​

<ul><li><span id='aff0005'></span>

<sup>a</sup>Programa de Pós-Graduação em Modelagem Computacional, Universidade Federal de Juiz de Fora, Juiz de Fora, Brasil</li>

<li><span id='aff0010'></span>

<sup>b</sup>Departamento de Mecânica Aplicada e Computacional, Faculdade de Engenharia, Universidade Federal de Juiz de Fora, Juiz de Fora, Brasil</li>

<li><span id='aff0015'></span>

<sup>c</sup>Departamento de Ciência da Computação, Instituto de Ciências Exatas, Universidade Federal de Juiz de Fora, Juiz de Fora, Brasil</li>

<li><span id='aff0020'></span>

<sup>d</sup>Laboratório Nacional de Computação Científica, Petrópolis, Brasil</li>

<li><span id='aff0025'></span>

<sup>e</sup>Instituto Federal do Sudeste de Minas Gerais, campus Rio Pomba, Brasil</li>

</ul>

​

Under a Creative Commons [http://creativecommons.org/licenses/by-nc-nd/4.0/ license]

​

<span id='ppvPlaceHolder'></span>

​

<span id='refersToAndreferredToBy'></span>

<span id='referredToBy'></span>

​

<span id='authorabs00051'></span>

==Resumo==

​

<span id='spar0005'></span>

Problemas de otimização estrutural visam o aumento do desempenho da estrutura e a diminuição de seus custos garantindo, entretanto, os requisitos de segurança aplicáveis. Devido à natureza conflitante desses aspectos, a formulação de um problema de otimização estrutural como multiobjetivo é natural, embora pouco frequente, e tem a vantagem de apresentar um conjunto diversificado de soluções ao(s) tomador(es) de decisão. A literatura mostra que os algoritmos evolucionários (AE) são eficazes na obtenção de soluções em problemas de otimização multiobjetivo e que aqueles baseados em evolução diferencial (ED) são eficientes na resolução de problemas de otimização estrutural mono-objetivo, especialmente os que utilizam codificação real em suas variáveis de projeto. Por outro lado, nota-se a ausência da aplicação da ED na versão multiobjetivo desses problemas. Esse artigo apresenta uma análise do desempenho de um algoritmo baseado em ED em cinco exemplos de problemas de otimização estrutural multiobjetivo. Os resultados obtidos são comparados aos encontrados na literatura, indicando o potencial do algoritmo proposto.

​

<span id='authorabs00152'></span>

==Abstract==

​

<span id='spar0015'></span>

Structural optimization problems aim at increasing the performance of the structure while decreasing its costs guaranteeing, however, the applicable safety requirements. As these aspects are conflicting, the formulation of the structural optimization problem as multiobjective is natural but uncommon, and has the advantage of presenting a diverse set of solutions to the decision maker(s). The literature shows that Evolutionary Algorithms (EAs) are effective to obtain solutions in multiobjective optimization problems, and that the Differential Evolution (DE) based ones are efficient when solving structural mono-objective structural optimization problems, specially those with a real encoding of the design variables. On the other hand, one can note that DE has not yet been applied to the multiobjective version of these problems. This article presents a performance analysis of a DE-based algorithm in five multiobjective structural optimization problems. The obtained results are compared to those found in the literature, and the comparisons indicate the potential of the proposed algorithm.

​

<span id='kwd_1'></span>

==Palavras-chave==

​

Otimização estrutural; Evolução diferencial; Otimização multiobjetivo

​

<span id='kwd_2'></span>

==Keywords==

​

Structural Optimization; Differential Evolution; Multiobjective Optimization

​

<span id='embeddedPDF'></span>

​

<span id='SD_BA1P'></span>

​

<span id='sec0005'></span>

==1. Introdução==

​

<span id='p0005'></span>

A solução de problemas de otimização estrutural (OE) é de grande aplicabilidade na busca por concepções estruturais com baixo custo, alto desempenho, de fácil execução e manutenção e, também, mais recentemente, incorporando aspectos ambientais, desde sua construção até à sua utilização. Na sua quase totalidade, estes problemas apresentam restrições de várias naturezas que devem ser satisfeitas para que se obtenha uma solução candidata viável.

​

<span id='p0010'></span>

Em geral, os objetivos desejados são conflitantes, como a minimização de custo e a manutenção das condições mínimas de segurança, caracterizando assim um problema multiobjetivo. Devido a essa natureza conflitante, a resolução de um problema multiobjetivo obtém um conjunto diversificado de soluções de onde o(s) tomador(es) de decisão tem a oportunidade de selecionar aquela que melhor se adapta às suas preferências.

​

<span id='p0015'></span>

Entre as várias técnicas para o tratamento de problemas multiobjetivo estão os algoritmos evolucionários (AE). Os AEs são considerados interessantes na obtenção de soluções desses problemas por serem capazes de lidar com características normalmente encontradas neles, tais como não-linearidade e não-diferenciabilidade [[#bib0005|[1]]].

​

<span id='p0020'></span>

Um exemplo frequente de problema de OE multiobjetivo consiste em encontrar as áreas das seções transversais das barras (variáveis de projeto) de uma treliça buscando minimizar simultaneamente o seu peso e o deslocamento máximo dos seus nós. Neste caso, as restrições podem ser as tensões normais máximas nas barras.

