Larios et al 2020a - Revision history

Rimni: /* 4. Implementación de la plataforma computacional */

2021-03-01T15:20:53Z

‎4. Implementación de la plataforma computacional

Rimni at 12:23, 25 August 2020

2020-08-25T12:23:07Z

Rimni at 12:18, 25 August 2020

2020-08-25T12:18:40Z

Rimni at 12:14, 25 August 2020

2020-08-25T12:14:46Z

Rimni at 12:06, 25 August 2020

2020-08-25T12:06:47Z

Rimni at 11:49, 25 August 2020

2020-08-25T11:49:39Z

Rimni at 11:48, 25 August 2020

2020-08-25T11:48:11Z

Rimni at 11:45, 25 August 2020

2020-08-25T11:45:41Z

Rimni at 11:45, 25 August 2020

2020-08-25T11:45:03Z

Rimni at 11:42, 25 August 2020

2020-08-25T11:42:18Z

@@ Line 610: / Line 610: @@
 |-
 |  style="border-top: 1pt solid black;text-align: center;"|<math>E = 2\times 10^{11}</math> N/m<math>^2</math>
-|  style="border-top: 1pt solid black;text-align: center;"|Disco
+|  style="text-align: center;"|Disco
-|  style="border-top: 1pt solid black;text-align: center;"|<math>D_1 </math>
+|  style="text-align: center;"|<math>D_1 </math>
-|  style="border-top: 1pt solid black;text-align: center;"|<math>D_2 </math>
+|  style="text-align: center;"|<math>D_2 </math>
-|  style="border-top: 1pt solid black;text-align: center;"|<math>D_3 </math>
+|  style="text-align: center;"|<math>D_3 </math>
 |-
 |  style="text-align: center;"|<math>\rho = 7800</math> kg/ m<math>^3</math>
@@ Line 627: / Line 627: @@
 |  style="text-align: center;"|0.05
 |-
-|  style="border-bottom: 1pt solid black;text-align: center;"|
+|  style="text-align: center;"|
-|  style="border-bottom: 1pt solid black;text-align: center;"|<math>r_{eD}</math> (m)
+|  style="text-align: center;"|<math>r_{eD}</math> (m)
-|  style="border-bottom: 1pt solid black;text-align: center;"|0.12
+|  style="text-align: center;"|0.12
-|  style="border-bottom: 1pt solid black;text-align: center;"|0.20
+|  style="text-align: center;"|0.20
-|  style="border-bottom: 1pt solid black;text-align: center;"|0.20
+|  style="text-align: center;"|0.20
 |}

