Soule Hernandez-Vela 2023a - Revision history

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	Con el objetivo de describir el riesgo de fallecimiento por COVID-19, en cada municipio del país, se ajustaron 15 modelos de RLM. Estos 15 modelos consideran a los 5 grupos de municipios construidos a partir del número de habitantes en cada municipio, así como las 3 olas de la pandemia (ver Figura [[#img-3\|3]]). Adicionalmente, para identificar a las variables socioeconómicas que pudieran tener mayor relevancia para describir el riesgo de fallecimiento, también se realizó una selección de variables. La estrategia fue la de selección hacia adelante y hacia atrás, buscando la combinación de variables que minimizará el criterio de información de Akaike (AIC). Los resultados se muestran en la Tabla [[#table-2\|2]] para la primera ola, Tabla [[#table-3\|3]] segunda ola y Tabla [[#table-4\|4]] para la tercera ola.		Con el objetivo de describir el riesgo de fallecimiento por COVID-19, en cada municipio del país, se ajustaron 15 modelos de RLM. Estos 15 modelos consideran a los 5 grupos de municipios construidos a partir del número de habitantes en cada municipio, así como las 3 olas de la pandemia (ver Figura [[#img-3\|3]]). Adicionalmente, para identificar a las variables socioeconómicas que pudieran tener mayor relevancia para describir el riesgo de fallecimiento, también se realizó una selección de variables. La estrategia fue la de selección hacia adelante y hacia atrás, buscando la combinación de variables que minimizará el criterio de información de Akaike (AIC). Los resultados se muestran en la Tabla [[#table-2\|2]] para la primera ola, Tabla [[#table-3\|3]] segunda ola y Tabla [[#table-4\|4]] para la tercera ola.
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	Con el objetivo de describir el riesgo de fallecimiento por COVID-19, en cada municipio del país, se ajustaron 15 modelos de RLM. Estos 15 modelos consideran a los 5 grupos de municipios construidos a partir del número de habitantes en cada municipio, así como las 3 olas de la pandemia (ver Figura [[#img-3\|3]]). Adicionalmente, para identificar a las variables socioeconómicas que pudieran tener mayor relevancia para describir el riesgo de fallecimiento, también se realizó una selección de variables. La estrategia fue la de selección hacia adelante y hacia atrás, buscando la combinación de variables que minimizará el criterio de información de Akaike (AIC). Los resultados se muestran en la Tabla [[#table-2\|2]] para la primera ola, Tabla [[#table-3\|3]] segunda ola y Tabla [[#table-4\|4]] para la tercera ola.		Con el objetivo de describir el riesgo de fallecimiento por COVID-19, en cada municipio del país, se ajustaron 15 modelos de RLM. Estos 15 modelos consideran a los 5 grupos de municipios construidos a partir del número de habitantes en cada municipio, así como las 3 olas de la pandemia (ver Figura [[#img-3\|3]]). Adicionalmente, para identificar a las variables socioeconómicas que pudieran tener mayor relevancia para describir el riesgo de fallecimiento, también se realizó una selección de variables. La estrategia fue la de selección hacia adelante y hacia atrás, buscando la combinación de variables que minimizará el criterio de información de Akaike (AIC). Los resultados se muestran en la Tabla [[#table-2\|2]] para la primera ola, Tabla [[#table-3\|3]] segunda ola y Tabla [[#table-4\|4]] para la tercera ola.
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-En las tres olas, es posible identificar que el riesgo de mortalidad por COVID&#8211;19
+En las tres olas, es posible identificar que el riesgo de mortalidad por COVID&#8211;19:
 * Disminuye en municipios con mayor grado de escolaridad. (Ver Figura [[#img-4|4]])
 * Aumenta en municipios con población ocupada con ingresos de hasta 2 salarios mínimos. (Ver Figura [[#img-5|5]])

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 ==5 Factores socioeconómicos==
-En la sección anterior, se describe el esfuerzo realizado para lograr que el tamaño de la población de los municipios no tenga impacto en las conclusiones que se pudieran obtener. Con el mismo objetivo, se construyen las variables socioeconómicas que se incluirán en nuestros modelos de RLM.
