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<span id='centerContent'></span>4
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<span id='centerInner'></span>6
<span id='tit0005'></span>7
=Elementos finitos mixtos estabilizados para flujos confinados de Bingham y de Herschel-Bulkley. Parte I : Formulación =8
9
Stabilized finite elements for Bingham and Herschel-Bulkley confined flows. Part I : Formulation 10
11
E. Moreno[[#aff0005|<sup>a</sup>]]<sup>, </sup> , M. Cervera[[#aff0010|<sup>b</sup>]]<sup>, </sup><sup>, </sup>12
13
<ul><li><span id='aff0005'></span>14
<sup>a</sup>Departamento de Ordenación de Cuencas, Ingeniería Forestal, Universidad de los Andes, ULA, Vía Chorros de Milla, 5001, Mérida, Venezuela</li>15
<li><span id='aff0010'></span>16
<sup>b</sup>Centro Internacional de Métodos Numéricos en Ingeniería (CIMNE), Universidad Politécnica de Cataluña, UPC, Módulo C1, Campus Norte, Jordi Girona 1-3, 08034, Barcelona, España</li>17
</ul>18
19
Under a Creative Commons [http://creativecommons.org/licenses/by-nc-nd/4.0/ license]20
21
<span id='ppvPlaceHolder'></span>22
23
<span id='refersToAndreferredToBy'></span>24
<span id='referredToBy'></span>25
26
<span id='authorabs00101'></span>27
==Resumen==28
29
<span id='spar0005'></span>30
En este trabajo se presenta una metodología para la resolución de las ecuaciones de Navier-Stokes para los fluidos viscoplásticos de Bingham y de Herschel-Bulkley mediante el método de los elementos finitos mixtos estabilizados velocidad/presión. Se desarrolla una formulación teórica y se realiza la implementación computacional.31
32
<span id='spar0010'></span>33
Los fluidos viscoplásticos se caracterizan por presentar una tensión de corte mínima, denominada tensión de fluencia. Por encima de esta tensión de corte mínima el fluido comienza a moverse. En caso de no superarse esta tensión de fluencia, el fluido se comporta como un cuerpo rígido o cuasirrígido, con velocidad de deformación nula.34
35
<span id='spar0015'></span>36
Se presentan inicialmente las ecuaciones de Navier-Stokes para un fluido incompresible. Se incluye una revisión de los modelos reológicos viscoplásticos. Se hace una descripción detallada de los mismos. Se describen los modelos viscoplásticos regularizados de Papanastasiou. Se proponen modelos regularizados de doble viscosidad como alternativa a los comúnmente usados.37
38
<span id='spar0020'></span>39
Se formula el modelo discreto, así como la formulación estabilizada con los métodos de subescalas algebraica (''Algebraic SubGrid Scale'' [ASGS]), de subescalas ortogonales (''Orthogonal Subgrid Scale'' [OSS]) y de subescalas ortogonales desacopladas (''split'' -OSS). 40
41
<span id='spar0025'></span>42
La metodología descrita en este trabajo proporciona la base para el desarrollo de una herramienta computacional para estudiar flujos viscoplásticos confinados, muy comunes en la industria.43
44
<span id='authorabs00052'></span>45
==Abstract==46
47
<span id='spar0030'></span>48
This work presents a methodology for the solution of the Navier-Stokes equations for Bingham and Herschel-Bulkley viscoplastic fluids using stabilized mixed velocity/pressure finite elements. The theoretical formulation is developed and implemented in a computer code.49
50
<span id='spar0035'></span>51
Viscoplastic fluids are characterized by a minimum shear stress called yield stress. Above this yield stress, the fluid is able to flow. Below this yield stress, the fluid behaves as a quasi-rigid body, with zero strain-rate.52
53
<span id='spar0040'></span>54
First, the Navier-Stokes equations for incompressible fluid are presented. A review of the viscoplastic rheological models is included, with a detailed description of these models. The regularized viscoplastic models due to Papanastasiou are described. Double viscosity regularized models are proposed as an alternative to the models commonly used.55
56
<span id='spar0045'></span>57
The discrete model is developed, and the Algebraic SubGrid Scale (ASGS) stabilization method, the Orthogonal Subgrid Scale (OSS) method and the split orthogonal subscales method are introduced.58
59
<span id='spar0050'></span>60
The methodology proposed in this work provides a computational tool to study confined viscoplastic flows, common in industry.61
62
<span id='kwd_1'></span>63
==Palabras clave==64
65
Método de los elementos finitos estabilizados ; Subescalas ortogonales OSS ; Incompresibilidad ; Fluidos viscoplásticos ; Modelo de Bingham ; Modelo de Herschel-Bulkley66
67
<span id='kwd_2'></span>68
==Keywords==69
70
Stabilized finite elements ; Orthogonal sub-grid scales OSS ; Incompressibility ; Viscoplastic fluid ; Bingham model ; Herschel-Bulkley model71
72
<span id='embeddedPDF'></span>73
74
<span id='SD_BA1P'></span>75
76
<span id='sec0005'></span>77
==1. Introducción==78
79
<span id='par0005'></span>80
En el presente trabajo se presenta la formulación continua y su correspondiente versión discreta para modelos de elementos finitos mixtos velocidad/presión de flujos confinados viscoplásticos de Bingham y de Herschel-Bulkley.81
82
<span id='par0010'></span>83
Los fluidos viscoplásticos de Bingham y de Herschel-Bulkley son fluidos no-newtonianos que se caracterizan por presentar una tensión de corte mínima, denominada «tensión de fluencia». Por encima de esta tensión de corte mínima el fluido comienza a moverse. En caso de no superar esta tensión de fluencia, el fluido se comporta como un cuerpo rígido o cuasirrígido, con velocidad de deformación nula.84
85
<span id='par0015'></span>86
En la industria, los fluidos de Bingham pueden modelar el comportamiento de las pinturas, de los plásticos, de productos alimenticios como la mayonesa y el kétchup, entre otros. Los fluidos de Herschel-Bulkley incluyen, por ejemplo, el comportamiento de las pastas, algunos geles y los fluidos de perforación. En el medio ambiente, estos fluidos pueden modelar flujos de detritos, entre otros.87
88
<span id='par0020'></span>89
El movimiento de los fluidos isotérmicos se describe mediante las ecuaciones de conservación de masa y ''momentum'' , representado por las ecuaciones de Navier-Stokes. Numerosos ensayos experimentales han demostrado que las ecuaciones de Navier-Stokes bajo condiciones isotérmicas describen exactamente el flujo incompresible de los fluidos. Las ecuaciones de Navier-Stokes requieren de una ecuación constitutiva para caracterizar el tipo de fluido. Esta ecuación define el valor de las tensiones en función de la dinámica del flujo y está asociada con la viscosidad del fluido (modelo reológico). 90
91
<span id='par0025'></span>92
El modelo que dio inicio al estudio de los materiales viscoplásticos fue el modelo plástico de Bingham [[#bib0005|[1]]] , formulado por Eugene C. Bingham para describir el comportamiento de las pinturas. El modelo de Herschel-Bulkley [[#bib0190|[2]]] se considera como un modelo generalizado de Bingham, aunque ha sido menos estudiado que el modelo de Bingham. 93
94
<span id='par0030'></span>95
Ambos fluidos exhiben una fuerte discontinuidad en su comportamiento reológico debido a la existencia de la tensión de fluencia que es difícil de tratar numéricamente. Para solventar este problema, autores como Bercovier y Engelman [[#bib0015|[3]]] , Tanner y Milthorpe [[#bib0020|[4]]] y Beris et al. [[#bib0025|[5]]] , entre otros, han propuesto diferentes formulaciones regularizadas. Tanner y Milthorpe fueron los primeros que simularon el problema utilizando un modelo de doble viscosidad aplicable a ambos fluidos. Beris y sus colegas centraron sus estudios en el fluido de Bingham, utilizando el criterio de Von Mises [[#bib0030|[6]]] en las zonas de no fluencia y el modelo ideal de Bingham en la zona de fluencia. En 1987, Papanastasiou [[#bib0035|[7]]] propuso un modelo regularizado aplicable tanto en las zonas de no fluencia como en las zonas de fluencia para estos 2 fluidos. Souza Mendes y Dutra (SMD) [[#bib0040|[8]]] han propuesto recientemente una modificación del modelo de Papanastasiou. 96
97
<span id='par0035'></span>98
En el presente trabajo se proponen nuevos modelos regularizados para el fluido de Bingham y el fluido de Herschel-Bulkley como alternativa a los modelos regularizados comúnmente usados.99
100
<span id='par0040'></span>101
En el caso de los materiales viscoplásticos, el método numérico más utilizado es el método de los elementos finitos (MEF) [[#bib0035|[7]]] , [[#bib0045|[9]]] , [[#bib0050|[10]]] and [[#bib0055|[11]]] . Para abordar el problema de flujo incompresible mediante el MEF, se emplea la formulación mixta de velocidad/presión ('''u''' /p). La formulación estándar de Galerkin presenta 2 fuentes de inestabilidades. 102
103
<span id='par0045'></span>104
La primera es la presencia del término convectivo en las ecuaciones de gobierno que puede resultar en oscilaciones numéricas en el campo de la velocidad. La segunda fuente de inestabilidad es la combinación inapropiada de espacios de interpolación para los campos de velocidad y presión. Esta falta de estabilidad produce oscilaciones numéricas en el campo de las presiones. Para que el problema discreto sea estable, los espacios de interpolación usados para la velocidad y la presión deben satisfacer la condición inf-sup de compatibilidad o condición de Babuška-Brezzi [[#bib0060|[12]]] . La formulación de igual interpolación lineal usada en este trabajo no cumple con la condición Babuška-Brezzi [[#bib0065|[13]]] . 105
106
<span id='par0050'></span>107
En ambos casos el problema necesita estabilizarse para poder probar convergencia a la solución del problema. Los métodos de estabilización más usados en la actualidad están basados en los métodos de subescalas. Hughes fue el pionero en estos métodos de subescalas (''SubGrid Scale'' [SGS]), proponiendo el método de estabilización de subescalas algebraicas (''Algebraic SubGrid Scale stabilization method'' [ASGS]) [[#bib0070|[14]]] para una ecuación escalar de difusión-reacción. Codina [[#bib0075|[15]]] amplió esta aproximación algebraica aplicándola a sistemas escalares multidimensionales. 108
109
<span id='par0055'></span>110
