Matias et al 2017a - Revision history

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 |[[Image:draft_Samper_709676212-corotating_2Dbeam_element.png|386px|Movimiento del elemento de viga 2D.]]
 |- style="text-align: center; font-size: 75%;"
-| colspan="1" | '''Figura 1:''' Movimiento del elemento de viga 2D.
+| colspan="1" style="padding:15px;"| '''Figura 1:''' Movimiento del elemento de viga 2D.
 |}

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 |[[Image:draft_Samper_709676212-euler_column.png|326px|Columna de Euler. (a) Propiedades geométricas y mecánicas. (b) Trayectoria secundaria de equilibrio.]]
 |- style="text-align: center; font-size: 75%;"
-| colspan="1" | '''Figura 2:''' Columna de Euler. (a) Propiedades geométricas y mecánicas. (b) Trayectoria secundaria de equilibrio.
+| colspan="1" style="padding:15px;"| '''Figura 2:''' Columna de Euler. (a) Propiedades geométricas y mecánicas. (b) Trayectoria secundaria de equilibrio.
 |}

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 En este ejemplo se considera el pandeo de la columna de Euler con una extremidad empotrada y la otra libre conforme la Figura 2a. En dicha figura se detallan las propiedades geométricas y mecánicas de la columna que fue discretizada con 10 elementos de viga EB, EBNL y TI, respectivamente. <div id='img-2'></div>
 {| class="floating_imageSCP" style="text-align: center; border: 1px solid #BBB; margin: 1em auto; width: auto;max-width: auto;"
 |-
@@ Line 662: / Line 663: @@
 ===6.2 Pórtico de Lee===
 <div id='img-3'></div>
@@ Line 668: / Line 671: @@
 |[[Image:draft_Samper_709676212-lee_frame_second_example.png|386px|Pórtico de Lee. (a) Propiedades geométricas y mecánicas. (b) Trayectorias de equilibrio.]]
 |- style="text-align: center; font-size: 75%;"
-| colspan="1" | '''Figura 3:''' Pórtico de Lee. (a) Propiedades geométricas y mecánicas. (b) Trayectorias de equilibrio.
+| colspan="1" style="padding:15px;"| '''Figura 3:''' Pórtico de Lee. (a) Propiedades geométricas y mecánicas. (b) Trayectorias de equilibrio.
 |}
 ===6.3 Arco circular biarticulado rebajado===
 <div id='img-4'></div>
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 |[[Image:draft_Samper_709676212-hinged_low_rise_arch.png|357px|Arco circular biarticulado rebajado. (a) Propiedades geométricas y mecánicas. (b) Desplazamiento vertical del vértice.]]
 |- style="text-align: center; font-size: 75%;"
-| colspan="1" | '''Figura 4:''' Arco circular biarticulado rebajado. (a) Propiedades geométricas y mecánicas. (b) Desplazamiento vertical del vértice.
+| colspan="1" style="padding:15px;"| '''Figura 4:''' Arco circular biarticulado rebajado. (a) Propiedades geométricas y mecánicas. (b) Desplazamiento vertical del vértice.
 |}
 <div class="center" style="width: auto; margin-left: auto; margin-right: auto;font-size: 75%;"> '''Tabla 1'''. Valores de la carga <math>\frac{qr^3}{EI}</math> en los puntos limites</div>
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 |[[Image:draft_Samper_709676212-hinged_semi_circular_arch.png|427px|Arco semicircular biarticulado. a) Propiedades geométricas y mecánicas. b) Desplazamiento vertical del vértice.]]
 |- style="text-align: center; font-size: 75%;"
-| colspan="1" | '''Figura 5:''' Arco semicircular biarticulado. (a) Propiedades geométricas y mecánicas. (b) Desplazamiento vertical del vértice.
+| colspan="1" style="padding:15px;"| '''Figura 5:''' Arco semicircular biarticulado. (a) Propiedades geométricas y mecánicas. (b) Desplazamiento vertical del vértice.
 |}