@@ Line 357: / Line 357: @@
 con
 {| class="formulaSCP" style="width: 100%; text-align: center;"
 |-
 |  style="vertical-align: top;"|<math>\left[ C\left( \overset{\cdot}{\phi }\right) \right] =\left[ {C}_{1}\right] +\overset{\cdot}{\phi }\left[ {C}_{2}\right]</math>
@@ Line 369: / Line 367: @@
 |-
 |  style="vertical-align: top;"|<math>\left\{ {F}_{3}\left( \phi \right) \right\} =\left\{ {m}_{u}d\left( \mathrm{sin}\,\left( \phi +\alpha \right) -\right. \right. </math><math>\left. \left. \mathrm{cos}\,\left( \phi +\alpha \right) \right) \right\}</math>
-|}
+|}</div>
-|}
 donde  <math display="inline">{m}_{u}d</math> es el desbalance presente en el sistema y <math display="inline">\left\{ \delta \right\}</math> representa su posición angular. Asimismo,  <math display="inline">\left\{ \delta \right\}</math>  es el vector que contiene todos los desplazamientos nodales;  <math display="inline">\left[ M\right]</math>  es la matriz de masa global del sistema y está formada por  <math display="inline">\left[ {M}_{T}\right] +</math><math>\left[ {M}_{R}\right]</math>.  <math display="inline">\left[ C\left( \overset{\cdot}{\phi }\right) \right]</math>, es la matriz de amortiguamiento global, que incluye los efectos giroscópicos en función de la velocidad de rotación  <math display="inline">\left( \overset{\cdot}{\phi }\left[ {C}_{2}\right] \right)</math>, y  <math display="inline">\left[ {C}_{1}\right]</math>  que contiene el amortiguamiento atribuible a los soportes.  <math display="inline">\left[ K\left( \ddot{\phi }\right) \right]</math>  es la matriz de rigidez global, y está formada por:  <math display="inline">\left[ {K}_{1}\right]</math>  que incluye la rigidez de los soportes,  <math display="inline">\left[ {K}_{2}\right]</math>  que representa la rigidez del rotor y  <math display="inline">\left( \ddot{\phi }\left[ {K}_{3}\right] \right)</math>  que es un término de rigidez que está en función de la aceleración angular del rotor. Asimismo,  <math display="inline">\left\{ {F}_{1}\right\}</math>  representa un vector de fuerza constante, como el peso debido a la influencia de la gravedad,  <math display="inline">\left\{ {F}_{2}\left( \phi \right) \right\}</math>  y  <math display="inline">\left\{ {F}_{3}\left( \phi \right) \right\}</math>  son los vectores de fuerza generados por el desbalance  <math display="inline">{m}_{u}d</math>. Finalmente, los términos  <math display="inline">\phi</math>,  <math display="inline">\overset{\cdot}{\phi }</math> y  <math display="inline">\ddot{\phi }</math> representan el desplazamiento, la velocidad y la aceleración angular del rotor en función del tiempo, respectivamente.
@@ Line 393: / Line 391: @@
 con
-{| style="width: 100%;border-collapse: collapse;text-align:center;"
+<div class="center" style="width: auto; margin-left: auto; margin-right: auto;">
 |-
 |  style="vertical-align: top;"|<math>\left[ C\left( \Omega \right) \right] =\left[ {C}_{1}\right] +\Omega \left[ {C}_{2}\right]</math>
@@ Line 402: / Line 401: @@
 |-
 |  style="vertical-align: top;"|<math>\left\{ {F}_{3}\right\} ={m}_{u}d{\Omega }^{2}\left\{ \begin{matrix}\mathrm{sin}\,\left( \alpha \right) \\\mathrm{cos}\,\left( \alpha \right) \end{matrix}\right\}</math>
-|}
+|}</div>
 Para la obtención de los eigenvectores y eigenvalores, así como el diagrama de Campbell característico del sistema rotodinámico, la ec. (14) se considera en su forma homogénea, por tanto:
@@ Line 442: / Line 441: @@
 donde
 {| class="formulaSCP" style="width: 100%; text-align: center;"
 |-
 | style="text-align: center;" | <math>A=\left[ \begin{matrix}\left[ 0\right] \\\left[ M\right] \end{matrix}\, \, \begin{matrix}\left[ M\right] \\\left[ C(\Omega )\right] \end{matrix}\right]</math>
@@ Line 454: / Line 451: @@
 |-
 |  style="text-align: center;vertical-align: top;"|<math>\left\{ X\right\} =\left\{ \begin{matrix}r\Delta \\\Delta \end{matrix}\, \, \right\}</math>
-|}
+|}</div>
-|}
-−
 Como se puede observar, la ec. (17) adopta la forma del clásico problema de eigenvalores generalizados [11]. De la solución de la ec. (17) se obtienen los eigenvalores y eigenvectores del sistema rotodinámico, los cuales presentan la estructura de un número complejo conjugado.
@@ Line 551: / Line 546: @@
 donde
-{| style="width: 100%;border-collapse: collapse;"
+<div class="center" style="width: auto; margin-left: auto; margin-right: auto;">
 |-
 |  style="text-align: center;vertical-align: top;"|<math display="inline">{a}_{0}=</math><math>\frac{1}{\gamma {(\Delta t)}^{2}}</math>;   <math display="inline">{a}_{1}=</math><math>\frac{\beta }{\gamma \Delta t}</math>;   <math display="inline">{a}_{2}=</math><math>\frac{1}{\gamma \Delta t}</math>;   <math display="inline">{a}_{3}=</math><math>\frac{1}{2\gamma }-1</math>
 |-
 |  style="text-align: center;vertical-align: top;"|<math display="inline">{a}_{4}=</math><math>\frac{\beta }{\gamma }-1</math>  y  <math display="inline">{a}_{5}=</math><math>\frac{\Delta t}{2}\left( \frac{\beta }{\gamma }-2\right)</math>
-|}
+|}</div>
 De esta forma, se obtiene <math display="inline">\delta \left( \Delta t\right)</math> y, posteriormente,  <math display="inline">\overset{\cdot}{\delta }\left( \Delta t\right)</math> y <math display="inline">\ddot{\delta }\left( \Delta t\right)</math>. Ahora, la ec. (22) se tiene que resolver para cada incremento de tiempo.

