Oliveira et al 2017a - Revision history

Rimni at 10:47, 20 July 2018

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 |}
-==3 Problema inverso==
+==3. Problema inverso==
 A primeira abordagem descrita para a formulação e solução do problema inverso consiste no uso da função de máxima verossimilhança, que resulta em um problema de otimização, onde a função objetivo, que caracteriza os desvios entre dados experimentais e as previsões do modelo deve ser minimizada. A segunda abordagem descrita consiste na utilização da abordagem Bayesiana, que permite a inclusão de informações a priori sobre os parâmetros <span id='citeF-26'></span>[[#cite-26|[26]]] e tem como objetivo a inferência da distribuição a posteriori dos parâmetros de interesse. Na formulação do problema, com a transferência de massa modelada pelas equações ([[#eq-1|1]]-[[#eq-2|2]]), considera-se que alguns dados experimentais de concentração de cada substância estão disponíveis, <math display="inline">{\bf C}^{exp}</math>, como indicado na figura [[#img-1|1]], e que <math display="inline">{\bf K}</math> é o vetor de parâmetros que se deseja estimar.

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 Ao atentar-se às iterações sugeridas pelo critério de convergência usado no MCMC, nota-se que os intervalos de confiança estão, numericamente, de acordo com aqueles encontrados com os métodos estocásticos e ainda, com um menor número de avaliação da função objetivo.
-==6 Conclusões==
+==6. Conclusões==
 Neste trabalho foi resolvido um problema inverso visando estimar parâmetros de transferência de massa em um modelo de cromatografia empregando a abordagem Bayesiana. Nesta metodologia, foi utilizado um conjunto de dados experimentais reais e foi realizada uma comparação crítica com os resultados obtidos usando o procedimento da Máxima Verossimilhança e métodos estocásticos de otimização. Observou-se que os intervalos de confiança não apresentaram variação significativa de amplitude ao adotar as especificações do critério de convergência de Raftery-Lewis nas cadeias de Markov, havendo assim uma redução expressiva do custo computacional. Com base nas análises estatísticas estudadas e considerando que os algoritmos estocásticos utilizados necessitam de um grande número de execuções e de avaliação da função objetivo para se obter o mesmo um conjunto de amostras, a abordagem Bayesiana se apresentou como uma alternativa vantajosa para a estimação de parâmetros em problema de transferência de massa. Além disso, o uso desta estratégia fornece mais confiabilidade na determinação dos parâmetros do modelo devido à representatividade estatística das amostras.

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 |(b) Frutose
 |- style="text-align: center; font-size: 75%;"
-| colspan="1" style="text-align: center;padding:10px;width: 40%;"| '''Figura 3.''' Evolução das cadeias de Markov dos parâmetros de transferência de massa. (a) Glicose. (b) Frutose juntamente a média a posteriori e o valor de referência <span id='citeF-5'></span><span id='citeF-7'></span>[[#cite-5|[5,7]]].
+| style="text-align: center;padding:10px;"| '''Figura 3.''' Evolução das cadeias de Markov dos parâmetros de transferência de massa. (a) Glicose. (b) Frutose juntamente a média a posteriori e o valor de referência <span id='citeF-5'></span><span id='citeF-7'></span>[[#cite-5|[5,7]]].
 |}

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 |(b) Frutose
 |- style="text-align: center; font-size: 75%;"
-| colspan="2" style="text-align: center;padding:10px;width: 60%;"| '''Figura 3.''' Evolução das cadeias de Markov dos parâmetros de transferência de massa. (a) Glicose. (b) Frutose juntamente a média a posteriori e o valor de referência <span id='citeF-5'></span><span id='citeF-7'></span>[[#cite-5|[5,7]]].
+| colspan="1" style="text-align: center;padding:10px;width: 40%;"| '''Figura 3.''' Evolução das cadeias de Markov dos parâmetros de transferência de massa. (a) Glicose. (b) Frutose juntamente a média a posteriori e o valor de referência <span id='citeF-5'></span><span id='citeF-7'></span>[[#cite-5|[5,7]]].
 |}