​

<span id='p0025'></span>

Em Angelo et al. [[#bib0010|[2]]] são discutidos 5 problemas desse tipo, comumente encontrados na literatura tratados como mono-objetivo. Naquele artigo os autores utilizaram 2 algoritmos baseados em colônia de formigas: ''Multi-objective Ant System'' (MOAS) e ''Multi-objective Ant Colony System'' (MOACS). Para o tratamento das restrições adotou-se a técnica de penalização adaptativa (APM), proposta por Barbosa e Lemonge  [[#bib0015|[3]]], cuja principal vantagem é a ausência de parâmetros a serem definidos pelo usuário. Os resultados apresentados mostraram que os algoritmos MOAS e MOACS foram capazes de gerar uma grande variedade de soluções, algumas delas muito próximas das soluções da versão mono-objetivo encontradas na literatura, sugerindo o bom desempenho dos algoritmos propostos.

​

<span id='p0030'></span>

Versões mono-objetivo de 4 desses 5 problemas foram testadas por Silva et al. [[#bib0020|[4]]] para avaliar o desempenho de um AE baseado em evolução diferencial (ED) em problemas desse tipo. Os autores também utilizaram a técnica APM para o tratamento das restrições e codificação real para suas variáveis de projeto. Os resultados apresentados mostram a potencialidade do uso da ED nesses problemas, pois quando não foram melhores mostraram-se competitivos com os encontrados na literatura.

​

<span id='p0035'></span>

Um levantamento das pesquisas existentes sobre AE aplicados a problemas de OE multiobjetivo é apresentado por Zavala et al. [[#bib0005|[1]]]. Os autores não encontraram publicações utilizando AE baseados em ED para a obtenção de soluções de problemas de OE multiobjetivo. Eles afirmam que o surgimento de trabalhos nessa direção é esperado nos próximos anos visto que a maioria dos estudos analisados utilizavam codificação real para suas variáveis de projeto e a ED tem uma potencialidade com esse tipo de codificação. O algoritmo ''The Third Step of Generalized Differential Evolution'' (GDE3), proposto por Kukkonen e Lampinen  [[#bib0025|[5]]], é citado pelos autores como um algoritmo que pode ser utilizado nesses próximos trabalhos.

​

<span id='p0040'></span>

Baseado na argumentação apresentada e na sugestão de Zavala et al. [[#bib0005|[1]]], o presente trabalho analisou o desempenho do algoritmo GDE3 nos 5 problemas de OE de treliças tratados no trabalho de Angelo et al. [[#bib0010|[2]]]. Os resultados foram comparados aos obtidos pelos algoritmos MOAS e MOACS nas mesmas métricas de análise de desempenho utilizadas por esses autores.

​

<span id='p0045'></span>

Apesar do GDE3 já possuir um tratamento de restrições próprio, a mesma técnica APM usada em Angelo et al. [[#bib0010|[2]]] foi adotada aqui para permitir o enfoque dessa análise na eficiência da ED. Ela foi acoplada ao GDE3, substituindo a original. Além disso, foi adotada a mesma codificação real para as variáveis de projeto utilizadas por Silva et al. [[#bib0020|[4]]]. As descrições dos problemas e os parâmetros foram idênticos àqueles utilizados por Angelo et al. [[#bib0010|[2]]]. Os resultados obtidos mostram que o GDE3 apresentou desempenho superior aos algoritmos MOAS e MOACS e o conjunto de soluções obtido pelo GDE3 contém elementos muito próximos das soluções obtidas por Silva et al. [[#bib0020|[4]]], mostrando que o tratamento desses problemas através da versão multiobjetivo não acarreta perda significativa da qualidade das soluções obtidas pela sua versão mono-objetivo.

​

<span id='p0050'></span>

O restante do texto é organizado da seguinte forma: a Seção [[#sec0010|2]] faz uma introdução dos conceitos básicos de OE multiobjetivo, enquanto a Seção [[#sec0015|3]] destaca o algoritmo GDE3. A técnica APM é mostrada na Seção [[#sec0020|4]] e o algoritmo proposto é descrito em detalhes na Seção [[#sec0025|5]]. Os experimentos numéricos, bem como seus resultados e sua discussão, são mostrados na Seção [[#sec0030|6]], enquanto a Seção [[#sec0070|7]] descreve as conclusões do trabalho.

​

<span id='sec0010'></span>

==2. Otimização estrutural multiobjetivo==

​

<span id='p0055'></span>

Seja uma treliça de ''N'' barras com ''M'' graus de liberdade de translação de seus nós, com material de massa específica ''ρ'' e comprimento da ''j''-ésima barra denotada por ''L''<sub>''j''</sub>. Considere ''s''<sub>''jl''</sub> a tensão normal da ''j''-ésima barra no caso de carregamento ''l'', ''s''<sub>''adm''</sub> a tensão normal máxima que esta barra pode estar submetida e ''u''<sub>''il''</sub> o deslocamento do nó ''i'' no caso de carregamento ''l''. O problema de OE multiobjetivo pode ser escrito como:

​

<span id='p0060'></span>

​

<span id='eq0005'></span>

{| class="formulaSCP" style="width: 100%; text-align: center;" 

|-

| 

{| style="text-align: center; margin:auto;" 

|-

| <math>\begin{array}{cc}

min_\mbox{x} & f_1(\mbox{x})=\sum_{j=1}^N\rho A_{[x_j]}L_j\quad e\quad f_2(\mbox{x})=max(\vert u_{il}\vert )\\

s.a. & \vert s_{jl}\vert \leq s_{adm}\\

 & \mbox{x}\in [1,P]^N\\

 & j=1,\ldots ,N\quad i=1,\ldots ,M\quad l=1,\ldots ,N_L

\end{array}</math>

|}

| style="text-align: right;" | (1)

|}

​

<span id='p0065'></span>

Os problemas de OE multiobjetivo tratados neste artigo têm como variáveis de projeto as áreas das seções transversais das barras das treliças, as quais devem ser selecionadas entre os ''P'' elementos do conjunto discreto ordenado de forma crescente ''AP'' = {''A''<sub>1</sub>, …, ''A''<sub>''P''</sub>}, definido um espaço de busca discreto. Apesar disso, adota-se aqui uma codificação real para as variáveis de projeto conforme sugerido por Kaveh e Shahrouzi [[#bib0030|[6]]] e utilizada por Silva et al. [[#bib0020|[4]]]. O vetor '''x''' = (''x''<sub>1</sub>, …, ''x''<sub>''N''</sub>) representa a treliça de ''N'' barras onde a área da seção transversal da ''j  ''-ésima barra é <math display="inline">A_{[x_j]}</math> ([''x''<sub>''j''</sub>]-ésimo elemento de ''AP''), onde [''x''<sub>''j''</sub>] é o inteiro mais próximo de ''x''<sub>''j''</sub> ∈ [1, ''P''], ''j'' = 1, …, ''N''.

