Zaltron Neves 2017a - Revision history

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Rimni: /* 5.1 Modelo 1 */

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‎5.1 Modelo 1

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Rimni: /* 1. Introdução */

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‎1. Introdução

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 ===5.3 Modelo 3===
-No modelo 3 o grau de liberdade <math display="inline">{u}_{1}</math> segue como no modelo 1, porém são adicionados amortecedores discretos <math display="inline">{c}_{2}</math> e <math display="inline">{c}_{3}</math>, como observa-se na Figura 10, onde se pretende avaliar a influência que o amortecedor pode trazer em relação à amplitude máxima avaliada pelo espectro de resposta.
+No modelo 3 o grau de liberdade <math display="inline">{u}_{1}</math> segue como no modelo 1, porém são adicionados amortecedores discretos <math display="inline">{c}_{2}</math> e <math display="inline">{c}_{3}</math>, como observa-se na [[#img-10|Figura 10]], onde se pretende avaliar a influência que o amortecedor pode trazer em relação à amplitude máxima avaliada pelo espectro de resposta.
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-Na Figura 11 temos o espectro de resposta via HBM para o modelo 3.
+Na [[#img-11|Figura 11]] temos o espectro de resposta via HBM para o modelo 3.
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-Ao observar os espectros de respostas gerados via HBM e comparar as Figuras 8 e 11, verifica-se que os amortecedores discretos a serem inseridos no sistema se tornam mais eficientes sobre o grau de liberdade ou posição onde incide a excitação dinâmica. Tal conclusão é verificada em razão das amplitudes dos deslocamentos geradas pelo espectro de resposta.
+Ao observar os espectros de respostas gerados via HBM e comparar as [[#img-8|Figuras 8]] 8 e [[#img-11|11]], verifica-se que os amortecedores discretos a serem inseridos no sistema se tornam mais eficientes sobre o grau de liberdade ou posição onde incide a excitação dinâmica. Tal conclusão é verificada em razão das amplitudes dos deslocamentos geradas pelo espectro de resposta.
-A Figura 12 mostra a resposta para o grau de liberdade <math display="inline">{u}_{1}</math>, comparando-o com a Pseudo-Forças e HBM para um sistema dotado de amortecimento do tipo não proporcional.
+A [[#img-12|Figura 12]] mostra a resposta para o grau de liberdade <math display="inline">{u}_{1}</math>, comparando-o com a Pseudo-Forças e HBM para um sistema dotado de amortecimento do tipo não proporcional.
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 ===5.2 Modelo 2===
-O modelo 2 consiste em um sistema com as mesmas propriedades atribuídas ao modelo 1, porém sendo acrescentado um amortecedor discreto ao primeiro grau de liberdade <math display="inline">{u}_{1}</math>, onde, <math display="inline">{c}_{1}=</math><math>20,0\, kN\cdot s/m</math>, como observa-se na Figura 7. Desta forma, o problema não pode ser mais avaliado utilizando técnicas de superposição modal. A solução agora fica basicamente restringida ao uso do método do balanço harmônico e da Pseudo-Forças.
+O modelo 2 consiste em um sistema com as mesmas propriedades atribuídas ao modelo 1, porém sendo acrescentado um amortecedor discreto ao primeiro grau de liberdade <math display="inline">{u}_{1}</math>, onde, <math display="inline">{c}_{1}=</math><math>20,0\, kN\cdot s/m</math>, como observa-se na [[#img-7|Figura 7]]. Desta forma, o problema não pode ser mais avaliado utilizando técnicas de superposição modal. A solução agora fica basicamente restringida ao uso do método do balanço harmônico e da Pseudo-Forças.
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 A inclusão do amortecedor discreto faz com que se some o valor de <math display="inline">{c}_{1}</math> ao termo <math display="inline">{C}_{1,1}</math> da matriz de amortecimento.
-Na Figura 8, é possível observar uma mudança no espectro de resposta devido a inclusão deste amortecedor junto ao ponto de excitação, fazendo com que as amplitudes sejam menores que as apresentadas no modelo 1. Também é possível verificar que as faixas de frequências que podem ser assumidas críticas para o sistema estão à esquerda de <math display="inline">{\omega }_{1}</math> ou seja a primeira frequência natural. Já para os demais graus de liberdade esta condição não é aplicável, pois é facilmente verificada junto à <math display="inline">{\omega }_{2}</math> e <math display="inline">{\omega }_{3}</math> as amplitudes apresentam picos, assumindo uma amplitude crítica.
+Na [[#img-8|Figura 8]], é possível observar uma mudança no espectro de resposta devido a inclusão deste amortecedor junto ao ponto de excitação, fazendo com que as amplitudes sejam menores que as apresentadas no modelo 1. Também é possível verificar que as faixas de frequências que podem ser assumidas críticas para o sistema estão à esquerda de <math display="inline">{\omega }_{1}</math> ou seja a primeira frequência natural. Já para os demais graus de liberdade esta condição não é aplicável, pois é facilmente verificada junto à <math display="inline">{\omega }_{2}</math> e <math display="inline">{\omega }_{3}</math> as amplitudes apresentam picos, assumindo uma amplitude crítica.
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-Na Figura 8 temos a resposta no domínio da frequência e/ou espectro de resposta via HBM para um sistema dotado de amortecimento do tipo não proporcional.
+Na [[#img-8|Figura 8]] temos a resposta no domínio da frequência e/ou espectro de resposta via HBM para um sistema dotado de amortecimento do tipo não proporcional.
-A Figura 9 mostra a resposta no tempo para o grau de liberdade <math display="inline">{u}_{1}</math>, comparando-o com a Pseudo-Forças e HBM para um sistema dotado de amortecimento do tipo não proporcional.
+A [[#img-9|Figura 9]] mostra a resposta no tempo para o grau de liberdade <math display="inline">{u}_{1}</math>, comparando-o com a Pseudo-Forças e HBM para um sistema dotado de amortecimento do tipo não proporcional.
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-com incidência sobre o grau de liberdade <math display="inline">{u}_{1}</math>, como mostra a Figura 2.
+com incidência sobre o grau de liberdade <math display="inline">{u}_{1}</math>, como mostra a [[#img-2|Figura 2]].
 Serão desenvolvidas neste Modelo 1 duas análises: a primeira com <math display="inline">p\left( t\right)</math>  assumindo <math display="inline">\omega =</math><math>{\omega }_{crit}</math>, e uma segunda análise com base no trabalho publicado por Santolin [12], assumindo <math display="inline">p\left( t\right) =</math><math>100\mathrm{sin}\,\left( \omega t\right)</math>  com <math display="inline">\omega =</math><math>5,0</math>, atuando de modo pertinente a excitar a estrutura.

