Rosas et al 2017a - Revision history

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 {| style="text-align: left; margin:auto;width: 100%;"
 |-
-| style="text-align: center;" | <math>\begin{array}{ll}U_{\mbox{σ}}= & \displaystyle \frac{1}{2}\int_0^L{}^tP\left[{\left(\frac{d\mbox{Δ}u}{dx}\right)}^2+ {\left(\frac{d\mbox{Δ}v}{dx}\right)}^2+\frac{I}{A}{\left(\frac{d^2\mbox{Δ}v}{dx^2}\right)}^2\right]\mbox{ }\mbox{ }dx\\
+| style="text-align: center;" | <math>U_{\mbox{σ}}=\displaystyle \frac{1}{2}\int_0^L{}^tP\left[{\left(\frac{d\mbox{Δ}u}{dx}\right)}^2+ {\left(\frac{d\mbox{Δ}v}{dx}\right)}^2+\frac{I}{A}{\left(\frac{d^2\mbox{Δ}v}{dx^2}\right)}^2\right]\mbox{ }\mbox{ }dx</math>
-& \displaystyle +\frac{1}{2}\int_0^L\left[{}^tM\frac{d\mbox{Δ}u}{dx}\frac{d^2\mbox{Δ}v}{dx^2}\right]\mbox{ }\mbox{ }dx+\frac{1}{2}\int_0^L\left[{}^tQ\frac{d\mbox{Δ}u}{dx}\frac{d\mbox{Δ}v}{dx}\right]\mbox{ }\mbox{ }dx\end{array} </math>
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 |}
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−	~~Accep.: 06/06/2017~~

	==Abstract==		==Abstract==

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-Realizou-se também a análise transiente do pórtico considerando um carregamento harmônico <math display="inline">F=A \mbox{sen} (\omega t)</math>, onde <math display="inline">A</math> corresponde a aceleração da gravidade (9.807 m/s<math display="inline">^2</math>) e <math display="inline">\omega</math> representa a primeira frequência natural do sistema (4.654 Hz). A Figura 9 apresenta a resposta transiente, considerando os deslocamentos no nó <math display="inline">a</math>. O incremento de tempo utilizado foi de 10<math display="inline">^{-3}</math>. É possível observar como o segundo parâmetro da fundação elástica (<math display="inline">k_2</math>) influencia na resposta. Quanto maior o valor de <math display="inline">k_2</math>, o sistema torna-se mais rígido e causa menores amplitudes de deslocamentos, sem alterar significativamente os períodos de vibração.
+Realizou-se também a análise transiente do pórtico considerando um carregamento harmônico <math display="inline">F=A \,\mbox{sen} (\omega t),</math> onde <math display="inline">A</math> corresponde a aceleração da gravidade (9.807 m/s<math display="inline">^2</math>) e <math display="inline">\omega</math> representa a primeira frequência natural do sistema (4.654 Hz). A Figura 9 apresenta a resposta transiente, considerando os deslocamentos no nó <math display="inline">a</math>. O incremento de tempo utilizado foi de 10<math display="inline">^{-3}</math>. É possível observar como o segundo parâmetro da fundação elástica (<math display="inline">k_2</math>) influencia na resposta. Quanto maior o valor de <math display="inline">k_2</math>, o sistema torna-se mais rígido e causa menores amplitudes de deslocamentos, sem alterar significativamente os períodos de vibração.
 {| style="text-align: center; border: 1px solid #BBB; margin: 1em auto; width: auto;max-width: auto;"
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 | style=" padding:10px;"|[[Image:draft_Samper_586618386-image61.png|450px]]
 |- style="text-align: center; font-size: 75%;"
-| colspan="1" style="padding:10px;" | '''Figura 9'''. Resposta transiente não linear para diferentes valores de k<sub>2</sub>.
+| colspan="1" style="padding:10px;" | '''Figura 9'''. Resposta transiente não linear para diferentes valores de <math display="inline">k_2</math>.
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-Realizou-se também a análise transiente do pórtico considerando um carregamento harmônico <math display="inline">F=A \mbox{sen} (\ometa t)</math>, onde <math display="inline">A</math> corresponde a aceleração da gravidade (9.807 m/s<math display="inline">^2</math>) e <math display="inline">\omega</math> representa a primeira frequência natural do sistema (4.654 Hz). A Figura 9 apresenta a resposta transiente, considerando os deslocamentos no nó <math display="inline">a</math>. O incremento de tempo utilizado foi de 10<math display="inline">^{-3}</math>. É possível observar como o segundo parâmetro da fundação elástica (<math display="inline">k_2</math>) influencia na resposta. Quanto maior o valor de <math display="inline">k_2</math>, o sistema torna-se mais rígido e causa menores amplitudes de deslocamentos, sem alterar significativamente os períodos de vibração.
