap;" | (32.a)655
|-656
| style="text-align: center;" | <math> \psi _5(x)=\psi _2(L-x) </math>657
| style="width: 5px;text-align: right;white-space: nowrap;" | (32.b)658
|-659
| style="text-align: center;" | <math> \psi _3(x)=-\psi _6(L-x) </math>660
| style="width: 5px;text-align: right;white-space: nowrap;" | (32.c)661
|-662
| style="text-align: center;" | <math> \psi _6(x)=-\psi _3(L-x) </math>663
| style="width: 5px;text-align: right;white-space: nowrap;" | (32.d)664
|}665
|}666
667
Al igual que para el caso de las barras, las funciones de forma “exactas” presentadas en [[#eq-31|(31)]] son iguales a las empleadas en el M.E.F. para aproximar o interpolar el campo total de desplazamiento, lo cual de nuevo es inexacto pues se omite el campo empotrado [[#eq-28|(28)]].668
669
A partir de [[#eq-30|(30)]] y [[#eq-4|(4)]], las fuerzas internas homogéneas son:670
671
{| class="formulaSCP" style="width: 100%; text-align: left;" 672
|-673
| 674
{| style="text-align: left; margin:auto;width: 100%;" 675
|-676
| style="text-align: center;" | <math>M_h(x)=EI\frac{d^2 v_h}{dx^2}(x)=\frac{EI}{L^2} \left[\left(-6+12 \frac{x}{L} \right)v_i +\left(-4+6\frac{x}{L} \right)\theta _i L +\left(6-12 \frac{x}{L} \right)v_j +\left(-2+6\frac{x}{L} \right)\theta _j L \right]</math>677
| style="width: 5px;text-align: right;white-space: nowrap;" | (33.a)678
|-679
| style="text-align: center;" | <math> V_h(x)=-EI\frac{d^3 v_h}{dx^3}(x)=\frac{EI}{L^3} (-12v_i-6\theta _i L+12v_j-6\theta _j L) </math>680
| style="width: 5px;text-align: right;white-space: nowrap;" | (33.b)681
|}682
|}683
684
Mientras que las fuerzas homogéneas en los extremos del elemento en dirección de los ejes locales <math display="inline">y</math>, <math display="inline">z</math> son: <span id="eq-34"></span>685
686
{| class="formulaSCP" style="width: 100%; text-align: left;" 687
|-688
| 689
{| style="text-align: left; margin:auto;width: 100%;" 690
|-691
| style="text-align: center;" | <math>FY_i^h=-V_h(0)= \dfrac{12EI}{L^3}v_i+\dfrac{6EI}{L^2}\theta _i-\dfrac{12EI}{L^3}v_j+\dfrac{6EI}{L^2}\theta _j </math>692
| style="width: 5px;text-align: right;white-space: nowrap;" | (34.a)693
|-694
| style="text-align: center;" | <math> M_i^h =-M_h(0)= \dfrac{ 6EI}{L^2}v_i+\dfrac{4EI}{L }\theta _i-\dfrac{ 6EI}{L^2}v_j+\dfrac{2EI}{L}\theta _j </math>695
| style="width: 5px;text-align: right;white-space: nowrap;" | (34.b)696
|-697
| style="text-align: center;" | <math> FY_j^h= V_h(L)=-\dfrac{12EI}{L^3}v_i-\dfrac{6EI}{L^2}\theta _i+\dfrac{12EI}{L^3}v_j-\dfrac{6EI}{L^2}\theta _j </math>698
| style="width: 5px;text-align: right;white-space: nowrap;" | (34.c)699
|-700
| style="text-align: center;" | <math> M_j^h = M_h(0)= \dfrac{ 6EI}{L^2}v_i+\dfrac{2EI}{L }\theta _i-\dfrac{ 6EI}{L^2}v_j+\dfrac{4EI}{L}\theta _j </math>701
| style="width: 5px;text-align: right;white-space: nowrap;" | (34.d)702
|}703
|}704
705
===5.2 Solución del P.V.F. empotrado===706
707
El problema de P.V.F. que gobierna al campo empotrado se presenta en [[#eq-35|(35)]] y corresponde a la respuesta de una viga doblemente empotrada sometida a una carga externa genérica definida por la función <math display="inline">q(x)</math> ([[#img-6a|Figura 6a]]) 708
709
<span id="eq-35"></span>710
711
<span id="eq-35.a"></span>712
<span id="eq-35.b"></span>713
<span id="eq-35.c"></span>714
<span id="eq-35.d"></span>715
<span id="eq-35.e"></span>716
{| class="formulaSCP" style="width: 100%; text-align: left;" 717
|-718
| 719
{| style="text-align: left; margin:auto;width: 100%;" 720
|-721
| style="text-align: center;" | <math>EI\frac{d^4 v_f}{dx^4}(x)=q(x) </math>722
| style="width: 5px;text-align: right;white-space: nowrap;" | (35.a)723
|-724
| style="text-align: center;" | <math> v_f(0)=0 </math>725
| style="width: 5px;text-align: right;white-space: nowrap;" | (35.b)726
|-727
| style="text-align: center;" | <math> \dfrac{d v_f}{dx}(0)=0 </math>728
| style="width: 5px;text-align: right;white-space: nowrap;" | (35.c)729
|-730
| style="text-align: center;" | <math> v_f(L)=0 </math>731
| style="width: 5px;text-align: right;white-space: nowrap;" | (35.d)732
|-733
| style="text-align: center;" | <math> \dfrac{d v_f}{dx}(L)=0 </math>734
| style="width: 5px;text-align: right;white-space: nowrap;" | (35.e)735
|}736
|}737
738
<div id='img-6a'></div>739
<div id='img-6b'></div>740
<div id='img-6'></div>741
{| class="floating_imageSCP" style="text-align: center; border: 1px solid #BBB; margin: 1em auto; width: 80%;"742
|-743
|style="padding:10px;"|[[Image:Molina-Villegas_et_al_2020b-Figura06a.png|360px|Carga distribuida arbitraria.]]744
|style="padding:10px;"|[[Image:Molina-Villegas_et_al_2020b-Figura06c.png|360px|Fuerza puntual unitaria.]]745
|- style="text-align: center; font-size: 75%;"746
| (a) Carga distribuida arbitraria.747
| (b) Fuerza puntual unitaria.748
|- style="text-align: center; font-size: 75%;"749
| colspan="2" style="padding:10px;"| '''Figura 6'''. Vigas de sección transversal constante doblemente empotradas, sometidas a una carga distribuida arbitraria y una carga puntual unitaria750
|}751
752
753
Para solucionar el P.V.F. [[#eq-35|(35)]] se definirá la función de Green asociada con este problema, es decir, la respuesta de una viga doblemente empotrada de sección transversal constante y material elástico lineal, sometida a una fuerza puntual unitaria ubicada a una distancia <math display="inline">\xi </math> del extremo izquierdo del elemento ([[#img-6b|Figura 6b]]). Esta función de Green está gobernada por el P.V.F. [[#eq-36|(36)]], el cual comprende el cumplimiento de la ecuación diferencial gobernante, condiciones de frontera, condiciones de continuidad de desplazamientos y rotaciones en (<math display="inline">x=\xi </math>) y equilibrio vertical y rotacional en este mismo punto: <span id="eq-36"></span>754
755
<span id="eq-36.a"></span>756
{| class="formulaSCP" style="width: 100%; text-align: left;" 757
|-758
| 759
{| style="text-align: left; margin:auto;width: 100%;" 760
|-761
| style="text-align: center;" | <math>EI\frac{\partial ^4 G_{yy}}{\partial x^4}(x,\xi )=\delta (x-\xi ) </math>762
| style="width: 5px;text-align: right;white-space: nowrap;" | (36.a)763
|-764
| style="text-align: center;" | <math> G_{yy}(0,\xi )=0 </math>765
| style="width: 5px;text-align: right;white-space: nowrap;" | (36.b)766
|-767
| style="text-align: center;" | <math> \dfrac{\partial G_{yy}}{\partial x}(0,\xi )=0 </math>768
| style="width: 5px;text-align: right;white-space: nowrap;" | (36.c)769
|-770
| style="text-align: center;" | <math> G_{yy}(L,\xi )=0 </math>771
| style="width: 5px;text-align: right;white-space: nowrap;" | (36.d)772
|-773
| style="text-align: center;" | <math> \dfrac{\partial G_{yy}}{\partial x}(L,\xi )=0 </math>774
| style="width: 5px;text-align: right;white-space: nowrap;" | (36.e)775
|-776
| style="text-align: center;" | <math> G_{yy}(\xi ^-,\xi )-G_{yy}(\xi ^+,\xi )=0 </math>777
| style="width: 5px;text-align: right;white-space: nowrap;" | (36.f)778
|-779
| style="text-align: center;" | <math> \dfrac{\partial G_{yy}}{\partial x}(\xi ^-,\xi )-\dfrac{\partial G_{yy}}{\partial x}(\xi ^+,\xi )=0 </math>780
| style="width: 5px;text-align: right;white-space: nowrap;" | (36.g)781
|-782
| style="text-align: center;" | <math> EI\dfrac{\partial ^3 G_{yy}}{\partial x^3}(\xi ^-,\xi )-EI\dfrac{\partial ^3 G_{yy}}{\partial x^3}(\xi ^+,\xi )=-1 </math>783
| style="width: 5px;text-align: right;white-space: nowrap;" | (36.h)784
|-785
| style="text-align: center;" | <math> -EI\dfrac{\partial ^2 G_{yy}}{\partial x^2}(\xi ^-,\xi )+EI\dfrac{\partial ^2 G_{yy}}{\partial x^2}(\xi ^+,\xi )=0 </math>786
| style="width: 5px;text-align: right;white-space: nowrap;" | (36.i)787
|}788
|}789
790
La solución de [[#eq-36|(36)]], es decir, la función de Green para la viga doblemente empotrada presentada en la [[#img-6b|Figura 6b]] es:791
792
<span id="eq-37"></span>793
{| class="formulaSCP" style="width: 100%; text-align: left;" 794
|-795
| 796
{| style="text-align: left; margin:auto;width: 100%;" 797
|-798
| style="text-align: center;" | <math>G_{yy}(x,\xi )= \begin{cases}\dfrac{L^3}{6EI} \left[-\left(\dfrac{x}{L} \right)^3 \psi _2(\xi ) +3 \left(\dfrac{x}{L}\right)^2 \dfrac{\psi _3(\xi )}{L} \right] & 0 < x \leq \xi \\[0.3cm] \dfrac{L^3}{6EI} \left[-\left(1-\dfrac{x}{L} \right)^3 \psi _5(\xi ) -3 \left(1-\dfrac{x}{L}\right)^2 \dfrac{\psi _6(\xi )}{L} \right]\qquad & \xi \leq x < L \end{cases} </math>799
|}800
| style="width: 5px;text-align: right;white-space: nowrap;" | (37)801
|}802
803
La cual se ha podido expresar de forma tan compacta empleando las propiedades se simetría de las funciones de forma presentadas en [[#eq-32|(32)]] y las siguientes propiedades de simetría de la función de Green:804
805
{| class="formulaSCP" style="width: 100%; text-align: left;" 806
|-807
| 808
{| style="text-align: left; margin:auto;width: 100%;" 809
|-810
| style="text-align: center;" | <math>G_{yy}^I(x,\xi )=G_{yy}^{II}(\xi ,x)=G_{yy}^{II}(L-x,L-\xi ) </math>811
| style="width: 5px;text-align: right;white-space: nowrap;" | (38.a)812
|-813
| style="text-align: center;" | <math> G_{yy}^{II}(x,\xi )=G_{yy}^I(\xi ,x)=G_{yy}^I(L-x,L-\xi ) </math>814
| style="width: 5px;text-align: right;white-space: nowrap;" | (38.b)815
|}816
|}817
818
La cual, por simplicidad en los próximos cálculos se reescribirá de forma compacta como:819
820
<span id="eq-39"></span>821
{| class="formulaSCP" style="width: 100%; text-align: left;" 822
|-823
| 824
{| style="text-align: left; margin:auto;width: 100%;" 825
|-826
| style="text-align: center;" | <math>G_{yy}(x,\xi )= \begin{cases}G_{yy}^I(x,\xi ) & 0 < x \leq \xi \\ G_{yy}^{II}(x,\xi ) \qquad & \xi \leq x < L \end{cases} </math>827
|}828
| style="width: 5px;text-align: right;white-space: nowrap;" | (39)829
|}830
831
O de forma alternativa como:832
833
<span id="eq-40"></span>834
{| class="formulaSCP" style="width: 100%; text-align: left;" 835
|-836
| 837
{| style="text-align: left; margin:auto;width: 100%;" 838
|-839
| style="text-align: center;" | <math>G_{yy}(x,\xi )= \begin{cases}G_{yy}^{II}(x,\xi ) & 0 < \xi \leq x \\ G_{yy}^I(x,\xi ) \qquad & x \leq \xi < L \end{cases} </math>840
|}841
| style="width: 5px;text-align: right;white-space: nowrap;" | (40)842
|}843
844
Multiplicando a ambos lados de [[#eq-36.a|(36.a)]] por <math display="inline">q(\xi )</math> e integrando respecto a <math display="inline">\xi </math> entre 0 y <math display="inline">L</math> se obtiene:845
846
<span id="eq-41"></span>847
{| class="formulaSCP" style="width: 100%; text-align: left;" 848
|-849
| 850
{| style="text-align: left; margin:auto;width: 100%;" 851
|-852
| style="text-align: center;" | <math>EI \int _0^L \dfrac{\partial ^4 G_{yy}}{\partial x^4}(x,\xi )q(\xi )d\xi =\int _0^L \delta (x-\xi ) q(\xi ) d\xi </math>853
|-854
| style="text-align: center;" | <math> EI\dfrac{\partial ^4}{\partial x^4} \left[\int _0^L G_{yy}(x,\xi )q(\xi )d\xi \right]=q(x) </math>855
|}856
| style="width: 5px;text-align: right;white-space: nowrap;" | (41)857
|}858
859
donde se empleó que <math display="inline">q(x)=\int _0^L \delta (x-\xi ) q(\xi ) d\xi </math> <math display="inline">(0<\xi{<}L)</math>.860
861
De comparar [[#eq-21|(21)]] y [[#eq-35.a|(35.a)]], así como empleando [[#eq-40|(40)]], se concluye que:862
863
<span id="eq-42"></span>864
{| class="formulaSCP" style="width: 100%; text-align: left;" 865
|-866
| 867
{| style="text-align: left; margin:auto;width: 100%;" 868
|-869
| style="text-align: center;" | <math>v_f(x)=\int _0^L G_{yy}(x,\xi ) q(\xi ) d\xi =\int _0^x G^{II}_{yy}(x,\xi ) q(\xi ) d\xi{+\int}_x^L G^{I}_{yy}(x,\xi ) q(\xi ) d\xi </math>870
|}871
| style="width: 5px;text-align: right;white-space: nowrap;" | (42)872
|}873
874
Al igual que para el caso de la barra, el campo empotrado presentado en [[#eq-42|(42)]] puede interpretarse a partir del principio de superposición como la respuesta en un punto <math display="inline">x</math> debido a la suma de los aportes de los diferenciales de fuerza <math display="inline">q(\xi )d\xi </math> ubicados a lo largo de toda la viga, para lo cual se emplea [[#eq-40|(40)]].875
876
Mientras que los campos de fuerzas internas se calculan como:877
878
{| class="formulaSCP" style="width: 100%; text-align: left;" 879
|-880
| 881
{| style="text-align: left; margin:auto;width: 100%;" 882
|-883
| style="text-align: center;" | <math>M_f(x)=EI \dfrac{d^2 v_f}{dx^2}(x) </math>884
|-885
| style="text-align: center;" | <math> =EI \int _0^L \dfrac{\partial ^2 G_{yy}}{\partial x^2}(x,\xi ) q(\xi ) d\xi </math>886
|-887
| style="text-align: center;" | <math> =EI\int _0^x \dfrac{\partial ^2 G^{II}_{yy}}{\partial x^2} (x,\xi ) q(\xi ) d\xi +EI\int _x^L \dfrac{\partial ^2 G^{I}_{yy}}{\partial x^2}(x,\xi ) q(\xi ) d\xi </math>888
|-889
| style="text-align: center;" | <math> =\int _0^x \left[-\psi _6(\xi )-\psi _5(\xi )(L-x) \right]q(\xi ) d\xi +\int _x^L \left[\psi _3(\xi )-\psi _2(\xi )x\right]q(\xi ) d\xi </math>890
|}891
| style="width: 5px;text-align: right;white-space: nowrap;" | (43)892
|}893
894
{| class="formulaSCP" style="width: 100%; text-align: left;" 895
|-896
| 897
{| style="text-align: left; margin:auto;width: 100%;" 898
|-899
| style="text-align: center;" | <math>V_f(x)=-EI \dfrac{d^3 v_f}{dx^3}(x) </math>900
|-901
| style="text-align: center;" | <math> =-EI \int _0^L \dfrac{\partial ^3 G_{yy}}{\partial x^3}(x,\xi ) q(\xi ) d\xi </math>902
|-903
| style="text-align: center;" | <math> =-EI\int _0^x \dfrac{\partial ^3 G^{II}_{yy}}{\partial x^3} (x,\xi ) q(\xi ) d\xi -EI\int _x^L \dfrac{\partial ^3 G^I_{yy}}{\partial x^3}(x,\xi ) q(\xi ) d\xi </math>904
|-905
| style="text-align: center;" | <math> =-\int _0^x \psi _5(\xi ) q(\xi ) d\xi{+\int}_x^L \psi _2(\xi ) q(\xi ) d\xi </math>906
|}907
| style="width: 5px;text-align: right;white-space: nowrap;" | (44)908
|}909
910
Y las reacciones o fuerzas de empotramiento en dirección de los ejes locales <math display="inline">y</math> y <math display="inline">z</math> son: <span id="eq-45"></span>911
912
{| class="formulaSCP" style="width: 100%; text-align: left;" 913
|-914
| 915
{| style="text-align: left; margin:auto;width: 100%;" 916
|-917
| style="text-align: center;" | <math>FY_i^f=-V_f(0)=-\int _0^L \psi _2(\xi ) q(\xi ) d\xi=-\int_0^L \psi _2(x) q(x) dx </math>918
| style="width: 5px;text-align: right;white-space: nowrap;" | (45.a)919
|-920
| style="text-align: center;" | <math> M_i^f =-M_f(0)=-\int _0^L \psi _3(\xi ) q(\xi ) d\xi=-\int_0^L \psi _3(x) q(x) dx </math>921
| style="width: 5px;text-align: right;white-space: nowrap;" | (45.b)922
|-923
| style="text-align: center;" | <math> FY_j^f=V_f(L) =-\int _0^L \psi _5(\xi ) q(\xi ) d\xi=-\int_0^L \psi _5(x) q(x) dx </math>924
| style="width: 5px;text-align: right;white-space: nowrap;" | (45.c)925
|-926
| style="text-align: center;" | <math> M_j^f =M_f(L) =-\int _0^L \psi _6(\xi ) q(\xi ) d\xi=-\int_0^L \psi _6(x) q(x) dx </math>927
| style="width: 5px;text-align: right;white-space: nowrap;" | (45.d)928
|}929
|}930
931
Por su parte para el caso en que se presente un momento puntual, pese a que este se puede expresar como una función <math display="inline">q(x)</math> empleando el límite de dos funciones delta de Dirac, por comodidad a continuación se presenta la función de Green para este caso ([[#img-7|Figura 7]]):932
933
{| class="formulaSCP" style="width: 100%; text-align: left;" 934
|-935
| 936
{| style="text-align: left; margin:auto;width: 100%;" 937
|-938
| style="text-align: center;" | <math>G_{y\theta }(x,\xi )=\lim _{\Delta \xi \to 0} \dfrac{G_{yy}(x,\xi{+\Delta}\xi )-G_{yy}(x,\xi )}{\Delta \xi }=\dfrac{\partial G_{yy}}{\partial \xi }(x,\xi ) </math>939
|}940
| style="width: 5px;text-align: right;white-space: nowrap;" | (46)941
|}942
943
con lo cual:944
945
{| class="formulaSCP" style="width: 100%; text-align: left;" 946
|-947
| 948
{| style="text-align: left; margin:auto;width: 100%;" 949
|-950
| style="text-align: center;" | <math>G_{y\theta }(x,\xi )= \begin{cases}\dfrac{L^3}{6EI} \left[-\left(\dfrac{x}{L} \right)^3 \dfrac{d \psi _2}{d \xi }(\xi ) +\dfrac{3}{L} \left(\dfrac{x}{L}\right)^2 \dfrac{d \psi _3}{d\xi }(\xi ) \right] & 0 < x \leq \xi \\[0.3cm] \dfrac{L^3}{6EI} \left[-\left(1-\dfrac{x}{L} \right)^3 \dfrac{d\psi _5}{d\xi }(\xi ) -\dfrac{3}{L} \left(1-\dfrac{x}{L}\right)^2 \dfrac{d\psi _6}{d\xi }(\xi ) \right]\qquad & \xi \leq x < L \end{cases} </math>951
|}952
| style="width: 5px;text-align: right;white-space: nowrap;" | (47)953
|}954
955
Mientras que los campos de fuerzas internas debidas al momento puntual son:956
957
{| class="formulaSCP" style="width: 100%; text-align: left;" 958
|-959
| 960
{| style="text-align: left; margin:auto;width: 100%;" 961
|-962
| style="text-align: center;" | <math>M_f(x,\xi )=EI\dfrac{\partial ^2 G_{y\theta }}{\partial x^2}(x,\xi )= \begin{cases}\dfrac{d \psi _3}{d\xi }(\xi )-\dfrac{d\psi _2}{d\xi }(\xi )x & 0<x < \xi \\[0.3cm] -\dfrac{d \psi _6}{d\xi }(\xi )+\dfrac{d \psi _5}{d\xi }(\xi )(x-L) & \xi < x < L \end{cases} </math>963
|}964
| style="width: 5px;text-align: right;white-space: nowrap;" | (48)965
|}966
967
{| class="formulaSCP" style="width: 100%; text-align: left;" 968
|-969
| 970
{| style="text-align: left; margin:auto;width: 100%;" 971
|-972
| style="text-align: center;" | <math>V_f(x,\xi )=-EI\dfrac{\partial ^3 G_{y\theta }}{\partial x^3}(x,\xi )= \begin{cases}\dfrac{d \psi _2}{d\xi }(\xi ) & 0<x \leq \xi \\[0.3cm] -\dfrac{d \psi _5}{d\xi }(\xi ) \qquad & \xi \leq x < L \end{cases} </math>973
|}974
| style="width: 5px;text-align: right;white-space: nowrap;" | (49)975
|}976
977
con lo cual las fuerzas de empotramiento para este caso son:978
979
{| class="formulaSCP" style="width: 100%; text-align: left;" 980
|-981
| 982
{| style="text-align: left; margin:auto;width: 100%;" 983
|-984
| style="text-align: center;" | <math>FY_i^f=-\dfrac{\psi _2}{\partial \xi }(\xi ) </math>985
| style="width: 5px;text-align: right;white-space: nowrap;" | (50.a)986
|-987
| style="text-align: center;" | <math> M_i^f=-\dfrac{\psi _3}{\partial \xi }(\xi ) </math>988
| style="width: 5px;text-align: right;white-space: nowrap;" | (50.b)989
|-990
| style="text-align: center;" | <math> FY_j^f=-\dfrac{\psi _5}{\partial \xi }(\xi ) </math>991
| style="width: 5px;text-align: right;white-space: nowrap;" | (50.c)992
|-993
| style="text-align: center;" | <math> M_j^f=-\dfrac{\psi _6}{\partial \xi }(\xi ) </math>994
| style="width: 5px;text-align: right;white-space: nowrap;" | (50.d)995
|}996
|}997
998
<div id='img-7'></div>999
{| class="floating_imageSCP" style="text-align: center; border: 1px solid #BBB; margin: 1em auto; width: 50%;"1000
|-1001
|style="padding:10px;"|[[Image:Molina-Villegas_et_al_2020b-Figura11.png|420px|Viga de sección transversal constante doblemente empotrada, sometidas a un momento puntual unitario.]]1002
|- style="text-align: center; font-size: 75%;"1003
| colspan="1" style="padding:10px;"| '''Figura 7'''. Viga de sección transversal constante doblemente empotrada, sometidas a un momento puntual unitario1004
|}1005
1006
1007
Debido a que el problema estudiado es lineal, en caso de que el momento aplicado no sea unitario sinó de valor <math display="inline">M</math>, los resultados anteriores se deberán simplemente multiplicar por <math display="inline">M</math>, y en caso de que sea un momento por unidad de longitud distribuido, este se deberá integrar de forma similar a como se realizó con la carga <math display="inline">q(\xi )</math> pero ahora empleando <math display="inline">G_{y\theta }(x,\xi )</math> en lugar de <math display="inline">G_{yy}(x,\xi )</math>.1008
1009
===5.3 Superposición del campo homogéneo y el campo empotrado===1010
1011
Reemplazando [[#eq-30|(30)]] y [[#eq-42|(42)]] en [[#eq-28|(28)]] se obtiene que el campo de desplazamientos puede expresarse en función de los desplazamientos nodales y las fuerzas externas como:1012
1013
<span id="eq-51"></span>1014
{| class="formulaSCP" style="width: 100%; text-align: left;" 1015
|-1016
| 1017
{| style="text-align: left; margin:auto;width: 100%;" 1018
|-1019
| style="text-align: center;" | <math>v(x)=\psi _2(x) v_i+\psi _3(x) \theta _i+\psi _5(x) v_j+\psi _6(x) \theta _j+\int _0^{x} G_{yy}^{II}(x,\xi ) q(\xi ) d\xi +\int _{x}^{L} G_{yy}^{I}(x,\xi ) q(\xi )d\xi </math>1020
|}1021
| style="width: 5px;text-align: right;white-space: nowrap;" | (51)1022
|}1023
1024
Mientras que las fuerzas en los extremos del elemento se expresan en términos de los desplazamiento y rotaciones en esos mismos puntos a partir de la suma de [[#eq-34|(34)]] y [[#eq-45|(45)]]:1025
1026
<span id="eq-52"></span>1027
{| class="formulaSCP" style="width: 100%; text-align: left;" 1028
|-1029
| 1030
{| style="text-align: left; margin:auto;width: 100%;" 1031
|-1032
| style="text-align: center;" | <math>\begin{Bmatrix}FY_i \\ M_i \\ FY_j \\ M_j \end{Bmatrix}= \begin{Bmatrix}FY_i^h \\ M_i^h \\ FY_j^h \\ M_j^h \end{Bmatrix}+ \begin{Bmatrix}FY_i^f \\ M_i^f \\ FY_j^f \\ M_j^f \end{Bmatrix}= \begin{bmatrix}\dfrac{12EI}{L^3} & \dfrac{6EI}{L^2} & -\dfrac{12EI}{L^3} & \dfrac{6EI}{L^2} \\ \dfrac{6EI}{L^2} & \dfrac{4EI}{L} & -\dfrac{6EI}{L^2} & \dfrac{2EI}{L} \\ -\dfrac{12EI}{L^3} & -\dfrac{6EI}{L^2} & \dfrac{12EI}{L^3} & -\dfrac{6EI}{L^2} \\ \dfrac{6EI}{L^2} & \dfrac{2EI}{L} & -\dfrac{6EI}{L^2} & \dfrac{4EI}{L} \end{bmatrix} \begin{Bmatrix}v_i \\ \theta _i \\ v_j \\ \theta _j \end{Bmatrix}- \begin{Bmatrix}\int _0^L \psi _2(x) q(x)dx \\ \int _0^L \psi _3(x) q(x)dx \\ \int _0^L \psi _5(x) q(x)dx \\ \int _0^L \psi _6(x) q(x)dx \end{Bmatrix} </math>1033