+En la sección anterior, se describe el esfuerzo realizado para lograr que el tamaño de la población de los municipios no tenga impacto en las conclusiones que se pudieran obtener. Con el mismo objetivo, se construyen las variables socioeconómicas que se incluirían en nuestros modelos de RLM.
 De manera general, para construir las variables independientes, primero se extrajeron los subtotales a nivel municipal del Censo, a continuación se calculó la proporción de cada una y se multiplicó por cien para tener porcentajes. Por ejemplo, para obtener el porcentaje de analfabetas por municipio, primero, se tomó la población total de 15 años o más analfabeta, segundo, se dividió entre la población total de 15 años o más y finalmente se multiplicó por cien. Se hizo algo similar para la población económicamente activa, la población sin seguridad social, etc. En otros casos, cuando era claro que no habría impacto del tamaño de la población de los municipios, simplemente se tomó el sub-total a nivel municipal directamente de la base de datos del Censo: grado promedio de escolaridad, promedio de hijos nacidos vivos, promedio de ocupantes en viviendas particulares habitadas, etc. Las variables socioeconómicas construidas a partir de variables del Censo, junto con sus nombres mnemotécnicos, consideradas en el análisis se describen en la Tabla [[#table-1|1]] (18 variables).
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 | style="border-left: 2px solid;" |  10) % Ocupantes en viviendas particulares sin agua entubada (SAE)
 | 11) % Ocupantes en viviendas particulares con piso de tierra (VPT)
-| 12)% Viviendas particulares con hacinamiento (VHAC)
+| 12) % Viviendas particulares con hacinamiento (VHAC)
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 | style="border-left: 2px solid;" |  13) % Población en localidades con menos de 5000 habitantes (P5000)

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 ===2.2 Comparación de modelos===
-Es sencillo definir una medida del error en la estimación, esta es simplemente la suma del cuadrado de los errores en la estimación, i.e. <math display="inline">\sum _{i=1}^n (y_i - \hat{y}_i)^2</math>. También se puede demostrar que la varianza de la variable dependiente, se divide en la cantidad de variabilidad en las observaciones explicada por el modelo de regresión, más el error en la estimación, i.e.
+Es sencillo definir una medida del error en la estimación, ésta es simplemente la suma del cuadrado de los errores en la estimación, i.e. <math display="inline">\sum _{i=1}^n (y_i - \hat{y}_i)^2</math>. También se puede demostrar que la varianza de la variable dependiente, se divide en la cantidad de variabilidad en las observaciones explicada por el modelo de regresión, más el error en la estimación, i.e.
 {| class="formulaSCP" style="width: 100%; text-align: left;"
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-que indica la proporción de la varianza de los datos, efectivamente explicada por el modelo. La <math display="inline">R^2</math> muy bien podría usarse para comparar modelos de RLM, sin embargo, en el caso de modelos anidados (modelos donde las variables independientes de un modelo son un subconjunto de las variables independientes de otro modelo) es fácil verificar que modelos con un mayor número de variables siempre producen mayores valores de <math display="inline">R^2</math>. Por lo que la <math display="inline">R^2</math> no es una estadística recomendable para comparar modelos, obviamente lo que se busca es un modelo con el menor número de variables y que describe bien los datos. Estos modelos son más fáciles de interpretar, manejar y mantener.
+que indica la proporción de la varianza de los datos, efectivamente explicada por el modelo. La <math display="inline">R^2</math> muy bien podría usarse para comparar modelos de RLM, sin embargo en el caso de modelos anidados (modelos donde las variables independientes de un modelo son un subconjunto de las variables independientes de otro modelo) es fácil verificar que modelos con un mayor número de variables siempre producen mayores valores de <math display="inline">R^2</math>, por lo que la <math display="inline">R^2</math> no es una estadística recomendable para comparar modelos, obviamente lo que se busca es un modelo con el menor número de variables y que describa bien los datos. Estos modelos son más fáciles de interpretar, manejar y mantener.
