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 | style="padding:10px;" | [[Image:Draft_VILLA GARCIA_972000876-image2.jpg|center|328px]]
 |- style="text-align: center; font-size: 75%;"
-| colspan="1" style="padding-bottom:10px;" | '''Figura 2'''. Curva de histéresis de un material metálico. Efecto de la disipación en las fisuras del material
+| colspan="1" style="padding:10px;" | '''Figura 2'''. Curva de histéresis de un material metálico. Efecto de la disipación en las fisuras del material
 |}
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 | style="padding:10px;" | [[Image:Draft_VILLA GARCIA_972000876-image12.jpg|center|600px]]
 |- style="text-align: center; font-size: 75%;"
-| colspan="1" style="padding-bottom:10px;" | '''Figura 3'''. Influencia de los modos bajos y altos en el rango de frecuencias bajo estudio
+| colspan="1" style="padding:10px;" | '''Figura 3'''. Influencia de los modos bajos y altos en el rango de frecuencias bajo estudio
 |}
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 Con todo ello se observa que se alcanzan plenamente los resultados teóricos de referencia ([[#tab-1|Tabla 1]]): razones de amortiguamiento y frecuencias naturales.
+<div id='img-4'></div>
 {| style="text-align: center; border: 1px solid #BBB; margin: 1em auto; width: auto%;max-width: auto;"
 |-
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-Finalmente, para validar el ejemplo numérico, se introduce en la FRF de estudio un ruido blanco artificial de magnitud ±15%, obteniéndose los resultados que se muestran en la Tabla 1.  Obsérvese que las diferencias en el modo número 3, se deben a que su contribución a la respuesta es mucho menor ([[#img-4|Figura 4]]).
+Finalmente, para validar el ejemplo numérico, se introduce en la FRF de estudio un ruido blanco artificial de magnitud ±15%, obteniéndose los resultados que se muestran en la [[#tab-1|Tabla 1]].  Obsérvese que las diferencias en el modo número 3, se deben a que su contribución a la respuesta es mucho menor ([[#img-4|Figura 4]]).
 ==4.  Características del puente analizado==
-El puente de La Cartuja, está ubicado en el Meandro de San Jerónimo, en Sevilla (España), sobre el río Guadalquivir [11,12], se trata de un puente de tipo viga cajón continua de sección variable, con tablero ortótropo, totalmente metálico, que respeta la visibilidad del entorno mediante una estructura discreta y elegante.
+El puente de La Cartuja está ubicado en el Meandro de San Jerónimo, en Sevilla (España), sobre el río Guadalquivir [11,12]. Se trata de un puente de tipo viga cajón continua de sección variable, con tablero ortótropo, totalmente metálico, que respeta la visibilidad del entorno mediante una estructura discreta y elegante.
-−
-Consta de 3 vanos, con una longitud total de 238 m: 42.5 m en el vano lado Expo, 170 m en el vano central, y 25.5m en el vano lado Sevilla.  La viga cajón o viga principal del puente, está rigidizada mediante marcos de rigidización transversal cada 4.25 m, los cuales dividen el puente en 56 módulos.  El peso acabado del puente es de 1869 t, equivalente a 714 kp/m<sup>2</sup> (Figuras 4 y 5).
 {| style="text-align: center; border: 1px solid #BBB; margin: 1em auto; width: auto;max-width: auto;"
 |-
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 El ancho del tablero es de 11 m y el canto de la viga variable: desde los 1.92m del estribo lado Expo que aumenta progresivamente hasta llegar a los 6 m en la pila del mismo margen, para disminuir hasta alcanzar los 3 m manteniéndose prácticamente constante en buena parte del vano central y vano lateral lado Sevilla; lo cual representa una relación luz/canto de 56.6: este valor en su día fue el menor registrado en un puente, por lo que se convirtió en el puente más esbelto del mundo.  Haciendo gala de una elegancia inédita hasta entonces.  Figura desde el año 2007 en el Libro Guinnes de los records.