​

<span id='p0070'></span>

Os objetivos ''f''<sub>1</sub>('''x''') (minimização de custo, aqui representado pelo peso da estrutura) e ''f''<sub>2</sub>('''x''') (minimização dos deslocamentos, aqui representado pelo deslocamento máximo de cada nó) são conflitantes. Isso significa que minimizar os deslocamentos pode acarretar um aumento considerável no peso da estrutura e vice-versa. Assim, a relação de dominância exibida a seguir deve ser observada.

​

<span id='p0075'></span>

Considerando os vetores '''x''', '''y''' ∈ [1, ''P'']<sup>''N''</sup>, se ''f''<sub>1</sub>('''x''') ≤ ''f''<sub>1</sub>('''y''') e ''f''<sub>2</sub>('''x''') < ''f''<sub>2</sub>('''y'''), ou equivalentemente, se ''f''<sub>1</sub>('''x''') < ''f''<sub>1</sub>('''y''') e ''f''<sub>2</sub>('''x''') ≤ ''f''<sub>2</sub>('''y'''), então o vetor '''x''' domina o vetor '''y'''. Dado 2 vetores '''x''', '''y''' ∈ [1, ''P'']<sup>''N''</sup>, uma, e somente uma, das 3 possibilidades ocorre: 1) '''x''' domina '''y'''; 2) '''y''' domina '''x'''; 3) '''x''' e '''y''' são não-dominados entre si.

​

<span id='p0080'></span>

Resolver o Problema [[#eq0005|1]] através de um AE significa encontrar um conjunto de vetores factíveis ''SPO'' = {'''x'''<sub>1</sub>, …, '''x'''<sub>''λ''</sub>} onde cada par de elementos de ''SPO'' são não-dominados entre si e nenhum outro vetor factível que domina algum elemento de ''SPO'' foi obtido pelo AE. O conjunto das imagens dos elementos de ''SPO'' é chamado de Frente de Pareto.

​

<span id='p0085'></span>

A relação de dominância definida aqui não leva em consideração as violações das restrições dos vetores '''x''' e '''y'''. No algoritmo utilizado neste trabalho, essas violações são tratadas através de penalização de suas funções objetivo, conforme é detalhado na Seção [[#sec0020|4]]. Dessa forma, vetores factíveis e infactíveis podem aparecer na população. Entretanto, como factibilidade é condição necessária para a entrada de um vetor no conjunto ''SPO'', não existem soluções infactíveis nesse conjunto.

​

<span id='sec0015'></span>

==3. ''Generalized Differential Evolution''==

​

<span id='p0090'></span>

A ED, proposta originalmente em [[#bib0035|[7]]] para problemas mono-objetivos, é sem dúvida um dos mais eficientes AE que utiliza codificação real [[#bib0040|[8]]]. Ele se destaca pela sua simplicidade de implementação, incluindo o pequeno número de parâmetros de controle, e pelo seu notável desempenho em comparação com vários outros AE em uma ampla variedade de problemas, inclusive mantendo esse bom desempenho em problemas de grande porte, diferentemente de outros AE que utilizam codificação real [[#bib0040|[8]]].

​

<span id='p0095'></span>

Desde sua proposição, diversos AE baseados em ED para problemas multiobjetivos foram propostos [[#bib0045|[9]]]. Adota-se aqui, seguindo a sugestão de Zavala et al. [[#bib0005|[1]]], o algoritmo GDE3 proposto por Kukkonen e Lampinen [[#bib0025|[5]]].

​

<span id='p0100'></span>

Nos problemas de OE multiobjetivo de treliças sem restrições, o GDE3 funciona da seguinte maneira:<span id='list_list0015'></span>

* Uma população inicial ''P''<sub>0</sub> de ''POP'' soluções candidatas é criada aleatoriamente (''P''<sub>0</sub> = {'''x'''<sub>1</sub>, …, '''x'''<sub>''POP''</sub>}).

* Cada solução candidata '''x''' ∈ ''P''<sub>0</sub> gera uma nova '''u''' através do '''Algoritmo'''[[#enun0005|'''1''']], onde <math display="inline">F\in \mathbb{R}</math> e ''CR'' ∈ [0, 1] são parâmetros definidos pelo usuário.

* O conjunto ''R''<sub>0</sub> recebe, entre as soluções candidatas '''x''' e '''u''', aquela que dominar a outra. Caso as 2 sejam não-dominadas entre si, ''R''<sub>0</sub> recebe as 2.

​

<span id='p0120'></span>

A próxima geração da população ''P''<sub>1</sub> será composta pelas ''POP'' melhores soluções candidatas de ''R''<sub>0</sub>, conforme posição na Ordenação de Pareto e valor do indicador de densidade de soluções, ''crowding distance'' (''CD''), segundo esquemas propostos por Deb et al.  [[#bib0050|[10]]].