 Para resolver el problema con la <math display="inline">R^2</math>, una alternativa es comparar modelos usando el criterio de información de Akaike (AIC), <span id='citeF-8'></span>[[#cite-8|[8]]]. El AIC se basa en el cálculo de la estadística
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 en donde la parte izquierda es una medida de falta de ajuste del modelo, <math display="inline">n</math> es el número de observaciones  y <math display="inline">2k</math> es una penalización por el número de variables independientes que se incluyen en el modelo. Al comparar modelos, se prefieren modelos con menor AIC.
-La manera obvia para elegir el mejor modelo es hacer todas las regresiones posibles (todas las posibles combinaciones de variables independientes) y para cada regresión calcular el <math display="inline">AIC</math>. Sin embargo, el número de regresiones posibles con <math display="inline">k</math> variables independientes es <math display="inline">2^k</math>. Si tenemos <math display="inline">20</math> variables independientes sería necesario ajustar <math display="inline">2^{20}=1,048,576</math> modelos, lo que quizá sea factible pero sería computacional-mente muy demandante. Sin embargo, si se tienen 30 variables, el número de modelos a considerar es de <math display="inline">2^{30}=1,073,741,824</math>, lo que ya no es viable. Por lo anterior, las estrategias más utilizadas para seleccionar variables son los métodos de selección '''paso a paso'''. Estas estrategias consisten en agregar o eliminar una variable cada vez, comparando el modelo actual con el siguiente basándonos en el AIC (aunque podrían usarse otros criterios). Este tipo de métodos tiene 3 posibilidades:
+La manera obvia para elegir el mejor modelo es hacer todas las regresiones posibles (todas las posibles combinaciones de variables independientes) y para cada regresión calcular el <math display="inline">AIC</math>. Sin embargo, el número de regresiones posibles con <math display="inline">k</math> variables independientes es <math display="inline">2^k</math>. Si tenemos <math display="inline">20</math> variables independientes sería necesario ajustar <math display="inline">2^{20}=1,048,576</math> modelos, lo que quizá sea factible pero sería computacionalmente muy demandante. Sin embargo, si se tienen 30 variables, el número de modelos a considerar es de <math display="inline">2^{30}=1,073,741,824</math>, lo que ya no es viable. Por lo anterior, las estrategias más utilizadas para seleccionar variables son los métodos de selección '''paso a paso'''. Estas estrategias consisten en agregar o eliminar una variable cada vez, comparando el modelo actual con el siguiente basándonos en el AIC (aunque podrían usarse otros criterios). Este tipo de métodos tiene 3 posibilidades:
 '''Forward:''' Selecciona paso a paso hacia adelante. Empieza con el modelo más simple y va agregando una a una las variables hasta que el modelo deje de mejorar.     '''Backward:''' Selecciona paso a paso hacia atrás. Empieza con el modelo que incluye a todas las variables y elimina una a una, hasta que el modelo deje de mejorar.     '''Both:''' Selecciona paso a paso en ambas direcciones. Es una combinación de los dos métodos anteriores.

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 en donde <math display="inline">\boldsymbol{\varepsilon }_{n\times{1}}</math> es un vector aleatorio, es decir, sus elementos <math display="inline">\varepsilon _i</math> son variables aleatorias. El vector <math display="inline">\boldsymbol{\beta }_{(k+1)\times 1}</math> representa los coeficientes de regresión y son parámetros que se asumen como constantes desconocidas. Cada elemento <math display="inline">\beta _j</math> de <math display="inline">\boldsymbol{\beta }</math> es un coeficiente parcial de regresión que refleja el cambio en la variable dependiente <math display="inline">\mathbf{Y}</math> por unidad en la variable independiente <math display="inline">X_j</math>. Cabe mencionar que en términos generales, la columna de unos dentro de nuestro conjunto de variables independientes, no se considera una variable independiente en el sentido tradicional, ya que no representa una característica específica del conjunto de datos original. Sin embargo, en el contexto del modelo de regresión lineal, se le trata como una variable adicional que permite al modelo ajustar la ordenada al origen. Por lo tanto, aunque no es una variable en el sentido típico, se incluye en la matriz de variables independientes para facilitar el ajuste del modelo.