|}1034
| style="width: 5px;text-align: right;white-space: nowrap;" | (52)1035
|}1036
1037
La cual es la formulación en coordenadas locales del método de rigidez con funciones de Green para un elemento tipo viga y es equivalente a la formulación “exacta” del M.E.F. presentada en el Apéndice [[#B Formulación exacta del M.E.F. para un elemento tipo viga|B]].1038
1039
==6. Formulación analítica del método de rigidez con funciones de Green para elementos tipo viga sobre fundación flexible==1040
1041
El P.V.F. que gobierna la formulación del método de rigidez en coordenadas locales de un elemento tipo viga sobre fundación flexible de sección transversal constante, material elástico lineal, rigidez del suelo por unidad de longitud constante e igual <math display="inline">k</math> y longitud <math display="inline">L</math> es (Figura [[#img-4|4]]): <span id="eq-53"></span>1042
1043
<span id="eq-53.a"></span>1044
<span id="eq-53.b"></span>1045
<span id="eq-53.c"></span>1046
<span id="eq-53.d"></span>1047
<span id="eq-53.e"></span>1048
{| class="formulaSCP" style="width: 100%; text-align: left;" 1049
|-1050
| 1051
{| style="text-align: left; margin:auto;width: 100%;" 1052
|-1053
| style="text-align: center;" | <math>\frac{d^4v}{dx^4}(x)+4\lambda ^4 v(x)=\frac{q(x)}{EI} </math>1054
| style="width: 5px;text-align: right;white-space: nowrap;" | (53.a)1055
|-1056
| style="text-align: center;" | <math> v(0)=v_i </math>1057
| style="width: 5px;text-align: right;white-space: nowrap;" | (53.b)1058
|-1059
| style="text-align: center;" | <math> \dfrac{d v}{dx}(0)=\theta _i </math>1060
| style="width: 5px;text-align: right;white-space: nowrap;" | (53.c)1061
|-1062
| style="text-align: center;" | <math> v(L)=v_j </math>1063
| style="width: 5px;text-align: right;white-space: nowrap;" | (53.d)1064
|-1065
| style="text-align: center;" | <math> \dfrac{d v}{dx}(L)=\theta _j </math>1066
| style="width: 5px;text-align: right;white-space: nowrap;" | (53.e)1067
|}1068
|}1069
1070
donde se ha empleado como ecuación diferencial una versión equivalente de [[#eq-5|(5)]], en la cual se define <math display="inline">\lambda =\sqrt[4]{\dfrac{k}{4EI}}</math> y <math display="inline">v_i</math>, <math display="inline">\theta _i</math>, <math display="inline">v_j</math> y <math display="inline">\theta _j</math> tienen el mismo significado que para la viga (sección [[#5 Formulación analítica del método de rigidez con funciones de Green para elementos tipo viga|5]])1071
1072
Para este caso la particularización de [[#eq-7|(7)]] es:1073
1074
<span id="eq-54"></span>1075
{| class="formulaSCP" style="width: 100%; text-align: left;" 1076
|-1077
| 1078
{| style="text-align: left; margin:auto;width: 100%;" 1079
|-1080
| style="text-align: center;" | <math>v(x)=v_h(x)+v_f(x) </math>1081
|}1082
| style="width: 5px;text-align: right;white-space: nowrap;" | (54)1083
|}1084
1085
donde <math display="inline">v_h(x)</math> es el campo de desplazamiento homogéneo (sección [[#6.1 Solución del P.V.F. homogéneo|6.1]]), mientras que <math display="inline">v_f(x)</math> es el campo empotrado (sección [[#6.2 Solución del P.V.F. empotrado|6.2]]).1086
1087
===6.1 Solución del P.V.F. homogéneo===1088
1089
Para este caso el P.V.F. gobernante es: <span id="eq-55"></span>1090
1091
<span id="eq-55.a"></span>1092
<span id="eq-55.b"></span>1093
<span id="eq-55.c"></span>1094
<span id="eq-55.d"></span>1095
<span id="eq-55.e"></span>1096
{| class="formulaSCP" style="width: 100%; text-align: left;" 1097
|-1098
| 1099
{| style="text-align: left; margin:auto;width: 100%;" 1100
|-1101
| style="text-align: center;" | <math>\frac{d^4v_h}{dx^4}(x)+4\lambda ^4 v_h(x)=0 </math>1102
| style="width: 5px;text-align: right;white-space: nowrap;" | (55.a)1103
|-1104
| style="text-align: center;" | <math> v_h(0)=v_i </math>1105
| style="width: 5px;text-align: right;white-space: nowrap;" | (55.b)1106
|-1107
| style="text-align: center;" | <math> \dfrac{d v_h}{dx}(0)=\theta _i </math>1108
| style="width: 5px;text-align: right;white-space: nowrap;" | (55.c)1109
|-1110
| style="text-align: center;" | <math> v_h(L)=v_j </math>1111
| style="width: 5px;text-align: right;white-space: nowrap;" | (55.d)1112
|-1113
| style="text-align: center;" | <math> \dfrac{d v_h}{dx}(L)=\theta _j </math>1114
| style="width: 5px;text-align: right;white-space: nowrap;" | (55.e)1115
|}1116
|}1117
1118
cuya solución se expresa como:1119
1120
<span id="eq-56"></span>1121
{| class="formulaSCP" style="width: 100%; text-align: left;" 1122
|-1123
| 1124
{| style="text-align: left; margin:auto;width: 100%;" 1125
|-1126
| style="text-align: center;" | <math>v_h(x)=\Psi _2(x)v_i+\Psi _3(x)\theta _i+\Psi _5(x)v_j+\Psi _6(x)\theta _j </math>1127
|}1128
| style="width: 5px;text-align: right;white-space: nowrap;" | (56)1129
|}1130
1131
donde <math display="inline">\Psi _2(x)</math>, <math display="inline">\Psi _3(x)</math>, <math display="inline">\Psi _5(x)</math> y <math display="inline">\Psi _6(x)</math> son las funciones de forma “exactas” de este problema y tienen el siguiente valor:1132
1133
<span id="eq-57"></span>1134
{| class="formulaSCP" style="width: 100%; text-align: left;" 1135
|-1136
| 1137
{| style="text-align: left; margin:auto;width: 100%;" 1138
|-1139
| style="text-align: center;" | <math>\Psi _2(x)=\frac{-(\hbox{s}^2 \cdot \hbox{ch}^2+\hbox{c}^2 \cdot \hbox{sh}^2) \sin (\lambda x)\sinh (\lambda x)+(\hbox{s} \cdot \hbox{c}+\hbox{sh} \cdot \hbox{ch})\sin (\lambda x) \cosh (\lambda x)}{\hbox{sh}^2-\hbox{s}^2} </math>1140
|-1141
| style="text-align: center;" | <math> +\frac{-(\hbox{s} \cdot \hbox{c}+\hbox{sh} \cdot \hbox{ch})\cos (\lambda x)\sinh (\lambda x) +(\hbox{sh}^2-\hbox{s}^2)\cos (\lambda x )\cosh (\lambda x)}{\hbox{sh}^2-\hbox{s}^2} </math>1142
|}1143
| style="width: 5px;text-align: right;white-space: nowrap;" | (57)1144
|}1145
1146
<span id="eq-58"></span>1147
{| class="formulaSCP" style="width: 100%; text-align: left;" 1148
|-1149
| 1150
{| style="text-align: left; margin:auto;width: 100%;" 1151
|-1152
| style="text-align: center;" | <math>\Psi _3(x)=\frac{1}{\lambda }\frac{(\hbox{s} \cdot \hbox{c}-\hbox{sh} \cdot \hbox{ch})\sin (\lambda x)\sinh (\lambda x) +\hbox{sh}^2\sin (\lambda x)\cosh (\lambda x)-\hbox{s}^2\cos (\lambda x)\sinh (\lambda x)}{\hbox{sh}^2-\hbox{s}^2} </math>1153
|}1154
| style="width: 5px;text-align: right;white-space: nowrap;" | (58)1155
|}1156
1157
<span id="eq-59"></span>1158
{| class="formulaSCP" style="width: 100%; text-align: left;" 1159
|-1160
| 1161
{| style="text-align: left; margin:auto;width: 100%;" 1162
|-1163
| style="text-align: center;" | <math>\Psi _5(x)=\frac{2\hbox{s} \cdot \hbox{sh} \cdot \sin (\lambda x)\sinh (\lambda x) -(\hbox{s} \cdot \hbox{ch}+\hbox{c} \cdot \hbox{sh})\sin (\lambda x)\cosh (\lambda x) +(\hbox{s} \cdot \hbox{ch}+\hbox{c} \cdot \hbox{sh})\cos (\lambda x)\sinh (\lambda x)}{\hbox{sh}^2-\hbox{s}^2} </math>1164
|}1165
| style="width: 5px;text-align: right;white-space: nowrap;" | (59)1166
|}1167
1168
<span id="eq-60"></span>1169
{| class="formulaSCP" style="width: 100%; text-align: left;" 1170
|-1171
| 1172
{| style="text-align: left; margin:auto;width: 100%;" 1173
|-1174
| style="text-align: center;" | <math>\Psi _6(x)=\frac{1}{\lambda }\frac{(\hbox{c} \cdot \hbox{sh}-\hbox{s} \cdot \hbox{ch})\sin (\lambda x)\sinh (\lambda x) +\hbox{s} \cdot \hbox{sh} \cdot \sin (\lambda x)\cosh (\lambda x) -\hbox{s} \cdot \hbox{sh} \cdot \cos (\lambda x)\sinh (\lambda x)}{\hbox{sh}^2-\hbox{s}^2} </math>1175
|}1176
| style="width: 5px;text-align: right;white-space: nowrap;" | (60)1177
|}1178
1179
Y para simplificar la escritura, se ha definido <math display="inline">\hbox{s}=\sin (\lambda L)</math>, <math display="inline">\hbox{c}=\cos (\lambda L)</math>, <math display="inline">\hbox{sh}=\sinh (\lambda L)</math> y <math display="inline">\hbox{ch}=\cosh (\lambda L)</math>.1180
1181
Al igual que para el caso de la viga, las funciones de forma para la viga sobre fundación flexible también poseen las siguientes propiedades de simetría:<span id="eq-61"></span>1182
1183
{| class="formulaSCP" style="width: 100%; text-align: left;" 1184
|-1185
| 1186
{| style="text-align: left; margin:auto;width: 100%;" 1187
|-1188
| style="text-align: center;" | <math>\Psi _2(x)= \Psi _5(L-x) </math>1189
| style="width: 5px;text-align: right;white-space: nowrap;" | (61.a)1190
|-1191
| style="text-align: center;" | <math> \Psi _5(x)= \Psi _2(L-x) </math>1192
| style="width: 5px;text-align: right;white-space: nowrap;" | (61.b)1193
|-1194
| style="text-align: center;" | <math> \Psi _3(x)=-\Psi _6(L-x) </math>1195
| style="width: 5px;text-align: right;white-space: nowrap;" | (61.c)1196
|-1197
| style="text-align: center;" | <math> \Psi _6(x)=-\Psi _3(L-x) </math>1198
| style="width: 5px;text-align: right;white-space: nowrap;" | (61.d)1199
|}1200
|}1201
1202
A diferencia de lo que ocurre para el caso la barra y la viga, las funciones de forma “exactas” presentadas en [[#eq-57|(57)]] a [[#eq-60|(60)]] no son aquellas que suelen emplearse en la formulación del M.E.F. para vigas sobre fundación flexible, en el cual se emplean las mismas funciones de forma que en este artículo se definieron para la viga (ecuaciones [[#eq-31|(31)]]). Como se presentará en el apéndice [[#C Formulación exacta del M.E.F. para un elemento tipo viga sobre fundación flexible|C]], si en la formulación del M.E.F. para una viga sobre fundación flexible se emplean las funciones de forma [[#eq-57|(57)]] a [[#eq-60|(60)]], se obtiene una formulación matricial “exacta” y una matriz de rigidez y fuerzas de empotramientos iguales a los obtenidos en el método presentado en este artículo (método de rigidez con funciones de Green), siempre y cuando se sumen tanto el campo de desplazamiento homogéneo como el empotrado.1203
1204
===6.2 Solución del P.V.F. empotrado===1205
1206
Para este caso el P.V.F. que define al problema empotrado es ([[#img-8a|Figura 8a]]): <span id="eq-62"></span>1207
1208
<span id="eq-62.a"></span>1209
<span id="eq-62.b"></span>1210
<span id="eq-62.c"></span>1211
<span id="eq-62.d"></span>1212
<span id="eq-62.e"></span>1213
{| class="formulaSCP" style="width: 100%; text-align: left;" 1214
|-1215
| 1216
{| style="text-align: left; margin:auto;width: 100%;" 1217
|-1218
| style="text-align: center;" | <math>\frac{d^4v_f}{dx^4}(x)+4\lambda ^4 v_f(x)=\dfrac{q(x)}{EI} </math>1219
| style="width: 5px;text-align: right;white-space: nowrap;" | (62.a)1220
|-1221
| style="text-align: center;" | <math> v_f(0)=0 </math>1222
| style="width: 5px;text-align: right;white-space: nowrap;" | (62.b)1223
|-1224
| style="text-align: center;" | <math> \dfrac{d v_f}{dx}(0)=0 </math>1225
| style="width: 5px;text-align: right;white-space: nowrap;" | (62.c)1226
|-1227
| style="text-align: center;" | <math> v_f(L)=0 </math>1228
| style="width: 5px;text-align: right;white-space: nowrap;" | (62.d)1229
|-1230
| style="text-align: center;" | <math> \dfrac{d v_f}{dx}(L)=0 </math>1231
| style="width: 5px;text-align: right;white-space: nowrap;" | (62.e)1232
|}1233
|}1234
1235
<div id='img-8a'></div>1236
<div id='img-8b'></div>1237
<div id='img-8'></div>1238
{| class="floating_imageSCP" style="text-align: center; border: 1px solid #BBB; margin: 1em auto; width: 80%;"1239
|-1240
|style="padding:10px;"|[[Image:Molina-Villegas_et_al_2020b-Figura07a.png|360px|Carga distribuida arbitraria.]]1241
|style="padding:10px;"|[[Image:Molina-Villegas_et_al_2020b-Figura07c.png|360px|Fuerza puntual unitaria.]]1242
|- style="text-align: center; font-size: 75%;"1243
| (a) Carga distribuida arbitraria1244
| (b) Fuerza puntual unitaria1245
|- style="text-align: center; font-size: 75%;"1246
| colspan="2" style="padding:10px;"| '''Figura 8'''. Vigas sobre fundación flexible de sección transversal constante doblemente empotradas, sometidas a una carga distribuida arbitraria y una carga puntual unitaria1247
|}1248
1249
1250
Mientras que la función de Green se define por medio del siguiente P.V.F ([[#img-8b|Figura 8b]]): <span id="eq-63"></span>1251
1252
<span id="eq-63.a"></span>1253
{| class="formulaSCP" style="width: 100%; text-align: left;" 1254
|-1255
| 1256
{| style="text-align: left; margin:auto;width: 100%;" 1257
|-1258
| style="text-align: center;" | <math>\frac{\partial ^4 \bar{G}_{yy}}{\partial x^4}(x)+4\lambda ^4 \bar{G}_{yy}(x)=\dfrac{\delta (x-\xi )}{EI} </math>1259
| style="width: 5px;text-align: right;white-space: nowrap;" | (63.a)1260
|-1261
| style="text-align: center;" | <math> \bar{G}_{yy}(0,\xi )=0 </math>1262
| style="width: 5px;text-align: right;white-space: nowrap;" | (63.b)1263
|-1264
| style="text-align: center;" | <math> \dfrac{\partial \bar{G}_{yy}}{\partial x}(0,\xi )=0 </math>1265
| style="width: 5px;text-align: right;white-space: nowrap;" | (63.c)1266
|-1267
| style="text-align: center;" | <math> \bar{G}_{yy}(L,\xi )=0 </math>1268
| style="width: 5px;text-align: right;white-space: nowrap;" | (63.d)1269
|-1270
| style="text-align: center;" | <math> \dfrac{\partial \bar{G}_{yy}}{\partial x}(L,\xi )=0 </math>1271
| style="width: 5px;text-align: right;white-space: nowrap;" | (63.e)1272
|-1273
| style="text-align: center;" | <math> \bar{G}_{yy}(\xi ^-,\xi )-\bar{G}_{yy}(\xi ^+,\xi )=0 </math>1274
| style="width: 5px;text-align: right;white-space: nowrap;" | (63.f)1275
|-1276
| style="text-align: center;" | <math> \dfrac{\partial \bar{G}_{yy}}{\partial x}(\xi ^-,\xi )-\dfrac{\partial \bar{G}_{yy}}{\partial x}(\xi ^+,\xi )=0 </math>1277
| style="width: 5px;text-align: right;white-space: nowrap;" | (63.g)1278
|-1279
| style="text-align: center;" | <math> EI\dfrac{\partial ^3 \bar{G}_{yy}}{\partial x^3}(\xi ^-,\xi )-EI\dfrac{\partial ^3 \bar{G}_{yy}}{\partial x^3}(\xi ^+,\xi )=-1 </math>1280
| style="width: 5px;text-align: right;white-space: nowrap;" | (63.h)1281
|-1282
| style="text-align: center;" | <math> -EI\dfrac{\partial ^2 \bar{G}_{yy}}{\partial x^2}(\xi ^-,\xi )+EI\dfrac{\partial ^2 \bar{G}_{yy}}{\partial x^2}(\xi ^+,\xi )=0 </math>1283
| style="width: 5px;text-align: right;white-space: nowrap;" | (63.i)1284
|}1285
|}1286
1287
donde se ha usado como convención emplear una linea horizontal encima de la letra <math display="inline">G</math> para diferenciar esta función de Green de aquella de las vigas.1288
1289
La solución de [[#eq-63|(63)]] se expresa en forma compacta empleando las funciones de forma [[#eq-57|(57)]] a [[#eq-60|(60)]], como:1290
1291
<span id="eq-64"></span>1292
{| class="formulaSCP" style="width: 100%; text-align: left;" 1293
|-1294
| 1295
{| style="text-align: left; margin:auto;width: 100%;" 1296
|-1297
| style="text-align: center;" | <math>\bar{G}_{yy}(x,\xi )= \begin{cases}\bar{G}_{yy}^I(x,\xi ) & 0 < x \leq \xi \\ \bar{G}_{yy}^{II}(x,\xi ) \qquad & \xi \leq x < L \end{cases} </math>1298
|}1299
| style="width: 5px;text-align: right;white-space: nowrap;" | (64)1300
|}1301
1302
donde:1303
1304
<span id="eq-65"></span>1305
{| class="formulaSCP" style="width: 100%; text-align: left;" 1306
|-1307
| 1308
{| style="text-align: left; margin:auto;width: 100%;" 1309
|-1310
| style="text-align: center;" | <math>\bar{G}_{yy}^I(x,\xi )=\dfrac{1}{EI} \left[ -\dfrac{\sin (\lambda x)\cosh (\lambda x)-\sinh (\lambda x)\cos (\lambda x)}{4\lambda ^3} \Psi _2(\xi ) +\dfrac{\sin (\lambda x)\sinh (\lambda x)}{2\lambda ^2}\Psi _3(\xi ) \right] </math>1311
|}1312
| style="width: 5px;text-align: right;white-space: nowrap;" | (65)1313
|}1314
1315
<span id="eq-66"></span>1316
{| class="formulaSCP" style="width: 100%; text-align: left;" 1317
|-1318
| 1319
{| style="text-align: left; margin:auto;width: 100%;" 1320
|-1321
| style="text-align: center;" | <math>\bar{G}_{yy}^{II}(x,\xi )=\dfrac{1}{EI} \left\{ -\dfrac{\sin=\lambda (L-x)\cosh=\lambda (L-x)\cos=\lambda (L-x)}{4\lambda ^3} \Psi _5(\xi ) \right.</math>1322
|-1323
| style="text-align: center;" | <math> \left.-\dfrac{\sin=\lambda (L-x)\sinh=\lambda (L-x)}{2\lambda ^2}\Psi _6(\xi ) \right\} </math>1324
|}1325
| style="width: 5px;text-align: right;white-space: nowrap;" | (66)1326
|}1327
1328
La cual se ha podido expresar de forma tan compacta empleando las propiedades se simetría de las funciones de forma presentadas en [[#eq-61|(61)]] y las siguientes propiedades de simetría de la misma función de Green:1329
1330
{| class="formulaSCP" style="width: 100%; text-align: left;" 1331
|-1332
| 1333
{| style="text-align: left; margin:auto;width: 100%;" 1334
|-1335
| style="text-align: center;" | <math>\bar{G}_{yy}^I(x,\xi )=\bar{G}_{yy}^{II}(\xi ,x)=\bar{G}_{yy}^{II}(L-x,L-\xi ) </math>1336
| style="width: 5px;text-align: right;white-space: nowrap;" | (67.a)1337
|-1338
| style="text-align: center;" | <math> \bar{G}_{yy}^{II}(x,\xi )=\bar{G}_{yy}^I(\xi ,x)=\bar{G}_{yy}^I(L-x,L-\xi ) </math>1339
| style="width: 5px;text-align: right;white-space: nowrap;" | (67.b)1340
|}1341
|}1342
1343
Multiplicando a ambos lados de [[#eq-63.a|(63.a)]] por <math display="inline">q(\xi )</math> e integrando respecto a <math display="inline">\xi </math> entre 0 y <math display="inline">L</math> se obtiene:1344
1345
<span id="eq-68"></span>1346
{| class="formulaSCP" style="width: 100%; text-align: left;" 1347
|-1348
| 1349
{| style="text-align: left; margin:auto;width: 100%;" 1350
|-1351
| style="text-align: center;" | <math>\int _0^L \dfrac{\partial ^4 \bar{G}_{yy}}{\partial x^4}(x,\xi )q(\xi )d\xi{+4}\lambda ^4 \int _0^L \bar{G}_{yy}(x,\xi )q(\xi )d\xi = \dfrac{1}{EI}\int _0^L \delta (x-\xi ) q(\xi ) d\xi </math>1352
|-1353
| style="text-align: center;" | <math> \dfrac{\partial ^4}{\partial x^4} \left[\int _0^L \bar{G}_{yy}(x,\xi )q(\xi )d\xi \right] +4\lambda ^4\int _0^L \bar{G}_{yy}(x,\xi )q(\xi )d\xi =\dfrac{q(x)}{EI} </math>1354
|}1355
| style="width: 5px;text-align: right;white-space: nowrap;" | (68)1356
|}1357
1358
donde se empleó que <math display="inline">q(x)=\int _0^L \delta (x-\xi ) q(\xi ) d\xi </math>.1359
1360
De comparar [[#eq-21|(21)]] y [[#eq-62.a|(62.a)]] se concluye que:1361
1362
<span id="eq-69"></span>1363
{| class="formulaSCP" style="width: 100%; text-align: left;" 1364
|-1365
| 1366
{| style="text-align: left; margin:auto;width: 100%;" 1367
|-1368
| style="text-align: center;" | <math>v_f(x)=\int _0^L \bar{G}_{yy}(x,\xi ) q(\xi ) d\xi =\int _0^x \bar{G}^{II}_{yy}(x,\xi ) q(\xi ) d\xi{+\int}_x^L \bar{G}^I_{yy}(x,\xi ) q(\xi ) d\xi </math>1369
|}1370
| style="width: 5px;text-align: right;white-space: nowrap;" | (69)1371
|}1372
1373
A partir de [[#eq-69|(69)]] y [[#eq-4|(4)]], se obtiene que las fuerzas internas se pueden calcular como:1374
1375
{| class="formulaSCP" style="width: 100%; text-align: left;" 1376
|-1377
| 1378
{| style="text-align: left; margin:auto;width: 100%;" 1379
|-1380
| style="text-align: center;" | <math>M_f(x)=\int _0^x \left\{-\dfrac{\sin=\lambda (L-x)\cosh=\lambda (L-x)\sinh=\lambda (L-x)}{2\lambda } \Psi _5(\xi ) -\cos=\lambda (L-x)\cosh=\lambda (L-x)\Psi _6(\xi ) \right\}q(\xi ) d\xi </math>1381
|-1382
| style="text-align: center;" | <math> +\int _x^L \left\{-\dfrac{\sin (\lambda x)\cosh (\lambda x)+\cos (\lambda x)\sinh (\lambda x)}{2\lambda } \Psi _2(\xi )+\cos (\lambda x)\cosh (\lambda x)\Psi _3(\xi ) \right\}q(\xi )d\xi </math>1383
|}1384
| style="width: 5px;text-align: right;white-space: nowrap;" | (70)1385
|}1386
1387
{| class="formulaSCP" style="width: 100%; text-align: left;" 1388
|-1389
| 1390
{| style="text-align: left; margin:auto;width: 100%;" 1391
|-1392
| style="text-align: center;" | <math>V_f(x)=\int _0^x \left\{-\cos=\lambda (L-x)\cosh=\lambda (L-x)\Psi _5(\xi ) +\lambda \left\{\sin=\lambda (L-x)\cosh=\lambda (L-x)\sinh=\lambda (L-x)\right\}\Psi _6(\xi ) \right\}q(\xi ) d\xi </math>1393
|-1394
| style="text-align: center;" | <math> +\int _x^L \left\{\cos (\lambda x)\cosh (\lambda x) \Psi _2(\xi )+\lambda \left[\sin (\lambda x)\cosh (\lambda x)-\cos (\lambda x)\sinh (\lambda x)\right]\Psi _3(\xi ) \right\} q(\xi )d\xi </math>1395
|}1396
| style="width: 5px;text-align: right;white-space: nowrap;" | (71)1397
|}1398
1399
Y las reacciones o fuerzas de empotramiento en dirección de los ejes locales se calculan como: <span id="eq-72"></span>1400
1401
{| class="formulaSCP" style="width: 100%; text-align: left;" 1402
|-1403
| 1404
{| style="text-align: left; margin:auto;width: 100%;" 1405
|-1406
| style="text-align: center;" | <math>FY_i^f=-V_f(0)=-\int _0^L \Psi _2(\xi ) q(\xi ) d\xi=-\int_0^L \Psi _2(x) q(x) dx </math>1407
| style="width: 5px;text-align: right;white-space: nowrap;" | (72.a)1408
|-1409
| style="text-align: center;" | <math> M_i^f =-M_f(0)=-\int _0^L \Psi _3(\xi ) q(\xi ) d\xi=-\int_0^L \Psi _3(x) q(x) dx </math>1410
| style="width: 5px;text-align: right;white-space: nowrap;" | (72.b)1411
|-1412
| style="text-align: center;" | <math> FY_j^f=V_f(L) =-\int _0^L \Psi _5(\xi ) q(\xi ) d\xi=-\int_0^L \Psi _5(x) q(x) dx </math>1413
| style="width: 5px;text-align: right;white-space: nowrap;" | (72.c)1414
|-1415
| style="text-align: center;" | <math> M_j^f =M_f(L) =-\int _0^L \Psi _6(\xi ) q(\xi ) d\xi=-\int_0^L \Psi _6(x) q(x) dx </math>1416