-La continuidad de la viga del puente en los  tres vanos, permite alcanzar esta esbeltez, gracias a los vanos laterales relativamente cortos y a las ménsulas ubicadas en el tablero y en los estribos, a través de los cuales se trasmiten reacciones negativas (Figura 4).
+La continuidad de la viga del puente en los  tres vanos, permite alcanzar esta esbeltez, gracias a los vanos laterales relativamente cortos y a las ménsulas ubicadas en el tablero y en los estribos, a través de los cuales se trasmiten reacciones negativas ([[#img-4|Figura 4]]).
-−
-==5.  Análisis de resultados==
-−
-En la Tabla 2, se presenta un resumen de los resultados alcanzados.  Las magnitudes de referencia, se han extraído del conjunto de parámetros modales, que caracterizan el comportamiento dinámico del puente analizado, correspondientes a un trabajo anterior [13].  En donde se ajustó su modelo de respuesta, según un patrón independiente de la frecuencia (amortiguamiento estructural).  Así mismo, para la exposición de resultados, se utilizan los cuatro primeros modos en flexión vertical (Figura 7), que fueron identificados en el citado trabajo [13].
 {| style="text-align: center; border: 1px solid #BBB; margin: 1em auto; width: auto;max-width: auto;"
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 |}
-La Figura 8 muestra una parte del modelo de respuesta del mismo:  una de las componentes <math>\boldsymbol{\alpha}_{jk}(\boldsymbol{\omega})</math> de la matriz de FRF (magnitud y fase), perteneciente a su diagonal principal, con un nivel de ruido en la señal del <math>\pm 15%</math>, para un g.d.l. vertical, en las cercanías de la posición intermedia del vano central del puente, y muy próximo a la clave del mismo;  ubicado en la sección nº 32 de la viga principal del puente.
+La [[#img-8|Figura 8]] muestra una parte del modelo de respuesta del mismo:  una de las componentes <math>\boldsymbol{\alpha}_{jk}(\boldsymbol{\omega})</math> de la matriz de FRF (magnitud y fase), perteneciente a su diagonal principal, con un nivel de ruido en la señal del <math>\pm 15%</math>, para un g.d.l. vertical, en las cercanías de la posición intermedia del vano central del puente, y muy próximo a la clave del mismo;  ubicado en la sección nº 32 de la viga principal del puente.
 <div class="center" style="font-size: 75%;">'''Tabla 2'''. Resultados de las razones de amortiguamiento y las frecuencias identificadas

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 |-style="text-align:center"
 !  rowspan='2' style="vertical-align:top;"|Modo nº !!   colspan='2'  style="vertical-align:top;" |Magnitudes de referencia !!  Razón  de<br/> amortig. <math>\boldsymbol{\eta}</math> !! Frecuencia natural<br/><math>\boldsymbol{\omega}_n</math> [rad/s] !!   colspan='2'  |Intervalo de frecuencias<br/>en la identificación [rad/s]
-|-
+|-style="text-align:center"
 | Razón<br/>amortig. <math>\boldsymbol{\eta}</math>
-| Frecuencia <math>\boldsymbol{\omega}_n</math> [rad/s]
+| Frecuencia <br/> <math>\boldsymbol{\omega}_n</math> [rad/s]
 | Ruido ±15%
 | Ruido ±15%
 | Mín.
 | Máx.