Posteriormente, Codina [[#bib0075|[15]]] propuso adoptar un espacio de subescalas ortogonales al espacio de los elementos finitos, fundamentando así el método de estabilización de subescalas ortogonales (''Orthogonal Subscale Stabilization method'' [OSS]). El método OSS se ha aplicado al problema de Stokes, al problema de convección-difusión-reacción y a las ecuaciones de Navier-Stokes, entre otros [[#bib0075|[15]]] and [[#bib0080|[16]]] . La estabilización OSS ha sido reformulada en una nueva versión del método llamada estabilización ''split'' -OSS [[#bib0085|[17]]] , computacionalmente más ventajosa. Actualmente se usan en problemas muy variados, tanto de mecánica de fluidos [[#bib0075|[15]]] , [[#bib0085|[17]]] , [[#bib0090|[18]]] , [[#bib0095|[19]]] , [[#bib0100|[20]]] and [[#bib0105|[21]]] como de mecánica de sólidos [[#bib0095|[19]]] , [[#bib0110|[22]]] , [[#bib0115|[23]]] , [[#bib0120|[24]]] , [[#bib0125|[25]]] , [[#bib0130|[26]]] , [[#bib0135|[27]]] , [[#bib0140|[28]]] , [[#bib0145|[29]]] , [[#bib0150|[30]]] and [[#bib0155|[31]]] . 111
112
<span id='par0060'></span>113
En la parte i de este trabajo se presenta el problema del flujo confinado con un amplio desarrollo de los modelos constitutivos para flujos viscoplásticos de Bingham y de Herschel-Bulkley, así como los modelos viscoplásticos regularizados propuestos en este trabajo. Finalmente, se presenta el modelo discreto incorporando los modelos de Bingham y de Herschel-Bulkley. Como métodos de estabilización se discuten los métodos ASGS, OSS y ''split'' -OSS. 114
115
<span id='sec0010'></span>116
==2. Modelo continuo para el problema del flujo confinado==117
118
<span id='par0065'></span>119
El problema continuo de dinámica de fluidos incompresibles e isotérmicos puede resolverse completamente considerando las ecuaciones de Navier-Stokes.120
121
<span id='par0070'></span>122
Las ecuaciones de Navier-Stokes, planteadas inicialmente para fluidos newtonianos, pueden usarse conjuntamente con los modelos reológicos viscoplásticos de Bingham y Herschel-Bulkley en la ecuación constitutiva.123
124
<span id='par0075'></span>125
Considérese Ω, un dominio abierto y acotado dimensional de <math display="inline">\mathbb{R}^d</math> , donde ''d'' = 2 o 3 es el número de dimensiones del espacio, Γ = ∂Ω es su contorno, que puede ser dividido en el contorno con condiciones de Dirichlet (velocidad impuesta) Γ<sub>''d''</sub> = ∂Ω<sub>''d''</sub> y el contorno con condiciones de Neumann (tracciones impuestas) Γ<sub>''n''</sub> = ∂Ω<sub>''n''</sub> de forma que Γ = Γ<sub>''d''</sub> ∪ Γ<sub>''n''</sub> , [0, ''T'' ] es el intervalo de tiempo de análisis. 126
127
<span id='par0080'></span>128
El problema de Navier-Stokes consiste en encontrar una velocidad '''u''' y una presión ''p'' tal que:129
130
<span id='eq0005'></span>131
{| class="formulaSCP" style="width: 100%; text-align: center;" 132
|-133
| 134
{| style="text-align: center; margin:auto;" 135
|-136
| <math>\rho (\partial _t\mbox{u}+\mbox{u}\cdot \nabla \mbox{u})-\nabla \cdot \sigma =\mbox{f}</math>137
|}138
| style="text-align: right;" | ( 1)139
|}140
141
con142
143
<span id='eq0010'></span>144
{| class="formulaSCP" style="width: 100%; text-align: center;" 145
|-146
| 147
{| style="text-align: center; margin:auto;" 148
|-149
| <math>\nabla \cdot \sigma =-\nabla p+\nabla \cdot \tau </math>150
|}151
| style="text-align: right;" | ( 2)152
|}153
154
y155
156
<span id='eq0015'></span>157
{| class="formulaSCP" style="width: 100%; text-align: center;" 158
|-159
| 160
{| style="text-align: center; margin:auto;" 161
|-162
| <math>\nabla \cdot \mbox{u}=0</math>163
|}164
| style="text-align: right;" | ( 3)165
|}166
167
en Ω, ''t'' ∈ [0,''t'' ], donde '''σ''' es el tensor de tensiones, '''τ''' es el tensor de tensiones desviadoras, '''f''' es el vector de fuerzas de volumen y ρ es la densidad del fluido. 168
169
<span id='par0085'></span>170
A esas ecuaciones deben añadirse condiciones iniciales de la forma '''u''' = '''u'''<sub>0</sub> en Ω, ''t''<sub>0</sub> = 0 y condiciones de contorno: 171
172
<span id='par0090'></span>173
Condiciones de Dirichlet:174
175
<span id='eq0020'></span>176
{| class="formulaSCP" style="width: 100%; text-align: center;" 177
|-178
| 179
{| style="text-align: center; margin:auto;" 180
|-181
| <math>\mbox{u}=\bar{\mbox{u}}\mbox{ }\mbox{en}\mbox{ }\Gamma _d\times [0,t]</math>182
|}183
| style="text-align: right;" | ( 4)184
|}185
186
<span id='par0095'></span>187
Condiciones de Neumann:188
189
<span id='eq0025'></span>190
{| class="formulaSCP" style="width: 100%; text-align: center;" 191
|-192
| 193
{| style="text-align: center; margin:auto;" 194
|-195
| <math>\mbox{n}\cdot \sigma =\mbox{t}\mbox{ }\mbox{en}\mbox{ }\Gamma _n\times [0,t]</math>196
|}197
| style="text-align: right;" | ( 5)198
|}199
200
donde '''n''' es el vector unitario normal al contorno ''∂'' Ω. Por simplicidad se tomará en el contorno Γ<sub>''d''</sub> la velocidad <math display="inline">\bar{\mbox{u}}=0,t\in [0,T]</math> . El vector '''t''' es el vector de tracción sobre el contorno con condiciones de Neumann. 201
202
<span id='sec0015'></span>203
==3. Líneas de corriente==204
205
<span id='par0100'></span>206
Las líneas de corriente son curvas tangentes en cada punto al campo de velocidades. En un flujo estacionario, las líneas de corriente no varían con el tiempo, mientras que en flujo transitorio sí lo hacen.207
208
<span id='par0105'></span>209
Las líneas de corriente para un flujo bidimensional con un campo de velocidades '''u''' = (''u''<sub>''x''</sub>'',u''<sub>''y''</sub> ) coinciden con las líneas de nivel de la función ''ϕ'' , solución de la ecuación laplaciana:210
211
<span id='eq0030'></span>212
{| class="formulaSCP" style="width: 100%; text-align: center;" 213
|-214
| 215
{| style="text-align: center; margin:auto;" 216
|-217
| <math>\nabla ^2\phi (x,y)=\frac{\partial u_x}{\partial x}-\frac{\partial u_y}{\partial y}</math>218
|}219
| style="text-align: right;" | ( 6)220
|}221
222
con la condición de contorno ϕ = 0. 223
224
<span id='sec0020'></span>225
==4. Ecuación constitutiva para fluidos viscoplásticos==226
227
<span id='par0110'></span>228
La ecuación constitutiva relaciona las tensiones con la presión y la velocidad de deformación. En el caso de los fluidos, esta relación se denomina también modelo reológico.229
230
<span id='par0115'></span>231
El tensor de tensiones '''σ''' se descompone en su parte volumétrica y desviadora como:232
233
<span id='eq0035'></span>234
{| class="formulaSCP" style="width: 100%; text-align: center;" 235
|-236
| 237
{| style="text-align: center; margin:auto;" 238
|-239
| <math>\sigma =-p\mbox{I}+\tau </math>240
|}241
| style="text-align: right;" | ( 7)242
|}243
244
donde ''p'' es la presión, '''I''' es el tensor de identidad de segundo orden y '''''τ''''' es el tensor de las tensiones desviadoras. 245
246
<span id='par0120'></span>247
Para un fluido newtoniano, usando la hipótesis de Stokes y usando la ecuación de incompresibilidad, el tensor desviador de tensiones se expresa como:248
249
<span id='eq0040'></span>250
{| class="formulaSCP" style="width: 100%; text-align: center;" 251
|-252
| 253
{| style="text-align: center; margin:auto;" 254
|-255
| <math>\tau =2\mu \epsilon (\mbox{u})</math>256
|}257
| style="text-align: right;" | ( 8)258
|}259
260
donde '''u''' es el vector de velocidades, ''μ'' es la viscosidad dinámica (constante en caso de fluido newtoniano) y '''ɛ''' (·) es el gradiente simétrico de la velocidad:261
262
<span id='eq0045'></span>263
{| class="formulaSCP" style="width: 100%; text-align: center;" 264
|-265
| 266
{| style="text-align: center; margin:auto;" 267
|-268
| <math>\epsilon (\mbox{u})=\frac{1}{2}(\nabla \mbox{u}+\nabla \mbox{u}^t)=\nabla ^s\mbox{u}</math>269
|}270
| style="text-align: right;" | ( 9)271
|}272
273
donde ▿'''u''' es el gradiente de la velocidad y (▿'''u'''<sup>t</sup> ) es la transpuesta del mismo. 274
275
<span id='par0125'></span>276
El valor de la magnitud del tensor de la velocidad de deformación, γ, se toma como la raíz del segundo invariante del tensor simétrico:277
278
<span id='eq0050'></span>279
{| class="formulaSCP" style="width: 100%; text-align: center;" 280
|-281
| 282
{| style="text-align: center; margin:auto;" 283
|-284
| <math>\dot{\gamma }=\sqrt{2\epsilon (\mbox{u}):\epsilon (\mbox{u})}</math>285
|}286
| style="text-align: right;" | ( 10)287
|}288
289
<span id='par0130'></span>290
La magnitud del tensor desviador o tensión efectiva, ''τ'' , se toma como la raíz del segundo invariante del tensor de las tensiones desviadoras:291
292
<span id='eq0055'></span>293
{| class="formulaSCP" style="width: 100%; text-align: center;" 294
|-295
| 296
{| style="text-align: center; margin:auto;" 297
|-298
| <math>\tau =\sqrt{\frac{1}{2}J_2}=\sqrt{\frac{1}{2}(\tau :\tau )}</math>299
|}300
| style="text-align: right;" | ( 11)301
|}302
303
<span id='par0135'></span>304
De acuerdo con lo anterior, la ecuación (7) se puede escribir como:305
306
<span id='eq0060'></span>307
{| class="formulaSCP" style="width: 100%; text-align: center;" 308
|-309
| 310
{| style="text-align: center; margin:auto;" 311
|-312
| <math>\sigma =-p\mbox{I}+2\mu \epsilon (\mbox{u})</math>313
|}314
| style="text-align: right;" | ( 12)315
|}316
317
<span id='par0140'></span>318
Dependiendo de los valores de la viscosidad en función de la velocidad de deformación, <math display="inline">\mu =\mu \left(\dot{\gamma }\right)</math> , pueden distinguirse diferentes ecuaciones constitutivas que representan diferentes modelos reológicos no-newtonianos. Un amplio número de estos materiales pueden verse en Bird et al. [[#bib0160|[32]]] . Se estudian en este trabajo los modelos para fluidos viscoplásticos, en particular para el modelo de Bingham y de Herschel-Bulkley. 319
320
<span id='sec0025'></span>321
===4.1. Modelo ideal de Bingham===322
323
<span id='par0145'></span>324
Eugene C. Bingham describió las pinturas con este modelo en 1919, publicado en su libro ''Fluidity and Plasticity''[[#bib0005|[1]]] . El modelo fue analizado por Oldroyd [[#bib0165|[33]]] , Reiner [[#bib0170|[34]]] y Prager [[#bib0175|[35]]] . Los plásticos de Bingham requieren de una tensión de corte mínima, ''τ''<sub>y</sub> , a partir de la cual comienzan a moverse ([[#fig0005|fig. 1]] ). 325
326
<span id='figure_fig0005'></span>327
328
<span id='fig0005'></span>329
330
{| style="text-align: center; border: 1px solid #BBB; margin: 1em auto; max-width: 100%;" 331
|-332