| style="width: 5px;text-align: right;white-space: nowrap;" | (72.d)1417
|}1418
|}1419
1420
De forma similar a como se realizó para el caso de la viga, la función de Green debida a un momento puntual unitario se puede obtener directamente de aquella debida a una fuerza puntual mediante la derivada de la misma respecto a <math display="inline">\xi </math> ([[#img-9|Figura 9]]), es decir:1421
1422
{| class="formulaSCP" style="width: 100%; text-align: left;" 1423
|-1424
| 1425
{| style="text-align: left; margin:auto;width: 100%;" 1426
|-1427
| style="text-align: center;" | <math>\bar{G}_{y\theta }(x,\xi )= \begin{cases}\bar{G}_{y\theta }^I(x,\xi ) & 0 \leq x \leq \xi \\ \bar{G}_{y\theta }^{II}(x,\xi ) \qquad & \xi \leq x \leq L \end{cases} </math>1428
|}1429
| style="width: 5px;text-align: right;white-space: nowrap;" | (73)1430
|}1431
1432
donde:1433
1434
{| class="formulaSCP" style="width: 100%; text-align: left;" 1435
|-1436
| 1437
{| style="text-align: left; margin:auto;width: 100%;" 1438
|-1439
| style="text-align: center;" | <math>\bar{G}_{y\theta }^I(x,\xi )=\dfrac{1}{EI} \left[ -\dfrac{\sin (\lambda x)\cosh (\lambda x)-\sinh (\lambda x)\cos (\lambda x)}{4\lambda ^3} \dfrac{d \Psi _2}{d\xi }(\xi ) +\dfrac{\sin (\lambda x)\sinh (\lambda x)}{2\lambda ^2}\dfrac{d \Psi _3}{d\xi }(\xi ) \right] </math>1440
|}1441
| style="width: 5px;text-align: right;white-space: nowrap;" | (74)1442
|}1443
1444
{| class="formulaSCP" style="width: 100%; text-align: left;" 1445
|-1446
| 1447
{| style="text-align: left; margin:auto;width: 100%;" 1448
|-1449
| style="text-align: center;" | <math>\bar{G}_{y\theta }^{II}(x,\xi )=\dfrac{1}{EI} \left\{ -\dfrac{\sin=\lambda (L-x)\cosh=\lambda (L-x)\cos=\lambda (L-x)}{4\lambda ^3} \dfrac{d \Psi _5}{d\xi }(\xi ) \right.</math>1450
|-1451
| style="text-align: center;" | <math> \left.-\dfrac{\sin=\lambda (L-x)\sinh=\lambda (L-x)}{2\lambda ^2}\dfrac{d\Psi _6}{d\xi }(\xi ) \right\} </math>1452
|}1453
| style="width: 5px;text-align: right;white-space: nowrap;" | (75)1454
|}1455
1456
Mientras que el campo de momento flector es:1457
1458
<span id="eq-76"></span>1459
{| class="formulaSCP" style="width: 100%; text-align: left;" 1460
|-1461
| 1462
{| style="text-align: left; margin:auto;width: 100%;" 1463
|-1464
| style="text-align: center;" | <math>M_f(x,\xi )=EI\dfrac{\partial ^2 G_{y\theta }}{\partial x^2}(x,\xi )= \begin{cases}M_f^I(x,\xi ) & 0 < x < \xi \\ M_f^{II}(x,\xi ) & \xi < x < L \end{cases} </math>1465
|}1466
| style="width: 5px;text-align: right;white-space: nowrap;" | (76)1467
|}1468
1469
donde:1470
1471
{| class="formulaSCP" style="width: 100%; text-align: left;" 1472
|-1473
| 1474
{| style="text-align: left; margin:auto;width: 100%;" 1475
|-1476
| style="text-align: center;" | <math>M_f^I(x,\xi )=-\dfrac{\sin (\lambda x)\cosh (\lambda x)+\cos (\lambda x)\sinh (\lambda x)}{2\lambda } \dfrac{\partial \Psi _2}{\partial \xi }(\xi ) +\cos (\lambda x)\cosh (\lambda x)\dfrac{\partial \Psi _3}{\partial \xi }(\xi ) </math>1477
|}1478
| style="width: 5px;text-align: right;white-space: nowrap;" | (77)1479
|}1480
1481
{| class="formulaSCP" style="width: 100%; text-align: left;" 1482
|-1483
| 1484
{| style="text-align: left; margin:auto;width: 100%;" 1485
|-1486
| style="text-align: center;" | <math>M_f^{II}(x,\xi )=-\dfrac{\sin=\lambda (L-x)\cosh=\lambda (L-x)\sinh=\lambda (L-x)}{2\lambda } \dfrac{\partial \Psi _5}{\partial \xi }(\xi ) </math>1487
|-1488
| style="text-align: center;" | <math> -\cos=\lambda (L-x)\cosh=\lambda (L-x)\dfrac{\partial \Psi _6}{\partial \xi }(\xi ) </math>1489
|}1490
| style="width: 5px;text-align: right;white-space: nowrap;" | (78)1491
|}1492
1493
Y el campo de fuerza cortante es:1494
1495
<span id="eq-79"></span>1496
{| class="formulaSCP" style="width: 100%; text-align: left;" 1497
|-1498
| 1499
{| style="text-align: left; margin:auto;width: 100%;" 1500
|-1501
| style="text-align: center;" | <math>V_f(x,\xi )=-EI\dfrac{\partial ^3 G_{y\theta }}{\partial x^3}(x,\xi )= \begin{cases}V_f^I(x,\xi ) & 0 < x \leq \xi \\ V_f^{II}(x,\xi ) & \xi \leq x < L \end{cases} </math>1502
|}1503
| style="width: 5px;text-align: right;white-space: nowrap;" | (79)1504
|}1505
1506
donde:1507
1508
{| class="formulaSCP" style="width: 100%; text-align: left;" 1509
|-1510
| 1511
{| style="text-align: left; margin:auto;width: 100%;" 1512
|-1513
| style="text-align: center;" | <math>V_f^I(x,\xi )=\cos (\lambda x)\cosh (\lambda x) \dfrac{\partial \Psi _2}{\partial \xi }(\xi ) +\lambda \left[\sin (\lambda x)\cosh (\lambda x)-\cos (\lambda x)\sinh (\lambda x))\right]\dfrac{\partial \Psi _3}{\partial \xi }(\xi ) </math>1514
|}1515
| style="width: 5px;text-align: right;white-space: nowrap;" | (80)1516
|}1517
1518
{| class="formulaSCP" style="width: 100%; text-align: left;" 1519
|-1520
| 1521
{| style="text-align: left; margin:auto;width: 100%;" 1522
|-1523
| style="text-align: center;" | <math>V_f^{II}(x,\xi )=-\cos=\lambda (L-x)\cosh=\lambda (L-x)\dfrac{\partial \Psi _5}{\partial \xi }(\xi ) </math>1524
|-1525
| style="text-align: center;" | <math> +\lambda \left\{\sin=\lambda (L-x)\cosh=\lambda (L-x)\sinh=\lambda (L-x)\right\}\dfrac{\partial \Psi _6}{\partial \xi }(\xi ) </math>1526
|}1527
| style="width: 5px;text-align: right;white-space: nowrap;" | (81)1528
|}1529
1530
Con lo cual, a partir de [[#eq-76|(76)]] y [[#eq-79|(79)]] se tiene que las fuerzas de empotramiento son:1531
1532
{| class="formulaSCP" style="width: 100%; text-align: left;" 1533
|-1534
| 1535
{| style="text-align: left; margin:auto;width: 100%;" 1536
|-1537
| style="text-align: center;" | <math>FY_i^f=-V_f(0)=-\dfrac{\Psi _2}{\partial \xi }(\xi ) </math>1538
| style="width: 5px;text-align: right;white-space: nowrap;" | (82.a)1539
|-1540
| style="text-align: center;" | <math> M_i^f=-M_f(0)=-\dfrac{\Psi _3}{\partial \xi }(\xi ) </math>1541
| style="width: 5px;text-align: right;white-space: nowrap;" | (82.b)1542
|-1543
| style="text-align: center;" | <math> FY_j^f=V_f(L)=-\dfrac{\Psi _5}{\partial \xi }(\xi ) </math>1544
| style="width: 5px;text-align: right;white-space: nowrap;" | (82.c)1545
|-1546
| style="text-align: center;" | <math> M_j^f=M_f(L)=-\dfrac{\Psi _6}{\partial \xi }(\xi ) </math>1547
| style="width: 5px;text-align: right;white-space: nowrap;" | (82.d)1548
|}1549
|}1550
1551
Debido a que el problema estudiado es lineal, en caso de que el momento aplicado no sea unitario sino de valor <math display="inline">M</math>, los resultados anteriores se deberán simplemente multiplicar por <math display="inline">M</math>. Mientras que si se trata de un momento distruido, debe realizarse la integración del campo debido al momento puntual multiplicado por la función que define al momento distribuido. 1552
1553
<div id='img-9'></div>1554
{| class="floating_imageSCP" style="text-align: center; border: 1px solid #BBB; margin: 1em auto; width: 60%;"1555
|-1556
|style="padding:10px;"|[[Image:Molina-Villegas_et_al_2020b-Figura12.png|420px|Viga sobre funcdación flexible doblemente empotrada y de de sección transversal constante, sometidas a un momento puntual unitario.]]1557
|- style="text-align: center; font-size: 75%;"1558
| colspan="1" style="padding:10px;"| '''Figura 9.''' Viga sobre funcdación flexible doblemente empotrada y de de sección transversal constante, sometidas a un momento puntual unitario1559
|}1560
1561
===6.3 Superposición del campo homogéneo y el campo empotrado===1562
1563
Reemplazando [[#eq-56|(56)]] y [[#eq-69|(69)]] en [[#eq-54|(54)]], el campo de desplazamiento total se expresa en función de los desplazamientos de los extremos del elemento y de la carga externa como:1564
1565
<span id="eq-83"></span>1566
{| class="formulaSCP" style="width: 100%; text-align: left;" 1567
|-1568
| 1569
{| style="text-align: left; margin:auto;width: 100%;" 1570
|-1571
| style="text-align: center;" | <math>v(x)=\Psi _2(x) v_i+\Psi _3(x) \theta _i+\Psi _5(x) v_j+\Psi _6(x) \theta _j+\int _0^{x} \bar{G}_{yy}^{II}(x,\xi ) q(\xi ) d\xi +\int _{x}^{L} \bar{G}_{yy}^{I}(x,\xi ) q(\xi )d\xi </math>1572
|}1573
| style="width: 5px;text-align: right;white-space: nowrap;" | (83)1574
|}1575
1576
Mientras que las fuerzas en los extremos del elemento se expresan en función de los desplazamientos en estos mismos puntos y de las cargas externas como:1577
1578
<span id="eq-84"></span>1579
{| class="formulaSCP" style="width: 100%; text-align: left;" 1580
|-1581
| 1582
{| style="text-align: left; margin:auto;width: 100%;" 1583
|-1584
| style="text-align: center;" | <math>\begin{Bmatrix}FY_i \\ M_i \\ FY_j \\ M_j \end{Bmatrix}= \begin{Bmatrix}FY_i^h \\ M_i^h \\ FY_j^h \\ M_j^h \end{Bmatrix}+ \begin{Bmatrix}FY_i^f \\ M_i^f \\ FY_j^f \\ M_j^f \end{Bmatrix}= \begin{bmatrix}k_{22} & k_{23} & k_{25} & k_{26} \\ k_{32} & k_{33} & k_{35} & k_{36} \\ k_{52} & k_{53} & k_{55} & k_{56} \\ k_{62} & k_{63} & k_{65} & k_{66} \end{bmatrix} \begin{Bmatrix}v_i \\ \theta _i \\ v_j \\ \theta _j \end{Bmatrix}- \begin{Bmatrix}\displaystyle\int _0^L \Psi _2(x) q(x)dx \\ \displaystyle\int _0^L \Psi _3(x) q(x)dx \\ \displaystyle\int _0^L \Psi _5(x) q(x)dx \\ \displaystyle\int _0^L \Psi _6(x) q(x)dx \end{Bmatrix} </math>1585
|}1586
| style="width: 5px;text-align: right;white-space: nowrap;" | (84)1587
|}1588
1589
donde los términos de la matriz de rigidez son (<span id='citeF-21'></span>[[#cite-21|[21]]]): <span id="eq-85"></span>1590
1591
{| class="formulaSCP" style="width: 100%; text-align: left;" 1592
|-1593
| 1594
{| style="text-align: left; margin:auto;width: 100%;" 1595
|-1596
| style="text-align: center;" | <math>k_{22}=k_{55}=4EI \lambda ^3 \frac{\hbox{s} \cdot \hbox{c}+\hbox{sh} \cdot \hbox{ch}}{\hbox{sh}^2-\hbox{s}^2} </math>1597
| style="width: 5px;text-align: right;white-space: nowrap;" | (85.a)1598
|-1599
| style="text-align: center;" | <math> k_{23}=k_{32}=-k_{56}=-k_{65}=2EI \lambda ^2 \frac{\hbox{s}^2+\hbox{sh}^2}{\hbox{sh}^2-\hbox{s}^2} </math>1600
| style="width: 5px;text-align: right;white-space: nowrap;" | (85.b)1601
|-1602
| style="text-align: center;" | <math> k_{25}=k_{52}=-4EI \lambda ^3 \frac{\hbox{s} \cdot \hbox{ch}+\hbox{c} \cdot \hbox{sh}}{\hbox{sh}^2-\hbox{s}^2}</math>1603
| style="width: 5px;text-align: right;white-space: nowrap;" | (85.c)1604
|-1605
| style="text-align: center;" | <math> k_{26}=k_{62}=-k_{35}=-k_{53}=4EI \lambda ^2 \frac{\hbox{s} \cdot \hbox{sh}}{\hbox{sh}^2-\hbox{s}^2} </math>1606
| style="width: 5px;text-align: right;white-space: nowrap;" | (85.d)1607
|-1608
| style="text-align: center;" | <math> k_{33}=k_{66}=2 EI \lambda \frac{\hbox{sh} \cdot \hbox{ch}-\hbox{s} \cdot \hbox{c}}{\hbox{sh}^2-\hbox{s}^2}</math>1609
| style="width: 5px;text-align: right;white-space: nowrap;" | (85.e)1610
|-1611
| style="text-align: center;" | <math> k_{36}=k_{63}=2EI \lambda \frac{\hbox{s} \cdot \hbox{ch}-\hbox{c} \cdot \hbox{sh}}{\hbox{sh}^2-\hbox{s}^2} </math>1612
| style="width: 5px;text-align: right;white-space: nowrap;" | (85.f)1613
|}1614
|}1615
1616
Es importante resaltar que [[#eq-84|(84)]] corresponde a la formulación analítica del método de rigidez en coordenadas locales para una viga sobre fundación flexible y es equivalente a aquella formulación “exacta” del M.F.F. que se presenta en el Apéndice [[#C Formulación exacta del M.E.F. para un elemento tipo viga sobre fundación flexible|C]].1617
1618
==7. Formulación analítica del método de rigidez con funciones de Green para elementos tipo pórtico plano==1619
1620
Como se mencionó en la sección [[#2.4 Elemento tipo pórtico plano|2.4]] el elemento tipo pórtico plano es simplemente la superposición de un elemento tipo barra y uno tipo viga, con lo cual a partir de lo presentado en [[#eq-26|(26)]] y [[#eq-52|(52)]] se tiene que la formulación del método de rigidez con funciones de Green en coordenadas locales para un elemento tipo pórtico plano es:1621
1622
<span id="eq-86"></span>1623
{| class="formulaSCP" style="width: 100%; text-align: left;" 1624
|-1625
| 1626
{| style="text-align: left; margin:auto;width: 100%;" 1627
|-1628
| style="text-align: center;" | <math>\begin{Bmatrix}FX_i \\ FY_i \\ M_i \\ FX_j \\ FY_j \\ M_j \end{Bmatrix}= \begin{bmatrix}\dfrac{AE}{L} & 0 & 0 & -\dfrac{AE}{L} & 0 & 0 \\ 0 & \dfrac{12EI}{L^3} & \dfrac{6EI}{L^2} & 0 &-\dfrac{12EI}{L^3} & \dfrac{6EI}{L^2} \\ 0 & \dfrac{6EI}{L^2} & \dfrac{4EI}{L} & 0 & -\dfrac{6EI}{L^2} & \dfrac{2EI}{L} \\ -\dfrac{AE}{L} & 0 & 0 & \dfrac{AE}{L} & 0 & 0 \\ 0 & -\dfrac{12EI}{L^3} & -\dfrac{6EI}{L^2} & 0 & \dfrac{12EI}{L^3} & -\dfrac{6EI}{L^2} \\ 0 & \dfrac{6EI}{L^2} & \dfrac{2EI}{L} & 0 & -\dfrac{6EI}{L^2} & \dfrac{4EI}{L} \end{bmatrix} \begin{Bmatrix}u_i \\ v_i \\ \theta _i \\ u_j \\ v_j \\ \theta _j \end{Bmatrix}- \left\{\begin{matrix}\displaystyle\int _0^L \psi _1(x) p(x)dx \\ \displaystyle\int _0^L \psi _2(x) q(x)dx \\ \displaystyle\int _0^L \psi _3(x) q(x)dx \\ \displaystyle\int _0^L \psi _4(x) p(x)dx \\ \displaystyle\int _0^L \psi _5(x) q(x)dx \\ \displaystyle\int _0^L \psi _6(x) q(x)dx \end{matrix}\right\} </math>1629
|}1630
| style="width: 5px;text-align: right;white-space: nowrap;" | (86)1631
|}1632
1633
Mientras que los campos de desplazamiento en dirección de los ejes locales <math display="inline">x</math> y <math display="inline">y</math>, se calculan a partir de las ecuaciones [[#eq-25|(25)]] y [[#eq-51|(51)]] respectivamente.1634
1635
==8. Ejemplos==1636
1637
===8.1 Viga===1638
1639
Calcular la respuesta (reacciones, campos de desplazamientos y campos de fuerzas internas) de la viga presentada en la [[#img-10a|Figura 10a]]. 1640
1641
<div id='img-10a'></div>1642
<div id='img-10b'></div>1643
<div id='img-10'></div>1644
{| class="floating_imageSCP" style="text-align: center; border: 1px solid #BBB; margin: 1em auto; width: 85%;"1645
|-1646
|style="padding:10px;" |[[Image:Molina-Villegas_et_al_2020b-Figura08a.png|390px|Problema a resolver.]]1647
|style="padding:10px;" |[[Image:Molina-Villegas_et_al_2020b-Figura08b.png|390px|Discretización.]]1648
|- style="text-align: center; font-size: 75%;"1649
| (a) Problema a resolver1650
| (b) Discretización1651
|- style="text-align: center; font-size: 75%;"1652
| colspan="2" style="padding:10px;" | '''Figura 10'''. Viga con articulación interior y discretización empleada para su solución1653
|}1654
1655
1656
<u>Discretización</u>1657
1658
La discretización a emplear en la solución de este problema se presenta en la [[#img-10b|Figura 10b]] y consta de solo dos elementos. El elemento <math display="inline">A</math> tiene una carga externa definida en tres tramos, mientras que el elemento <math display="inline">B</math> tiene una carga externa lineal sobre toda su longitud.1659
1660
<u>Definición de las funciones de carga externa</u>1661
1662
Para el elemento <math display="inline">A</math> su carga externa se define como:1663
1664
{| class="formulaSCP" style="width: 100%; text-align: left;" 1665
|-1666
| 1667
{| style="text-align: left; margin:auto;width: 100%;" 1668
|-1669
| style="text-align: center;" | <math>{q_A(x'}_A)= \begin{cases}Q\left[-2+4\dfrac{{x'}_A}{L}-4\left(\dfrac{{x'}_A}{L} \right)^2 \right]\qquad & 0 \leq {x'}_< < \dfrac{L}{3} \\ 0 & \dfrac{L}{3}{ < x'}_A < \dfrac{2L}{3} \\ Q\left[-2+4\dfrac{{x'}_A}{L}-4\left(\dfrac{{x'}_A}{L} \right)^2 \right]& \dfrac{2L}{3}{ < x'}_A \leq L \end{cases} </math>1670
|}1671
| style="width: 5px;text-align: right;white-space: nowrap;" | (87)1672
|}1673
1674
O en forma compacta como:1675
1676
{| class="formulaSCP" style="width: 100%; text-align: left;" 1677
|-1678
| 1679
{| style="text-align: left; margin:auto;width: 100%;" 1680
|-1681
| style="text-align: center;" | <math>{q_A(x'}_A)= \begin{cases}q_A^{I}{(x'} A) \qquad &{ 0 < x'}_A < \dfrac{L}{3} \\[0.3cm] q_A^{II}{(x'} A) & \dfrac{L}{3}{ < x'}_A < \dfrac{2L}{3} \\[0.3cm] q_A^{III}{(x'} A) & \dfrac{2L}{3}{ < x'}_A < L \end{cases} </math>1682
|}1683
| style="width: 5px;text-align: right;white-space: nowrap;" | (88)1684
|}1685
1686
Por su parte la carga externa en el elemento <math display="inline">B</math> es:1687
1688
{| class="formulaSCP" style="width: 100%; text-align: left;" 1689
|-1690
| 1691
{| style="text-align: left; margin:auto;width: 100%;" 1692
|-1693
| style="text-align: center;" | <math>{q_B(x'}_B)=Q\left(-2+2\frac{{x'}_B}{L} \right)\qquad {0<x'}_B<L </math>1694
|}1695
| style="width: 5px;text-align: right;white-space: nowrap;" | (89)1696
|}1697
1698
<u>Cálculo de las fuerzas de empotramiento</u>1699
1700
Según lo presentado en [[#eq-45|(45)]], las fuerzas de empotramiento del elemento <math display="inline">A</math> se calculan como:1701
1702
{| class="formulaSCP" style="width: 100%; text-align: left;" 1703
|-1704
| 1705
{| style="text-align: left; margin:auto;width: 100%;" 1706
|-1707
| style="text-align: center;" | <math>FY_1^{Af}=-\int _0^L \psi _2(x'_A)q_A(x'_A)dx'_A=\dfrac{40}{81}QL </math>1708
| style="width: 5px;text-align: right;white-space: nowrap;" | (90.a)1709
|-1710
| style="text-align: center;" | <math> M_1 ^{Af}=-\int _0^L \psi _3(x'_A)q_A(x'_A)dx'_A=\dfrac{71}{1215}QL^2 </math>1711
| style="width: 5px;text-align: right;white-space: nowrap;" | (90.b)1712
|-1713
| style="text-align: center;" | <math> FY_2^{Af}=-\int _0^L \psi _5(x'_A)q_A(x'_A)dx'_A=\dfrac{40}{81}QL </math>1714
| style="width: 5px;text-align: right;white-space: nowrap;" | (90.c)1715
|-1716
| style="text-align: center;" | <math> M_2 ^{Af}=-\int _0^L \psi _6(x'_A)q_A(x'_A)dx'_A=-\dfrac{71}{1215}QL^2 </math>1717
| style="width: 5px;text-align: right;white-space: nowrap;" | (90.d)1718
|}1719
|}1720
1721
Mientras que las del elemento <math display="inline">B</math> como:1722
1723
{| class="formulaSCP" style="width: 100%; text-align: left;" 1724
|-1725
| 1726
{| style="text-align: left; margin:auto;width: 100%;" 1727
|-1728
| style="text-align: center;" | <math>FY_2^{Bf}=-\int _0^L \psi _2(x'_B)q_B(x'_B)dx'_B=\dfrac{7}{10}QL </math>1729
| style="width: 5px;text-align: right;white-space: nowrap;" | (91.a)1730
|-1731
| style="text-align: center;" | <math> M_2 ^{Bf}=-\int _0^L \psi _3(x'_B)q_B(x'_B)dx'_B=\dfrac{1}{10}QL^2 </math>1732
| style="width: 5px;text-align: right;white-space: nowrap;" | (91.b)1733
|-1734
| style="text-align: center;" | <math> FY_3^{Bf}=-\int _0^L \psi _5(x'_B)q_B(x'_B)dx'_B=\dfrac{3}{10}QL </math>1735
| style="width: 5px;text-align: right;white-space: nowrap;" | (91.c)1736
|-1737
| style="text-align: center;" | <math> M_3 ^{Bf}=-\int _0^L \psi _6(x'_B)q_B(x'_B)dx'_B=-\dfrac{1}{15}QL^2 </math>1738
| style="width: 5px;text-align: right;white-space: nowrap;" | (91.d)1739
|}1740
|}1741
1742
<u>Sistema matricial de ecuaciones de cada elemento</u>1743
1744
A partir de lo presentado en [[#eq-52|(52)]], la formulación del método de rigidez para el elemento <math display="inline">A</math> es:1745
1746
<span id="eq-92"></span>1747
{| class="formulaSCP" style="width: 100%; text-align: left;" 1748
|-1749
| 1750
{| style="text-align: left; margin:auto;width: 100%;" 1751
|-1752
| style="text-align: center;" | <math>\begin{Bmatrix}FY_1 \\ M_1 \\ FY_2^A \\ M_2^A \end{Bmatrix}= \begin{bmatrix}\dfrac{12EI}{L^3} & \dfrac{6EI}{L^2} & -\dfrac{12EI}{L^3} & \dfrac{6EI}{L^2} \\ \dfrac{6EI}{L^2} & \dfrac{4EI}{L} & -\dfrac{6EI}{L^2} & \dfrac{2EI}{L} \\ -\dfrac{12EI}{L^3} & -\dfrac{6EI}{L^2} & \dfrac{12EI}{L^3} & -\dfrac{6EI}{L^2} \\ \dfrac{6EI}{L^2} & \dfrac{2EI}{L} & -\dfrac{6EI}{L^2} & \dfrac{4EI}{L} \end{bmatrix} \begin{Bmatrix}v_1 \\ \theta _1 \\ v_2^A \\ \theta _2^A \end{Bmatrix}+ \begin{Bmatrix}\dfrac{40}{81}QL \\ \dfrac{71}{1215}QL^2 \\ \dfrac{40}{81}QL \\ -\dfrac{71}{1215}QL^2 \end{Bmatrix} </math>1753
|}1754
| style="width: 5px;text-align: right;white-space: nowrap;" | (92)1755
|}1756
1757
Mientras que para elemento <math display="inline">B</math> este es:1758
1759
<span id="eq-93"></span>1760
{| class="formulaSCP" style="width: 100%; text-align: left;" 1761
|-1762
| 1763
{| style="text-align: left; margin:auto;width: 100%;" 1764
|-1765
| style="text-align: center;" | <math>\begin{Bmatrix}FY_2^B \\ M_2^B \\ FY_3 \\ M_3 \end{Bmatrix}= \begin{bmatrix}\dfrac{12EI}{L^3} & \dfrac{6EI}{L^2} & -\dfrac{12EI}{L^3} & \dfrac{6EI}{L^2} \\ \dfrac{6EI}{L^2} & \dfrac{4EI}{L} & -\dfrac{6EI}{L^2} & \dfrac{2EI}{L} \\ -\dfrac{12EI}{L^3} & -\dfrac{6EI}{L^2} & \dfrac{12EI}{L^3} & -\dfrac{6EI}{L^2} \\ \dfrac{6EI}{L^2} & \dfrac{2EI}{L} & -\dfrac{6EI}{L^2} & \dfrac{4EI}{L} \end{bmatrix} \begin{Bmatrix}v_2 \\ \theta _2^B \\ v_3 \\ \theta _3 \end{Bmatrix}+ \begin{Bmatrix}\dfrac{7}{10}QL \\ \dfrac{1}{10}QL^2 \\ \dfrac{3}{10}QL \\ -\dfrac{1}{15}QL^2 \end{Bmatrix} </math>1766
|}1767
| style="width: 5px;text-align: right;white-space: nowrap;" | (93)1768
|}1769
1770
<u>Cálculo de los desplazamientos nodales desconocidos</u>1771
1772
A partir de las fuerzas externas e internas conocidas en los nodos, y empleando continuidad de desplazamientos y equilibrio en estos, se obtiene el siguiente sistema lineal de tres ecuaciones con igual número de incógnitas:1773
1774
{| class="formulaSCP" style="width: 100%; text-align: left;" 1775
|-1776
| 1777
{| style="text-align: left; margin:auto;width: 100%;" 1778
|-1779
