Machine learning and deep learning for numerical simulation of contaminant transport in water systems: a narrative review

==1 Introducción==

El transporte de contaminantes en sistemas hídricos condiciona la calidad del agua superficial y subterránea, afectando el abastecimiento humano y los ecosistemas asociados. Anticipar la distribución espacial, los tiempos de llegada y la concentración de solutos en ríos, suelos y acuíferos permite evaluar riesgos de exposición y diseñar esquemas de remediación ambiental.

En términos físico-matemáticos, estos fenómenos se describen mediante ecuaciones acopladas de flujo y transporte reactivo. En medios porosos saturados, el marco clásico articula la ley de Darcy con balances de masa que incorporan advección, difusión molecular, dispersión hidrodinámica, sorción y reacciones de degradación <span id='citeF-1'></span>[[#cite-1|[1]]]. En ríos y canales abiertos, el transporte se acopla a las ecuaciones de flujo en lámina libre o formulaciones unidimensionales de dispersión longitudinal, mientras que en medios fracturados intervienen la geometría de apertura y la conectividad hidráulica del medio.

La resolución práctica de estos problemas se apoya en métodos numéricos consolidados. Esquemas de diferencias finitas, volúmenes finitos y elementos finitos, implementados en códigos estándar como MODFLOW, MT3D-USGS y STOMP, permiten resolver dominios heterogéneos y condiciones de frontera complejas <span id='citeF-1'></span><span id='citeF-2'></span>[[#cite-1|[1,2]]]. Cada discretización numérica agrega compromisos operativos: difusión numérica en mallas gruesas, dispersión artificial ante gradientes abruptos, restricciones de paso temporal por estabilidad y pérdidas o ganancias artificiales de masa global. Pese a su confiabilidad física, la carga computacional de estos simuladores se vuelve restrictiva en tareas multiconsulta que exigen miles de evaluaciones del modelo, tales como la calibración inversa de parámetros, el análisis de sensibilidad, la propagación de incertidumbre y la optimización de sistemas de remediación <span id='citeF-2'></span><span id='citeF-3'></span>[[#cite-2|[2,3]]].

Frente a estas restricciones, el aprendizaje automático (''machine learning'', ML) y el aprendizaje profundo (''deep learning'', DL) ofrecen alternativas para mitigar la carga de cálculo. En hidrología y calidad del agua, las técnicas de ML y DL se han empleado en predicción de series temporales, mapeo de contaminantes e inferencia espacial <span id='citeF-4'></span><span id='citeF-5'></span><span id='citeF-6'></span>[[#cite-4|[4,5,6]]]. Sin embargo, la simulación del transporte de solutos no se reduce al ajuste estadístico de curvas observadas: un modelo puede registrar un error cuadrático medio reducido y, aun así, vulnerar la conservación de masa, desplazar frentes advectivos o generar concentraciones negativas sin sustento físico <span id='citeF-7'></span>[[#cite-7|[7]]]. Por otra parte, cuando un modelo de ML se entrena con datos generados por un simulador numérico, asimila la respuesta del esquema discretizado con sus correspondientes aproximaciones y sesgos de malla, en lugar de la solución física continua del problema.

Por consiguiente, la integración de ML y DL en la mecánica de fluidos ambientales busca complementar las capacidades de los códigos numéricos tradicionales en ámbitos computacionalmente exigentes. La literatura reciente se organiza principalmente en dos grandes vertientes metodológicas: los modelos sustitutos o emuladores, diseñados para aproximar la relación entrada&#8211;salida de simuladores costosos para tareas multiconsulta <span id='citeF-2'></span><span id='citeF-8'></span>[[#cite-2|[2,8]]], y las redes neuronales informadas por física (''physics-informed neural networks'', PINNs), que incorporan los residuos de las ecuaciones diferenciales y las condiciones de frontera dentro de la función de pérdida para guiar el aprendizaje en regímenes con datos escasos o problemas inversos <span id='citeF-9'></span><span id='citeF-10'></span><span id='citeF-7'></span>[[#cite-9|[9,10,7]]]. De forma complementaria, emergen formulaciones basadas en redes neuronales de grafos (''graph neural networks'', GNN) y operadores neuronales, concebidas para capturar conectividades hidrogeológicas no estructuradas y mapeos continuos independientes de malla.

La pregunta central de esta revisión es: ''¿en qué condiciones técnicas y bajo qué criterios de consistencia física pueden integrarse los modelos sustitutos y las PINNs en la simulación e inversión del transporte de contaminantes en sistemas hídricos?'' Para responderla, el presente trabajo examina los supuestos matemáticos, la evidencia empírica, las demandas computacionales y los límites de extrapolación de ambas familias. El análisis parte de que la validez de estos modelos exige evaluar de forma conjunta las métricas estadísticas de error, la conservación de masa, la estabilidad en regímenes dominados por advección, el balance de costo computacional y la interpretabilidad de los parámetros inferidos.

==2 Alcance y metodología de revisión==

Esta revisión narrativa examina el desarrollo reciente de ML y DL en la simulación y caracterización del transporte de solutos en sistemas hídricos, con énfasis en medios porosos, acuíferos y aguas superficiales gobernados por la ecuación de advección&#8211;dispersión&#8211;reacción. A diferencia de las revisiones centradas exclusivamente en predicción hidrológica basada en datos observacionales, el análisis se sitúa en la intersección entre la formulación física, la consistencia numérica y el aprendizaje computacional. El corpus bibliográfico se seleccionó a partir de artículos indexados, revisiones temáticas y desarrollos metodológicos con código o formulación reproducible, priorizando estudios que reportan comparaciones directas con simuladores numéricos o datos de laboratorio y campo.