|333
334
335
[[Image:draft_Content_671798508-1-s2.0-S0213131515000243-gr1.jpg|center|320px|Curvas reológicas. Modelo bilineal.]]336
337
338
|-339
| <span style="text-align: center; font-size: 75%;">340
341
Figura 1.342
343
<span id='spar0055'></span>344
Curvas reológicas. Modelo bilineal.345
346
</span>347
|}348
349
<span id='par0150'></span>350
En el modelo de Bingham la viscosidad está dada por:351
352
<span id='eq0065'></span>353
{| class="formulaSCP" style="width: 100%; text-align: center;" 354
|-355
| 356
{| style="text-align: center; margin:auto;" 357
|-358
| <math>\begin{array}{c}359
\mu \left(\dot{\gamma }\right)=\mu _o+\frac{\tau _y}{\dot{\gamma }}\mbox{ }para\mbox{ }\tau >\tau _y\\360
\dot{\gamma }=0\mbox{ }para\mbox{ }\tau \leq \tau _y361
\end{array}</math>362
|}363
| style="text-align: right;" | ( 13)364
|}365
366
donde ''μ''<sub>0</sub> es la viscosidad plástica, y la viscosidad aparente <math display="inline">\mu (\dot{\gamma })</math> disminuye con el incremento en la magnitud de la velocidad de deformación <math display="inline">\dot{\gamma }</math> ; ''τ'' es la magnitud del tensor de tensiones desviadoras. 367
368
<span id='par0155'></span>369
En consecuencia, el tensor de tensiones desviadoras es:370
371
<span id='eq0070'></span>372
{| class="formulaSCP" style="width: 100%; text-align: center;" 373
|-374
| 375
{| style="text-align: center; margin:auto;" 376
|-377
| <math>\begin{array}{c}378
\tau =2\left(\mu _0+\frac{\tau _y}{\dot{\gamma }}\right)\epsilon (\mbox{u})\mbox{ }para\mbox{ }\tau >\tau _y\\379
\dot{\gamma }=0\mbox{ }para\mbox{ }\tau \leq \tau _y380
\end{array}</math>381
|}382
| style="text-align: right;" | ( 14)383
|}384
385
<span id='par0160'></span>386
Para definir si una partícula del fluido se mueve o no, es decir, si está en fluencia o no, se comprueba si la magnitud del tensor de tensiones desviadoras, ''τ'' , excede o no el valor de la tensión de fluencia, ''τ''<sub>''y''</sub> . Cuando la magnitud del tensor de tensiones del fluido, ''τ'' , supera la tensión de fluencia, el comportamiento es similar al de un fluido newtoniano; en caso contrario, el fluido no presenta deformaciones por corte. 387
388
<span id='sec0030'></span>389
====4.1.1. Magnitudes adimensionales====390
391
4.1.1.1. Número de Bingham392
393
<span id='par0165'></span>394
Para estudiar flujos de Bingham se define un número adimensional denominado número de Bingham, ''Bn'' . El número de Bingham, sugerido por Bird et al. [[#bib0160|[32]]] , se define como:395
396
<span id='eq0075'></span>397
{| class="formulaSCP" style="width: 100%; text-align: center;" 398
|-399
| 400
{| style="text-align: center; margin:auto;" 401
|-402
| <math>Bn=\frac{\tau _yH}{\mu V}</math>403
|}404
| style="text-align: right;" | ( 15)405
|}406
407
donde ''V'' es una velocidad característica del flujo viscoplástico, ''H'' es una longitud característica y ''μ'' es la viscosidad del fluido de Bingham. 408
409
<span id='par0170'></span>410
El número de Bingham relaciona la tensión de fluencia, ''τ''<sub>''y''</sub> , con la tensión ocasionada por una velocidad de deformación característica <math display="inline">\left(\dot{\gamma }_0=\frac{V}{H}\right)</math> . 411
412
<span id='par0175'></span>413
En el caso de un fluido newtoniano el valor ''Bn'' es nulo, ''Bn'' = 0; en el límite opuesto, para fluidos en no fluencia (sólido) el número de Bingham puede tener valores muy altos, ''Bn'' → ∝ [[#bib0050|[10]]] . 414
415
4.1.1.2. Tensión adimensional de fluencia416
417
<span id='par0180'></span>418
En flujos viscoplásticos es conveniente mostrar los resultados en función de una tensión de fluencia adimensional, <math display="inline">\tau _y^\ast </math> , definida por Papanastasiou [[#bib0035|[7]]] como:419
420
<span id='eq0080'></span>421
{| class="formulaSCP" style="width: 100%; text-align: center;" 422
|-423
| 424
{| style="text-align: center; margin:auto;" 425
|-426
| <math>\tau _y^\ast =\frac{\tau _yH}{\mu V_N}</math>427
|}428
| style="text-align: right;" | ( 16)429
|}430
431
donde ''V''<sub>''N''</sub> es una velocidad característica tomada como la velocidad promedio del líquido newtoniano de la misma viscosidad del modelo viscoplástico. 432
433
4.1.1.3. Número de Reynolds434
435
<span id='par0185'></span>436
El número de Reynolds, ''Rn'' , define si el régimen del flujo es laminar o turbulento. El empleado en este trabajo es el que Scott et al. [[#bib0180|[36]]] y Mitsoulis y Huilgol [[#bib0185|[37]]] , entre otros, usan en trabajos previos para flujo newtoniano. Para el flujo laminar de Bingham:437
438
<span id='eq0085'></span>439
{| class="formulaSCP" style="width: 100%; text-align: center;" 440
|-441
| 442
{| style="text-align: center; margin:auto;" 443
|-444
| <math>Re=\rho \frac{V_BH}{\mu }</math>445
|}446
| style="text-align: right;" | ( 17)447
|}448
449
donde ''ρ'' es la densidad del fluido, ''V''<sub>''B''</sub> es la velocidad promedio del flujo, ''H'' es una longitud característica y ''μ'' es la viscosidad para el fluido de Bingham. 450
451
<span id='sec0050'></span>452
===4.2. Modelo ideal de Herschel-Bulkley===453
454
<span id='par0190'></span>455
En el modelo plástico de Herschel-Bulkley [[#bib0190|[2]]] se combinan la tensión de fluencia y la ley potencial. En el modelo de Herschel-Bulkley la viscosidad aparente está dada por:456
457
<span id='eq0090'></span>458
{| class="formulaSCP" style="width: 100%; text-align: center;" 459
|-460
| 461
{| style="text-align: center; margin:auto;" 462
|-463
| <math>\begin{array}{c}464
\mu \left(\dot{\gamma }\right)=k\dot{\gamma }^{n-1}+\frac{\tau _y}{\dot{\gamma }}\mbox{ }para\mbox{ }\tau >\tau _y\\465
\mbox{ }\dot{\gamma }=0\mbox{ }para\mbox{ }\tau \leq \tau _y466
\end{array}</math>467
|}468
| style="text-align: right;" | ( 18)469
|}470
471
<span id='par0195'></span>472
Al igual que para el modelo de Bingham, los materiales de Herschel-Bulkley requieren de una tensión de corte mínima, ''τ''<sub>''y''</sub> , para que el material fluya. Para niveles de tensión por encima de la tensión de fluencia, el material fluye con una relación no lineal tensión-velocidad de deformación como un fluido pseudoplástico (''n'' ''<'' 1) o dilatante (''n'' ''>'' 1) determinado por el exponente de la ley de potencia ''(n)'' . 473
474
<span id='par0200'></span>475
El tensor desviador resulta:476
477
<span id='eq0095'></span>478
{| class="formulaSCP" style="width: 100%; text-align: center;" 479
|-480
| 481
{| style="text-align: center; margin:auto;" 482
|-483
| <math>\begin{array}{c}484
\tau =2\left(k\dot{\gamma }^{n-1}+\frac{\tau _y}{\dot{\gamma }}\right)\epsilon (\mbox{u})\mbox{ }para\mbox{ }\tau >\tau _y\\485
\dot{\gamma }=0\mbox{ }para\mbox{ }\tau \leq \tau _y486
\end{array}</math>487
|}488
| style="text-align: right;" | ( 19)489
|}490
491
<span id='par0205'></span>492
Si ''n'' ''='' 1, se tiene el fluido de Bingham como caso particular [[#bib0175|[35]]] y el índice de consistencia es igual a la viscosidad plástica del material ''k'' = ''μ''<sub>0</sub> . Si la tensión de fluencia es nula, ''τ''<sub>''y''</sub> = 0, se recupera la ley potencial. 493
494
<span id='sec0055'></span>495
====4.2.1. Magnitudes adimensionales====496
497
4.2.1.1. Número generalizado de Bingham498
499
<span id='par0210'></span>500
Para materiales que obedecen el modelo de Herschel-Bulkley se define el número generalizado de Bingham, ''Bn'' * o número de Oldroyd [[#bib0165|[33]]] , ''Od'' , como:501
502
<span id='eq0100'></span>503
{| class="formulaSCP" style="width: 100%; text-align: center;" 504
|-505
| 506
{| style="text-align: center; margin:auto;" 507
|-508
| <math>Bn\ast =Od=\frac{\tau _y}{k\left(\frac{V}{H}\right)^n}=\frac{\tau _y}{k}\left(\frac{H}{V}\right)^n</math>509
|}510
| style="text-align: right;" | ( 20)511
|}512
513
donde ''τ''<sub>''y''</sub> es la tensión de fluencia, ''H'' es una longitud característica, ''k'' es el índice de consistencia y ''n'' es el índice potencial. La velocidad ''V'' es una velocidad característica. 514
515
4.2.1.2. Número de Reynolds516
517
<span id='par0215'></span>518
El número de Reynolds usado en flujos de Herschel-Bulkley viene dado por la ley potencial [[#bib0020|[4]]] and [[#bib0010|[38]]] :519
520
<span id='eq0105'></span>521
{| class="formulaSCP" style="width: 100%; text-align: center;" 522
|-523
| 524
{| style="text-align: center; margin:auto;" 525
|-526
| <math>Re=\rho \frac{VH}{k\left(\frac{V}{H}\right)^{n-1}}=\rho \frac{V^2}{k}\left(\frac{H}{V}\right)^n</math>527
|}528
| style="text-align: right;" | ( 21)529
|}530
531
<span id='sec0070'></span>532
==5. Modelos viscoplásticos regularizados. Fluido de Bingham==533
534
<span id='par0220'></span>535
Los modelos reológicos ideales con tensión de fluencia presentan 2 problemas:<span id='list_lis0005'></span>536
* Existe una singularidad para la viscosidad cuando la velocidad de deformación es nula.537
* Además, en algunos casos no está acotada la función de la viscosidad cuando la velocidad de deformación tiende a cero <math display="inline">\left(lim\mbox{ }\underset{\dot{\gamma }\rightarrow 0}{\mu }\rightarrow \infty \right)</math> . 538
539
<span id='par0235'></span>540
Estos problemas no constituyen una limitación en soluciones analíticas para problemas simples, pero sí constituyen un serio inconveniente de cara a la solución numérica [[#bib0035|[7]]] , [[#bib0195|[39]]] and [[#bib0200|[40]]] . 541
542
<span id='par0240'></span>543
Para evitar estas dificultades y lograr una conveniente formulación computacional, se han propuestos diferentes modelos regularizados.544
545
<span id='par0245'></span>546
Un modelo muy utilizado es el modelo de doble viscosidad, inicialmente propuesto por Tanner y Milthorpe [[#bib0020|[4]]] . Otro de los modelos más usados en nuestros días es el modelo de Papanastasiou [[#bib0035|[7]]] . Souza Mendes y Dutra (SMD) [[#bib0040|[8]]] han propuesto recientemente una modificación del modelo de Papanastasiou. 547
548
<span id='sec0075'></span>549
===5.1. Modelo de Tanner y Milthorpe===550
551
<span id='par0250'></span>552
El modelo introducido originalmente por Tanner y Milthorpe [[#bib0020|[4]]] es un modelo con doble viscosidad lineal que regulariza el fluido de Bingham. 553
554
<span id='par0255'></span>555