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 |(b) Frutose
 |- style="text-align: center; font-size: 75%;"
-| colspan="2" style="text-align: center;padding:10px;"| '''Figura 3.''' Evolução das cadeias de Markov dos parâmetros de transferência de massa. (a) Glicose. (b) Frutose juntamente a média a posteriori e o valor de referência <span id='citeF-5'></span><span id='citeF-7'></span>[[#cite-5|[5,7]]].
+| colspan="2" style="text-align: center;padding:10px;width: 60%;"| '''Figura 3.''' Evolução das cadeias de Markov dos parâmetros de transferência de massa. (a) Glicose. (b) Frutose juntamente a média a posteriori e o valor de referência <span id='citeF-5'></span><span id='citeF-7'></span>[[#cite-5|[5,7]]].
 |}

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 {| class="floating_imageSCP" style="text-align: center; border: 1px solid #BBB; margin: 1em auto; width: auto;max-width: auto;"
 |-
-|style="text-align: center;padding:10px;"|[[Image:draft_Samper_522746929-posteriore_GlucoseR.png|428px|]]
+|style="text-align: center;padding:10px;width: auto;"|[[Image:draft_Samper_522746929-posteriore_GlucoseR.png|428px|]]
 |-style="text-align: center; font-size: 75%;"
 |(a) Glicose
 |-
-|style="text-align: center;padding:10px;"|[[Image:draft_Samper_522746929-Posteriore_FrutoseR.png|428px|]]
+|style="text-align: center;padding:10px;width: auto;"|[[Image:draft_Samper_522746929-Posteriore_FrutoseR.png|428px|]]
 |- style="text-align: center; font-size: 75%;"
 |(b) Frutose
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 {| class="floating_imageSCP" style="text-align: center; border: 1px solid #BBB; margin: 1em auto; width: auto;max-width: auto;"
 |-
-|style="padding:10px"|[[Image:draft_Samper_522746929-DispersaoGlR.png|420px|]]
+|style="padding:10px;width: auto;"|[[Image:draft_Samper_522746929-DispersaoGlR.png|420px|]]
-|style="padding:10px"|[[Image:draft_Samper_522746929-Dispersao_frR.png|400px|]]
+|style="padding:10px;width: auto;"|[[Image:draft_Samper_522746929-Dispersao_frR.png|400px|]]
 |-style="text-align: center; font-size: 75%;"
 |(a) Glicose

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 Com base nas probabilidades amostrais e descartando os estados iniciais da cadeia, foram obtidos os histogramas de densidade a posteriori, a normal ajustada e a densidade de convergência correspondente a cada parâmetro das substâncias. Na figura [[#img-4|4]] estão apresentados os histogramas juntamente com o valor de referência <span id='citeF-5'></span><span id='citeF-7'></span>[[#cite-5|[5,7]]] dos parâmetros e a média a posteriori.  <div id='img-4a'></div>
 <div id='img-4'></div>
 {| class="floating_imageSCP" style="text-align: center; border: 1px solid #BBB; margin: 1em auto; width: auto;max-width:auto;"
 |-
-|style="padding:10px;"|[[Image:draft_Samper_522746929-hist_Glucose_k1_R.png|384px|]]
+|style="padding:10px;width: auto;"|[[Image:draft_Samper_522746929-hist_Glucose_k1_R.png|384px|]]
-|style="padding:10px;"|[[Image:draft_Samper_522746929-hist_Glucose_k2_R.png|384px|]]
+|style="padding:10px;width: auto;"|[[Image:draft_Samper_522746929-hist_Glucose_k2_R.png|384px|]]
 |-style="text-align: center; font-size: 75%;"
 |(a) Glicose
 |(b) Glicose
 |-
-|style="padding:10px;"|[[Image:draft_Samper_522746929-hist_Frutose_k1_R.png|384px|]]
+|style="padding:10px;width: auto;"|[[Image:draft_Samper_522746929-hist_Frutose_k1_R.png|384px|]]
-|style="padding:10px;"|[[Image:draft_Samper_522746929-hist_Frutose_k2_R.png|384px]]
+|style="padding:10px;width: auto;"|[[Image:draft_Samper_522746929-hist_Frutose_k2_R.png|384px]]
 |- style="text-align: center; font-size: 75%;"
 |(c) Frutose