Para estructurar el análisis con claridad, la discusión se concentra en dos familias: (1) ''modelos sustitutos y emuladores'', que emplean redes neuronales, procesos gaussianos y reducción de orden para acelerar la evaluación entrada&#8211;salida de simuladores numéricos en regímenes multiconsulta; y (2) ''PINNs'', que integran las ecuaciones gobernantes y condiciones de contorno en la función de pérdida para resolver problemas directos e inversos con datos escasos.

La Figura&nbsp;[[#img-1|1]] ilustra el flujo metodológico en el que se insertan estas herramientas. Mientras los sustitutos emulan la respuesta del simulador a partir de conjuntos de datos previamente calculados, las PINNs incorporan los operadores diferenciales directamente en la fase de optimización. En ambas familias, la evaluación técnica debe verificar la reproducibilidad del esquema generador, el costo computacional total y el comportamiento ante variaciones en las condiciones hidrodinámicas del medio.

<div id='img-1'></div>
{| class="floating_imageSCP" style="text-align: center; border: 1px solid #BBB; margin: 1em auto; width: 100%;max-width: 100%;"
|-
|[[Image:Review_691056789131-figura_tikz.png|570px|Integración conceptual de física, datos y ML/DL en el modelado del transporte de contaminantes. Los modelos sustitutos emulan la respuesta entrada&#8211;salida de simuladores numéricos para agilizar tareas multiconsulta, mientras que las PINNs incorporan residuos de las ecuaciones gobernantes y condiciones de frontera durante el entrenamiento.]]
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| colspan="1" | '''Figure 1:''' Integración conceptual de física, datos y ML/DL en el modelado del transporte de contaminantes. Los modelos sustitutos emulan la respuesta entrada&#8211;salida de simuladores numéricos para agilizar tareas multiconsulta, mientras que las PINNs incorporan residuos de las ecuaciones gobernantes y condiciones de frontera durante el entrenamiento.
|}

==3 Marco físico y numérico del transporte de contaminantes==

Para ilustrar el modelo matemático que subyace a las metodologías de ML y DL, considérese el problema prototipo del transporte reactivo de un soluto en un acuífero saturado. En este sistema, la velocidad intersticial promedio de poro <math display="inline">\mathbf{v}</math> se deriva del campo de flujo hidrodinámico según la ley de Darcy:

<span id="eq-1"></span>
{| class="formulaSCP" style="width: 100%; text-align: left;" 
|-
| 
{| style="text-align: left; margin:auto;width: 100%;" 
|-
| style="text-align: center;" | <math>\mathbf{v} = -\frac{\mathbf{K}}{\phi }\nabla h,                      </math>
|}
| style="width: 5px;text-align: right;white-space: nowrap;" | (1)
|}

donde <math display="inline">\mathbf{K}</math> es el tensor de conductividad hidráulica del medio poroso, <math display="inline">\phi </math> es la porosidad efectiva y <math display="inline">h</math> representa la carga hidráulica <span id='citeF-1'></span>[[#cite-1|[1]]].

A partir del balance de masa sobre un volumen representativo elemental, el transporte transitorio de la concentración disuelta <math display="inline">C(\mathbf{x},t)</math> queda gobernado por la ecuación de advección&#8211;dispersión&#8211;reacción:

<span id="eq-2"></span>
{| class="formulaSCP" style="width: 100%; text-align: left;" 
|-
| 
{| style="text-align: left; margin:auto;width: 100%;" 
|-
| style="text-align: center;" | <math>R_f \frac{\partial C}{\partial t}             + \mathbf{v}\cdot \nabla C             =             \nabla \cdot (\mathbf{D}\nabla C)             - \lambda C             + S(\mathbf{x},t),                      </math>
|}
| style="width: 5px;text-align: right;white-space: nowrap;" | (2)
|}

donde <math display="inline">R_f = 1 + \frac{\rho _b K_d}{\phi }</math> cuantifica la retardación por sorción lineal (<math display="inline">\rho _b</math> es la densidad aparente del suelo y <math display="inline">K_d</math> el coeficiente de distribución isotérmica), <math display="inline">\mathbf{v}\cdot \nabla C</math> representa el transporte advectivo a lo largo de las líneas de flujo, <math display="inline">\lambda </math> es la tasa de decaimiento reactivo de primer orden y <math display="inline">S(\mathbf{x},t)</math> describe la tasa neta de inyección o extracción volumétrica de soluto. En medios anisótropos, el tensor de dispersión hidrodinámica <math display="inline">\mathbf{D}</math> combina la difusión molecular y la dispersión mecánica debida a la variabilidad de velocidades a escala de poro según la formulación de Bear&#8211;Scheidegger <span id='citeF-1'></span>[[#cite-1|[1]]]:

<span id="eq-3"></span>
{| class="formulaSCP" style="width: 100%; text-align: left;" 
|-
| 
{| style="text-align: left; margin:auto;width: 100%;" 
|-
| style="text-align: center;" | <math>\mathbf{D} = \left(\alpha _T \| \mathbf{v}\| + D_m\right)\mathbf{I} + \frac{\alpha _L - \alpha _T}{\| \mathbf{v}\| }\mathbf{v}\mathbf{v}^T,                      </math>
|}
| style="width: 5px;text-align: right;white-space: nowrap;" | (3)
|}

donde <math display="inline">\alpha _L</math> y <math display="inline">\alpha _T</math> son las dispersividades longitudinal y transversal del medio, <math display="inline">D_m</math> es el coeficiente de difusión molecular efectivo e <math display="inline">\mathbf{I}</math> es el tensor identidad.