+Realizou-se também a análise transiente do pórtico considerando um carregamento harmônico <math display="inline">F=A \mbox{sen} (\omega t)</math>, onde <math display="inline">A</math> corresponde a aceleração da gravidade (9.807 m/s<math display="inline">^2</math>) e <math display="inline">\omega</math> representa a primeira frequência natural do sistema (4.654 Hz). A Figura 9 apresenta a resposta transiente, considerando os deslocamentos no nó <math display="inline">a</math>. O incremento de tempo utilizado foi de 10<math display="inline">^{-3}</math>. É possível observar como o segundo parâmetro da fundação elástica (<math display="inline">k_2</math>) influencia na resposta. Quanto maior o valor de <math display="inline">k_2</math>, o sistema torna-se mais rígido e causa menores amplitudes de deslocamentos, sem alterar significativamente os períodos de vibração.
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-Realizou-se a análise de vibração livre dessa estrutura, adotando os modelos de Winkler (''k<sub>2 </sub>= ''0) e Pasternak (''k<sub>2 </sub>= ''3200 kN) para modelagem do solo. Os resultados para os cinco primeiros modos são apresentados nas Tabela 4. Para o modelo de Winkler, as respostas foram comparadas com aquelas obtidas através da modelagem no software SAP2000 [19], e também com aquelas encontradas por Arboleda-Monsalve ''et al.'' [20]. Vale ressaltar que, para o modelo de Pasternak, esses autores consideraram a existência de ligações semirrígidas nos nós ''c'' e ''d'', com fatores fixos de rigidez (&#x03b3;) de 0.2 e 0.9 respectivamente. No CS-ASA, programa utilizado como base computacional deste trabalho, existe a possibilidade de considerar ligações semirrígidas, permitindo realizar essa análise para comparação. Maiores detalhes sobre a formulação dessas ligações são encontrados em Silva [14]. Foram obtidos resultados com boa concordância, conforme exposto na Tabela 4.
+Realizou-se a análise de vibração livre dessa estrutura, adotando os modelos de Winkler (<math display="inline">k_2=0</math>) e Pasternak (<math display="inline">k_2=3200</math> kN) para modelagem do solo. Os resultados para os cinco primeiros modos são apresentados nas Tabela 4. Para o modelo de Winkler, as respostas foram comparadas com aquelas obtidas através da modelagem no software SAP2000 [19], e também com aquelas encontradas por Arboleda-Monsalve ''et al.'' [20]. Vale ressaltar que, para o modelo de Pasternak, esses autores consideraram a existência de ligações semirrígidas nos nós <math display="inline">c</math> e <math display="inline">d</math>, com fatores fixos de rigidez (<math display="inline">\gamma</math>) de 0.2 e 0.9 respectivamente. No CS-ASA, programa utilizado como base computacional deste trabalho, existe a possibilidade de considerar ligações semirrígidas, permitindo realizar essa análise para comparação. Maiores detalhes sobre a formulação dessas ligações são encontrados em Silva [14]. Foram obtidos resultados com boa concordância, conforme exposto na Tabela 4.
 <div class="center" style="width: auto; margin-left: auto; margin-right: auto;">
-<span style="text-align: center; font-size: 75%;">'''Tabela 4.  Frequências naturais (Hz) do pórtico plano '''</span></div>
+<span style="text-align: center; font-size: 75%;">'''Tabela 4'''.  Frequências naturais (Hz) do pórtico plano</span></div>
 {| style="width: 100%;margin: 1em auto 0.1em auto;border-collapse: collapse;font-size:85%;"
 |-
 |  rowspan='3' style="border: 1pt solid black;text-align: center;"|<span style="text-align: center; ">Modos</span>
-|  colspan='3'  style="border-top: 1pt solid black;border-left: 1pt solid black;border-right: 1pt solid black;text-align: center;"|<span style="text-align: center; ">''k<sub>2</sub>''</span><span style="text-align: center; "> = 0</span>
+|  colspan='3'  style="border-top: 1pt solid black;border-left: 1pt solid black;border-right: 1pt solid black;text-align: center;"|<span style="text-align: center; "><math display="inline">k_2=0</math>
-|  colspan='2'  style="border-top: 1pt solid black;border-left: 1pt solid black;border-right: 1pt solid black;text-align: center;"|<span style="text-align: center; ">''k<sub>2</sub>''</span><span style="text-align: center; "> = 3200 kN</span>
+|  colspan='2'  style="border-top: 1pt solid black;border-left: 1pt solid black;border-right: 1pt solid black;text-align: center;"|<span style="text-align: center; "><math display="inline">k_2=3200</math> kN
 |-
 |  style="border-top: 1pt solid black;border-left: 1pt solid black;text-align: center;"|<span style="text-align: center; ">Arboleda-Monsalve</span>
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-A Figura 8 apresenta a variação da frequência de vibração da estrutura com a magnitude do carregamento aplicado, para cinco diferentes valores de rigidez das ligações nos nós ''c'' e ''d''. Essa análise foi realizada supondo o solo representado através do modelo de Winkler (''k<sub>1 </sub>''= 2.068 MN/m<sup>2</sup> e'' k<sub>2 </sub>''= 0). Ressalta-se que a carga crítica é encontrada quando a frequência de vibração se anula (&#x03c9; = 0). Dessa forma, para uma ligação com rigidez &#x03b3; = 0, obteve-se a carga crítica de 980.561 kN. Conforme a rigidez da ligação aumenta, o sistema torna-se evidentemente mais rígido, e a frequência natural também sofre um pequeno acréscimo de 4.061 Hz para 4.657 Hz. Como esperado, as cargas críticas para ligações mais rígidas são mais elevadas. O valor da carga crítica obtido para uma ligação perfeitamente rígida (&#x03b3; = 1) foi de 3886.142 kN. Nota-se boa concordância das respostas obtidas neste trabalho com os resultados encontrados na literatura.