@@ Line 357: / Line 357: @@
 con
-{| style="width: 100%;border-collapse: collapse;text-align:center;"
+{| class="formulaSCP" style="width: 100%; text-align: center;"
 |-
 |  style="vertical-align: top;"|<math>\left[ C\left( \overset{\cdot}{\phi }\right) \right] =\left[ {C}_{1}\right] +\overset{\cdot}{\phi }\left[ {C}_{2}\right]</math>
@@ Line 367: / Line 370: @@
 |  style="vertical-align: top;"|<math>\left\{ {F}_{3}\left( \phi \right) \right\} =\left\{ {m}_{u}d\left( \mathrm{sin}\,\left( \phi +\alpha \right) -\right. \right. </math><math>\left. \left. \mathrm{cos}\,\left( \phi +\alpha \right) \right) \right\}</math>
 |}
+|}
 donde  <math display="inline">{m}_{u}d</math> es el desbalance presente en el sistema y <math display="inline">\left\{ \delta \right\}</math> representa su posición angular. Asimismo,  <math display="inline">\left\{ \delta \right\}</math>  es el vector que contiene todos los desplazamientos nodales;  <math display="inline">\left[ M\right]</math>  es la matriz de masa global del sistema y está formada por  <math display="inline">\left[ {M}_{T}\right] +</math><math>\left[ {M}_{R}\right]</math>.  <math display="inline">\left[ C\left( \overset{\cdot}{\phi }\right) \right]</math>, es la matriz de amortiguamiento global, que incluye los efectos giroscópicos en función de la velocidad de rotación  <math display="inline">\left( \overset{\cdot}{\phi }\left[ {C}_{2}\right] \right)</math>, y  <math display="inline">\left[ {C}_{1}\right]</math>  que contiene el amortiguamiento atribuible a los soportes.  <math display="inline">\left[ K\left( \ddot{\phi }\right) \right]</math>  es la matriz de rigidez global, y está formada por:  <math display="inline">\left[ {K}_{1}\right]</math>  que incluye la rigidez de los soportes,  <math display="inline">\left[ {K}_{2}\right]</math>  que representa la rigidez del rotor y  <math display="inline">\left( \ddot{\phi }\left[ {K}_{3}\right] \right)</math>  que es un término de rigidez que está en función de la aceleración angular del rotor. Asimismo,  <math display="inline">\left\{ {F}_{1}\right\}</math>  representa un vector de fuerza constante, como el peso debido a la influencia de la gravedad,  <math display="inline">\left\{ {F}_{2}\left( \phi \right) \right\}</math>  y  <math display="inline">\left\{ {F}_{3}\left( \phi \right) \right\}</math>  son los vectores de fuerza generados por el desbalance  <math display="inline">{m}_{u}d</math>. Finalmente, los términos  <math display="inline">\phi</math>,  <math display="inline">\overset{\cdot}{\phi }</math> y  <math display="inline">\ddot{\phi }</math> representan el desplazamiento, la velocidad y la aceleración angular del rotor en función del tiempo, respectivamente.

