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<span id='centerContent'></span>
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<span id='centerInner'></span>
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<span id='tit0005'></span>
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=Um algoritmo baseado em evolução diferencial para problemas de otimização estrutural multiobjetivo com restrições=
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A differential evolution based algorithm for constrained multiobjective structural optimization problems
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D.E.C. Vargas[[#aff0005|<sup>a</sup>]]<sup>, </sup>[[#aff0025|<sup>e</sup>]]<sup>, </sup><sup>, </sup>, A.C.C. Lemonge[[#aff0010|<sup>b</sup>]]<sup>, </sup>, H.J.C. Barbosa[[#aff0015|<sup>c</sup>]]<sup>, </sup>[[#aff0020|<sup>d</sup>]]<sup>, </sup>, H.S. Bernardino[[#aff0015|<sup>c</sup>]]<sup>, </sup>
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<ul><li><span id='aff0005'></span>
14
<sup>a</sup>Programa de Pós-Graduação em Modelagem Computacional, Universidade Federal de Juiz de Fora, Juiz de Fora, Brasil</li>
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<li><span id='aff0010'></span>
16
<sup>b</sup>Departamento de Mecânica Aplicada e Computacional, Faculdade de Engenharia, Universidade Federal de Juiz de Fora, Juiz de Fora, Brasil</li>
17
<li><span id='aff0015'></span>
18
<sup>c</sup>Departamento de Ciência da Computação, Instituto de Ciências Exatas, Universidade Federal de Juiz de Fora, Juiz de Fora, Brasil</li>
19
<li><span id='aff0020'></span>
20
<sup>d</sup>Laboratório Nacional de Computação Científica, Petrópolis, Brasil</li>
21
<li><span id='aff0025'></span>
22
<sup>e</sup>Instituto Federal do Sudeste de Minas Gerais, campus Rio Pomba, Brasil</li>
23
</ul>
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Under a Creative Commons [http://creativecommons.org/licenses/by-nc-nd/4.0/ license]
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<span id='ppvPlaceHolder'></span>
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<span id='refersToAndreferredToBy'></span>
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<span id='referredToBy'></span>
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<span id='authorabs00051'></span>
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==Resumo==
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<span id='spar0005'></span>
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Problemas de otimização estrutural visam o aumento do desempenho da estrutura e a diminuição de seus custos garantindo, entretanto, os requisitos de segurança aplicáveis. Devido à natureza conflitante desses aspectos, a formulação de um problema de otimização estrutural como multiobjetivo é natural, embora pouco frequente, e tem a vantagem de apresentar um conjunto diversificado de soluções ao(s) tomador(es) de decisão. A literatura mostra que os algoritmos evolucionários (AE) são eficazes na obtenção de soluções em problemas de otimização multiobjetivo e que aqueles baseados em evolução diferencial (ED) são eficientes na resolução de problemas de otimização estrutural mono-objetivo, especialmente os que utilizam codificação real em suas variáveis de projeto. Por outro lado, nota-se a ausência da aplicação da ED na versão multiobjetivo desses problemas. Esse artigo apresenta uma análise do desempenho de um algoritmo baseado em ED em cinco exemplos de problemas de otimização estrutural multiobjetivo. Os resultados obtidos são comparados aos encontrados na literatura, indicando o potencial do algoritmo proposto.
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<span id='authorabs00152'></span>
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==Abstract==
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<span id='spar0015'></span>
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Structural optimization problems aim at increasing the performance of the structure while decreasing its costs guaranteeing, however, the applicable safety requirements. As these aspects are conflicting, the formulation of the structural optimization problem as multiobjective is natural but uncommon, and has the advantage of presenting a diverse set of solutions to the decision maker(s). The literature shows that Evolutionary Algorithms (EAs) are effective to obtain solutions in multiobjective optimization problems, and that the Differential Evolution (DE) based ones are efficient when solving structural mono-objective structural optimization problems, specially those with a real encoding of the design variables. On the other hand, one can note that DE has not yet been applied to the multiobjective version of these problems. This article presents a performance analysis of a DE-based algorithm in five multiobjective structural optimization problems. The obtained results are compared to those found in the literature, and the comparisons indicate the potential of the proposed algorithm.
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<span id='kwd_1'></span>
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==Palavras-chave==
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Otimização estrutural; Evolução diferencial; Otimização multiobjetivo
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<span id='kwd_2'></span>
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==Keywords==
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Structural Optimization; Differential Evolution; Multiobjective Optimization
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<span id='embeddedPDF'></span>
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<span id='SD_BA1P'></span>
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<span id='sec0005'></span>
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==1. Introdução==
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<span id='p0005'></span>
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A solução de problemas de otimização estrutural (OE) é de grande aplicabilidade na busca por concepções estruturais com baixo custo, alto desempenho, de fácil execução e manutenção e, também, mais recentemente, incorporando aspectos ambientais, desde sua construção até à sua utilização. Na sua quase totalidade, estes problemas apresentam restrições de várias naturezas que devem ser satisfeitas para que se obtenha uma solução candidata viável.
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<span id='p0010'></span>
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Em geral, os objetivos desejados são conflitantes, como a minimização de custo e a manutenção das condições mínimas de segurança, caracterizando assim um problema multiobjetivo. Devido a essa natureza conflitante, a resolução de um problema multiobjetivo obtém um conjunto diversificado de soluções de onde o(s) tomador(es) de decisão tem a oportunidade de selecionar aquela que melhor se adapta às suas preferências.
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<span id='p0015'></span>
68
Entre as várias técnicas para o tratamento de problemas multiobjetivo estão os algoritmos evolucionários (AE). Os AEs são considerados interessantes na obtenção de soluções desses problemas por serem capazes de lidar com características normalmente encontradas neles, tais como não-linearidade e não-diferenciabilidade [[#bib0005|[1]]].
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<span id='p0020'></span>
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Um exemplo frequente de problema de OE multiobjetivo consiste em encontrar as áreas das seções transversais das barras (variáveis de projeto) de uma treliça buscando minimizar simultaneamente o seu peso e o deslocamento máximo dos seus nós. Neste caso, as restrições podem ser as tensões normais máximas nas barras.
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<span id='p0025'></span>
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Em Angelo et al. [[#bib0010|[2]]] são discutidos 5 problemas desse tipo, comumente encontrados na literatura tratados como mono-objetivo. Naquele artigo os autores utilizaram 2 algoritmos baseados em colônia de formigas: ''Multi-objective Ant System'' (MOAS) e ''Multi-objective Ant Colony System'' (MOACS). Para o tratamento das restrições adotou-se a técnica de penalização adaptativa (APM), proposta por Barbosa e Lemonge  [[#bib0015|[3]]], cuja principal vantagem é a ausência de parâmetros a serem definidos pelo usuário. Os resultados apresentados mostraram que os algoritmos MOAS e MOACS foram capazes de gerar uma grande variedade de soluções, algumas delas muito próximas das soluções da versão mono-objetivo encontradas na literatura, sugerindo o bom desempenho dos algoritmos propostos.
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<span id='p0030'></span>
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Versões mono-objetivo de 4 desses 5 problemas foram testadas por Silva et al. [[#bib0020|[4]]] para avaliar o desempenho de um AE baseado em evolução diferencial (ED) em problemas desse tipo. Os autores também utilizaram a técnica APM para o tratamento das restrições e codificação real para suas variáveis de projeto. Os resultados apresentados mostram a potencialidade do uso da ED nesses problemas, pois quando não foram melhores mostraram-se competitivos com os encontrados na literatura.
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<span id='p0035'></span>
80
Um levantamento das pesquisas existentes sobre AE aplicados a problemas de OE multiobjetivo é apresentado por Zavala et al. [[#bib0005|[1]]]. Os autores não encontraram publicações utilizando AE baseados em ED para a obtenção de soluções de problemas de OE multiobjetivo. Eles afirmam que o surgimento de trabalhos nessa direção é esperado nos próximos anos visto que a maioria dos estudos analisados utilizavam codificação real para suas variáveis de projeto e a ED tem uma potencialidade com esse tipo de codificação. O algoritmo ''The Third Step of Generalized Differential Evolution'' (GDE3), proposto por Kukkonen e Lampinen  [[#bib0025|[5]]], é citado pelos autores como um algoritmo que pode ser utilizado nesses próximos trabalhos.
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<span id='p0040'></span>
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Baseado na argumentação apresentada e na sugestão de Zavala et al. [[#bib0005|[1]]], o presente trabalho analisou o desempenho do algoritmo GDE3 nos 5 problemas de OE de treliças tratados no trabalho de Angelo et al. [[#bib0010|[2]]]. Os resultados foram comparados aos obtidos pelos algoritmos MOAS e MOACS nas mesmas métricas de análise de desempenho utilizadas por esses autores.