​

<span id='p0125'></span>

O esquema de Ordenação de Pareto consiste em classificar o conjunto ''R''<sub>0</sub> em ''d'' subconjuntos tais que ''F''<sub>1</sub> = {elementos não-dominados de ''R''<sub>0</sub>} (posto 1), ''F''<sub>2</sub> = {elementos não-dominados de ''R''<sub>0</sub> \ {''F''<sub>1</sub>}} (posto 2), ''F''<sub>3</sub> = {elementos não-dominados de ''R''<sub>0</sub> \ {''F''<sub>1</sub> ∪ ''F''<sub>2</sub>}} (posto 3), …, ''F''<sub>''d''</sub> = {elementos não-dominados de ''R''<sub>0</sub> \ {''F''<sub>1</sub> ∪ ''F''<sub>2</sub> ∪ … ∪ ''F''<sub>''d''−1</sub>}} (posto ''d''), onde ''R''<sub>0</sub> = {''F''<sub>1</sub> ∪ ''F''<sub>2</sub> ∪ … ∪ ''F''<sub>''d''</sub>}}.

​

<span id='p0130'></span>

Para o Problema [[#eq0005|1]], o valor do ''CD'' de cada solução candidata é o semi-perímetro do retângulo cujos vértices são as imagens vizinhas mais próximas da sua, dentre todas as imagens das soluções candidatas de mesmo posto. Quanto mais distante a imagem de uma solução candidata se encontra dessas imagens vizinhas, maior é o seu valor de ''CD'' (menor densidade de soluções com imagens nesta região). Se uma solução candidata tem uma das funções objetivo como a melhor do seu posto, seu valor de ''CD'' é tomado como infinito.

​

<span id='p0135'></span>

Assim, a próxima geração da população ''P''<sub>1</sub> será composta pelas soluções candidatas de ''R''<sub>0</sub> que estiverem nos subconjuntos com postos menores. Caso exista algum posto ''d''<sub>''i''</sub> tal que <math display="inline">F_1\cup F_2\cup \ldots \cup F_{d_i}</math> tenha mais que ''POP  '' elementos e <math display="inline">F_1\cup F_2\cup \ldots \cup F_{d_i-1}</math> tenha menos que ''POP  '' elementos, deve-se excluir os elementos de <math display="inline">F_{d_i}</math> com menores valores de ''CD  '' até que se tenha <math display="inline">F_1\cup F_2\cup \ldots \cup F_{d_i}</math> com ''POP  '' elementos. A próxima população será <math display="inline">P_1=F_1\cup F_2\cup \ldots \cup F_{d_i}</math>.

​

<span id='p0140'></span>

Nesse procedimento, após a exclusão de uma solução candidata de <math display="inline">F_{d_i}</math>, todos os valores de ''CD'' das restantes são recalculados. Isso pode fornecer uma melhoria na diversidade da população sem a introdução de um novo parâmetro  [[#bib0025|[5]]].

​

<span id='p0145'></span>

​

<span id='enun0005'></span>

​

==Algorithm 1.                     ==

​

Geração de uma nova solução candidata '''u''' no GDE3.<span id='list_list0005'></span>

* 1: Seja '''x'''∈ população.

* 2:  Sorteiam-se 3 soluções candidatas '''x'''<sub>''r''1</sub>, '''x'''<sub>''r''2</sub> e '''x'''<sub>''r''3</sub> da população.

* 3: ''I''<sub>''rand''</sub>← inteiro entre 1 e ''N'' escolhido aleatoriamente.

* 4: '''para''' ''i'' = 1 : ''N'' '''faça'''

* 5:  ''rand''← real entre 0 - 1 escolhido aleatoriamente.

* 6:  '''se''' ''rand'' < ''CR'' ou ''i'' = ''I''<sub>''rand''</sub> '''então'''

* 7:   '''u'''(''i'') ← '''x'''<sub>''r''1</sub>(''i'') + ''F''('''x'''<sub>''r''2</sub>(''i'') − '''x'''<sub>''r''3</sub>(''i'')).

* 8:  '''senão'''

* 9:   '''u'''(''i'') ← '''x'''(''i'').

* 10:  '''fim se'''

* 11: '''fim para'''

​

<span id='sec0020'></span>

==4. Técnica de penalização adaptativa==

​

<span id='p0210'></span>

Para transformar um problema com restrições em um problema sem restrições, tanto Angelo et al. [[#bib0010|[2]]] quanto Silva et al. [[#bib0020|[4]]], adotaram a APM proposta por Barbosa e Lemonge [[#bib0015|[3]]].

​

<span id='p0215'></span>

Originalmente, a técnica APM foi aplicada em problemas de otimização mono-objetivo com restrições, obtendo resultados competitivos. Entre as suas vantagens estão o tratamento de restrições de igualdade e desigualdade, a não necessidade de que as restrições sejam funções explícitas das variáveis de projeto, a ausência de parâmetros a serem definidos pelo usuário e a facilidade de implementação computacional.

​

<span id='p0220'></span>

Apesar da sua proposição inicial ser para problemas mono-objetivos, a técnica APM pode ser adaptada para problemas multiobjetivos facilmente, apenas repetindo seu procedimento para cada função objetivo separadamente, como foi feito por Angelo et al. [[#bib0010|[2]]].

