Villota Codina 2017a - Revision history

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 Este caso de referencia ha sido ampliamente examinado en la literatura utilizando diferentes métodos, como volúmenes finitos <span id='citeF-6'></span><span id='citeF-7'></span>[[#cite-6|[6,7]]], método de Godnov <span id='citeF-14'></span>[[#cite-14|[14]]], método de los mínimos cuadrados con elementos finitos <span id='citeF-10'></span><span id='citeF-13'></span>[[#cite-10|[10,13]]], o esquemas WENO en diferencias finitas <span id='citeF-5'></span>[[#cite-5|[5]]].  En el presente trabajo vamos a reexaminar el caso de referencia con el método variacional ASGS y utilizando funciones de forma cuadráticas, cúbicas y de cuarto orden.
-El dominio computacional es <math display="inline">\left[0,\right]\times \left[0,\right]</math> y la batimetría mostrada en la Figura&nbsp;[[#img-2|2]] está dada por
+El dominio computacional es <math display="inline">\left[0,\right]\times \left[0,\right]</math> y la batimetría mostrada en la [[#img-2|Figura 2]] está dada por
 {| class="formulaSCP" style="width: 100%; text-align: left;"
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-La Figura&nbsp;[[#img-3|3]] muestra los contornos 2D de la superficie libre del agua <math display="inline">\eta </math> para distintos instantes de tiempo <math display="inline">t= 0.12, 0.24, 0.36, 0.48, 0.60</math> s. Los contornos 2D calculados se presentan para los elementos <math display="inline">Q_3</math> y <math display="inline">Q_4</math>, con similares resultados para elementos <math display="inline">Q_1</math> y <math display="inline">Q_2</math>. A pesar de ser calculados para todos los elementos con mallas con igual número total de nodos, los resultados conforme se aumenta el orden de los polinomios de interpolación presentan mayor detalle que los de menor orden; esto se aprecia mirando los gráficos horizontalmente para un instante de tiempo, comparando los resultados de elementos <math display="inline">Q_3</math> y <math display="inline">Q_4</math>.
+La [[#img-3|Figura 3]] muestra los contornos 2D de la superficie libre del agua <math display="inline">\eta </math> para distintos instantes de tiempo <math display="inline">t= 0.12, 0.24, 0.36, 0.48, 0.60</math> s. Los contornos 2D calculados se presentan para los elementos <math display="inline">Q_3</math> y <math display="inline">Q_4</math>, con similares resultados para elementos <math display="inline">Q_1</math> y <math display="inline">Q_2</math>. A pesar de ser calculados para todos los elementos con mallas con igual número total de nodos, los resultados conforme se aumenta el orden de los polinomios de interpolación presentan mayor detalle que los de menor orden; esto se aprecia mirando los gráficos horizontalmente para un instante de tiempo, comparando los resultados de elementos <math display="inline">Q_3</math> y <math display="inline">Q_4</math>.