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<span id='p0045'></span>
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Apesar do GDE3 já possuir um tratamento de restrições próprio, a mesma técnica APM usada em Angelo et al. [[#bib0010|[2]]] foi adotada aqui para permitir o enfoque dessa análise na eficiência da ED. Ela foi acoplada ao GDE3, substituindo a original. Além disso, foi adotada a mesma codificação real para as variáveis de projeto utilizadas por Silva et al. [[#bib0020|[4]]]. As descrições dos problemas e os parâmetros foram idênticos àqueles utilizados por Angelo et al. [[#bib0010|[2]]]. Os resultados obtidos mostram que o GDE3 apresentou desempenho superior aos algoritmos MOAS e MOACS e o conjunto de soluções obtido pelo GDE3 contém elementos muito próximos das soluções obtidas por Silva et al. [[#bib0020|[4]]], mostrando que o tratamento desses problemas através da versão multiobjetivo não acarreta perda significativa da qualidade das soluções obtidas pela sua versão mono-objetivo.
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<span id='p0050'></span>
89
O restante do texto é organizado da seguinte forma: a Seção [[#sec0010|2]] faz uma introdução dos conceitos básicos de OE multiobjetivo, enquanto a Seção [[#sec0015|3]] destaca o algoritmo GDE3. A técnica APM é mostrada na Seção [[#sec0020|4]] e o algoritmo proposto é descrito em detalhes na Seção [[#sec0025|5]]. Os experimentos numéricos, bem como seus resultados e sua discussão, são mostrados na Seção [[#sec0030|6]], enquanto a Seção [[#sec0070|7]] descreve as conclusões do trabalho.
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<span id='sec0010'></span>
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==2. Otimização estrutural multiobjetivo==
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<span id='p0055'></span>
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Seja uma treliça de ''N'' barras com ''M'' graus de liberdade de translação de seus nós, com material de massa específica ''ρ'' e comprimento da ''j''-ésima barra denotada por ''L''<sub>''j''</sub>. Considere ''s''<sub>''jl''</sub> a tensão normal da ''j''-ésima barra no caso de carregamento ''l'', ''s''<sub>''adm''</sub> a tensão normal máxima que esta barra pode estar submetida e ''u''<sub>''il''</sub> o deslocamento do nó ''i'' no caso de carregamento ''l''. O problema de OE multiobjetivo pode ser escrito como:
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<span id='p0060'></span>
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<span id='eq0005'></span>
100
{| class="formulaSCP" style="width: 100%; text-align: center;" 
101
|-
102
| 
103
{| style="text-align: center; margin:auto;" 
104
|-
105
| <math>\begin{array}{cc}
106
min_\mbox{x} & f_1(\mbox{x})=\sum_{j=1}^N\rho A_{[x_j]}L_j\quad e\quad f_2(\mbox{x})=max(\vert u_{il}\vert )\\
107
s.a. & \vert s_{jl}\vert \leq s_{adm}\\
108
 & \mbox{x}\in [1,P]^N\\
109
 & j=1,\ldots ,N\quad i=1,\ldots ,M\quad l=1,\ldots ,N_L
110
\end{array}</math>
111
|}
112
| style="text-align: right;" | (1)
113
|}
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<span id='p0065'></span>
116
Os problemas de OE multiobjetivo tratados neste artigo têm como variáveis de projeto as áreas das seções transversais das barras das treliças, as quais devem ser selecionadas entre os ''P'' elementos do conjunto discreto ordenado de forma crescente ''AP'' = {''A''<sub>1</sub>, …, ''A''<sub>''P''</sub>}, definido um espaço de busca discreto. Apesar disso, adota-se aqui uma codificação real para as variáveis de projeto conforme sugerido por Kaveh e Shahrouzi [[#bib0030|[6]]] e utilizada por Silva et al. [[#bib0020|[4]]]. O vetor '''x''' = (''x''<sub>1</sub>, …, ''x''<sub>''N''</sub>) representa a treliça de ''N'' barras onde a área da seção transversal da ''j  ''-ésima barra é <math display="inline">A_{[x_j]}</math> ([''x''<sub>''j''</sub>]-ésimo elemento de ''AP''), onde [''x''<sub>''j''</sub>] é o inteiro mais próximo de ''x''<sub>''j''</sub> ∈ [1, ''P''], ''j'' = 1, …, ''N''.
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<span id='p0070'></span>
119
Os objetivos ''f''<sub>1</sub>('''x''') (minimização de custo, aqui representado pelo peso da estrutura) e ''f''<sub>2</sub>('''x''') (minimização dos deslocamentos, aqui representado pelo deslocamento máximo de cada nó) são conflitantes. Isso significa que minimizar os deslocamentos pode acarretar um aumento considerável no peso da estrutura e vice-versa. Assim, a relação de dominância exibida a seguir deve ser observada.
120
121
<span id='p0075'></span>
122
Considerando os vetores '''x''', '''y''' ∈ [1, ''P'']<sup>''N''</sup>, se ''f''<sub>1</sub>('''x''') ≤ ''f''<sub>1</sub>('''y''') e ''f''<sub>2</sub>('''x''') < ''f''<sub>2</sub>('''y'''), ou equivalentemente, se ''f''<sub>1</sub>('''x''') < ''f''<sub>1</sub>('''y''') e ''f''<sub>2</sub>('''x''') ≤ ''f''<sub>2</sub>('''y'''), então o vetor '''x''' domina o vetor '''y'''. Dado 2 vetores '''x''', '''y''' ∈ [1, ''P'']<sup>''N''</sup>, uma, e somente uma, das 3 possibilidades ocorre: 1) '''x''' domina '''y'''; 2) '''y''' domina '''x'''; 3) '''x''' e '''y''' são não-dominados entre si.
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<span id='p0080'></span>
125
Resolver o Problema [[#eq0005|1]] através de um AE significa encontrar um conjunto de vetores factíveis ''SPO'' = {'''x'''<sub>1</sub>, …, '''x'''<sub>''λ''</sub>} onde cada par de elementos de ''SPO'' são não-dominados entre si e nenhum outro vetor factível que domina algum elemento de ''SPO'' foi obtido pelo AE. O conjunto das imagens dos elementos de ''SPO'' é chamado de Frente de Pareto.
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<span id='p0085'></span>
128
A relação de dominância definida aqui não leva em consideração as violações das restrições dos vetores '''x''' e '''y'''. No algoritmo utilizado neste trabalho, essas violações são tratadas através de penalização de suas funções objetivo, conforme é detalhado na Seção [[#sec0020|4]]. Dessa forma, vetores factíveis e infactíveis podem aparecer na população. Entretanto, como factibilidade é condição necessária para a entrada de um vetor no conjunto ''SPO'', não existem soluções infactíveis nesse conjunto.
129
130
<span id='sec0015'></span>
131
==3. ''Generalized Differential Evolution''==
132
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<span id='p0090'></span>
134
A ED, proposta originalmente em [[#bib0035|[7]]] para problemas mono-objetivos, é sem dúvida um dos mais eficientes AE que utiliza codificação real [[#bib0040|[8]]]. Ele se destaca pela sua simplicidade de implementação, incluindo o pequeno número de parâmetros de controle, e pelo seu notável desempenho em comparação com vários outros AE em uma ampla variedade de problemas, inclusive mantendo esse bom desempenho em problemas de grande porte, diferentemente de outros AE que utilizam codificação real [[#bib0040|[8]]].
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<span id='p0095'></span>
137
Desde sua proposição, diversos AE baseados em ED para problemas multiobjetivos foram propostos [[#bib0045|[9]]]. Adota-se aqui, seguindo a sugestão de Zavala et al. [[#bib0005|[1]]], o algoritmo GDE3 proposto por Kukkonen e Lampinen [[#bib0025|[5]]].
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<span id='p0100'></span>
140
Nos problemas de OE multiobjetivo de treliças sem restrições, o GDE3 funciona da seguinte maneira:<span id='list_list0015'></span>
141
* Uma população inicial ''P''<sub>0</sub> de ''POP'' soluções candidatas é criada aleatoriamente (''P''<sub>0</sub> = {'''x'''<sub>1</sub>, …, '''x'''<sub>''POP''</sub>}).
142
* Cada solução candidata '''x''' ∈ ''P''<sub>0</sub> gera uma nova '''u''' através do '''Algoritmo'''[[#enun0005|'''1''']], onde <math display="inline">F\in \mathbb{R}</math> e ''CR'' ∈ [0, 1] são parâmetros definidos pelo usuário.
143
* O conjunto ''R''<sub>0</sub> recebe, entre as soluções candidatas '''x''' e '''u''', aquela que dominar a outra. Caso as 2 sejam não-dominadas entre si, ''R''<sub>0</sub> recebe as 2.
144
145
<span id='p0120'></span>
146
A próxima geração da população ''P''<sub>1</sub> será composta pelas ''POP'' melhores soluções candidatas de ''R''<sub>0</sub>, conforme posição na Ordenação de Pareto e valor do indicador de densidade de soluções, ''crowding distance'' (''CD''), segundo esquemas propostos por Deb et al.  [[#bib0050|[10]]].