Este modelo de doble viscosidad sustituye el comportamiento rígido del modelo ideal para valores de tensiones por debajo de la tensión de fluencia por una dependencia lineal entre la tensión y la velocidad de deformación. El modelo para el fluido de Bingham es:556
557
<span id='eq0110'></span>558
{| class="formulaSCP" style="width: 100%; text-align: center;" 559
|-560
| 561
{| style="text-align: center; margin:auto;" 562
|-563
| <math>\mu (\dot{\gamma })=\left\{\begin{array}{c}564
\mu _0+\frac{\tau _{\gamma }}{\dot{\gamma }}\mbox{ }para\mbox{ }\dot{\gamma }>\dot{\gamma }_c\\565
\mu _r\mbox{ }para\mbox{ }\dot{\gamma }\leq \dot{\gamma }_c566
\end{array}\right.</math>567
|}568
| style="text-align: right;" | ( 22)569
|}570
571
donde ''μ''<sub>''r''</sub> es la viscosidad crítica y <math display="inline">\dot{\gamma }_c</math> es la velocidad de deformación crítica. Para esta velocidad de deformación crítica la tensión es:572
573
<span id='eq0115'></span>574
{| class="formulaSCP" style="width: 100%; text-align: center;" 575
|-576
| 577
{| style="text-align: center; margin:auto;" 578
|-579
| <math>\mu _r\dot{\gamma }_c=\mu _0\dot{\gamma }_c+\tau _y</math>580
|}581
| style="text-align: right;" | ( 23)582
|}583
584
<span id='par0260'></span>585
Por tanto, la velocidad de deformación crítica es:586
587
<span id='eq0120'></span>588
{| class="formulaSCP" style="width: 100%; text-align: center;" 589
|-590
| 591
{| style="text-align: center; margin:auto;" 592
|-593
| <math>\dot{\gamma }_c=\frac{\tau _y}{\mu _r-\mu _0}</math>594
|}595
| style="text-align: right;" | ( 24)596
|}597
598
<span id='par0265'></span>599
El valor de ''μ''<sub>''r''</sub> debe ser grande para aproximar el modelo ideal. Una buena aproximación recomendada por Beverly y Tanner es tomar <math display="inline">300\leq \frac{\mu _r}{\mu _0}\leq 1000</math> . 600
601
<span id='par0270'></span>602
El inconveniente de este modelo es que para la viscosidad crítica se tiene una tensión crítica ''τ''<sub>''c''</sub> algo mayor que la tensión de fluencia, como se muestra en la [[#fig0005|figura 1]] . Esta tensión crítica es:603
604
<span id='eq0125'></span>605
{| class="formulaSCP" style="width: 100%; text-align: center;" 606
|-607
| 608
{| style="text-align: center; margin:auto;" 609
|-610
| <math>\tau _c=\tau _y\frac{\mu _r}{\mu _r-\mu _o}>\tau _y</math>611
|}612
| style="text-align: right;" | ( 25)613
|}614
615
<span id='sec0080'></span>616
===5.2. Modelo de Papanastasiou===617
618
<span id='par0275'></span>619
Uno de los intentos por solventar la limitación debida a la singularidad de la viscosidad para <math display="inline">\dot{\gamma }\rightarrow 0</math> se debe a Papanastasiou [[#bib0035|[7]]] , que propuso una regularización exponencial para el término de la tensión de fluencia del modelo de Bingham. La misma idea se ha usado posteriormente con el modelo de Herschel-Bulkley. 620
621
<span id='par0280'></span>622
La ventaja que presenta el modelo es que describe con una sola ecuación tanto las zonas de fluencia como las de no fluencia, mediante una función suavizada de la viscosidad que depende de la velocidad de deformación y de un parámetro de regularización ''(m) '' , modificando la viscosidad aparente <math display="inline">\mu (\dot{\gamma })</math> del modelo ideal de la manera:623
624
<span id='eq0130'></span>625
{| class="formulaSCP" style="width: 100%; text-align: center;" 626
|-627
| 628
{| style="text-align: center; margin:auto;" 629
|-630
| <math>\mu \left(\dot{\gamma }\right)=\mu _o+\frac{\tau _y}{\dot{\gamma }}\left(1-exp(-m\dot{\gamma })\right)</math>631
|}632
| style="text-align: right;" | ( 26)633
|}634
635
<span id='par0285'></span>636
En la [[#fig0010|figura 2]] se puede apreciar la influencia del parámetro de regularización ''m'' . 637
638
<span id='figure_fig0010'></span>639
640
<span id='fig0010'></span>641
642
{| style="text-align: center; border: 1px solid #BBB; margin: 1em auto; max-width: 100%;" 643
|-644
|645
646
647
[[Image:draft_Content_671798508-1-s2.0-S0213131515000243-gr2.jpg|center|301px|Modelo regularizado de Papanastasiou para el fluido de Bingham con diferentes ...]]648
649
650
|-651
| <span style="text-align: center; font-size: 75%;">652
653
Figura 2.654
655
<span id='spar0060'></span>656
Modelo regularizado de Papanastasiou para el fluido de Bingham con diferentes valores del parámetro de regularización, m.657
658
</span>659
|}660
661
<span id='par0290'></span>662
La viscosidad en la ecuación (26) está acotada cuando el gradiente de la velocidad de deformación tiende a cero. Desarrollando en serie de Taylor y despreciando los términos de más de segundo orden, se tiene que:663
664
<span id='eq0135'></span>665
{| class="formulaSCP" style="width: 100%; text-align: center;" 666
|-667
| 668
{| style="text-align: center; margin:auto;" 669
|-670
| <math>\mu _{max}=\underset{\dot{\gamma }\rightarrow 0}{lim}\mu (\dot{\gamma })=\mu _0+m\tau _y</math>671
|}672
| style="text-align: right;" | ( 27)673
|}674
675
<span id='par0295'></span>676
Para valores muy altos del parámetro de regularización, ''m'' , este valor límite de la viscosidad puede causar problemas numéricos. En este caso es aconsejable definir un valor de truncamiento ''μ''<sub>''t''</sub> < ''μ''<sub>max</sub> para velocidades de deformación muy bajas <math display="inline">\dot{\gamma }<\dot{\gamma }_c</math> . 677
678
<span id='sec0085'></span>679
===5.3. Modelo de Souza Mendes y Dutra (SMD)===680
681
<span id='par0300'></span>682
El modelo regularizado SMD de Souza Mendes y Dutra [[#bib0040|[8]]] es similar al modelo de Papanastasiou, pero la regularización exponencial afecta a todos los términos de la viscosidad:683
684
<span id='eq0140'></span>685
{| class="formulaSCP" style="width: 100%; text-align: center;" 686
|-687
| 688
{| style="text-align: center; margin:auto;" 689
|-690
| <math>\mu \left(\dot{\gamma }\right)=\left(\mu _0+\frac{\tau _y}{\dot{\gamma }}\right)\left(1-exp(-\frac{\eta _0}{\tau _y}\dot{\gamma })\right)</math>691
|}692
| style="text-align: right;" | ( 28)693
|}694
695
<span id='par0305'></span>696
Además, el parámetro de regularización ''m'' se sustituye por un parámetro reológico que depende de la viscosidad del fluido a cero cizallamiento η<sub>''o''</sub> y la tensión de fluencia ''τ''<sub>''y''</sub> , ''m'' = ''η''<sub>0</sub> /''τ''<sub>''y''</sub> . 697
698
<span id='par0310'></span>699
El límite para la viscosidad cuando la velocidad de deformación es cero es:700
701
<span id='eq0145'></span>702
{| class="formulaSCP" style="width: 100%; text-align: center;" 703
|-704
| 705
{| style="text-align: center; margin:auto;" 706
|-707
| <math>\mu _{max}=\underset{\dot{\gamma }\rightarrow 0}{lim}\mu (\dot{\gamma })=m\tau _y</math>708
|}709
| style="text-align: right;" | ( 29)710
|}711
712
<span id='sec0090'></span>713
==6. Modelos viscoplásticos regularizados. Fluido de Herschel-Bulkley==714
715
<span id='par0315'></span>716
Para el fluido de Herschel-Bulkley se proponen modelos regularizados análogos a los del fluido de Bingham.717
718
<span id='sec0095'></span>719
===6.1. Modelo de Tanner y Milthorpe===720
721
<span id='par0320'></span>722
El modelo de Tanner y Milthorpe [[#bib0020|[4]]] para el fluido de Herschel-Bulkley es:723
724
<span id='eq0150'></span>725
{| class="formulaSCP" style="width: 100%; text-align: center;" 726
|-727
| 728
{| style="text-align: center; margin:auto;" 729
|-730
| <math>\mu (\dot{\gamma })=\left\{\begin{array}{c}731
k\dot{\gamma }^{n-1}+\frac{\tau _y}{\dot{\gamma }}\mbox{ }para\mbox{ }\dot{\gamma }>\dot{\gamma }_c\\732
\mu _r\mbox{ }para\mbox{ }\dot{\gamma }\leq \dot{\gamma }_c733
\end{array}\right.</math>734
|}735
| style="text-align: right;" | ( 30)736
|}737
738
donde ''μ''<sub>''r''</sub> es la viscosidad crítica y <math display="inline">\dot{\gamma }_c</math> es la velocidad de deformación crítica. La velocidad de deformación crítica se obtiene resolviendo la siguiente ecuación no lineal implícita:739
740
<span id='eq0155'></span>741
{| class="formulaSCP" style="width: 100%; text-align: center;" 742
|-743
| 744
{| style="text-align: center; margin:auto;" 745
|-746
| <math>\mu _r\dot{\gamma }_c=k\dot{\gamma }_c^n+\tau _y</math>747
|}748
| style="text-align: right;" | ( 31)749
|}750
751
<span id='sec0100'></span>752
===6.2. Modelo de Papanastasiou===753
754
<span id='par0325'></span>755
La regularización propuesta por Papanastasiou ([[#fig0015|fig. 3]] ) es también aplicable al modelo de Herschel-Bulkley. La viscosidad aparente queda definida como:756
757
<span id='eq0160'></span>758
{| class="formulaSCP" style="width: 100%; text-align: center;" 759
|-760
| 761
{| style="text-align: center; margin:auto;" 762
|-763
| <math>\mu (\dot{\gamma })=k\dot{\gamma }^{n-1}+\frac{\tau _y}{\dot{\gamma }}\left(1-exp(-m\dot{\gamma })\right)</math>764
|}765
| style="text-align: right;" | ( 32)766
|}767
768
<span id='figure_fig0015'></span>769
770
<span id='fig0015'></span>771
772
{| style="text-align: center; border: 1px solid #BBB; margin: 1em auto; max-width: 100%;" 773
|-774
|775
776
777
[[Image:draft_Content_671798508-1-s2.0-S0213131515000243-gr3.jpg|center|292px|Modelo regularizado de Papanastasiou para el fluido de Herschel-Bulkley con ...]]778
779
780
|-781
| <span style="text-align: center; font-size: 75%;">782
783
Figura 3.784
785
<span id='spar0065'></span>786
Modelo regularizado de Papanastasiou para el fluido de Herschel-Bulkley con diferentes valores del parámetro de regularización m.787
788
</span>789
|}790
791
<span id='par0330'></span>792
La influencia del parámetro ''m'' en el fluido de Herschel-Bulkley-Papanastasiou puede verse en la [[#fig0015|figura 3]] . 793
794
<span id='par0335'></span>795
Al igual que para el modelo de Bingham, el modelo de Herschel-Bulkley requiere en la implementación numérica un valor de truncamiento ''μ''<sub>''t''</sub> . 796
797
<span id='par0340'></span>798
El valor límite de la viscosidad cuando la velocidad de deformación tiende a cero varía de acuerdo con el valor ''n'' . El límite para cada término de la ecuación (32) y el límite resultante para la viscosidad se muestran en la [[#tbl0005|tabla 1]] . Se observa que para fluidos pseudoplásticos (''n'' < 1) la viscosidad no está acotada. En estos casos es imprescindible la aplicación del procedimiento de truncamiento. 799
800
<span id='table_tbl0005'></span>801
802
<span id='tbl0005'></span>803
804
