Molina-Villegas et al 2020b - Revision history

Rimni at 13:32, 2 March 2021

2021-03-02T13:32:23Z

Rimni at 13:27, 2 March 2021

2021-03-02T13:27:31Z

Rimni: /* 5.2 Solución del P.V.F. empotrado */

2021-03-02T13:25:49Z

‎5.2 Solución del P.V.F. empotrado

Rimni at 13:23, 2 March 2021

2021-03-02T13:23:45Z

Rimni at 13:21, 2 March 2021

2021-03-02T13:21:12Z

Rimni at 13:19, 2 March 2021

2021-03-02T13:19:46Z

Rimni at 13:00, 23 September 2020

2020-09-23T13:00:00Z

Rimni: /* Referencias */

2020-09-23T12:23:51Z

‎Referencias

Rimni: /* C Formulación exacta del M.E.F. para un elemento tipo viga sobre fundación flexible */

2020-09-23T12:22:51Z

‎C Formulación exacta del M.E.F. para un elemento tipo viga sobre fundación flexible

Rimni at 11:54, 23 September 2020

2020-09-23T11:54:51Z

@@ Line 1,637: / Line 1,637: @@
 ===8.1 Viga===
-Calcular la respuesta (reacciones, campos de desplazamientos y campos de fuerzas internas) de la viga presentada en la Figura [[#img-10a|10a]].
+Calcular la respuesta (reacciones, campos de desplazamientos y campos de fuerzas internas) de la viga presentada en la [[#img-10a|Figura 10a]].
 <div id='img-10a'></div>
@@ Line 1,656: / Line 1,656: @@
 <u>Discretización</u>
-La discretización a emplear en la solución de este problema se presenta en la Figura [[#img-10b|10b]] y consta de solo dos elementos. El elemento <math display="inline">A</math> tiene una carga externa definida en tres tramos, mientras que el elemento <math display="inline">B</math> tiene una carga externa lineal sobre toda su longitud.
+La discretización a emplear en la solución de este problema se presenta en la [[#img-10b|Figura 10b]] y consta de solo dos elementos. El elemento <math display="inline">A</math> tiene una carga externa definida en tres tramos, mientras que el elemento <math display="inline">B</math> tiene una carga externa lineal sobre toda su longitud.
 <u>Definición de las funciones de carga externa</u>
@@ Line 1,935: / Line 1,935: @@
 |}
-Como resumen, en la Figura [[#img-11|11]] se presenta el campo de desplazamientos en toda la viga.
+Como resumen, en la [[#img-11|Figura 11]] se presenta el campo de desplazamientos en toda la viga.
 <div id='img-11'></div>
@@ Line 1,985: / Line 1,985: @@
 |}
-Como resumen de los anteriores resultados, en la Figura [[#img-12|12]] se presentan las fuerzas internas en toda la viga.
+Como resumen de los anteriores resultados, en la [[#img-12|Figura  12]] se presentan las fuerzas internas en toda la viga.
 <div id='img-12a'></div>
@@ Line 2,057: / Line 2,057: @@
 ===8.2 Viga sobre fundación flexible===
-Resolver la viga sobre fundación flexible presentada en la Figura [[#img-13a|13a]].
+Resolver la viga sobre fundación flexible presentada en la [[#img-13a|Figura 13a]].
 <div id='img-13a'></div>
@@ Line 2,076: / Line 2,076: @@
 <u>Discretización</u>
-Para este problema se empleará la discretización de un solo elemento presentada en la Figura [[#img-13b|13b]], la cual muestra una de las principales bondades de la presente metodología. Consistente en minimizar el número de elementos a emplear, pues usualmente en la solución de este problema se emplearía una discretización con tres elementos para obtener la respuesta analítica.
+Para este problema se empleará la discretización de un solo elemento presentada en la  [[#img-13b|Figura 13b]], la cual muestra una de las principales bondades de la presente metodología. Consistente en minimizar el número de elementos a emplear, pues usualmente en la solución de este problema se emplearía una discretización con tres elementos para obtener la respuesta analítica.
 <u>Preliminares</u>
@@ Line 2,375: / Line 2,375: @@
 |}
-En la Figura [[#img-11|11]] se presenta de forma gráfica el campo de desplazamiento vertical en toda la viga.
+En la [[#img-11|Figura 11]] se presenta de forma gráfica el campo de desplazamiento vertical en toda la viga.
 <u>Cálculo de las fuerzas que el suelo le hace a la viga</u>
@@ Line 2,435: / Line 2,435: @@
 |}
-Como resumen de las anteriores tres ecuaciones, en la Figura [[#img-14b|14b]] se presenta la fuerza el suelo ejerce sobre la viga.
+Como resumen de las anteriores tres ecuaciones, en la [[#img-14b|Figura 14b]] se presenta la fuerza el suelo ejerce sobre la viga.
 <div id='img-14a'></div>
@@ Line 2,581: / Line 2,581: @@
 |}
-En las Figuras [[#img-12a|12a]] y [[#img-12b|12b]] se presentan respectivamente los campos de fuerza cortante y momento flector para toda la viga.
+En las  [[#img-12a|Figuras 12a]] y [[#img-12b|12b]] se presentan respectivamente los campos de fuerza cortante y momento flector para toda la viga.
 <div id='img-15a'></div>
@@ Line 2,602: / Line 2,602: @@
 ===8.3 Pórtico plano===
-Resolver el pórtico plano presentado en la Figura [[#img-16a|16a]] cuyos elementos son rectangulares de base y altura iguales a <math display="inline">L/20</math> y cuyo módulo de elasticidad es <math display="inline">E</math>.
+Resolver el pórtico plano presentado en la [[#img-16a|Figura 16a]] cuyos elementos son rectangulares de base y altura iguales a <math display="inline">L/20</math> y cuyo módulo de elasticidad es <math display="inline">E</math>.
 <div id='img-16a'></div>
@@ Line 2,621: / Line 2,621: @@
 <u>Discretización</u>
-En la Figura [[#img-16b|16b]] se presenta la discretización y ejes locales a emplear en la solución de este ejercicio.
+En la [[#img-16b|Figura 16b]] se presenta la discretización y ejes locales a emplear en la solución de este ejercicio.
 <u>Definición de la carga externa en coordenadas locales</u>
-A partir de la Figura [[#img-16a|16a]], es posible obtener el valor de la carga externa en dirección <math display="inline">{x'}_A</math> del elemento <math display="inline">A</math>:
+A partir de la [[#img-16a|Figura 16a]], es posible obtener el valor de la carga externa en dirección <math display="inline">{x'}_A</math> del elemento <math display="inline">A</math>:
 <span id="eq-147"></span>
@@ Line 2,965: / Line 2,965: @@
 |}
-Como resumen en las figuras [[#img-17a|17a]] a [[#img-17c|17c]]  se presentan los diagramas de fuerzas internas en los dos elementos que componen la estructura.
+Como resumen en las [[#img-17a|Figuras 17a]] a [[#img-17c|17c]]  se presentan los diagramas de fuerzas internas en los dos elementos que componen la estructura.
 <div id='img-17a'></div>