147
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<span id='p0125'></span>
149
O esquema de Ordenação de Pareto consiste em classificar o conjunto ''R''<sub>0</sub> em ''d'' subconjuntos tais que ''F''<sub>1</sub> = {elementos não-dominados de ''R''<sub>0</sub>} (posto 1), ''F''<sub>2</sub> = {elementos não-dominados de ''R''<sub>0</sub> \ {''F''<sub>1</sub>}} (posto 2), ''F''<sub>3</sub> = {elementos não-dominados de ''R''<sub>0</sub> \ {''F''<sub>1</sub> ∪ ''F''<sub>2</sub>}} (posto 3), …, ''F''<sub>''d''</sub> = {elementos não-dominados de ''R''<sub>0</sub> \ {''F''<sub>1</sub> ∪ ''F''<sub>2</sub> ∪ … ∪ ''F''<sub>''d''−1</sub>}} (posto ''d''), onde ''R''<sub>0</sub> = {''F''<sub>1</sub> ∪ ''F''<sub>2</sub> ∪ … ∪ ''F''<sub>''d''</sub>}}.
150
151
<span id='p0130'></span>
152
Para o Problema [[#eq0005|1]], o valor do ''CD'' de cada solução candidata é o semi-perímetro do retângulo cujos vértices são as imagens vizinhas mais próximas da sua, dentre todas as imagens das soluções candidatas de mesmo posto. Quanto mais distante a imagem de uma solução candidata se encontra dessas imagens vizinhas, maior é o seu valor de ''CD'' (menor densidade de soluções com imagens nesta região). Se uma solução candidata tem uma das funções objetivo como a melhor do seu posto, seu valor de ''CD'' é tomado como infinito.
153
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<span id='p0135'></span>
155
Assim, a próxima geração da população ''P''<sub>1</sub> será composta pelas soluções candidatas de ''R''<sub>0</sub> que estiverem nos subconjuntos com postos menores. Caso exista algum posto ''d''<sub>''i''</sub> tal que <math display="inline">F_1\cup F_2\cup \ldots \cup F_{d_i}</math> tenha mais que ''POP  '' elementos e <math display="inline">F_1\cup F_2\cup \ldots \cup F_{d_i-1}</math> tenha menos que ''POP  '' elementos, deve-se excluir os elementos de <math display="inline">F_{d_i}</math> com menores valores de ''CD  '' até que se tenha <math display="inline">F_1\cup F_2\cup \ldots \cup F_{d_i}</math> com ''POP  '' elementos. A próxima população será <math display="inline">P_1=F_1\cup F_2\cup \ldots \cup F_{d_i}</math>.
156
157
<span id='p0140'></span>
158
Nesse procedimento, após a exclusão de uma solução candidata de <math display="inline">F_{d_i}</math>, todos os valores de ''CD'' das restantes são recalculados. Isso pode fornecer uma melhoria na diversidade da população sem a introdução de um novo parâmetro  [[#bib0025|[5]]].
159
160
<span id='p0145'></span>
161
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<span id='enun0005'></span>
163
164
==Algorithm 1.                     ==
165
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Geração de uma nova solução candidata '''u''' no GDE3.<span id='list_list0005'></span>
167
* 1: Seja '''x'''∈ população.
168
* 2:  Sorteiam-se 3 soluções candidatas '''x'''<sub>''r''1</sub>, '''x'''<sub>''r''2</sub> e '''x'''<sub>''r''3</sub> da população.
169
* 3: ''I''<sub>''rand''</sub>← inteiro entre 1 e ''N'' escolhido aleatoriamente.
170
* 4: '''para''' ''i'' = 1 : ''N'' '''faça'''
171
* 5:  ''rand''← real entre 0 - 1 escolhido aleatoriamente.
172
* 6:  '''se''' ''rand'' < ''CR'' ou ''i'' = ''I''<sub>''rand''</sub> '''então'''
173
* 7:   '''u'''(''i'') ← '''x'''<sub>''r''1</sub>(''i'') + ''F''('''x'''<sub>''r''2</sub>(''i'') − '''x'''<sub>''r''3</sub>(''i'')).
174
* 8:  '''senão'''
175
* 9:   '''u'''(''i'') ← '''x'''(''i'').
176
* 10:  '''fim se'''
177
* 11: '''fim para'''
178
179
<span id='sec0020'></span>
180
==4. Técnica de penalização adaptativa==
181
182
<span id='p0210'></span>
183
Para transformar um problema com restrições em um problema sem restrições, tanto Angelo et al. [[#bib0010|[2]]] quanto Silva et al. [[#bib0020|[4]]], adotaram a APM proposta por Barbosa e Lemonge [[#bib0015|[3]]].
184
185
<span id='p0215'></span>
186
Originalmente, a técnica APM foi aplicada em problemas de otimização mono-objetivo com restrições, obtendo resultados competitivos. Entre as suas vantagens estão o tratamento de restrições de igualdade e desigualdade, a não necessidade de que as restrições sejam funções explícitas das variáveis de projeto, a ausência de parâmetros a serem definidos pelo usuário e a facilidade de implementação computacional.
187
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<span id='p0220'></span>
189
Apesar da sua proposição inicial ser para problemas mono-objetivos, a técnica APM pode ser adaptada para problemas multiobjetivos facilmente, apenas repetindo seu procedimento para cada função objetivo separadamente, como foi feito por Angelo et al. [[#bib0010|[2]]].
190
191
<span id='p0225'></span>
192
Para a função objetivo ''f''<sub>1</sub> da Equação [[#eq0005|1]], a técnica APM funciona da seguinte maneira: conhecidos os valores para ''f''<sub>1</sub> de todas as ''POP'' soluções candidatas de ''P''<sub>''G''</sub> (população na geração ''G'') e supondo ''N''<sub>''c''</sub> o número total de restrições, calcula-se para cada '''x''' ∈ ''P''<sub>''G''</sub> os valores de ''F''<sub>1</sub>('''x''') pela fórmula
193
194
<span id='p0230'></span>
195
196
<span id='eq0010'></span>
197
{| class="formulaSCP" style="width: 100%; text-align: center;" 
198
|-
199
| 
200
{| style="text-align: center; margin:auto;" 
201
|-
202
| <math>F_1(\mbox{x})=\left\{\begin{array}{cc}
203
f_1(\mbox{x}), & se\quad \quad \mbox{x}\quad \quad efactivel\\
204
\bar{f_1}(\mbox{x})+\sum_{m=1}^{N_c}k_m\delta _m(\mbox{x}), & caso\quad contrario
205
\end{array}\right.</math>
206
|}
207
| style="text-align: right;" | (2)
208
|}
209
210
onde
211
212
<span id='p0235'></span>
213
214
<span id='eq0015'></span>
215
{| class="formulaSCP" style="width: 100%; text-align: center;" 
216
|-
217
| 
218
{| style="text-align: center; margin:auto;" 
219
|-
220
| <math>\bar{f_1}(\mbox{x})=\left\{\begin{array}{cc}
221
f_1(\mbox{x}), & se\quad f_1(\mbox{x})>\left\langle f_1(\mbox{x})\right\rangle \\
222
\left\langle f_1(\mbox{x})\right\rangle , & caso\quad contrario
223
\end{array}\right.</math>
224
|}
225
| style="text-align: right;" | (3)
226
|}
227
228
sendo 〈''f''<sub>1</sub>('''x''')〉 a média dos valores de ''f''<sub>1</sub>('''x''') de todas as ''POP'' soluções candidatas.
229
230
<span id='p0240'></span>
231
A função ''δ''<sub>''m''</sub> é dada por ''δ''<sub>''m''</sub>('''x''') = ''max''(|''s''<sub>''m''</sub>| − ''s''<sub>''adm''</sub>, 0) e o coeficiente de penalização ''k''<sub>''j''</sub> da ''j''-ésima restrição é definido por
232
233
<span id='p0245'></span>
234
235
<span id='eq0020'></span>
236
{| class="formulaSCP" style="width: 100%; text-align: center;" 
237
|-
238
| 
239
{| style="text-align: center; margin:auto;" 
240
|-
241
| <math>k_j=\vert \left\langle f_1(\mbox{x})\right\rangle \vert \frac{\left\langle \delta _j(\mbox{x})\right\rangle }{\sum _{m=1}^{N_c}[\left\langle \delta _m(\mbox{x})\right\rangle ]^2}.</math>
242
|}
243
| style="text-align: right;" | (4)
244
|}
245
246
<span id='p0250'></span>
247
Esse procedimento se repete para a segunda função objetivo, obtendo-se ''F''<sub>2</sub>('''x''') para cada '''x''' ∈ ''P''<sub>''G''</sub> a partir dos valores de ''f''<sub>2</sub>. O APM foi projetado de tal forma que os valores dos coeficientes de penalização correspondentes às restrições mais difíceis de serem atendidas sejam maiores.