La resolución de la ecuación&nbsp;([[#eq-2|2]]) requiere condiciones iniciales y de contorno: una distribución inicial <math display="inline">C(\mathbf{x},0) = C_0(\mathbf{x})</math>, concentraciones prescritas en zonas de recarga o entrada (frontera de Dirichlet, <math display="inline">C = C_b</math>), flujos nulos en límites impermeables (frontera de Neumann homogénea, <math display="inline">\nabla C \cdot \mathbf{n} = 0</math>) y balances de flujo en puntos de descarga (frontera de Cauchy). En aplicaciones inversas de caracterización ambiental, la fuente <math display="inline">S(\mathbf{x},t)</math> o el campo de conductividad <math display="inline">\mathbf{K}</math> suelen ser incógnitas que deben reconstruirse a partir de mediciones dispersas de concentración en pozos de monitoreo <span id='citeF-11'></span><span id='citeF-12'></span>[[#cite-11|[11,12]]].

La dificultad analítica y numérica de este modelo matemático se cuantifica mediante dos números adimensionales: el número de Péclet (<math display="inline">Pe</math>) y el número de Damköhler (<math display="inline">Da</math>), definidos como:

<span id="eq-4"></span>
{| class="formulaSCP" style="width: 100%; text-align: left;" 
|-
| 
{| style="text-align: left; margin:auto;width: 100%;" 
|-
| style="text-align: center;" | <math>Pe = \frac{UL}{D},             \qquad              Da = \frac{\lambda L}{U},                      </math>
|}
| style="width: 5px;text-align: right;white-space: nowrap;" | (4)
|}

donde <math display="inline">U</math> es una velocidad característica de flujo, <math display="inline">L</math> es la longitud característica del dominio y <math display="inline">D</math> es el coeficiente de dispersión efectivo. Valores elevados de Péclet (<math display="inline">Pe \gg 1</math>) identifican regímenes dominados por advección, caracterizados por frentes de pluma pronunciados y gradientes locales agudos. En estas condiciones, los métodos de aproximación numérica y las redes neuronales estándar tienden a sufrir difusión numérica espuria u oscilaciones artificiales <span id='citeF-13'></span><span id='citeF-14'></span>[[#cite-13|[13,14]]]. Este problema prototipo sirve como base física común para evaluar las dos familias analizadas a continuación: los modelos sustitutos orientados a acelerar simulaciones repetidas de este sistema, y las PINNs diseñadas para resolverlo o estimar sus parámetros.

==4 Modelos sustitutos y emuladores==

===4.1 Aproximación funcional del operador en regímenes multiconsulta===

Un modelo sustituto aproxima el mapeo entrada&#8211;salida evaluado por un simulador numérico de alto costo. Sea <math display="inline">\mathcal{G}: \mathcal{P} \to \mathcal{Y}</math> el operador de referencia que transforma un vector paramétrico <math display="inline">\boldsymbol{\mu } \in \mathcal{P} \subset \mathbb{R}^p</math> (conductividades hidráulicas, dispersividades, cinéticas reactivas o concentraciones de frontera) en un espacio de respuestas <math display="inline">\mathbf{y} \in \mathcal{Y}</math> (distribuciones de concentración <math display="inline">C(\mathbf{x}, t)</math> o curvas de ruptura). El emulador aproxima dicha relación mediante una estructura funcional parametrizada por <math display="inline">\boldsymbol{\eta } \in \mathbb{R}^m</math>:

<span id="eq-5"></span>
{| class="formulaSCP" style="width: 100%; text-align: left;" 
|-
| 
{| style="text-align: left; margin:auto;width: 100%;" 
|-
| style="text-align: center;" | <math>\widehat{\mathcal{G}}_{\boldsymbol{\eta }}:\mathcal{P}\longrightarrow \mathcal{Y},                 \qquad                  \widehat{\mathcal{G}}_{\boldsymbol{\eta }}(\boldsymbol{\mu })\approx \mathcal{G}(\boldsymbol{\mu }).                              </math>
|}
| style="width: 5px;text-align: right;white-space: nowrap;" | (5)
|}

Este planteamiento impone una limitación directa: el sustituto asimila el comportamiento del simulador sobre un conjunto finito de corridas <math display="inline">\{ \boldsymbol{\mu }_i\} _{i=1}^{N_{\mathrm{sim}}}</math>, reproduciendo los sesgos de discretización y dispersión del código generador en lugar de las leyes continuas de conservación. La literatura clasifica estos esquemas en tres vertientes principales <span id='citeF-2'></span>[[#cite-2|[2]]]: modelos basados en datos (redes densas, recurrentes, procesos gaussianos y expansiones de ''polynomial chaos''), métodos de reducción de orden (''proper orthogonal decomposition'' y bases reducidas que proyectan la dinámica sobre variedades de baja dimensión) y enfoques multifidelidad que corrigen simulaciones simplificadas con evaluaciones de alta fidelidad. El diseño experimental, mediante muestreo de hipercubo latino o estrategias adaptativas guiadas por incertidumbre, define la capacidad del modelo para explorar configuraciones físicamente plausibles en acuíferos <span id='citeF-2'></span><span id='citeF-3'></span>[[#cite-2|[2,3]]].