-|-
+|-style="text-align:center"
 | 1
 | 0.0619
@@ Line 288: / Line 288: @@
 | 2.0
 | 12.5
-|-
+|-style="text-align:center"
 | 2
 | 0.0508
@@ Line 296: / Line 296: @@
 | 16.5
 | 31.5
-|-
+|-style="text-align:center"
 | 3
 | 0.1333
@@ Line 304: / Line 304: @@
 | 31.5
 | 44.5
-|-
+|-style="text-align:center"
 | 4
 | 0.0464

@@ Line 272: / Line 272: @@
 {| class="wikitable" style="margin: 1em auto 0.1em auto;border-collapse: collapse;font-size:85%;width:auto;"
 |-style="text-align:center"
-!  rowspan='2' |Modo nº !!   colspan='2'  |Magnitudes de referencia !!  Razón  de<br/> amortig. <math>\boldsymbol{\eta}</math> !! Frecuencia natural<br/><math>\boldsymbol{\omega}_n</math> [rad/s] !!   colspan='2'  |Intervalo de frecuencias<br/>en la identificación [rad/s]
+!  rowspan='2' style="vertical-align:top;"|Modo nº !!   colspan='2'  style="vertical-align:top;" |Magnitudes de referencia !!  Razón  de<br/> amortig. <math>\boldsymbol{\eta}</math> !! Frecuencia natural<br/><math>\boldsymbol{\omega}_n</math> [rad/s] !!   colspan='2'  |Intervalo de frecuencias<br/>en la identificación [rad/s]
 |-
-|  style="border: 1pt solid black;text-align: center;"|Razón<br/>amortig. <math>\boldsymbol{\eta}</math>
+| Razón<br/>amortig. <math>\boldsymbol{\eta}</math>
-|  style="border: 1pt solid black;text-align: center;"|Frecuencia <math>\boldsymbol{\omega}_n</math> [rad/s]
+| Frecuencia <math>\boldsymbol{\omega}_n</math> [rad/s]
-| style="border: 1pt solid black;text-align: center;"| Ruido ±15%
+| Ruido ±15%
-| style="border: 1pt solid black;text-align: center;"| Ruido ±15%
+| Ruido ±15%
-|  style="border: 1pt solid black;text-align: center;"|Mín.
+| Mín.
-|  style="border: 1pt solid black;text-align: center;"|Máx.
+| Máx.
 |-
-|  style="border: 1pt solid black;text-align: center;"|1
+| 1
-|  style="border: 1pt solid black;text-align: center;"|0.0619
+| 0.0619
-|  style="border: 1pt solid black;text-align: center;"|7.6654
+| 7.6654
-|  style="border: 1pt solid black;text-align: center;"|0.0662
+| 0.0662
-|  style="border: 1pt solid black;text-align: center;"|7.6588
+| 7.6588
-|  style="border: 1pt solid black;text-align: center;"|2.0
+| 2.0
-|  style="border: 1pt solid black;text-align: center;"|12.5
+| 12.5
 |-
-|  style="border: 1pt solid black;text-align: center;"|2
+| 2
-|  style="border: 1pt solid black;text-align: center;"|0.0508
+| 0.0508
-|  style="border: 1pt solid black;text-align: center;"|24.8401
+| 24.8401
-|  style="border: 1pt solid black;text-align: center;"|0.0522
+| 0.0522
-|  style="border: 1pt solid black;text-align: center;"|24.8751
+| 24.8751
-|  style="border: 1pt solid black;text-align: center;"|16.5
+| 16.5
-|  style="border: 1pt solid black;text-align: center;"|31.5
+| 31.5
 |-
-|  style="border: 1pt solid black;text-align: center;"|3
+| 3
-|  style="border: 1pt solid black;text-align: center;"|0.1333
+| 0.1333
-|  style="border: 1pt solid black;text-align: center;"|38.1779
+| 38.1779
-|  style="border: 1pt solid black;text-align: center;"|0.1554
+| 0.1554
-|  style="border: 1pt solid black;text-align: center;"|37.9200
+| 37.9200
-|  style="border: 1pt solid black;text-align: center;"|31.5
+| 31.5
-|  style="border: 1pt solid black;text-align: center;"|44.5
+| 44.5
 |-
-|  style="border: 1pt solid black;text-align: center;"|4
+| 4
-|  style="border: 1pt solid black;text-align: center;"|0.0464
+| 0.0464
-|  style="border: 1pt solid black;text-align: center;"|50.9901
+| 50.9901
-|  style="border: 1pt solid black;text-align: center;"|0.0450
+| 0.0450
-|  style="border: 1pt solid black;text-align: center;"|51.0251
+| 51.0251
-|  style="border: 1pt solid black;text-align: center;"|44.5
+| 44.5
-|  style="border: 1pt solid black;text-align: center;"|62.0
+| 62.0
 |}
-Con los resultados obtenidos, a continuación se simulan numéricamente la matriz [<math>\boldsymbol{\alpha} </math>] de FRF, para ilustrar el presente apartado se escoge una de sus componentes (Figura 4), y se aplica el procedimiento descrito en el Apartado 2.