@@ Line 1,204: / Line 1,204: @@
 ===6.2 Solución del P.V.F. empotrado===
-Para este caso el P.V.F. que define al problema empotrado es (Figura [[#img-8a|8a]]): <span id="eq-62"></span>
+Para este caso el P.V.F. que define al problema empotrado es ([[#img-8a|Figura 8a]]): <span id="eq-62"></span>
 <span id="eq-62.a"></span>
@@ Line 1,248: / Line 1,248: @@
-Mientras que la función de Green se define por medio del siguiente P.V.F (Figura [[#img-8b|8b]]): <span id="eq-63"></span>
+Mientras que la función de Green se define por medio del siguiente P.V.F ([[#img-8b|Figura 8b]]): <span id="eq-63"></span>
 <span id="eq-63.a"></span>
@@ Line 1,418: / Line 1,418: @@
 |}
-De forma similar a como se realizó para el caso de la viga, la función de Green debida a un momento puntual unitario se puede obtener directamente de aquella debida a una fuerza puntual mediante la derivada de la misma respecto a <math display="inline">\xi </math> (Figura [[#img-9|9]]), es decir:
+De forma similar a como se realizó para el caso de la viga, la función de Green debida a un momento puntual unitario se puede obtener directamente de aquella debida a una fuerza puntual mediante la derivada de la misma respecto a <math display="inline">\xi </math> ([[#img-9|Figura 9]]), es decir:
 {| class="formulaSCP" style="width: 100%; text-align: left;"