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-En la Figura&nbsp;[[#img-4|4]] mostramos una comparación de los resultados de los contornos 3D de la superficie libre del agua <math display="inline">\eta </math>. Los gráficos de la parte izquierda corresponden a los resultados de nuestro trabajo y los gráficos de la parte derecha son los resultados de Shin-Jye Liang y Ying-Chih Chen&nbsp;<span id='citeF-10'></span>[[#cite-10|[10]]], ambos estudios con iguales características de mallado y paso de tiempo (elementos <math display="inline">Q_2,</math> <math display="inline">\delta x=\delta y=0.01</math>&nbsp;m y <math display="inline">\delta t=0.001</math>&nbsp;s). Con respecto a los otros resultados 3D para elementos <math display="inline">Q_1,</math> <math display="inline">Q_3,</math> y <math display="inline">Q_4</math> de nuestro trabajo, las diferencias entre sí y con respecto al elemento <math display="inline">Q_2</math> son visualmente imperceptibles, por lo que en la Figura&nbsp;[[#img-4|4]](a) presentamos solo los resultados correspondientes al elemento <math display="inline">Q_2</math>, para poder así compararlos con los resultados de&nbsp;<span id='citeF-10'></span>[[#cite-10|[10]]]. En ambos trabajos el comportamiento de la onda es bastante similar, aunque en nuestro caso la evolución temporal es más disipativa por haber utilizado un integrador temporal de primer orden (recuérdese que nuestro propósito es el diseño de aproximaciones precisas y robustas en el espacio). Así, la perturbación que inicialmente es plana y se propaga hacia la derecha se ve afectada por el obstáculo elíptico en la parte inferior del lecho. El incremento de la amplitud de onda debido a la disminución de la profundidad del agua es obvio en <math display="inline">t=0.24</math>&nbsp;s, debido a la disminución de la velocidad de onda, siendo la más baja de todo el flujo en el momento en el cual la onda atraviesa el punto más alto del obstáculo elíptico y que aproximadamente se produce en el instante <math display="inline">t=0.24</math>&nbsp;s. Se observan ondas estacionarias de reflexión justo detrás del pico producido por el choque de la onda con el obstáculo elíptico, en <math display="inline">t= 0.24, 0.36, 0.48</math> y <math display="inline">0.60</math> s.
+En la [[#img-4|Figura 4]] mostramos una comparación de los resultados de los contornos 3D de la superficie libre del agua <math display="inline">\eta </math>. Los gráficos de la parte izquierda corresponden a los resultados de nuestro trabajo y los gráficos de la parte derecha son los resultados de Shin-Jye Liang y Ying-Chih Chen&nbsp;<span id='citeF-10'></span>[[#cite-10|[10]]], ambos estudios con iguales características de mallado y paso de tiempo (elementos <math display="inline">Q_2,</math> <math display="inline">\delta x=\delta y=0.01</math>&nbsp;m y <math display="inline">\delta t=0.001</math>&nbsp;s). Con respecto a los otros resultados 3D para elementos <math display="inline">Q_1,</math> <math display="inline">Q_3,</math> y <math display="inline">Q_4</math> de nuestro trabajo, las diferencias entre sí y con respecto al elemento <math display="inline">Q_2</math> son visualmente imperceptibles, por lo que en la [[#img-4|Figura 4]](a) presentamos solo los resultados correspondientes al elemento <math display="inline">Q_2</math>, para poder así compararlos con los resultados de&nbsp;<span id='citeF-10'></span>[[#cite-10|[10]]]. En ambos trabajos el comportamiento de la onda es bastante similar, aunque en nuestro caso la evolución temporal es más disipativa por haber utilizado un integrador temporal de primer orden (recuérdese que nuestro propósito es el diseño de aproximaciones precisas y robustas en el espacio). Así, la perturbación que inicialmente es plana y se propaga hacia la derecha se ve afectada por el obstáculo elíptico en la parte inferior del lecho. El incremento de la amplitud de onda debido a la disminución de la profundidad del agua es obvio en <math display="inline">t=0.24</math>&nbsp;s, debido a la disminución de la velocidad de onda, siendo la más baja de todo el flujo en el momento en el cual la onda atraviesa el punto más alto del obstáculo elíptico y que aproximadamente se produce en el instante <math display="inline">t=0.24</math>&nbsp;s. Se observan ondas estacionarias de reflexión justo detrás del pico producido por el choque de la onda con el obstáculo elíptico, en <math display="inline">t= 0.24, 0.36, 0.48</math> y <math display="inline">0.60</math> s.