===4.2 Evidencia hidrogeológica y límites de extrapolación===

La aplicación de sustitutos se concentra en tareas iterativas de calibración, análisis de incertidumbre, optimización de remediación e identificación de fuentes contaminantes <span id='citeF-3'></span>[[#cite-3|[3]]]. En acuíferos 2D con advección, dispersión y sorción lineal, redes de perceptrón multicapa (MLP) para concentraciones puntuales y redes de memoria a corto y largo plazo (LSTM) para curvas de ruptura alcanzan <math display="inline">R^2 \approx 0.99</math> frente a simulaciones de MODFLOW/MT3D <span id='citeF-8'></span>[[#cite-8|[8]]]. En transporte reactivo multiespecie acoplado (contaminante primario y subproducto), redes entrenadas con diferencias finitas logran aceleraciones inferenciales de decenas a cientos de veces con errores cuadráticos medios (RMSE) inferiores a <math display="inline">0.03</math>, aunque con variabilidad local de precisión según el número de Péclet y desajustes cerca de la fuente <span id='citeF-15'></span>[[#cite-15|[15]]].

En problemas inversos con condiciones de contorno inciertas, esquemas basados en aprendizaje automático automatizado (''AutoML'') identifican fuentes puntuales y distribuidas; no obstante, el error relativo crece al pasar de fuentes concentradas a fuentes distribuidas, lo que expone las dificultades de identificabilidad física bajo observaciones incompletas <span id='citeF-11'></span>[[#cite-11|[11]]]. De manera similar, la emulación en fracturas rugosas acelera la predicción del flujo preferencial, pero experimenta pérdidas de precisión ante zonas de contacto y rugosidades fuera del rango entrenado <span id='citeF-16'></span>[[#cite-16|[16]]]. Estos resultados confirman que los coeficientes <math display="inline">R^2</math> globales pueden encubrir desviaciones locales relevantes en frentes de avance o pozos de captación, y que la extrapolación fuera del espacio paramétrico <math display="inline">\mathcal{P}</math> permanece sujeta a fallas imprevistas ante modificaciones en el régimen hidrodinámico.

===4.3 Balance computacional y umbral analítico de amortización===

La conveniencia operativa de un emulador exige distinguir el costo de preparación fuera de línea (''offline'') del costo de consulta en línea (''online''). Resolver <math display="inline">N_{\mathrm{eval}}</math> consultas mediante el código numérico demanda <math display="inline">C_{\mathrm{direct}}(N_{\mathrm{eval}}) = N_{\mathrm{eval}} C_{\mathrm{sim}}</math>, con <math display="inline">C_{\mathrm{sim}}</math> como tiempo medio por corrida. La vía del sustituto requiere generar <math display="inline">N_{\mathrm{sim}}</math> simulaciones numéricas, un esfuerzo de entrenamiento <math display="inline">C_{\mathrm{train}}</math> e inferencias aceleradas <math display="inline">C_{\mathrm{surr}}</math> por consulta:

<span id="eq-6"></span>
{| class="formulaSCP" style="width: 100%; text-align: left;" 
|-
| 
{| style="text-align: left; margin:auto;width: 100%;" 
|-
| style="text-align: center;" | <math>C_{\mathrm{total}}(N_{\mathrm{eval}})                 =                 N_{\mathrm{sim}} C_{\mathrm{sim}}                 + C_{\mathrm{train}}                 + N_{\mathrm{eval}} C_{\mathrm{surr}}.                              </math>
|}
| style="width: 5px;text-align: right;white-space: nowrap;" | (6)
|}

La condición de rentabilidad <math display="inline">C_{\mathrm{total}}(N_{\mathrm{eval}}) < C_{\mathrm{direct}}(N_{\mathrm{eval}})</math> define el umbral analítico de amortización:

<span id="eq-7"></span>
{| class="formulaSCP" style="width: 100%; text-align: left;" 
|-
| 
{| style="text-align: left; margin:auto;width: 100%;" 
|-
| style="text-align: center;" | <math>N_{\mathrm{eval}} > N_{\mathrm{eval}}^* = \frac{N_{\mathrm{sim}} C_{\mathrm{sim}} + C_{\mathrm{train}}}{C_{\mathrm{sim}} - C_{\mathrm{surr}}} \approx N_{\mathrm{sim}} + \frac{C_{\mathrm{train}}}{C_{\mathrm{sim}}},                              </math>
|}
| style="width: 5px;text-align: right;white-space: nowrap;" | (7)
|}

dado que <math display="inline">C_{\mathrm{surr}} \ll C_{\mathrm{sim}}</math> (con razones habituales <math display="inline">C_{\mathrm{surr}} / C_{\mathrm{sim}} \le 10^{-3}</math>). La relación [[#eq-7|(7)]] demuestra que el sustituto incurre en un sobrecosto computacional si el número de evaluaciones no supera el lote de entrenamiento más el equivalente en simulaciones del tiempo de ajuste. Esta condición se cumple en propagación de incertidumbre Monte Carlo o calibración estocástica (<math display="inline">N_{\mathrm{eval}} \sim 10^4</math> a <math display="inline">10^6</math>), pero resulta deficitaria en análisis aislados o cuando modificaciones en la geometría del dominio exigen regenerar la base de datos <span id='citeF-2'></span>[[#cite-2|[2]]].