{| class="wikitable" style="min-width: 60%;margin-left: auto; margin-right: auto;"805
|+806
807
Tabla 1.808
809
Modelo regularizado de Papanastasiou. Valores límites para la viscosidad cuando la velocidad de deformación tiende a cero810
811
|-812
813
! Exponente814
! colspan="2" | Términos de la viscosidad815
! Viscosidad816
|-817
818
| ''n''819
| <math display="inline">\underset{\dot{\gamma }\rightarrow 0}{lim}k\dot{\gamma }^{n-1}</math>820
| <math display="inline">\underset{\dot{\gamma }\rightarrow 0}{lim}\frac{\tau _y}{\dot{\gamma }}[1-exp(-m\dot{\gamma })]</math>821
| <math display="inline">\underset{\dot{y}\rightarrow 0}{lim}\mu (\dot{\gamma })</math>822
|-823
824
| Si ''n'' > 1 825
| 0826
| ''mτ''<sub>''y''</sub>827
| ''mτ''<sub>''y''</sub>828
|-829
830
| Si ''n'' = 1 831
| ''k = μ''832
| ''mτ''<sub>''y''</sub>833
| ''μ'' + ''mτ''<sub>''y''</sub>834
|-835
836
| Si ''n'' < 1 837
| ∞838
| ''mτ''<sub>''y''</sub>839
| ∞840
|}841
842
<span id='sec0105'></span>843
===6.3. Modelo Souza-Mendez-Dutra===844
845
<span id='par0345'></span>846
El modelo SMD (Souza-Mendez-Dutra) regulariza el modelo ideal de Herschel-Bulkley en la forma:847
848
<span id='eq0165'></span>849
{| class="formulaSCP" style="width: 100%; text-align: center;" 850
|-851
| 852
{| style="text-align: center; margin:auto;" 853
|-854
| <math>\mu \left(\dot{\gamma }\right)=\left(k\dot{\gamma }^{n-1}+\frac{\tau _y}{\dot{\gamma }}\right)\left(1-exp(-m\dot{\gamma })\right)</math>855
|}856
| style="text-align: right;" | ( 33)857
|}858
859
con ''m'' = ''η''<sub>0</sub> /''τ''<sub>''y''</sub>860
861
<span id='par0355'></span>862
El valor de la viscosidad cuando la velocidad de deformación tiende a cero se muestra en la [[#tbl0010|tabla 2]] . La viscosidad está acotada para cualquier valor de ''n'' , lo cual es una ventaja en la implementación numérica. 863
864
<span id='table_tbl0010'></span>865
866
<span id='tbl0010'></span>867
868
{| class="wikitable" style="min-width: 60%;margin-left: auto; margin-right: auto;"869
|+870
871
Tabla 2.872
873
Modelo regularizado SMD. Valores límites para la viscosidad cuando la velocidad de deformación tiende a cero874
875
|-876
877
! Exponente878
! colspan="2" | Términos de la viscosidad879
! Viscosidad880
|-881
882
| ''n''883
| <math display="inline">\underset{\dot{\gamma }\rightarrow 0}{lim}k\dot{\gamma }^{n-1}[1-exp(-m\dot{\gamma })]</math>884
| <math display="inline">\underset{\dot{\gamma }\rightarrow 0}{lim}\frac{\tau _y}{\dot{\gamma }}[1-exp(-m\dot{\gamma })]</math>885
| <math display="inline">\underset{\dot{\gamma }\rightarrow 0}{lim}\mu (\dot{\gamma })]</math>886
|-887
888
| Si ''n'' > 1 889
| 0890
| ''mτ''<sub>''y''</sub>891
| ''mτ''<sub>''y''</sub>892
|-893
894
| Si ''n'' = 1 895
| 0896
| ''mτ''<sub>''y''</sub>897
| ''mτ''<sub>''y''</sub>898
|-899
900
| Si ''n'' < 1 901
| 0902
| ''mτ''<sub>''y''</sub>903
| ''mτ''<sub>''y''</sub>904
|}905
906
<span id='par0360'></span>907
Estos modelos presentados han formado parte de los estudios de diferentes problemas resueltos por Papanastasiou [[#bib0035|[7]]] , Kelessidis et al. [[#bib0205|[41]]] , Westerberg et al. [[#bib0210|[42]]] y Dall’Onder dos Santos et al. [[#bib0040|[8]]] , entre otros. 908
909
<span id='sec0110'></span>910
==7. Modelos viscoplásticos regularizados propuestos==911
912
<span id='par0365'></span>913
Se proponen a continuación sendos modelos viscoplásticos regularizados para los fluidos de Bingham y de Herschel-Bulkley.914
915
<span id='par0370'></span>916
Ambos son modelos de doble viscosidad, basados en los modelos descritos anteriormente.917
918
<span id='par0375'></span>919
Presentan, por tanto, viscosidad constante, pero de diferente magnitud en las zonas de fluencia (por encima de la velocidad de deformación crítica) y en las de no fluencia (por debajo de la velocidad de deformación crítica).920
921
<span id='sec0115'></span>922
===7.1. Modelo regularizado de Bingham de doble viscosidad===923
924
<span id='par0380'></span>925
Este modelo es idéntico al modelo bilineal, pero la viscosidad crítica, ''μ''<sub>''r''</sub> , se toma igual al valor límite regularizado de Papanastasiou y SMD correspondiente a <math display="inline">\dot{y}=0</math> , esto es, ''μ''<sub>''r''</sub> = ''mτ''<sub>''y''</sub> , en función del parámetro de regularización ''m'' ( [[#fig0020|fig. 4]] ). Por tanto:926
927
<span id='eq0170'></span>928
{| class="formulaSCP" style="width: 100%; text-align: center;" 929
|-930
| 931
{| style="text-align: center; margin:auto;" 932
|-933
| <math>\mu (\dot{\gamma })=\left\{\begin{array}{c}934
\mu _0+\frac{\tau _y}{\dot{\gamma }}\mbox{ }para\mbox{ }\dot{\gamma }>\dot{\gamma }_c\\935
m\tau _y\mbox{ }para\mbox{ }\dot{\gamma }\leq \dot{\gamma }_c936
\end{array}\right.</math>937
|}938
| style="text-align: right;" | ( 34)939
|}940
941
<span id='figure_fig0020'></span>942
943
<span id='fig0020'></span>944
945
{| style="text-align: center; border: 1px solid #BBB; margin: 1em auto; max-width: 100%;" 946
|-947
|948
949
950
[[Image:draft_Content_671798508-1-s2.0-S0213131515000243-gr4.jpg|center|320px|Modelo ideal de Bingham y modelo regularizado Bingham-DV.]]951
952
953
|-954
| <span style="text-align: center; font-size: 75%;">955
956
Figura 4.957
958
<span id='spar0070'></span>959
Modelo ideal de Bingham y modelo regularizado Bingham-DV.960
961
</span>962
|}963
964
<span id='par0385'></span>965
En este caso, el valor de la velocidad de deformación crítica es:966
967
<span id='eq0175'></span>968
{| class="formulaSCP" style="width: 100%; text-align: center;" 969
|-970
| 971
{| style="text-align: center; margin:auto;" 972
|-973
| <math>\dot{\gamma }_c=\frac{\tau _y}{m\tau _y-\mu _o}</math>974
|}975
| style="text-align: right;" | ( 35)976
|}977
978
<span id='par0390'></span>979
En la [[#fig0025|figura 5]] se compara el modelo bilineal propuesto con los modelos de Papanastasiou y SMD para ''m'' = 10 ''s'' , 100 ''s'' con tensión de fluencia ''τ''<sub>''y''</sub> = 10 ''Pa'' ''y'' ''μ''<sub>0</sub> = 0.2 ''Pas'' . 980
981
<span id='figure_fig0025'></span>982
983
<span id='fig0025'></span>984
985
{| style="text-align: center; border: 1px solid #BBB; margin: 1em auto; max-width: 100%;" 986
|-987
|988
989
990
[[Image:draft_Content_671798508-1-s2.0-S0213131515000243-gr5.jpg|center|346px|Comparación entre el modelo bilineal propuesto para el fluido de Bingham (DV) ...]]991
992
993
|-994
| <span style="text-align: center; font-size: 75%;">995
996
Figura 5.997
998
<span id='spar0075'></span>999
Comparación entre el modelo bilineal propuesto para el fluido de Bingham (DV) con el modelo regularizado de Papanastasiou y el modelo SMD para m = 10, 100 s.1000
1001
</span>1002
|}1003
1004
<span id='sec0120'></span>1005
===7.2. Modelo regularizado de Herschel-Bulkley de doble viscosidad===1006
1007
<span id='par0395'></span>1008
De forma análoga, se propone un modelo regularizado de doble viscosidad para el fluido de Herschel-Bulkley, en el que la viscosidad crítica se toma como el valor límite de la viscosidad del modelo de Papanastasiou y SMD, ''μ''<sub>''r''</sub> = ''mτ''<sub>''y''</sub> , en función del parámetro de regularización ''m'' ( [[#fig0030|fig. 6]] ). Esto es:1009
1010
<span id='eq0180'></span>1011
{| class="formulaSCP" style="width: 100%; text-align: center;" 1012
|-1013
| 1014
{| style="text-align: center; margin:auto;" 1015
|-1016
| <math>\mu (\dot{\gamma })=\left\{\begin{array}{c}1017
k\dot{\gamma }^{n-1}+\frac{\tau _y}{\dot{\gamma }}\mbox{ }para\mbox{ }\dot{\gamma }>\dot{\gamma }_c\\1018
m\tau _y\mbox{ }para\mbox{ }\dot{\gamma }\leq \dot{\gamma }_c1019
\end{array}\right.</math>1020
|}1021
| style="text-align: right;" | ( 36)1022
|}1023
1024
<span id='figure_fig0030'></span>1025
1026
<span id='fig0030'></span>1027
1028
{| style="text-align: center; border: 1px solid #BBB; margin: 1em auto; max-width: 100%;" 1029
|-1030
|1031
1032
1033
[[Image:draft_Content_671798508-1-s2.0-S0213131515000243-gr6.jpg|center|300px|Modelo ideal de Herschel-Bulkley y modelos regularizados de ...]]1034
1035
1036
|-1037
| <span style="text-align: center; font-size: 75%;">1038
1039
Figura 6.1040
1041
<span id='spar0080'></span>1042
Modelo ideal de Herschel-Bulkley y modelos regularizados de Herschel-Bulkley-Papanastasiou y Hershel-Bulckley-DV, ''n'' >1. 1043
1044
</span>1045
|}1046
1047
<span id='par0400'></span>1048
El valor crítico de la velocidad de deformación cuando ''n'' ≠ 1 ha de determinarse de forma iterativa imponiendo continuidad en las tensiones de corte (para <math display="inline">\dot{\gamma }=\dot{\gamma }_c</math> ):1049
1050
<span id='eq0185'></span>1051
{| class="formulaSCP" style="width: 100%; text-align: center;" 1052
|-1053
| 1054
{| style="text-align: center; margin:auto;" 1055
|-1056
| <math>m\tau _y\dot{\gamma }_c=k\dot{\gamma }_c^n+\tau _y</math>1057
|}1058
| style="text-align: right;" | ( 37)1059
|}1060
1061
<span id='sec0125'></span>1062
==8. Modelo discreto. Formulación de elementos finitos==1063
1064
<span id='par0405'></span>1065
En esta sección se describe el modelo discreto de elementos finitos para las ecuaciones de Navier-Stokes, correspondiente al modelo continuo que se describe en la sección anterior.1066
1067
<span id='par0410'></span>1068
La estrategia de discretización adoptada en este trabajo consiste en 2 pasos. El primero es discretizar las ecuaciones en el tiempo usando un esquema de integración de diferencias finitas, y luego, la aproximación de elementos finitos se desarrolla en el espacio. Este procedimiento desacopla errores que vienen de la discretización temporal y espacial. Es de destacar que la estrategia más común es al revés: primero se discretiza en el espacio y luego en el tiempo.1069
1070
<span id='par0415'></span>1071
El segundo y tercer término de la ecuación (1) es el término convectivo y el de la ecuación constitutiva para fluidos no-newtonianos, en particular para los modelos viscoplástico de Bingham y de Herschel-Bulkley, con <math display="inline">\mu =\mu (\dot{\gamma })</math> . Ambos términos son no lineales y, por tanto, es necesaria la linealización del mismo. En este trabajo se linealizan el término convectivo y el término viscoso con el método de Picard por su robustez. 1072
1073
<span id='par0420'></span>1074