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 Os gráficos das figuras subfig_A e [[#img-3a|3a]] mostram a evolução da cadeia de Markov com os parâmetros da Glicose e Frutose respectivamente. A cadeia, para ambas as substâncias, parece ter convergido rapidamente e com isso foram descartadas apenas 5% das iterações iniciais (1250 iterações) para cada parâmetro, considerando que estas amostras iniciais são influenciadas pelos estados iniciais das cadeias. Este percentual é superior ao constatado pelo Critério de Raftery-Lewis, que indica que sejam descartados apenas 2,1% dos estados para a Glicose e 1,9% para Frutose.    <div id='img-3a'></div>
 <div id='img-3'></div>
-{| class="floating_imageSCP" style="text-align: center; border: 1px solid #BBB; margin: 1em auto; width: 100%;max-width: 100%;"
 |-
 |style="text-align: center;padding:10px"|[[Image:draft_Samper_522746929-posteriore_GlucoseR.png|428px|]]
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 Com base nas probabilidades amostrais e descartando os estados iniciais da cadeia, foram obtidos os histogramas de densidade a posteriori, a normal ajustada e a densidade de convergência correspondente a cada parâmetro das substâncias. Na figura [[#img-4|4]] estão apresentados os histogramas juntamente com o valor de referência <span id='citeF-5'></span><span id='citeF-7'></span>[[#cite-5|[5,7]]] dos parâmetros e a média a posteriori.  <div id='img-4a'></div>
 <div id='img-4'></div>
-{| class="floating_imageSCP" style="text-align: center; border: 1px solid #BBB; margin: 1em auto; width: 100%;max-width: 100%;"
+{| class="floating_imageSCP" style="text-align: center; border: 1px solid #BBB; margin: 1em auto; width: auto;max-width:auto;"
 |-
 |style="padding:10px;"|[[Image:draft_Samper_522746929-hist_Glucose_k1_R.png|384px|]]
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 Verifica-se no gráfico a tendência de correlação entre <math display="inline">k_2</math> e <math display="inline">k_1</math> devido a indicação de dependência dessas condicionais, ou seja, elas têm as mesmas variações, mas <math display="inline">k_2</math> varia com <math display="inline">k_1</math> no sentido em que ambos tendem a aumentar  em conjunto. Este comportamento pode ser observado nos gráficos de sensibilidade na figura [[#img-2|2]] se, ao aumentar ou diminuir a variação dos parâmetros, ambos tendem a compensar o efeito do outro em sentido oposto.  <div id='img-5a'></div>
 <div id='img-5'></div>
-{| class="floating_imageSCP" style="text-align: center; border: 1px solid #BBB; margin: 1em auto; width: 100%;max-width: 100%;"
+{| class="floating_imageSCP" style="text-align: center; border: 1px solid #BBB; margin: 1em auto; width: auto;max-width: auto;"
 |-
 |style="padding:10px"|[[Image:draft_Samper_522746929-DispersaoGlR.png|420px|]]
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 As estimativas dos parâmetros, apresentadas na tabela [[#table-2|2]], foram usadas na solução do problema direto, assim como os valores de referência destes parâmetros <span id='citeF-6'></span><span id='citeF-5'></span>[[#cite-6|[6,5]]]. Os valores calculados para a concentração são apresentados nos gráficos da figura [[#img-7|7]].    <div id='img-6'></div>
-{| class="floating_imageSCP" style="text-align: center; border: 1px solid #BBB; margin: 1em auto; width: 100%;max-width: 100%;"
+{| class="floating_imageSCP" style="text-align: center; border: 1px solid #BBB; margin: 1em auto; width: auto;max-width: auto;"
 |-
 |style="padding:10px;"|[[Image:draft_Samper_522746929-Glicose.png|410px]]

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 A obtenção de estimativa de boa qualidade para um problema inverso está relacionada à sensibilidade da resposta do modelo aos parâmetros de interesse. Neste sentido, é desejável que os coeficiente de sensibilidade dados pela equação ([[#eq-10|10]]) possuam alta magnitude. Além disso, se dois ou mais parâmetros estiverem sendo estimados simultaneamente no problema inverso, seus coeficiente de sensibilidade não devem apresentar dependência linear entre si, caso contrário não há unicidade na solução do problema inverso  <span id='citeF-4'></span><span id='citeF-33'></span>[[#cite-4|[4,33]]].
-==5 Resultados e discussões==
+==5. Resultados e discussões==
 ===5.1 Análise de sensibilidade e validação dos métodos estocásticos de otimização===