-Los supuestos básicos de la RLM se centran en el vector aleatorio <math display="inline">\boldsymbol{\varepsilon }</math>, conocido como el vector de errores del modelo. Los supuestos son:  1) la esperanza de los errores, <math display="inline">\varepsilon _i</math>, es cero, su 2) varianza es constante (<math display="inline">\sigma ^2</math>) y 3) los errores son independientes entre sí. Adicionalmente, se tiene un supuesto distribucional que nos permitirá realizar pruebas de bondad de ajuste del modelo de RLM, i.e. pruebas estadísticas  para determinar que tan bien describe el modelo a la variable dependiente.  El supuesto distribucional es 4) el error <math display="inline">\varepsilon _i</math> sigue una distribución normal con media cero y varianza <math display="inline">\sigma ^2</math>. Considerando los supuestos básicos y que se conoce de antemano la matriz de variables independientes <math display="inline">\mathbf{X}</math>, es fácil observar que la relación media entre la variable dependiente e independientes esta dada por <math display="inline">\mathbb{E}(\mathbf{Y}|\mathbf{X}) = \mathbf{X}\boldsymbol{\beta }</math>.
+Los supuestos básicos de la RLM se centran en el vector aleatorio <math display="inline">\boldsymbol{\varepsilon }</math>, conocido como el vector de errores del modelo. Los supuestos son:  1) la esperanza de los errores, <math display="inline">\varepsilon _i</math>, es cero, 2) su varianza es constante (<math display="inline">\sigma ^2</math>) y 3) los errores son independientes entre sí. Adicionalmente, se tiene un supuesto distribucional que nos permitirá realizar pruebas de bondad de ajuste del modelo de RLM, i.e. pruebas estadísticas  para determinar que tan bien describe el modelo a la variable dependiente.  El supuesto distribucional 4) es el error <math display="inline">\varepsilon _i</math> que sigue una distribución normal con media cero y varianza <math display="inline">\sigma ^2</math>. Considerando los supuestos básicos y que se conoce de antemano la matriz de variables independientes <math display="inline">\mathbf{X}</math>, es fácil observar que la relación media entre la variable dependiente e independientes está dada por <math display="inline">\mathbb{E}(\mathbf{Y}|\mathbf{X}) = \mathbf{X}\boldsymbol{\beta }</math>.
 ===2.1 Estimación===
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-Multiplican ambos lados de la ecuación [[#eq-3|(3)]], por la inversa de <math display="inline">\mathbf{X}'\mathbf{X}</math>, se obtiene el estimador para <math display="inline">\boldsymbol{\hat{\beta }}</math> por mínimos cuadrados:
+Multiplicando ambos lados de la ecuación [[#eq-3|(3)]], por la inversa de <math display="inline">\mathbf{X}'\mathbf{X}</math>, se obtiene el estimador para <math display="inline">\boldsymbol{\hat{\beta }}</math> por mínimos cuadrados:
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 Los primeros casos de la enfermedad COVID-19 en México, se detectaron a finales de febrero de 2020 desencadenando un brote de contagios que aumentó drásticamente a medida que la pandemia avanzaba, <span id='citeF-1'></span>[[#cite-1|[1]]]. Es crucial tener en cuenta que nunca se pudo conocer el número real de personas infectadas, esto debido tanto a portadores asintomáticos, como a la falta de registro de enfermos que no asistieron a clínicas, centros de salud u hospitales<span id='citeF-2'></span>[[#cite-2|[2]]] en busca de atención médica.