 {|  class="floating_tableSCP wikitable" style="text-align: center; margin: 1em auto;min-width:50%;"
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-En el Cuadro&nbsp;[[#table-2|2]] se encuentran tabuladas las elevaciones de la superficie libre del agua <math display="inline">\eta ,</math> correspondientes a los picos más altos de la onda para los instantes de tiempo <math display="inline">t= 0.12, 0.24, 0.36, 0.48</math> y <math display="inline">0.60</math> s. Observamos como en todos los casos la onda alcanza su pico máximo en <math display="inline">t= 0.24</math> s, debido precisamente a que alrededor de <math display="inline">t= 0.24</math> s la onda atraviesa el punto más alto del obstáculo elíptico. También observamos que para cada instante de tiempo la elevación de la superficie del agua <math display="inline">\eta </math> disminuye conforme se incrementa el orden del elemento, lo que es completamente coincidente con la mejor precisión en elementos de alto orden. Como podemos ver en el Cuadro&nbsp;[[#table-2|2]], para un instante de tiempo las variaciones de <math display="inline">\eta </math> conforme se aumenta el orden del elemento son del orden de las décimas, centésimas y en algunos casos milésimas de milímetro, por lo que dichas variaciones son visualmente imperceptibles, como se ha mencionado anteriormente, motivo por el cual en la Figura&nbsp;[[#img-4|4]](a) se ha presentado solo el contorno 3D correspondiente a elementos <math display="inline">Q_2</math>.
+En la [[#table-2|Tabla 2]] se encuentran tabuladas las elevaciones de la superficie libre del agua <math display="inline">\eta ,</math> correspondientes a los picos más altos de la onda para los instantes de tiempo <math display="inline">t= 0.12, 0.24, 0.36, 0.48</math> y <math display="inline">0.60</math> s. Observamos como en todos los casos la onda alcanza su pico máximo en <math display="inline">t= 0.24</math> s, debido precisamente a que alrededor de <math display="inline">t= 0.24</math> s la onda atraviesa el punto más alto del obstáculo elíptico. También observamos que para cada instante de tiempo la elevación de la superficie del agua <math display="inline">\eta </math> disminuye conforme se incrementa el orden del elemento, lo que es completamente coincidente con la mejor precisión en elementos de alto orden. Como podemos ver en la [[#table-2|Tabla 2]], para un instante de tiempo las variaciones de <math display="inline">\eta </math> conforme se aumenta el orden del elemento son del orden de las décimas, centésimas y en algunos casos milésimas de milímetro, por lo que dichas variaciones son visualmente imperceptibles, como se ha mencionado anteriormente, motivo por el cual en la [[#img-4|Figura 4]](a) se ha presentado solo el contorno 3D correspondiente a elementos <math display="inline">Q_2</math>.
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-Finalmente, en la Figura&nbsp;[[#img-5|5]] presentamos los resultados de los contornos 2D del nivel de superficie libre del agua <math display="inline">\eta </math> de: (a) Shin-Jye y Ying-Chih Chen&nbsp;<span id='citeF-10'></span>[[#cite-10|[10]]] (con elementos <math display="inline">Q_2,</math> <math display="inline">\delta x=\delta y=0.01</math> m y <math display="inline">\delta t=0.001</math> s, (b) Lian y Hsu&nbsp;<span id='citeF-13'></span>[[#cite-13|[13]]] (con elementos <math display="inline">P_1</math>, <math display="inline">\delta x=\delta y=0.01</math> m y <math display="inline">\delta t=0.0005</math> s) y (c) Akoh et al.&nbsp; <span id='citeF-6'></span>[[#cite-6|[6]]] (con elementos <math display="inline">P_1</math>, <math display="inline">\delta x=\delta y=0.01</math> m y <math display="inline">\delta t=0.0005</math> s), para ser comparados con nuestros resultados de la Figura&nbsp;[[#img-3|3]]. En general observamos que los resultados del presente trabajo dan estructuras de ondas y gradientes más nítidos y con mas detalle que los resultados de&nbsp;<span id='citeF-10'></span><span id='citeF-13'></span>[[#cite-10|[10,13]]] y&nbsp;<span id='citeF-6'></span>[[#cite-6|[6]]].