@@ Line 705: / Line 705: @@
 ===5.2 Solución del P.V.F. empotrado===
-El problema de P.V.F. que gobierna al campo empotrado se presenta en [[#eq-35|(35)]] y corresponde a la respuesta de una viga doblemente empotrada sometida a una carga externa genérica definida por la función <math display="inline">q(x)</math> (Figura [[#img-6a|6a]])
+El problema de P.V.F. que gobierna al campo empotrado se presenta en [[#eq-35|(35)]] y corresponde a la respuesta de una viga doblemente empotrada sometida a una carga externa genérica definida por la función <math display="inline">q(x)</math> ([[#img-6a|Figura 6a]])
 <span id="eq-35"></span>
@@ Line 751: / Line 751: @@
-Para solucionar el P.V.F. [[#eq-35|(35)]] se definirá la función de Green asociada con este problema, es decir, la respuesta de una viga doblemente empotrada de sección transversal constante y material elástico lineal, sometida a una fuerza puntual unitaria ubicada a una distancia <math display="inline">\xi </math> del extremo izquierdo del elemento (Figura [[#img-6b|6b]]). Esta función de Green está gobernada por el P.V.F. [[#eq-36|(36)]], el cual comprende el cumplimiento de la ecuación diferencial gobernante, condiciones de frontera, condiciones de continuidad de desplazamientos y rotaciones en (<math display="inline">x=\xi </math>) y equilibrio vertical y rotacional en este mismo punto: <span id="eq-36"></span>
+Para solucionar el P.V.F. [[#eq-35|(35)]] se definirá la función de Green asociada con este problema, es decir, la respuesta de una viga doblemente empotrada de sección transversal constante y material elástico lineal, sometida a una fuerza puntual unitaria ubicada a una distancia <math display="inline">\xi </math> del extremo izquierdo del elemento ([[#img-6b|Figura 6b]]). Esta función de Green está gobernada por el P.V.F. [[#eq-36|(36)]], el cual comprende el cumplimiento de la ecuación diferencial gobernante, condiciones de frontera, condiciones de continuidad de desplazamientos y rotaciones en (<math display="inline">x=\xi </math>) y equilibrio vertical y rotacional en este mismo punto: <span id="eq-36"></span>
 <span id="eq-36.a"></span>
@@ Line 788: / Line 788: @@
 |}
-La solución de [[#eq-36|(36)]], es decir, la función de Green para la viga doblemente empotrada presentada en la Figura [[#img-6b|6b]] es:
+La solución de [[#eq-36|(36)]], es decir, la función de Green para la viga doblemente empotrada presentada en la [[#img-6b|Figura 6b]] es:
 <span id="eq-37"></span>
@@ Line 929: / Line 929: @@
 |}
-Por su parte para el caso en que se presente un momento puntual, pese a que este se puede expresar como una función <math display="inline">q(x)</math> empleando el límite de dos funciones delta de Dirac, por comodidad a continuación se presenta la función de Green para este caso (Figura [[#img-7|7]]):
+Por su parte para el caso en que se presente un momento puntual, pese a que este se puede expresar como una función <math display="inline">q(x)</math> empleando el límite de dos funciones delta de Dirac, por comodidad a continuación se presenta la función de Green para este caso ([[#img-7|Figura 7]]):
 {| class="formulaSCP" style="width: 100%; text-align: left;"

@@ Line 665: / Line 665: @@
 |}
-Al igual que para el caso de las barras, las funciones de forma “exactas” presentadas en [[#eq-31|(31)]] son iguales a las empleadas en el M.E.F. para aproximar o interpolar el campo total de desplazamiento, lo cual de nuevo es inexacto pues se omite el campo empotrado ([[#eq-28|(28)]]).
+Al igual que para el caso de las barras, las funciones de forma “exactas” presentadas en [[#eq-31|(31)]] son iguales a las empleadas en el M.E.F. para aproximar o interpolar el campo total de desplazamiento, lo cual de nuevo es inexacto pues se omite el campo empotrado [[#eq-28|(28)]].
 A partir de [[#eq-30|(30)]] y [[#eq-4|(4)]], las fuerzas internas homogéneas son:

@@ Line 328: / Line 328: @@
 ===4.2 Solución del P.V.F. empotrado===
-El problema de P.V.F. que gobierna al campo empotrado se presenta en [[#eq-16|(16)]]. Su nombre se debe a que representa la respuesta de una barra doblemente empotrada sometida a una carga externa por unidad de longitud igual a la del elemento en estudio (Figura [[#img-5a|5a]]) <span id="eq-16"></span>
+El problema de P.V.F. que gobierna al campo empotrado se presenta en [[#eq-16|(16)]]. Su nombre se debe a que representa la respuesta de una barra doblemente empotrada sometida a una carga externa por unidad de longitud igual a la del elemento en estudio ([[#img-5a|Figura 5a]]) <span id="eq-16"></span>
 <span id="eq-16.a"></span>
@@ Line 364: / Line 364: @@
-Para la solución del P.V.F. [[#eq-16|(16)]] se empleará la función de Green de un elemento tipo barra doblemente empotrada, que es de sección transversal constante y material elástico lineal (Figura [[#img-5b|5b]]). Esta corresponde a la respuesta (campo de desplazamiento axial) debido a la aplicación de una carga puntual unitaria ubicada a una distancia <math display="inline">\xi </math> del origen de coordenadas y está gobernada por el siguiente P.V.F (notar que las dos últimas ecuaciones corresponden a la continuidad de desplazamiento y equilibrio en el punto de aplicación de la fuerza puntual unitaria <math display="inline">(x=\xi )</math>): <span id="eq-17"></span>
+Para la solución del P.V.F. [[#eq-16|(16)]] se empleará la función de Green de un elemento tipo barra doblemente empotrada, que es de sección transversal constante y material elástico lineal ([[#img-5b|Figura 5b]]). Esta corresponde a la respuesta (campo de desplazamiento axial) debido a la aplicación de una carga puntual unitaria ubicada a una distancia <math display="inline">\xi </math> del origen de coordenadas y está gobernada por el siguiente P.V.F (notar que las dos últimas ecuaciones corresponden a la continuidad de desplazamiento y equilibrio en el punto de aplicación de la fuerza puntual unitaria <math display="inline">(x=\xi )</math>): <span id="eq-17"></span>
 <span id="eq-17.a"></span>

@@ Line 126: / Line 126: @@
 ===2.3 Elemento tipo viga sobre fundación flexible===
-El elemento viga sobre fundación flexible se define como un elemento tipo viga que esta apoyado sobre un medio elástico, el cual tiene una rigidez por unidad de longitud <math display="inline">k</math> y genera una fuerza por unidad de longitud sobre la viga igual a <math display="inline">-kv(x)</math> (Figura [[#img-4|(4)]]). Sus fuerzas internas son iguales a las de la viga, es decir, fuerza cortante y momento flector, y su ecuación diferencial gobernante es <span id='citeF-20'></span>[[#cite-20|[20]]]:
+El elemento viga sobre fundación flexible se define como un elemento tipo viga que esta apoyado sobre un medio elástico, el cual tiene una rigidez por unidad de longitud <math display="inline">k</math> y genera una fuerza por unidad de longitud sobre la viga igual a <math display="inline">-kv(x)</math> ([[#img-4|Figura 4]]). Sus fuerzas internas son iguales a las de la viga, es decir, fuerza cortante y momento flector, y su ecuación diferencial gobernante es <span id='citeF-20'></span>[[#cite-20|[20]]]:
 <span id="eq-5"></span>