==5 Aprendizaje informado por física y redes neuronales==

===5.1 Formulación continua y optimización multiobjetivo===

Las PINNs integran las ecuaciones diferenciales gobernantes en la función de pérdida de la optimización. En lugar de limitarse al aprendizaje supervisado sobre pares discretos de entrada&#8211;salida, se parametriza la solución continua del campo de transporte mediante una red diferenciable <math display="inline">C_{\boldsymbol{\theta }}(\mathbf{x}, t)</math>, con parámetros <math display="inline">\boldsymbol{\theta } \in \mathbb{R}^m</math>. El entrenamiento ajusta simultáneamente observaciones, condiciones iniciales, restricciones de frontera y residuos de la ecuación diferencial en el dominio espaciotemporal <math display="inline">\Omega \times (0, T]</math>. La función de pérdida se define como:

<span id="eq-8"></span>
{| class="formulaSCP" style="width: 100%; text-align: left;" 
|-
| 
{| style="text-align: left; margin:auto;width: 100%;" 
|-
| style="text-align: center;" | <math>\mathcal{L}(\boldsymbol{\theta })                 = \lambda _d \mathcal{L}_{\mathrm{datos}}(\boldsymbol{\theta })                 + \lambda _b \mathcal{L}_{\mathrm{frontera}}(\boldsymbol{\theta })                 + \lambda _i \mathcal{L}_{\mathrm{inicial}}(\boldsymbol{\theta })                 + \lambda _f \mathcal{L}_{\mathrm{PDE}}(\boldsymbol{\theta }),                              </math>
|}
| style="width: 5px;text-align: right;white-space: nowrap;" | (8)
|}

donde los coeficientes <math display="inline">\lambda _d, \lambda _b, \lambda _i, \lambda _f > 0</math> ponderan cada término. Cada componente se calcula sobre conjuntos discretos de puntos:

<span id="eq-9"></span>
<span id="eq-10"></span>
<span id="eq-11"></span>
{| class="formulaSCP" style="width: 100%; text-align: left;" 
|-
| 
{| style="text-align: left; margin:auto;width: 100%;" 
|-
| style="text-align: center;" | <math>\mathcal{L}_{\mathrm{datos}}(\boldsymbol{\theta })                 =                 \frac{1}{N_d}\sum _{k=1}^{N_d} \left|C_{\boldsymbol{\theta }}(\mathbf{x}_k^d, t_k^d) - C_{\mathrm{obs}}^k\right|^2,                                  </math>
| style="width: 5px;text-align: right;white-space: nowrap;" | (9)
|-
| style="text-align: center;" | <math>                 \mathcal{L}_{\mathrm{PDE}}(\boldsymbol{\theta })                 =                 \frac{1}{N_f}\sum _{j=1}^{N_f} \left|r_{\boldsymbol{\theta }}(\mathbf{x}_j^f, t_j^f)\right|^2,                                  </math>
| style="width: 5px;text-align: right;white-space: nowrap;" | (10)
|-
| style="text-align: center;" | <math>                 \mathcal{L}_{\mathrm{inicial}}(\boldsymbol{\theta })                 =                 \frac{1}{N_i}\sum _{i=1}^{N_i} \left|C_{\boldsymbol{\theta }}(\mathbf{x}_i^i, 0) - C_0(\mathbf{x}_i^i)\right|^2,                              </math>
| style="width: 5px;text-align: right;white-space: nowrap;" | (11)
|}
|}

mientras que <math display="inline">\mathcal{L}_{\mathrm{frontera}}(\boldsymbol{\theta })</math> penaliza la discrepancia en operadores de frontera en <math display="inline">N_b</math> puntos sobre <math display="inline">\partial \Omega \times (0, T]</math>. Para el transporte de solutos establecido en la Sección&nbsp;[[#5 Marco físico y numérico del transporte de contaminantes|5]], el residual continuo <math display="inline">r_{\boldsymbol{\theta }}(\mathbf{x},t)</math> corresponde a:

<span id="eq-12"></span>
{| class="formulaSCP" style="width: 100%; text-align: left;" 
|-
| 
{| style="text-align: left; margin:auto;width: 100%;" 
|-
| style="text-align: center;" | <math>r_{\boldsymbol{\theta }}(\mathbf{x},t)                 =                 R_f \frac{\partial C_{\boldsymbol{\theta }}}{\partial t}                 + \mathbf{v}\cdot \nabla C_{\boldsymbol{\theta }}                 - \nabla \cdot \left(\mathbf{D}\nabla C_{\boldsymbol{\theta }}\right)                 + \lambda C_{\boldsymbol{\theta }}                 - S(\mathbf{x},t),                              </math>
|}
| style="width: 5px;text-align: right;white-space: nowrap;" | (12)
|}

con <math display="inline">R_f</math> como factor de retardación, <math display="inline">\mathbf{v}</math> el campo de velocidad intersticial, <math display="inline">\mathbf{D}</math> el tensor de dispersión definido en [[#eq-3|(3)]], <math display="inline">\lambda </math> la tasa de decaimiento y <math display="inline">S(\mathbf{x},t)</math> el término de inyección o extracción volumétrica de soluto. Las derivadas parciales se evalúan sin mallas mediante diferenciación automática (''automatic differentiation'', AD) sobre el grafo de la red <span id='citeF-9'></span><span id='citeF-10'></span>[[#cite-9|[9,10]]].

Durante el entrenamiento surge un compromiso entre el ajuste de datos y la consistencia física: si <math display="inline">\lambda _f</math> predomina, la red puede satisfacer la ecuación en promedio pero divergir de las mediciones; si <math display="inline">\lambda _d</math> domina, actúa como un interpolador empírico. La adimensionalización de las variables espaciotemporales y los coeficientes hidrogeológicos evita disparidades numéricas entre las magnitudes de los gradientes <span id='citeF-10'></span><span id='citeF-7'></span>[[#cite-10|[10,7]]]. Habitualmente se emplea el optimizador Adam para una fase exploratoria inicial, seguido de refinamiento local mediante L-BFGS <span id='citeF-17'></span><span id='citeF-13'></span>[[#cite-17|[17,13]]].