+Finalmente, en la [[#img-5|Figura 5]] presentamos los resultados de los contornos 2D del nivel de superficie libre del agua <math display="inline">\eta </math> de: (a) Shin-Jye y Ying-Chih Chen&nbsp;<span id='citeF-10'></span>[[#cite-10|[10]]] (con elementos <math display="inline">Q_2,</math> <math display="inline">\delta x=\delta y=0.01</math> m y <math display="inline">\delta t=0.001</math> s, (b) Lian y Hsu&nbsp;<span id='citeF-13'></span>[[#cite-13|[13]]] (con elementos <math display="inline">P_1</math>, <math display="inline">\delta x=\delta y=0.01</math> m y <math display="inline">\delta t=0.0005</math> s) y (c) Akoh et al.&nbsp; <span id='citeF-6'></span>[[#cite-6|[6]]] (con elementos <math display="inline">P_1</math>, <math display="inline">\delta x=\delta y=0.01</math> m y <math display="inline">\delta t=0.0005</math> s), para ser comparados con nuestros resultados de la [[#img-3|Figura 3]]. En general observamos que los resultados del presente trabajo dan estructuras de ondas y gradientes más nítidos y con mas detalle que los resultados de&nbsp;<span id='citeF-10'></span><span id='citeF-13'></span>[[#cite-10|[10,13]]] y&nbsp;<span id='citeF-6'></span>[[#cite-6|[6]]].
 ===4.3 Flujo de la rotura de una presa a través de una compuerta de esclusa===

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 ==Resumen==
 En este artículo presentamos aproximaciones de elementos finitos de alto orden usando métodos variacionales estabilizados de subescalas para aproximar las ecuaciones del movimiento de un fluido en aguas poco profundas (''shallow water equations'', en inglés). Escribimos estas ecuaciones como un sistema de ecuaciones de tipo convección-difusión-reacción (CDR) no lineal y transitorio, y planteamos los desarrollos en este marco general. Los métodos variacionales de multiescala (VMS) se basan en la descomposición de las incógnitas del problema continuo en una parte resoluble en el espacio de elementos finitos y otra que no puede ser capturada por la malla de elementos finitos y que la denominamos subescala. La subescala se aproxima en términos de la solución de elementos finitos, obteniéndose un esquema numérico robusto, que permite en particular igual interpolación para todas las incógnitas y la posibilidad de tratar con flujos de convección dominante (no consideraremos la posibilidad de tratar con choques). Los métodos VMS que consideraremos son los llamados de subscalas algebraicas (ASGS, por ''Algebraic SubGrid Scales'') y subescalas ortogonales (OSS, por ''Orthogonal Subgrid Scales'').
-'''Palabras clave''': Aguas poco profundas, elementos finitos, estabilización, sistemas acoplados, alto orden.
+'''Palabras clave''': Aguas poco profundas, elementos finitos, estabilización, sistemas acoplados, alto orden
 ==1. Introducción==

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 '''Palabras clave''': Aguas poco profundas, elementos finitos, estabilización, sistemas acoplados, alto orden.
-==1 Introducción==
+==1. Introducción==
 Las ecuaciones del movimiento de un fluido en aguas poco profundas se obtienen a partir de las ecuaciones Euler para fluidos invíscidos o a partir de las ecuaciones de Navier-Stokes para fluidos con viscosidad. Estas ecuaciones describen el movimiento en una capa delgada de fluido de densidad constante en equilibrio hidrostático, limitada en su parte inferior por la topografía del terreno y por arriba por una superficie libre, y promediando las variables a lo largo de la profundidad. Son una buena aproximación del comportamiento de un fluido cuando la profundidad del dominio estudiado es pequeña con respecto al tamaño global de este dominio. Es por esto que dichas ecuaciones describen bien el flujo en canales, ríos, lagos y lagunas, flujos de marea, corrientes marinas, avance de un frente de onda, arrastre de sedimentos, variación de concentración salina, flujo en la rotura de presas, flujos atmosféricos, transporte de contaminantes y tsunamis, entre otros; véase por ejemplo <span id='citeF-1'></span><span id='citeF-2'></span><span id='citeF-3'></span><span id='citeF-4'></span>[[#cite-1|[1,2,3,4]]].