+Con los resultados obtenidos, a continuación se simulan numéricamente la matriz [<math>\boldsymbol{\alpha} </math>] de FRF, para ilustrar el presente apartado se escoge una de sus componentes ([[#img-4|Figura 4]]), y se aplica el procedimiento descrito en el Apartado 2.
-Con todo ello se observa que se alcanzan plenamente los resultados teóricos de referencia (Tabla 1): razones de amortiguamiento y frecuencias naturales.
+Con todo ello se observa que se alcanzan plenamente los resultados teóricos de referencia ([[#tab-1|Tabla 1]]): razones de amortiguamiento y frecuencias naturales.
 {| style="text-align: center; border: 1px solid #BBB; margin: 1em auto; width: auto%;max-width: auto;"
@@ Line 327: / Line 327: @@
-Finalmente, para validar el ejemplo numérico, se introduce en la FRF de estudio un ruido blanco artificial de magnitud ±15%, obteniéndose los resultados que se muestran en la Tabla 1.  Obsérvese que las diferencias en el modo número 3, se deben a que su contribución a la respuesta es mucho menor (Figura 4).
+Finalmente, para validar el ejemplo numérico, se introduce en la FRF de estudio un ruido blanco artificial de magnitud ±15%, obteniéndose los resultados que se muestran en la Tabla 1.  Obsérvese que las diferencias en el modo número 3, se deben a que su contribución a la respuesta es mucho menor ([[#img-4|Figura 4]]).
 ==4.  Características del puente analizado==

@@ Line 45: / Line 45: @@
 Este último puede inducir a error, ya que la histéresis es una propiedad de todos los sistemas estructurales, y por ende, de sus materiales constituyentes, que disipan energía.
-Las cargas alternativas producen un cierto retardo entre las deformaciones y las cargas, por lo que la representación gráfica de los esfuerzos frente a las deformaciones adopta la forma indicada en la Figura 1, denominada ciclo de histéresis.
+Las cargas alternativas producen un cierto retardo entre las deformaciones y las cargas, por lo que la representación gráfica de los esfuerzos frente a las deformaciones adopta la forma indicada en la [[#img-1|Figura 1]], denominada ciclo de histéresis.
+<div id='img-1'></div>
 {| style="text-align: center; border: 1px solid #BBB; margin: 1em auto; width: 40%;"
 |-
@@ Line 65: / Line 65: @@
 En otro orden de cosas, es sobradamente conocido que en un sistema de varios grados de libertad (en adelante g.d.l.), su comportamiento puede ser descrito como la suma de las contribuciones de varios sistemas independientes de un g.d.l., para cada uno de sus modos de vibración, con lo que la energía disipada en total sería la suma de la correspondiente a cada uno de sus modos de oscilación.
-Si a continuación se incrementa la magnitud de la solicitación externa, manteniéndose bajas las frecuencias de excitación, la curva se modifica de la forma siguiente (Figura 2).
+Si a continuación se incrementa la magnitud de la solicitación externa, manteniéndose bajas las frecuencias de excitación, la curva se modifica de la forma siguiente ([[#img-2|Figura 2]]).