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 ===5.1 Modelo 1===
-O sistema estrutural discreto apresentado na Figura 2 é tratado como Shear Building, sendo analisado por Clough et al. [5] e Santolin [12], e será submetido a um carregamento harmônico a fim de obter e verificar quais são as frequências e as amplitudes críticas.
+O sistema estrutural discreto apresentado na [[#img-2|Figura 2]] é tratado como Shear Building, sendo analisado por Clough et al. [5] e Santolin [12], e será submetido a um carregamento harmônico a fim de obter e verificar quais são as frequências e as amplitudes críticas.
 O sistema apresenta os seguintes coeficientes para a matriz de massa <math display="inline">M</math> e rigidez <math display="inline">K</math>:
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 Serão desenvolvidas neste Modelo 1 duas análises: a primeira com <math display="inline">p\left( t\right)</math>  assumindo <math display="inline">\omega =</math><math>{\omega }_{crit}</math>, e uma segunda análise com base no trabalho publicado por Santolin [12], assumindo <math display="inline">p\left( t\right) =</math><math>100\mathrm{sin}\,\left( \omega t\right)</math>  com <math display="inline">\omega =</math><math>5,0</math>, atuando de modo pertinente a excitar a estrutura.
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 Já os parâmetros associados à discretização do tempo e frequência de amostragem são: intervalo de tempo <math display="inline">\Delta t=</math><math>0,01</math> segundos, tempo de análise de <math display="inline">3,0</math> segundos. Para obter o espectro de resposta, os parâmetros foram definidos <math display="inline">N=</math><math>1024</math> e a frequência de amostragem <math display="inline">{F}_{s}=100</math>. As respectivas frequências naturais foram obtidas a partir da solução do problema de autovalor e autovetor, pois será utilizada para comparar com as obtidas pelo espectro de resposta, onde <math display="inline">{\omega }_{1}=</math><math>14,52\, rad/s</math>, <math display="inline">{\omega }_{2}=31,05\, rad/s</math> e <math display="inline">{\omega }_{3}=</math><math>46,09\, rad/s</math>.
-Na Figura 3 temos a resposta no domínio da frequência e/ou espectro de resposta via HBM. Como é possível verificar, as amplitudes críticas coincidem respectivamente com as frequências naturais do sistema.
+Na [[#img-3|Figura 3]] temos a resposta no domínio da frequência e/ou espectro de resposta via HBM. Como é possível verificar, as amplitudes críticas coincidem respectivamente com as frequências naturais do sistema.
-Já para a Figura 4 temos o histórico de deslocamento avaliado pela ImFT, também se comparou a resposta no tempo por algoritmo de integração direta via método de Newmark. O propósito desta avaliação e garantir que as soluções desenvolvidas venham ao convergir para a mesma resposta, sendo os resultados satisfatórios.
+Já para a [[#img-4|Figura 4]] temos o histórico de deslocamento avaliado pela ImFT, também se comparou a resposta no tempo por algoritmo de integração direta via método de Newmark. O propósito desta avaliação e garantir que as soluções desenvolvidas venham ao convergir para a mesma resposta, sendo os resultados satisfatórios.
 Verifica-se que as amplitudes obtidas no espectro de resposta, refere-se a amplitude da resposta na fase permanente do sistema, isto quando assume-se <math display="inline">\omega =</math><math>{\omega }_{n}</math>, caso contrário a resposta deverá ser avaliada a partir das amplitudes modais.
-Logo, a partir da Figura 5 temos então a apresentação das respostas no domínio da frequência e no tempo para os modelos adaptados de Clough et al. [5] e Santolin [12].
+Logo, a partir da [[#img-5|Figura 5]] temos então a apresentação das respostas no domínio da frequência e no tempo para os modelos adaptados de Clough et al. [5] e Santolin [12].
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+<div id='img-4'></div>