La presencia de una derivada temporal en la ecuación (1) precisa de un algoritmo de integración en el tiempo. La discretización temporal puede hacerse por diferencias finitas usando la regla trapezoidal generalizada. Este es el método de diferencias finitas más simple y de un solo paso. Incluye como caso particular el método de diferenciación hacia atrás de Euler ''Backward Differentiation Formula'' (BDF1), entre otras posibilidades. 1075
1076
<span id='par0425'></span>1077
Para la discretización espacial mediante el método de elementos finitos es necesario construir subespacios discretos '''V'''<sub>''h''</sub> ⊂ '''V''' , ''y'' ''Q''<sub>''h''</sub> ⊂ ''Q'' que aproximen los espacios continuos. 1078
1079
<span id='par0430'></span>1080
Sean '''V'''<sub>''h''</sub> ''y'' ''Q''<sub>''h''</sub> los espacios de elementos finitos para interpolar las funciones vectoriales (velocidad) y escalares (presión), respectivamente, y sea Ω una partición de elementos finitos ''Ω'' = ∪ ''Ω''<sup>''e''</sup> , ''e'' = 1, …, ''n''<sub>''ele''</sub> , donde ''n''<sub>''ele''</sub> es el número de elementos. 1081
1082
<span id='par0435'></span>1083
En la formulación estándar de Galerkin se toman las funciones de ''test'' iguales a las funciones de forma, así que '''v'''<sub>''h''</sub> ∈ '''V'''<sub>''h''</sub> ''y'' ''q''<sub>''h''</sub> ∈ ''Q''<sub>''h''</sub> . 1084
1085
<span id='par0440'></span>1086
El cálculo con elementos finitos de flujos incompresibles con la formulación estándar de Galerkin deben estabilizarse debido a que la formulación de igual interpolación lineal tanto para la velocidad como para la presión usada en este trabajo no cumple con la condición Babuška-Brezzi. La referencia [[#bib0065|[13]]] ofrece una descripción comparativa de varios de los métodos de estabilización propuestos en las últimas décadas. 1087
1088
<span id='par0445'></span>1089
Los métodos de estabilización más usados en la actualidad están basados en los métodos de subescalas [[#bib0215|[43]]] and [[#bib0220|[44]]]''.'' Estos métodos consisten en descomponer la solución, por ejemplo, la velocidad '''u''' en 2 componentes <math display="inline">\mbox{u}=\mbox{u}_h+\bar{\mbox{u}}</math> ; una componente '''u'''<sub>''h''</sub> , resuelta en la escala de la malla de elementos finitos considerada y una subescala <math display="inline">\bar{\mbox{u}}</math> , que no puede ser capturada por la partición de elementos finitos y que se resuelve analíticamente. La aproximación particular usada para la escala submalla define el modelo numérico. 1090
1091
<span id='par0450'></span>1092
La solución <math display="inline">\bar{\mbox{u}}</math> en la escala fina se obtiene a partir del residuo de la solución en la escala gruesa. La solución de esta escala fina se localiza en el interior de cada elemento finito y se supone <math display="inline">\bar{\mbox{u}}=0</math> en el contorno de los elementos. 1093
1094
<span id='par0455'></span>1095
El residuo de la ecuación de momento en la escala grande, '''R'''<sub>''h''</sub> , resulta en:1096
1097
<span id='eq0190'></span>1098
{| class="formulaSCP" style="width: 100%; text-align: center;" 1099
|-1100
| 1101
{| style="text-align: center; margin:auto;" 1102
|-1103
| <math>\begin{array}{l}\displaystyle \mbox{R }_h=\int _{\Omega }[-\rho \mbox{f }+\rho \left(\partial _t\mbox{u }_h\right)+\rho \left(\mbox{u }_h\cdot \nabla \mbox{u }_h\right)-2\mu \left(\dot{\gamma }\right)\left(\nabla \cdot \nabla \mbox{u }_h\right)+\\\displaystyle +\nabla p_h]d\Omega \end{array}</math>1104
|}1105
| style="text-align: right;" | ( 38)1106
|}1107
1108
<span id='par0460'></span>1109
La subescala de velocidad, <math display="inline">\bar{\mbox{u}}</math> , se aproxima de distinta forma en cada método de estabilización. 1110
1111
<span id='par0465'></span>1112
En este trabajo se utilizarán el método ASGS y el método OSS en los problemas para flujo confinado. El método ''split'' -OSS se utiliza para problemas grandes, como en flujos con superficie libre. 1113
1114
<span id='par0470'></span>1115
En el método de las subescalas algebraicas (ASGS), <math display="inline">\bar{\mbox{u}}</math> se toma proporcional al residuo '''R'''<sub>''h''</sub>1116
1117
<span id='eq0195'></span>1118
{| class="formulaSCP" style="width: 100%; text-align: center;" 1119
|-1120
| 1121
{| style="text-align: center; margin:auto;" 1122
|-1123
| <math>\bar{\mbox{u}}=-\tau _1\mbox{R}_h</math>1124
|}1125
| style="text-align: right;" | ( 39)1126
|}1127
1128
donde ''τ''<sub>1</sub> es un parámetro numérico. 1129
1130
<span id='par0475'></span>1131
En el método de las subescalas ortogonales (OSS) la subescala <math display="inline">\bar{\mbox{u}}</math> se toma proporcional a la proyección ortogonal de dicho residuo '''R'''<sub>''h''</sub> :1132
1133
<span id='eq0200'></span>1134
{| class="formulaSCP" style="width: 100%; text-align: center;" 1135
|-1136
| 1137
{| style="text-align: center; margin:auto;" 1138
|-1139
| <math>\bar{\mbox{u}}=-\tau _1P_h^{\perp }\mbox{R}_h=-\tau _1(\mbox{R}_h-P_h\mbox{R}_h)</math>1140
|}1141
| style="text-align: right;" | ( 40)1142
|}1143
1144
donde ''P''<sub>''h''</sub> es la proyección sobre el espacio de los elementos finitos y <math display="inline">P_h^{\perp }=\mbox{I}-P_n</math> es la proyección ortogonal. 1145
1146
<span id='par0485'></span>1147
Comparando ambos métodos se observa que la diferencia radica en sustituir el término '''R'''<sub>''h''</sub> de la versión ASGS por <math display="inline">P_h^{\perp }\mbox{R}_h</math> en la versión OSS. 1148
1149
<span id='sec0130'></span>1150
===8.1. Método ASGS===1151
1152
<span id='par0490'></span>1153
De acuerdo con la formulación anterior, el problema discreto con linealización de Picard, integración temporal BDF1, la estabilización ASGS consiste en:1154
1155
<span id='par0495'></span>1156
Hallar <math display="inline">\mbox{u}_h^{n+1}\mbox{ }y\mbox{ }p_h^{n+1}</math> tales que1157
1158
<span id='eq0205'></span>1159
{| class="formulaSCP" style="width: 100%; text-align: center;" 1160
|-1161
| 1162
{| style="text-align: center; margin:auto;" 1163
|-1164
| <math>\begin{array}{l}\displaystyle \int _{\Omega }[\frac{\rho }{\delta t}\left(\mbox{u }_h^{n+1}-\mbox{u }_h^n\right)\cdot \mbox{v }_h+\rho \left(\mbox{u }_h^{n+1,i-1}\cdot \nabla \mbox{u }_h^{n+1,i}\right)\cdot \mbox{v }_h+\\\displaystyle +2\mu \left(\dot{\gamma }\right)^{n+1,i}\nabla ^s\mbox{u }_h^{n+1,i}:\nabla ^s\mbox{v }_h-p_h^{n+1,i}\nabla \cdot \mbox{v }_h-\mbox{f }^{n+1}\cdot \\\displaystyle \cdot \mbox{v }_h]\mbox{d }\Omega +\sum _e\int _{\Omega ^e}\tau _1\left(\rho (\mbox{u }_h^{n+1,i-1}\cdot \nabla \mbox{v }_h\right)\cdot \left(-\rho \mbox{f }^{n+1,i}+\right.\\\left.\displaystyle +\rho \left(\mbox{u }_h^{n+1,i}\cdot \nabla \mbox{u }_h^{n+1,i}\right)+\nabla p_h^{n+1,i}\right)\mbox{d }\Omega =0\end{array}</math>1165
|}1166
| style="text-align: right;" | ( 41)1167
|}1168
1169
<span id='eq0210'></span>1170
{| class="formulaSCP" style="width: 100%; text-align: center;" 1171
|-1172
| 1173
{| style="text-align: center; margin:auto;" 1174
|-1175
| <math>\begin{array}{l}\displaystyle \int _{\Omega }[q_h\nabla .\mbox{u }_h^{n+1,i}]d\Omega +\sum _{e=1}^{n_el}\int _{\Omega ^e}\tau _1^{n+1,i}\nabla q_h\cdot \\\displaystyle \cdot [\rho \left(\mbox{u }_h^{n+1,i-1}\cdot \nabla \right)\mbox{ }\mbox{u }_h^{n+1,i}+\nabla p_h^{n+1,i}-\mbox{f }]d\Omega =0\end{array}</math>1176
|}1177
| style="text-align: right;" | ( 42)1178
|}1179
1180
con los términos con segundas derivadas de las funciones de elementos finitos nulos para elementos lineales. 1181
1182
<span id='sec0135'></span>1183
===8.2. Método OSS===1184
1185
<span id='par0510'></span>1186
En el método OSS, en el caso de considerar distintas densidades, como por ejemplo en problemas con interfase entre fluidos inmiscibles, el residuo en puntos de integración de lados opuestos a la interfase varía fuertemente y en proporción a la densidad. En tales casos puede adoptarse una proyección modificada [[#bib0225|[45]]] :1187
1188
<span id='eq0215'></span>1189
{| class="formulaSCP" style="width: 100%; text-align: center;" 1190
|-1191
| 1192
{| style="text-align: center; margin:auto;" 1193
|-1194
| <math>P_{h\rho }\left(\mbox{R}_h^{n+1}\right)=\rho P_h\left(\frac{\mbox{R}_h^{n+1}}{\rho }\right)</math>1195
|}1196
| style="text-align: right;" | ( 43)1197
|}1198
1199
<span id='par0515'></span>1200
Sustituyendo <math display="inline">\mbox{R}_h^{n+1}</math> y la proyección modificada para el método OSS queda que: 1201
1202
<span id='par0520'></span>1203
El problema discretizado con linealización de Picard, integración temporal BDF1 y estabilización OSS consiste en hallar <math display="inline">\mbox{u}_h^{n+1}\mbox{ }y\mbox{ }p_h^{n+1}</math> tales que:1204
1205
<span id='eq0220'></span>1206
{| class="formulaSCP" style="width: 100%; text-align: center;" 1207
|-1208
| 1209
{| style="text-align: center; margin:auto;" 1210
|-1211
| <math>\begin{array}{c}\int _{\Omega }[\frac{\rho }{\delta t}(\mbox{u }_h^{n+1}-\mbox{u }_h^n)\cdot \mbox{v }_hd\Omega +2\mu \left(\dot{\gamma }\right)^{n+1,i}\nabla ^s\mbox{u }_h^{n+1}:\nabla ^s\mbox{v }_h+\\\displaystyle +\rho (\mbox{u }_h^{n+1}.\nabla \mbox{u }_h^{n+1,i})\cdot \mbox{v }_h-p_h^{n+1}\nabla \cdot v_h-\mbox{f }^{n+1}\cdot v_h]d\Omega +\\\displaystyle +\sum _e\int _{\Omega ^e}\tau _1\rho \left(\mbox{u }_h^{n+1}\cdot \nabla \mbox{v }_h\right)\cdot \\[] [(\rho \mbox{u }_h^{n+1}\cdot \nabla \mbox{u }_h^{n+1}+\nabla p_h^{n+1}-\mbox{f }^{n+1})-\rho P_h(\mbox{u }_h^{n+1}\cdot \\\displaystyle \cdot \nabla \mbox{u }_h^{n+1}+\frac{\nabla p_h^{n+1}}{\rho }-\frac{\mbox{f }^{n+1}}{\rho })]d\Omega =0 \end{array}</math>1212
|}1213
| style="text-align: right;" | ( 44)1214
|}1215
1216
<span id='eq0225'></span>1217
{| class="formulaSCP" style="width: 100%; text-align: center;" 1218
|-1219
| 1220
{| style="text-align: center; margin:auto;" 1221
|-1222
| <math>\begin{array}{l}\displaystyle \int _{\Omega }[q_h\nabla \cdot \mbox{u }_h^{n+1}]d\Omega +\sum _e\int _{\Omega ^e}\tau _1\nabla q_h\cdot [(\rho \mbox{u }_h^{n+1}\cdot \nabla \mbox{u }_h^{n+1}+\\\displaystyle +\nabla p_h^{n+1}-\mbox{f }^{n+1})-\rho P_h((\mbox{u }_h^{n+1}\cdot \nabla \mbox{u }_h^{n+1})+\frac{\nabla p_h^{n+1}}{\rho }-\\\displaystyle -\frac{\mbox{f }^{n+1}}{\rho })]d\Omega =0\end{array}</math>1223
|}1224
| style="text-align: right;" | ( 45)1225
|}1226
1227
<span id='sec0140'></span>1228