248
249
<span id='sec0025'></span>
250
==5. Algoritmo proposto==
251
252
<span id='p0255'></span>
253
A proposta do algoritmo GDE3 acoplado à técnica APM usada nos experimentos numéricos consiste em substituir o uso de ''f''<sub>1</sub> e ''f''<sub>2</sub> no esquema de seleção da nova geração pelo uso dos valores de ''F''<sub>1</sub> e ''F''<sub>2</sub>. Isto significa que a avaliação da dominância do vetor '''u''' sobre o vetor '''x''', o processo de Ordenação de Pareto do conjunto ''R''<sub>''t''</sub> e o cálculo dos valores de ''CD'' de cada posto foram realizados considerando os valores de ''F''<sub>1</sub> e ''F''<sub>2</sub>. Além disso, como em Angelo et al. [[#bib0010|[2]]] foi definido que o ''SPO'' de cada algoritmo corresponde a todas as soluções candidatas não-dominadas factíveis obtidas ao longo de toda sua execução, isso também foi adotado aqui. O detalhamento da proposta pode ser visto no '''Algoritmo'''[[#enun0010|'''2''']].
254
255
<span id='p0260'></span>
256
257
<span id='enun0010'></span>
258
259
==Algorithm 2.                     ==
260
261
GDE3+APM.<span id='list_list0010'></span>
262
* 1:  Defina os parâmetros ''CR'', ''F'' e ''GEN''''GEN'' é o numero máximo de gerações.
263
* 2: ''P''<sub>0</sub>← população inicial criada aleatoriamente de ''POP'' soluções candidatas '''x''' ∈ [1, ''P'']<sup>''N''</sup>.
264
* 3: ''Arq'' ← ''P''<sub>0</sub> ▷ Arquivo externo que vai armazenar todas as soluções candidatas encontradas durante toda a execução do algoritmo.
265
* 4: ''f''<sub>1</sub>, ''f''<sub>2</sub>← funções objetivo de cada solução candidata de ''P''<sub>0</sub>.
266
* 5: ''G'' ← 0 contador de gerações.
267
* 6: '''enquanto'''''G'' ≤ ''GEN'''''faça'''
268
* 7:  ''F''<sub>1</sub>, ''F''<sub>2</sub>← funções objetivo de cada solução candidata de ''P''<sub>''G''</sub> modificadas pela técnica APM.
269
* 8:  '''para''' ''i'' = 1 : ''POP'' '''faça'''
270
* 9:   '''u'''← criado a partir de '''x'''<sub>''i''</sub> ∈ ''P''<sub>''G''</sub> através do '''Algoritmo'''[[#enun0005|1]].
271
* 10:   Obtenha ''f''<sub>1</sub>('''u''') e ''f''<sub>2</sub>('''u''').
272
* 11:   Obtenha ''F''<sub>1</sub>('''u''') e ''F''<sub>2</sub>('''u''') modificadas pela técnica APM com os mesmos valores dos coeficientes de penalização usados na linha 7.
273
* 12:   '''se''' '''u''' domina '''x'''<sub>''i''</sub> '''então'''
274
* 13:    ''R''<sub>''G''</sub> ← '''u'''.
275
* 14:   '''senão'''
276
* 15:    '''se''' '''x'''<sub>''i''</sub> domina '''u''' '''então'''
277
* 16:     ''R''<sub>''G''</sub> ← '''x'''<sub>''i''</sub>.
278
* 17:    '''senão'''
279
* 18:     ''R''<sub>''G''</sub> ← '''x'''<sub>''i''</sub>, '''u'''.
280
* 19:    '''fim se'''
281
* 20:   '''fim se'''
282
* 21:  '''fim para'''
283
* 22:  '''se''' ''R''<sub>''G''</sub> tem mais de ''POP'' soluções candidatas '''então'''
284
* 23:   Classifique ''R''<sub>''G''</sub> em ''d'' postos pelo processo de Ordenação de Pareto.
285
* 24:   ''P''<sub>''G''+1</sub>← ∅.
286
* 25:   ''γ'' ← 1.
287
* 26:   '''enquanto''' Quantidade de soluções candidatas em ''P''<sub>''G''+1</sub> < ''POP'''''faça'''
288
* 27:    ''P''<sub>''G''+1</sub>← ''P''<sub>''G''+1</sub> ∪ soluções candidatas do posto ''γ''.
289
* 28:    ''γ'' ← ''γ'' + 1.
290
* 29:   '''fim enquanto'''
291
* 30:   '''enquanto''' Quantidade de soluções candidatas em ''P''<sub>''G''+1</sub> > ''POP'''''faça'''
292
* 31:    Calcule ''CD'' para todos as soluções candidatas de posto ''γ'' − 1.
293
* 32:    Exclua de ''P''<sub>''G''+1</sub> a solução candidata de posto ''γ'' − 1 com menor valor de ''CD''.
294
* 33:   '''fim enquanto'''
295
* 34:  '''senão'''
296
* 35:   ''P''<sub>''G''+1</sub> ← ''R''<sub>''G''</sub>.
297
* 36:  '''fim se'''
298
* 37:  ''Arq'' ← ''Arq'' ∪ ''P''<sub>''G''+1</sub>
299
* 38: '''fim enquanto'''
300
* 39: ''SPO''← soluções candidatas não-dominadas e factíveis de ''Arq''.
301
* 40:  Retorne ''SPO''.
302
303
<span id='sec0030'></span>
304
==6. Experimentos numéricos==
305
306
<span id='p0470'></span>
307
As descrições dos problemas, os parâmetros e as métricas de desempenho adotadas aqui são idênticas àquelas utilizados por Angelo et al. [[#bib0010|[2]]]. Cada algoritmo foi executado 100 vezes com tamanho da população de 50 soluções candidatas e 1.000 gerações, perfazendo um total de 50.000 avaliações de cada uma das funções objetivo. Da mesma forma, os parâmetros do GDE3 adotados em todos os problemas são os mesmos utilizados por Kukkonen e Lampinen [[#bib0055|[11]]] para problemas com restrições: ''CR'' = 0, 4 e ''F'' = 0, 3.
308
309
<span id='p0475'></span>
310
As métricas de desempenho adotadas foram o Hipervolume, proposta por Zitzler e Thiele [[#bib0060|[12]]], e a métrica ''Empirical Attainment Function'', proposta por Fonseca e Fleming  [[#bib0065|[13]]].
311
312
<span id='p0480'></span>
313
No caso de 2 funções objetivo, a métrica Hipervolume fornece o valor de ''H''(área do polígono limitado pela Frente de Pareto da ''SPO'' e um dado ponto de referência). O algoritmo que gerou a ''SPO'' que obteve o maior valor de ''H'' será o melhor.
314
315
<span id='p0485'></span>
316
A métrica ''Empirical Attainment Function'' (EAF) atua como uma distribuição de probabilidade. Dada uma probabilidade ''α''%, com 0 < ''α'' < 100, o ''EAF'' é um conjunto de pontos não-dominados entre si de tal forma que qualquer solução arbitrária desse algoritmo obtida por qualquer execução tem 100− ''α'' % de chance de dominar pelo menos um desses pontos. Quando ''α'' = 0, o ''EAF'' é um conjunto de pontos não-dominados entre si de tal forma que qualquer solução arbitrária desse algoritmo obtida por qualquer execução tem 0% de chance de ser dominada por algum desses pontos. Já quando ''α'' = 100, o ''EAF'' é o conjunto de todos os pontos não-dominados entre si obtidos em todas as execuções. O algoritmo cujo ''EAF'' tem maior hipervolume é o melhor algoritmo. Uma discussão mais detalhada sobre a obtenção do ''EAF'' pode ser encontrada em  [[#bib0065|[13]]].
317
318
<span id='sec0035'></span>
319
===6.1. Problemas===
320
321
<span id='sec0040'></span>
322
====6.1.1. Treliça de 10 barras====
323
324
<span id='p0490'></span>
325
O primeiro problema analisado é a treliça clássica de 10 barras, ilustrado pela [[#fig0005|figura 1]]a. A versão mono-objetivo é amplamente estudada [[#bib0070|[14]]] and [[#bib0020|[4]]] e trabalhos sobre sua versão multiobjetivo podem ser encontrados em [[#bib0075|[15]]], [[#bib0080|[16]]], [[#bib0085|[17]]], [[#bib0090|[18]]] and [[#bib0010|[2]]].
326
327
<span id='figure_fig0005'></span>
328
329
<span id='fig0005'></span>
330
331
{| style="text-align: center; border: 1px solid #BBB; margin: 1em auto; max-width: 100%;" 
332
|-
333
|
334
335
336
[[Image:draft_Content_786211509-1-s2.0-S0213131515000231-gr1.jpg|center|565px|Treliça de 10 barras (a), 25 barras (b), 60 barras (c) e 72 barras (d).]]
337
338
339
|-
340
| <span style="text-align: center; font-size: 75%;">
341
342
Figura 1.
343
344
<span id='spar0020'></span>
345
Treliça de 10 barras (a), 25 barras (b), 60 barras (c) e 72 barras (d).
346
347
</span>
348
|}
349
350
<span id='p0495'></span>
351
A densidade do material é ''ρ'' = 0, 1''lb''/''in''<sup>3</sup>, a tensão normal máxima é limitada em ±25 ''ksi'', o Módulo de Young ''E'' = 10<sup>4</sup> ''ksi'' e cargas de 100 ''kips'' são aplicadas nos nós 2 e 4 na direção ''y'' (representadas na  [[#fig0005|figura 1]]a por P).