| style="text-align: center;" | <math>\begin{Bmatrix}FY_2 \\ M_2^A \\ M_2^B \end{Bmatrix}= \begin{Bmatrix}FY_2^A+FY_2^B \\ M_2^A \\ M_2^B \end{Bmatrix}= \begin{Bmatrix}0 \\ 0 \\ 0 \end{Bmatrix}= \begin{bmatrix}\dfrac{24EI}{L^3} & -\dfrac{6EI}{L^2} & \dfrac{6EI}{L^2} \\ -\dfrac{6EI}{L^2} & \dfrac{4EI}{L} & 0 \\ \dfrac{6EI}{L^2} & 0 & \dfrac{4EI}{L} \end{bmatrix} \begin{Bmatrix}v_2 \\ \theta _2^A \\ \theta _2^B \end{Bmatrix}+ \begin{Bmatrix}\dfrac{967}{810}QL \\ -\dfrac{71}{1215}QL^2 \\ \dfrac{1}{10}QL^2 \end{Bmatrix} </math>1780
|}1781
| style="width: 5px;text-align: right;white-space: nowrap;" | (94)1782
|}1783
1784
Cuya solución es:1785
1786
{| class="formulaSCP" style="width: 100%; text-align: left;" 1787
|-1788
| 1789
{| style="text-align: left; margin:auto;width: 100%;" 1790
|-1791
| style="text-align: center;" | <math>\begin{Bmatrix}v_2 \\ \theta _2^A \\ \theta _2^B \end{Bmatrix}= \begin{Bmatrix}-\dfrac{1549}{9720} \dfrac{QL^4}{EI} \\ -\dfrac{4363}{19440} \dfrac{QL^3}{EI} \\ \dfrac{1387}{6480} \dfrac{QL^3}{EI} \\ \end{Bmatrix} </math>1792
|}1793
| style="width: 5px;text-align: right;white-space: nowrap;" | (95)1794
|}1795
1796
<u>Cálculo del campo de desplazamiento del elemento <math>A</math></u>1797
1798
Reemplazando los desplazamientos nodales del elemento <math display="inline">A</math> en [[#eq-30|(30)]], se obtiene que el campo de desplazamiento homogéneo para este elemento es:1799
1800
<span id="eq-96"></span>1801
{| class="formulaSCP" style="width: 100%; text-align: left;" 1802
|-1803
| 1804
{| style="text-align: left; margin:auto;width: 100%;" 1805
|-1806
| style="text-align: center;" | <math>{ v_A^h(x'}_A)=\dfrac{QL^4}{EI} \left[-\dfrac{4931}{19440} \left(\dfrac{{x'}_A}{L} \right)^2 +\dfrac{611}{6480} \left(\dfrac{{x'}_A}{L} \right)^3 \right] </math>1807
|}1808
| style="width: 5px;text-align: right;white-space: nowrap;" | (96)1809
|}1810
1811
Mientras que debido a que la carga externa en el elemento <math display="inline">A</math> tiene tres tramos, el campo de desplazamientos empotrado también los tendrá, es decir:1812
1813
<span id="eq-97"></span>1814
{| class="formulaSCP" style="width: 100%; text-align: left;" 1815
|-1816
| 1817
{| style="text-align: left; margin:auto;width: 100%;" 1818
|-1819
| style="text-align: center;" | <math>{ v_A^f(x'}_A)= \begin{cases}v_A^{f-1}{(x'} A) \qquad &{ 0 < x'}_A \leq \dfrac{L}{3} \\[0.3cm] v_A^{f-2}{(x'} A) \qquad & \dfrac{L}{3} \leq {x'}_A \leq \dfrac{2L}{3} \\[0.3cm] v_A^{f-3}{(x'} A) & \dfrac{2L}{3} \leq {x'} < L \end{cases} </math>1820
|}1821
| style="width: 5px;text-align: right;white-space: nowrap;" | (97)1822
|}1823
1824
donde, a partir de [[#eq-42|(42)]], el campo de desplazamiento empotrado en cada uno de los tres tramos se calcula como:1825
1826
{| class="formulaSCP" style="width: 100%; text-align: left;" 1827
|-1828
| 1829
{| style="text-align: left; margin:auto;width: 100%;" 1830
|-1831
| style="text-align: center;" | <math>v_A^{f-1}{(x'}_A)=\int _0^{{x'}_A} q_A^{I}(\xi _A) G_{yy}^{II}{(x'}_A,\xi _A)d\xi +\int _{{x'}_A}^{L/3} q_A^{I}(\xi ) G_{yy}^{I}{(x'}_A,\xi _A)d\xi _A +\int _{2L/3}^L q_A^{III}(\xi _A) G_{yy}^{I}{(x'}_A,\xi _A)d\xi _A </math>1832
|-1833
| style="text-align: center;" | <math> =\dfrac{QL^4}{EI}\left[-\dfrac{71}{2430}\left(\dfrac{{x'}_A}{L}\right)^2+\dfrac{20}{243} \left(\dfrac{{x'}_A}{L} \right)^3 -\dfrac{1}{12} \left(\dfrac{{x'}_A}{L} \right)^4 +\dfrac{1}{30} \left(\frac{{x'}_A}{L} \right)^5 -\dfrac{1}{90} \left(\frac{{x'}_A}{L} \right)^6 \right] </math>1834
|}1835
| style="width: 5px;text-align: right;white-space: nowrap;" | (98)1836
|}1837
1838
{| class="formulaSCP" style="width: 100%; text-align: left;" 1839
|-1840
| 1841
{| style="text-align: left; margin:auto;width: 100%;" 1842
|-1843
| style="text-align: center;" | <math>v_A^{f-2}{(x'}_A)=\int _0^{L/3} q_A^{I}(\xi _A) G_{yy}^{II}{(x'}_A,\xi _A)d\xi _A +\int _{2L/3}^L q_A^{III}(\xi ) G_{yy}^{I}{(x'}_A,\xi _A)d\xi _A </math>1844
|-1845
| style="text-align: center;" | <math> =\dfrac{QL^4}{EI} \left[\dfrac{83}{131220}-\dfrac{19}{2430} \dfrac{{x'}_A}{L} +\dfrac{19}{2430}\left(\dfrac{{x'}_A}{L}\right)^2 \right] </math>1846
|}1847
| style="width: 5px;text-align: right;white-space: nowrap;" | (99)1848
|}1849
1850
{| class="formulaSCP" style="width: 100%; text-align: left;" 1851
|-1852
| 1853
{| style="text-align: left; margin:auto;width: 100%;" 1854
|-1855
| style="text-align: center;" | <math>v_A^{f-3}{(x'}_A)=\int _0^{L/3} q_A^{I}(\xi _A) G_{yy}^{II}{(x'}_A,\xi _A)d\xi _A +\int _{2L/3}^{{x'}_A} q_A^{III}(\xi _A) G_{yy}^{II}{(x'}_A,\xi _A)d\xi _A +\int _{{x'}_A}^L q_A^{III}(\xi _A) G_{yy}^{I}{(x'}_A,\xi _A)d\xi _A </math>1856
|-1857
| style="text-align: center;" | <math> =\dfrac{QL^4}{EI} \left[-\dfrac{13}{1620}+\dfrac{109}{2430} \dfrac{{x'}_A}{L} -\dfrac{281}{2430}\left(\dfrac{{x'}_A}{L}\right)^2 +\dfrac{34}{243}\left(\dfrac{{x'}_A}{L}\right)^3 -\dfrac{1}{12}\left(\dfrac{{x'}_A}{L}\right)^4 +\dfrac{1}{30}\left(\dfrac{{x'}_A}{L}\right)^5-\dfrac{1}{90}\left(\dfrac{{x'}_A}{L}\right)^6 \right] </math>1858
|}1859
| style="width: 5px;text-align: right;white-space: nowrap;" | (100)1860
|}1861
1862
Ahora sumando [[#eq-96|(96)]] y [[#eq-97|(97)]] se obtiene que el campo de desplazamiento total en el elemento es:1863
1864
<span id="eq-101"></span>1865
{| class="formulaSCP" style="width: 100%; text-align: left;" 1866
|-1867
| 1868
{| style="text-align: left; margin:auto;width: 100%;" 1869
|-1870
| style="text-align: center;" | <math>{ v_A(x'}_A)= \begin{cases}{v_A^I(x'}_A) &{ 0 < x'}_A \leq \dfrac{L}{3}\\[0.5cm] v_A^{II}{(x'} A) & \dfrac{L}{3} \leq {x'}_A \leq \dfrac{2}{3}L \\[0.5cm] v_A^{III}{(x'} A) \qquad & \dfrac{2}{3}L \leq {x'}_< L \end{cases} </math>1871
|}1872
| style="width: 5px;text-align: right;white-space: nowrap;" | (101)1873
|}1874
1875
donde:1876
1877
{| class="formulaSCP" style="width: 100%; text-align: left;" 1878
|-1879
| 1880
{| style="text-align: left; margin:auto;width: 100%;" 1881
|-1882
| style="text-align: center;" | <math>{v_A^I(x'}_A)=\dfrac{QL^4}{EI} \left[-\dfrac{611}{2160}\left(\dfrac{{x'}_A}{L} \right)^2 +\dfrac{3433}{19440}\left(\dfrac{{x'}_A}{L} \right)^3 -\dfrac{1}{12} \left(\dfrac{{x'}_A}{L} \right)^4 + \dfrac{1}{30}\left(\dfrac{{x'}_A}{L} \right)^5 - \dfrac{1}{90}\left(\dfrac{{x'}_A}{L} \right)^6 \right] </math>1883
|}1884
| style="width: 5px;text-align: right;white-space: nowrap;" | (102)1885
|}1886
1887
{| class="formulaSCP" style="width: 100%; text-align: left;" 1888
|-1889
| 1890
{| style="text-align: left; margin:auto;width: 100%;" 1891
|-1892
| style="text-align: center;" | <math>v_A^{II}{(x'}=A)=\dfrac{QL^4}{EI} \left[\dfrac{83}{131220}-\dfrac{19}{2430}\dfrac{{x'}_A}{L} -\dfrac{59}{240} \left(\dfrac{{x'}_A}{L} \right)^2 +\dfrac{611}{6480} \left(\dfrac{{x'}_A}{L} \right)^3 \right] </math>1893
|}1894
| style="width: 5px;text-align: right;white-space: nowrap;" | (103)1895
|}1896
1897
{| class="formulaSCP" style="width: 100%; text-align: left;" 1898
|-1899
| 1900
{| style="text-align: left; margin:auto;width: 100%;" 1901
|-1902
| style="text-align: center;" | <math>v_A^{III}{(x'}=A)=\dfrac{QL^4}{EI} \left[-\dfrac{13}{1620}+\dfrac{109}{2430}\dfrac{{x'}_A}{L} -\dfrac{2393}{6480} \left(\dfrac{{x'}_A}{L} \right)^2 + \dfrac{4553}{19440}\left(\dfrac{{x'}_A}{L} \right)^3 - \dfrac{1}{12}\left(\dfrac{{x'}_A}{L} \right)^4 \right.</math>1903
|-1904
| style="text-align: center;" | <math>\left. + \dfrac{1}{30} \left(\dfrac{{x'}_A}{L} \right)^5 -\dfrac{1}{90} \left(\dfrac{{x'}_A}{L} \right)^6 \right] </math>1905
|}1906
| style="width: 5px;text-align: right;white-space: nowrap;" | (104)1907
|}1908
1909
<u>Cálculo del campo de desplazamiento del elemento <math>B</math></u>1910
1911
Procediendo de igual manera a como se hizo para el elemento <math display="inline">A</math>, se calculan los campos de desplazamiento homogéneo, empotrado y total del elemento <math display="inline">B</math>:1912
1913
{| class="formulaSCP" style="width: 100%; text-align: left;" 1914
|-1915
| 1916
{| style="text-align: left; margin:auto;width: 100%;" 1917
|-1918
| style="text-align: center;" | <math>{v_B^h(x'}_B)=\frac{QL^4}{EI} \left[-\frac{1549}{9720}+\frac{1387}{6480} \frac{{x'}_B}{L} +\frac{1}{20} \left(\frac{{x'}_B}{L} \right)^2-\frac{407}{3888} \left(\frac{{x'}_B}{L} \right)^3 \right]</math>1919
| style="width: 5px;text-align: right;white-space: nowrap;" | (105.a)1920
|-1921
| style="text-align: center;" | <math>{ v_B^f(x'}_B)=\frac{QL^4}{EI} \left[-\frac{1}{20} \left(\frac{{x'}_B}{L} \right)^2 +\frac{7}{60} \left(\frac{{x'}_B}{L} \right)^3-\frac{1}{12} \left(\frac{{x'}_B}{L} \right)^4 +\frac{1}{60} \left(\frac{{x'}_B}{L} \right)^5 \right] </math>1922
| style="width: 5px;text-align: right;white-space: nowrap;" | (105.b)1923
|}1924
|}1925
1926
<span id="eq-106"></span>1927
{| class="formulaSCP" style="width: 100%; text-align: left;" 1928
|-1929
| 1930
{| style="text-align: left; margin:auto;width: 100%;" 1931
|-1932
| style="text-align: center;" | <math>{ v_B(x'}_B)=\frac{QL^4}{EI} \left[-\frac{1549}{9720}+\frac{1387}{6480}\frac{{x'}_B}{L} +\frac{233}{19440} \left(\frac{{x'}_B}{L} \right)^3-\frac{1}{12} \left(\frac{{x'}_B}{L} \right)^4 +\frac{1}{60}\left(\frac{{x'}_B}{L} \right)^5 \right] </math>1933
|}1934
| style="width: 5px;text-align: right;white-space: nowrap;" | (106)1935
|}1936
1937
Como resumen, en la [[#img-11|Figura 11]] se presenta el campo de desplazamientos en toda la viga.1938
1939
<div id='img-11'></div>1940
{| class="floating_imageSCP" style="text-align: center; border: 1px solid #BBB; margin: 1em auto; width: 50%;"1941
|-1942
|style="padding:10px;" |[[Image:Molina-Villegas_et_al_2020b-FiguraEjemplo1CampoDesplazamientoDefinitivo.png|450px|Diagrama del campo de desplazamientos.]]1943
|- style="text-align: center; font-size: 75%;"1944
| colspan="1" style="padding:10px;" | '''Figura 11'''. Diagrama del campo de desplazamientos1945
|}1946
1947
1948
<u>Cálculos de los campos de fuerzas internas</u>1949
1950
A partir de [[#eq-101|(101)]] y empleando [[#eq-4|(4)]], se obtiene que las fuerzas internas para el elemento <math display="inline">A</math> son:1951
1952
{| class="formulaSCP" style="width: 100%; text-align: left;" 1953
|-1954
| 1955
{| style="text-align: left; margin:auto;width: 100%;" 1956
|-1957
| style="text-align: center;" | <math>{V_A(x'}_A)= \begin{cases}QL \left[-\dfrac{3433}{3240} + 2\dfrac{{x'}_A}{L} - 2\left(\dfrac{{x'}_A}{L} \right)^2+\dfrac{4}{3}\left(\dfrac{{x'}_A}{L} \right)^3 \right]\qquad &{ 0 < x'}_A \leq \dfrac{L}{3}\\[0.5cm] -\dfrac{611}{1080}QL & \dfrac{L}{3} \leq {x'}_A \leq \dfrac{2}{3}L \\[0.5cm] QL\left[-\dfrac{4553}{3240}+2\dfrac{{x'}_A}{L}-2\left(\dfrac{{x'}_A}{L} \right)^2+\dfrac{4}{3} \left(\dfrac{{x'}_A}{L} \right)^3 \right]& \dfrac{2}{3}L \leq {x'}_< L \end{cases} </math>1958
|}1959
| style="width: 5px;text-align: right;white-space: nowrap;" | (107)1960
|}1961
1962
{| class="formulaSCP" style="width: 100%; text-align: left;" 1963
|-1964
| 1965
{| style="text-align: left; margin:auto;width: 100%;" 1966
|-1967
| style="text-align: center;" | <math>{M_A(x'}_A)= \begin{cases}QL^2 \left[-\dfrac{611}{1080} + \dfrac{3433}{3240}\dfrac{{x'}_A}{L} - \left(\dfrac{{x'}_A}{L} \right)^2 + \dfrac{2}{3}\left(\dfrac{{x'}_A}{L} \right)^3 - \dfrac{1}{3}\left(\dfrac{{x'}_A}{L} \right)^4 \right]& 0 \leq {x'}_A \leq \dfrac{L}{3}\\[0.5cm] QL^2 \left[-\dfrac{59}{120}+\dfrac{611}{1080}\dfrac{{x'}_A}{L} \right]& \dfrac{L}{3} \leq {x'}_A \leq \dfrac{2}{3}L \\[0.5cm] QL^2 \left[-\dfrac{2393}{3240} + \dfrac{4553}{3240}\dfrac{{x'}_A}{L} - \left(\dfrac{{x'}_A}{L} \right)^2 + \dfrac{2}{3} \left(\dfrac{{x'}_A}{L} \right)^3 -\dfrac{1}{3} \left(\dfrac{{x'}_A}{L} \right)^4 \right]\qquad & \dfrac{2}{3}L \leq {x'}_A \leq L \end{cases} </math>1968
|}1969
| style="width: 5px;text-align: right;white-space: nowrap;" | (108)1970
|}1971
1972
De forma similar, a partir de [[#eq-106|(106)]], se tiene que los campos de fuerzas internas en el elemento <math display="inline">B</math> son:1973
1974
{| class="formulaSCP" style="width: 100%; text-align: left;" 1975
|-1976
| 1977
{| style="text-align: left; margin:auto;width: 100%;" 1978
|-1979
| style="text-align: center;" | <math>{V_B(x'}_B)=QL \left[-\dfrac{233}{3240} + 2\dfrac{{x'}_B}{L} - \left(\dfrac{{x'}_B}{L} \right)^2 \right]{ 0 < x'}_B < L </math>1980
| style="width: 5px;text-align: right;white-space: nowrap;" | (109.a)1981
|-1982
| style="text-align: center;" | <math>{ M_B(x'}_B)=QL^2 \left[\frac{233}{3240}{x'}_B-\left(\frac{{x'}_B}{L} \right)^2 + \frac{1}{3}\left(\frac{{x'}_B}{L} \right)^3 \right]{ 0 < x'}_B < L </math>1983
| style="width: 5px;text-align: right;white-space: nowrap;" | (109.b)1984
|}1985
|}1986
1987
Como resumen de los anteriores resultados, en la [[#img-12|Figura 12]] se presentan las fuerzas internas en toda la viga. 1988
1989
<div id='img-12a'></div>1990
<div id='img-12b'></div>1991
<div id='img-12'></div>1992
{| class="floating_imageSCP" style="text-align: center; border: 1px solid #BBB; margin: 1em auto; width: 90%;"1993
|-1994
|style="padding:10px;" |[[Image:Molina-Villegas_et_al_2020b-FiguraEjemplo1CortanteDefinitivo.png|480px|Fuerza cortante.]]1995
|style="padding:10px;" |[[Image:Molina-Villegas_et_al_2020b-FiguraEjemplo1MomentoDefinitivo.png|480px|Momento flector.]]1996
|- style="text-align: center; font-size: 75%;"1997
| (a) Fuerza cortante1998
| (b) Momento flector1999
|- style="text-align: center; font-size: 75%;"2000
| colspan="2" style="padding:10px;" | '''Figura 12'''. Diagramas de fuerzas internas2001
|}2002
2003
2004
<u>Cálculo de las reacciones</u>2005
2006
Aunque es posible calcular las reacciones mediante un sistema lineal de ecuaciones, donde las incógnitas sean las cuatro reacciones, a continuación se calcularán a partir de los campo de fuerzas internas calculados anteriormente:2007
2008
{| class="formulaSCP" style="width: 100%; text-align: left;" 2009
|-2010
| 2011
{| style="text-align: left; margin:auto;width: 100%;" 2012
|-2013
| style="text-align: center;" | <math>FY_1=-V_A(0)=\dfrac{3433}{3240}QL </math>2014
| style="width: 5px;text-align: right;white-space: nowrap;" | (110.a)2015
|-2016
| style="text-align: center;" | <math> M_1=-M_A(0)=\dfrac{611}{1080}QL^2 </math>2017
| style="width: 5px;text-align: right;white-space: nowrap;" | (110.b)2018
|-2019
| style="text-align: center;" | <math> FY_3=V_B(L)=\dfrac{3007}{3240}QL </math>2020
| style="width: 5px;text-align: right;white-space: nowrap;" | (110.c)2021
|-2022
| style="text-align: center;" | <math> M_3=M_B(L)=-\dfrac{1927}{3240}QL^2 </math>2023
| style="width: 5px;text-align: right;white-space: nowrap;" | (110.d)2024
|}2025
|}2026
2027
Para revisar la validez de los resultados anteriores, a continuación se realizará el equilibrio vertical y rotacional respecto al nudo 1 de toda la viga:2028
2029
{| class="formulaSCP" style="width: 100%; text-align: left;" 2030
|-2031
| 2032
{| style="text-align: left; margin:auto;width: 100%;" 2033
|-2034
| style="text-align: center;" | <math>\sum FY=FY_1+FY_3+\int _0^{L/3} Q\left[-2+4\frac{{x'}_A}{L}-4\left(\frac{{x'}_A}{L} \right)^2 \right]{dx'}_A +\int _{2L/3}^{L}Q\left[-2+4\frac{{x'}_A}{L}-4\left(\frac{{x'}_A}{L} \right)^2 \right]{dx'}_A </math>2035
|-2036
| style="text-align: center;" | <math> +\int _0^L Q \left(-2+2\frac{{x'}_B}{L} \right){dx'}_B=0 </math>2037
|}2038
| style="width: 5px;text-align: right;white-space: nowrap;" | (111)2039
|}2040
2041
{| class="formulaSCP" style="width: 100%; text-align: left;" 2042
|-2043
| 2044
{| style="text-align: left; margin:auto;width: 100%;" 2045
|-2046
| style="text-align: center;" | <math>\sum M_1=M_1+M_3+2FY_3+\int _0^{L/3} Q\left[-2+4\frac{{x'}_A}{L}-4\left(\frac{{x'}_A}{L} \right)^2 \right]{x'}_A {dx'}_A +\int _{2L/3}^{L}Q\left[-2+4\frac{{x'}_A}{L}-4\left(\frac{{x'}_A}{L} \right)^2 \right]{x'}_A {dx'}_A </math>2047
|-2048
| style="text-align: center;" | <math> +\int _0^L Q \left(-2+2\frac{{x'}_B}{L} \right){(L+x'}_B)dx'_B=0 </math>2049
|}2050
| style="width: 5px;text-align: right;white-space: nowrap;" | (112)2051
|}2052
2053
En el siguiente enlace se encuentra el código de Python empleado para la solución de este ejemplo: 2054
2055
https://drive.google.com/open?id=1-rqbQquE5YmvSKxRtQW2z7Lpm1O8C8-Y2056
2057
===8.2 Viga sobre fundación flexible===2058
2059
Resolver la viga sobre fundación flexible presentada en la [[#img-13a|Figura 13a]]. 2060
2061
<div id='img-13a'></div>2062
<div id='img-13b'></div>2063
<div id='img-13'></div>2064
{| class="floating_imageSCP" style="text-align: center; border: 1px solid #BBB; margin: 1em auto; width: 85%;"2065
|-2066
|style="padding:10px;" |[[Image:Molina-Villegas_et_al_2020b-Figura09a.png|390px|Problema a resolver.]]2067
|style="padding:10px;" |[[Image:Molina-Villegas_et_al_2020b-Figura09b.png|390px|Discretización.]]2068
|- style="text-align: center; font-size: 75%;"2069
| (a) Problema a resolver2070
| (b) Discretización2071
|- style="text-align: center; font-size: 75%;"2072
| colspan="2" style="padding:10px;" | '''Figura 13'''. Viga sobre fundación flexible y discretización empleada para su solución2073
|}2074
2075
2076
<u>Discretización</u>2077
2078
Para este problema se empleará la discretización de un solo elemento presentada en la [[#img-13b|Figura 13b]], la cual muestra una de las principales bondades de la presente metodología. Consistente en minimizar el número de elementos a emplear, pues usualmente en la solución de este problema se emplearía una discretización con tres elementos para obtener la respuesta analítica.2079
2080
<u>Preliminares</u>2081
2082
El coeficiente <math display="inline">\lambda </math> para este problema es:2083
2084
{| class="formulaSCP" style="width: 100%; text-align: left;" 2085
|-2086
| 2087
{| style="text-align: left; margin:auto;width: 100%;" 2088
|-2089
| style="text-align: center;" | <math>\lambda =\sqrt[4]{\dfrac{k}{4EI}}=1.535260 </math>2090
|}2091
| style="width: 5px;text-align: right;white-space: nowrap;" | (113)2092
|}2093
2094
Mientras que las funciones de forma son:2095
2096
<span id="eq-114"></span>2097
{| class="formulaSCP" style="width: 100%; text-align: left;" 2098
|-2099
| 2100
{| style="text-align: left; margin:auto;width: 100%;" 2101
|-2102
| style="text-align: center;" | <math>\Psi _2(x)=-1.0000017\sin (\lambda x)\sinh (\lambda x) + 1.0000014\sin (\lambda x)\cosh (\lambda x) - 1.0000014\cos (\lambda x)\sinh (\lambda x) </math>2103
|-2104
| style="text-align: center;" | <math> + 1.0\cos (\lambda x)\cosh (\lambda x) </math>2105
|}2106
| style="width: 5px;text-align: right;white-space: nowrap;" | (114)2107
|}2108
2109
<span id="eq-115"></span>2110
{| class="formulaSCP" style="width: 100%; text-align: left;" 2111
|-2112
| 2113
{| style="text-align: left; margin:auto;width: 100%;" 2114
|-2115
| style="text-align: center;" | <math>\Psi _3(x)=-0.6513563\sin (\lambda x)\sinh (\lambda x) + 0.6513561\sin (\lambda x)\cosh (\lambda x) - 5.426830x10^{-7}\cos (\lambda x)\sinh (\lambda x) </math>2116
|}2117
| style="width: 5px;text-align: right;white-space: nowrap;" | (115)2118
|}2119
2120
<span id="eq-116"></span>2121
{| class="formulaSCP" style="width: 100%; text-align: left;" 2122
|-2123
| 2124
{| style="text-align: left; margin:auto;width: 100%;" 2125
|-2126
| style="text-align: center;" | <math>\Psi _5(x)=1.825552x10^{-3}\sin (\lambda x)\sinh (\lambda x) - 1.076690x10^{-3}\sin (\lambda x)\cosh (\lambda x) </math>2127
|-2128
| style="text-align: center;" | <math> + 1.076690x10^{-3}\cos (\lambda x)\sinh (\lambda x) </math>2129
|}2130
| style="width: 5px;text-align: right;white-space: nowrap;" | (116)2131
|}2132
2133
<span id="eq-117"></span>2134
{| class="formulaSCP" style="width: 100%; text-align: left;" 2135
|-2136
| 2137
{| style="text-align: left; margin:auto;width: 100%;" 2138
|-2139
| style="text-align: center;" | <math>\Psi _6(x)=-4.877763x10^{-4}\sin (\lambda x)\sinh (\lambda x) +5.945417x10^{-4}\sin (\lambda x)\cosh (\lambda x) </math>2140
|-2141
| style="text-align: center;" | <math> - 5.945417x10^{-3}\cos (\lambda x)\sinh (\lambda x) </math>2142
|}2143
| style="width: 5px;text-align: right;white-space: nowrap;" | (117)2144
|}2145
2146
Por su parte la función de Green de la viga doblemente empotrada asociada con este problema se obtiene a partir de [[#eq-65|(65)]] y [[#eq-66|(66)]]:2147
2148
{| class="formulaSCP" style="width: 100%; text-align: left;" 2149
|-2150
| 2151
{| style="text-align: left; margin:auto;width: 100%;" 2152
|-2153
| style="text-align: center;" | <math>\bar{G}_{yy}(x,\xi )= \begin{cases}\bar{G}_{yy}^I (x,\xi ) & 0 < x \leq \xi \\ \bar{G}_{yy}^{II}(x,\xi ) & \xi \leq x < 10\hbox{ m} \end{cases}= \begin{cases}C(x)\Psi _2(\xi )+D(x)\Psi _3(\xi ) & 0 < x \leq \xi \\ A(x)\Psi _5(\xi )+B(x)\Psi _6(\xi ) & \xi \leq x < 10\hbox{ m} \end{cases} </math>2154
|}2155
| style="width: 5px;text-align: right;white-space: nowrap;" | (118)2156
|}2157
2158
donde:2159
2160
{| class="formulaSCP" style="width: 100%; text-align: left;" 2161
|-2162
| 2163
{| style="text-align: left; margin:auto;width: 100%;" 2164
|-2165
| style="text-align: center;" | <math>A(x)=-1.535260x10^{-6}\sin=\lambda(5-x)\cosh=\lambda(5-x)+ 1.535260x10^{-6}\cos=\lambda(5-x)\sinh=\lambda(5-x)</math>2166
| style="width: 5px;text-align: right;white-space: nowrap;" | (119.a)2167
|-2168
| style="text-align: center;" | <math> B(x)=-4.714045x10^{-6}\sin=\lambda(5-x)\sinh=\lambda(5-x)</math>2169
| style="width: 5px;text-align: right;white-space: nowrap;" | (119.b)2170
|-2171