​

<span id='p0225'></span>

Para a função objetivo ''f''<sub>1</sub> da Equação [[#eq0005|1]], a técnica APM funciona da seguinte maneira: conhecidos os valores para ''f''<sub>1</sub> de todas as ''POP'' soluções candidatas de ''P''<sub>''G''</sub> (população na geração ''G'') e supondo ''N''<sub>''c''</sub> o número total de restrições, calcula-se para cada '''x''' ∈ ''P''<sub>''G''</sub> os valores de ''F''<sub>1</sub>('''x''') pela fórmula

​

<span id='p0230'></span>

​

<span id='eq0010'></span>

{| class="formulaSCP" style="width: 100%; text-align: center;" 

|-

| 

{| style="text-align: center; margin:auto;" 

|-

| <math>F_1(\mbox{x})=\left\{\begin{array}{cc}

f_1(\mbox{x}), & se\quad \quad \mbox{x}\quad \quad efactivel\\

\bar{f_1}(\mbox{x})+\sum_{m=1}^{N_c}k_m\delta _m(\mbox{x}), & caso\quad contrario

\end{array}\right.</math>

|}

| style="text-align: right;" | (2)

|}

​

onde

​

<span id='p0235'></span>

​

<span id='eq0015'></span>

{| class="formulaSCP" style="width: 100%; text-align: center;" 

|-

| 

{| style="text-align: center; margin:auto;" 

|-

| <math>\bar{f_1}(\mbox{x})=\left\{\begin{array}{cc}

f_1(\mbox{x}), & se\quad f_1(\mbox{x})>\left\langle f_1(\mbox{x})\right\rangle \\

\left\langle f_1(\mbox{x})\right\rangle , & caso\quad contrario

\end{array}\right.</math>

|}

| style="text-align: right;" | (3)

|}

​

sendo 〈''f''<sub>1</sub>('''x''')〉 a média dos valores de ''f''<sub>1</sub>('''x''') de todas as ''POP'' soluções candidatas.

​

<span id='p0240'></span>

A função ''δ''<sub>''m''</sub> é dada por ''δ''<sub>''m''</sub>('''x''') = ''max''(|''s''<sub>''m''</sub>| − ''s''<sub>''adm''</sub>, 0) e o coeficiente de penalização ''k''<sub>''j''</sub> da ''j''-ésima restrição é definido por

​

<span id='p0245'></span>

​

<span id='eq0020'></span>

{| class="formulaSCP" style="width: 100%; text-align: center;" 

|-

| 

{| style="text-align: center; margin:auto;" 

|-

| <math>k_j=\vert \left\langle f_1(\mbox{x})\right\rangle \vert \frac{\left\langle \delta _j(\mbox{x})\right\rangle }{\sum _{m=1}^{N_c}[\left\langle \delta _m(\mbox{x})\right\rangle ]^2}.</math>

|}

| style="text-align: right;" | (4)

|}

​

<span id='p0250'></span>

Esse procedimento se repete para a segunda função objetivo, obtendo-se ''F''<sub>2</sub>('''x''') para cada '''x''' ∈ ''P''<sub>''G''</sub> a partir dos valores de ''f''<sub>2</sub>. O APM foi projetado de tal forma que os valores dos coeficientes de penalização correspondentes às restrições mais difíceis de serem atendidas sejam maiores.

​

<span id='sec0025'></span>

==5. Algoritmo proposto==

​

<span id='p0255'></span>

A proposta do algoritmo GDE3 acoplado à técnica APM usada nos experimentos numéricos consiste em substituir o uso de ''f''<sub>1</sub> e ''f''<sub>2</sub> no esquema de seleção da nova geração pelo uso dos valores de ''F''<sub>1</sub> e ''F''<sub>2</sub>. Isto significa que a avaliação da dominância do vetor '''u''' sobre o vetor '''x''', o processo de Ordenação de Pareto do conjunto ''R''<sub>''t''</sub> e o cálculo dos valores de ''CD'' de cada posto foram realizados considerando os valores de ''F''<sub>1</sub> e ''F''<sub>2</sub>. Além disso, como em Angelo et al. [[#bib0010|[2]]] foi definido que o ''SPO'' de cada algoritmo corresponde a todas as soluções candidatas não-dominadas factíveis obtidas ao longo de toda sua execução, isso também foi adotado aqui. O detalhamento da proposta pode ser visto no '''Algoritmo'''[[#enun0010|'''2''']].

​

<span id='p0260'></span>

​

<span id='enun0010'></span>

​

==Algorithm 2.                     ==

​

GDE3+APM.<span id='list_list0010'></span>

* 1:  Defina os parâmetros ''CR'', ''F'' e ''GEN'' ▷ ''GEN'' é o numero máximo de gerações.

* 2: ''P''<sub>0</sub>← população inicial criada aleatoriamente de ''POP'' soluções candidatas '''x''' ∈ [1, ''P'']<sup>''N''</sup>.

* 3: ''Arq'' ← ''P''<sub>0</sub> ▷ Arquivo externo que vai armazenar todas as soluções candidatas encontradas durante toda a execução do algoritmo.

* 4: ''f''<sub>1</sub>, ''f''<sub>2</sub>← funções objetivo de cada solução candidata de ''P''<sub>0</sub>.

* 5: ''G'' ← 0 contador de gerações.

* 6: '''enquanto'''''G'' ≤ ''GEN'''''faça'''

* 7:  ''F''<sub>1</sub>, ''F''<sub>2</sub>← funções objetivo de cada solução candidata de ''P''<sub>''G''</sub> modificadas pela técnica APM.

* 8:  '''para''' ''i'' = 1 : ''POP'' '''faça'''

* 9:   '''u'''← criado a partir de '''x'''<sub>''i''</sub> ∈ ''P''<sub>''G''</sub> através do '''Algoritmo'''[[#enun0005|1]].

* 10:   Obtenha ''f''<sub>1</sub>('''u''') e ''f''<sub>2</sub>('''u''').

* 11:   Obtenha ''F''<sub>1</sub>('''u''') e ''F''<sub>2</sub>('''u''') modificadas pela técnica APM com os mesmos valores dos coeficientes de penalização usados na linha 7.

* 12:   '''se''' '''u''' domina '''x'''<sub>''i''</sub> '''então'''

* 13:    ''R''<sub>''G''</sub> ← '''u'''.