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-Observa-se nas Figuras 3 e 4 que as amplitudes são idênticas quando assume-se que <math display="inline">\omega =</math><math>{\omega }_{n}</math>, tendo, assim, as respectivas amplitudes críticas <math display="inline">\left| {u}_{crit}\right|</math>, o que mostra a convergências de valores para ambos os métodos.
+Observa-se nas [[#img-3|Figuras 3]] e [[#img-4|4]] que as amplitudes são idênticas quando assume-se que <math display="inline">\omega =</math><math>{\omega }_{n}</math>, tendo, assim, as respectivas amplitudes críticas <math display="inline">\left| {u}_{crit}\right|</math>, o que mostra a convergências de valores para ambos os métodos.
 A resposta a um carregamento harmônico monta o vetor de forças de referência assumindo <math display="inline">p\left( t\right) =</math><math>100\mathrm{sin}\,\left( \omega t\right)</math>, tal como apresentado por Santolin [12] via ImFT, atuando de modo pertinente a excitar a estrutura, ou seja, agindo durante todo o período definido pela análise, logo:
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-A Figura 6 mostra o histórico de resposta para o grau de liberdade <math display="inline">{u}_{1}</math>, comparando-o com o ImFT e HBM para um sistema dotado de amortecimento do tipo proporcional.
+A [[#img-6|Figura 6]] mostra o histórico de resposta para o grau de liberdade <math display="inline">{u}_{1}</math>, comparando-o com o ImFT e HBM para um sistema dotado de amortecimento do tipo proporcional.
+<div id='img-6'></div>
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 A análise de estruturas no domínio da frequência vem ganhando campo nas últimas décadas, primeiramente, em virtude do desenvolvimento computacional. A resposta no domínio da frequência permite obter um espectro de resposta associado, neste caso, às propriedades do sistema, como massa, rigidez, amortecimento e excitação dinâmica. Em alguns casos a resposta em frequência, que é caracterizada pela curva de ressonância, pode ser obtida indiretamente por meio da análise no tempo Galvão [7] e Silva [13], o que leva a um grande esforço computacional para estruturas com vários graus de liberdade.
-Estendendo a formulação para o domínio da frequência, é possível avaliar quais são as frequências críticas e suas respectivas amplitudes, porém se sabe que esta amplitude está associada à resposta na fase permanente, dependendo da excitação dinâmica e do modelo de amortecimento adotado. Na Figura 1 é apresentado um sistema dinâmico discreto qualquer e suas respectivas propriedades, também a resposta no domínio frequência e no domínio do tempo.
+Estendendo a formulação para o domínio da frequência, é possível avaliar quais são as frequências críticas e suas respectivas amplitudes, porém se sabe que esta amplitude está associada à resposta na fase permanente, dependendo da excitação dinâmica e do modelo de amortecimento adotado. Na [[#img-1|Figura 1]] é apresentado um sistema dinâmico discreto qualquer e suas respectivas propriedades, também a resposta no domínio frequência e no domínio do tempo.
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 ==Referências==
 <div class="auto" style="width: auto; margin-left: auto; margin-right: auto;font-size: 85%;">
-[1] Bernádez, S. A. ''Nonlinear normal modes in mechanical systems'': Concept and computational with numerical continuation. 2016. Thesys (Doctor) – ETSII/UPM, Madrid, Espanha, 2016.
+[1] Bernádez S.A. Nonlinear normal modes in mechanical systems: Concept and computational with numerical continuation. Thesis, ETSII/UPM, Madrid, España, 2016.
-[2] Camargo, R. S. Técnicas eficientes de correção de erros na análise dinâmica de estruturas no domínio da frequência. 2008. Dissertação (Mestrado) – PPGEC/UFES, Vitória, ES, Brasil, 2008.
+[2] Camargo R.S. Técnicas eficientes de correção de erros na análise dinâmica de estruturas no domínio da frequência. Dissertação, PPGEC/UFES, Vitória, ES, Brasil, 2008.