352
353
<span id='p0500'></span>
354
O conjunto das áreas possíveis é (em (''in''<sup>2</sup>)): ''AP'' = {1,62; 1,80; 1,99; 2,13; 2,38; 2,62; 2,63; 2,88; 2,93; 3,09; 3,13; 3,38; 3,47; 3,55; 3,63; 3,84; 3,87; 3,88; 4,18; 4,22; 4,49; 4,59; 4,80; 4,97; 5,12; 5,74; 7,22; 7,97; 11,50; 13,50; 13,90; 14,20; 15,50; 16,00; 16,90; 18,80; 19,90; 22,00; 22,90; 26,50; 30,00; 33,50}, definindo ''P'' = 42.
355
356
<span id='sec0045'></span>
357
====6.1.2. Treliça de 25 barras====
358
359
<span id='p0505'></span>
360
O segundo problema analisado é a treliça de 25 barras, ilustrado pela [[#fig0005|figura 1]]b. Da mesma forma que a treliça de 10 barras, a versão mono-objetivo também é amplamente estudada [[#bib0070|[14]]] and [[#bib0020|[4]]] e trabalhos sobre sua versão multiobjetivo podem ser encontrados em [[#bib0095|[19]]], [[#bib0085|[17]]], [[#bib0100|[20]]], [[#bib0105|[21]]] and [[#bib0010|[2]]].
361
362
<span id='p0510'></span>
363
A densidade do material é ''ρ'' = 0, 1''lb''/''in''<sup>3</sup>, a tensão normal máxima é limitada em ±40 ''ksi'' e o Módulo de Young ''E'' = 10<sup>4</sup> ''ksi''. O conjunto das áreas possíveis é (em (''in''<sup>2</sup>)): ''AP'' = {0,1; 0,2; 0,3; 0,4; 0,5; 0,6; 0,7; 0,8; 0,9; 1,0; 1,1; 1,2; 1,3; 1,4; 1,5; 1,6; 1,7; 1,8; 1,9; 2,0; 2,1; 2,2; 2,3; 2,4; 2,5; 2,6; 2,8; 3,0; 3,2; 3,4}, definindo ''P'' = 30.
364
365
<span id='p0515'></span>
366
As barras da treliça são agrupadas e cada grupo possui uma única área ''A'', a fim de manter a simetria da estrutura. O agrupamento das barras é mostrado na tabela  [[#tbl0005|1]] e o carregamento aplicado sobre a estrutura é mostrado na tabela [[#tbl0010|2]].
367
368
<span id='table_tbl0005'></span>
369
370
<span id='tbl0005'></span>
371
372
{| class="wikitable" style="min-width: 60%;margin-left: auto; margin-right: auto;"
373
|+
374
375
Tabela 1.
376
377
Agrupamento para a treliça de 25 barras.
378
379
|-
380
381
! Grupo
382
! Conectividade
383
|-
384
385
| ''A''<sub>1</sub>
386
| 1-2
387
|-
388
389
| ''A''<sub>2</sub>
390
| 1-4, 2-3, 1-5, 2-6
391
|-
392
393
| ''A''<sub>3</sub>
394
| 2-5, 2-4, 1-3, 1-6
395
|-
396
397
| ''A''<sub>4</sub>
398
| 3-6, 4-5
399
|-
400
401
| ''A''<sub>5</sub>
402
| 3-4, 5-6
403
|-
404
405
| ''A''<sub>6</sub>
406
| 3-10, 6-7, 4-9, 5-8
407
|-
408
409
| ''A''<sub>7</sub>
410
| 3-8, 4-7, 6-9, 5-10
411
|-
412
413
| ''A''<sub>8</sub>
414
| 3-7, 4-8, 5-9, 6-10
415
|}
416
417
<span id='table_tbl0010'></span>
418
419
<span id='tbl0010'></span>
420
421
{| class="wikitable" style="min-width: 60%;margin-left: auto; margin-right: auto;"
422
|+
423
424
Tabela 2.
425
426
Carregamento para a treliça de 25 barras (em ''kips'').
427
428
|-
429
430
! 
431
! ''F''<sub>''x''</sub>
432
! ''F''<sub>''y''</sub>
433
! ''F''<sub>''z''</sub>
434
|-
435
436
| 1
437
| 1
438
| −10,0
439
| −10,0
440
|-
441
442
| 2
443
| 0
444
| −10,0
445
| −10,0
446
|-
447
448
| 3
449
| 0,5
450
| 0
451
| 0
452
|-
453
454
| 6
455
| 0,6
456
| 0
457
| 0
458
|}
459
460
<span id='sec0050'></span>
461
====6.1.3. Treliça de 60 barras====
462
463
<span id='p0520'></span>
464
O terceiro problema analisado foi o da treliça de 60 barras em formato de anel, proposto em [[#bib0110|[22]]] e ilustrado pela [[#fig0005|figura 1]]c. A versão mono-objetivo pode ser encontrada em [[#bib0115|[23]]] and [[#bib0020|[4]]] e somente em [[#bib0010|[2]]] foi encontrada a versão multiobjetivo desse problema.
465
466
<span id='p0525'></span>
467
A densidade do material é ''ρ'' = 0, 1''lb''/''in''<sup>3</sup>, a tensão normal máxima é limitada em ±10 ''ksi'' e o Módulo de Young ''E'' = 10<sup>4</sup> ''ksi''. O raio externo do anel dessa treliça mede 100 ''in'' e o raio interno 90 ''in''. O conjunto das áreas possíveis é (em (''in''<sup>2</sup>)): ''AP'' = {0,5; 0,6; 0,7; …; 4,7; 4,8; 4,9}, definindo ''P'' = 45.
468
469
<span id='p0530'></span>
470
A treliça é submetida a 3 casos de carregamento, observados na tabela [[#tbl0020|4]], totalizando 180 restrições. As barras são agrupadas conforme dados da tabela [[#tbl0015|3]].
471
472
<span id='table_tbl0020'></span>
473
474
<span id='tbl0020'></span>
475
476
{| class="wikitable" style="min-width: 60%;margin-left: auto; margin-right: auto;"
477
|+
478
479
Tabela 4.
480
481
Carregamento para a treliça de 60 barras (em ''kips'').
482
483
|-
484
485
! Carregamento
486
! 
487
! ''F''<sub>''x''</sub>
488
! ''F''<sub>''y''</sub>
489
|-
490
491
| 1
492
| 1
493
| −10,0
494
| 0
495
|-
496
497
| 
498
| 7
499
| 9,0
500
| 0
501
|-
502
503
| 2
504
| 15
505
| −8,0
506
| 3,0
507
|-
508
509
| 
510
| 18
511
| −8,0
512
| 3,0
513
|-
514
515
| 3
516
| 22
517
| −20,0
518
| 10,0
519
|}
520
521
<span id='table_tbl0015'></span>
522
523
<span id='tbl0015'></span>
524
525
{| class="wikitable" style="min-width: 60%;margin-left: auto; margin-right: auto;"
526
|+
527
528
Tabela 3.
529
530
Agrupamento para a treliça de 60 barras.
531
532
|-
533
534
! Grupo
535
! Barras
536
! Grupo
537
! Barras
538
|-
539
540
| ''A''<sub>1</sub>
541
| 49 ao 60
542
| ''A''<sub>14</sub>
543
| 25 e 37
544
|-
545
546
| ''A''<sub>2</sub>
547
| 1 e 13
548
| ''A''<sub>15</sub>
549
| 26 e 38
550
|-
551
552
| ''A''<sub>3</sub>
553
| 2 e 14
554
| ''A''<sub>16</sub>
555
| 27 e 39
556
|-
557
558
| ''A''<sub>4</sub>
559
| 3 e 15
560
| ''A''<sub>17</sub>
561
| 28 e 40
562
|-
563
564
| ''A''<sub>5</sub>
565
| 4 e 16
566
| ''A''<sub>18</sub>
567
| 29 e 41
568
|-
569
570
| ''A''<sub>6</sub>
571
| 5 e 17
572
| ''A''<sub>19</sub>
573
| 30 e 42
574
|-
575
576
| ''A''<sub>7</sub>
577
| 6 e 18
578
| ''A''<sub>20</sub>
579
| 31 e 43
580
|-
581
582
| ''A''<sub>8</sub>
583
| 7 e 19
584
| ''A''<sub>21</sub>
585
| 32 e 44
586
|-
587
588
| ''A''<sub>9</sub>
589
| 8 e 20
590
| ''A''<sub>22</sub>
591
| 33 e 45
592
|-
593
594
| ''A''<sub>10</sub>
595
| 9 e 21
596
| ''A''<sub>23</sub>
597
| 34 e 46
598
|-
599
600
| ''A''<sub>11</sub>
601
| 10 e 22
602
| ''A''<sub>24</sub>
603
| 35 e 47
604
|-
605
606
| ''A''<sub>12</sub>
607
| 11 e 23
608
| ''A''<sub>25</sub>
609
| 36 e 48
610
|-
611
612
| ''A''<sub>13</sub>
613
| 12 e 24
614
| 
615
| 
616
|}
617
618
<span id='sec0055'></span>
619
====6.1.4. Treliça de 72 barras====
620
621
<span id='p0535'></span>
622
O quarto problema analisado foi o da treliça de 72 barras, ilustrado pela [[#fig0005|figura 1]]d. A versão mono-objetivo pode ser encontrada em [[#bib0070|[14]]], [[#bib0115|[23]]] and [[#bib0020|[4]]] e a versão multiobjetivo foi encontrada somente em [[#bib0010|[2]]].