* 14:   '''senão'''

* 15:    '''se''' '''x'''<sub>''i''</sub> domina '''u''' '''então'''

* 16:     ''R''<sub>''G''</sub> ← '''x'''<sub>''i''</sub>.

* 17:    '''senão'''

* 18:     ''R''<sub>''G''</sub> ← '''x'''<sub>''i''</sub>, '''u'''.

* 19:    '''fim se'''

* 20:   '''fim se'''

* 21:  '''fim para'''

* 22:  '''se''' ''R''<sub>''G''</sub> tem mais de ''POP'' soluções candidatas '''então'''

* 23:   Classifique ''R''<sub>''G''</sub> em ''d'' postos pelo processo de Ordenação de Pareto.

* 24:   ''P''<sub>''G''+1</sub>← ∅.

* 25:   ''γ'' ← 1.

* 26:   '''enquanto''' Quantidade de soluções candidatas em ''P''<sub>''G''+1</sub> < ''POP'''''faça'''

* 27:    ''P''<sub>''G''+1</sub>← ''P''<sub>''G''+1</sub> ∪ soluções candidatas do posto ''γ''.

* 28:    ''γ'' ← ''γ'' + 1.

* 29:   '''fim enquanto'''

* 30:   '''enquanto''' Quantidade de soluções candidatas em ''P''<sub>''G''+1</sub> > ''POP'''''faça'''

* 31:    Calcule ''CD'' para todos as soluções candidatas de posto ''γ'' − 1.

* 32:    Exclua de ''P''<sub>''G''+1</sub> a solução candidata de posto ''γ'' − 1 com menor valor de ''CD''.

* 33:   '''fim enquanto'''

* 34:  '''senão'''

* 35:   ''P''<sub>''G''+1</sub> ← ''R''<sub>''G''</sub>.

* 36:  '''fim se'''

* 37:  ''Arq'' ← ''Arq'' ∪ ''P''<sub>''G''+1</sub>

* 38: '''fim enquanto'''

* 39: ''SPO''← soluções candidatas não-dominadas e factíveis de ''Arq''.

* 40:  Retorne ''SPO''.

​

<span id='sec0030'></span>

==6. Experimentos numéricos==

​

<span id='p0470'></span>

As descrições dos problemas, os parâmetros e as métricas de desempenho adotadas aqui são idênticas àquelas utilizados por Angelo et al. [[#bib0010|[2]]]. Cada algoritmo foi executado 100 vezes com tamanho da população de 50 soluções candidatas e 1.000 gerações, perfazendo um total de 50.000 avaliações de cada uma das funções objetivo. Da mesma forma, os parâmetros do GDE3 adotados em todos os problemas são os mesmos utilizados por Kukkonen e Lampinen [[#bib0055|[11]]] para problemas com restrições: ''CR'' = 0, 4 e ''F'' = 0, 3.

​

<span id='p0475'></span>

As métricas de desempenho adotadas foram o Hipervolume, proposta por Zitzler e Thiele [[#bib0060|[12]]], e a métrica ''Empirical Attainment Function'', proposta por Fonseca e Fleming  [[#bib0065|[13]]].

​

<span id='p0480'></span>

No caso de 2 funções objetivo, a métrica Hipervolume fornece o valor de ''H''(área do polígono limitado pela Frente de Pareto da ''SPO'' e um dado ponto de referência). O algoritmo que gerou a ''SPO'' que obteve o maior valor de ''H'' será o melhor.

​

<span id='p0485'></span>

A métrica ''Empirical Attainment Function'' (EAF) atua como uma distribuição de probabilidade. Dada uma probabilidade ''α''%, com 0 < ''α'' < 100, o ''EAF'' é um conjunto de pontos não-dominados entre si de tal forma que qualquer solução arbitrária desse algoritmo obtida por qualquer execução tem 100− ''α'' % de chance de dominar pelo menos um desses pontos. Quando ''α'' = 0, o ''EAF'' é um conjunto de pontos não-dominados entre si de tal forma que qualquer solução arbitrária desse algoritmo obtida por qualquer execução tem 0% de chance de ser dominada por algum desses pontos. Já quando ''α'' = 100, o ''EAF'' é o conjunto de todos os pontos não-dominados entre si obtidos em todas as execuções. O algoritmo cujo ''EAF'' tem maior hipervolume é o melhor algoritmo. Uma discussão mais detalhada sobre a obtenção do ''EAF'' pode ser encontrada em  [[#bib0065|[13]]].

​

<span id='sec0035'></span>

===6.1. Problemas===

​

<span id='sec0040'></span>

====6.1.1. Treliça de 10 barras====

​

<span id='p0490'></span>

O primeiro problema analisado é a treliça clássica de 10 barras, ilustrado pela [[#fig0005|figura 1]]a. A versão mono-objetivo é amplamente estudada [[#bib0070|[14]]] and [[#bib0020|[4]]] e trabalhos sobre sua versão multiobjetivo podem ser encontrados em [[#bib0075|[15]]], [[#bib0080|[16]]], [[#bib0085|[17]]], [[#bib0090|[18]]] and [[#bib0010|[2]]].

​

<span id='figure_fig0005'></span>

​

<span id='fig0005'></span>

​

{| style="text-align: center; border: 1px solid #BBB; margin: 1em auto; max-width: 100%;" 

|-

|

​

​

[[Image:draft_Content_786211509-1-s2.0-S0213131515000231-gr1.jpg|center|565px|Treliça de 10 barras (a), 25 barras (b), 60 barras (c) e 72 barras (d).]]

​

​

|-

| <span style="text-align: center; font-size: 75%;">

​

Figura 1.