+A Figura 8 apresenta a variação da frequência de vibração da estrutura com a magnitude do carregamento aplicado, para cinco diferentes valores de rigidez das ligações nos nós <math display="inline">c</math> e <math display="inline">d</math>. Essa análise foi realizada supondo o solo representado através do modelo de Winkler (<math display="inline">k_1</math>= 2.068 MN/m<math display="inline">^2</math> e <math display="inline">k_2=0</math>). Ressalta-se que a carga crítica é encontrada quando a frequência de vibração se anula (<math display="inline">\omega =0</math>). Dessa forma, para uma ligação com rigidez <math display="inline">\gamma =0</math>, obteve-se a carga crítica de 980.561 kN. Conforme a rigidez da ligação aumenta, o sistema torna-se evidentemente mais rígido, e a frequência natural também sofre um pequeno acréscimo de 4.061 Hz para 4.657 Hz. Como esperado, as cargas críticas para ligações mais rígidas são mais elevadas. O valor da carga crítica obtido para uma ligação perfeitamente rígida (<math display="inline">\gamma = 1</math>) foi de 3886.142 kN. Nota-se boa concordância das respostas obtidas neste trabalho com os resultados encontrados na literatura.
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-Realizou-se também a análise transiente do pórtico considerando um carregamento harmônico ''F'' = ''A'' sen(&#x03c9;''t''), onde ''A ''corresponde a aceleração da gravidade (9.807 m/s<sup>2</sup>) e &#x03c9; representa a primeira frequência natural do sistema (4.654 Hz). A Figura 9 apresenta a resposta transiente, considerando os deslocamentos no nó ''a''. O incremento de tempo utilizado foi de 10<sup>-3</sup>. É possível observar como o segundo parâmetro da fundação elástica (''k''<sub>2</sub>) influencia na resposta. Quanto maior o valor de ''k''<sub>2</sub>, o sistema torna-se mais rígido e causa menores amplitudes de deslocamentos, sem alterar significativamente os períodos de vibração.
+Realizou-se também a análise transiente do pórtico considerando um carregamento harmônico <math display="inline">F=A \mbox{sen} (\ometa t)</math>, onde <math display="inline">A</math> corresponde a aceleração da gravidade (9.807 m/s<math display="inline">^2</math>) e <math display="inline">\omega</math> representa a primeira frequência natural do sistema (4.654 Hz). A Figura 9 apresenta a resposta transiente, considerando os deslocamentos no nó <math display="inline">a</math>. O incremento de tempo utilizado foi de 10<math display="inline">^{-3}</math>. É possível observar como o segundo parâmetro da fundação elástica (<math display="inline">k_2</math>) influencia na resposta. Quanto maior o valor de <math display="inline">k_2</math>, o sistema torna-se mais rígido e causa menores amplitudes de deslocamentos, sem alterar significativamente os períodos de vibração.