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 En este ejemplo se considera el pandeo de la columna de Euler con una extremidad empotrada y la otra libre conforme la Figura 2a. En dicha figura se detallan las propiedades geométricas y mecánicas de la columna que fue discretizada con 10 elementos de viga EB, EBNL y TI, respectivamente. <div id='img-2'></div>
-{| class="floating_imageSCP" style="text-align: center; border: 1px solid #BBB; margin: 1em auto; width: 100%;max-width: 100%;"
+{| class="floating_imageSCP" style="text-align: center; border: 1px solid #BBB; margin: 1em auto; width: auto;max-width: auto;"
 |-
 |[[Image:draft_Samper_709676212-euler_column.png|326px|Columna de Euler. (a) Propiedades geométricas y mecánicas. (b) Trayectoria secundaria de equilibrio.]]
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 <div id='img-3'></div>
-{| class="floating_imageSCP" style="text-align: center; border: 1px solid #BBB; margin: 1em auto; width: 100%;max-width: 100%;"
+{| class="floating_imageSCP" style="text-align: center; border: 1px solid #BBB; margin: 1em auto; width: auto;max-width: auto;"
 |-
 |[[Image:draft_Samper_709676212-lee_frame_second_example.png|386px|Pórtico de Lee. (a) Propiedades geométricas y mecánicas. (b) Trayectorias de equilibrio.]]
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 <div id='img-4'></div>
-{| class="floating_imageSCP" style="text-align: center; border: 1px solid #BBB; margin: 1em auto; width: 100%;max-width: 100%;"
+{| class="floating_imageSCP" style="text-align: center; border: 1px solid #BBB; margin: 1em auto; width: auto;max-width: auto;"
 |-
 |[[Image:draft_Samper_709676212-hinged_low_rise_arch.png|357px|Arco circular biarticulado rebajado. (a) Propiedades geométricas y mecánicas. (b) Desplazamiento vertical del vértice.]]
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 <div id='img-5'></div>
-{| class="floating_imageSCP" style="text-align: center; border: 1px solid #BBB; margin: 1em auto; width: 100%;max-width: 100%;"
+{| class="floating_imageSCP" style="text-align: center; border: 1px solid #BBB; margin: 1em auto; width: auto;max-width: auto;"
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 |[[Image:draft_Samper_709676212-hinged_semi_circular_arch.png|427px|Arco semicircular biarticulado. a) Propiedades geométricas y mecánicas. b) Desplazamiento vertical del vértice.]]