​

<span id='spar0020'></span>

Treliça de 10 barras (a), 25 barras (b), 60 barras (c) e 72 barras (d).

​

</span>

|}

​

<span id='p0495'></span>

A densidade do material é ''ρ'' = 0, 1''lb''/''in''<sup>3</sup>, a tensão normal máxima é limitada em ±25 ''ksi'', o Módulo de Young ''E'' = 10<sup>4</sup> ''ksi'' e cargas de 100 ''kips'' são aplicadas nos nós 2 e 4 na direção ''y'' (representadas na  [[#fig0005|figura 1]]a por P).

​

<span id='p0500'></span>

O conjunto das áreas possíveis é (em (''in''<sup>2</sup>)): ''AP'' = {1,62; 1,80; 1,99; 2,13; 2,38; 2,62; 2,63; 2,88; 2,93; 3,09; 3,13; 3,38; 3,47; 3,55; 3,63; 3,84; 3,87; 3,88; 4,18; 4,22; 4,49; 4,59; 4,80; 4,97; 5,12; 5,74; 7,22; 7,97; 11,50; 13,50; 13,90; 14,20; 15,50; 16,00; 16,90; 18,80; 19,90; 22,00; 22,90; 26,50; 30,00; 33,50}, definindo ''P'' = 42.

​

<span id='sec0045'></span>

====6.1.2. Treliça de 25 barras====

​

<span id='p0505'></span>

O segundo problema analisado é a treliça de 25 barras, ilustrado pela [[#fig0005|figura 1]]b. Da mesma forma que a treliça de 10 barras, a versão mono-objetivo também é amplamente estudada [[#bib0070|[14]]] and [[#bib0020|[4]]] e trabalhos sobre sua versão multiobjetivo podem ser encontrados em [[#bib0095|[19]]], [[#bib0085|[17]]], [[#bib0100|[20]]], [[#bib0105|[21]]] and [[#bib0010|[2]]].

​

<span id='p0510'></span>

A densidade do material é ''ρ'' = 0, 1''lb''/''in''<sup>3</sup>, a tensão normal máxima é limitada em ±40 ''ksi'' e o Módulo de Young ''E'' = 10<sup>4</sup> ''ksi''. O conjunto das áreas possíveis é (em (''in''<sup>2</sup>)): ''AP'' = {0,1; 0,2; 0,3; 0,4; 0,5; 0,6; 0,7; 0,8; 0,9; 1,0; 1,1; 1,2; 1,3; 1,4; 1,5; 1,6; 1,7; 1,8; 1,9; 2,0; 2,1; 2,2; 2,3; 2,4; 2,5; 2,6; 2,8; 3,0; 3,2; 3,4}, definindo ''P'' = 30.

​

<span id='p0515'></span>

As barras da treliça são agrupadas e cada grupo possui uma única área ''A'', a fim de manter a simetria da estrutura. O agrupamento das barras é mostrado na tabela  [[#tbl0005|1]] e o carregamento aplicado sobre a estrutura é mostrado na tabela [[#tbl0010|2]].

​

<span id='table_tbl0005'></span>

​

<span id='tbl0005'></span>

​

{| class="wikitable" style="min-width: 60%;margin-left: auto; margin-right: auto;"

|+

​

Tabela 1.

​

Agrupamento para a treliça de 25 barras.

​

|-

​

! Grupo

! Conectividade

|-

​

| ''A''<sub>1</sub>

| 1-2

|-

​

| ''A''<sub>2</sub>

| 1-4, 2-3, 1-5, 2-6

|-

​

| ''A''<sub>3</sub>

| 2-5, 2-4, 1-3, 1-6

|-

​

| ''A''<sub>4</sub>

| 3-6, 4-5

|-

​

| ''A''<sub>5</sub>

| 3-4, 5-6

|-

​

| ''A''<sub>6</sub>

| 3-10, 6-7, 4-9, 5-8

|-

​

| ''A''<sub>7</sub>

| 3-8, 4-7, 6-9, 5-10

|-

​

| ''A''<sub>8</sub>

| 3-7, 4-8, 5-9, 6-10

|}

​

<span id='table_tbl0010'></span>

​

<span id='tbl0010'></span>

​

{| class="wikitable" style="min-width: 60%;margin-left: auto; margin-right: auto;"

|+

​

Tabela 2.

​

Carregamento para a treliça de 25 barras (em ''kips'').

​

|-

​

! Nó

! ''F''<sub>''x''</sub>

! ''F''<sub>''y''</sub>

! ''F''<sub>''z''</sub>

|-

​

| 1

| 1

| −10,0

| −10,0

|-

​

| 2

| 0

| −10,0

| −10,0

|-

​

| 3

| 0,5

| 0

| 0

|-

​

| 6

| 0,6

| 0

| 0

|}

​

<span id='sec0050'></span>

====6.1.3. Treliça de 60 barras====

​

<span id='p0520'></span>

O terceiro problema analisado foi o da treliça de 60 barras em formato de anel, proposto em [[#bib0110|[22]]] e ilustrado pela [[#fig0005|figura 1]]c. A versão mono-objetivo pode ser encontrada em [[#bib0115|[23]]] and [[#bib0020|[4]]] e somente em [[#bib0010|[2]]] foi encontrada a versão multiobjetivo desse problema.

​

<span id='p0525'></span>

A densidade do material é ''ρ'' = 0, 1''lb''/''in''<sup>3</sup>, a tensão normal máxima é limitada em ±10 ''ksi'' e o Módulo de Young ''E'' = 10<sup>4</sup> ''ksi''. O raio externo do anel dessa treliça mede 100 ''in'' e o raio interno 90 ''in''. O conjunto das áreas possíveis é (em (''in''<sup>2</sup>)): ''AP'' = {0,5; 0,6; 0,7; …; 4,7; 4,8; 4,9}, definindo ''P'' = 45.

