Portillo Velez et al 2019a - Revision history

Rimni: /* 6. Discusión de resultados */

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‎6. Discusión de resultados

Rimni at 12:54, 2 July 2021

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Rimni at 12:52, 2 July 2021

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Rimni at 12:52, 2 July 2021

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Rimni: /* 4.3 Aproximación de parámetros con series de Fourier */

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‎4.3 Aproximación de parámetros con series de Fourier

Rimni at 12:49, 2 July 2021

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Rimni at 11:58, 2 July 2021

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Rimni at 11:57, 2 July 2021

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Rimni at 11:57, 2 July 2021

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Rimni at 11:54, 2 July 2021

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 La distancia objetivo se ha seleccionado como <math display="inline">x_G=1.5m</math>, medido a partir de la posición inicial del robot. La muestra utilizada para desarrollar la aproximación se ha definido para contener 5 periodos completos en cada experimento.
 {|  class="floating_tableSCP wikitable" style="text-align: center; margin: 1em auto;min-width:50%;font-size: 85%;"
 |- style="border-top: 2px solid;"
 | style="border-left: 2px solid;border-right: 2px solid;" |
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 |}
-A partir de la información obtenida por cada experimento con las tres técnicas de aproximación, se han calculado los errores definidos en las ecuaciones ([[#eq-12|12]]) y ([[#eq-13|13]]). Estos resultados se muestran en la Tabla [[#table-1|1]].
+A partir de la información obtenida por cada experimento con las tres técnicas de aproximación, se han calculado los errores definidos en las ecuaciones ([[#eq-12|12]]) y ([[#eq-13|13]]). Estos resultados se muestran en la  [[#table-1|Tabla 1]].
-Para cuantificar estadísticamente los resultados de la Tabla [[#table-1|1]], se han calculado la media y la desviación estándar para ambos errores en las tres técnicas de aproximación. Estos resultados describen una métrica para verificar la efectividad de cada una y se muestran en la Tabla [[#table-2|2]].
+Para cuantificar estadísticamente los resultados de la  [[#table-1|Tabla 1]], se han calculado la media y la desviación estándar para ambos errores en las tres técnicas de aproximación. Estos resultados describen una métrica para verificar la efectividad de cada una y se muestran en la [[#table-2|Tabla 2]].
 {|  class="floating_tableSCP wikitable" style="text-align: center; margin: 1em auto;min-width:50%;font-size: 85%;"
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 | style="border-left: 2px solid;border-right: 2px solid;" |
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-De la Tabla [[#table-2|2]] se infiere que la técnica que brinda mejores resultados es la de series de Fourier, ya que la desviación estándar DE es menor en ambas métricas de error; esto es, una menor dispersión en los resultados de los experimentos proporciona mayor confianza sobre su capacidad para predecir eficazmente la trayectoria.
+De la  [[#table-2|Tabla 2]] se infiere que la técnica que brinda mejores resultados es la de series de Fourier, ya que la desviación estándar DE es menor en ambas métricas de error; esto es, una menor dispersión en los resultados de los experimentos proporciona mayor confianza sobre su capacidad para predecir eficazmente la trayectoria.
-Estos resultados pueden apreciarse en la Figura [[#img-10|10]], donde se muestran  tres ejemplos en donde se superponen la trayectoria de seguimiento y la curva que se obtiene por el método de estimación indicado. Las líneas de color verde y rojo indican los puntos en los que se inicia y termina la adquisición de datos para la muestra usada para el proceso de aproximación en cada caso. El rectángulo colocado a la distancia objetivo resalta la magnitud del error <math display="inline">E_o</math>.
+Estos resultados pueden apreciarse en la  [[#img-10|Figura 10]], donde se muestran  tres ejemplos en donde se superponen la trayectoria de seguimiento y la curva que se obtiene por el método de estimación indicado. Las líneas de color verde y rojo indican los puntos en los que se inicia y termina la adquisición de datos para la muestra usada para el proceso de aproximación en cada caso. El rectángulo colocado a la distancia objetivo resalta la magnitud del error <math display="inline">E_o</math>.
 <div id='img-10'></div>
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 |[[Image:Review_115750068379-meth.png|600px|Comparación de tres técnicas de aproximación durante la marcha del robot. ]]
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-| colspan="1" style="padding:10px;"| '''Figura 10:''' Comparación de tres técnicas de aproximación durante la marcha del robot.
+| colspan="1" style="padding:10px;"| '''Figura 10'''. Comparación de tres técnicas de aproximación durante la marcha del robot
 |}