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 The present work uses a co-rotating approach for obtain the internal forces and tangent stiffness matrices for three plane beam elements. All of them are based on the same co-rotational approach, and differ by the strain definition used in the local co-rotational coordinate system. Based on the Bernoulli assumption, the first two elements use a linear and a shallow arch strain definition, respectively. The third element is based on the Timoshenko assumption with linear interpolations for the displacements. Some examples are presented and the numerical results demonstrate that the beam elements here presented are able to perform the nonlinear analysis of plane frames and 2D arches and to handle large rotations too.
-==1 Introducción==
+==1. Introducción==
 En las últimas dos décadas se ha observado un creciente interés en la comunidad de mecánica computacional referente a la aplicación de la formulación corrotacional en el análisis no lineal de estructuras utilizadas en la industria aeronáutica, aeroespacial y petrolera. Felippa y Haugen [1] describen en detalle una reseña del desarrollo de la formulación corrotacional y de sus aplicaciones en mecánica computacional. La idea principal de la formulación corrotacional es descomponer el movimiento de un sólido en la suma de un movimiento de cuerpo rígido y un movimiento deformacional. Esta formulación es un caso particular de la cinemática Lagrangiana para modelar los efectos de la no linealidad geométrica en el análisis estructural, haciendo uso del método de los elementos finitos. En esta formulación se asume que tanto las traslaciones como las rotaciones de cuerpo rígido podrán ser grandes, pero las deformaciones han de ser pequeñas y por ello existe la posibilidad del uso de elementos finitos lineales en problemas que involucran no linealidad geométrica, siendo esta la principal motivación del uso de la formulación corrotacional. En el panorama actual se puede citar algunos trabajos que han aplicado la formulación corrotacional utilizando otros métodos de discretización, por ejemplo, en Yaw et al. [2] se muestran aplicaciones de la formulación corrotacional y los métodos sin malla en el análisis de sólidos 2D incluyendo no linealidad geométrica y física; Xu et al [3] aplican el método de elementos finitos extendidos para el tratamiento de problemas de localización y la formulación corrotacional en elementos de viga de Timoshenko en el análisis no lineal de estructuras reticulares. Aún en el contexto de la aplicación de la formulación corrotacional en la actualidad, en Bisegna y Caselli [4] se describe la formulación corrotacional de un elemento de lámina hiperelástico y su aplicación en el estudio de fibras de tejidos biológicos. Como ejemplo más reciente de aplicación de la formulación corrotacional en el análisis no lineal de estructuras se puede citar el trabajo de Li et al. [5] que describe la formulación corrotacional de um elemento triangular de lámina de 6 nodos y su aplicación en el análisis elastoplastico de cáscaras finas. En este trabajo se aplica la formulación corrotacional junto a diferentes teorías de vigas en el análisis no lineal geométrico de vigas, pórticos y arcos. Para ello, se utilizan las teorías clásicas de viga de Euler-Bernoulli y de Timoshenko. En el tercer elemento de viga se incluye en la teoría de Euler-Bernoulli el efecto del acoplamiento de los esfuerzos axil y de flexión, dicho acoplamiento genera coeficientes no lineales en la matriz de rigidez elástica del elemento, razón por la cual se le denonima elemento de viga de Euler- Bernoulli ''no lineal''. La cinemática corrotacional aquí descrita sigue la formulación propuesta  por Crisfield [6], esta formulación permite obtener la matriz de rigidez tangente en coordenadas globales independientemente del tipo de elemento de viga adoptado. El objetivo en este trabajo es comparar el desempeño de los tres tipos de elementos de viga 2D al retratar el comportamiento no lineal de vigas, pórticos planos y arcos.
-==2 Cinemática corrotacional==
+==2. Cinemática corrotacional==
 <div id='img-1'></div>
-{| class="floating_imageSCP" style="text-align: center; border: 1px solid #BBB; margin: 1em auto; width: 100%;max-width: 100%;"
+{| class="floating_imageSCP" style="text-align: center; border: 1px solid #BBB; margin: 1em auto; width: auto;max-width: auto;"
 |-
 |[[Image:draft_Samper_709676212-corotating_2Dbeam_element.png|386px|Movimiento del elemento de viga 2D.]]
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 En los próximos apartados se obtiene la matriz de rigidez elástica para los elementos de viga de Euler-Bernoulli, de Timoshenko y de Euler-Bernoulli no lineal. Para el último elemento se tiene en cuenta el acoplamiento entre los efectos de los esfuerzos de flexión y axil lo que genera coeficientes no lineales en la matriz de rigidez elástica, por esta razón se le denomina aquí con el adjetivo ''no lineal''.
-==3 Elemento de viga Euler-Bernoulli==
+==3. Elemento de viga Euler-Bernoulli==
 El movimiento deformacional de este elemento es descrito por las siguientes funciones de forma
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 |}
-==4 Elemento de viga Timoshenko==
+==4. Elemento de viga Timoshenko==
 En el elemento de viga de Timoshenko son utilizadas funciones de interpolaciones lineales para los desplazamientos <math display="inline">u</math>, <math display="inline">v</math> y <math display="inline">\theta </math> en el sistema de referencia local como
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 |}
-==5 Elemento de viga Euler-Bernoulli no lineal==
+==5. Elemento de viga Euler-Bernoulli no lineal==
 La denominación ''no lineal'' se refiere al acoplamiento entre los efectos de los esfuerzos axil y de flexión, esto resulta en la obtención de coefcientes no lineales en la matriz de rigidez elástica del elemento. Por lo tanto, la deformación en un punto del elemento viene dada por
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 Se puede observar que los términos <math display="inline">e</math>, <math display="inline">e_{_1}e_{_2}</math>, <math display="inline">e_{_1}^2</math> y <math display="inline">e_{_2}^2</math> son funciones cuadráticas de las variables <math display="inline">\bar \theta _{_1}</math> y <math display="inline">\bar \theta _2</math>, por lo tanto los coeficientes de la matriz en (45) que poseen estos términos son no lineales respecto a <math display="inline">\bar \theta _{_1}</math> y <math display="inline">\bar \theta _{_2}</math>.
-==6 Ejemplos numéricos==
+==6. Ejemplos numéricos==
 Es importante resaltar que entre los tres elementos de viga presentados en este trabajo, el elemento de viga de Timoshenko es el menos refinado, pues utiliza funciones de interpolaciones lineales, mientras que el elemento de viga de Euler-Bernoulli no lineal es el más refinado pues además de utilizar funciones de interporlación de grado 3 tiene en cuenta el acoplamiento entre los efectos de los esfuerzos axil y de flexión. En consecuencia, la respuesta no lineal de un sistema estrutural obtenida utilizando los tres tipos de elementos, será la misma si las magnitudes de las deformaciones fueran inifinitesimales, mientras que si las deformaciones son pequeñas o medianas la respuesta será distinta. Para realizar el análisis no lineal geométrico de los ejemplos presentados en este apartado, se utilizó un programa escrito en lenguaje Fortran90 denominado 2Dbeam<math display="inline">\_</math>nl.f90 escrito por los autores de este artículo. Se utilizará a continuación la denominaco EB para el elemento de viga de Euler-Bernoulli, EBNL para el elemento de viga Euler-Bernoulli no lineal y TI para el elemento de viga de Timoshenko. En todos los ejemplos presentados a continuación fue adoptada una tolerancia para convergencia de <math display="inline">10^{^{-5}}</math>. El objetivo es mostrar el desempeño de estos elementos de viga para reproducir el comportamiento fuertemente no lineal de algunos sistemas estructurales. Cabe destacar, como será visto en los siguientes ejemplos, que los elementos de viga aquí descritos poseen habilidad de tratar grandes rotaciones de cuerpo rígido, y además que el elemento de viga de Timoshenko no presenta bloqueo por cortante.
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 |}
-==7 Conclusiones==
+==7. Conclusiones==
 Los elementos de viga 2D de Euler-Bernoulli, de Euler-Bernoulli no lineal y de Timoshenko presentaron un excelente desempeño en el análisis no lineal de vigas, pórticos y arcos. Estos elementos obtuvieron trayectorias de equilibrio casi idénticas para las diferentes tipologías estructurales presentadas en este trabajo, cuando estas sufren deformaciones infinitesimales. Cuando la estructura analisada ha presentado en algunos estados de carga deformaciones medianas, los caminos de equilibrio difieren un poco. Asi que de manera general los resultados obtenidos con los tres modelos de vigas han tenido una buena coincidencia comparados con resultados de otros autores. En este trabajo se mostró, a través de los ejemplos numéricos, la habilidad de los tres modelos viga de tratar con grandes rotaciones de cuerpo rígido cuando se utiliza la formulación corrotacional. A través de operaciones algebraicas bastante simples se describió de manera explícita el movimiento de sólido rígido del elemento de viga y la obtención de la matriz de rigidez tangente expresada en coordenadas globales. La formulación corrotacional aquí descrita es independiente del modelo de elemento de viga 2D que será utilizado. Cabe destacar como principal ventaja de la formulación corrotacional el desacoplamiento entre los efectos locales y globales, esto permite utilizar una biblioteca de elementos finitos oriundos del análisis lineal. La extensión de estos al análisis no lineal geométrico se da al tener en cuenta los efectos globales debido al movimiento de sólido rígido. Por otro lado, diferentes no linealidades físicas pueden ser fácilmente incorporadas a la formulación corrotacional debido a que son efectos locales.