623
624
<span id='p0540'></span>
625
A densidade do material é ''ρ'' = 0, 1''lb''/''in''<sup>3</sup>, a tensão normal máxima é limitada em ±25 ''ksi'' e o Módulo de Young ''E'' = 10<sup>4</sup> ''ksi''. O conjunto das áreas possíveis é (em (''in''<sup>2</sup>)): ''AP'' = {0,1; 0,2; 0,3;…; 2,4; 2,5}, definindo ''P'' = 25.
626
627
<span id='p0545'></span>
628
A treliça é submetida a 2 casos de carregamento, observados na tabela [[#tbl0030|6]], totalizando 60 restrições de tensão. As barras são agrupadas conforme tabela [[#tbl0025|5]].
629
630
<span id='table_tbl0030'></span>
631
632
<span id='tbl0030'></span>
633
634
{| class="wikitable" style="min-width: 60%;margin-left: auto; margin-right: auto;"
635
|+
636
637
Tabela 6.
638
639
Carregamento para a treliça de 72 barras (em ''kips'').
640
641
|-
642
643
! Carregamento
644
! 
645
! ''F''<sub>''x''</sub>
646
! ''F''<sub>''y''</sub>
647
! ''F''<sub>''z''</sub>
648
|-
649
650
| 1
651
| 1
652
| 5
653
| 5
654
| −5
655
|-
656
657
| 2
658
| 1
659
| 0
660
| 0
661
| −5
662
|-
663
664
| 
665
| 2
666
| 0
667
| 0
668
| −5
669
|-
670
671
| 
672
| 3
673
| 0
674
| 0
675
| −5
676
|-
677
678
| 
679
| 4
680
| 0
681
| 0
682
| −5
683
|}
684
685
<span id='table_tbl0025'></span>
686
687
<span id='tbl0025'></span>
688
689
{| class="wikitable" style="min-width: 60%;margin-left: auto; margin-right: auto;"
690
|+
691
692
Tabela 5.
693
694
Agrupamento para a treliça de 72 barras.
695
696
|-
697
698
! Grupo
699
! Barras
700
|-
701
702
| ''A''<sub>1</sub>
703
| 1, 2, 3 e 4
704
|-
705
706
| ''A''<sub>2</sub>
707
| 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11 e 12
708
|-
709
710
| ''A''<sub>3</sub>
711
| 13, 14, 15 e 16
712
|-
713
714
| ''A''<sub>4</sub>
715
| 17 e 18
716
|-
717
718
| ''A''<sub>5</sub>
719
| 19, 20, 21 e 22
720
|-
721
722
| ''A''<sub>6</sub>
723
| 23, 24, 25, 26, 27, 28, 29 e 30
724
|-
725
726
| ''A''<sub>7</sub>
727
| 31, 32, 33 e 34
728
|-
729
730
| ''A''<sub>8</sub>
731
| 35 e 36
732
|-
733
734
| ''A''<sub>9</sub>
735
| 37, 38, 39 e 40
736
|-
737
738
| ''A''<sub>10</sub>
739
| 41, 42, 43, 44, 45, 46, 47 e 48
740
|-
741
742
| ''A''<sub>11</sub>
743
| 49, 50, 51 e 52
744
|-
745
746
| ''A''<sub>12</sub>
747
| 53 e 54
748
|-
749
750
| ''A''<sub>13</sub>
751
| 55, 56, 57 e 58
752
|-
753
754
| ''A''<sub>14</sub>
755
| 59, 60, 61, 62, 63, 64, 65 e 66
756
|-
757
758
| ''A''<sub>15</sub>
759
| 67, 68, 69 e 70
760
|-
761
762
| ''A''<sub>16</sub>
763
| 71 e 72
764
|}
765
766
<span id='sec0060'></span>
767
====6.1.5. Treliça de 942 barras====
768
769
<span id='p0550'></span>
770
O último problema analisado aqui foi a treliça de 942 barras, ilustrada pela [[#fig0010|figura 2]]. As 942 barras são agrupadas em 59 variáveis de projeto e considera-se um caso de carregamento que consiste em cargas horizontais e verticais da seguinte forma: cargas verticais na direção ''z'' de −3 ''kips'', −6 ''kips'' e −9 ''kips'' em cada nó no primeiro, segundo e terceiro setores, respectivamente; cargas laterais na direção ''y'' de 1 ''kips'' em todos os nós da torre; e cargas laterais na direção ''x'' de 1, 5 ''kips'' e 1 ''kips'' em cada nó à esquerda e à direita da torre, respectivamente. As variáveis de projeto são valores inteiros no intervalo de [1, 200]''in''<sup>2</sup> e as restrições incluem tensão normal máxima limitada em ±25 ''ksi'' para todas as barras. O Módulo de Young é ''E'' = 10<sup>4</sup> ''ksi'' e a densidade do material é de ''ρ'' = 0, 1''lb''/''in''<sup>3</sup>. A versão mono-objetivo pode ser encontrada em  [[#bib0120|[24]]], [[#bib0125|[25]]], [[#bib0130|[26]]] and [[#bib0135|[27]]] e a versão multiobjetivo foi encontrada somente em [[#bib0010|[2]]].
771
772
<span id='figure_fig0010'></span>
773
774
<span id='fig0010'></span>
775
776
{| style="text-align: center; border: 1px solid #BBB; margin: 1em auto; max-width: 100%;" 
777
|-
778
|
779
780
781
[[Image:draft_Content_786211509-1-s2.0-S0213131515000231-gr2.jpg|center|359px|Treliça de 942 barras.]]
782
783
784
|-
785
| <span style="text-align: center; font-size: 75%;">
786
787
Figura 2.
788
789
<span id='spar0025'></span>
790
Treliça de 942 barras.
791
792
</span>
793
|}
794
795
<span id='sec0065'></span>
796
===6.2. Discussão dos resultados===
797
798
<span id='p0555'></span>
799
A tabela [[#tbl0035|7]] mostra as médias e os desvios padrão (DP) dos resultados da métrica Hipervolume, calculados para cada uma das 100 execuções realizadas. Para o cálculo de ''H'', optou-se pela normalização de todos os ''SPO'', mapeando cada função objetivo no intervalo de [0, 1] de tal forma que o valor mínimo correspondesse ao 0 e o valor máximo ao 1. O ponto de referência é dado pelos melhores valores extremos de todos os ''SPO'' gerados por todos os algoritmos em um dado problema, o qual normalizado fica [1, 1].
800
801
<span id='table_tbl0035'></span>
802
803
<span id='tbl0035'></span>
804
805
{| class="wikitable" style="min-width: 60%;margin-left: auto; margin-right: auto;"
806
|+
807
808
Tabela 7.
809
810
Média e Desvio Padrão (DP) dos Resultados de ''H''.
811
812
|-
813
814
! colspan="2" | 
815
! GDE3
816
! MOACS
817
! MOAS
818
|-
819
820
| 10 barras
821
| Média
822
| '''8,481641'''×10<sup>−1</sup>
823
| 7,977419×10<sup>−1</sup>(+)
824
| 7,574947×10<sup>−1</sup>(+)
825
|-
826
827
| 
828
| DP
829
| 3,225481×10<sup>−3</sup>
830
| 4,470697×10<sup>−3</sup>
831
| 1,857184×10<sup>−2</sup>
832
|-
833
834
| 25 barras
835
| Média
836
| '''8,854238'''×10<sup>−1</sup>
837
| 8,585920×10<sup>−1</sup>(+)
838
| 8,526323×10<sup>−1</sup>(+)
839
|-
840
841
| 
842
| DP
843
| 7,173082×10<sup>−5</sup>
844
| 6,053763×10<sup>−3</sup>
845
| 4,116940×10<sup>−3</sup>
846
|-
847
848
| 60 barras
849
| Média
850
| '''7,536069'''×10<sup>−1</sup>
851
| 5,721502×10<sup>−1</sup>(+)
852
| 5,391532×10<sup>−1</sup>(+)
853
|-
854
855
| 
856
| DP
857
| 7,866109×10<sup>−3</sup>
858
| 1,723658×10<sup>−2</sup>
859
| 2,870502×10<sup>−2</sup>
860
|-
861
862
| 72 barras
863
| Média
864
| '''9,179434'''×10<sup>−1</sup>
865
| 8,586737×10<sup>−1</sup>(+)
866
| 8,569383×10<sup>−1</sup>(+)
867
|-
868
869
| 
870
| DP
871
| 2,003992×10<sup>−3</sup>
872
| 7,142308×10<sup>−3</sup>
873
| 4,078346×10<sup>−3</sup>
874
|-
875
876
| 942 barras
877
| Média
878
| '''9,148664'''×10<sup>−1</sup>
879
| 7,304951×10<sup>−1</sup>(+)
880
| 7,244967×10<sup>−1</sup>(+)
881
|-
882
883
| 
884
| DP
885
| 1,130059×10<sup>−2</sup>
886
| 1,614781×10<sup>−2</sup>
887
| 6,067129×10<sup>−2</sup>
888
|}
889
890
<span id='p0560'></span>
891
O sinal (+) indica que a diferença entre os 100 resultados obtidos naquela métrica é estatisticamente significante (''p''-valor ≤0, 05), conforme o teste não-paramétrico de Wilcoxon calculado através da função ''ranksum'' do MATLAB<sup>®</sup>. Para cada problema, o melhor resultado em cada métrica está marcado em negrito.