-[3] Childs, D. W; Harihara, P. ''Solving problems in dynamics and vibrations using MATLAB''. 1. ed. Texas: Texas A & M University College Station, 2012.
+[3] Childs D.W, Harihara P. Solving problems in dynamics and vibrations using MATLAB. Texas A & M University College Station, 1rst ed., 2012.
-[4] Caret, A. M.; Venâncio-Filho, F. A modal superposition Pseudo-Forças method for dynamics analysis of structural system with non-proportional damping. ''Earthquake Engineering and Structural Dynamics'', n. 20, p. 303-315, 1991.
+[4] Caret A. M., Venâncio-Filho F. A modal superposition Pseudo-Forças method for dynamics analysis of structural system with non-proportional damping. Earthquake Engineering and Structural Dynamics, 20:303-315, 1991.
-[5] Clough, R. W.; Penzien, J. ''Dynamics of structures''. 2. ed. NewYork: McGraw-Hill, 1993.
+[5] Clough R.W., Penzien J. Dynamics of structures. McGraw-Hill, 2nd ed., NewYork, 1993.
 [6] Ferreira, W. G. Análise dinâmica não linear no domínio da frequência em sistemas estruturais com amortecimento não proporcional. 1998. Tese (Doutorado) – COPPE/UFRJ, Rio de Janeiro, RJ, Brasil, 1998.
-[7] Galvão, S. A. ''Instabilidade estática e dinâmica de pórticos planos com ligações semi-rígidas''. 2004. Tese (Doutorado) – PUC-Rio, Rio de Janeiro, RJ, Brasil, 2004.
+[7] Galvão S.A. Instabilidade estática e dinâmica de pórticos planos com ligações semi-rígidas. Tese, PUC-Rio, Rio de Janeiro, RJ, Brasil, 2004.
-[8] Muñoz, L. P. et al. ''Análise dinâmica não linear de estruturas reticulares submetidas a ações sísmicas no domínio da frequência''. Conference: Ibero-Latin American Congress on Computational Methods in Engineering – CILAMCE, 35., v. 1, Fortaleza, 2014.
+[8] Muñoz L.P., et al. Análise dinâmica não linear de estruturas reticulares submetidas a ações sísmicas no domínio da frequência. Conference: Ibero-Latin American Congress on Computational Methods in Engineering, CILAMCE, 35, v. 1, Fortaleza, 2014.
-[9] Pasquetti, E. ''Métodos aproximados de solução de sistemas dinâmicos não-lineares''. 2008. Tese (Doutorado) – PUC-Rio, Rio de Janeiro, RJ, Brasil, 2008.
+[9] Pasquetti E. Métodos aproximados de solução de sistemas dinâmicos não-lineares.  Tese, PUC-Rio, Rio de Janeiro, RJ, Brasil, 2008.
-[10] Ribeiro, M. V. ''Formulação matricial da análise dinâmica de estruturas no domínio da frequência.'' 1998. Dissertação (Mestrado) – PROPEC/UFOP, Ouro Preto, MG, Brasil, 1998.
+[10] Ribeiro M.V. Formulação matricial da análise dinâmica de estruturas no domínio da frequência. Dissertação, PROPEC/UFOP, Ouro Preto, MG, Brasil, 1998.
-[11] Rubinstein, C. W.; Hurty, F. M. 1964. ''Dynamics of structures''. New York: McGraw-Hill, 1964.
+[11] Rubinstein C.W., Hurty F.M.  Dynamics of structures. McGraw-Hill, New York, 1964.
-[12] Santolin, A. Formulação da análise dinâmica de sistemas de múltiplos graus de liberdade no domínio da frequência em coordenadas físicas. 2006. Dissertação (Mestrado) – PROPEC/UFOP, Ouro Preto, MG, Brasil, 2006.
+[12] Santolin A. Formulação da análise dinâmica de sistemas de múltiplos graus de liberdade no domínio da frequência em coordenadas físicas. Dissertação, PROPEC/UFOP, Ouro Preto, MG, Brasil, 2006.
-[13] Silva, A.R.D.; Sistema computacional para análise avançada estática e dinâmica de estruturas metálicas. Ouro Preto, 2009. Tese de (Doutorado ) – PROPEC/UFOP, Ouro Preto, MG, Brasil, 2009.
+[13] Silva A.R.D. Sistema computacional para análise avançada estática e dinâmica de estruturas metálicas. Tese, PROPEC/UFOP, Ouro Preto, MG, Brasil, 2009.
-[14] Soares, JR. D. Análise dinâmica no domínio do tempo e da frequência de modelos não lineares discretizados por elementos finitos. 2002. Dissertação (Mestrado) – COPPE/UFRJ, Rio de Janeiro, RJ, Brasil, 2002.
+[14] Soares J.R.D. Análise dinâmica no domínio do tempo e da frequência de modelos não lineares discretizados por elementos finitos. Dissertação, COPPE/UFRJ, Rio de Janeiro, RJ, Brasil, 2002.
 </div>