@@ Line 279: / Line 279: @@
 |}
-donde las matrices <math display="inline">{M}_{1}</math> y  <math display="inline">{M}_{2}</math> son las matrices de masa, <math display="inline">{M}_{3}</math> y  <math display="inline">{M}_{4}</math> representan la influencia del efecto secundario de la inercia rotatoria y  <math display="inline">{M}_{5}</math> proporciona los efectos giroscópicos. Después de aplicar (1) a (8) se obtiene:
+donde las matrices <math display="inline">{M}_{1}</math> y  <math display="inline">{M}_{2}</math> son las matrices de masa, <math display="inline">{M}_{3}</math> y  <math display="inline">{M}_{4}</math> representan la influencia del efecto secundario de la inercia rotatoria y  <math display="inline">{M}_{5}</math> proporciona los efectos giroscópicos. Después de aplicar la ec. (1) a la ec. (8) se obtiene:
 {| class="formulaSCP" style="width: 100%; text-align: center;"
@@ Line 330: / Line 330: @@
 |}
-donde  <math display="inline">{K}_{01}</math> y <math display="inline">{K}_{02}</math> son las matrices clásicas de rigidez. Aplicando (1) a (11) se obtiene que:
+donde  <math display="inline">{K}_{01}</math> y <math display="inline">{K}_{02}</math> son las matrices clásicas de rigidez. Aplicando la ec. (1) a la ec. (11) se obtiene:
 {| class="formulaSCP" style="width: 100%; text-align: center;"
@@ Line 377: / Line 377: @@
 ===3.1  Método directo===
-La aplicación de este método consiste en resolver (13) en estado estable, al considerar incrementos constantes en la velocidad de rotación del rotor, la cual se considera constante (es decir,  <math display="inline">\overset{\cdot}{\phi }\Omega</math> = constante). Por lo tanto, (13) toma la siguiente forma:
+La aplicación de este método consiste en resolver la ec. (13) en estado estable, al considerar incrementos constantes en la velocidad de rotación del rotor, la cual se considera constante (es decir,  <math display="inline">\overset{\cdot}{\phi }\Omega</math> = constante). Por lo tanto, la ec. (13) toma la siguiente forma:
 {| class="formulaSCP" style="width: 100%; text-align: center;"
@@ Line 401: / Line 401: @@
 |}
-Para la obtención de los eigenvectores y eigenvalores, así como el diagrama de Campbell característico del sistema rotodinámico, (14) se considera en su forma homogénea, por tanto:
+Para la obtención de los eigenvectores y eigenvalores, así como el diagrama de Campbell característico del sistema rotodinámico, la ec. (14) se considera en su forma homogénea, por tanto:
 {| class="formulaSCP" style="width: 100%; text-align: center;"
@@ Line 528: / Line 528: @@
-A partir de la solución de (22), se obtiene el vector de desplazamientos  <math display="inline">\delta \left( t+\right. </math><math>\left. \Delta t\right)</math> y, a continuación, (20) y (21) proporcionan respectivamente  <math display="inline">\overset{\cdot}{\delta }\left( t+\right. </math><math>\left. \Delta t\right)</math>  y  <math display="inline">\ddot{\delta }\left( t+\right. </math><math>\left. \Delta t\right)</math>. El proceso del cálculo numérico se comienza en  <math display="inline">{t}_{0}=</math><math>0</math>, con las condiciones iniciales  <math display="inline">\delta \left( 0\right)</math>  y  <math display="inline">\overset{\cdot}{\delta }\left( 0\right)</math>. El vector de aceleración  <math display="inline">\ddot{\delta }\left( 0\right)</math>  se obtiene a partir de (13) debido a que en el instante  <math display="inline">{t}_{0}=</math><math>0</math> los vectores  <math display="inline">\delta \left( 0\right)</math>,  <math display="inline">\overset{\cdot}{\delta }\left( 0\right)</math> y <math display="inline">\ddot{\delta }\left( 0\right)</math>  satisfacen dicha ecuación. Por lo tanto, para el primer paso de tiempo  <math display="inline">\Delta t</math>, (22) se convierte en:
+A partir de la solución de la ec. (22), se obtiene el vector de desplazamientos  <math display="inline">\delta \left( t+\right. </math><math>\left. \Delta t\right)</math> y, a continuación, las ecs. (20) y (21) proporcionan, respectivamente,  <math display="inline">\overset{\cdot}{\delta }\left( t+\right. </math><math>\left. \Delta t\right)</math>  y  <math display="inline">\ddot{\delta }\left( t+\right. </math><math>\left. \Delta t\right)</math>. El proceso del cálculo numérico se comienza en  <math display="inline">{t}_{0}=</math><math>0</math>, con las condiciones iniciales  <math display="inline">\delta \left( 0\right)</math>  y  <math display="inline">\overset{\cdot}{\delta }\left( 0\right)</math>. El vector de aceleración  <math display="inline">\ddot{\delta }\left( 0\right)</math>  se obtiene a partir de la ec. (13) debido a que, en el instante  <math display="inline">{t}_{0}=</math><math>0</math>, los vectores  <math display="inline">\delta \left( 0\right)</math>,  <math display="inline">\overset{\cdot}{\delta }\left( 0\right)</math> y <math display="inline">\ddot{\delta }\left( 0\right)</math>  satisfacen dicha ecuación. Por lo tanto, para el primer paso de tiempo  <math display="inline">\Delta t</math>, la ec. (22) se convierte en:
 {| class="formulaSCP" style="width: 100%; text-align: center;"
@@ Line 559: / Line 559: @@
 ==4. Implementación de la plataforma computacional==
-La plataforma computacional se desarrolló utilizando el software comercial Matlab, la cual resuelve (13) mediante los métodos directo y Newmark.  El proceso de análisis de la plataforma computacional se muestra en la [[#img-2|Figura 2]]. Para la validación de la programación numérica, se compararon los resultados de un sistema rotor-cojinete reportado en la literatura con los resultados obtenidos con la plataforma desarrollada. La [[#img-3|Figura 3]]  muestra el esquema del sistema analizado, así como, su discretización [9].
+La plataforma computacional se desarrolló utilizando el software comercial Matlab, la cual resuelve la ec. (13) mediante los métodos directo y Newmark.  El proceso de análisis de la plataforma computacional se muestra en la [[#img-2|Figura 2]]. Para la validación de la programación numérica, se compararon los resultados de un sistema rotor-cojinete reportado en la literatura con los resultados obtenidos con la plataforma desarrollada. La [[#img-3|Figura 3]]  muestra el esquema del sistema analizado, así como, su discretización [9].
 <div id='img-2'></div>
@@ Line 778: / Line 778: @@
-Por otra parte, la respuesta vibratoria del sistema rotor-cojinete en estado transitorio, se obtiene de la solución de la ec. (13) mediante el método de integración numérica de Newmark. La solución del sistema se llevó a cabo al considerar los esquemas de velocidad constante y con rampa de excitación de tipo lineal [13] para la operación del rotor. Cabe mencionar que el periodo de tiempo de muestreo utilizado fue de 1 ms, periodo de tiempo en el que se observó la convergencia del método de Newmark para la solución de (13). La [[#img-7|Figura 7]] muestra la señal de vibración del sistema para el nodo 6 al considerar una velocidad de rotación del rotor de  <math display="inline">\overset{\cdot}{\phi }</math>= 3,600 rpm, mientras que en la [[#img-8|Figura 8]] se muestra la respuesta vibratoria del sistema considerando una rampa de excitación de tipo lineal con <math display="inline">\ddot{\phi }= 10 </math>rad/s<math>^2</math>.
+Por otra parte, la respuesta vibratoria del sistema rotor-cojinete en estado transitorio, se obtiene de la solución de la ec. (13) mediante el método de integración numérica de Newmark. La solución del sistema se llevó a cabo al considerar los esquemas de velocidad constante y con rampa de excitación de tipo lineal [13] para la operación del rotor. Cabe mencionar que el periodo de tiempo de muestreo utilizado fue de 1 ms, periodo de tiempo en el que se observó la convergencia del método de Newmark para la solución de la ec. (13). La [[#img-7|Figura 7]] muestra la señal de vibración del sistema para el nodo 6 al considerar una velocidad de rotación del rotor de  <math display="inline">\overset{\cdot}{\phi }</math>= 3,600 rpm, mientras que en la [[#img-8|Figura 8]] se muestra la respuesta vibratoria del sistema considerando una rampa de excitación de tipo lineal con <math display="inline">\ddot{\phi }= 10 </math>rad/s<math>^2</math>.
 <div id='img-7'></div>