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 {| style="text-align: left; margin:auto;width: 100%;"
 |-
-| style="text-align: center;" | <math>\begin{array}{rl}N=&\int \limits _V\frac{\sigma }{l_{_0}}dV=\int \limits _A\sigma dA     \\     M_{_1}=&\Bigl(\frac{2}{15}\bar \theta _{_1}-\frac{1}{30}\bar \theta _{_2}\Bigr)\int \limits _V\sigma dV+     \int \limits _V\sigma y\bigl(\frac{4}{l_{_0}}-6\frac{x}{l_{_0}^{^2}}\bigr)dV=     \Bigl(\frac{2}{15}\bar \theta _{_1}-\frac{1}{30}\bar \theta _{_2}\Bigr)l_{_0}\int \limits _A\sigma dA+\int \limits _A\sigma ydA     \\     M_{_2}=&\Bigl(\frac{2}{15}\bar \theta _{_2}-\frac{1}{30}\bar \theta _{_1}\Bigr)\int \limits _V\sigma dV+     \int \limits _V\sigma y\bigl(\frac{2}{l_{_0}}-6\frac{x}{l_{_0}^{^2}}\bigr)dV=     \Bigl(\frac{2}{15}\bar \theta _{_2}-\frac{1}{30}\bar \theta _{_1}\Bigr)l_{_0}\int \limits _A\sigma dA-\int \limits _A\sigma ydA   \end{array} </math>
+| style="text-align: center;" | <math>\begin{array}{rl}N=&\int \limits _V\frac{\sigma }{l_{_0}}dV=\int \limits _A\sigma dA     \\     M_{_1}=&\Bigl(\frac{2}{15}\bar \theta _{_1}-\frac{1}{30}\bar \theta _{_2}\Bigr)\int \limits _V\sigma dV+     \int \limits _V\sigma y\bigl(\frac{4}{l_{_0}}-6\frac{x}{l_{_0}^{^2}}\bigr)dV\left.=\right.     \Bigl(\frac{2}{15}\bar \theta _{_1}-\frac{1}{30}\bar \theta _{_2}\Bigr)l_{_0}\int \limits _A\sigma dA+\int \limits _A\sigma ydA     \\     M_{_2}=&\Bigl(\frac{2}{15}\bar \theta _{_2}-\frac{1}{30}\bar \theta _{_1}\Bigr)\int \limits _V\sigma dV+     \int \limits _V\sigma y\bigl(\frac{2}{l_{_0}}-6\frac{x}{l_{_0}^{^2}}\bigr)dV\left.=\right.     \Bigl(\frac{2}{15}\bar \theta _{_2}-\frac{1}{30}\bar \theta _{_1}\Bigr)l_{_0}\int \limits _A\sigma dA-\int \limits _A\sigma ydA   \end{array} </math>
 |}
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	==Resumen==		==Resumen==

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