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 ===5.2 Pórtico de aço suportado por colunas de concreto em contato com o solo===
-Considere o pórtico mostrado na Figura 7a. A estrutura é composta de seis membros: dois pilares de concreto (''ec'' e ''fd'') conectados por uma viga também de concreto (''cd''); e os membros ''ab'', ''ca'' e ''db'' feitos de aço estrutural W14 x 26. Os pilares de concreto têm módulo de elasticidade 25998.75'' ''MPa, densidade 1886.88 kg/m, e seção transversal circular de área 0.7854 m<math display="inline">^2</math>. A viga de concreto possui módulo de elasticidade 25998.75'' ''MPa, densidade 600 kg/m, e seção transversal quadrada de área 0.25 m<math display="inline">^2</math>. Os membros em aço estrutural apresentam área da seção transversal 4.961<math display="inline">\times 10^{-3}</math> m<math display="inline">^2</math>, momento de inércia 101.9767<math display="inline">\times 10^{-6}</math> m<math display="inline">^4</math>, módulo de elasticidade'' ''206842.72 MPa, e densidade 38.86 kg/m. O solo foi representado através dos modelos de Winkler e Pasternak, com parâmetros de rigidez <math display="inline">k_1 =2.0684  </math> MN/m<math display="inline">^2</math> e <math display="inline">k_2</math>= 3200 kN. A Figura 7b ilustra o modelo estrutural utilizado.
+Considere o pórtico mostrado na Figura 7a. A estrutura é composta de seis membros: dois pilares de concreto (<math display="inline">ec</math> e <math display="inline">fd</math>) conectados por uma viga também de concreto (<math display="inline">cd</math>); e os membros <math display="inline">ab</math>, <math display="inline">ca</math> e <math display="inline">db</math> feitos de aço estrutural W14 x 26. Os pilares de concreto têm módulo de elasticidade 25998.75 MPa, densidade 1886.88 kg/m, e seção transversal circular de área 0.7854 m<math display="inline">^2</math>. A viga de concreto possui módulo de elasticidade 25998.75 MPa, densidade 600 kg/m, e seção transversal quadrada de área 0.25 m<math display="inline">^2</math>. Os membros em aço estrutural apresentam área da seção transversal 4.961<math display="inline">\times 10^{-3}</math> m<math display="inline">^2</math>, momento de inércia 101.9767<math display="inline">\times 10^{-6}</math> m<math display="inline">^4</math>, módulo de elasticidade 206842.72 MPa, e densidade 38.86 kg/m. O solo foi representado através dos modelos de Winkler e Pasternak, com parâmetros de rigidez <math display="inline">k_1 =2.0684  </math> MN/m<math display="inline">^2</math> e <math display="inline">k_2</math>= 3200 kN. A Figura 7b ilustra o modelo estrutural utilizado.
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−	A Figura 5 exibe o histórico de deslocamento vertical obtido no centro do vão da viga (''L''/2), submetida a uma carga de impacto, conforme ilustrado nessa mesma figura. O incremento de tempo utilizado foi de 10<~~sup~~>-4</~~sup~~>. Essa figura exibe também a resposta obtida por Sapountzakis e Kampitsis [8], onde verifica-se a boa concordância com os resultados obtidos neste trabalho.	+	A Figura 5 exibe o histórico de deslocamento vertical obtido no centro do vão da viga (''L''/2), submetida a uma carga de impacto, conforme ilustrado nessa mesma figura. O incremento de tempo utilizado foi de <math display="inline">10^{-4}</math>. Essa figura exibe também a resposta obtida por Sapountzakis e Kampitsis [8], onde verifica-se a boa concordância com os resultados obtidos neste trabalho.

	{\| style="text-align: center; border: 1px solid #BBB; margin: 1em auto; width: auto;max-width: auto;"		{\| style="text-align: center; border: 1px solid #BBB; margin: 1em auto; width: auto;max-width: auto;"

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-Para verificar a influência da rigidez da fundação elástica na resposta transiente da viga, a mesma análise foi realizada utilizando diferentes fundações, avaliadas pelo parâmetro ''k''<sub>1</sub>. O histórico de deslocamento no centro da viga foi avaliado e ilustrado na Figura 6. Notase, como esperado, que as fundações mais rígidas (maiores valores de ''k''<sub>1</sub>) ocasionaram menores deslocamentos e menores períodos de vibração.
+Para verificar a influência da rigidez da fundação elástica na resposta transiente da viga, a mesma análise foi realizada utilizando diferentes fundações, avaliadas pelo parâmetro <math display="inline">k_1 </math>. O histórico de deslocamento no centro da viga foi avaliado e ilustrado na Figura 6. Notase, como esperado, que as fundações mais rígidas (maiores valores de <math display="inline">k_1</math>) ocasionaram menores deslocamentos e menores períodos de vibração.
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 | style=" padding:10px;"|[[Image:draft_Samper_586618386-image57.png|462px]]
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-| colspan="1" style="padding:10px;" | '''Figura 6'''. Resposta transiente para diferentes valores de k<sub>1</sub>.
+| colspan="1" style="padding:10px;" | '''Figura 6'''. Resposta transiente para diferentes valores de <math display="inline">k_1</math>.
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