@@ Line 1,582: / Line 1,582: @@
 {| style="text-align: left; margin:auto;width: 100%;"
 |-
-| style="text-align: center;" | <math>\begin{Bmatrix}FY_i \\ M_i \\ FY_j \\ M_j  \end{Bmatrix}=  \begin{Bmatrix}FY_i^h \\ M_i^h \\ FY_j^h \\ M_j^h  \end{Bmatrix}+  \begin{Bmatrix}FY_i^f \\ M_i^f \\ FY_j^f \\ M_j^f  \end{Bmatrix}=  \begin{bmatrix}k_{22} & k_{23} & k_{25} & k_{26} \\   k_{32} & k_{33} & k_{35} & k_{36} \\   k_{52} & k_{53} & k_{55} & k_{56} \\   k_{62} & k_{63} & k_{65} & k_{66}          \end{bmatrix}   \begin{Bmatrix}v_i \\ \theta _i \\ v_j \\ \theta _j  \end{Bmatrix}-  \begin{Bmatrix}\int _0^L \Psi _2(x) q(x)dx \\ \int _0^L \Psi _3(x) q(x)dx \\   \int _0^L \Psi _5(x) q(x)dx \\ \int _0^L \Psi _6(x) q(x)dx    \end{Bmatrix}   </math>
+| style="text-align: center;" | <math>\begin{Bmatrix}FY_i \\ M_i \\ FY_j \\ M_j  \end{Bmatrix}=  \begin{Bmatrix}FY_i^h \\ M_i^h \\ FY_j^h \\ M_j^h  \end{Bmatrix}+  \begin{Bmatrix}FY_i^f \\ M_i^f \\ FY_j^f \\ M_j^f  \end{Bmatrix}=  \begin{bmatrix}k_{22} & k_{23} & k_{25} & k_{26} \\   k_{32} & k_{33} & k_{35} & k_{36} \\   k_{52} & k_{53} & k_{55} & k_{56} \\   k_{62} & k_{63} & k_{65} & k_{66}          \end{bmatrix}   \begin{Bmatrix}v_i \\ \theta _i \\ v_j \\ \theta _j  \end{Bmatrix}-  \begin{Bmatrix}\displaystyle\int _0^L \Psi _2(x) q(x)dx \\ \displaystyle\int _0^L \Psi _3(x) q(x)dx \\   \displaystyle\int _0^L \Psi _5(x) q(x)dx \\ \displaystyle\int _0^L \Psi _6(x) q(x)dx    \end{Bmatrix}   </math>
 |}
 | style="width: 5px;text-align: right;white-space: nowrap;" | (84)

@@ Line 3,625: / Line 3,625: @@
 <div id="cite-21"></div>
-[[#citeF-21|[21]]] Eisemberger M.,   Yankelevsky D.Z. Exact stiffness matrix for beams on elastic foundation. Computer & Structures 21(6):1355-1359, 1985.
+[[#citeF-21|[21]]] Eisemberger M.,   Yankelevsky D.Z. Exact stiffness matrix for beams on elastic foundation. Computer & Structures, 21(6):1355-1359, 1985.
 </div>