===8.3. Método ''split-'' OSS ===1229
1230
<span id='par0525'></span>1231
El método ''split'' -OSS [[#bib0075|[15]]] and [[#bib0225|[45]]] separa la proyección del término convectivo y de la presión en 2 proyecciones, lo que permite una convergencia a la solución más rápida que en los métodos ASGS y OSS. Esto lo hace ventajoso para la resolución de problemas en 3 D. Este método resulta en:1232
1233
<span id='eq0230'></span>1234
{| class="formulaSCP" style="width: 100%; text-align: center;" 1235
|-1236
| 1237
{| style="text-align: center; margin:auto;" 1238
|-1239
| <math>\begin{array}{l}\displaystyle \int _{\Omega }\left[\frac{\rho }{\delta t}\left(\mbox{u }_h^{n+1}-\mbox{u }_h^n\right)\cdot \mbox{v }_hd\Omega +2\mu (\dot{\gamma })^{n+1,i}\nabla ^s\mbox{u }_h^{n+1}:\nabla ^s\mbox{v }_h+\right.\\\left.\displaystyle +\rho \left(\mbox{u }_h^{n+1}\cdot \nabla \mbox{u }_h^{n+1,i}\right)\cdot \mbox{v }_h-p_h^{n+1}\nabla \cdot \mbox{v }_h-\mbox{f }^{n+1}\cdot \mbox{v }_h\right]d\Omega +\\\displaystyle +\sum _e\int _{\Omega ^e}\tau _1\rho \left(\mbox{u }_h^{n+1}\cdot \nabla \mbox{v }_h\right)\cdot \left[\left(\rho \mbox{u }_h^{n+1}\cdot \nabla \mbox{u }_h^{n+1}\right)\right]-\\\displaystyle -\rho P_h\left(\mbox{u }_h^{n+1}\cdot \nabla \mbox{u }_h^{n+1}\right)]d\Omega =0\end{array}</math>1240
|}1241
| style="text-align: right;" | ( 46)1242
|}1243
1244
<span id='eq0235'></span>1245
{| class="formulaSCP" style="width: 100%; text-align: center;" 1246
|-1247
| 1248
{| style="text-align: center; margin:auto;" 1249
|-1250
| <math>\begin{array}{l}\displaystyle \int _{\Omega }[q_h\nabla \cdot \mbox{u }_h^{n+1}]d\Omega +\sum _e\int _{\Omega ^e}\tau _1\nabla q_h\cdot [\nabla p_h^{n+1}-\mbox{f }^{n+1}]-\\\displaystyle -\rho P_h\left(\frac{\nabla p_h^{n+1}}{\rho }-\frac{\mbox{f }^{n+1}}{\rho }\right)]d\Omega =0\end{array}</math>1251
|}1252
| style="text-align: right;" | ( 47)1253
|}1254
1255
para las iteraciones ''i'' = 1,2… hasta la convergencia, es decir, hasta que '''u'''<sup>''n'' +1,''i'' −1 </sup> ≈ '''u'''<sup>''n'' +1,''i''</sup> y <math display="inline">p_h^{n+1,i}\approx p_h^{n+1,i-1}</math> en la norma elegida. 1256
1257
<span id='sec0145'></span>1258
===8.4. Parámetros de estabilización===1259
1260
<span id='par0530'></span>1261
El parámetro ''τ''<sub>1</sub> de las ecuaciones (39) y (40) se elige con el fin de obtener esquemas numéricos estables y velocidades de convergencia óptimas (ver [[#bib0230|[46]]] ). Este parámetro se calcula para cada elemento ''Ω''<sub>''e''</sub> . Para ''τ''<sub>1</sub> se toma:1262
1263
<span id='eq0240'></span>1264
{| class="formulaSCP" style="width: 100%; text-align: center;" 1265
|-1266
| 1267
{| style="text-align: center; margin:auto;" 1268
|-1269
| <math>\tau _1=\left[c_1\frac{\mu }{(h)^2}+c_2\frac{\rho \left|\mbox{u}^e\right|}{h}\right]^{-1}</math>1270
|}1271
| style="text-align: right;" | ( 48)1272
|}1273
1274
donde ''h '' es la longitud del elemento <math display="inline">e\mbox{ }\mbox{y}\mbox{ }\left|\mbox{u}^e\right|</math> es la norma de la velocidad en el elemento ''e'' , ''c''<sub>1</sub> y ''c''<sub>2</sub> son coeficientes a elegir, μ y ''ρ'' son la viscosidad dinámica y densidad del fluido, respectivamente. 1275
1276
<span id='par0535'></span>1277
Se recomiendan los valores de ''c''<sub>1</sub> = 1 y ''c''<sub>2</sub> = 2 [[#bib0230|[46]]] . 1278
1279
<span id='sec0150'></span>1280
==9. Formulación matricial del problema==1281
1282
<span id='par0540'></span>1283
Se presenta a continuación la versión matricial para los métodos ASGS, OSS y ''split'' -OSS. Se utiliza linealización de Picard y discretización en tiempo BDF1. 1284
1285
<span id='sec0155'></span>1286
===9.1. Método ASGS===1287
1288
<span id='par0545'></span>1289
En la versión matricial para el método ASGS la proyección <math display="inline">P_h\left(\mbox{u}_h^{n+1}\cdot \nabla \mbox{u}_h^{n+1}+\frac{1}{\rho }\nabla p_h^{n+1}\right)</math> se trata con un ciclo iterativo al igual que para la linealización del término convectivo. Se definen:1290
1291
<span id='eq0245'></span>1292
{| class="formulaSCP" style="width: 100%; text-align: center;" 1293
|-1294
| 1295
{| style="text-align: center; margin:auto;" 1296
|-1297
| <math>\mbox{y}_h^{n+1}=P_h\left(\mbox{u}_h^{n+1}.\nabla \mbox{u}_h^{n+1}+\frac{1}{\rho }\left(\nabla p_h^{n+1}-\mbox{f}^{n+1}\right)\right)</math>1298
|}1299
| style="text-align: right;" | ( 49)1300
|}1301
1302
<span id='par0550'></span>1303
En lo que sigue se usa la notación compacta <math display="inline">(a,b)=\int_{\Omega }a\cdot b\mbox{ }\mbox{d}\Omega </math> . En esta notación, la proyección de la ecuación (49) es la solución de:1304
1305
<span id='eq0250'></span>1306
{| class="formulaSCP" style="width: 100%; text-align: center;" 1307
|-1308
| 1309
{| style="text-align: center; margin:auto;" 1310
|-1311
| <math>\left(\mbox{y}_h^{n+1},\mbox{v}_h^\ast \right)=\left(\mbox{u}_h^{n+1}.\nabla \mbox{u}_h^{n+1}+\frac{1}{\rho }\left(\nabla p_h^{n+1}-\mbox{f}^{n+1}\right),\mbox{v}_h^\ast \right)</math>1312
|}1313
| style="text-align: right;" | ( 50)1314
|}1315
1316
para todo <math display="inline">\mbox{v}_h^\ast \in \mbox{V}_h^\ast </math> , donde <math display="inline">\mbox{V}_h^\ast </math> es el espacio '''V'''<sub>''h''</sub> ampliado con los vectores de funciones continuas asociados a los nodos del contorno. 1317
1318
<span id='par0555'></span>1319
El sistema algebraico resultante es:1320
1321
<span id='eq0255'></span>1322
{| class="formulaSCP" style="width: 100%; text-align: center;" 1323
|-1324
| 1325
{| style="text-align: center; margin:auto;" 1326
|-1327
| <math>\mbox{M}\frac{1}{\delta t}\mbox{U}^{n+1}+\mbox{K}(\mbox{U}^{n+1})\mbox{U}^{n+1}+\mbox{G}\mbox{P}^{n+1}+\mbox{S}_u(\tau _1;\mbox{U}^{n+1})\mbox{U}^{n+1}=\mbox{F}^{n+1}</math>1328
|}1329
| style="text-align: right;" | ( 51)1330
|}1331
1332
<span id='eq0260'></span>1333
{| class="formulaSCP" style="width: 100%; text-align: center;" 1334
|-1335
| 1336
{| style="text-align: center; margin:auto;" 1337
|-1338
| <math>\mbox{D}\mbox{U}^{n+1}+\mbox{S}_p\left(\tau _1\right)\mbox{ }\mbox{P}^{n+1}=0</math>1339
|}1340
| style="text-align: right;" | ( 52)1341
|}1342
1343
donde '''U''' y '''P''' son los vectores de las incógnitas nodales para la velocidad '''u''' y la presión ''p'' , respectivamente. '''F''' es el vector de fuerzas nodales. 1344
1345
<span id='par0560'></span>1346
La ecuación (51) corresponde a la ecuación (41). La ecuación (52) corresponde a la ecuación (42).1347
1348
<span id='par0565'></span>1349
Si se denotan los índices nodales ''a'' , ''b'' , los índices espaciales con ''i'' , ''j'' , la función de forma de los nodos ''a'' por ''N''<sup>a</sup> y la función de forma de los nodos ''b'' por ''N''<sup>b</sup> , entonces las matrices de las ecuaciones anteriores, las cuales son válidas para los métodos restantes, son:1350
1351
<span id='eq0265'></span>1352
{| class="formulaSCP" style="width: 100%; text-align: center;" 1353
|-1354
| 1355
{| style="text-align: center; margin:auto;" 1356
|-1357
| <math>\mbox{M}_{ij}^{ab}=(N^a,\rho N^b)\delta _{ij}</math>1358
|}1359
| style="text-align: right;" | 1360
|}1361
1362
<span id='eq0270'></span>1363
{| class="formulaSCP" style="width: 100%; text-align: center;" 1364
|-1365
| 1366
{| style="text-align: center; margin:auto;" 1367
|-1368
| <math>\begin{array}{l}\displaystyle \mbox{K }(\mbox{U }^{n+1})_{ij}^{ab}=(N^a,\rho \mbox{u }_h^{n+1}\cdot \nabla N^b)\delta _{ij}+(\nabla N^a\\\displaystyle 2\mu \nabla ^sN^b)\delta _{ij}\end{array}</math>1369
|}1370
| style="text-align: right;" | 1371
|}1372
1373
<span id='eq0275'></span>1374
{| class="formulaSCP" style="width: 100%; text-align: center;" 1375
|-1376
| 1377
{| style="text-align: center; margin:auto;" 1378
|-1379
| <math>\mbox{G}_i^{ab}=(N^a,\partial _iN^b)</math>1380
|}1381
| style="text-align: right;" | 1382
|}1383
1384
<span id='eq0280'></span>1385
{| class="formulaSCP" style="width: 100%; text-align: center;" 1386
|-1387
| 1388
{| style="text-align: center; margin:auto;" 1389
|-1390
| <math>\mbox{S}_u(\tau _1;\mbox{ }\mbox{U}^{n+1})_{ij}^{ab}=(\tau _1\mbox{u}_h^{n+1}\cdot \nabla N^a,\rho \mbox{u}_h^{n+1}\cdot \nabla N^b)\delta _{ij}</math>1391
|}1392
| style="text-align: right;" | 1393
|}1394
1395
<span id='eq0285'></span>1396
{| class="formulaSCP" style="width: 100%; text-align: center;" 1397
|-1398
| 1399
{| style="text-align: center; margin:auto;" 1400
|-1401
| <math>\mbox{D}_j^{ab}=(N^a,\partial _jN^b)</math>1402
|}1403
| style="text-align: right;" | 1404
|}1405
1406
<span id='eq0290'></span>1407
{| class="formulaSCP" style="width: 100%; text-align: center;" 1408
|-1409
| 1410
{| style="text-align: center; margin:auto;" 1411
|-1412
| <math>\mbox{S}_p\left(\tau _1\right)^{ab}=\left(\tau _1\mbox{u}_h^{n+1}\cdot \nabla N^a,\nabla N^b\right)</math>1413
|}1414
| style="text-align: right;" | 1415
|}1416
1417
<span id='eq0295'></span>1418
{| class="formulaSCP" style="width: 100%; text-align: center;" 1419
|-1420
| 1421
{| style="text-align: center; margin:auto;" 1422
|-1423
| <math>\mbox{F}_i^a=\left(N^a,\mbox{f}_i\right)</math>1424
|}1425
| style="text-align: right;" | ( 53)1426
|}1427
1428
donde ''δ''<sub>''ij''</sub> es la delta de Kronecker''.''1429
1430
<span id='sec0160'></span>1431
===9.2. Método OSS===1432
1433
<span id='par0570'></span>1434
En la versión matricial para el método OSS la proyección <math display="inline">P_k\left(\mbox{u}_k^{n+1}\cdot \nabla \mbox{u}_k^{n+1}+\frac{1}{\rho }\nabla p_h^{n+1}\right)</math> también se trata con un ciclo iterativo, al igual que para la linealización del término convectivo. Se definen:1435
1436
<span id='eq0300'></span>1437
{| class="formulaSCP" style="width: 100%; text-align: center;" 1438
|-1439
| 1440
{| style="text-align: center; margin:auto;" 1441
|-1442
| <math>\mbox{y}_h^{n+1}=P_h\left(\mbox{u}_h^{n+1}.\nabla \mbox{u}_h^{n+1}+\frac{1}{\rho }\left(\nabla p_h^{n+1}-\mbox{f}^{n+1}\right)\right)</math>1443
|}1444
| style="text-align: right;" | ( 54)1445
|}1446
1447
<span id='par0575'></span>1448
En notación compacta, la proyección de la ecuación (54) es la solución de:1449
1450
<span id='eq0305'></span>1451
{| class="formulaSCP" style="width: 100%; text-align: center;" 1452
|-1453
| 1454
{| style="text-align: center; margin:auto;" 1455
|-1456