892
893
<span id='p0565'></span>
894
Pelos resultados exibidos na tabela [[#tbl0035|7]] pode-se observar que o desempenho do GDE3 é melhor do que o dos algoritmos MOAS e MOACS na métrica Hipervolume. A média dos valores de ''H'' dos ''SPO''s obtidos pelo GDE3 é maior do que a média dos valores de ''H'' dos ''SPO'' obtidos pelo MOAS e pelo MOACS em todos os problemas, com diferença estatisticamente significante. Além disso, o desvio padrão dos 100 valores de ''H'' obtidos pelo GDE3 é o menor.
895
896
<span id='p0570'></span>
897
Em relação à métrica ''Empirical Attainment Function'', foi definida as probabilidades de 100, 50 e 0%. Os conjuntos ''EAF''s foram gerados pelo pacote EAF Tools [[#fn0005|<sup>1</sup>]]. Os gráficos das figuras [[#fig0015|3]], [[#fig0020|4]] e [[#fig0025|5]] referem-se às curvas formadas pelos pontos dos conjuntos ''EAF'' para os problemas adotados. Os valores dos hipervolumes normalizados de cada uma dessas curvas estão indicadas na própria figura por ''H''<sub>1</sub>, ''H''<sub>2</sub> e ''H''<sub>3</sub> referindo-se aos algoritmos MOAS, MOACS e GDE3, respectivamente.
898
899
<span id='figure_fig0015'></span>
900
901
<span id='fig0015'></span>
902
903
{| style="text-align: center; border: 1px solid #BBB; margin: 1em auto; max-width: 100%;" 
904
|-
905
|
906
907
908
[[Image:draft_Content_786211509-1-s2.0-S0213131515000231-gr3.jpg|center|566px|Curvas dos conjuntos EAF referentes aos problemas das treliças de 10 (3a,3b,3c), ...]]
909
910
911
|-
912
| <span style="text-align: center; font-size: 75%;">
913
914
Figura 3.
915
916
<span id='spar0030'></span>
917
Curvas dos conjuntos ''EAF'' referentes aos problemas das treliças de 10 ( [[#fig0015|3]]a,[[#fig0015|3]]b,[[#fig0015|3]]c), 25 ([[#fig0015|3]]d,[[#fig0015|3]]e,[[#fig0015|3]]f) e 60 ([[#fig0015|3]]g,[[#fig0015|3]]h,[[#fig0015|3]]i) barras com probabilidades de 100% ([[#fig0015|3]]a,[[#fig0015|3]]d,[[#fig0015|3]]g), 50% ([[#fig0015|3]]b,[[#fig0015|3]]e,[[#fig0015|3]]h) e 0% ([[#fig0015|3]]c,[[#fig0015|3]]f,[[#fig0015|3]]i). Os valores dos hipervolumes normalizados de cada curva dos algoritmos MOAS, MOACS e GDE3 estão indicadas por ''H''<sub>1</sub>, ''H''<sub>2</sub> e ''H''<sub>3</sub>, respectivamente.
918
919
</span>
920
|}
921
922
<span id='figure_fig0020'></span>
923
924
<span id='fig0020'></span>
925
926
{| style="text-align: center; border: 1px solid #BBB; margin: 1em auto; max-width: 100%;" 
927
|-
928
|
929
930
931
[[Image:draft_Content_786211509-1-s2.0-S0213131515000231-gr4.jpg|center|565px|Curvas dos conjuntos EAF referentes aos problemas das treliças de 72 (4a,4b,4c) ...]]
932
933
934
|-
935
| <span style="text-align: center; font-size: 75%;">
936
937
Figura 4.
938
939
<span id='spar0035'></span>
940
Curvas dos conjuntos ''EAF'' referentes aos problemas das treliças de 72 ( [[#fig0020|4]]a,[[#fig0020|4]]b,[[#fig0020|4]]c) e 942 ([[#fig0020|4]]d,[[#fig0020|4]]e,[[#fig0020|4]]f) barras com probabilidades de 100% ([[#fig0020|4]]a,[[#fig0020|4]]d), 50% ([[#fig0020|4]]b,[[#fig0020|4]]e) e 0% ([[#fig0020|4]]c,[[#fig0020|4]]f). Os valores dos hipervolumes normalizados de cada curva dos algoritmos MOAS, MOACS e GDE3 estão indicadas por ''H''<sub>1</sub>, ''H''<sub>2</sub> e ''H''<sub>3</sub>, respectivamente.
941
942
</span>
943
|}
944
945
<span id='figure_fig0025'></span>
946
947
<span id='fig0025'></span>
948
949
{| style="text-align: center; border: 1px solid #BBB; margin: 1em auto; max-width: 100%;" 
950
|-
951
|
952
953
954
[[Image:draft_Content_786211509-1-s2.0-S0213131515000231-gr5.jpg|center|565px|Curvas dos conjuntos EAF do algoritmo GDE3 com probabilidades de 100, 50 e 0% ...]]
955
956
957
|-
958
| <span style="text-align: center; font-size: 75%;">
959
960
Figura 5.
961
962
<span id='spar0040'></span>
963
Curvas dos conjuntos ''EAF'' do algoritmo GDE3 com probabilidades de 100, 50 e 0% referentes aos problemas das treliças de 10 ( [[#fig0025|5]]a), 25 ([[#fig0025|5]]b), 60 ([[#fig0025|5]]c), 72 ([[#fig0025|5]]d) e 942 ([[#fig0025|5]]e) barras. A diferença entre os valores dos hipervolumes normalizados das curvas correspondentes às probabilidades de 100 e 0% estão indicadas por ''D''.
964
965
</span>
966
|}
967
968
<span id='p0575'></span>
969
Esses gráficos também apresentam a imagem da melhor solução do problema mono-objetivo como um ponto de referência (''f''<sub>1</sub> ; ''f''<sub>2</sub>). São eles (5.490,70; 2) para a treliça de 10 barras, (484, 85 ; 0, 35) para a treliça de 25 barras, (309, 44 ; 1, 75) para a treliça de 60 barras e (379, 667 ; 0, 25) para a treliça de 72 barras, todos encontrados em [[#bib0020|[4]]]. O ponto de referência para a treliça de 942 barras é (142.295,75; 15), solução da versão mono-objetivo do problema encontrado em [[#bib0130|[26]]]. Isso mostra que a qualidade das soluções é mantida na versão multiobjetivo, visto que a Frente de Pareto se encontra bastante próxima desses pontos de referência.
970
971
<span id='p0580'></span>
972
Observando-se os gráficos das figuras [[#fig0015|3]], [[#fig0020|4]] e [[#fig0025|5]], percebe-se que a curva do conjunto ''EAF'' do algoritmo GDE3 domina, no geral, uma área muito maior do que os demais em todos os problemas e em todas as probabilidades. Nos problemas da treliça de 10 e 942 barras, o algoritmo GDE3 apresenta apenas uma parte dessa curva ligeiramente dominada por pelo menos um dos outros algoritmos. Nos demais problemas, os algoritmos MOAS e MOACS apresentam, no máximo, pequenas partes da curva coincidentes com a do algoritmo GDE3.
973
974
<span id='p0585'></span>
975
No problema da treliça de 60 barras, as curvas dos algoritmos MOAS e MOACS ficaram totalmente dominadas pela do algoritmo GDE3 em todas as probabilidades. Em todos os problemas foram encontradas soluções cujas imagens são muito próximas ao ponto de referência pelo algoritmo GDE3. Além disso, as imagens das soluções obtidas pelo algoritmo GDE3 estão mais próximas do ponto de referência do que as imagens das soluções obtidas pelos algoritmos MOAS e MOACS.
976
977
<span id='p0590'></span>
978
Os gráficos das 3 curvas dos conjuntos ''EAF'' do algoritmo GDE3 apresentado na figura indicam ainda que ele é mais estável do que os demais, uma vez que a área entre as curvas relativas às probabilidades de 0 e 100% é bem menor quando comparada aos algoritmos MOAS e MOACS. Essa diferença está indicada por ''D'' em cada figura, que é dado pela diferença entre os valores dos hipervolumes normalizados das curvas correspondentes às probabilidades de 100 e 0%. Além disso, as curvas do algoritmo GDE3 relativas às probabilidades de 50 e 100% são muito próximas em todos os problemas, indicando que a maioria das soluções obtidas por ele tem imagens próximas das melhores.