===5.2 Acoplamiento hidrodinámico, problemas inversos e incertidumbre===

En sistemas subterráneos, el transporte está acoplado al campo de flujo. Las formulaciones multifísicas permiten estimar simultáneamente la conductividad hidráulica <math display="inline">K(\mathbf{x})</math>, la carga hidráulica <math display="inline">h(\mathbf{x})</math> y la concentración <math display="inline">C(\mathbf{x},t)</math> a partir de datos dispersos, superando a las redes puramente basadas en datos <span id='citeF-17'></span>[[#cite-17|[17]]]. Este esquema abarca problemas directos, inversos y retrospectivos en el tiempo (''backward-in-time'') gobernados por el flujo de Darcy <span id='citeF-18'></span>[[#cite-18|[18]]]. En medios heterogéneos, el uso de funciones de activación periódicas (<math display="inline">\sin </math>) reduce el error frente a <math display="inline">\tanh </math> en uno o dos órdenes de magnitud, facilitando la captura de gradientes abruptos <span id='citeF-19'></span>[[#cite-19|[19]]].

Para abordar la incertidumbre paramétrica y observacional, las PINNs se han integrado con caos polinomial arbitrario, optimización bayesiana y datos multifidelidad <span id='citeF-20'></span>[[#cite-20|[20]]], así como esquemas de pre-entrenamiento sobre familias de problemas de transporte en suelos <span id='citeF-21'></span>[[#cite-21|[21]]]. En problemas inversos, los parámetros hidrogeológicos y las fuentes se tratan como variables optimizables diferenciables. No obstante, hacer entrenable un parámetro no asegura su identificabilidad: la convergencia exige ponderaciones adaptativas y reescalamiento de gradientes para evitar combinaciones espurias de parámetros que reproduzcan el campo de concentración <span id='citeF-12'></span>[[#cite-12|[12]]]. Estas formulaciones se han aplicado a la identificación de fuentes en canales fluviales 1D <span id='citeF-22'></span>[[#cite-22|[22]]], advección&#8211;difusión 2D <span id='citeF-23'></span>[[#cite-23|[23]]] y acuíferos mediante esquemas bayesianos en dos etapas <span id='citeF-24'></span>[[#cite-24|[24]]].

===5.3 Regímenes advectivos, balance de masa y criterios de reporte===

En regímenes dominados por advección (<math display="inline">Pe \gg 1</math>), el sesgo espectral de las redes neuronales favorece frecuencias espaciales bajas, lo que tiende a suavizar frentes pronunciados. En problemas hiperbólicos con discontinuidades (como el flujo de Buckley&#8211;Leverett), las formulaciones estándar divergen a menos que se introduzcan restricciones de entropía y condiciones admisibles de flujo <span id='citeF-13'></span>[[#cite-13|[13]]]. Aunque el uso de activaciones adaptativas mitiga oscilaciones espurias en problemas de advección&#8211;dispersión&#8211;reacción <span id='citeF-14'></span>[[#cite-14|[14]]], la minimización del residual diferencial [[#eq-10|(10)]] sobre puntos discretos no garantiza la conservación global de la masa; la inclusión de una penalización integral de balance reduce esta deficiencia <span id='citeF-25'></span>[[#cite-25|[25]]].

El reporte riguroso de PINNs en transporte hídrico exige consignar: formulación adimensional, arquitectura y funciones de activación, esquema de muestreo de puntos de colocación, evolución de las ponderaciones de pérdida <math display="inline">\lambda _k</math>, costo computacional de entrenamiento e inferencia, verificación del balance de masa y evaluación fuera de distribución.

==6 Criterios de evaluación y comparación metodológica==

La evaluación de modelos de ML y DL en transporte de contaminantes no puede limitarse a métricas estadísticas globales. Coeficientes como el RMSE o el coeficiente de determinación (<math display="inline">R^2</math>) promedian las desviaciones espaciotemporales sobre la totalidad del dominio de cálculo <math display="inline">\Omega </math>. Dado que las plumas de soluto ocupan habitualmente una fracción reducida del acuífero, un modelo que prediga concentraciones nulas en zonas no perturbadas puede alcanzar con facilidad valores de <math display="inline">R^2 > 0.98</math>, encubriendo subestimaciones severas en frentes de avance o retrasos en la llegada a pozos de abastecimiento.

Para garantizar consistencia física y utilidad hidrogeológica, un protocolo riguroso de validación integra cuatro dimensiones analíticas:

<ol>

<li>'''Conservación de masa y positividad:''' Comprueba que el modelo no genere ni destruya masa de soluto de manera artificial. El error relativo instantáneo de balance de masa en el tiempo <math display="inline">t</math> se define formalmente como:   

<span id="eq-13"></span>
{| class="formulaSCP" style="width: 100%; text-align: left;" 
|-
| 
{| style="text-align: left; margin:auto;width: 100%;" 
|-
| style="text-align: center;" | <math>

\varepsilon _{\mathrm{masa}}(t)                 =                 \frac{\left|\int _\Omega \phi (\mathbf{x}) R_f(\mathbf{x}) C_{\boldsymbol{\theta }}(\mathbf{x},t)\,d\Omega - M_{\mathrm{teorico}}(t)\right|}{M_0 + \int _0^t \dot{M}_{\mathrm{in}}(\tau )\,d\tau },                              </math>
|}
| style="width: 5px;text-align: right;white-space: nowrap;" | (13)
|}</li>

donde <math display="inline">M_0 = \int _\Omega \phi R_f C_0\,d\Omega </math> es la masa inicial disuelta y adsorbida en el medio poroso, <math display="inline">\dot{M}_{\mathrm{in}}</math> denota el flujo másico inyectado, y la masa teórica acumulada <math display="inline">M_{\mathrm{teorico}}(t)</math> integra los flujos advectivos y dispersivos en la frontera junto con la tasa de decaimiento reactivo:   