@@ Line 3,327: / Line 3,327: @@
 Que son equivalentes al sistema de ecuaciones presentado en [[#eq-52|(52)]].
-==C Formulación exacta del M.E.F. para un elemento tipo viga sobre fundación flexible==
+===C. Formulación exacta del M.E.F. para un elemento tipo viga sobre fundación flexible===
 Para este caso el objetivo es resolver el P.V.F. [[#eq-53|(53)]] pero ahora empleando la forma débil de [[#eq-53.a|(53.a)]] en lugar de esta directamente.
@@ Line 3,561: / Line 3,561: @@
 Lo cual es equivalente a lo presentado en [[#eq-84|(84)]].
-===BIBLIOGRAFÍA===
+==Referencias==
 <div id="cite-1"></div>
-'''[[#citeF-1|[1]]]''' Challis, Lawrie and Sheard, Fred. (2003) "The green of Green functions", Volume 56. American Institute of Physics. Physics Today 12 41&#8211;46
+[[#citeF-1|[1]]] Challis L.,  Sheard F. The green of Green functions. American Institute of Physics, Physics Today, 56(12):41-46, 2003.
 <div id="cite-2"></div>
-'''[[#citeF-2|[2]]]''' Duffy, Dean G. (2015) "Green’s functions with applications". Chapman and Hall/CRC
+[[#citeF-2|[2]]] Duffy D.G. Green’s functions with applications. Chapman and Hall/CRC, 2015.
 <div id="cite-3"></div>
-'''[[#citeF-3|[3]]]''' Banerjee, PK and Butterfield, R. (1981) "Boundary element methods in engineering science". McGraw-Hill, New York
+[[#citeF-3|[3]]] Banerjee P.K.,  Butterfield R. Boundary element methods in engineering science. McGraw-Hill, New York, 1981.
 <div id="cite-4"></div>
-'''[[#citeF-4|[4]]]''' Sánchez-Sesma, F. J. and Ramos-Martínez, J. and Campillo, M. (1993) "An indirect boundary element method applied to simulate the seismic response of alluvial valleys for incident P, S and Rayleigh waves", Volume 22. Wiley Online Library. Earthquake engineering & structural dynamics 4 279&#8211;295
+[[#citeF-4|[4]]] Sánchez-Sesma F.J.,  Ramos-Martínez J.,  Campillo M. An indirect boundary element method applied to simulate the seismic response of alluvial valleys for incident P, S and Rayleigh waves. Earthquake Engineering & Structural Dynamics, 22(4):279-295, 1993.
 <div id="cite-5"></div>
-'''[[#citeF-5|[5]]]''' Fairweather, G. and Karageorghis, A. and Martin, P.A. (2003) "The method of fundamental solutions for scattering and radiation problems", Volume 27. Elsevier. Engineering Analysis with Boundary Elements 7 759&#8211;769
+[[#citeF-5|[5]]] Fairweather G.,  Karageorghis A.,  Martin P.A. The method of fundamental solutions for scattering and radiation problems. Engineering Analysis with Boundary Elements, 27(7):759-769, 2003.
 <div id="cite-6"></div>
-'''[[#citeF-6|[6]]]''' Thomson, William T. (1950) "Transmission of elastic waves through a stratified solid medium", Volume 21. AIP. Journal of applied Physics 2 89&#8211;93
+[[#citeF-6|[6]]] Thomson W.T. Transmission of elastic waves through a stratified solid medium. Journal of Applied Physics, 21(2):89-93, 1950.
 <div id="cite-7"></div>
-'''[[#citeF-7|[7]]]''' Boussinesq, Joseph. (1885) "Application des potentiels a l'étude de l'équilibre et du mouvement des solides élastiques". Gauthier-Villars, Imprimeur-Libraire
+[[#citeF-7|[7]]] Boussinesq J. Application des potentiels a l'étude de l'équilibre et du mouvement des solides élastiques. Gauthier-Villars, Imprimeur-Libraire, 1885.
 <div id="cite-8"></div>
-'''[[#citeF-8|[8]]]''' Cerruti, Valentino. (1882) "Ricerche intorno all'equilibrio de'corpi elastici isotropi: memoria". Coi tipi del Salviucci
+[[#citeF-8|[8]]] Cerruti V. Ricerche intorno all'equilibrio de'corpi elastici isotropi: memoria. Coi tipi del Salviucci, 1882.
 <div id="cite-9"></div>
-'''[[#citeF-9|[9]]]''' Mindlin, R.D. (1936) "Force at a Point in the Interior of a Semi-Infinite Solid", Volume 7. AIP. Physics 5 195-202
+[[#citeF-9|[9]]] Mindlin R.D. Force at a point in the interior of a semi-infinite solid. AIP Physics, 7(5):195-202, 19336.
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-'''[[#citeF-10|[10]]]''' George Gebriel Stokes. (1849) "On dynamical theory of diffraction", Volume 9. Transactions of the Cambridge Philosophical Society 1-48
+[[#citeF-10|[10]]] Stokes G.G. On dynamical theory of diffraction. Transactions of the Cambridge Philosophical Society, 9:1-48, 1849.
 <div id="cite-11"></div>