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 Ao observar os espectros de respostas gerados via HBM e comparar as Figuras 8 e 11, verifica-se que os amortecedores discretos a serem inseridos no sistema se tornam mais eficientes sobre o grau de liberdade ou posição onde incide a excitação dinâmica. Tal conclusão é verificada em razão das amplitudes dos deslocamentos geradas pelo espectro de resposta.
-<div class="center" style="width: auto; margin-left: auto; margin-right: auto;">
+A Figura 12 mostra a resposta para o grau de liberdade <math display="inline">{u}_{1}</math>, comparando-o com a Pseudo-Forças e HBM para um sistema dotado de amortecimento do tipo não proporcional.
-[[Image:draft_Zaltron_287705376-image35.png|600px]] </div>
-<div class="center" style="width: auto; margin-left: auto; margin-right: auto;font-size:75%;">
+{| style="text-align: center; border: 1px solid #BBB; margin: 1em auto; width: auto;max-width: auto;"
-'''Figura 12'''. Histórico de resposta (tempo) para <math display="inline">{\mathit{\boldsymbol{u}}}_{\mathit{\boldsymbol{1}}}</math> via Pseudo-Forças e HBM</div>
+|-
+|style="padding:10px;"| [[Image:draft_Zaltron_287705376-image35.png|500px]]
+|- style="text-align: center; font-size: 75%;"
-A Figura 12 mostra a resposta para o grau de liberdade <math display="inline">{u}_{1}</math>, comparando-o com a Pseudo-Forças e HBM para um sistema dotado de amortecimento do tipo não proporcional.
+| colspan="1" style="padding-bottom:10px;"| '''Figura 12'''. Histórico de resposta (tempo) para <math display="inline">{\mathit{\boldsymbol{u}}}_{\mathit{\boldsymbol{1}}}</math> via Pseudo-Forças e HBM
 ==6.  Conclusões==

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-|style="padding:10px;"|  [[Image:draft_Zaltron_287705376-image33.png|600px]]
+|style="padding:10px;"|[[File:Zaltron_Neves_2017a_1868_Fig10.png]]
 |- style="text-align: center; font-size: 75%;"
 | colspan="1" style="padding-bottom:10px;"| '''Figura 10'''. Modelo estrutural discreto 3

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 <!--|style="padding:10px;"|[[Image:draft_Zaltron_287705376-image24.png|498px]]-->
-|style="padding:10px;"|[[File:Zaltron_Neves_2017a_8229_Fig2.png]]
+|style="padding:10px;"|[[File:Zaltron_Neves_2017a_2115_Fig2.png]]
 |- style="text-align: center; font-size: 75%;"
 | colspan="1" style="padding-bottom:10px;"| '''Figura 2'''. Modelo estrutural discreto 1