<span id="eq-14"></span>
{| class="formulaSCP" style="width: 100%; text-align: left;" 
|-
| 
{| style="text-align: left; margin:auto;width: 100%;" 
|-
| style="text-align: center;" | <math>

M_{\mathrm{teorico}}(t)                 =                 M_0 + \int _0^t \left[\dot{M}_{\mathrm{in}}(\tau ) - \dot{M}_{\mathrm{out}}(\tau ) - \int _\Omega \phi (\mathbf{x}) \lambda C_{\boldsymbol{\theta }}(\mathbf{x},\tau )\,d\Omega \right]d\tau{.}                              </math>
|}
| style="width: 5px;text-align: right;white-space: nowrap;" | (14)
|}

A la par de [[#eq-13|(13)]], debe verificarse la condición de positividad <math display="inline">C_{\boldsymbol{\theta }}(\mathbf{x},t) \ge 0</math>, cuya vulneración genera artefactos numéricos inadmisibles en ingeniería ambiental.

<li>'''Respuesta ante regímenes advectivos (<math>Pe</math>):''' El comportamiento predictivo debe examinarse en función del número de Péclet (<math display="inline">Pe = UL/D</math>). En regímenes con <math display="inline">Pe \gg 1</math>, se evalúa si la arquitectura amortigua el frente contaminante mediante difusión artificial o si induce oscilaciones espurias aguas arriba del frente de avance. </li>

<li>'''Amortización del costo computacional:''' Evaluación formal del balance entre el costo preparatorio <math display="inline">C_{\mathrm{offline}}</math> (generación de lotes de simulación y convergencia de gradientes) y el costo inferencial <math display="inline">C_{\mathrm{online}}</math>, aplicando el umbral analítico de consultas <math display="inline">N_{\mathrm{eval}}^*</math> deducido en [[#eq-7|(7)]]. </li>

<li>'''Generalización y extrapolación fuera de distribución:''' Verificación del desempeño ante escenarios no contemplados en la etapa de optimización, tales como variaciones en el gradiente regional de flujo, desplazamientos imprevistos de la fuente o campos de conductividad hidráulica con estructuras de heterogeneidad no muestreadas.         </li>

</ol>

La Tabla&nbsp;[[#table-1|1]] sintetiza las diferencias operativas y conceptuales entre las dos familias metodológicas analizadas.


{|  class="floating_tableSCP wikitable" style="text-align: left; margin: 1em auto;min-width:50%;"
|+ style="font-size: 75%;" |<span id='table-1'></span>Table. 1 Comparación metodológica entre modelos sustitutos y PINNs en el transporte de contaminantes.
|-
|                  '''Dimensión''' 
| '''Modelos sustitutos y emuladores''' 
| '''PINNs''' 
|-
|                  Entrada y salida 
| Parámetros globales o de diseño <math display="inline">\to </math> campos de concentración o series en pozos. 
| Coordenadas <math display="inline">(\mathbf{x},t)</math> y parámetros <math display="inline">\to </math> concentración local <math display="inline">C(\mathbf{x},t)</math> y propiedades del medio. 
|-
|                  Requerimiento de datos 
| Cientos a miles de simulaciones numéricas previas mediante diseño de experimentos. 
| Mediciones dispersas de concentración y puntos de colocación en el dominio; no requieren simulador previo. 
|-
|                  Tratamiento de la física 
| Indirecto; la física proviene del simulador numérico que genera la base de entrenamiento. 
| Directo; el residuo diferencial de advección&#8211;dispersión&#8211;reacción se minimiza en la función de pérdida. 
|-
|                  Costo computacional 
| Alto costo inicial (<math display="inline">C_{\mathrm{offline}}</math>); inferencia en milisegundos (<math display="inline">C_{\mathrm{online}}</math>). 
| Optimización prolongada para cada escenario; cada nuevo dominio o condición exige reentrenamiento. 
|-
|                  Conservación y extrapolación 
| Conservación aproximada; degradación rápida fuera del espacio paramétrico entrenado <math display="inline">\mathcal{P}</math>. 
| Susceptible a difusión numérica y pérdidas de masa si <math display="inline">Pe \gg 1</math>; regularización continua en interpolación. 
|-
|                  Uso principal 
| Análisis de sensibilidad global, optimización de pozos y propagación de incertidumbre Monte Carlo. 
| Problemas inversos, estimación de parámetros hidrogeológicos y localización de fuentes contaminantes. 

|}

==7 Desafíos abiertos para una adopción confiable==

La adopción de estas técnicas en la toma de decisiones hidrogeológicas enfrenta retos metodológicos específicos que condicionan su fiabilidad práctica en escenarios de ingeniería ambiental.

En primer término, persiste una falta de problemas de referencia (''benchmarks'') compartidos en hidrogeología computacional. La literatura evalúa las arquitecturas sobre geometrías ''ad hoc'', fuentes simplificadas o condiciones de flujo homogéneo. Esta disparidad en los casos de prueba impide comparar de forma concluyente la precisión, la demanda de memoria y el tiempo de entrenamiento entre distintas alternativas. La comunidad requiere bancos de prueba abiertos basados en configuraciones representativas (como medios porosos con heterogeneidad espacial correlacionada o sistemas fracturados), provistos de mallas y particiones de datos estandarizadas.