+<div id='img-2'></div>
 {| style="text-align: center; border: 1px solid #BBB; margin: 1em auto; width: 45%;"
 |-
@@ Line 147: / Line 147: @@
-Evidentemente, como ya se ha citado más arriba, estos complementos residuales no son constantes, son funciones que dependen de dos variables; siendo, <math>d</math> el desplazamiento horizontal de los <math>CR</math> a lo largo del eje de frecuencias (para los modos altos y bajos) y,  <math>\bar{A}_{CR}</math> el valor de pico del complemento residual, también (Figura 3) para los modos altos y bajos (la designación de móviles para estos complementos virtuales, hace referencia a que el valor de todas estas variables se ajusta durante el proceso iterativo de optimización).
+Evidentemente, como ya se ha citado más arriba, estos complementos residuales no son constantes, son funciones que dependen de dos variables; siendo, <math>d</math> el desplazamiento horizontal de los <math>CR</math> a lo largo del eje de frecuencias (para los modos altos y bajos) y,  <math>\bar{A}_{CR}</math> el valor de pico del complemento residual, también ([[#img-3|Figura 3]]) para los modos altos y bajos (la designación de móviles para estos complementos virtuales, hace referencia a que el valor de todas estas variables se ajusta durante el proceso iterativo de optimización).
+<div id='img-3'></div>
 {| style="text-align: center; border: 1px solid #BBB; margin: 1em auto; width: auto%;max-width: auto;"
 |-
@@ Line 264: / Line 264: @@
-Con el citado programa Matlab de cálculo numérico, se resuelve el problema directo para obtener los autovectores y autovalores (modos de vibración, frecuencias naturales y razones de amortiguamiento respectivamente), que posteriormente  -estas dos últimas-  sirven de referencia en el proceso de optimización para comprobar la bondad del resultado obtenido (Tabla 1).
+Con el citado programa Matlab de cálculo numérico, se resuelve el problema directo para obtener los autovectores y autovalores (modos de vibración, frecuencias naturales y razones de amortiguamiento respectivamente), que posteriormente  -estas dos últimas-  sirven de referencia en el proceso de optimización para comprobar la bondad del resultado obtenido ([[#tab-1|Tabla 1]]).
 <div class="center" style="font-size: 75%;">'''Tabla 1'''. Resultados de las razones de amortiguamiento y las frecuencias identificadas
 </div>
-{| style="width: 76%;margin: 1em auto 0.1em auto;border-collapse: collapse;font-size:85%;"
+<div id='tab-1'></div>
 |-
-|  rowspan='2' style="border: 1pt solid black;text-align: center;vertical-align:top;"|'''Modo nº'''
+|  style="border: 1pt solid black;text-align: center;"|Razón<br/>amortig. <math>\boldsymbol{\eta}</math>
-|  colspan='2'  style="border: 1pt solid black;text-align: center;vertical-align:top;"|'''Magnitudes de referencia'''
+|  style="border: 1pt solid black;text-align: center;"|Frecuencia <math>\boldsymbol{\omega}_n</math> [rad/s]
-−
-|  rowspan='1' style="border: 1pt solid black;text-align: center;vertical-align:top;"|'''Razón  de'''
-−
-'''amortig.''' <math>\boldsymbol{\eta}</math>
-|  rowspan='1' style="border: 1pt solid black;text-align: center;vertical-align:top;"|'''Frecuencia natural'''
-−
-<math>\boldsymbol{\omega}_n</math> [rad/s]
-|  colspan='2'  style="border: 1pt solid black;text-align: center;vertical-align:top;"|'''Intervalo de frecuencias'''
-−
-'''en la identificación''' [rad/s]
-|-
-|  style="border: 1pt solid black;text-align: center;"|Razón
-−
 amortig. <math>\boldsymbol{\eta}</math>