979
980
<span id='sec0070'></span>
981
==7. Conclusões==
982
983
<span id='p0595'></span>
984
Neste trabalho foi analisado o desempenho do algoritmo GDE3 combinado com a APM em 5 problemas de OE de treliças com codificação real para as variáveis de projeto, as quais pertencem a um espaço de busca discreto. Esses problemas foram resolvidos por Angelo et al. [[#bib0010|[2]]] utilizando 2 algoritmos baseados em colônia de formigas: MOAS e MOACS. Compararam-se aqui os resultados obtidos pelos algoritmos GDE3, MOAS e MOACS em 2 métricas: Hipervolume e ''Empirical Attainment Function''.
985
986
<span id='p0600'></span>
987
A versão mono-objetivo de 4 desses problemas foram resolvidos via ED por Silva et al. [[#bib0020|[4]]] também com codificação real para as variáveis de projeto. A mesma técnica de tratamento de restrições APM foi utilizada em [[#bib0010|[2]]] e [[#bib0020|[4]]].
988
989
<span id='p0605'></span>
990
A comparação dos resultados indica que o GDE3 apresentou desempenho significantemente superior aos demais algoritmos nas 2 métricas. Na métrica Hipervolume, a média dos valores de ''H'' dos ''SPO'' obtidos pelo GDE3 é maior do que a média dos valores de ''H'' dos ''SPO'' obtidos pelo MOAS e MOACS em todos os problemas, com diferença estatisticamente significante entre todos os resultados. Além disso, um menor desvio padrão dos valores de ''H'' relativos ao GDE3 foi observado em todos os problemas quando comparado ao desvio padrão dos valores de ''H'' relativos ao MOAS e ao MOACS.
991
992
<span id='p0610'></span>
993
Na métrica ''Empirical Attainment Function'', o conjunto ''EAF'' do algoritmo GDE3 domina, em geral, uma área bem maior do que a dominada pelos conjuntos ''EAF'' dos algoritmos MOAS e MOACS em todos os problemas e em todas as probabilidades consideradas aqui (0, 50 e 100%). A área entre as curvas ''EAF'' relativas às probabilidades de 0 e 100% do algoritmo GDE3 é bem menor quando comparada à área entre as curvas ''EAF'' relativas às mesmas probabilidades dos algoritmos MOAS e MOACS. Em alguns casos, as curvas ''EAF'' relativas às probabilidades de 0 e 100% do algoritmo GDE3 foram quase coincidentes, indicando que ele é o algoritmo mais estável entre todos os analisados.
994
995
<span id='p0615'></span>
996
Também observou-se nos experimentos que em todos os problemas foram encontradas soluções cujas imagens são muito próximas ao ponto de referência pelo algoritmo GDE3, sendo essas mais próximas do ponto de referência do que as obtidas pelos algoritmos MOAS e MOACS. Isso indica que não há perda significativa da qualidade das soluções obtidas pelo GDE3 em relação aos resultados da versão mono-objetivo desses problemas.
997
998
<span id='p0620'></span>
999
Como Zavala et al. [[#bib0005|[1]]] também aponta a carência de trabalhos envolvendo a incorporação de preferências do usuário nos AE aplicados a OE multiobjetivo, para trabalhos futuros está previsto experimentos com essa característica. Isso pode permitir a busca por soluções cujas imagens estão em uma região específica da Frente de Pareto, melhorando a qualidade das soluções a serem apresentadas ao(s) tomador(es) de decisão.
1000
1001
<span id='ack001'></span>
1002
==Agradecimentos==
1003
1004
<span id='p0625'></span>
1005
Os autores agradecem às agências de fomento pelos seguintes apoios CNPq (306815/2011- 7) e FAPEMIG (TEC PPM 528/11 e TEC PPM 388/14).
1006
1007
<span id='bibl0005'></span>
1008
==References==
1009
1010
<ol style='list-style-type: none;margin-left: 0px;'><li><span id='bib0005'></span>
1011
[[#bib0005|[1]]] G. Zavala, A.J. Nebro, F. Luna, C. Coello; A survey of multi-objective metaheuristics applied to structural optimization; Structural and Multidisciplinary Optimization, 49 (4) (2014), pp. 537–558</li>
1012
<li><span id='bib0010'></span>
1013
[[#bib0010|[2]]] J.S. Angelo, H.S. Bernardino, H.J.C. Barbosa; Multi-objective ant colony approaches for structural optimization problems; Proceedings of the Eleventh International Conference on Computational Structures Technology (2012), p. 66</li>
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<li><span id='bib0015'></span>
1015
[[#bib0015|[3]]] H.J.C. Barbosa, A.C.C. Lemonge; An adaptive penalty scheme in genetic algorithms for constrained optimization problems; GECCO’02: Proceedings of the Genetic and Evolutionary Computation Conference (2002), pp. 287–294</li>
1016
<li><span id='bib0020'></span>
1017
[[#bib0020|[4]]] E.K. Silva, H.J.C. Barbosa, A.C.C. Lemonge; An adaptive constraint handling technique for differential evolution with dynamic use of variants in engineering optimization; Optimization and Engineering, 12 (1-2) (2011), pp. 31–54</li>
1018
<li><span id='bib0025'></span>
1019
[[#bib0025|[5]]] S. Kukkonen, J. Lampinen; Gde3: The third evolution step of generalized differential evolution; IEEE Congress on Evolutionary Computation (CEC’2005), IEEE (2005), pp. 443–450</li>
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<li><span id='bib0030'></span>
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[[#bib0030|[6]]] A. Kaveh, M. Shahrouzi; Direct index coding for discrete sizing optimization of structures by genetic algorithms; International Journal of Civil Engineering, 3 (3-4) (2005), pp. 166–181</li>
1022
<li><span id='bib0035'></span>
1023
[[#bib0035|[7]]] R. Storn, K. Price; Differential evolution a simple and efficient adaptive scheme for global optimization over continuous spaces; Journal of Global Optimization, 11 (1997), pp. 341–359</li>
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<li><span id='bib0040'></span>
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[[#bib0040|[8]]] S. Das, P. Suganthan; Differential evolution: A survey of the state-of-the-art, Evolutionary Computation; IEEE Transactions on, 15 (1) (2011), pp. 4–31 doi:10.1109/TEVC.2010.2059031</li>
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<li><span id='bib0045'></span>
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[[#bib0045|[9]]] E. Mezura-Montes, M. Reyes-Sierra, C.A.C. Coello; Multi-objective optimization using differential evolution: A survey of the state-of-the-art; U. Chakraborty (Ed.), Advances in Differential Evolution, Springer Berlin Heidelberg (2008), pp. 173–196</li>
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<li><span id='bib0050'></span>
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<li><span id='bib0055'></span>
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[[#bib0055|[11]]] S. Kukkonen; Generalized differential evolution for global multi-objective optimization with constraints, Ph. D. thesis; Lappeenranta University of Technology, Finlândia (2012)</li>
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<li><span id='bib0060'></span>
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[[#bib0060|[12]]] E. Zitzler, L. Thiele; Multiobjective evolutionary algorithms: A comparative case study and the strength pareto approach.; IEEE Transactions on Evolutionary Computation, 3 (4) (1999), pp. 257–271</li>
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<li><span id='bib0065'></span>
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<li><span id='bib0070'></span>
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[[#bib0070|[14]]] A.C.C. Lemonge, H.J.C. Barbosa; An adaptive penalty scheme for genetic algorithms in structural optimization; International Journal For Numerical Methods In Engineering, 59 (5) (2004), pp. 703–706</li>
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<li><span id='bib0075'></span>
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[[#bib0095|[19]]] C. Coello, A. Christiansen; Multiobjective optimization of trusses using genetic algorithms; Comput. Struct., 75 (6) (2000), pp. 647–660</li>
1048
<li><span id='bib0100'></span>
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[[#bib0100|[20]]] K. Izui, S. Nishiwaki, M. Yoshimura, M. Nakamura, J. Renaud; Enhanced multiobjective particle swarm optimization in combination with adaptive weighted gradient-based searching; Eng. Optim., 40 (9) (2008), pp. 789–804</li>
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<li><span id='bib0120'></span>
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1058
<li><span id='bib0125'></span>
1059
[[#bib0125|[25]]] H. Adeli, N. Cheng; Concurrent genetic algorithms for optimization of large structures; Journal of Aerospace Engineering, 7 (3) (1994), pp. 276–296</li>
1060
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<li><span id='bib0135'></span>
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[[#bib0135|[27]]] O. Hasançebi, F. Erbatur; On efficient use of simulated annealing in complex structural optimization problems; Acta Mechanica, 157 (2002), pp. 27–50</li>
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Published on 01/06/16
Accepted on 09/02/15
Submitted on 15/10/14

Volume 32, Issue 2, 2016
DOI: 10.1016/j.rimni.2015.02.003
Licence: CC BY-NC-SA license

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