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 ==5. Implementación práctica y resultados==
-Para el desarrollo de los experimentos, de acuerdo a la  [[#img-1|Figura 1]], se considera una cámara Ethernet Sony Ipela con resolución de 640x480 pixeles a una velocidad de 30fps, colocada a 2m de altura con respecto al marcador en la cabeza del robot en modo estático. El robot, consiste en el humanoide Nao de Aldebaran Robotics. La implementación del método descrito en la Figura [[#3 Preprocesamiento de la trayectoria del robot  durante la marcha |3]] se realiza en lenguaje Python en una computadora personal donde se realizan los procesos de cálculo a partir de la información de la cámara obtenida vía ethernet.
+Para el desarrollo de los experimentos, de acuerdo a la  [[#img-1|Figura 1]], se considera una cámara Ethernet Sony Ipela con resolución de 640x480 pixeles a una velocidad de 30fps, colocada a 2m de altura con respecto al marcador en la cabeza del robot en modo estático. El robot, consiste en el humanoide Nao de Aldebaran Robotics. La implementación del método descrito en la  [[#3 Preprocesamiento de la trayectoria del robot  durante la marcha |Figura 3]] se realiza en lenguaje Python en una computadora personal donde se realizan los procesos de cálculo a partir de la información de la cámara obtenida vía ethernet.
 ===5.1 Aproximación sinusoidal con mínimos cuadrados===
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 <div id='img-7e'></div>
 <div id='img-7'></div>
-{| class="floating_imageSCP" style="text-align: center; border: 1px solid #BBB; margin: 1em auto; width: auto;"
+{| class="floating_imageSCP" style="text-align: center; border: 1px solid #BBB; margin: 1em auto; width: 100%;"
 |-
 |style="padding:10px;"|[[Image:Review_115750068379-sin_ori.png|219px|Aproximación con A=21.25, T=41 sin minimización del error. E<sub>A</sub>=17.38]]

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 <div id='img-7e'></div>
 <div id='img-7'></div>
-{| class="floating_imageSCP" style="text-align: center; border: 1px solid #BBB; margin: 1em auto; width: 100%;max-width: 100%;"
+{| class="floating_imageSCP" style="text-align: center; border: 1px solid #BBB; margin: 1em auto; width: auto;"
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 |style="padding:10px;"|[[Image:Review_115750068379-sin_ori.png|219px|Aproximación con A=21.25, T=41 sin minimización del error. E<sub>A</sub>=17.38]]

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 ==5. Implementación práctica y resultados==
-Para el desarrollo de los experimentos, de acuerdo a la Figura [[#img-1|1]], se considera una cámara Ethernet Sony Ipela con resolución de 640x480 pixeles a una velocidad de 30fps, colocada a 2m de altura con respecto al marcador en la cabeza del robot en modo estático. El robot, consiste en el humanoide Nao de Aldebaran Robotics. La implementación del método descrito en la Figura [[#3 Preprocesamiento de la trayectoria del robot  durante la marcha |3]] se realiza en lenguaje Python en una computadora personal donde se realizan los procesos de cálculo a partir de la información de la cámara obtenida vía ethernet.
+Para el desarrollo de los experimentos, de acuerdo a la  [[#img-1|Figura 1]], se considera una cámara Ethernet Sony Ipela con resolución de 640x480 pixeles a una velocidad de 30fps, colocada a 2m de altura con respecto al marcador en la cabeza del robot en modo estático. El robot, consiste en el humanoide Nao de Aldebaran Robotics. La implementación del método descrito en la Figura [[#3 Preprocesamiento de la trayectoria del robot  durante la marcha |3]] se realiza en lenguaje Python en una computadora personal donde se realizan los procesos de cálculo a partir de la información de la cámara obtenida vía ethernet.
 ===5.1 Aproximación sinusoidal con mínimos cuadrados===
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 La sinusoide es una función con dominio continuo, sin embargo los parámetros calculados mediante ([[#eq-2|2]]) y ([[#eq-4|4]]) se calculan a partir de distancias enteras, ya que se obtienen a partir de valores discretos correspondientes a las coordenadas de los pixeles en la imagen.
-Debido a esto, como los cálculos de los parámetros son aproximados, cabe preguntarse si se podría lograr un mejor ajuste en el dominio continuo. Para explorar esta idea, se consideran incrementos de <math display="inline">0.05</math> en los intervalos <math display="inline">\Delta _A=\pm 0.5</math>, <math display="inline">\Delta _{T}=\pm 0.5</math> para los parámetros <math display="inline">A</math> y <math display="inline">T</math> respectivamente. En las Figuras [[#img-7|7]]-[[#img-10|10]], la curva amarilla representa la trayectoria real, y la curva magenta, describe su aproximación.
+Debido a esto, como los cálculos de los parámetros son aproximados, cabe preguntarse si se podría lograr un mejor ajuste en el dominio continuo. Para explorar esta idea, se consideran incrementos de <math display="inline">0.05</math> en los intervalos <math display="inline">\Delta _A=\pm 0.5</math>, <math display="inline">\Delta _{T}=\pm 0.5</math> para los parámetros <math display="inline">A</math> y <math display="inline">T</math> respectivamente. En las  [[#img-7|Figuras 7]]-[[#img-10|10]], la curva amarilla representa la trayectoria real, y la curva magenta, describe su aproximación.
-En la Figura [[#img-7a|7a]] se muestra la aproximación que se obtiene con el cálculo original de los parámetros, la cual se observa semejante a la curva de la trayectoria. Obsérvese en las Figuras [[#img-7c|7c]], [[#img-7d|7d]] y [[#img-7e|7e]] que al variar los parámetros del modo indicado, la curva sufre un ajuste. La curva que se muestra en la Figura [[#img-7b|7b]] es aquella de todas las variaciones exploradas que presenta el mínimo error de aproximación. Estos casos se evalúan bajo el criterio de minimización del error de aproximación <math display="inline">E_A</math> por mínimos cuadrados de acuerdo a ([[#eq-12|12]]), con respecto a la trayectoria real.
+En la  [[#img-7a|Figura 7a]] se muestra la aproximación que se obtiene con el cálculo original de los parámetros, la cual se observa semejante a la curva de la trayectoria. Obsérvese en las  [[#img-7c|Figuras 7c]], [[#img-7d|7d]] y [[#img-7e|7e]] que al variar los parámetros del modo indicado, la curva sufre un ajuste. La curva que se muestra en la  [[#img-7b|Figura 7b]] es aquella de todas las variaciones exploradas que presenta el mínimo error de aproximación. Estos casos se evalúan bajo el criterio de minimización del error de aproximación <math display="inline">E_A</math> por mínimos cuadrados de acuerdo a ([[#eq-12|12]]), con respecto a la trayectoria real.
 <div id='img-7a'></div>
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 Los resultados en <span id='citeF-12'></span>[[#cite-12|[12]]] son reportados muy precisos en intervalos de tiempo cortos, incluso menores a un periodo de la función sinusoidal. Sin embargo el tipo de muestra que utiliza en dicho trabajo es de naturaleza mecánica, diferente a la que se obtiene del seguimiento del robot, que consiste en información visual.     Por lo tanto, el proceso de muestreo de la información visual es una aproximación de la marcha continua del robot y su precisión está limitada por la resolución de la imagen, asociada con la localización de la cámara.
-Para asegurar que se logre una buena aproximación, se generan sistemáticamente submuestras de la trayectoria.  Como se muestra en la Figura [[#img-8|8]], el proceso de submuestreo consiste en que, para para una misma trayectoria con diferentes tamaños de muestra (30 y 50 pixeles) e iniciando en diferentes puntos <math display="inline">(x=0,x=5,x=10)</math>, se obtienen aproximaciones diferentes con sus respectivos parámetros, de los cuales se conservan aquellos de la función con el mínimo error de aproximación <math display="inline">E_A</math>.  <div id='img-8a'></div>
+Para asegurar que se logre una buena aproximación, se generan sistemáticamente submuestras de la trayectoria.  Como se muestra en la  [[#img-8|Figura 8]], el proceso de submuestreo consiste en que, para para una misma trayectoria con diferentes tamaños de muestra (30 y 50 pixeles) e iniciando en diferentes puntos <math display="inline">(x=0,x=5,x=10)</math>, se obtienen aproximaciones diferentes con sus respectivos parámetros, de los cuales se conservan aquellos de la función con el mínimo error de aproximación <math display="inline">E_A</math>.
 <div id='img-8b'></div>
 <div id='img-8c'></div>
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 ===5.3 Aproximación por series de Fourier===
-Para una aproximación por series de Fourier es suficiente un único ciclo periódico, sin embargo al extenderse la trayectoria, ésta no necesariamente estará  bien aproximada. Para solventar ésto, se propone utilizar una muestra que contenga varios ciclos. En la Figura [[#img-9|9]] se observa una comparación entre estos dos casos. Las líneas verticales indican el inicio (verde) y fin (roja) de la muestra.  En las Figuras [[#img-9|9]]a y [[#img-9|9]]c, se muestran dos trayectorias desarrolladas por el robot con su correspondiente aproximación de Fourier a través de un sólo ciclo, mientras que en [[#img-9|9]]b y [[#img-9|9]]d, se consideran 5 de ellos. Nótese que las trayectorias se pueden extender y distorsionar por lo que se requieren muestras significativas para poder aproximar de manera eficiente.    Para construir la serie de Fourier en el segundo caso, se calculan los coeficientes de la ecuación ([[#eq-11|11]]) para cada uno de los ciclos y después se obtiene el promedio de éstos.
+Para una aproximación por series de Fourier es suficiente un único ciclo periódico, sin embargo al extenderse la trayectoria, ésta no necesariamente estará  bien aproximada. Para solventar ésto, se propone utilizar una muestra que contenga varios ciclos. En la  [[#img-9|Figura 9]] se observa una comparación entre estos dos casos. Las líneas verticales indican el inicio (verde) y fin (roja) de la muestra.  En las  [[#img-9|Figuras 9]]a y [[#img-9|9]]c, se muestran dos trayectorias desarrolladas por el robot con su correspondiente aproximación de Fourier a través de un sólo ciclo, mientras que en las [[#img-9|Figuras 9]]b y [[#img-9|9]]d, se consideran 5 de ellos. Nótese que las trayectorias se pueden extender y distorsionar por lo que se requieren muestras significativas para poder aproximar de manera eficiente.    Para construir la serie de Fourier en el segundo caso, se calculan los coeficientes de la ecuación ([[#eq-11|11]]) para cada uno de los ciclos y después se obtiene el promedio de éstos.
 <div id='img-9a'></div>

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 <div id='img-6'></div>
-{| class="floating_imageSCP" style="text-align: center; border: 1px solid #BBB; margin: 1em auto; width: 100%;max-width: 100%;"
+{| class="floating_imageSCP" style="text-align: center; border: 1px solid #BBB; margin: 1em auto; width: auto;"
 |-
 |[[Image:Review_115750068379-trayectoria.png|497px|Caso de trayectoria real del robot con asimetría con respecto a un eje horizontal.]]

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 ===4.3 Aproximación de parámetros con series de Fourier===
-A pesar de que la trayectoria que el robot desarrolla tiene un comportamiento oscilatorio, éste puede ser irregular ya que el balanceo no es totalmente simétrico como puede apreciarse en la Figura [[#img-6|6]] para una trayectoria experimental. Esto se debe entre otros factores a  variaciones en la superficie sobre la que se desplaza el robot, o bien a un desempeño eficientemente reducido de las articulaciones debido a la fricción o al desgaste de los actuadores. A partir de esta información, se propone utilizar series de Fourier como una técnica de aproximación alterna para describir el balanceo del robot.
+A pesar de que la trayectoria que el robot desarrolla tiene un comportamiento oscilatorio, éste puede ser irregular ya que el balanceo no es totalmente simétrico como puede apreciarse en la  [[#img-6|Figura 6]] para una trayectoria experimental. Esto se debe entre otros factores a  variaciones en la superficie sobre la que se desplaza el robot, o bien a un desempeño eficientemente reducido de las articulaciones debido a la fricción o al desgaste de los actuadores. A partir de esta información, se propone utilizar series de Fourier como una técnica de aproximación alterna para describir el balanceo del robot.
 <div id='img-6'></div>
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 |[[Image:Review_115750068379-trayectoria.png|497px|Caso de trayectoria real del robot con asimetría con respecto a un eje horizontal.]]
 |- style="text-align: center; font-size: 75%;"
-| colspan="1" style="padding:10px;"| '''Figura 6:''' Caso de trayectoria real del robot con asimetría con respecto a un eje horizontal.
+| colspan="1" style="padding:10px;"| '''Figura 6'''. Caso de trayectoria real del robot con asimetría con respecto a un eje horizontal
 |}

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 <div id='img-2d'></div>
 <div id='img-2'></div>
-{| class="floating_imageSCP" style="text-align: center; border: 1px solid #BBB; margin: 1em auto; width: 100%;max-width: 100%;"
+{| class="floating_imageSCP" style="text-align: center; border: 1px solid #BBB; margin: 1em auto; width: auto;"
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 |[[Image:Review_115750068379-seguimiento1.png|311px|<span style="text-align: center; font-size: 75%;">Identificación de marcador</span>]]

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 |[[Image:Review_115750068379-avance.png|430px|Escenario de predicción de la coordenada (x(t), y(x)).]]
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-| colspan="1" style="padding:10px;"| '''Figura 1:''' Escenario de predicción de la coordenada <math>(x(t), y(x))</math>.
+| colspan="1" style="padding:10px;"| '''Figura 1'''. Escenario de predicción de la coordenada <math>(x(t), y(x))</math>
 |}

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 ==3. Preprocesamiento de la trayectoria del robot  durante la marcha ==
-La propuesta de solución planteada en este trabajo, consiste en hacer seguimiento de una marca de referencia dispuesta en la cabeza del robot, durante un lapso de tiempo inicial. Así, se obtiene una muestra de la trayectoria durante un intervalo de desplazamiento <math display="inline">\Delta _x</math>, como se observa en la Figura [[#img-1|1]]. Para este efecto, se dispone de una cámara para observar al robot desde una vista superior y realizar un seguimiento visual. Entonces, puesto que se dispone de una secuencia de imágenes, el seguimiento se define mediante coordenadas expresadas en pixeles. Con base en esa muestra, se aplica un método numérico para aproximar la función de dicha trayectoria,
+La propuesta de solución planteada en este trabajo, consiste en hacer seguimiento de una marca de referencia dispuesta en la cabeza del robot, durante un lapso de tiempo inicial. Así, se obtiene una muestra de la trayectoria durante un intervalo de desplazamiento <math display="inline">\Delta _x</math>, como se observa en la  [[#img-1|Figura 1]]. Para este efecto, se dispone de una cámara para observar al robot desde una vista superior y realizar un seguimiento visual. Entonces, puesto que se dispone de una secuencia de imágenes, el seguimiento se define mediante coordenadas expresadas en pixeles. Con base en esa muestra, se aplica un método numérico para aproximar la función de dicha trayectoria,
-La Figura [[#img-1|1]] describe también el escenario experimental de la marcha del robot y el concepto de la oscilación generada por la dinámica natural de la marcha.
+La  [[#img-1|Figura 1]] describe también el escenario experimental de la marcha del robot y el concepto de la oscilación generada por la dinámica natural de la marcha.
 Durante el proceso de seguimiento en la marcha, en cada instante de tiempo se captura un fotograma del área dónde se desplaza el robot. Esta imagen es procesada con técnicas de visión por computadora a través de los siguientes pasos:
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-Además de este proceso de seguimiento, se necesita detectar el ángulo de desviación <math display="inline">\theta </math> de la trayectoria real con respecto al eje <math display="inline">X</math> para aplicar una transformada de rotación <math display="inline">R_z(\theta )</math> a la curva de la trayectoria con la finalidad de que su eje coincida con el eje <math display="inline">X</math>.  Para esto, se asume que la desviación de la marcha es lineal en el rango de muestreo <math display="inline">\Delta _x</math>. Este procedimiento se puede apreciar en la secuencia de imágenes de la Figura [[#img-2|2]], en la que a partir de la detección del marcador descrito ([[#img-2|2]]a), se evalúan los puntos necesarios (ver Sección [[#3.1 Detección de máximos y mínimos locales|3.1]]) para conocer los máximos y mínimos de la función ([[#img-2|2]]b), así como los puntos medios ([[#img-2|2]]c) con el fin de obtener un comportamiento periódico sin desviación ([[#img-2|2]]d) que se someta a una aproximación funcional mediante alguno de los modelos considerados en la Sección [[#4 Estimación funcional de la trayectoria|4]].
+Además de este proceso de seguimiento, se necesita detectar el ángulo de desviación <math display="inline">\theta </math> de la trayectoria real con respecto al eje <math display="inline">X</math> para aplicar una transformada de rotación <math display="inline">R_z(\theta )</math> a la curva de la trayectoria con la finalidad de que su eje coincida con el eje <math display="inline">X</math>.  Para esto, se asume que la desviación de la marcha es lineal en el rango de muestreo <math display="inline">\Delta _x</math>. Este procedimiento se puede apreciar en la secuencia de imágenes de la  [[#img-2|Figura 2]], en la que a partir de la detección del marcador descrito ([[#img-2|Figura 2]]a), se evalúan los puntos necesarios (ver Sección [[#3.1 Detección de máximos y mínimos locales|3.1]]) para conocer los máximos y mínimos de la función ([[#img-2|Figura 2]]b), así como los puntos medios ([[#img-2|Figura 2]]c) con el fin de obtener un comportamiento periódico sin desviación ([[#img-2|Figura 2]]d) que se someta a una aproximación funcional mediante alguno de los modelos considerados en la Sección [[#4 Estimación funcional de la trayectoria|4]].
 <div id='img-2a'></div>
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 |}
-Después de obtener una función que se ajuste a la trayectoria del robot, se le aplica la transformación inversa de la rotación <math display="inline">R^{-1}_z(\theta )</math> para que la curva corresponda con la trayectoria real del robot. La Figura [[#img-3|3]] describe el algoritmo utilizado para la estimación de parámetros y la caracterización del balanceo del robot durante la marcha para la correspondiente predicción de la postura del mismo después de un intervalo <math display="inline">\Delta _x</math>.