 |  style="border: 1pt solid black;text-align: center;"|Frecuencia
-−
 <math>\boldsymbol{\omega}_n</math> [rad/s]
 | style="border: 1pt solid black;text-align: center;"| Ruido ±15%
 | style="border: 1pt solid black;text-align: center;"| Ruido ±15%

@@ Line 170: / Line 170: @@
-Por consiguiente, dado que en la expresión de la receptancia <math>\boldsymbol{\alpha}_{jk}</math> el numerador y el denominador tienen parte real e imaginaria;  una vez que se racionaliza la fracción se hace ineludible separar ambas partes real y compleja en el numerador, con el fin de realizar las estimaciones de las mismas por separado, ya que los programas de optimización comerciales no funcionan con magnitudes imaginarias, solo reales.  Después de realizar varias operaciones se llega a [9]
+Por consiguiente, dado que en la expresión de la receptancia <math>{\alpha}_{jk}</math> el numerador y el denominador tienen parte real e imaginaria;  una vez que se racionaliza la fracción se hace ineludible separar ambas partes real y compleja en el numerador, con el fin de realizar las estimaciones de las mismas por separado, ya que los programas de optimización comerciales no funcionan con magnitudes imaginarias, solo reales.  Después de realizar varias operaciones se llega a [9]
 {| class="formulaSCP" style="width: 100%; text-align: center;"
@@ Line 233: / Line 233: @@
-donde: <math>{\bf n}</math> es el número de muestras o de puntos en los que se ha medido la respuesta, <math>{\bf d}_R</math> y <math>{\bf d}_I</math>  son la magnitud de la misma (son datos: ordenadas de las FRF), y  <math>\boldsymbol{\alpha}_{R\, i}</math>, <math>\boldsymbol{\alpha}_{I\, i}</math> la estimación, respectivamente, de la parte real e imaginaria del intervalo de la receptancia <math>\boldsymbol{\alpha}_{jk} (\boldsymbol{\omega} \,\boldsymbol{\omega}_r) </math> considerada (ec.(5)).
+donde <math>{n}</math> es el número de muestras o de puntos en los que se ha medido la respuesta, <math>{d}_R</math> y <math>{d}_I</math>  son la magnitud de la misma (son datos: ordenadas de las FRF), y  <math>{\alpha}_{R\, i}</math>, <math>{\alpha}_{I\, i}</math> la estimación, respectivamente, de la parte real e imaginaria del intervalo de la receptancia <math>{\alpha}_{jk} ({\omega} \,{\omega}_r) </math> considerada (ec.(5)).
 Este trabajo se ha resuelto empleando el lenguaje de programación para optimización GAMS por la familiaridad del autor con el mismo.  Pero existen otros paquetes comerciales de características similares en el mercado, como el AMPL y el AIMS;  en principio todos ellos serían válidos para el fin propuesto.

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(No difference)

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 ==3.  Validación sobre modelo numérico==
-En este apartado se muestran el análisis y resultados de la aplicación del procedimiento descrito en el apartado 2 sobre un modelo numérico simulado en ordenador;  para ello,  se ha escogido para esta muestra un modelo de edificio simple de 4 g.d.l. (caso de amortiguamiento histerético general) cuyas matrices de masa ['''M'''] y rigidez ['''K'''] + i ['''H'''], son las siguientes
+En este apartado se muestran el análisis y resultados de la aplicación del procedimiento descrito en el apartado 2 sobre un modelo numérico simulado en ordenador;  para ello,  se ha escogido para esta muestra un modelo de edificio simple de 4 g.d.l. (caso de amortiguamiento histerético general) cuyas matrices de masa <math>[{\bf M}]</math> y rigidez <math>[{\bf K}] + i [{\bf H}]</math>, son las siguientes