-'''[[#citeF-11|[11]]]''' H. Lamb. (1904) "On The Propagation Of Tremors Over The Surface Of An Elastic Solid", Volume 203. Philosophical Transactions of the Royal Society of London 1-42
+[[#citeF-11|[11]]] Lamb H. On the propagation of tremors over the surface of an elastic solid.  Philosophical Transactions of the Royal Society of London, 203:1-42, 1904.
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+[[#citeF-12|[12]]] Chao C.C. Dynamical response of an elastic half-space to tangential surface loadings. Journal of Applied Mechanics, 27:559, 1960.
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-'''[[#citeF-13|[13]]]''' Kausel, E. (2006) "Fundamental solutions in elastodynamics: a compendium". Cambridge University Press
+[[#citeF-13|[13]]] Kausel E. Fundamental solutions in elastodynamics: a compendium. Cambridge University Press, 2006.
 <div id="cite-14"></div>
-'''[[#citeF-14|[14]]]''' Aki, K. and Richards, P.G. (2002) "Quantitative seismology". Univ Science Books
+[[#citeF-14|[14]]] Aki K.,  Richards P.G. Quantitative seismology. Univ. Science Books, 700 pp., 2002.
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-'''[[#citeF-15|[15]]]''' Colunga, Arturo Tena. (2007) "Análisis de estructuras con métodos matriciales". Limusa
+[[#citeF-15|[15]]] Colunga A.T. Análisis de estructuras con métodos matriciales. Limusa, 560 pp., 2007.
 <div id="cite-16"></div>
-'''[[#citeF-16|[16]]]''' McCormac, Jack C. (2007) "Structural Analysis: using classical and matrix methods". Wiley Hoboken, NJ
+[[#citeF-16|[16]]] McCormac J.C. Structural Analysis: using classical and matrix methods. Wiley Hoboken, NJ, 2007.
 <div id="cite-17"></div>
-'''[[#citeF-17|[17]]]''' Kassimali, Aslam. (2012) "Matrix Analysis of Structures SI Version". Cengage Learning
+[[#citeF-17|[17]]] Kassimali A. Matrix analysis of structures SI version. Cengage Learning, 640 pp., 2012.
 <div id="cite-18"></div>
-'''[[#citeF-18|[18]]]''' J.N. Reddy. (2006) "An Introduction to the Finite Element Method". McGrawHill
+[[#citeF-18|[18]]] Reddy J.N. An introduction to the finite element method. McGraw-Hill, 2006.
 <div id="cite-19"></div>
-'''[[#citeF-19|[19]]]''' K.J. Bathe. (2006) "Finite Element Procedures". McGrawHill
+[[#citeF-19|[19]]] Bathe K.J. Finite element procedures. McGraw-Hill, 2006.
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-'''[[#citeF-20|[20]]]''' Hetényi, Miklós. (1971) "Beams on elastic foundation: theory with applications in the fields of civil and mechanical engineering". University of Michigan
+[[#citeF-20|[20]]] Hetényi M. Beams on elastic foundation: theory with applications in the fields of civil and mechanical engineering. University of Michigan, 1971.
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-'''[[#citeF-21|[21]]]''' M. Eisemberger and D.Z. Yankelevsky. (1985) "Exact Stiffness Matrix for Beams on Elastic Foundation", Volume 21. Computer & Structures 6 1355-1359
+[[#citeF-21|[21]]] Eisemberger M.,   Yankelevsky D.Z. Exact stiffness matrix for beams on elastic foundation. Computer & Structures 21(6):1355-1359, 1985.

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 La cual es equivalente a la formulación del método de rigidez para elementos tipo barra de sección constante y material elástico lineal presentada en [[#eq-26|(26)]].
-==B Formulación exacta del M.E.F. para un elemento tipo viga==
+===B. Formulación exacta del M.E.F. para un elemento tipo viga===
 Ahora, de forma similar a como se realizó en el apéndice [[#A Formulación exacta del M.E.F. para un elemento tipo barra|A]] para el elemento tipo barra, se procederá a realizar la formulación “exacta” del M.E.F. para un elemento tipo viga de sección transversal constante. Al igual que lo presentado en la sección [[#5 Formulación analítica del método de rigidez con funciones de Green para elementos tipo viga|5]], el objetivo es realizar esta formulación mediante la solución del P.V.F. [[#eq-27|(27)]] pero ahora empleando la forma de débil de la E.D. [[#eq-27.a|(27.a)]] en lugar de esta directamente. A diferencial de la formulación tradicional del M.E.F., en esta alternativa el campo de desplazamientos no solo dependerá de los desplazamientos y rotaciones de los extremos del elemento (campo homogéneo) sino también de la carga externa (campo empotrado), es decir: