Paris et al 2012a - Revision history

Rimni at 09:46, 29 August 2019

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 ==Referencias==
 <ol style='list-style-type: none;margin-left: 0px;'><li><span id='bib0005'></span>
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 [[#bib0255|[51]]] R. Chandra, R. Menon, L. Dagum, D. Kohr, D. Maydan, J. McDonald; Parallel Programming in OpenMP; Elsevier Science, Morgan Kauffmann Publishers (2000)</li>
 </ol>

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 Los aspectos fundamentales del planteamiento del problema de optimización propuesto en [[#eq0005|(1)]]  residen en la definición de la función objetivo a minimizar y de las restricciones que se imponen. De estos aspectos depende el tipo de problema de optimización que se obtiene así como las técnicas que es necesario utilizar para resolverlo. Por lo tanto, procedemos a desarrollar y analizar la función objetivo propuesta en [[#eq0005|(1)]] y, posteriormente, al estudio de las restricciones en tensión.
-===2.1. Planteamiento de la función objetivo===
+===2.1 Planteamiento de la función objetivo===
 La función objetivo de la formulación que se propone en este trabajo se basa en la minimización del peso de la estructura, es decir:

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	'''Keywords''': Structural topology optimization, minimum weight, stress constraints, block aggregated constraints		'''Keywords''': Structural topology optimization, minimum weight, stress constraints, block aggregated constraints
−

	==1. Introducción==		==1. Introducción==

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 <span id='tbl0005'></span>
-{| class="wikitable" style="min-width: 60%;margin-left: auto; margin-right: auto;"
+{| class="wikitable" style="min-width: 60%;margin-left: auto; margin-right: auto;font-size:75%;"
 |+
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 <span id='tbl0010'></span>
-{| class="wikitable" style="min-width: 60%;margin-left: auto; margin-right: auto;"
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 |+
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 <span id='tbl0015'></span>
-{| class="wikitable" style="min-width: 60%;margin-left: auto; margin-right: auto;"
+{| class="wikitable" style="min-width: 60%;margin-left: auto; margin-right: auto;font-size:75%;"
 |+

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 {| style="text-align: center; margin:auto;"
 |-
-| <math>Hallar\boldsymbol{\alpha }(\boldsymbol{\rho })</math>
+| <math>Hallar\quad \boldsymbol{\alpha }(\boldsymbol{\rho })</math>
 |-
-|<math>tal\quad que\sum_{i=1}^N\boldsymbol{K}_{ji}(\boldsymbol{\rho }){\boldsymbol{\alpha }}_i(\boldsymbol{\rho })=</math><math>\boldsymbol{f}_j(\boldsymbol{\rho }),\quad j=1,\ldots ,N.</math>
+|<math>tal~que\quad \sum_{i=1}^N\boldsymbol{K}_{ji}(\boldsymbol{\rho }){\boldsymbol{\alpha }}_i(\boldsymbol{\rho })=</math><math>\boldsymbol{f}_j(\boldsymbol{\rho }),\quad j=1,\ldots ,N.</math>
 |}
 | style="width: 5px;text-align: right;white-space: nowrap;" | (28)
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 {| style="text-align: center; margin:auto;"
 |-
-| <math>\boldsymbol{f}_j(\boldsymbol{\rho })=\int {\int }_{{\Gamma }_{\sigma }^o}{\boldsymbol{\Phi }}_j^T\boldsymbol{t}d\Gamma +</math><math>\sum_{e=1}^{N_e}\boldsymbol{f}_j^e(\boldsymbol{\rho }),</math>
+| <math>\boldsymbol{f}_j(\boldsymbol{\rho })=\iint_{{\Gamma }_{\sigma }^o}{\boldsymbol{\Phi }}_j^T\boldsymbol{t}d\Gamma +</math><math>\sum_{e=1}^{N_e}\boldsymbol{f}_j^e(\boldsymbol{\rho }),</math>
 |}
 | style="width: 5px;text-align: right;white-space: nowrap;" | (29b)
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 {| style="text-align: center; margin:auto;"
 |-
-| <math>\boldsymbol{K}_{ji}^e({\rho }_e)=\int \int {\int }_{{\Omega }_e}(\boldsymbol{L}{\boldsymbol{\Phi }}_j)^T\boldsymbol{D}(\boldsymbol{L}{\boldsymbol{\Phi }}_i){\rho }_ed\Omega ,</math>
+| <math>\boldsymbol{K}_{ji}^e({\rho }_e)=\iiint_{{\Omega }_e}(\boldsymbol{L}{\boldsymbol{\Phi }}_j)^T\boldsymbol{D}(\boldsymbol{L}{\boldsymbol{\Phi }}_i){\rho }_ed\Omega ,</math>
 |}
 | style="width: 5px;text-align: right;white-space: nowrap;" | (30a)
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 {| style="text-align: center; margin:auto;"
 |-
-| <math>\boldsymbol{f}_j^e({\rho }_e)=\int \int {\int }_{{\Omega }_e}({\boldsymbol{\Phi }}_j^T\boldsymbol{b}-</math><math>(\boldsymbol{L}{\boldsymbol{\Phi }}_j)^T\boldsymbol{D}({\boldsymbol{Lu}}^p)){\rho }_ed\Omega .</math>
+| <math>\boldsymbol{f}_j^e({\rho }_e)=\iiint_{{\Omega }_e}({\boldsymbol{\Phi }}_j^T\boldsymbol{b}-</math><math>(\boldsymbol{L}{\boldsymbol{\Phi }}_j)^T\boldsymbol{D}({\boldsymbol{Lu}}^p)){\rho }_ed\Omega .</math>
 |}
 | style="width: 5px;text-align: right;white-space: nowrap;" | (30b)
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 <span id='sec0065'></span>
 ==4. Algoritmo de optimización==

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 {| style="text-align: center; margin:auto;"
 |-
-| <math>siendo\quad a(\boldsymbol{w},\boldsymbol{u})=\int \int {\int }_{{\Omega }^o}(\boldsymbol{L}\boldsymbol{w})^T\boldsymbol{D}(\boldsymbol{Lu})\rho d\Omega ,</math>
+| <math>siendo\quad a(\boldsymbol{w},\boldsymbol{u})=\iiint_{{\Omega }^o}(\boldsymbol{L}\boldsymbol{w})^T\boldsymbol{D}(\boldsymbol{Lu})\rho d\Omega ,</math>
 |}
 | style="width: 5px;text-align: right;white-space: nowrap;" | (27d)

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 {| style="text-align: center; margin:auto;"
 |-
-| <math>\boldsymbol{K}_{ji}=\sum_{e=1}^{N_e}\boldsymbol{K}_{ji}^e,\quad \boldsymbol{f}_j=</math><math>\int {\int }_{{\Gamma }_{\sigma }^o}{\boldsymbol{\Phi }}_j^T\boldsymbol{t}d\Gamma +</math><math>\sum_{e=1}^{N_e}\boldsymbol{f}_j^e,</math>
+| <math>\boldsymbol{K}_{ji}=\sum_{e=1}^{N_e}\boldsymbol{K}_{ji}^e,\quad \boldsymbol{f}_j=</math><math>\iint_{{\Gamma }_{\sigma }^o}{\boldsymbol{\Phi }}_j^T\boldsymbol{t}d\Gamma +</math><math>\sum_{e=1}^{N_e}\boldsymbol{f}_j^e,</math>
 |}
 | style="width: 5px;text-align: right;white-space: nowrap;" | (24)

@@ Line 729: / Line 729: @@
 {| style="text-align: center; margin:auto;"
 |-
-| <math>\quad (\boldsymbol{w},\boldsymbol{b})_{{\Omega }^o}=</math><math>\int \int {\int }_{{\Omega }^o}\boldsymbol{w}^T\boldsymbol{b}\rho d\Omega ,</math>
+| <math>\quad (\boldsymbol{w},\boldsymbol{b})_{{\Omega }^o}=</math><math>\iiint_{{\Omega }^o}\boldsymbol{w}^T\boldsymbol{b}\rho d\Omega ,</math>
 |}
 | style="width: 5px;text-align: right;white-space: nowrap;" | (27e)
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 {| style="text-align: center; margin:auto;"
 |-
-| <math>\quad (\boldsymbol{w},\boldsymbol{t})_{{\Gamma }_{\sigma }^o}=</math><math>\int {\int }_{{\Gamma }_{\sigma }^o}\boldsymbol{w}^T\boldsymbol{t}d\Gamma ,</math>
+| <math>\quad (\boldsymbol{w},\boldsymbol{t})_{{\Gamma }_{\sigma }^o}=</math><math>\iint_{{\Gamma }_{\sigma }^o}\boldsymbol{w}^T\boldsymbol{t}d\Gamma ,</math>
 |}
 | style="width: 5px;text-align: right;white-space: nowrap;" | (27f)
 |}
 Como se puede observar, los cambios que se introducen en la formulación se reducen a tener en cuenta el efecto de la porosidad en la integración de los términos elementales correspondientes. Una vez calculadas estas contribuciones elementales, las deformaciones y tensiones se calculan del mismo modo que en ([[#sec0055|3.3]]). Sin embargo, es importante destacar que el análisis anterior carece de sentido físico cuando la densidad relativa es nula. Consecuentemente, los desplazamientos, deformaciones y tensiones tampoco existen.
 ===3.4. Modelo numérico de elementos finitos con densidad relativa===

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 {| style="text-align: center; margin:auto;"
 |-
-| <math>talque\quad \sum_{i=1}^N\boldsymbol{K}_{ji}{\boldsymbol{\alpha }}_i=</math><math>\boldsymbol{f}_j,\quad j=1,\ldots ,N</math>
+| <math>tal~que\quad \sum_{i=1}^N\boldsymbol{K}_{ji}{\boldsymbol{\alpha }}_i=</math><math>\boldsymbol{f}_j,\quad j=1,\ldots ,N</math>
 |}
 | style="width: 5px;text-align: right;white-space: nowrap;" | (23b)
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 {| style="text-align: center; margin:auto;"
 |-
-| <math>\boldsymbol{K}_{ji}^e=\int \int {\int }_{{\Omega }_e}(\boldsymbol{L}{\boldsymbol{\Phi }}_j)^T\boldsymbol{D}(\boldsymbol{L}{\boldsymbol{\Phi }}_i)d\Omega ,</math>
+| <math>\boldsymbol{K}_{ji}^e=\iiint_{{\Omega }_e}(\boldsymbol{L}{\boldsymbol{\Phi }}_j)^T\boldsymbol{D}(\boldsymbol{L}{\boldsymbol{\Phi }}_i)d\Omega ,</math>
 |}
 | style="width: 5px;text-align: right;white-space: nowrap;" | (25a)
@@ Line 637: / Line 637: @@
 {| style="text-align: center; margin:auto;"
 |-
-| <math>\boldsymbol{f}_j^e=\int \int {\int }_{{\Omega }_e}({\boldsymbol{\Phi }}_j^T\boldsymbol{b}-</math><math>(\boldsymbol{L}{\boldsymbol{\Phi }}_j)^T\boldsymbol{D}({\boldsymbol{Lu}}^p))d\Omega .</math>
+| <math>\boldsymbol{f}_j^e=\iiint_{{\Omega }_e}({\boldsymbol{\Phi }}_j^T\boldsymbol{b}-</math><math>(\boldsymbol{L}{\boldsymbol{\Phi }}_j)^T\boldsymbol{D}({\boldsymbol{Lu}}^p))d\Omega .</math>
 |}
 | style="width: 5px;text-align: right;white-space: nowrap;" | (25b)
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 <span id='sec0055'></span>
 ===3.3. Análisis estructural de material con densidad relativa===