+Después de obtener una función que se ajuste a la trayectoria del robot, se le aplica la transformación inversa de la rotación <math display="inline">R^{-1}_z(\theta )</math> para que la curva corresponda con la trayectoria real del robot. La  [[#img-3|Figura 3]] describe el algoritmo utilizado para la estimación de parámetros y la caracterización del balanceo del robot durante la marcha para la correspondiente predicción de la postura del mismo después de un intervalo <math display="inline">\Delta _x</math>.
 <div id='img-3'></div>
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 |style="padding:10px;"|[[Image:Review_115750068379-Algoritmo.png|500px|Algoritmo para la estimación de balanceo y predicción de postura de robot. ]]
 |- style="text-align: center; font-size: 75%;"
-| colspan="1" style="padding:10px;"| '''Figura 3:''' Algoritmo para la estimación de balanceo y predicción de postura de robot.
+| colspan="1" style="padding:10px;"| '''Figura 3'''. Algoritmo para la estimación de balanceo y predicción de postura de robot
 |}
 ===3.1 Detección de máximos y mínimos locales===
-Como se especifica en la Figuras [[#img-2|2]] y [[#img-3|3]], para identificar el eje de la trayectoria que sigue el robot, se detectan los máximos y mínimos de la curva, asumiendo simetría de los extremos locales con respecto a este eje.
+Como se especifica en la  [[#img-2|Figuras 2]] y [[#img-3|3]], para identificar el eje de la trayectoria que sigue el robot, se detectan los máximos y mínimos de la curva, asumiendo simetría de los extremos locales con respecto a este eje.
-Por el teorema de Rolle se sabe que, si en una función continua <math display="inline">f</math> se cumple que <math display="inline">f(a) = f(b)</math>, entonces existe al menos un extremo local entre <math display="inline">a</math> y <math display="inline">b</math>.  Nótese que aunque en esta aplicación se dispone de muestras discretas, éstas corresponden a una evolución en el tiempo de la marcha del robot, lo cual claramente describe una función continua. Así, el teorema asegura la existencia de un extremo local en un intervalo donde se verifique la existencia de dos puntos <math display="inline">(x_1, y_1)</math> y <math display="inline">(x_2,y_2)</math> tales que <math display="inline">y_1 = y_2</math>.  Este concepto de detección se muestra en la Figura [[#img-4|4]].
+Por el teorema de Rolle se sabe que, si en una función continua <math display="inline">f</math> se cumple que <math display="inline">f(a) = f(b)</math>, entonces existe al menos un extremo local entre <math display="inline">a</math> y <math display="inline">b</math>.  Nótese que aunque en esta aplicación se dispone de muestras discretas, éstas corresponden a una evolución en el tiempo de la marcha del robot, lo cual claramente describe una función continua. Así, el teorema asegura la existencia de un extremo local en un intervalo donde se verifique la existencia de dos puntos <math display="inline">(x_1, y_1)</math> y <math display="inline">(x_2,y_2)</math> tales que <math display="inline">y_1 = y_2</math>.  Este concepto de detección se muestra en la  [[#img-4|Figura 4]].
 Adicionalmente se considera que <math display="inline">x_1</math> y <math display="inline">x_2</math> deben de ser lo suficientemente cercanos, con <math display="inline">x_1\neq x_2</math>, para que exista sólo un extremo local en este intervalo. Para determinar con qué frecuencia se busca un extremo local es necesario tomar en cuenta el periodo de oscilaciones promedio, <math display="inline">T_p</math>. Este valor se maneja como un parámetro fijo, ya que depende de la resolución de la cámara, y la cercanía de ésta a el plano del desplazamiento del robot. Se determina haciendo un análisis previo con el que se calcule un promedio de la distancia entre dos máximos locales, identificados manualmente. Así, se puede asumir que dos extremos locales están a, aproximadamente, <math display="inline">T_p/2</math> unidades.
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 |[[Image:Review_115750068379-rolle.png|354px|Detección de extremos locales.]]
 |- style="text-align: center; font-size: 75%;"
-| colspan="1" style="padding:10px;"| '''Figura 4:''' Detección de extremos locales.
+| colspan="1" style="padding:10px;"| '''Figura 4'''. Detección de extremos locales
 |}
 ===3.2 Transformación para corregir el desvío en la trayectoria===