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 El artículo está organizado como sigue. En la siguiente sección se describe la física del problema que queremos resolver y la obtención de la ecuación vectorial de CDR transitoria que representa el problema del movimiento de un fluido en aguas poco profundas. Las aproximaciones y formulaciones numéricas están descritas en la Sección&nbsp;3. En la Sección&nbsp;4 se presentan pruebas numéricas de convergencia en malla con soluciones analíticas conocidas y ejemplos numéricos de referencia en la literatura. Finalmente, en base a los resultados obtenidos se extraen algunas conclusiones en la Sección&nbsp;5.
-==2 Planteamiento del problema, linealización y discretización temporal==
+==2. Planteamiento del problema, linealización y discretización temporal==
 ===2.1 Ecuaciones de gobierno===

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-==3 Aproximación espacial y estabilización numérica==
+==3. Aproximación espacial y estabilización numérica==
 En esta sección vamos a describir la aproximación espacial mediante el método de los elementos finitos y estabilización numérica de la ecuación vectorial de CDR transitoria ([[#eq-5|5]]), considerando que las matrices de coeficientes están evaluadas con las incógnitas de una iteración anterior como resultado de la linealización. Esta aproximación la podremos aplicar directamente a ([[#eq-46|46]]), teniendo en cuenta que en este caso hemos discretizado el tiempo mediante un esquema de diferencias finitas y hemos escrito el término convectivo como <math display="inline">\mathbf{A}_{i}\partial _{i}\mathbf{u}</math>; las modificaciones necesarias por escribir así este término son obvias.

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-==4 Resultados de los experimentos numéricos==
+==4. Resultados de los experimentos numéricos==
 Con el fin de evaluar las formulaciones de los métodos variacionales de subescalas ASGS y OSS con elementos finitos de alto orden aplicados a las ecuaciones del movimiento de un fluido en aguas poco profundas, hemos realizado diferentes experimentos numéricos, tales como pruebas de convergencia en malla y la aproximación de varios problemas que se encuentran en la literatura. A continuación presentamos los resultados para un test de convergencia y para dos ejemplos que se han convertido en clásicos.

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 | colspan="2" | '''Figura 6:''' Flujo de la rotura de una presa. (a) Geometría y condiciones iniciales del problema. (b) Malla con elementos triangulares <math>P_1</math> con 3733 nodos.
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 En la Figura&nbsp;[[#img-6|6]](b) se encuentra la malla usada con 7164 elementos triangulares <math display="inline">P_1</math>, que dan un total de 3733 nodos.
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 | colspan="1" | '''Figura 7:''' Flujo de la rotura de una presa. Contornos 2D y corte longitudinal de la superficie libre del agua en 7.2 s. Comparación de: (a) Estudio presente, (b) ELRBFCM&nbsp;<span id='citeF-38'></span>[[#cite-38|[38]]].
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 <div id='img-8'></div>
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 | colspan="1" | '''Figura 8:''' Flujo de la rotura de una presa. Contornos 2D y corte longitudinal de la velocidad en la dirección <math>x</math> en 7.2 s. Comparación de: (a) Estudio presente, (b) ELRBFCM&nbsp;<span id='citeF-38'></span>[[#cite-38|[38]]].
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 <div id='img-9'></div>
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 | colspan="1" | '''Figura 9:''' Flujo de la rotura de una presa. Contornos 3D de la superficie libre del agua, para los instantes de tiempo <math>t=3.5</math> s  y <math>t=7.2</math> s. Comparación de: (a) Estudio presente, (b) ELRBFCM&nbsp;<span id='citeF-38'></span>[[#cite-38|[38]]].