| style="text-align: center;" | <math> C(x)=-1.535260x10^{-6}\sin (\lambda x)\cosh (\lambda x) + 1.535260x10^{-6}\cos (\lambda x)\sinh (\lambda x) </math>2172
| style="width: 5px;text-align: right;white-space: nowrap;" | (119.c)2173
|-2174
| style="text-align: center;" | <math> D(x)=4.714045x10^{-6}\sin (\lambda x)\sinh (\lambda x) </math>2175
| style="width: 5px;text-align: right;white-space: nowrap;" | (119.d)2176
|}2177
|}2178
2179
<u>Cálculo de las fuerzas de empotramiento</u>2180
2181
Para este problema la carga externa se expresa por la siguiente función que posee tres tramos:2182
2183
{| class="formulaSCP" style="width: 100%; text-align: left;" 2184
|-2185
| 2186
{| style="text-align: left; margin:auto;width: 100%;" 2187
|-2188
| style="text-align: center;" | <math>q(x)= \begin{cases}0 & 0< x<3\hbox{ m} \\ -1\hbox{ kN} & 3\hbox{ m}< x<4\hbox{ m} \\ 0 & 4\hbox{ m}< x<5\hbox{ m} \end{cases} </math>2189
|}2190
| style="width: 5px;text-align: right;white-space: nowrap;" | (120)2191
|}2192
2193
Con lo cual las fuerzas de empotramiento se calculan a partir de las funciones de forma presentadas en [[#eq-114|(114)]] a [[#eq-117|(117)]], como:2194
2195
{| class="formulaSCP" style="width: 100%; text-align: left;" 2196
|-2197
| 2198
{| style="text-align: left; margin:auto;width: 100%;" 2199
|-2200
| style="text-align: center;" | <math>FY_i^f=-\int _0^L q(x) \Psi _2(x) dx=\int _3^4 \Psi _2(x) dx=-0.00217865 </math>2201
| style="width: 5px;text-align: right;white-space: nowrap;" | (121.a)2202
|-2203
| style="text-align: center;" | <math> M_i^f =-\int _0^L q(x) \Psi _3(x) dx=\int _3^4 \Psi _3(x) dx=-0.0027525 </math>2204
| style="width: 5px;text-align: right;white-space: nowrap;" | (121.b)2205
|-2206
| style="text-align: center;" | <math> FY_j^f=-\int _0^L q(x) \Psi _4(x) dx=\int _3^4 \Psi _5(x) dx=0.0351345 </math>2207
| style="width: 5px;text-align: right;white-space: nowrap;" | (121.c)2208
|-2209
| style="text-align: center;" | <math> M_j^f =-\int _0^L q(x) \Psi _5(x) dx=\int _3^4 \Psi _6(x) dx=-0.05640796 </math>2210
| style="width: 5px;text-align: right;white-space: nowrap;" | (121.d)2211
|}2212
|}2213
2214
<u>Formulación del sistema de ecuaciones de cada elemento</u>2215
2216
A partir de [[#eq-84|(84)]] se tiene que la formulación del método de rigidez para el único elemento de la discretización es:2217
2218
<span id="eq-122"></span>2219
{| class="formulaSCP" style="width: 100%; text-align: left;" 2220
|-2221
| 2222
{| style="text-align: left; margin:auto;width: 100%;" 2223
|-2224
| style="text-align: center;" | <math>\begin{Bmatrix}FY_1 \\ M_1 \\ FY_2 \\ M_2 \end{Bmatrix}= \begin{bmatrix}651356 & 212132 & -701 & 387 \\ 212132 & 138173 & -387 & 103 \\ -701 & -387 & 651356 & -212132 \\ 387 & 103 & -212132 & 138173 \end{bmatrix} \begin{Bmatrix}v_1^A \\ \theta _1^A \\ v_2^A \\ \theta _2^A \end{Bmatrix}+ \begin{Bmatrix}-0.00217865 \\ -0.0027525 \\ 0.0351345 \\ -0.05640796 \end{Bmatrix} </math>2225
|}2226
| style="width: 5px;text-align: right;white-space: nowrap;" | (122)2227
|}2228
2229
<u>Obtención de los desplazamientos nodales</u>2230
2231
La solución de [[#eq-122|(122)]] es:2232
2233
{| class="formulaSCP" style="width: 100%; text-align: left;" 2234
|-2235
| 2236
{| style="text-align: left; margin:auto;width: 100%;" 2237
|-2238
| style="text-align: center;" | <math>\begin{Bmatrix}v_1 \\ \theta _1 \\ v_2 \\ \theta _2 \end{Bmatrix}= \begin{Bmatrix}-6.690465x10^{-9} \, \hbox{m} \\ 3.014775x10^{-8} \, \hbox{rad} \\ 1.580475x10^{-7} \, \hbox{m} \\ 6.508803x10^{-7} \, \hbox{rad} \end{Bmatrix} </math>2239
|}2240
| style="width: 5px;text-align: right;white-space: nowrap;" | (123)2241
|}2242
2243
<u>Cálculo del campo de desplazamientos</u>2244
2245
Para el cálculo del campo de desplazamientos se realizará la siguiente superposición o descomposición:2246
2247
{| class="formulaSCP" style="width: 100%; text-align: left;" 2248
|-2249
| 2250
{| style="text-align: left; margin:auto;width: 100%;" 2251
|-2252
| style="text-align: center;" | <math>v(x)=v_h(x)+v_f(x) </math>2253
|}2254
| style="width: 5px;text-align: right;white-space: nowrap;" | (124)2255
|}2256
2257
donde <math display="inline">v_h(x)</math> es el campo de desplazamientos homogéneo y <math display="inline">v_f(x)</math> es el campo de desplazamientos empotrado. A partir de [[#eq-56|(56)]] y empleando los desplazamientos y rotaciones nodales, se obtiene que el campo de desplazamiento homogéneo es:2258
2259
{| class="formulaSCP" style="width: 100%; text-align: left;" 2260
|-2261
| 2262
{| style="text-align: left; margin:auto;width: 100%;" 2263
|-2264
| style="text-align: center;" | <math>v_h(x)=-1.297541x10^{-8}\sin (\lambda x)\sinh (\lambda x) +1.316325x10^{-8}\sin (\lambda x)\cosh (\lambda x) </math>2265
|-2266
| style="text-align: center;" | <math> +6.473651x10^{-9}\cos (\lambda x)\sinh (\lambda x) -6.690466x10^{-9}\cos (\lambda x)\cosh (\lambda x) </math>2267
|}2268
| style="width: 5px;text-align: right;white-space: nowrap;" | (125)2269
|}2270
2271
Mientras que el campo de desplazamiento empotrado se calcula a partir de [[#eq-69|(69)]] y se expresa como:2272
2273
{| class="formulaSCP" style="width: 100%; text-align: left;" 2274
|-2275
| 2276
{| style="text-align: left; margin:auto;width: 100%;" 2277
|-2278
| style="text-align: center;" | <math>v_f(x)= \begin{cases}v_f^I(x) & 0 < x \leq 3\hbox{ m} \\ v_f^{II}(x) & 3\hbox{ m} \leq x \leq 4\hbox{ m} \\ v_f^{III}(x) & 4\hbox{ m} \leq x < 5\hbox{ m} \end{cases} </math>2279
|}2280
| style="width: 5px;text-align: right;white-space: nowrap;" | (126)2281
|}2282
2283
donde:2284
2285
{| class="formulaSCP" style="width: 100%; text-align: left;" 2286
|-2287
| 2288
{| style="text-align: left; margin:auto;width: 100%;" 2289
|-2290
| style="text-align: center;" | <math>v_f^I(x)=\int _3^4 \bar{G}_{yy}^I(x,\xi )q(\xi )d\xi </math>2291
|-2292
| style="text-align: center;" | <math> =1.297541x10^{-8}\sin (\lambda x)\sinh (\lambda x) -3.344800x10^{-9}\sin (\lambda x)\cosh (\lambda x)+3.344800x10^{-9}\cos (\lambda x)\sinh (\lambda x) </math>2293
|}2294
| style="width: 5px;text-align: right;white-space: nowrap;" | (127)2295
|}2296
2297
{| class="formulaSCP" style="width: 100%; text-align: left;" 2298
|-2299
| 2300
{| style="text-align: left; margin:auto;width: 100%;" 2301
|-2302
| style="text-align: center;" | <math>v_f^{II}(x)= \int _3^x \bar{G}_{yy}^{II}(x,\xi )q(\xi )d\xi{+\int}_x^4 \bar{G}_{yy}^I(x,\xi )d\xi </math>2303
|-2304
| style="text-align: center;" | <math> =-3.779091x10^{-7}\sin=\lambda(x-3)\sinh=\lambda(x-3) + 7.449378x10^{-7}\sin=\lambda(x-3)\cosh=\lambda(x-3)</math>2305
|-2306
| style="text-align: center;" | <math> \quad - 7.449378x10^{-7}\cos=\lambda(x-3)\sinh=\lambda(x-3) + 1.0x10^{-6}\cos=\lambda(x-3)\cosh=\lambda(x-3)- 1.0x10^{-6} </math>2307
|}2308
| style="width: 5px;text-align: right;white-space: nowrap;" | (128)2309
|}2310
2311
{| class="formulaSCP" style="width: 100%; text-align: left;" 2312
|-2313
| 2314
{| style="text-align: left; margin:auto;width: 100%;" 2315
|-2316
| style="text-align: center;" | <math>v_f^{III}(x)=\int _3^4 \bar{G}_{yy}^{II}(x,\xi )q(\xi )d\xi </math>2317
|-2318
| style="text-align: center;" | <math> = 1.684965x10^{-5}\sin (\lambda x)\sinh (\lambda x) -1.684965x10^{-5}\sin (\lambda x)\cosh (\lambda x) </math>2319
|-2320
| style="text-align: center;" | <math> \quad +2.352508x10^{-4}\cos (\lambda x)\sinh (\lambda x) -2.352506x10^{-4}\cos (\lambda x)\cosh (\lambda x) </math>2321
|}2322
| style="width: 5px;text-align: right;white-space: nowrap;" | (129)2323
|}2324
2325
Con lo cual el campo de desplazamiento total es:2326
2327
{| class="formulaSCP" style="width: 100%; text-align: left;" 2328
|-2329
| 2330
{| style="text-align: left; margin:auto;width: 100%;" 2331
|-2332
| style="text-align: center;" | <math>v(x)= \begin{cases}v^I(x) & 0 < x \leq 3\hbox{ m} \\ v^{II}(x) & 3\hbox{ m} \leq x \leq 4\hbox{ m} \\ v^{III}(x) & 4\hbox{ m} \leq x < 5\hbox{ m} \end{cases} </math>2333
|}2334
| style="width: 5px;text-align: right;white-space: nowrap;" | (130)2335
|}2336
2337
{| class="formulaSCP" style="width: 100%; text-align: left;" 2338
|-2339
| 2340
{| style="text-align: left; margin:auto;width: 100%;" 2341
|-2342
| style="text-align: center;" | <math>v^I(x)=9.818452x10^{-9}\sin (\lambda x)\cosh (\lambda x) +9.818452x10^{-9}\cos (\lambda x)\sinh (\lambda x) </math>2343
|-2344
| style="text-align: center;" | <math> -6.690465x10^{-9}\cos (\lambda x)\cosh (\lambda x) </math>2345
|}2346
| style="width: 5px;text-align: right;white-space: nowrap;" | (131)2347
|}2348
2349
{| class="formulaSCP" style="width: 100%; text-align: left;" 2350
|-2351
| 2352
{| style="text-align: left; margin:auto;width: 100%;" 2353
|-2354
| style="text-align: center;" | <math>v^{II}(x)=1.034235x10^{-7}\sin (\lambda (x-3)]\sinh (\lambda (x-3)] </math>2355
|-2356
| style="text-align: center;" | <math> + 1.032491x10^{-7}\sin (\lambda (x-3)]\cosh=\lambda(x-3)</math>2357
|-2358
| style="text-align: center;" | <math> - 5.050451x10^{-7}\cos (\lambda (x-3)]\sinh=\lambda(x-3)</math>2359
|-2360
| style="text-align: center;" | <math> + 4.948749x10^{-7}\cos (\lambda (x-3)]\cosh=\lambda(x-3)- 1.0x10^{-6} </math>2361
|}2362
| style="width: 5px;text-align: right;white-space: nowrap;" | (132)2363
|}2364
2365
{| class="formulaSCP" style="width: 100%; text-align: left;" 2366
|-2367
| 2368
{| style="text-align: left; margin:auto;width: 100%;" 2369
|-2370
| style="text-align: center;" | <math>v^{III}(x)=1.683667x10^{-5}\sin (\lambda x)\sinh (\lambda x) -1.683648x10^{-5}\sin (\lambda x)\cosh (\lambda x) </math>2371
|-2372
| style="text-align: center;" | <math> +2.352573x10^{-4}\cos (\lambda x)\sinh (\lambda x) -2.352573x10^{-4}\cos (\lambda x)\cosh (\lambda x) </math>2373
|}2374
| style="width: 5px;text-align: right;white-space: nowrap;" | (133)2375
|}2376
2377
En la [[#img-11|Figura 11]] se presenta de forma gráfica el campo de desplazamiento vertical en toda la viga.2378
2379
<u>Cálculo de las fuerzas que el suelo le hace a la viga</u>2380
2381
La fuerza que el suelo ejerce sobre la viga se calcula a partir del campo de desplazamientos de la siguiente forma:2382
2383
{| class="formulaSCP" style="width: 100%; text-align: left;" 2384
|-2385
| 2386
{| style="text-align: left; margin:auto;width: 100%;" 2387
|-2388
| style="text-align: center;" | <math>f_S(x)=-kv(x)= \begin{cases}f_S^I(x) & 0 < x \leq 3\hbox{ m} \\ f_S^{II}(x) & 3\hbox{ m} \leq x \leq 4\hbox{ m} \\ f_S^{III}(x) & 4\hbox{ m} \leq x < 5\hbox{ m} \end{cases} </math>2389
|}2390
| style="width: 5px;text-align: right;white-space: nowrap;" | (134)2391
|}2392
2393
donde:2394
2395
{| class="formulaSCP" style="width: 100%; text-align: left;" 2396
|-2397
| 2398
{| style="text-align: left; margin:auto;width: 100%;" 2399
|-2400
| style="text-align: center;" | <math>f_S^I(x)=-kv^I(x)= -9.818452x10^{-3}\sin (\lambda x)\cosh (\lambda x) </math>2401
|-2402
| style="text-align: center;" | <math> -9.818452x10^{-3}\cos (\lambda x)\sinh (\lambda x) +6.690465x10^{-3}\cos (\lambda x)\cosh (\lambda x) </math>2403
|}2404
| style="width: 5px;text-align: right;white-space: nowrap;" | (135)2405
|}2406
2407
{| class="formulaSCP" style="width: 100%; text-align: left;" 2408
|-2409
| 2410
{| style="text-align: left; margin:auto;width: 100%;" 2411
|-2412
| style="text-align: center;" | <math>f_S^{II}(x)=-kv^{II}(x)= -0.1034235\sin=\lambda(x-3)\sinh=\lambda(x-3)</math>2413
|-2414
| style="text-align: center;" | <math> -0.1032491\sin=\lambda(x-3)\cosh=\lambda(x-3)</math>2415
|-2416
| style="text-align: center;" | <math> +0.5050450\cos=\lambda(x-3)\sinh=\lambda(x-3)</math>2417
|-2418
| style="text-align: center;" | <math> -0.4948749\cos=\lambda(x-3)\cosh=\lambda(x-3)+ 1 </math>2419
|}2420
| style="width: 5px;text-align: right;white-space: nowrap;" | (136)2421
|}2422
2423
{| class="formulaSCP" style="width: 100%; text-align: left;" 2424
|-2425
| 2426
{| style="text-align: left; margin:auto;width: 100%;" 2427
|-2428
| style="text-align: center;" | <math>f_S^{III}(x)=-kv^{III}(x)= 1.684965x10^{-5}\sin (\lambda x)\sinh (\lambda x) </math>2429
|-2430
| style="text-align: center;" | <math> -1.684965x10^{-5}\sin (\lambda x)\cosh (\lambda x) </math>2431
|-2432
| style="text-align: center;" | <math> +2.352508x10^{-4}\cos (\lambda x)\sinh (\lambda x) -2.352506x10^{-4}\cos (\lambda x)\cosh (\lambda x) </math>2433
|}2434
| style="width: 5px;text-align: right;white-space: nowrap;" | (137)2435
|}2436
2437
Como resumen de las anteriores tres ecuaciones, en la [[#img-14b|Figura 14b]] se presenta la fuerza el suelo ejerce sobre la viga. 2438
2439
<div id='img-14a'></div>2440
<div id='img-14b'></div>2441
<div id='img-14'></div>2442
{| class="floating_imageSCP" style="text-align: center; border: 1px solid #BBB; margin: 1em auto; width: 90%;"2443
|-2444
|style="padding:10px;" |[[Image:Molina-Villegas_et_al_2020b-FiguraEjemplo2CampoDesplazamientoDefinitiva.png|450px|Campo de desplazamientos.]]2445
|style="padding:10px;" |[[Image:Molina-Villegas_et_al_2020b-FiguraEjemplo2CampoFuerzaSueloVigaDefinitiva.png|450px|Campo de la fuerza que el suelo ejerce sobre la viga.]]2446
|- style="text-align: center; font-size: 75%;"2447
| (a) Campo de desplazamientos2448
| (b) Campo de la fuerza que el suelo ejerce sobre la viga2449
|- style="text-align: center; font-size: 75%;"2450
| colspan="2" style="padding:10px;" | '''Figura 14'''. Campos de desplazamiento en la viga y fuerza que el suelo ejerce sobre esta2451
|}2452
2453
2454
Como revisión de las fuerzas que el suelo realiza sobre la viga y por ende del campo de desplazamientos, a continuación se revisará el equilibrio vertical y rotacional al rededor del punto 1 para toda la viga:2455
2456
{| class="formulaSCP" style="width: 100%; text-align: left;" 2457
|-2458
| 2459
{| style="text-align: left; margin:auto;width: 100%;" 2460
|-2461
| style="text-align: center;" | <math>\sum FY= -1-k\int {_0^3 v^I(x)dx'}_A-k \int _3^4 v^{II}(x)dx-k\int _4^5 v^{III}(x)dx=0 </math>2462
| style="width: 5px;text-align: right;white-space: nowrap;" | (138.a)2463
|-2464
| style="text-align: center;" | <math> \sum M_1= -3.5-k \int _0^3 v^I(x)x dx-k \int _3^4 v^{II}(x)x dx-k \int _4^5 v^{III}(x)x dx=0 </math>2465
| style="width: 5px;text-align: right;white-space: nowrap;" | (138.b)2466
|}2467
|}2468
2469
<u>Cálculo de las fuerzas internas</u>2470
2471
A partir del campo de desplazamientos es posible obtener el campo de momento flector como:2472
2473
{| class="formulaSCP" style="width: 100%; text-align: left;" 2474
|-2475
| 2476
{| style="text-align: left; margin:auto;width: 100%;" 2477
|-2478
| style="text-align: center;" | <math>M(x)=EI \frac{d^2 v}{dx^2}(x)= \begin{cases}M^I(x) & 0 < x \leq 3\hbox{ m} \\ M^{II}(x) & 3\hbox{ m} \leq x \leq 4\hbox{ m} \\ M^{III}(x) & 4\hbox{ m} \leq x < 5\hbox{ m} \end{cases} </math>2479
|}2480
| style="width: 5px;text-align: right;white-space: nowrap;" | (139)2481
|}2482
2483
donde:2484
2485
{| class="formulaSCP" style="width: 100%; text-align: left;" 2486
|-2487
| 2488
{| style="text-align: left; margin:auto;width: 100%;" 2489
|-2490
| style="text-align: center;" | <math>M^I(x)=EI \frac{d^2 v^I}{dx}(x)=1.419262x10^{-3}\sin (\lambda x)\sinh (\lambda x) </math>2491
|-2492
| style="text-align: center;" | <math> -2.082808x10^{-3}\sin (\lambda x)\cosh (\lambda x)+2.082808x10^{-3}\cos (\lambda x)\sinh (\lambda x) </math>2493
|}2494
| style="width: 5px;text-align: right;white-space: nowrap;" | (140)2495
|}2496
2497
{| class="formulaSCP" style="width: 100%; text-align: left;" 2498
|-2499
| 2500
{| style="text-align: left; margin:auto;width: 100%;" 2501
|-2502
| style="text-align: center;" | <math>M^{II}(x)=EI \frac{d^2 v^{II}}{dx^2}(x)=-0.104979\sin=1.535260(x-3)\sinh=1.535260(x-3)</math>2503
|-2504
| style="text-align: center;" | <math> +0.107136\sin=1.535260(x-3)\cosh=1.535260(x-3)</math>2505
|-2506
| style="text-align: center;" | <math> +0.0219024\cos=1.535260(x-3)\sinh=1.535260(x-3)</math>2507
|-2508
| style="text-align: center;" | <math> +0.0219394\cos=1.535260(x-3)\cosh=1.535260(x-3) </math>2509
|}2510
| style="width: 5px;text-align: right;white-space: nowrap;" | (141)2511
|}2512
2513
{| class="formulaSCP" style="width: 100%; text-align: left;" 2514
|-2515
| 2516
{| style="text-align: left; margin:auto;width: 100%;" 2517
|-2518
| style="text-align: center;" | <math>M^{III}(x)=EI \frac{d^2 v^{III}}{dx^2}(x)=49.905617\sin (\lambda x)\sinh (\lambda x) </math>2519
|-2520
| style="text-align: center;" | <math> -49.905603\sin (\lambda x)\cosh (\lambda x) </math>2521
|-2522
| style="text-align: center;" | <math> -3.571557\cos (\lambda x)\sinh (\lambda x) +3.571597\cos (\lambda x)\cosh (\lambda x) </math>2523
|}2524
| style="width: 5px;text-align: right;white-space: nowrap;" | (142)2525
|}2526
2527
Mientras que el campo de fuerza cortante se calcula como:2528
2529
{| class="formulaSCP" style="width: 100%; text-align: left;" 2530
|-2531
| 2532
{| style="text-align: left; margin:auto;width: 100%;" 2533
|-2534
| style="text-align: center;" | <math>V(x)=-EI \frac{d^3 v}{dx^3}(x)= \begin{cases}V^I(x) & 0 < x \leq 3\hbox{ m} \\ V^{II}(x) & 3\hbox{ m} \leq x \leq 4\hbox{ m} \\ V^{III}(x) & 4\hbox{ m} \leq x < 5\hbox{ m} \end{cases} </math>2535
|}2536
| style="width: 5px;text-align: right;white-space: nowrap;" | (143)2537
|}2538
2539
donde:2540
2541
{| class="formulaSCP" style="width: 100%; text-align: left;" 2542
|-2543
| 2544
{| style="text-align: left; margin:auto;width: 100%;" 2545
|-2546
| style="text-align: center;" | <math>V^I(x)=-EI \frac{d^3 v^I}{dx^3}{(x'}_ 6.395303x10x10^{-3}\sin (\lambda x)\sinh (\lambda x) </math>2547
|-2548
| style="text-align: center;" | <math> -2.178936x10^{-3}\sin (\lambda x)\cosh (\lambda x) -2.178936x10^{-3}\cos (\lambda x)\sinh (\lambda x) </math>2549
|}2550
| style="width: 5px;text-align: right;white-space: nowrap;" | (144)2551
|}2552
2553
{| class="formulaSCP" style="width: 100%; text-align: left;" 2554
|-2555
| 2556
{| style="text-align: left; margin:auto;width: 100%;" 2557
|-2558
| style="text-align: center;" | <math>V^{II}(x)=-EI \frac{d^3 v^{II}}{dx}(x)= -0.1308560\sin=1.535260(x-3)\sinh=1.535260(x-3)</math>2559
|-2560
| style="text-align: center;" | <math> +0.1948525\sin=1.535260(x-3)\cosh=1.535260(x-3)</math>2561
|-2562
| style="text-align: center;" | <math> +0.1274870\cos=1.535260(x-3)\sinh=1.535260(x-3)</math>2563
|-2564
| style="text-align: center;" | <math> -0.1981079\cos=1.535260(x-3)\cosh=1.535260(x-3) </math>2565
|}2566
| style="width: 5px;text-align: right;white-space: nowrap;" | (145)2567
|}2568
2569
{| class="formulaSCP" style="width: 100%; text-align: left;" 2570
|-2571
| 2572
{| style="text-align: left; margin:auto;width: 100%;" 2573
|-2574
| style="text-align: center;" | <math>V^{III}(x)=-EI \frac{d^3 v^{III}}{dx^3}(x)=71.134797\sin (\lambda x)\sinh (\lambda x) </math>2575
|-2576
| style="text-align: center;" | <math> -71.134758\sin (\lambda x)\cosh (\lambda x) -82.101417\cos (\lambda x)\sinh (\lambda x) </math>2577
|-2578
| style="text-align: center;" | <math> +82.101334\cos (\lambda x)\cosh (\lambda x) </math>2579
|}2580
| style="width: 5px;text-align: right;white-space: nowrap;" | (146)2581
|}2582
2583
En las [[#img-12a|Figuras 12a]] y [[#img-12b|12b]] se presentan respectivamente los campos de fuerza cortante y momento flector para toda la viga. 2584
2585
<div id='img-15a'></div>2586
<div id='img-15b'></div>2587
<div id='img-15'></div>2588
{| class="floating_imageSCP" style="text-align: center; border: 1px solid #BBB; margin: 1em auto; width: 90%;"2589
|-2590
|style="padding:10px;" |[[Image:Molina-Villegas_et_al_2020b-FiguraEjemplo2CampoCortanteDefinitiva.png|450px|Fuerza cortante.]]2591
|style="padding:10px;" |[[Image:Molina-Villegas_et_al_2020b-FiguraEjemplo2CampoMomentoFlectorDefinitiva.png|450px|Momento flector.]]2592
|- style="text-align: center; font-size: 75%;"2593
| (a) Fuerza cortante2594
| (b) Momento flector2595
|- style="text-align: center; font-size: 75%;"2596
| colspan="2" style="padding:10px;" | '''Figura 15'''. Campos de fuerzas internas2597
|}2598
En el siguiente enlace se encuentra el código de Python empleado para la solución de este ejemplo: 2599
2600
https://drive.google.com/open?id=1yq_G2WYO3X6oUW3Nnlq4jb9ATUd_WvlP2601
2602
===8.3 Pórtico plano===2603
2604
Resolver el pórtico plano presentado en la [[#img-16a|Figura 16a]] cuyos elementos son rectangulares de base y altura iguales a <math display="inline">L/20</math> y cuyo módulo de elasticidad es <math display="inline">E</math>. 2605
2606
<div id='img-16a'></div>2607
<div id='img-16b'></div>2608
<div id='img-16'></div>2609
{| class="floating_imageSCP" style="text-align: center; border: 1px solid #BBB; margin: 1em auto; width: 90%;"2610
|-2611
|style="padding:10px;" |[[Image:Molina-Villegas_et_al_2020b-Figura10a.png|390px|Problema a resolver.]]2612
|style="padding:10px;" |[[Image:Molina-Villegas_et_al_2020b-Figura10b.png|390px|Discretización.]]2613
|- style="text-align: center; font-size: 75%;"2614
| (a) Problema a resolver2615
| (b) Discretización2616
|- style="text-align: center; font-size: 75%;"2617
| colspan="2" style="padding:10px;" | '''Figura 16'''. Pórtico plano sometido a cargas externas oblicuas y discretización empleada para su solución2618
|}2619
2620
2621
<u>Discretización</u>2622
2623