| <math>\left(\mbox{y}_h^{n+1},\mbox{v}_h^\ast \right)=\left(\mbox{u}_h^{n+1}.\nabla \mbox{u}_h^{n+1}+\frac{1}{\rho }\left(\nabla p_h^{n+1}-\mbox{f}^{n+1}\right),\mbox{v}_h^\ast \right)</math>1457
|}1458
| style="text-align: right;" | ( 55)1459
|}1460
1461
para todo <math display="inline">\mbox{v}_h^\ast \in \mbox{V}_h^\ast </math> , donde <math display="inline">\mbox{V}_h^\ast </math> es el espacio '''V'''<sub>''h''</sub> ampliado con los vectores de funciones continuas asociados a los nodos del contorno. 1462
1463
<span id='par0580'></span>1464
El sistema algebraico resultante es:1465
1466
<span id='eq0310'></span>1467
{| class="formulaSCP" style="width: 100%; text-align: center;" 1468
|-1469
| 1470
{| style="text-align: center; margin:auto;" 1471
|-1472
| <math>\begin{array}{l}\displaystyle \mbox{M }\frac{1}{\delta t}\mbox{U }^{n+1}+\mbox{K }(\mbox{U }^{n+1})\mbox{U }^{n+1}+\mbox{G }\mbox{P }^{n+1}+\mbox{S }_u(\tau _1\\\displaystyle \mbox{ }\mbox{U }^{n+1})\mbox{U }^{n+1}-\mbox{S }_y(\tau _1;\mbox{ }\mbox{U }^{n+1})\mbox{Y }^{n+1}=\mbox{F }^{n+1}\end{array}</math>1473
|}1474
| style="text-align: right;" | ( 56)1475
|}1476
1477
<span id='eq0315'></span>1478
{| class="formulaSCP" style="width: 100%; text-align: center;" 1479
|-1480
| 1481
{| style="text-align: center; margin:auto;" 1482
|-1483
| <math>\mbox{D}\mbox{U}^{n+1}+\mbox{S}_p\left(\tau _1\right)\mbox{ }\mbox{P}^{n+1}-\mbox{S}_z\left(\mbox{U}^{n+1}\right)\mbox{Y}^{n+1}=0</math>1484
|}1485
| style="text-align: right;" | ( 57)1486
|}1487
1488
<span id='eq0320'></span>1489
{| class="formulaSCP" style="width: 100%; text-align: center;" 1490
|-1491
| 1492
{| style="text-align: center; margin:auto;" 1493
|-1494
| <math>\mbox{C}(\mbox{U}^{n+1})\mbox{U}^{n+1}+\mbox{G}_{\pi }\mbox{P}^{n+1}=0</math>1495
|}1496
| style="text-align: right;" | ( 58)1497
|}1498
1499
donde '''U''' , '''P''' y '''Y''' son los vectores de las incógnitas nodales para la velocidad '''u''' , la presión ''p'' y la proyección '''y''' , respectivamente. '''F''' es el vector de fuerzas nodales. Solo se consideran las fuerzas nodales del residuo en la proyección de los términos respectivos. 1500
1501
<span id='par0585'></span>1502
La ecuación (56) corresponde a la ecuación (44). La ecuación (57) corresponde a la ecuación (45). La ecuación (58) es la proyección del residuo en la ecuación de conservación de ''momentum'' . 1503
1504
<span id='par0590'></span>1505
Las matrices de las ecuaciones (56) a (58) no definidas anteriormente son:1506
1507
<span id='eq0325'></span>1508
{| class="formulaSCP" style="width: 100%; text-align: center;" 1509
|-1510
| 1511
{| style="text-align: center; margin:auto;" 1512
|-1513
| <math>\mbox{G}_{\pi i}^{ab}=(N^a,\partial _iN^b/\rho )</math>1514
|}1515
| style="text-align: right;" | 1516
|}1517
1518
<span id='eq0330'></span>1519
{| class="formulaSCP" style="width: 100%; text-align: center;" 1520
|-1521
| 1522
{| style="text-align: center; margin:auto;" 1523
|-1524
| <math>\mbox{S}_y\left(\tau _1\mbox{u}_h^{n+1}\right)_{ij}^{ab}=\left(\tau _1\mbox{u}_h^{n+1}\cdot \nabla N^a,\rho N^b\right)\delta _{ij}</math>1525
|}1526
| style="text-align: right;" | 1527
|}1528
1529
<span id='eq0335'></span>1530
{| class="formulaSCP" style="width: 100%; text-align: center;" 1531
|-1532
| 1533
{| style="text-align: center; margin:auto;" 1534
|-1535
| <math>\mbox{S}_z\left(\tau _1\right)_j^{ab}=(\tau _1\partial _jN^a,\rho N^b)</math>1536
|}1537
| style="text-align: right;" | 1538
|}1539
1540
<span id='eq0340'></span>1541
{| class="formulaSCP" style="width: 100%; text-align: center;" 1542
|-1543
| 1544
{| style="text-align: center; margin:auto;" 1545
|-1546
| <math>\mbox{C}(\mbox{U}^{n+1})_{ij}^{ab}=(N^a,\mbox{u}_h^{n+1}\cdot \nabla N^b)\mbox{ }\delta _{ij}</math>1547
|}1548
| style="text-align: right;" | ( 59)1549
|}1550
1551
<span id='sec0165'></span>1552
===9.3. Método ''split'' -OSS ===1553
1554
<span id='par0595'></span>1555
Se presenta a continuación la versión matricial para el método ''split '' -OSS, algo más compleja que los métodos ASGS y OSS. Las proyecciones <math display="inline">P_h\left(\mbox{u}_h^{n+1}\cdot \nabla \mbox{u}_h^{n+1}\right)\mbox{ }y\mbox{ }P_h\left(\frac{1}{\rho }\nabla p_h^{n+1}\right)</math> también se tratan con un ciclo iterativo al igual que para la linealización del término convectivo. Se definen:1556
1557
<span id='eq0345'></span>1558
{| class="formulaSCP" style="width: 100%; text-align: center;" 1559
|-1560
| 1561
{| style="text-align: center; margin:auto;" 1562
|-1563
| <math>\mbox{y}_h^{n+1}=P_h\left(\mbox{u}_h^{n+1}\cdot \nabla \mbox{u}_h^{n+1}\right)</math>1564
|}1565
| style="text-align: right;" | ( 60)1566
|}1567
1568
y1569
1570
<span id='eq0350'></span>1571
{| class="formulaSCP" style="width: 100%; text-align: center;" 1572
|-1573
| 1574
{| style="text-align: center; margin:auto;" 1575
|-1576
| <math>\mbox{z}_h^{n+1}=P_h\left(\frac{1}{\rho }(\nabla p_h^{n+1}-\mbox{f}^{n+1})\right)</math>1577
|}1578
| style="text-align: right;" | ( 61)1579
|}1580
1581
<span id='par0600'></span>1582
En la notación compacta, las proyecciones de las ecuaciones (60) y (61) son la solución de:1583
1584
<span id='eq0355'></span>1585
{| class="formulaSCP" style="width: 100%; text-align: center;" 1586
|-1587
| 1588
{| style="text-align: center; margin:auto;" 1589
|-1590
| <math>\left(\mbox{y}_h^{n+1},\mbox{v}_h^\ast \right)=\left(\mbox{u}_h^{n+1}\cdot \nabla \mbox{u}_h^{n+1},\mbox{v}_h^\ast \right)</math>1591
|}1592
| style="text-align: right;" | ( 62)1593
|}1594
1595
<span id='eq0360'></span>1596
{| class="formulaSCP" style="width: 100%; text-align: center;" 1597
|-1598
| 1599
{| style="text-align: center; margin:auto;" 1600
|-1601
| <math>\left(\mbox{z}_h^{n+1},\mbox{v}_h^\ast \right)=\left(\frac{1}{\rho }\left(\nabla p_h^{n+1}-\mbox{f}^{n+1}\right),\mbox{v}_h^\ast \right)</math>1602
|}1603
| style="text-align: right;" | ( 63)1604
|}1605
1606
para todo <math display="inline">\mbox{v}_h^\ast \in \mbox{V}_h^\ast </math> , donde <math display="inline">\mbox{V}_h^\ast </math> es el espacio '''V'''<sub>''h''</sub> ampliado con los vectores de funciones continuas asociados a los nodos del contorno. 1607
1608
<span id='par0605'></span>1609
El sistema algebraico resultante es:1610
1611
<span id='eq0365'></span>1612
{| class="formulaSCP" style="width: 100%; text-align: center;" 1613
|-1614
| 1615
{| style="text-align: center; margin:auto;" 1616
|-1617
| <math>\begin{array}{l}\displaystyle \mbox{M }\frac{1}{\delta t}\mbox{U }^{n+1}+\mbox{K }(\mbox{U }^{n+1})\mbox{U }^{n+1}+\mbox{G }\mbox{P }^{n+1}+\mbox{S }_u(\tau _1\\\displaystyle \mbox{ }\mbox{U }^{n+1})\mbox{U }^{n+1}-\mbox{S }_y(\tau _1;\mbox{ }\mbox{U }^{n+1})\mbox{Y }^{n+1}=\mbox{F }^{n+1}\end{array}</math>1618
|}1619
| style="text-align: right;" | ( 64)1620
|}1621
1622
<span id='eq0370'></span>1623
{| class="formulaSCP" style="width: 100%; text-align: center;" 1624
|-1625
| 1626
{| style="text-align: center; margin:auto;" 1627
|-1628
| <math>\mbox{D}\mbox{U}^{n+1}+\mbox{S}_p(\tau _1)\mbox{P}^{n+1}-\mbox{S}_z(\tau _1)\mbox{Z}^{n+1}=0</math>1629
|}1630
| style="text-align: right;" | ( 65)1631
|}1632
1633
<span id='eq0375'></span>1634
{| class="formulaSCP" style="width: 100%; text-align: center;" 1635
|-1636
| 1637
{| style="text-align: center; margin:auto;" 1638
|-1639
| <math>\mbox{M}_{\pi }\mbox{Y}^{n+1}-\mbox{C}(\mbox{U}^{n+1})\mbox{U}^{n+1}=0</math>1640
|}1641
| style="text-align: right;" | ( 66)1642
|}1643
1644
<span id='eq0380'></span>1645
{| class="formulaSCP" style="width: 100%; text-align: center;" 1646
|-1647
| 1648
{| style="text-align: center; margin:auto;" 1649
|-1650
| <math>\mbox{M}_{\pi }\mbox{Z}^{n+1}-\mbox{G}_{\pi }\mbox{P}^{n+1}=0</math>1651
|}1652
| style="text-align: right;" | ( 67)1653
|}1654
1655
donde '''U''' , '''P''' , '''Y''' y '''Z''' son los vectores de las incógnitas nodales para la velocidad '''u''' , la presión ''p'' y las proyecciones '''y''' y '''z''' , respectivamente. '''F''' es el vector de fuerzas nodales. 1656
1657
<span id='par0610'></span>1658
La ecuación (64) corresponde a la ecuación (46). La ecuación (65) corresponde a la ecuación (47). Las ecuaciones (66) y (67) son las proyecciones de los residuos de la ecuación de conservación de ''momentum'' y la ecuación de incompresibilidad, respectivamente. 1659
1660
<span id='par0615'></span>1661
La matriz de las ecuaciones (64) a (67) no definida anteriormente es:1662
1663
<span id='eq0385'></span>1664
{| class="formulaSCP" style="width: 100%; text-align: center;" 1665
|-1666
| 1667
{| style="text-align: center; margin:auto;" 1668
|-1669
| <math>\mbox{M}_{\pi ij}^{ab}=(N^a,N^b)\delta _{ij}</math>1670
|}1671
| style="text-align: right;" | ( 68)1672
|}1673
1674
<span id='sec0170'></span>1675
==10. Conclusiones==1676
1677
<span id='par0620'></span>1678
En este trabajo se presentan el modelo continuo y la correspondiente formulación discreta para la resolución de las ecuaciones de Navier-Stokes para los flujos viscoplásticos de Bingham y de Herschel-Bulkley usando elementos finitos mixtos estabilizados con interpolación lineal tanto para la velocidad como para la presión.1679
1680
<span id='par0625'></span>1681
Se tratan en detalle los fluidos viscoplásticos ideales y regularizados de Bingham y de Herschel-Bulkley. Se proponen, asimismo, nuevos modelos viscoplásticos regularizados para el fluido de Bingham y de Herschel-Bulkley.1682
1683
<span id='par0630'></span>1684
Posteriormente, se presenta el modelo discreto de elementos finitos estabilizados para flujos confinados. Los métodos de estabilización usados son el método de estabilización de subescalas algebraicas (ASGS), el método de subescalas ortogonales (OSS) y el método de subescalas ortogonales desacopladas (''split'' -OSS). El modelo discreto se ha extendido a los modelos viscoplásticos de Bingham y de Herschel-Bulkley.1685
1686
<span id='ack001'></span>1687
==Agradecimientos==1688
1689
<span id='par0635'></span>1690
Los autores agradecen el apoyo del Prof. R. Codina, mostrado a través de múltiples sugerencias y discusiones fructíferas, y a la Universidad de los Andes, en Venezuela, por su apoyo económico en el desarrollo de esta investigación, dentro de su programa de becarios en el exterior.1691
1692
<span id='bibl0005'></span>1693
==Bibliografía==1694
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