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 <div id='img-10'></div>
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 | colspan="2" | '''Figura 10:''' Flujo de la rotura de una presa. Corte longitudinal de la superficie libre del agua en <math>t=</math> 4.5 s. Comparación del refinamiento para elementos <math>P_1</math>, <math>P_2</math>, <math>P_3</math> y <math>P_4</math>.
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 En las Figuras&nbsp;[[#img-7|7]] y [[#img-8|8]] se presentan los contornos 2D y los cortes longitudinales indicados de la superficie libre del agua y de la velocidad en la dirección <math display="inline">x</math> en <math display="inline">t=</math>7.2 s, respectivamente. En las Figuras&nbsp;[[#img-7|7]](a) y [[#img-8|8]](a) se encuentran los resultados de nuestro trabajo, mientras que en las Figuras&nbsp;[[#img-7|7]](b) y [[#img-8|8]](b) están los resultados de C.K. Chou et al. con el método ELRBFCM&nbsp;<span id='citeF-38'></span>[[#cite-38|[38]]]. Observando los cortes longitudinales de las Figuras&nbsp;[[#img-7|7]] y [[#img-8|8]] vemos que nuestros resultados coinciden con los de C.K. Chou en el perfil de 25209 nodos, pero en nuestro trabajo hemos usado una malla con elementos triangulares <math display="inline">P_1</math> con 3733 nodos, lo que incide en un menor costo computacional. También los contornos 2D, tanto de la superficie libre del agua como de la velocidad en la dirección <math display="inline">x</math> en las Figuras&nbsp;[[#img-7|7]] y [[#img-8|8]], presentan mejores y más nítidos detalles que los resultados de&nbsp;<span id='citeF-38'></span>[[#cite-38|[38]]].

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 Finalmente presentamos una comparación de los resultados de elementos lineales <math display="inline">P_1</math> con elementos de alto orden <math display="inline">P_2</math>, <math display="inline">P_3</math> y <math display="inline">P_4</math> de los cortes longitudinales de la superficie libre del agua en el instante de tiempo <math display="inline">t=4.5</math> s en la Figura&nbsp;[[#img-10|10]]. Tomando como base la malla de 7164 elementos triangulares <math display="inline">P_1</math> con 3733 nodos y aumentado el orden de interpolación con el mismo número de elementos, obtenemos mallas con elementos triangulares <math display="inline">P_2</math> con un total de 14629 nodos, <math display="inline">P_3</math> con 32689 nodos y <math display="inline">P_4</math> con 57913 nodos. Observando las gráficas se concluye que al aumentar el orden de interpolación se obtienen mejores resultados tanto de la superficie libre del agua como de la velocidad en la dirección&nbsp;<math display="inline">x</math>, como era de esperar.
-==5 Conclusiones==
+==5. Conclusiones==
 En este artículo se ha presentado una revisión de los métodos estabilizados ASGS y OSS para una ecuación vectorial de tipo CDR general, estacionaria y transitoria, con aplicación a las ecuaciones del movimiento de un fluido en aguas poco profundas. Asimismo, se ha estudiado la utilización de elementos finitos de alto orden, cuadráticos, cúbicos y de cuarto orden, con elementos tanto triangulares como cuadrangulares.
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 En general, el comportamiento de los métodos estabilizado ASGS y OSS para el problema que hemos estudiado es completamente satisfactorio, mostrando que la comparación de nuestros resultados con los resultados de otros autores es favorable en todos los casos a nuestras formulaciones.
 ==Referencias==

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 ==Referencias==
 <div id="cite-1"></div>
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 <div id="cite-39"></div>
 [[#citeF-39|[39]]] S.J. Liang and J.H. Tang and M.S. Wu. (2008) "Solution of shallow-water equations using least-squares finite-element method", Volume 24. Acta Mechanica Sinica 523&#8211;532