En la [[#img-16b|Figura 16b]] se presenta la discretización y ejes locales a emplear en la solución de este ejercicio.2624
2625
<u>Definición de la carga externa en coordenadas locales</u>2626
2627
A partir de la [[#img-16a|Figura 16a]], es posible obtener el valor de la carga externa en dirección <math display="inline">{x'}_A</math> del elemento <math display="inline">A</math>:2628
2629
<span id="eq-147"></span>2630
{| class="formulaSCP" style="width: 100%; text-align: left;" 2631
|-2632
| 2633
{| style="text-align: left; margin:auto;width: 100%;" 2634
|-2635
| style="text-align: center;" | <math>{ p_A(x'}_A)= \begin{cases}\dfrac{24}{25}Q\left(-\dfrac{1}{2}+\dfrac{{x'}_A}{L}\right) \qquad &{ 0 < x'}_A < \dfrac{L}{2} \\[0.3cm] \dfrac{24}{25}Q\left(-1+\dfrac{{x'}_A}{L}\right) & \dfrac{L}{2}{ < x'}_A < L \end{cases} </math>2636
|}2637
| style="width: 5px;text-align: right;white-space: nowrap;" | (147)2638
|}2639
2640
Mientras que la carga externa en dirección del eje <math display="inline">{y'}_A</math> en el elemento <math display="inline">A</math> es:2641
2642
<span id="eq-148"></span>2643
{| class="formulaSCP" style="width: 100%; text-align: left;" 2644
|-2645
| 2646
{| style="text-align: left; margin:auto;width: 100%;" 2647
|-2648
| style="text-align: center;" | <math>{ q_A(x'}_A)= \begin{cases}\dfrac{32}{25}Q\left(-\dfrac{1}{2}+\dfrac{{x'}_A}{L}\right)\qquad &{ 0 < x'}_A < \dfrac{L}{2} \\[0.3cm] \dfrac{32}{25}Q\left(-1+\dfrac{{x'}_A}{L}\right) & \dfrac{L}{2}{ < x'}_A < L \end{cases} </math>2649
|}2650
| style="width: 5px;text-align: right;white-space: nowrap;" | (148)2651
|}2652
2653
De forma similar, se tiene que las cargas externas en dirección de los ejes <math display="inline">{x'}_B</math> y <math display="inline">{y'}_B</math> en el elemento <math display="inline">B</math> son respectivamente:2654
2655
{| class="formulaSCP" style="width: 100%; text-align: left;" 2656
|-2657
| 2658
{| style="text-align: left; margin:auto;width: 100%;" 2659
|-2660
| style="text-align: center;" | <math>{p_B(x'}_B)=\dfrac{12}{25}Q\left(-1+\dfrac{{x'}_B}{L}\right)</math>2661
| style="width: 5px;text-align: right;white-space: nowrap;" | (149.a)2662
|-2663
| style="text-align: center;" | <math>{ q_B(x'}_B)=\dfrac{ 9}{25}Q\left(-1+\dfrac{{x'}_B}{L}\right) </math>2664
| style="width: 5px;text-align: right;white-space: nowrap;" | (149.b)2665
|}2666
|}2667
2668
<u>Cálculo del sistema de ecuaciones de cada elemento en coordenadas locales</u>2669
2670
A partir de lo presentado en [[#eq-86|(86)]] se tiene que las ecuaciones del método de rigidez en coordenadas locales para los elementos <math display="inline">A</math> y <math display="inline">B</math> son respectivamente:2671
2672
<span id="eq-150"></span>2673
{| class="formulaSCP" style="width: 100%; text-align: left;" 2674
|-2675
| 2676
{| style="text-align: left; margin:auto;width: 100%;" 2677
|-2678
| style="text-align: center;" | <math>\begin{Bmatrix}\left.{FX'}_1 \right.^{A} \\ \left.{FY'}_1 \right.^{A} \\ \left.{M'}_1 \right.^{A} \\ \left.{FX'}_2 \right.^{A} \\ \left.{FY'}_2 \right.^{A} \\ \left.{M'}_2 \right.^{A} \end{Bmatrix}=E \begin{bmatrix}\dfrac{L}{400} & 0 & 0 & -\dfrac{L}{400} & 0 & 0 \\ 0 & \dfrac{L}{160000} & \dfrac{L^2}{320000} & 0 & -\dfrac{L}{160000} & \dfrac{L^2}{320000} \\ 0 & \dfrac{L^2}{320000} & \dfrac{L^3}{480000} & 0 & -\dfrac{L^2}{320000} & \dfrac{L^3}{960000} \\ -\dfrac{L}{400} & 0 & 0 & \dfrac{L}{400} & 0 & 0 \\ 0 & -\dfrac{L}{160000} & -\dfrac{L^2}{320000} & 0 & \dfrac{L}{160000} & -\dfrac{L^2}{320000} \\ 0 & \dfrac{L^2}{320000} & \dfrac{L^3}{960000} & 0 & -\dfrac{L^2}{320000} & \dfrac{L^3}{480000} \end{bmatrix} \begin{Bmatrix}\left.{u'}_1 \right.^A \\ \left.{v'}_1 \right.^A \\ \left.\theta' _1 \right.^A \\ \left.{u'}_2 \right.^A \\ \left.{v'}_2 \right.^A \\ \left.\theta' _2 \right.^A \end{Bmatrix}+Q \begin{Bmatrix}\dfrac{7}{50}L \\ \dfrac{47}{250}L \\ \dfrac{41}{1500}L^2 \\ \dfrac{1}{10}L \\ \dfrac{33}{250}L \\ -\dfrac{13}{500}L^2 \end{Bmatrix} </math>2679
|}2680
| style="width: 5px;text-align: right;white-space: nowrap;" | (150)2681
|}2682
2683
<span id="eq-151"></span>2684
{| class="formulaSCP" style="width: 100%; text-align: left;" 2685
|-2686
| 2687
{| style="text-align: left; margin:auto;width: 100%;" 2688
|-2689
| style="text-align: center;" | <math>\begin{Bmatrix}\left.{FX'}_2 \right.^B \\ \left.{FY'}_2 \right.^B \\ \left.{M'}_2 \right.^B \\ \left.{FX'}_3 \right.^B \\ \left.{FY'}_3 \right.^B \\ \left.{M'}_3 \right.^B \end{Bmatrix}=E \begin{bmatrix}\dfrac{L}{400} & 0 & 0 & -\dfrac{L}{400} & 0 & 0] \\ 0 & \dfrac{L}{160000} & \dfrac{L^2}{320000} & 0 & -\dfrac{L}{160000} & \dfrac{L^2}{320000} \\ 0 & \dfrac{L^2}{320000} & \dfrac{L^3}{480000} & 0 & -\dfrac{L^2}{320000} & \dfrac{L^3}{960000} \\ -\dfrac{L}{400} & 0 & 0 & \dfrac{L}{400} & 0 & 0 \\ 0 & -\dfrac{L}{160000} & -\dfrac{L^2}{320000} & 0 & \dfrac{L}{160000} & -\dfrac{L^2}{320000} \\ 0 & \dfrac{L^2}{320000} & \dfrac{L^3}{960000} & 0 & -\dfrac{L^2}{320000} & \dfrac{L^3}{480000} \end{bmatrix} \begin{Bmatrix}\left.{u'}_2 \right.^B \\ \left.{v'}_2 \right.^B \\ \left.\theta' _2 \right.^B \\ \left.{u'}_3 \right.^B \\ \left.{v'}_3 \right.^B \\ \left.\theta' _3 \right.^B \end{Bmatrix}+Q \begin{Bmatrix}\dfrac{4}{25}L \\ \dfrac{63}{500}L \\ \dfrac{9}{500}L^2 \\ \dfrac{2}{25}L \\ \dfrac{27}{500}L \\ -\dfrac{3}{250}L^2 \end{Bmatrix} </math>2690
|}2691
| style="width: 5px;text-align: right;white-space: nowrap;" | (151)2692
|}2693
2694
<u>Cálculo del sistema de ecuaciones de cada elemento en coordenadas globales</u>2695
2696
Las ecuaciones [[#eq-150|(150)]] y [[#eq-151|(151)]] se transforman a coordenadas globales como:2697
2698
{| class="formulaSCP" style="width: 100%; text-align: left;" 2699
|-2700
| 2701
{| style="text-align: left; margin:auto;width: 100%;" 2702
|-2703
| style="text-align: center;" | <math>\begin{Bmatrix}FX_1^A \\ FY_1^A \\ M_1^A \\ FX_2^A \\ FY_2^A \\ M_2^A \end{Bmatrix}=E \begin{bmatrix}\dfrac{6409}{4000000}L & \dfrac{1197}{1000000}L & -\dfrac{3}{1600000}L^2 & -\dfrac{6409}{4000000}L & -\dfrac{1197}{1000000}L & -\dfrac{3}{1600000}L^2 \\ \dfrac{1197}{1000000}L & \dfrac{113}{125000}L & \dfrac{1}{400000}L^2 & -\dfrac{1197}{1000000}L & -\dfrac{113}{125000}L & \dfrac{1}{400000}L^2 \\ -\dfrac{3}{1600000}L^2 & \dfrac{1}{400000}L^2 & \dfrac{1}{480000}L^3 & \dfrac{3}{1600000}L^2 & -\dfrac{1}{400000}L^2 & \dfrac{1}{960000}L^3 \\ -\dfrac{6409}{4000000}L & -\dfrac{1197}{1000000}L & \dfrac{3}{1600000}L^2 & \dfrac{6409}{4000000}L & \dfrac{1197}{1000000}L & \dfrac{3}{1600000}L^2 \\ -\dfrac{1197}{1000000}L & -\dfrac{113}{125000}L & -\dfrac{1}{400000}L^2 & \dfrac{1197}{1000000}L & \dfrac{113}{125000}L & -\dfrac{1}{400000}L^2 \\ -\dfrac{3}{1600000}L^2 & \dfrac{1}{400000}L^2 & \dfrac{1}{960000}L^3 & \dfrac{3}{1600000}L^2 & -\dfrac{1}{400000}L^2 & \dfrac{1}{480000}L^3 \end{bmatrix} \begin{Bmatrix}u_1 \\ v_1 \\ \theta _1 \\ u_2 \\ v_2 \\ \theta _2^A \end{Bmatrix}+Q \begin{Bmatrix}-\dfrac{1}{1250}L \\ \dfrac{293}{1250}L \\ \dfrac{41}{1500}L^2 \\ \dfrac{1}{1250}L \\ \dfrac{207}{1250}L \\ -\dfrac{13}{500}L^2 \end{Bmatrix} </math>2704
|}2705
| style="width: 5px;text-align: right;white-space: nowrap;" | (152)2706
|}2707
2708
{| class="formulaSCP" style="width: 100%; text-align: left;" 2709
|-2710
| 2711
{| style="text-align: left; margin:auto;width: 100%;" 2712
|-2713
| style="text-align: center;" | <math>\begin{Bmatrix}FX_2^B \\ FY_2^B \\ M_2^B \\ FX_3^B \\ FY_3^B \\ M_3^B \end{Bmatrix}=E \begin{bmatrix}\dfrac{6409}{4000000}L & -\dfrac{1197}{1000000}L & \dfrac{3}{1600000}L^2 & -\dfrac{6409}{4000000}L & \dfrac{1197}{1000000}L & \dfrac{3}{1600000}L^2 \\ -\dfrac{1197}{1000000}L & \dfrac{113}{125000}L & \dfrac{1}{400000}L^2 & \dfrac{1197}{1000000}L & -\dfrac{113}{125000}L & \dfrac{1}{400000}L^2 \\ \dfrac{3}{1600000}L^2 & \dfrac{1}{400000}L^2 & \dfrac{1}{480000}L^3 & -\dfrac{3}{1600000}L^2 & -\dfrac{1}{400000}L^2 & \dfrac{1}{960000}L^3 \\ -\dfrac{6409}{4000000}L & \dfrac{1197}{1000000}L & -\dfrac{3}{1600000}L^2 & \dfrac{6409}{4000000}L & -\dfrac{1197}{1000000}L & -\dfrac{3}{1600000}L^2 \\ \dfrac{1197}{1000000}L & -\dfrac{113}{125000}L & -\dfrac{1}{400000}L^2 & -\dfrac{1197}{1000000}L & \dfrac{113}{125000}L & -\dfrac{1}{400000}L^2 \\ \dfrac{3}{1600000}L^2 & \dfrac{1}{400000}L^2 & \dfrac{1}{960000}L^3 & -\dfrac{3}{1600000}L^2 & -\dfrac{1}{400000}L^2 & \dfrac{1}{480000}L^3 \end{bmatrix} \begin{Bmatrix}u_2 \\ v_2 \\ \theta _2^B \\ u_3 \\ v_3 \\ \theta _3 \end{Bmatrix}+Q \begin{Bmatrix}\dfrac{509}{2500}L \\ \dfrac{3}{625}L \\ \dfrac{9}{500}L^2 \\ \dfrac{241}{2500}L \\ -\dfrac{3}{625}L \\ -\dfrac{3}{250}L^2 \end{Bmatrix} </math>2714
|}2715
| style="width: 5px;text-align: right;white-space: nowrap;" | (153)2716
|}2717
2718
<u>Cálculo de los desplazamientos nodales desconocidos</u>2719
2720
A partir del equilibrio de los nudos en las direcciones donde las fuerzas externas o internas son conocidas, se obtiene el siguiente sistema lineal de cinco ecuaciones con igual número de incógnitas:2721
2722
{| class="formulaSCP" style="width: 100%; text-align: left;" 2723
|-2724
| 2725
{| style="text-align: left; margin:auto;width: 100%;" 2726
|-2727
| style="text-align: center;" | <math>\begin{Bmatrix}M_1 \\ FX_2 \\ FY_2 \\ M_2^A \\ M_2^B \\ M_3 \end{Bmatrix}= \begin{Bmatrix}0 \\ 0 \\ 0 \\ 0 \\ 0 \\ 0 \end{Bmatrix}=E \begin{bmatrix}\dfrac{1}{480000}L^3 & \dfrac{3}{1600000}L^2 & -\dfrac{1}{400000}L^2 & \dfrac{1}{960000}L^3 & 0 & 0 \\ \dfrac{3}{1600000}L^2 & \dfrac{6409}{2000000}L & 0 & \dfrac{3}{1600000}L^2 & \dfrac{3}{1600000}L^2 & \dfrac{3}{1600000}L^2 \\ -\dfrac{1}{400000}L^2 & 0 & \dfrac{113}{62500}L & -\dfrac{1}{400000}L^2 & \dfrac{1}{400000}L^2 & \dfrac{1}{400000}L^2 \\ \dfrac{1}{960000}L^3 & \dfrac{3}{1600000}L^2 & -\dfrac{1}{400000}L^2 & \dfrac{1}{480000}L^3 & 0 & 0 \\ 0 & \dfrac{3}{1600000}L^2 & \dfrac{1}{400000}L^2 & 0 & \dfrac{1}{480000}L^3 & \dfrac{1}{960000}L^3 \\ 0 & \dfrac{3}{1600000}L^2 & \dfrac{1}{400000}L^2 & 0 & \dfrac{1}{960000}L^3 & \dfrac{1}{480000}L^3 \end{bmatrix} \begin{Bmatrix}\theta _1 \\ u_2 \\ v_2 \\ \theta _2^A \\ \theta _2^B \\ \theta _3 \end{Bmatrix}+Q \begin{Bmatrix}\dfrac{41}{1500}L^2 \\ \dfrac{511}{2500}L \\ \dfrac{213}{1250}L \\ -\dfrac{13}{500}L^2 \\ \dfrac{9}{500}L^2 \\ -\dfrac{3}{250}L^2 \end{Bmatrix} </math>2728
|}2729
| style="width: 5px;text-align: right;white-space: nowrap;" | (154)2730
|}2731
2732
Cuya solución es:2733
2734
<span id="eq-155"></span>2735
{| class="formulaSCP" style="width: 100%; text-align: left;" 2736
|-2737
| 2738
{| style="text-align: left; margin:auto;width: 100%;" 2739
|-2740
| style="text-align: center;" | <math>\begin{Bmatrix}\theta _1 \\ u_2 \\ v_2 \\ \theta _2^A \\ \theta _2^B \\ \theta _3 \end{Bmatrix}=\dfrac{Q}{EL} \begin{Bmatrix}-\dfrac{1395895}{54} \\ -\dfrac{125}{2}L \\ -\dfrac{2500}{27}L \\ \dfrac{1368905}{54} \\ -\dfrac{823415}{54} \\ \dfrac{731785}{54} \end{Bmatrix} </math>2741
|}2742
| style="width: 5px;text-align: right;white-space: nowrap;" | (155)2743
|}2744
2745
<u>Cálculo de las reacciones</u>2746
2747
Del equilibrio de los nodos en las direcciones donde se desconocen las reacciones se obtiene el siguiente sistema lineal de cuatro ecuaciones:2748
2749
{| class="formulaSCP" style="width: 100%; text-align: left;" 2750
|-2751
| 2752
{| style="text-align: left; margin:auto;width: 100%;" 2753
|-2754
| style="text-align: center;" | <math>\begin{Bmatrix}FX_1 \\ FY_1 \\ FX_3 \\ FY_3 \end{Bmatrix}=E \begin{bmatrix}-\dfrac{3}{1600000}L^2 & -\dfrac{6409}{4000000}L & -\dfrac{1197}{1000000}L & -\dfrac{3}{1600000}L^2 & 0 & 0 \\ \dfrac{1}{400000}L^2 & -\dfrac{1197}{1000000}L & -\dfrac{113}{125000}L & \dfrac{1}{400000}L^2 & 0 & 0 \\ 0 & -\dfrac{6409}{4000000}L & \dfrac{1197}{1000000}L & 0 & -\dfrac{3}{1600000}L^2 & -\dfrac{3}{1600000}L^2 \\ 0 & \dfrac{1197}{1000000}L & -\dfrac{113}{125000}L & 0 & -\dfrac{1}{400000}L^2 & -\dfrac{1}{400000}L^2 \end{bmatrix} \begin{Bmatrix}\theta _1 \\ u_2 \\ v_2 \\ \theta _2^A \\ \theta _2^B \\ \theta _3 \end{Bmatrix}+QL \begin{Bmatrix}-\dfrac{1}{1250} \\ \dfrac{293}{1250} \\ \dfrac{241}{2500} \\ -\dfrac{3}{625} \end{Bmatrix}=QL \begin{Bmatrix}\dfrac{19}{90} \\ \dfrac{47}{120} \\ \dfrac{4}{45} \\ \dfrac{1}{120} \end{Bmatrix} </math>2755
|}2756
| style="width: 5px;text-align: right;white-space: nowrap;" | (156)2757
|}2758
2759
donde se emplearon los valores de los desplazamientos nodales presentados en [[#eq-155|(155)]].2760
2761
Como revisión de las reacciones obtenidas anteriormente se realizará el equilibrio de toda la estructura:2762
2763
{| class="formulaSCP" style="width: 100%; text-align: left;" 2764
|-2765
| 2766
{| style="text-align: left; margin:auto;width: 100%;" 2767
|-2768
| style="text-align: center;" | <math>\sum FX=FX_1+FX_3-\frac{3}{10}QL=0</math>2769
| style="width: 5px;text-align: right;white-space: nowrap;" | (157.a)2770
|-2771
| style="text-align: center;" | <math> \sum FY=FY_1+FY_3-\frac{1}{5}QL-\frac{1}{5}QL=0 </math>2772
| style="width: 5px;text-align: right;white-space: nowrap;" | (157.b)2773
|-2774
| style="text-align: center;" | <math> \sum M_1=FY_3 \cdot \frac{8}{5}L -\frac{1}{5}QL \cdot \frac{2}{15}L-\frac{1}{5}QL \cdot \frac{8}{15} L + \frac{3}{10}QL \cdot \frac{2}{5}L=0 </math>2775
| style="width: 5px;text-align: right;white-space: nowrap;" | (157.c)2776
|}2777
|}2778
2779
<u>Cálculo del campo de desplazamiento del elemento <math>A</math></u>2780
2781
Para poder calcular el campo de desplazamiento homogéneo del elemento <math display="inline">A</math> es necesario haber transformado los desplazamientos en los extremos de este elemento de coordenadas globales a locales. Una vez realizado esto, se tiene que el campo de desplazamiento homogéneo en dirección <math display="inline">{x'}_A</math> del elemento <math display="inline">A</math> es:2782
2783
{| class="formulaSCP" style="width: 100%; text-align: left;" 2784
|-2785
| 2786
{| style="text-align: left; margin:auto;width: 100%;" 2787
|-2788
| style="text-align: center;" | <math>{u_A^h(x'}_A)=-\frac{950Q}{9E} \frac{{x'}_A}{L} </math>2789
|}2790
| style="width: 5px;text-align: right;white-space: nowrap;" | (158)2791
|}2792
2793
Mientras que a partir de lo presentado en [[#eq-22|(22)]] y [[#eq-147|(147)]], se tiene que el campo de desplazamiento empotrado en dirección <math display="inline">{x'}_A</math> del elemento <math display="inline">A</math> es:2794
2795
{| class="formulaSCP" style="width: 100%; text-align: left;" 2796
|-2797
| 2798
{| style="text-align: left; margin:auto;width: 100%;" 2799
|-2800
| style="text-align: center;" | <math>{u_A^f(x'}_A)= \begin{cases}\dfrac{Q}{E} \left[-56\dfrac{{x'}_A}{L} + 96\left(\dfrac{{x'}_A}{L}\right)^2 - 64\left(\dfrac{{x'}_A}{L}\right)^3 \right]&{ 0 < x'}_A \leq \dfrac{L}{2} \\[0.5cm] \dfrac{Q}{E} \left[24 - 152\dfrac{{x'}_A}{L} + 192\left(\dfrac{{x'}_A}{L}\right)^2 -64\left(\dfrac{{x'}_A}{L}\right)^3 \right] & \dfrac{L}{2} \leq {x'} < L \end{cases} </math>2801
|}2802
| style="width: 5px;text-align: right;white-space: nowrap;" | (159)2803
|}2804
2805
Con lo cual el campo total de desplazamiento en dirección <math display="inline">{x'}_A</math> del elemento <math display="inline">A</math> es:2806
2807
{| class="formulaSCP" style="width: 100%; text-align: left;" 2808
|-2809
| 2810
{| style="text-align: left; margin:auto;width: 100%;" 2811
|-2812
| style="text-align: center;" | <math>{u_A(x'}_A)= \begin{cases}\dfrac{Q}{E} \left[-\dfrac{1454}{9} \dfrac{{x'}_A}{L}+96 \left(\dfrac{{x'}_A}{L} \right)^2 -64\left(\dfrac{{x'}_A}{L} \right)^3 \right]&{ 0 < x'}_A \leq \dfrac{L}{2} \\[0.4cm] \dfrac{Q}{E} \left[24-\dfrac{2318}{9}\dfrac{{x'}_A}{L}+192\left(\dfrac{{x'}_A}{L} \right)^2 -64\left(\dfrac{{x'}_A}{L} \right)^3 \right]& \dfrac{L}{2} \leq {x'} < L \end{cases} </math>2813
|}2814
| style="width: 5px;text-align: right;white-space: nowrap;" | (160)2815
|}2816
2817
Procediendo de forma similar a como se realizó en el ejemplo [[#8.1 Viga|8.1]], se tiene que los campos homogéneo, empotrado y total en dirección <math display="inline">{y'}_A</math> del elemento <math display="inline">A</math> son respectivamente:2818
2819
{| class="formulaSCP" style="width: 100%; text-align: left;" 2820
|-2821
| 2822
{| style="text-align: left; margin:auto;width: 100%;" 2823
|-2824
| style="text-align: center;" | <math>{v_A^h(x'}_A)=\dfrac{Q}{L} \left[-\dfrac{1395895}{54}\frac{{x'}_A}{L}+26240\left(\frac{{x'}_A}{L} \right)^2 -\frac{1280}{3}\left(\frac{{x'}_A}{L} \right)^3 \right] </math>2825
|}2826
| style="width: 5px;text-align: right;white-space: nowrap;" | (161)2827
|}2828
2829
{| class="formulaSCP" style="width: 100%; text-align: left;" 2830
|-2831
| 2832
{| style="text-align: left; margin:auto;width: 100%;" 2833
|-2834
| style="text-align: center;" | <math>{v_A^f(x'}_A)= \begin{cases}\dfrac{Q}{E} \left[ -26240 \left(\dfrac{{x'}_A}{L} \right)^2+60160 \left(\dfrac{{x'}_A}{L} \right)^3 -51200\left(\dfrac{{x'}_A}{L} \right)^4+20480\left(\dfrac{{x'}_A}{L} \right)^5 \right] &{ 0 < x'}_A \leq \dfrac{L}{2} \\[0.3cm] \dfrac{Q}{E} \left[-3200+25600 \dfrac{{x'}_A}{L}-103040\left(\dfrac{{x'}_A}{L} \right)^2 +162560\left(\dfrac{{x'}_A}{L} \right)^3-102400\left(\dfrac{{x'}_A}{L} \right)^4 +20480\left(\dfrac{{x'}_A}{L} \right)^5 \right] & \dfrac{L}{2} \leq {x'} < L \end{cases} </math>2835
|}2836
| style="width: 5px;text-align: right;white-space: nowrap;" | (162)2837
|}2838
2839
{| class="formulaSCP" style="width: 100%; text-align: left;" 2840
|-2841
| 2842
{| style="text-align: left; margin:auto;width: 100%;" 2843
|-2844
| style="text-align: center;" | <math>{v_A(x'}_A)= \begin{cases}\dfrac{Q}{E} \left[-\dfrac{1395895}{54} \dfrac{{x'}_A}{L}+\dfrac{179200}{3} \left(\dfrac{{x'}_A}{L}\right)^3 -51200\left(\dfrac{{x'}_A}{L}\right)^4 + 20480\left(\dfrac{{x'}_A}{L}\right)^5 \right] & 0 \leq {x'}_A \leq \dfrac{L}{2} \\[0.3cm] \dfrac{Q}{E} \left[-3200-\dfrac{13495}{54} \dfrac{{x'}_A}{L}-76800\left(\dfrac{{x'}_A}{L}\right)^2 +\dfrac{486400}{3}\left(\dfrac{{x'}_A}{L}\right)^3-102400\left(\dfrac{{x'}_A}{L}\right)^4 +20480\left(\dfrac{{x'}_A}{L}\right)^5 \right]& \dfrac{L}{2} \leq {x'}_A \leq L \end{cases} </math>2845
|}2846
| style="width: 5px;text-align: right;white-space: nowrap;" | (163)2847
|}2848
2849
<u>Cálculo del campo de desplazamiento del elemento <math>B</math></u>2850
2851
De igual forma a como se realizó con el elemento <math display="inline">A</math>, se tiene que los campos de desplazamiento homogéneo, empotrado y total en dirección <math display="inline">{x'}_B</math> del elemento <math display="inline">B</math> son respectivamente:2852
2853
{| class="formulaSCP" style="width: 100%; text-align: left;" 2854
|-2855
| 2856
{| style="text-align: left; margin:auto;width: 100%;" 2857
|-2858
| style="text-align: center;" | <math>{u_B^h(x'}_B)=\frac{Q}{E} \left(\frac{50}{9}-\frac{50}{9}\frac{{x'}_B}{L} \right) </math>2859
|}2860
| style="width: 5px;text-align: right;white-space: nowrap;" | (164)2861
|}2862
2863
{| class="formulaSCP" style="width: 100%; text-align: left;" 2864
|-2865
| 2866
{| style="text-align: left; margin:auto;width: 100%;" 2867
|-2868
| style="text-align: center;" | <math>{u_B^f(x'}_B)=\frac{Q}{E} \left[-64\frac{{x'}_B}{L}+96\left(\frac{{x'}_B}{L} \right)^2-32\left(\frac{{x'}_B}{L} \right)^3 \right] </math>2869
|}2870
| style="width: 5px;text-align: right;white-space: nowrap;" | (165)2871
|}2872
2873
{| class="formulaSCP" style="width: 100%; text-align: left;" 2874
|-2875
| 2876
{| style="text-align: left; margin:auto;width: 100%;" 2877
|-2878
| style="text-align: center;" | <math>{u_B(x'}_B)=\frac{Q}{E} \left[\frac{50}{9}-\frac{626}{9}\dfrac{{x'}_B}{L}+96 \left(\dfrac{{x'}_B}{L} \right)^2 - 32\left(\dfrac{{x'}_B}{L} \right)^3 \right] </math>2879
|}2880
| style="width: 5px;text-align: right;white-space: nowrap;" | (166)2881
|}2882
2883
Mientras que los campos de desplazamiento homogéneo, empotrado y total en dirección <math display="inline">{y'}_B</math> del elemento <math display="inline">B</math> son respectivamente:2884
2885
{| class="formulaSCP" style="width: 100%; text-align: left;" 2886
|-2887
| 2888
{| style="text-align: left; margin:auto;width: 100%;" 2889
|-2890
| style="text-align: center;" | <math>{v_B^h(x'}_B)=\frac{Q}{E} \left[-\frac{6025}{54} - \frac{823415}{54}\frac{{x'}_B}{L} + 17280\left(\frac{{x'}_B}{L} \right)^2 - 1920\left(\frac{{x'}_B}{L} \right)^3 \right] </math>2891
|}2892
| style="width: 5px;text-align: right;white-space: nowrap;" | (167)2893
|}2894
2895
{| class="formulaSCP" style="width: 100%; text-align: left;" 2896
|-2897
| 2898
{| style="text-align: left; margin:auto;width: 100%;" 2899
|-2900
| style="text-align: center;" | <math>{v_B^f(x'}_B)=\frac{Q}{E} \left[-17280\left(\frac{{x'}_B}{L} \right)^2+40320\left(\frac{{x'}_B}{L} \right)^3 -28800\left(\frac{{x'}_B}{L} \right)^4+5760\left(\frac{{x'}_B}{L} \right)^5 \right] </math>2901
|}2902
| style="width: 5px;text-align: right;white-space: nowrap;" | (168)2903
|}2904
2905
{| class="formulaSCP" style="width: 100%; text-align: left;" 2906
|-2907
| 2908
{| style="text-align: left; margin:auto;width: 100%;" 2909
|-2910
| style="text-align: center;" | <math>{v_B(x'}_B)=\frac{Q}{E} \left[-\frac{6025}{54}-\frac{823415}{54}\frac{{x'}_B}{L} +38400 \left(\frac{{x'}_B}{L} \right)^3-28800\left(\frac{{x'}_B}{L} \right)^4+5760\left(\frac{{x'}_B}{L} \right)^5 \right] </math>2911
|}2912
| style="width: 5px;text-align: right;white-space: nowrap;" | (169)2913
|}2914
2915
Como síntesis de los campos de desplazamiento calculados anteriormente en la Figura [[#img-17d|17d]] se presenta la configuración deformada de la estructura.2916
2917
<u>Cálculo de las fuerzas internas</u>2918
2919
A partir de la derivación de los campos de desplazamientos en coordenadas locales de ambos elementos se obtiene las fuerzas internas en estos (ecuaciones [[#eq-2|(2)]] y [[#eq-4|(4)]]):2920
2921
{| class="formulaSCP" style="width: 100%; text-align: left;" 2922
|-2923
| 2924
{| style="text-align: left; margin:auto;width: 100%;" 2925
|-2926
| style="text-align: center;" | <math>{P_A(x'}_A)=AE \dfrac{{du'}_A}{{dx'}_A}{(x'}_A)= \begin{cases}QL \left[-\dfrac{727}{1800} + \dfrac{12}{25}\dfrac{{x'}_A}{L}-\dfrac{12}{25} \left(\dfrac{{x'}_A}{L}\right)^2 \right] \qquad &{ 0 < x'}_A < \dfrac{L}{2} \\[0.4cm] QL \left[-\dfrac{1159}{1800} + \dfrac{24}{25}\dfrac{{x'}_A}{L}-\dfrac{12}{25} \left(\dfrac{{x'}_A}{L}\right)^2 \right] & \dfrac{L}{2}{ < x'}L < L \end{cases} </math>2927
|}2928
| style="width: 5px;text-align: right;white-space: nowrap;" | (170)2929
|}2930
2931
{| class="formulaSCP" style="width: 100%; text-align: left;" 2932
|-2933
| 2934
{| style="text-align: left; margin:auto;width: 100%;" 2935
|-2936
| style="text-align: center;" | <math>{V_A(x'}I )=-EI \dfrac{{d^3 v'}_A}{\left.{dx'}_A \right.^3}{(x'}_A)= \begin{cases}QL \left[-\dfrac{14}{75} + \dfrac{16}{25}\dfrac{{x'}_A}{L}-\dfrac{16}{25} \left(\dfrac{{x'}_A}{L}\right)^2 \right] \qquad &{ 0 < x'}_A \leq \dfrac{L}{2} \\[0.4cm] QL \left[-\dfrac{38}{75} + \dfrac{32}{25}\dfrac{{x'}_A}{L}-\dfrac{16}{25} \left(\dfrac{{x'}_A}{L}\right)^2 \right] & \dfrac{L}{2} \leq {x'} < L \end{cases} </math>2937
|}2938
| style="width: 5px;text-align: right;white-space: nowrap;" | (171)2939
|}2940
2941
{| class="formulaSCP" style="width: 100%; text-align: left;" 2942
|-2943
| 2944
{| style="text-align: left; margin:auto;width: 100%;" 2945
|-2946
| style="text-align: center;" | <math>{M_A(x'}_A)=EI \dfrac{{d^2 v'}_A}{\left.{dx'}_A \right.^2}{(x'}_A) \begin{cases}QL^2 \left[\dfrac{14}{75}\dfrac{{x'}_A}{L} - \dfrac{8}{25}\left(\dfrac{{x'}_A}{L}\right)^2 +\dfrac{16}{75} \left(\dfrac{{x'}_A}{L}\right)^3 \right]\qquad &{ 0 < x'}_A \leq \dfrac{L}{2} \\[0.3cm] QL^2 \left[-\dfrac{2}{25}+\dfrac{38}{75}\dfrac{{x'}_A}{L} - \dfrac{16}{25}\left(\dfrac{{x'}_A}{L}\right)^2 +\dfrac{16}{75} \left(\dfrac{{x'}_A}{L}\right)^3 \right]& \dfrac{L}{2} \leq {x'} < L \end{cases} </math>2947
|}2948
| style="width: 5px;text-align: right;white-space: nowrap;" | (172)2949
|}2950
2951
{| class="formulaSCP" style="width: 100%; text-align: left;" 2952
|-2953
| 2954
{| style="text-align: left; margin:auto;width: 100%;" 2955
|-2956
| style="text-align: center;" | <math>{P_B(x'}_B)=AE \dfrac{{du'}_B}{{x'}_B}{(x'}=QL L \left[-\frac{313}{1800}+\frac{12}{25} \frac{{x'}_B}{L}-\frac{6}{25} \left(\frac{{x'}_B}{L}\right)^2 \right]</math>2957
| style="width: 5px;text-align: right;white-space: nowrap;" | (173.a)2958
|-2959
| style="text-align: center;" | <math>{ V_B(x'}_B)=EI \dfrac{{d^3 v'}_B}{\left.{dx'}_B \right.^3}{(x'}_B)=QL\left[-\frac{3}{25}+\frac{9}{25}\frac{{x'}_B}{L} - \frac{9}{50} \left(\frac{{x'}_B}{L}\right)^2 \right]</math>2960
| style="width: 5px;text-align: right;white-space: nowrap;" | (173.b)2961
|-2962
| style="text-align: center;" | <math>{ M_B(x'}_B)=EI \dfrac{{d^2 v'}_B}{\left.{dx'}_B \right.^2}{(x'}_QL^2L^2 \left[\frac{3}{25}\frac{{x'}_B}{L}-\frac{9}{50}\left(\frac{{x'}_B}{L}\right)^2 +\frac{3}{50}\left(\frac{{x'}_B}{L}\right)^3 \right] </math>2963
| style="width: 5px;text-align: right;white-space: nowrap;" | (173.c)2964
|}2965
|}2966
2967
Como resumen en las [[#img-17a|Figuras 17a]] a [[#img-17c|17c]] se presentan los diagramas de fuerzas internas en los dos elementos que componen la estructura. 2968
2969
<div id='img-17a'></div>2970
<div id='img-17b'></div>2971
<div id='img-17c'></div>2972
<div id='img-17d'></div>2973
<div id='img-17'></div>2974
{| class="floating_imageSCP" style="text-align: center; border: 1px solid #BBB; margin: 1em auto; width: 85%;"2975
|-2976
|style="padding:10px;" |[[Image:Molina-Villegas_et_al_2020b-FiguraEjemplo3CampoFuerzaAxialDefinitivo.png|456px|Fuerza axial dividida QL, (\dfracPQL ).]]2977
|style="padding:10px;" |[[Image:Molina-Villegas_et_al_2020b-FiguraEjemplo3CampoFuerzaCortanteDefinitivo.png|456px|Fuerza cortante dividida QL, (\dfracVQL ).]]2978
|- style="text-align: center; font-size: 75%;"2979
| (a) Fuerza axial dividida <math display="inline">QL</math>, <math display="inline">\left(\dfrac{P}{QL} \right)</math>2980
| (b) Fuerza cortante dividida <math display="inline">QL</math>, <math display="inline">\left(\dfrac{V}{QL} \right)</math>2981
|-2982
|style="padding:10px;" |[[Image:Molina-Villegas_et_al_2020b-FiguraEjemplo3CampoMomentoFlectorDefinitivo.png|456px|Momento flector dividido QL², (\dfracMQL² ).]]2983
|style="padding:10px;" |[[Image:Molina-Villegas_et_al_2020b-FiguraEjemplo3CampoDesplazamientoDefinitivo.png|456px|Configuración deformada de la estructura, los desplazamientos adimensionalizados han sido escalados 0.00002 veces.]]2984
|- style="text-align: center; font-size: 75%;"2985
| (c) Momento flector dividido <math display="inline">QL^2</math>, <math display="inline">\left(\dfrac{M}{QL^2} \right)</math>2986
| (d) Configuración deformada de la estructura, los desplazamientos adimensionalizados han sido escalados 0.00002 veces2987
|- style="text-align: center; font-size: 75%;"2988
| colspan="2" style="padding:10px;" | '''Figura 17'''. Diagramas de fuerza internas adimensionalizadas y configuración deformada de la estructura2989
|}2990
2991
2992
En el siguiente enlace se encuentra el código de Python empleado para la solución de este ejemplo: 2993
2994
https://drive.google.com/open?id=1WNnbqC-09Odkh3GajgONgi8Al1sKhRz_2995
2996
==9. Conclusiones==2997
2998
<ol>2999
3000
<li>Se ha presentado una extensión del método de rigidez para estructuras reticulares planas, la cual puede ser aplicable para obtener la respuesta total de este tipo de estructural ante cualquier carga externa. Esta metodología ha sido nombrada el método de rigidez con funciones de Green (Green function stiffness method) y a partir de sus ideas básicas, esta metodología puede expandirse a otras configuraciones estructurales. </li>3001
<li>La metodología presentada, al ser definida de forma explícita para cualquier carga externa, permite minimizar el número de elementos que se emplearían respecto a aquellos usando el método de rigidez o el M.E.F. Como caso particular se tiene que en los textos clásicos de análisis matricial de estructuras <span id='citeF-15'></span><span id='citeF-16'></span><span id='citeF-17'></span>[[#cite-15|[15,16,17]]] es usual subdividir los elementos si las cargas externas son complejas y estas no aparecen en sus tablas de fuerzas de empotramiento, lo cual no es necesario con la presente metodología. </li>3002
<li>Se extiende el concepto de fuerzas de empotramiento típico del método de rigidez al concepto de campo de desplazamientos empotrado, el cual, al emplear las funciones de Green permite el cálculo de los campos de desplazamientos incluso cuando las fuerzas externas son complejas. </li>3003
<li>En la metodología presentada se da una gran importancia al cálculo de los campos de desplazamientos. Esto se debe a que los desplazamientos son las variables dependientes principales de los problemas de análisis estructural e incluso a partir de estos es posible calcular los campos de fuerzas internas. </li>3004
<li>Se presenta una forma novedosa de expresar a las funciones de Green en términos de las funciones de forma “exactas” para los diferentes tipos de elementos estructurales estudiados. Esta se base propiedades de simetría observadas tanto en las funciones de forma como en las funciones de Green. </li>3005
<li>Se hace explícita la gran importancia que tienen las funciones de forma “exactas” en la respuesta estructural, ya que estas no solo son la base para el cálculo del campo de desplazamiento homogéneo sinó también del empotrado pues aparecen de forma natural en las funciones de Green y en las fuerzas de empotramiento. </li>3006
<li>En los apéndices se presenta la equivalencia entre la metodología presentada en este artículo, la cual parte de las ecuaciones diferenciales gobernantes para cuatro tipos de elementos diferentes y aquella obtenida por medio de una formulación “exacta” del M.E.F. (la cual parte de la forma débil de dichas ecuaciones diferenciales). </li>3007
3008
</ol>3009
3010
==10. Agradecimientos==3011
3012
Las ideas fundamentales de este artículo han nacido del los cursos de análisis estructural y mecánica estructural que el autor Juan Camilo Molina-Villegas ha dictado en lo últimos años en la Universidad de Medellín y en la Universidad Nacional de Colombia - Sede Medellín, y de los cuales han sido estudiantes los otros dos autores. Los comentarios de muchos de los estudiantes de dichos cursos han contribuido al nivel actual de maduración de las ideas presentadas en este artículo, por lo cual los autores les agradecen infinitamente.3013
3014
==Apéndices==3015
3016
===A. Formulación exacta del M.E.F. para un elemento tipo barra===3017
3018
A continuación se presentará una formulación “exacta” del M.E.F. la cual es equivalente a la presentada en la sección [[#4 Formulación analítica del método de rigidez con funciones de Green para elementos tipo barra|4]], la cual también se basa en la solución del P.V.F [[#eq-8|(8)]] pero ahora a partir de la llamada forma débil de [[#eq-8.a|(8.a)]] en lugar de esta directamente. De forma similar a como se indicó para el método de rigidez con funciones de Green, el campo de desplazamientos se expresará como:3019
3020
{| class="formulaSCP" style="width: 100%; text-align: left;" 3021
|-3022
| 3023
{| style="text-align: left; margin:auto;width: 100%;" 3024
|-3025
| style="text-align: center;" | <math>u(x)=u_h(x)+u_f(x)=\psi _1(x)u_i+\psi _4(x)u_j+u_f(x) </math>3026
|}3027
| style="width: 5px;text-align: right;white-space: nowrap;" | (174)3028
|}3029
3030
donde <math display="inline">\psi _1(x)</math> y <math display="inline">\psi _4(x)</math> son las funciones de forma presentadas en [[#eq-12|(12)]] y <math display="inline">u_f(x)</math> se calcula según lo presentado en [[#eq-22|(22)]].3031
3032
Además, es fácil probar que las funciones de forma <math display="inline">\psi _1(x)</math> y <math display="inline">\psi _4(x)</math> cumplen la siguiente propiedad asociada con [[#eq-10.a|(10.a)]] (ecuación diferencial del campo homogeneo):3033
3034
<span id="eq-175"></span>3035
{| class="formulaSCP" style="width: 100%; text-align: left;" 3036
|-3037
| 3038
{| style="text-align: left; margin:auto;width: 100%;" 3039
|-3040
| style="text-align: center;" | <math>\dfrac{d^2 \psi _i}{dx^2}(x)=0 \quad i=1,4 </math>3041
|}3042
| style="width: 5px;text-align: right;white-space: nowrap;" | (175)3043
|}3044
3045
Multiplicando a ambos lados de [[#eq-8.a|(8.a)]] por una función de peso o ponderación <math display="inline">w(x)</math> se obtiene:3046
3047
<span id="eq-176"></span>3048
{| class="formulaSCP" style="width: 100%; text-align: left;" 3049
|-3050
| 3051
{| style="text-align: left; margin:auto;width: 100%;" 3052
|-3053
| style="text-align: center;" | <math>AE\dfrac{d^2 u}{dx^2}(x)w(x)=-p(x)w(x) </math>3054
|}3055
| style="width: 5px;text-align: right;white-space: nowrap;" | (176)3056
|}3057
3058
Ahora, integrando a ambos lados de [[#eq-176|(176)]] con respecto a <math display="inline">x</math> entre 0 y <math display="inline">L</math> se obtiene:3059
3060
{| class="formulaSCP" style="width: 100%; text-align: left;" 3061
|-3062
| 3063
{| style="text-align: left; margin:auto;width: 100%;" 3064
|-3065
| style="text-align: center;" | <math>AE \int _0^L \left[\dfrac{d^2 u_h}{dx^2}(x)+\dfrac{d^2 u_f}{dx^2}(x) \right]w(x)dx =-\int _0^L p(x)w(x)dx </math>3066
|}3067
| style="width: 5px;text-align: right;white-space: nowrap;" | (177)3068
|}3069
3070
E integrando por partes en el lado izquierdo de la anterior ecuación el resultado es:3071
3072
{| class="formulaSCP" style="width: 100%; text-align: left;" 3073
|-3074
| 3075
{| style="text-align: left; margin:auto;width: 100%;" 3076
|-3077
| style="text-align: center;" | <math>AE \left[\dfrac{du_h}{dx}(x) w(x)+\dfrac{du_f}{dx}(x) w(x) \right]_{x=0}^{x=L} -AE \int _0^L \left[\dfrac{du_h}{dx}(x)+\dfrac{du_f}{dx}(x) \right]\dfrac{dw}{dx}(x)dx =-\int _0^L p(x)w(x)dx </math>3078
|}3079
| style="width: 5px;text-align: right;white-space: nowrap;" | (178)3080
|}3081
3082
La cual luego de evaluar el primer y reordenarse, da lugar a:3083
3084
<span id="eq-179"></span>3085
{| class="formulaSCP" style="width: 100%; text-align: left;" 3086
|-3087
| 3088
{| style="text-align: left; margin:auto;width: 100%;" 3089
|-3090
| style="text-align: center;" | <math>FX_i w(0)+FX_j w(L)= AE \int _0^L \left[\dfrac{du_h}{dx}(x)+\dfrac{du_f}{dx}(x) \right]\dfrac{dw}{dx}(x)dx -\int _0^L p(x)w(x)dx </math>3091
|}3092
| style="width: 5px;text-align: right;white-space: nowrap;" | (179)3093
|}3094
3095
Ahora si se emplean como las funciones de ponderación o peso (<math display="inline">w(x)</math>) a las funciones de forma (<math display="inline">\psi _1(x)</math> y <math display="inline">\psi _4(x)</math>) se tiene que:3096
3097
{| class="formulaSCP" style="width: 100%; text-align: left;" 3098
|-3099
| 3100
{| style="text-align: left; margin:auto;width: 100%;" 3101
|-3102
| style="text-align: center;" | <math>\int _0^L \dfrac{du_f}{dx}(x) \dfrac{dw}{dx}(x) dx=\left.\dfrac{dw}{dx}(x) u_f(x) \right|_{x=0}^{x=L} -\int _0^L u_f(x) \dfrac{d^2 w}{dx^2}(x) dx=0-0=0 </math>3103
|}3104
| style="width: 5px;text-align: right;white-space: nowrap;" | (180)3105
|}3106
3107
Lo anterior debido a que <math display="inline">u_f(0)=u_f(L)=0</math> y a [[#eq-175|(175)]].3108
3109
Con lo cual [[#eq-179|(179)]] se puede reescribir como:3110
3111
<span id="eq-181"></span>3112
{| class="formulaSCP" style="width: 100%; text-align: left;" 3113
|-3114
| 3115
{| style="text-align: left; margin:auto;width: 100%;" 3116
|-3117
| style="text-align: center;" | <math>FX_i w(0)+FX_j w(L)=AE \int _0^L \dfrac{du_h}{dx}(x) \dfrac{dw}{dx}(x)dx -\int _0^L p(x)w(x)dx </math>3118
|}3119
| style="width: 5px;text-align: right;white-space: nowrap;" | (181)3120
|}3121
3122
Ahora, si como caso particular primero se emplea <math display="inline">\psi _1(x)</math> en lugar de <math display="inline">w(x)</math> y luego <math display="inline">\psi _4(x)</math>, a partir de [[#eq-181|(181)]] se obtiene respectivamente: <span id="eq-182"></span>3123
3124
{| class="formulaSCP" style="width: 100%; text-align: left;" 3125
|-3126
| 3127
{| style="text-align: left; margin:auto;width: 100%;" 3128
|-3129
| style="text-align: center;" | <math>FX_i=\dfrac{AE}{L} \left(u_i-u_j \right)-\int _0^L \psi _1(x) p(x)dx</math>3130
| style="width: 5px;text-align: right;white-space: nowrap;" | (182.a)3131
|-3132
| style="text-align: center;" | <math> FX_j=\dfrac{AE}{L} \left(-u_i+u_j \right)-\int _0^L \psi _4(x) p(x)dx </math>3133
| style="width: 5px;text-align: right;white-space: nowrap;" | (182.b)3134
|}3135
|}3136
3137
La cual es equivalente a la formulación del método de rigidez para elementos tipo barra de sección constante y material elástico lineal presentada en [[#eq-26|(26)]].3138
3139
===B. Formulación exacta del M.E.F. para un elemento tipo viga===3140
3141
Ahora, de forma similar a como se realizó en el apéndice [[#A Formulación exacta del M.E.F. para un elemento tipo barra|A]] para el elemento tipo barra, se procederá a realizar la formulación “exacta” del M.E.F. para un elemento tipo viga de sección transversal constante. Al igual que lo presentado en la sección [[#5 Formulación analítica del método de rigidez con funciones de Green para elementos tipo viga|5]], el objetivo es realizar esta formulación mediante la solución del P.V.F. [[#eq-27|(27)]] pero ahora empleando la forma de débil de la E.D. [[#eq-27.a|(27.a)]] en lugar de esta directamente. A diferencial de la formulación tradicional del M.E.F., en esta alternativa el campo de desplazamientos no solo dependerá de los desplazamientos y rotaciones de los extremos del elemento (campo homogéneo) sino también de la carga externa (campo empotrado), es decir:3142
3143
<span id="eq-183"></span>3144
{| class="formulaSCP" style="width: 100%; text-align: left;" 3145
|-3146
| 3147
{| style="text-align: left; margin:auto;width: 100%;" 3148
|-3149
| style="text-align: center;" | <math>v(x)=v_h(x)+v_f(x)=\psi _2(x)v_i+\psi _3(x)\theta _i+\psi _5(x) v_j+\psi _6(x) \theta _j+v_f(x) </math>3150
|}3151
| style="width: 5px;text-align: right;white-space: nowrap;" | (183)3152
|}3153
3154
donde una propiedad importante de las funciones de forma <math display="inline">\psi _2(x)</math>, <math display="inline">\psi _3(x)</math>, <math display="inline">\psi _5(x)</math> y <math display="inline">\psi _6(x)</math> es que estas cumplen la siguiente ecuación diferencial:3155
3156
<span id="eq-184"></span>3157
{| class="formulaSCP" style="width: 100%; text-align: left;" 3158
|-3159
| 3160
{| style="text-align: left; margin:auto;width: 100%;" 3161
|-3162
| style="text-align: center;" | <math>\dfrac{d^4 \psi _i}{dx^4}(x)=0 i=2,3,5,6 </math>3163
|}3164
| style="width: 5px;text-align: right;white-space: nowrap;" | (184)3165
|}3166
3167
Multiplicando por una función de peso o ponderación <math display="inline">w(x)</math> a ambos lados de [[#eq-27.a|(27.a)]] se obtiene:3168
3169
<span id="eq-185"></span>3170
{| class="formulaSCP" style="width: 100%; text-align: left;" 3171
|-3172
| 3173
{| style="text-align: left; margin:auto;width: 100%;" 3174
|-3175
| style="text-align: center;" | <math>EI\frac{d^4 v}{dx^4}(x) w(x)=q(x) w(x) </math>3176
|}3177
| style="width: 5px;text-align: right;white-space: nowrap;" | (185)3178
|}3179
3180
E integrando con respecto a <math display="inline">x</math> entre 0 y <math display="inline">L</math> a ambos lados de [[#eq-185|(185)]] se obtiene:3181
3182
{| class="formulaSCP" style="width: 100%; text-align: left;" 3183
|-3184
| 3185
{| style="text-align: left; margin:auto;width: 100%;" 3186
|-3187
| style="text-align: center;" | <math>EI\int _0^L \frac{d^4 v}{dx^4}(x) w(x) dx=\int _0^L q(x) w(x) dx </math>3188
|}3189
| style="width: 5px;text-align: right;white-space: nowrap;" | (186)3190
|}3191
3192
Resolviendo con integración por partes la integral del lado izquierdo de la anterior ecuación se obtiene:3193
3194
{| class="formulaSCP" style="width: 100%; text-align: left;" 3195
|-3196
| 3197
{| style="text-align: left; margin:auto;width: 100%;" 3198
|-3199
| style="text-align: center;" | <math>EI \left[\left.\frac{d^3 v}{dx^3}(x)w(x) \right|_{x=0}^{x=L}-\int _0^L \frac{d^3 v}{dx^3}(x)\frac{dw}{dx}(x)dx \right]=\int _0^L q(x)w(x)dx </math>3200
|}3201
| style="width: 5px;text-align: right;white-space: nowrap;" | (187)3202
|}3203
3204
Ahora, teniendo en cuenta que la fuerza cortante se obtiene a partir del campo de desplazamiento vertical como <math display="inline">V(x)=-EI \dfrac{d^3v}{dx^3}(x)</math>, se obtiene:3205
3206
{| class="formulaSCP" style="width: 100%; text-align: left;" 3207
|-3208
| 3209
{| style="text-align: left; margin:auto;width: 100%;" 3210
|-3211
| style="text-align: center;" | <math>-V(L)w(L)+V(0)w(0) -EI \int _0^L \frac{d^3 v}{dx^3}(x)\frac{dw}{dx}(x)dx =\int _0^L q(x)w(x)dx </math>3212
|}3213
| style="width: 5px;text-align: right;white-space: nowrap;" | (188)3214
|}3215
3216
Mientras que debido a que <math display="inline">FY_i=-V(0)</math> y <math display="inline">FY_j=V(L)</math>, la anterior ecuación se reescribe como:3217
3218
{| class="formulaSCP" style="width: 100%; text-align: left;" 3219
|-3220
| 3221
{| style="text-align: left; margin:auto;width: 100%;" 3222
|-3223
| style="text-align: center;" | <math>-FY_iw(0)-FY_jw(L) -EI\int _0^L \dfrac{d^3 v}{dx^3}(x)\frac{dw}{dx}(x)dx=\int _0^L q(x)w(x)dx </math>3224
|}3225
| style="width: 5px;text-align: right;white-space: nowrap;" | (189)3226
|}3227
3228
Integrando por partes de nuevo, ahora en el tercer término del lado izquierdo de la ecuación anterior, se obtiene:3229
3230
{| class="formulaSCP" style="width: 100%; text-align: left;" 3231
|-3232
| 3233
{| style="text-align: left; margin:auto;width: 100%;" 3234
|-3235
| style="text-align: center;" | <math>-FY_iw(0)-FY_jw(L) -EI \left[\left.\frac{d^2 v}{dx^2}(x) \frac{dw}{dx}(x) \right|_{x=0}^{x=L} -\int _0^L \frac{d^2 v}{dx^2}(x)\frac{d^2 w}{dx^2}(x)dx \right]=\int _0^L q(x)w(x)dx </math>3236
|}3237
| style="width: 5px;text-align: right;white-space: nowrap;" | (190)3238
|}3239
3240
Por último, teniendo en cuenta que el campo de momentos interno se calcula como <math display="inline">M(x)=EI\dfrac{d^2 v}{dx^2}(x)</math> y que <math display="inline">M_i=-M(0)</math> y <math display="inline">M_j=M(L)</math>, la ecuación anterior se reescribe como:3241
3242
<span id="eq-191"></span>3243
{| class="formulaSCP" style="width: 100%; text-align: left;" 3244
|-3245
| 3246
{| style="text-align: left; margin:auto;width: 100%;" 3247
|-3248
| style="text-align: center;" | <math>FY_i w(0)+FY_j w(L)+M_i \frac{dw}{dx}(0)+M_j \frac{dw}{dx}(L)= EI\int _0^L \frac{d^2 v}{dx^2}(x)\frac{d^2 w}{dx^2}(x)dx-\int _0^L q(x)w(x)dx </math>3249