En segundo término, existe una brecha notable entre los datos sintéticos de simulaciones numéricas y las condiciones del monitoreo ambiental de campo. Mientras que los simuladores numéricos entregan mallas densas y regulares, los acuíferos reales se registran mediante redes limitadas de pozos con muestreos asincrónicos, perturbados por ruido instrumental e incertidumbre en la estratigrafía subsuperficial. El desarrollo de modelos debe priorizar la asimilación de datos escasos y dispersos, contemplando las incertidumbres asociadas a las condiciones de frontera hidrogeológicas.

En tercer lugar, la conservación estricta de masa en regímenes dominados por advección continúa siendo un problema abierto. En formulaciones estándar de PINNs, el residuo diferencial se penaliza como una pérdida suave en la optimización; en presencia de frentes de soluto pronunciados (<math display="inline">Pe \gg 1</math>), esto propicia difusión artificial o variaciones no físicas en la masa total de contaminante <span id='citeF-25'></span>[[#cite-25|[25]]]. Para mitigar este defecto, se investigan esquemas con conservación intrínseca, tales como redes neuronales de volúmenes finitos (FINN) <span id='citeF-26'></span>[[#cite-26|[26]]] o restricciones que imponen el balance de flujos mediante multiplicadores de Lagrange.

Asimismo, la cuantificación de incertidumbre en problemas inversos exige mayor rigor. La identificación de fuentes de contaminación o la estimación de conductividades hidráulicas presentan una acusada no unicidad: diversas combinaciones de parámetros generan curvas de concentración equivalentes en los pozos de observación <span id='citeF-23'></span><span id='citeF-12'></span>[[#cite-23|[23,12]]]. Las predicciones puntuales resultan insuficientes para la gestión de riesgos ambientales. La integración de redes neuronales bayesianas, ensambles y esquemas de remuestreo (''bootstrapping'') acoplados a modelos con estructura física <span id='citeF-27'></span><span id='citeF-24'></span>[[#cite-27|[27,24]]] proporciona una vía para estimar intervalos de confianza reproducibles.

Finalmente, surgen arquitecturas complementarias dirigidas a resolver limitaciones topológicas y funcionales. Las GNN permiten modelar la conectividad hidráulica en redes de monitoreo con geometría irregular <span id='citeF-28'></span>[[#cite-28|[28]]]; los operadores neuronales, como DeepONet y las redes de operadores de Fourier (FNO), abordan la aproximación de operadores no lineales entre espacios de funciones continuas, con capacidad para predecir familias completas de soluciones parametrizadas por condiciones de frontera, campos de conductividad o tasas de inyección variables con independencia de malla <span id='citeF-29'></span><span id='citeF-30'></span><span id='citeF-31'></span><span id='citeF-32'></span>[[#cite-29|[29,30,31,32]]], incluyendo extensiones hacia flujos reactivos multiespecie en medios heterogéneos <span id='citeF-33'></span>[[#cite-33|[33]]]; y los modelos basados en ''transformers'' exploran la captura de dependencias de largo alcance en series hidrogeológicas complejas <span id='citeF-34'></span>[[#cite-34|[34]]]. Su consolidación operativa dependerá de verificar que preservan los principios de balance físico y garantizan estabilidad numérica con una inversión computacional competitiva frente a los simuladores consolidados.

==8 Conclusiones==

El análisis bibliográfico desarrollado en este trabajo permite formular tres conclusiones principales sobre la función y los límites de ML y DL en el transporte de contaminantes hídricos:

En primer lugar, los métodos analizados complementan a los simuladores numéricos tradicionales sin reemplazarlos. Los modelos sustitutos justifican su inversión de desarrollo en problemas de optimización de pozos, diseño de remediación y análisis de incertidumbre donde se evalúan miles de escenarios; en contraste, las PINNs aportan ventajas en la estimación de parámetros hidrogeológicos y la localización de fuentes a partir de datos dispersos, al integrar las ecuaciones gobernantes sin requerir una discretización espacial rígida.

En segundo término, la precisión y la estabilidad física de estas herramientas están sujetas al régimen de transporte del sistema. En regímenes advectivos caracterizados por valores elevados del número de Péclet (<math display="inline">Pe \gg 1</math>), así como en acuíferos con heterogeneidades marcadas, los métodos sufren pérdidas no físicas de masa o difusión espuria del frente contaminante si se limitan a funciones de pérdida estándar. La inclusión de formulaciones de balance estricto y discretizaciones de tipo volumen de control permite evitar predicciones hidrogeológicamente incompatibles con los principios de conservación.

Finalmente, la consolidación metodológica en este ámbito demanda superar las evaluaciones limitadas a métricas estadísticas globales como el coeficiente de determinación o el error cuadrático medio. La utilidad real de estos modelos en la protección de recursos hídricos exige someterlos a bancos de pruebas estandarizados de la comunidad hidrogeológica, reportar balances de masa, evaluar su comportamiento fuera del dominio de entrenamiento y cuantificar sistemáticamente la incertidumbre en los parámetros inferidos ante el ruido y la escasez propios del monitoreo ambiental.

==Agradecimientos==

Los autores agradecen a la Secretaría de Ciencias, Humanidades, Tecnología e Innovación (SeCiHTI) de México, a la Coordinación de la Investigación Científica de la Universidad Michoacana de San Nicolás de Hidalgo (CIC-UMSNH), a SIIIA MATH: Soluciones en Ingeniería y al Aula CIMNE-Morelia por el financiamiento brindado para el desarrollo, la revisión bibliográfica y la redacción del presente artículo. 

Asimismo, expresan su agradecimiento a los editores y revisores del Boletín, cuyos comentarios y sugerencias contribuyeron a consolidar la estructura y precisión técnica de este artículo.

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