-Como se mencionó en la Sección [[#2 Planteamiento del problema|2]], aunque el robot es comandado para seguir una trayectoria recta hacia el frente, éste suele desviarse por razones que no se controlan durante su desplazamiento (vea Fig. [[#img-5|5]]). Para poder predecir la posición futura, es necesario detectar la desviación de su trayectoria. Ya que se asume que la desviación es lineal a lo largo del intervalo <math display="inline">\Delta _x</math>, la compensación de la desviación, se hace mediante la transformación de rotación <math display="inline">R_z(\theta )</math> del vector de datos de la trayectoria real muestreada. De este modo se obtiene una trayectoria como la que se muestra en la Figura [[#img-2|2]]d, que es objeto del proceso de estimación propuesto, para después ser transformada al contexto real de la trayectoria del robot mediante <math display="inline">R^{-1}_z(\theta )</math>.
+Como se mencionó en la Sección [[#2 Planteamiento del problema|2]], aunque el robot es comandado para seguir una trayectoria recta hacia el frente, éste suele desviarse por razones que no se controlan durante su desplazamiento ([[#img-5|Figura 5]]). Para poder predecir la posición futura, es necesario detectar la desviación de su trayectoria. Ya que se asume que la desviación es lineal a lo largo del intervalo <math display="inline">\Delta _x</math>, la compensación de la desviación, se hace mediante la transformación de rotación <math display="inline">R_z(\theta )</math> del vector de datos de la trayectoria real muestreada. De este modo se obtiene una trayectoria como la que se muestra en la  [[#img-2|Figura 2]]d, que es objeto del proceso de estimación propuesto, para después ser transformada al contexto real de la trayectoria del robot mediante <math display="inline">R^{-1}_z(\theta )</math>.
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 La dificultad de predecir la oscilación producida por el balanceo durante la marcha del robot radica en diversos factores que influyen en la trayectoria desarrollada, por ejemplo: la fricción en la superficie de la marcha, la postura inicial del robot, así como el estado físico de los motores y el desgaste en las extremidades del robot, entre otros. Estos factores pueden tener un efecto diferente en cada experimento, por lo que se busca un modelo matemático que garantice la repetibilidad de la trayectoria de un punto fijo del robot durante la marcha para todos los casos. Esto motiva la búsqueda de una función de predicción de posturas en cualquier instante de tiempo de la marcha para el desarrollo de diversas aplicaciones como tareas de agarre que requieran la compensación de las oscilaciones naturales del movimiento del robot.
-La manera en que el robot oscila periódicamente de un lado a otro en el plano transversal, mientras realiza la marcha, sugiere que la trayectoria puede ser aproximada por una sinusoidal o una composición de sinusoidales. Para el análisis, se considera que el eje de la función que describe la trayectoria corresponde a la dirección del desplazamiento del robot <math display="inline">x(t)</math>, mientras que la amplitud de la misma se describe como <math display="inline">y(x)</math>, como se muestra en la Figura [[#img-1|1]].
+La manera en que el robot oscila periódicamente de un lado a otro en el plano transversal, mientras realiza la marcha, sugiere que la trayectoria puede ser aproximada por una sinusoidal o una composición de sinusoidales. Para el análisis, se considera que el eje de la función que describe la trayectoria corresponde a la dirección del desplazamiento del robot <math display="inline">x(t)</math>, mientras que la amplitud de la misma se describe como <math display="inline">y(x)</math>, como se muestra en la  [[#img-1|Figura 1]].
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 Para este estudio, el robot siempre es programado para desplazarse en línea recta en dirección del eje <math display="inline">X</math>; sin embargo, frecuentemente presenta desviaciones en el eje <math display="inline">Y</math> ocasionadas por los factores ya mencionados. Así, es necesario conocer la dirección real del desplazamiento pues esta define el eje real del dominio del modelo considerado.
-Para caracterizar y hacer predicciones sobre la posición y postura del robot en cualquier instante, se busca conocer cual será la ubicación <math display="inline">(x_2(t),y_2(x_2))</math> de la cabeza del mismo cuando éste se haya desplazado cierta distancia a lo largo de <math display="inline">X</math> como se observa en la Figura [[#img-1|1]].
+Para caracterizar y hacer predicciones sobre la posición y postura del robot en cualquier instante, se busca conocer cual será la ubicación <math display="inline">(x_2(t),y_2(x_2))</math> de la cabeza del mismo cuando éste se haya desplazado cierta distancia a lo largo de <math display="inline">X</math> como se observa en la  [[#img-1|Figura 1]].
 ==3. Preprocesamiento de la trayectoria del robot  durante la marcha ==