-Es importante observar que el acceso a servicios de calidad en salud, educación, empleo y vivienda depende en gran medida del nivel socioeconómico de las personas. Estudios realizados en México han proporcionado evidencia concluyente de que la mayor concentración de patologías complejas y exceso de mortalidad se encuentra en las regiones o grupos donde prevalecen elevados niveles de marginación y exclusión social <span id='citeF-3'></span>[[#cite-3|[3]]]. En todo el territorio mexicano, se observan notables contrastes entre distintas zonas geográficas, grupos étnicos y estratos socioeconómicos. Dada la relación entre estas disparidades y el alto índice de contagios y muertes causadas por las condiciones de salud predominantes, que a menudo facilitan la transmisión del virus en personas con comorbilidades, es esencial analizar el impacto de la pandemia desde una perspectiva que englobe tanto los aspectos sociales, económicos y médicos.
+Es importante observar que el acceso a servicios de calidad en salud, educación, empleo y vivienda depende en gran medida del nivel socioeconómico de las personas. Estudios realizados en México han proporcionado evidencia concluyente de que la mayor concentración de patologías complejas y exceso de mortalidad se encuentra en las regiones o grupos donde prevalecen elevados niveles de marginación y exclusión social <span id='citeF-3'></span>[[#cite-3|[3]]]. En todo el territorio mexicano, se observan notables contrastes entre distintas zonas geográficas, grupos étnicos y estratos socioeconómicos. Dada la relación entre estas disparidades y el alto índice de contagios y muertes causadas por las condiciones de salud predominantes, que a menudo facilitan la transmisión del virus en personas con comorbilidades, es esencial analizar el impacto de la pandemia desde una perspectiva que englobe tanto los aspectos sociales como los económicos y los médicos.
-El objetivo de este estudio es identificar factores socio-económicos que pudiera tener influencia en el riesgo de mortalidad por COVID-19. Lo anterior a un nivel de desagregación geográfica municipal. Para alcanzar esta meta, se utiliza la teoría de regresión múltiple, en donde se busca modelar el riesgo de mortalidad por COVID-19 como función lineal de muchas variables socioeconómicas. En este caso, la etapa clave será la selección de variables.
+El objetivo de este estudio es identificar factores socioeconómicos que pudieran tener influencia en el riesgo de mortalidad por COVID-19. Lo anterior a un nivel de desagregación geográfica municipal. Para alcanzar esta meta, se utiliza la teoría de regresión múltiple, en donde se busca modelar el riesgo de mortalidad por COVID-19 como función lineal de muchas variables socioeconómicas. En este caso, la etapa clave sería la selección de variables.
 El artículo se organiza de la siguiente manera, en la Sección [[#3 Modelo de regresión|3]] se da un breve resumen de la teoría de regresión múltiple. Las fuentes de información utilizadas, así como la manera en la que se construyó la variable dependiente para el modelo de regresión múltiple, se describen en la Sección [[#4 Los Datos|4]]. En la Sección [[#5 Número de habitantes en los municipios de México|5]], se identifica que el tamaño de la población en los municipios de México es muy heterogéneo y se presenta una solución para que esto no afecte el ajuste de los modelos de regresión. La Sección [[#6 Factores socioeconómicos|6]], presenta la forma en la que se construyeron las variables que nos permitirán incluir los factores socioeconómicos en el modelo y en la Sección [[#8 Ajuste de modelos y selección de variables|8]] se presenta el ajuste de los modelos, así como las variables que contribuyen a explicar el riesgo de mortalidad. Finalmente, en la Sección [[#9 Conclusiones|9]] se presentan las conclusiones.

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-Esto nos ayudará a que las conclusiones del análisis, para los municipios del mismo tamaño, sean comparables entre las tres olas de la pandemia. Además, podremos identificar diferencias entre municipios con distinta densidad poblacional.
+Esto nos ayudará a que las conclusiones del análisis, para los municipios del mismo tamaño, sean comparables entre las tres olas de la pandemia. Además, podremos identificar las variables significativas específicas en cada grupo poblacional.
 ==5 Factores socioeconómicos==