​

<span id='p0530'></span>

A treliça é submetida a 3 casos de carregamento, observados na tabela [[#tbl0020|4]], totalizando 180 restrições. As barras são agrupadas conforme dados da tabela [[#tbl0015|3]].

​

<span id='table_tbl0020'></span>

​

<span id='tbl0020'></span>

​

{| class="wikitable" style="min-width: 60%;margin-left: auto; margin-right: auto;"

|+

​

Tabela 4.

​

Carregamento para a treliça de 60 barras (em ''kips'').

​

|-

​

! Carregamento

! Nó

! ''F''<sub>''x''</sub>

! ''F''<sub>''y''</sub>

|-

​

| 1

| 1

| −10,0

| 0

|-

​

| 

| 7

| 9,0

| 0

|-

​

| 2

| 15

| −8,0

| 3,0

|-

​

| 

| 18

| −8,0

| 3,0

|-

​

| 3

| 22

| −20,0

| 10,0

|}

​

<span id='table_tbl0015'></span>

​

<span id='tbl0015'></span>

​

{| class="wikitable" style="min-width: 60%;margin-left: auto; margin-right: auto;"

|+

​

Tabela 3.

​

Agrupamento para a treliça de 60 barras.

​

|-

​

! Grupo

! Barras

! Grupo

! Barras

|-

​

| ''A''<sub>1</sub>

| 49 ao 60

| ''A''<sub>14</sub>

| 25 e 37

|-

​

| ''A''<sub>2</sub>

| 1 e 13

| ''A''<sub>15</sub>

| 26 e 38

|-

​

| ''A''<sub>3</sub>

| 2 e 14

| ''A''<sub>16</sub>

| 27 e 39

|-

​

| ''A''<sub>4</sub>

| 3 e 15

| ''A''<sub>17</sub>

| 28 e 40

|-

​

| ''A''<sub>5</sub>

| 4 e 16

| ''A''<sub>18</sub>

| 29 e 41

|-

​

| ''A''<sub>6</sub>

| 5 e 17

| ''A''<sub>19</sub>

| 30 e 42

|-

​

| ''A''<sub>7</sub>

| 6 e 18

| ''A''<sub>20</sub>

| 31 e 43

|-

​

| ''A''<sub>8</sub>

| 7 e 19

| ''A''<sub>21</sub>

| 32 e 44

|-

​

| ''A''<sub>9</sub>

| 8 e 20

| ''A''<sub>22</sub>

| 33 e 45

|-

​

| ''A''<sub>10</sub>

| 9 e 21

| ''A''<sub>23</sub>

| 34 e 46

|-

​

| ''A''<sub>11</sub>

| 10 e 22

| ''A''<sub>24</sub>

| 35 e 47

|-

​

| ''A''<sub>12</sub>

| 11 e 23

| ''A''<sub>25</sub>

| 36 e 48

|-

​

| ''A''<sub>13</sub>

| 12 e 24

| 

| 

|}

​

<span id='sec0055'></span>

====6.1.4. Treliça de 72 barras====

​

<span id='p0535'></span>

O quarto problema analisado foi o da treliça de 72 barras, ilustrado pela [[#fig0005|figura 1]]d. A versão mono-objetivo pode ser encontrada em [[#bib0070|[14]]], [[#bib0115|[23]]] and [[#bib0020|[4]]] e a versão multiobjetivo foi encontrada somente em [[#bib0010|[2]]].

​

<span id='p0540'></span>

A densidade do material é ''ρ'' = 0, 1''lb''/''in''<sup>3</sup>, a tensão normal máxima é limitada em ±25 ''ksi'' e o Módulo de Young ''E'' = 10<sup>4</sup> ''ksi''. O conjunto das áreas possíveis é (em (''in''<sup>2</sup>)): ''AP'' = {0,1; 0,2; 0,3;…; 2,4; 2,5}, definindo ''P'' = 25.

​

<span id='p0545'></span>

A treliça é submetida a 2 casos de carregamento, observados na tabela [[#tbl0030|6]], totalizando 60 restrições de tensão. As barras são agrupadas conforme tabela [[#tbl0025|5]].

​

<span id='table_tbl0030'></span>

​

<span id='tbl0030'></span>

​

{| class="wikitable" style="min-width: 60%;margin-left: auto; margin-right: auto;"

|+

​

Tabela 6.

​

Carregamento para a treliça de 72 barras (em ''kips'').

​

|-

​

! Carregamento

! Nó

! ''F''<sub>''x''</sub>

! ''F''<sub>''y''</sub>

! ''F''<sub>''z''</sub>

|-

​

| 1

| 1

| 5

| 5

| −5

|-

​

| 2

| 1

| 0

| 0

| −5

|-

​

| 

| 2

| 0

| 0

| −5

|-

​

| 

| 3

| 0

| 0

| −5

|-

​

| 

| 4

| 0

| 0

| −5

|}

​

<span id='table_tbl0025'></span>

​

<span id='tbl0025'></span>

​

{| class="wikitable" style="min-width: 60%;margin-left: auto; margin-right: auto;"

|+

​

Tabela 5.

​

Agrupamento para a treliça de 72 barras.

​

|-

​

! Grupo

! Barras

|-

​

| ''A''<sub>1</sub>

| 1, 2, 3 e 4

|-

​

| ''A''<sub>2</sub>

| 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11 e 12

|-

​

| ''A''<sub>3</sub>

| 13, 14, 15 e 16

|-

​

| ''A''<sub>4</sub>

| 17 e 18

|-

​

| ''A''<sub>5</sub>

| 19, 20, 21 e 22

|-