|}3250
| style="width: 5px;text-align: right;white-space: nowrap;" | (191)3251
|}3252
3253
Reemplazando [[#eq-183|(183)]] en el lado derecho de [[#eq-191|(191)]], se obtiene:3254
3255
<span id="eq-192"></span>3256
{| class="formulaSCP" style="width: 100%; text-align: left;" 3257
|-3258
| 3259
{| style="text-align: left; margin:auto;width: 100%;" 3260
|-3261
| style="text-align: center;" | <math>FY_i w(0)+FY_j w(L)+M_i \frac{dw}{dx}(0)+M_j \frac{dw}{dx}(L)= </math>3262
|-3263
| style="text-align: center;" | <math> EI\int _0^L \left[\frac{d^2 \psi _2}{dx^2}(x) v_i+\frac{d^2 \psi _3}{dx^2}(x) \theta _i+\frac{d^2 \psi _5}{dx^2}(x) v_j +\frac{d^2 \psi _6}{dx^2}(x) \theta _j +\frac{d^2 v_f}{dx^2}(x) \right]\frac{d^2 w}{dx^2}(x) dx-\int _0^L q(x)w(x)dx </math>3264
|}3265
| style="width: 5px;text-align: right;white-space: nowrap;" | (192)3266
|}3267
3268
Ahora, si como funciones de ponderación se emplean las funciones de forma, empleando integración por partes se prueba lo siguiente:3269
3270
<span id="eq-193"></span>3271
{| class="formulaSCP" style="width: 100%; text-align: left;" 3272
|-3273
| 3274
{| style="text-align: left; margin:auto;width: 100%;" 3275
|-3276
| style="text-align: center;" | <math>\int _0^L \frac{d^2 v_f}{dx^2}(x) \frac{d^2 w}{dx^2}(x)dx = \int _0^L \frac{d^2 v_f}{dx^2}(x) \frac{d^2 \psi _i }{dx^2}(x)dx i=2,3,5,6 </math>3277
|-3278
| style="text-align: center;" | <math> =\left.\dfrac{dv_f}{dx}(x)\dfrac{d^2 \psi _i}{dx^2}(x) \right|_{x=0}^{x=L} -\int _0^L \dfrac{dv_f}{dx}(x) \dfrac{d^3 \psi _i}{dx^3}(x)dx </math>3279
|-3280
| style="text-align: center;" | <math> =-\int _0^L \dfrac{dv_f}{dx}(x) \dfrac{d^3 \psi _i}{dx^3}(x)dx </math>3281
|-3282
| style="text-align: center;" | <math> =-\left.v_f(x) \dfrac{d^3 \psi _i}{dx^3}(x) \right|_{x=0}^{x=L}+\int _0^L v_f(x) \dfrac{d^4 \psi _i}{dx^4}(x)dx </math>3283
|-3284
| style="text-align: center;" | <math> =0 </math>3285
|}3286
| style="width: 5px;text-align: right;white-space: nowrap;" | (193)3287
|}3288
3289
donde se ha empleado [[#eq-184|(184)]] y que los valores de <math display="inline">v_f(x)</math> y <math display="inline">\dfrac{dv_f}{dx}(x)</math> son iguales a cero en <math display="inline">x=0</math> y <math display="inline">x=L</math>.3290
3291
Con lo cual, a partir de [[#eq-193|(193)]], la ecuación [[#eq-192|(192)]] se puede reescribir como:3292
3293
<span id="eq-194"></span>3294
{| class="formulaSCP" style="width: 100%; text-align: left;" 3295
|-3296
| 3297
{| style="text-align: left; margin:auto;width: 100%;" 3298
|-3299
| style="text-align: center;" | <math>FY_i w(0)+FY_j w(L)+M_i \frac{dw}{dx}(0)+M_j \frac{dw}{dx}(L)= </math>3300
|-3301
| style="text-align: center;" | <math> EI\int _0^L \left[\frac{d^2 \psi _2}{dx^2}(x) v_i+\frac{d^2 \psi _3}{dx^2}(x) \theta _i+\frac{d^2 \psi _5}{dx^2}(x) v_j +\frac{d^2 \psi _6}{dx^2}(x) \theta _j \right]\frac{d^2 w}{dx^2}(x) dx-\int _0^L q(x)w(x)dx </math>3302
|}3303
| style="width: 5px;text-align: right;white-space: nowrap;" | (194)3304
|}3305
3306
Si como caso particular primero se emplea <math display="inline">\psi _2(x)</math>, luego <math display="inline">\psi _3(x)</math>, <math display="inline">\psi _5(x)</math> y <math display="inline">\psi _6(x)</math>, a partir de [[#eq-194|(194)]] se obtienen las siguientes cuatro ecuaciones:3307
3308
{| class="formulaSCP" style="width: 100%; text-align: left;" 3309
|-3310
| 3311
{| style="text-align: left; margin:auto;width: 100%;" 3312
|-3313
| style="text-align: center;" | <math>FY_i=\dfrac{12EI}{L^3}v_i+\dfrac{6EI}{L^2}\theta _i-\dfrac{12EI}{L^3}v_j+\dfrac{6EI}{L^2}\theta _j -\int _0^L \psi _2(x) q(x) dx </math>3314
| style="width: 5px;text-align: right;white-space: nowrap;" | (195.a)3315
|-3316
| style="text-align: center;" | <math> M_i=\dfrac{6EI}{L^2}v_i+\dfrac{4EI}{L}\theta _i-\dfrac{6EI}{L^2}v_j+\dfrac{2EI}{L}\theta _j -\int _0^L \psi _3(x) q(x) dx </math>3317
| style="width: 5px;text-align: right;white-space: nowrap;" | (195.b)3318
|-3319
| style="text-align: center;" | <math> FY_j=-\dfrac{12EI}{L^3}v_i-\dfrac{6EI}{L^2}\theta _i+\dfrac{12EI}{L^3}v_j-\dfrac{6EI}{L^2}\theta _j -\int _0^L \psi _5(x) q(x) dx </math>3320
| style="width: 5px;text-align: right;white-space: nowrap;" | (195.c)3321
|-3322
| style="text-align: center;" | <math> M_j=\dfrac{6EI}{L^2}v_i+\dfrac{2EI}{L}\theta _i-\dfrac{6EI}{L^2}v_j+\dfrac{4EI}{L}\theta _j -\int _0^L \psi _6(x) q(x) dx </math>3323
| style="width: 5px;text-align: right;white-space: nowrap;" | (195.d)3324
|}3325
|}3326
3327
Que son equivalentes al sistema de ecuaciones presentado en [[#eq-52|(52)]].3328
3329
===C. Formulación exacta del M.E.F. para un elemento tipo viga sobre fundación flexible===3330
3331
Para este caso el objetivo es resolver el P.V.F. [[#eq-53|(53)]] pero ahora empleando la forma débil de [[#eq-53.a|(53.a)]] en lugar de esta directamente.3332
3333
Como se presentó en [[#eq-83|(83)]], la solución de [[#eq-53.a|(53.a)]] se expresa como la suma de un campo homogéneo (<math display="inline">v_h(x)</math>) y un campo empotrado (<math display="inline">v_f(x)</math>), es decir:3334
3335
<span id="eq-196"></span>3336
{| class="formulaSCP" style="width: 100%; text-align: left;" 3337
|-3338
| 3339
{| style="text-align: left; margin:auto;width: 100%;" 3340
|-3341
| style="text-align: center;" | <math>v(x)=v_h(x)+v_f(x) </math>3342
|}3343
| style="width: 5px;text-align: right;white-space: nowrap;" | (196)3344
|}3345
3346
donde el campo homogéneo se expresa en función de los desplazamientos y rotaciones en los extremos del elemento y de las funciones de forma <math display="inline">\Psi _2(x)</math>, <math display="inline">\Psi _3(x)</math>, <math display="inline">\Psi _5(x)</math> y <math display="inline">\Psi _6(x)</math> de la siguiente manera:3347
3348
<span id="eq-197"></span>3349
{| class="formulaSCP" style="width: 100%; text-align: left;" 3350
|-3351
| 3352
{| style="text-align: left; margin:auto;width: 100%;" 3353
|-3354
| style="text-align: center;" | <math>v_h(x)=\Psi _2(x)v_i+\Psi _3(x)\theta _i+\Psi _5(x) v_j+\Psi _6(x) \theta _j </math>3355
|}3356
| style="width: 5px;text-align: right;white-space: nowrap;" | (197)3357
|}3358
3359
Mientras que el campo empotrado se calcula solo empleando la carga externa y las funciones de Green.3360
3361
Con lo cual, el campo de desplazamiento total, se expresa ahora como:3362
3363
<span id="eq-198"></span>3364
{| class="formulaSCP" style="width: 100%; text-align: left;" 3365
|-3366
| 3367
{| style="text-align: left; margin:auto;width: 100%;" 3368
|-3369
| style="text-align: center;" | <math>v(x)=\Psi _2(x)v_i+\Psi _3(x)\theta _i+\Psi _5(x) v_j+\Psi _6(x) \theta _j+v_f(x) </math>3370
|}3371
| style="width: 5px;text-align: right;white-space: nowrap;" | (198)3372
|}3373
3374
Es importante resaltar que debido a que <math display="inline">v_h(x)</math> es una combinación lineal de las funciones de forma <math display="inline">\Psi _2(x)</math>, <math display="inline">\Psi _3(x)</math>, <math display="inline">\Psi _5(x)</math> y <math display="inline">\Psi _6(x)</math>, estas últimas cumplen la propiedad de ser solución de la ecuación diferencial homogénea asociada con [[#eq-53.a|(53.a)]], es decir:3375
3376
<span id="eq-199"></span>3377
{| class="formulaSCP" style="width: 100%; text-align: left;" 3378
|-3379
| 3380
{| style="text-align: left; margin:auto;width: 100%;" 3381
|-3382
| style="text-align: center;" | <math>EI\dfrac{d^4 \Psi _i}{d x^4}(x)+k\Psi _i(x)=0 \quad i=2,3,5,6 </math>3383
|}3384
| style="width: 5px;text-align: right;white-space: nowrap;" | (199)3385
|}3386
3387
Multiplicando por una función de peso o ponderación <math display="inline">w(x)</math> a ambos lados de [[#eq-5|(5)]] (o [[#eq-53.a|(53.a)]]) se obtiene:3388
3389
<span id="eq-200"></span>3390
{| class="formulaSCP" style="width: 100%; text-align: left;" 3391
|-3392
| 3393
{| style="text-align: left; margin:auto;width: 100%;" 3394
|-3395
| style="text-align: center;" | <math>EI\frac{d^4 v}{d x^4}(x)w(x)+kv(x)w(x)=q(x)w(x) </math>3396
|}3397
| style="width: 5px;text-align: right;white-space: nowrap;" | (200)3398
|}3399
3400
E integrando con respecto a <math display="inline">x</math> entre 0 y <math display="inline">L</math> a ambos lados de [[#eq-200|(200)]] se obtiene:3401
3402
{| class="formulaSCP" style="width: 100%; text-align: left;" 3403
|-3404
| 3405
{| style="text-align: left; margin:auto;width: 100%;" 3406
|-3407
| style="text-align: center;" | <math>EI \int _0^L \frac{d^4 v}{d x^4}(x)w(x)dx=-k \int _0^L v(x)w(x)dx+\int _0^L q(x)w(x) dx </math>3408
|}3409
| style="width: 5px;text-align: right;white-space: nowrap;" | (201)3410
|}3411
3412
Resolviendo con integración por partes la integral del lado izquierdo de la anterior ecuación, da como resultado:3413
3414
{| class="formulaSCP" style="width: 100%; text-align: left;" 3415
|-3416
| 3417
{| style="text-align: left; margin:auto;width: 100%;" 3418
|-3419
| style="text-align: center;" | <math>EI \left[\left.\frac{d^3 v}{d x^3}(x)w(x) \right|_{x=0}^{x=L}-\int _0^L \frac{d ^3 v}{d x^3}(x)\frac{dw}{dx}(x)dx \right] =-k \int _0^L v(x)w(x)dx+\int _0^L q(x)w(x) dx </math>3420
|}3421
| style="width: 5px;text-align: right;white-space: nowrap;" | (202)3422
|}3423
3424
Ahora teniendo en cuenta que la fuerza cortante se obtiene a partir del campo de desplazamiento vertical como <math display="inline">V(x)=-EI \dfrac{d^3v}{dx^3}(x)</math>, se obtiene:3425
3426
{| class="formulaSCP" style="width: 100%; text-align: left;" 3427
|-3428
| 3429
{| style="text-align: left; margin:auto;width: 100%;" 3430
|-3431
| style="text-align: center;" | <math>-V(L)w(L)+V(0)w(0)-EI \int _0^L \frac{d^3 v}{d x^3}(x)\frac{dw}{dx}(x)dx =-k \int _0^L v(x)w(x)dx+\int _0^L q(x)w(x) dx </math>3432
|}3433
| style="width: 5px;text-align: right;white-space: nowrap;" | (203)3434
|}3435
3436
Teniendo en cuenta que <math display="inline">FY_i=-V(0)</math> y <math display="inline">FY_j=V(L)</math>, la anterior ecuación toma la siguiente forma:3437
3438
{| class="formulaSCP" style="width: 100%; text-align: left;" 3439
|-3440
| 3441
{| style="text-align: left; margin:auto;width: 100%;" 3442
|-3443
| style="text-align: center;" | <math>-FY_i w(0)-FY_j w(L)-EI \int _0^L \dfrac{d^3 v}{dx^3}(x)\frac{dw}{dx}(x)dx =-k \int _0^L v(x)w(x)dx+\int _0^L q(x)w(x) dx </math>3444
|}3445
| style="width: 5px;text-align: right;white-space: nowrap;" | (204)3446
|}3447
3448
Integrando por partes de nuevo, ahora en el tercer término del lado izquierdo de la ecuación anterior, se obtiene:3449
3450
{| class="formulaSCP" style="width: 100%; text-align: left;" 3451
|-3452
| 3453
{| style="text-align: left; margin:auto;width: 100%;" 3454
|-3455
| style="text-align: center;" | <math>-FY_i w(0)-FY_j w(L) -EI \left[\left.\frac{d^2 v}{dx^2}(x) \frac{dw}{dx}(x) \right|_{x=0}^{x=L} -\int _0^L \frac{d^2 v}{dx^2}(x)\frac{d^2 w}{dx^2}(x)dx \right]=</math>3456
|-3457
| style="text-align: center;" | <math> -k \int _0^L v(x)w(x)dx+\int _0^L q(x)w(x) dx </math>3458
|}3459
| style="width: 5px;text-align: right;white-space: nowrap;" | (205)3460
|}3461
3462
Por último, teniendo en cuenta que el campo de momentos interno se calcula como <math display="inline">M(x)=EI\dfrac{d^2 v}{dx^2}(x)</math> y que <math display="inline">M_i=-M(0)</math> y <math display="inline">M_j=M(L)</math>, la ecuación anterior se reescribe como:3463
3464
<span id="eq-206"></span>3465
{| class="formulaSCP" style="width: 100%; text-align: left;" 3466
|-3467
| 3468
{| style="text-align: left; margin:auto;width: 100%;" 3469
|-3470
| style="text-align: center;" | <math>FY_i w(0)+FY_j w(L)+M_i \frac{dw}{dx}(0) +M_j \frac{dw}{dx}(L)=</math>3471
|-3472
| style="text-align: center;" | <math> EI\int _0^L \frac{d^2 v}{dx^2}(x)\frac{d^2 w}{dx^2}(x)dx +k \int _0^L v(x)w(x)dx-\int _0^L q(x)w(x) dx </math>3473
|}3474
| style="width: 5px;text-align: right;white-space: nowrap;" | (206)3475
|}3476
3477
Reemplazando [[#eq-198|(198)]] en el lado derecho de [[#eq-206|(206)]], se obtiene:3478
3479
<span id="eq-207"></span>3480
{| class="formulaSCP" style="width: 100%; text-align: left;" 3481
|-3482
| 3483
{| style="text-align: left; margin:auto;width: 100%;" 3484
|-3485
| style="text-align: center;" | <math>FY_i w(0)+FY_j w(L)+M_i \frac{dw}{dx}(0) +M_j\frac{dw}{dx}(L)=</math>3486
|-3487
| style="text-align: center;" | <math> EI\int _0^L \left[\frac{d^2 \Psi _2}{dx^2}(x) v_i +\frac{d^2 \Psi _3}{dx^2}(x) \theta _i +\frac{d^2 \Psi _5}{dx^2}(x) v_j +\frac{d^2 \Psi _6}{dx^2}(x) \theta _j +\frac{d^2 v_f}{dx^2}(x) \right]\frac{d^2 w}{dx^2}(x) dx </math>3488
|-3489
| style="text-align: center;" | <math> +k \int _0^L \left[\Psi _2(x)v_i+\Psi _3(x)\theta _i+\Psi _5(x) v_j+\Psi _6(x) \theta _j +v_f(x) \right]w(x)dx -\int _0^L q(x)w(x) dx </math>3490
|}3491
| style="width: 5px;text-align: right;white-space: nowrap;" | (207)3492
|}3493
3494
Ahora, si como funciones de ponderación se emplean las funciones de forma, empleando integración por partes se prueba lo siguiente:3495
3496
<span id="eq-208"></span>3497
{| class="formulaSCP" style="width: 100%; text-align: left;" 3498
|-3499
| 3500
{| style="text-align: left; margin:auto;width: 100%;" 3501
|-3502
| style="text-align: center;" | <math>EI \int _0^L \frac{d^2 v_f}{dx^2}(x) \frac{d^2 w}{dx^2}(x)dx +k\int _0^L v_f(x)w(x)dx= </math>3503
|-3504
| style="text-align: center;" | <math> EI \int _0^L \frac{d^2 v_f}{dx^2}(x) \frac{d^2 \Psi _i }{dx^2}(x)dx +k\int _0^L v_f(x) \Psi _i(x)dx = </math>3505
|-3506
| style="text-align: center;" | <math> EI \left.\dfrac{dv_f}{dx}(x)\dfrac{d^2 \Psi _i}{dx^2}(x) \right|_{x=0}^{x=L} -EI \int _0^L \dfrac{dv_f}{dx}(x) \dfrac{d^3 \psi _i}{dx^3}(x)dx +k\int _0^L v_f(x) \Psi _i(x)dx = </math>3507
|-3508
| style="text-align: center;" | <math> -EI \int _0^L \dfrac{dv_f}{dx}(x) \dfrac{d^3 \psi _i}{dx^3}(x)dx +k\int _0^L v_f(x) \Psi _i(x)dx = </math>3509
|-3510
| style="text-align: center;" | <math> -EI \left.v_f(x) \dfrac{d^3 \Psi _i}{dx^3}(x) \right|_{x=0}^{x=L} +\int _0^L v_f(x) \dfrac{d^4 \Psi _i}{\partial x^4}(x)dx +k \int _0^L v_f(x) \Psi _i(x)dx = </math>3511
|-3512
| style="text-align: center;" | <math> \int _0^L v_f(x) \left[\dfrac{d^4 \Psi _i}{dx^4}(x) +k \psi _i(x) \right]dx =0 </math>3513
|}3514
| style="width: 5px;text-align: right;white-space: nowrap;" | (208)3515
|}3516
3517
donde se ha empleado [[#eq-199|(199)]] y que los valores de <math display="inline">v_f(x)</math> y <math display="inline">\dfrac{dv_f}{dx}(x)</math> son iguales a cero en <math display="inline">x=0</math> y <math display="inline">x=L</math>.3518
3519
Empleando [[#eq-208|(208)]] en [[#eq-207|(207)]] esta última toma la siguiente forma (donde para ser coherentes con [[#eq-208|(208)]], se ha tomado que <math display="inline">w(x)=\Psi _l(x)</math>):3520
3521
<span id="eq-209"></span>3522
{| class="formulaSCP" style="width: 100%; text-align: left;" 3523
|-3524
| 3525
{| style="text-align: left; margin:auto;width: 100%;" 3526
|-3527
| style="text-align: center;" | <math>FY_i \Psi _l(0)+FY_j \Psi _l(L)+M_i \frac{d\Psi _l}{dx}(0) +M_j\frac{d \Psi _l}{dx}(L)=</math>3528
|-3529
| style="text-align: center;" | <math> EI\int _0^L \left[\frac{d^2 \Psi _2}{dx^2}(x) v_i +\frac{d^2 \Psi _3}{dx^2}(x) \theta _i +\frac{d^2 \Psi _5}{dx^2}(x) v_j +\frac{d^2 \Psi _6}{dx^2}(x) \theta _j \right] \frac{d^2 \Psi _l }{dx^2}(x) dx </math>3530
|-3531
| style="text-align: center;" | <math> +k \int _0^L \Psi _l(x)\left[\Psi _2(x)v_i+\Psi _3(x)\theta _i+\Psi _5(x) v_j+\Psi _6(x) \theta _j\right]dx -\int _0^L q(x)\Psi _l(x) dx </math>3532
|}3533
| style="width: 5px;text-align: right;white-space: nowrap;" | (209)3534
|}3535
3536
Reemplazando <math display="inline">l</math> por 2,3,5 y 6 en [[#eq-209|(209)]] se obtienen cuatro ecuaciones, las cuales se expresan en forma matricial como:3537
3538
<span id="eq-210"></span>3539
{| class="formulaSCP" style="width: 100%; text-align: left;" 3540
|-3541
| 3542
{| style="text-align: left; margin:auto;width: 100%;" 3543
|-3544
| style="text-align: center;" | <math>\begin{Bmatrix}FY_i \\ M_i \\ FY_j \\ M_j \end{Bmatrix}= \begin{bmatrix}k_{22} & k_{23} & k_{25} & k_{26} \\ k_{32} & k_{33} & k_{35} & k_{36} \\ k_{52} & k_{53} & k_{55} & k_{56} \\ k_{62} & k_{63} & k_{65} & k_{66} \end{bmatrix} \begin{Bmatrix}v_i \\ \theta _i \\ v_j \\ \theta _j \end{Bmatrix} - \begin{Bmatrix}\int _0^L \Psi _2(x) q(x) dx \\ \int _0^L \Psi _3(x) q(x) dx \\ \int _0^L \Psi _5(x) q(x) dx \\ \int _0^L \Psi _6(x) q(x) dx \end{Bmatrix} </math>3545
|}3546
| style="width: 5px;text-align: right;white-space: nowrap;" | (210)3547
|}3548
3549
donde:3550
3551
{| class="formulaSCP" style="width: 100%; text-align: left;" 3552
|-3553
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{| style="text-align: left; margin:auto;width: 100%;" 3555
|-3556
| style="text-align: center;" | <math>k_{ij}= \int _0^L \left[EI \dfrac{d^2 \Psi _i}{dx^2}(x) \dfrac{d^2 \Psi _j}{dx^2}(x)+k \Psi _i(x) \Psi _j(x) \right]dx </math>3557
|}3558
| style="width: 5px;text-align: right;white-space: nowrap;" | (211)3559
|}3560
3561
Lo cual es equivalente a lo presentado en [[#eq-84|(84)]].3562
3563
==Referencias==3564
<div class="auto" style="text-align: left;width: auto; margin-left: auto; margin-right: auto;font-size: 85%;">3565
3566
<div id="cite-1"></div>3567
[[#citeF-1|[1]]] Challis L., Sheard F. The green of Green functions. American Institute of Physics, Physics Today, 56(12):41-46, 2003.3568
3569
<div id="cite-2"></div>3570
[[#citeF-2|[2]]] Duffy D.G. Green’s functions with applications. Chapman and Hall/CRC, 2015.3571
3572
<div id="cite-3"></div>3573
[[#citeF-3|[3]]] Banerjee P.K., Butterfield R. Boundary element methods in engineering science. McGraw-Hill, New York, 1981.3574
3575
<div id="cite-4"></div>3576
[[#citeF-4|[4]]] Sánchez-Sesma F.J., Ramos-Martínez J., Campillo M. An indirect boundary element method applied to simulate the seismic response of alluvial valleys for incident P, S and Rayleigh waves. Earthquake Engineering & Structural Dynamics, 22(4):279-295, 1993.3577
3578
<div id="cite-5"></div>3579
[[#citeF-5|[5]]] Fairweather G., Karageorghis A., Martin P.A. The method of fundamental solutions for scattering and radiation problems. Engineering Analysis with Boundary Elements, 27(7):759-769, 2003.3580
3581
<div id="cite-6"></div>3582
[[#citeF-6|[6]]] Thomson W.T. Transmission of elastic waves through a stratified solid medium. Journal of Applied Physics, 21(2):89-93, 1950.3583
3584
<div id="cite-7"></div>3585
[[#citeF-7|[7]]] Boussinesq J. Application des potentiels a l'étude de l'équilibre et du mouvement des solides élastiques. Gauthier-Villars, Imprimeur-Libraire, 1885.3586
3587
<div id="cite-8"></div>3588
[[#citeF-8|[8]]] Cerruti V. Ricerche intorno all'equilibrio de'corpi elastici isotropi: memoria. Coi tipi del Salviucci, 1882.3589
3590
<div id="cite-9"></div>3591
[[#citeF-9|[9]]] Mindlin R.D. Force at a point in the interior of a semi-infinite solid. AIP Physics, 7(5):195-202, 19336.3592
3593
<div id="cite-10"></div>3594
[[#citeF-10|[10]]] Stokes G.G. On dynamical theory of diffraction. Transactions of the Cambridge Philosophical Society, 9:1-48, 1849.3595
3596
<div id="cite-11"></div>3597
[[#citeF-11|[11]]] Lamb H. On the propagation of tremors over the surface of an elastic solid. Philosophical Transactions of the Royal Society of London, 203:1-42, 1904.3598
3599
<div id="cite-12"></div>3600
[[#citeF-12|[12]]] Chao C.C. Dynamical response of an elastic half-space to tangential surface loadings. Journal of Applied Mechanics, 27:559, 1960.3601
3602
<div id="cite-13"></div>3603
[[#citeF-13|[13]]] Kausel E. Fundamental solutions in elastodynamics: a compendium. Cambridge University Press, 2006.3604
3605
<div id="cite-14"></div>3606
[[#citeF-14|[14]]] Aki K., Richards P.G. Quantitative seismology. Univ. Science Books, 700 pp., 2002.3607
3608
<div id="cite-15"></div>3609
[[#citeF-15|[15]]] Colunga A.T. Análisis de estructuras con métodos matriciales. Limusa, 560 pp., 2007.3610
3611
<div id="cite-16"></div>3612
[[#citeF-16|[16]]] McCormac J.C. Structural Analysis: using classical and matrix methods. Wiley Hoboken, NJ, 2007.3613
3614
<div id="cite-17"></div>3615
[[#citeF-17|[17]]] Kassimali A. Matrix analysis of structures SI version. Cengage Learning, 640 pp., 2012.3616
3617
<div id="cite-18"></div>3618
[[#citeF-18|[18]]] Reddy J.N. An introduction to the finite element method. McGraw-Hill, 2006.3619
3620
<div id="cite-19"></div>3621
[[#citeF-19|[19]]] Bathe K.J. Finite element procedures. McGraw-Hill, 2006.3622
3623
<div id="cite-20"></div>3624
[[#citeF-20|[20]]] Hetényi M. Beams on elastic foundation: theory with applications in the fields of civil and mechanical engineering. University of Michigan, 1971.3625
3626
<div id="cite-21"></div>3627
[[#citeF-21|[21]]] Eisemberger M., Yankelevsky D.Z. Exact stiffness matrix for beams on elastic foundation. Computer & Structures, 21(6):1355-1359, 1985.3628
</div>3629
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Document information
Published on 23/09/20
Accepted on 14/09/20
Submitted on 01/01/20
Volume 36, Issue 3, 2020
DOI: 10.23967/j.rimni.2020.09.004
Licence: CC BY-NC-SA license
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