 {| class="formulaSCP" style="width: 100%; text-align: center;"
@@ Line 248: / Line 248: @@
 {| style="text-align: center; margin:auto;"
 |-
-| style="text-align: center;"| <math>[M]=\left[\begin{array}{cccc} {1.0} & {0} & {0} & {0} \\ {0} & {1.5} & {0} & {0} \\ {0} & {0} & {2.0} & {0} \\ {0} & {0} & {0} & {2.5} \end{array}\right]\; [kg]</math>
+| style="text-align: center;"| <math>[{\bf M}]=\left[\begin{array}{cccc} {1.0} & {0} & {0} & {0} \\ {0} & {1.5} & {0} & {0} \\ {0} & {0} & {2.0} & {0} \\ {0} & {0} & {0} & {2.5} \end{array}\right]\; [kg]</math>
 |}
 | style="width: 5px;text-align: right;white-space: nowrap;" | (11)
@@ Line 258: / Line 258: @@
 {| style="text-align: center; margin:auto;"
 |-
-| style="text-align: center;"| <math>[K]+i\; [H]=\; 10\wedge 3\; \left[\begin{array}{cccc} {1.0} & {0} & {0} & {0} \\ {0} & {1.5} & {0} & {0} \\ {0} & {0} & {2.0} & {0} \\ {0} & {0} & {0} & {2.5} \end{array}\right]\; +\; i\; \left[\begin{array}{cccc} {0} & {0} & {0} & {0} \\ {0} & {300} & {-300} & {0} \\ {0} & {-300} & {300} & {0} \\ {0} & {0} & {0} & {0} \end{array}\right]\; [N/m]</math>
+| style="text-align: center;"| <math>[{\bf K}]+i\; [{\bf H}]=\; 10\wedge 3\; \left[\begin{array}{cccc} {1.0} & {0} & {0} & {0} \\ {0} & {1.5} & {0} & {0} \\ {0} & {0} & {2.0} & {0} \\ {0} & {0} & {0} & {2.5} \end{array}\right]\; +\; i\; \left[\begin{array}{cccc} {0} & {0} & {0} & {0} \\ {0} & {300} & {-300} & {0} \\ {0} & {-300} & {300} & {0} \\ {0} & {0} & {0} & {0} \end{array}\right]\; [N/m]</math>
 |}
 | style="width: 5px;text-align: right;white-space: nowrap;" | (12)

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-El modelo modal está constituido por ''N'' autovalores complejos  <math>\lambda _{r}^{2}</math>, ''N'' razones de amortiguamiento  <math>\eta _{r}</math> y ''N'' autovectores también complejos  <math>\left\{\Phi _{r} \right\}</math> (en el caso de normalización, de estos últimos, respecto de la matriz de masa).  Siendo [1]
+El modelo modal está constituido por <math>N</math> autovalores complejos  <math>\lambda _{r}^{2}</math>, <math>N</math> razones de amortiguamiento  <math>\eta _{r}</math> y ''N'' autovectores también complejos  <math>\left\{\Phi _{r} \right\}</math> (en el caso de normalización, de estos últimos, respecto de la matriz de masa).  Siendo [1]
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-Además, <math>{}_{r} \bar{A}_{jk}</math> representa el residuo y la <math>\boldsymbol{\omega}_{r} </math> frecuencia natural, ambas para el modo <math>\textbf{r}</math>, siendo <math>\textbf{i}</math> la unidad imaginaria.
+Además, <math>{}_{r} \bar{A}_{jk}</math> representa el residuo y la <math>{\omega}_{r} </math> frecuencia natural, ambas para el modo <math>{r}</math>, siendo <math>{i}</math> la unidad imaginaria.
 En la representación gráfica de las mismas, se definen los intervalos que se identifican manualmente (picos de las curvas), en donde se encuentran cada uno de los modos en los que se quiere estimar la razón de amortiguamiento.
-En las proximidades de una resonancia <math>\boldsymbol{\omega}_{r} </math>, la magnitud resultante de la ecuación (1) está principalmente influida por el modo ''r''.  Por tanto la ecuación anterior se puede aproximar por
+En las proximidades de una resonancia <math>{\omega}_{r} </math>, la magnitud resultante de la ecuación (1) está principalmente influida por el modo <math>r</math>.  Por tanto la ecuación anterior se puede aproximar por
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