@@ Line 149: / Line 149: @@
 ==2. Modelado matemático del sistema rotor-cojinete de múltiples grados de libertad==
-Los elementos básicos de un sistema rotor-cojinete son: el disco, el eje, los cojinetes y los sellos [8], [9] y de forma adicional las fuerzas generadas a causa de las masas de desbalance. Para caracterizar los diferentes elementos del rotor como el disco y la masa de desbalance, es necesario determinar las expresiones para la energía cinética  <math display="inline">T</math>. En lo que respecta al eje, además de la energía cinética se requiere el conocimiento de la energía de deformación  <math display="inline">U</math>. Por otro lado, las fuerzas derivadas de los cojinetes y/o sellos se obtienen a partir del principio de los trabajos virtuales. Después de determinar las expresiones de energía se aplica la ecuación de Lagrange (1), para obtener las ecuaciones que rigen el comportamiento de cada elemento del sistema. Posteriormente, el ensamblaje de las ecuaciones individuales genera la ecuación general de movimiento del sistema rotor-cojinete de múltiples grados de libertad
+Los elementos básicos de un sistema rotor-cojinete son: el disco, el eje, los cojinetes y los sellos [8,9] y de forma adicional las fuerzas generadas a causa de las masas de desbalance. Para caracterizar los diferentes elementos del rotor como el disco y la masa de desbalance, es necesario determinar las expresiones para la energía cinética  <math display="inline">T</math>. En lo que respecta al eje, además de la energía cinética se requiere el conocimiento de la energía de deformación  <math display="inline">U</math>. Por otro lado, las fuerzas derivadas de los cojinetes y/o sellos se obtienen a partir del principio de los trabajos virtuales. Después de determinar las expresiones de energía se aplica la ecuación de Lagrange (1), para obtener las ecuaciones que rigen el comportamiento de cada elemento del sistema. Posteriormente, el ensamblaje de las ecuaciones individuales genera la ecuación general de movimiento del sistema rotor-cojinete de múltiples grados de libertad
 {| class="formulaSCP" style="width: 100%; text-align: center;"
@@ Line 208: / Line 208: @@
 |}
-donde el superíndice ''<sup>T</sup>'' denota transpuesta. El vector (4) incluye los desplazamientos correspondientes a los movimientos en las direcciones  <math display="inline">x</math> y  <math display="inline">z</math>, los cuales se definen como:
+donde el superíndice <math>T</math> denota transpuesta. El vector (4) incluye los desplazamientos correspondientes a los movimientos en las direcciones  <math display="inline">x</math> y  <math display="inline">z</math>, los cuales se definen como:
 {| class="formulaSCP" style="width: 100%; text-align: center;"
@@ Line 222: / Line 222: @@
 |}
-Al derivar (5) con respecto al tiempo, se obtienen los vectores de velocidad  <math display="inline">\left\{ \overset{\cdot}{\delta }\right\}</math>  y aceleración  <math display="inline">\left\{ \ddot{\delta }\right\}</math>, respectivamente.
+Al derivar la ec. (5) con respecto al tiempo, se obtienen los vectores de velocidad  <math display="inline">\left\{ \overset{\cdot}{\delta }\right\}</math>  y aceleración  <math display="inline">\left\{ \ddot{\delta }\right\}</math>, respectivamente.
 Por otra parte, el elemento finito se construye a partir de las siguientes relaciones:
@@ Line 254: / Line 254: @@
 donde  <math display="inline">\rho</math>  es la densidad,  <math display="inline">S</math> es el área de la sección transversal de la viga,  <math display="inline">I</math> es el momento de inercia de área de la sección transversal del eje a lo largo del eje neutro. Asimismo, en (7) la primera integral es la expresión clásica de la energía cinética de un eje en flexión; la segunda integral, es el efecto secundario de la inercia rotacional (de acuerdo a la viga de Timoshenko); y la última integral representa el efecto giroscópico del eje.
-Al sustituir (6) en (7), además de las funciones de desplazamiento y sus derivadas y realizando las integraciones correspondientes, la ecuación para la energía cinética del eje se convierte en:
+Al sustituir la ec. (6) en la ec. (7), además de las funciones de desplazamiento y sus derivadas y realizando las integraciones correspondientes, la ecuación para la energía cinética del eje se convierte en:
 {| class="formulaSCP" style="width: 100%; text-align: center;"
@@ Line 307: / Line 307: @@
 donde  <math display="inline">E</math> es el módulo de elasticidad.
-Al sustituir (6) en (10), además de las funciones de desplazamiento y sus derivadas y realizando las integraciones correspondientes, la ecuación para la energía de deformación del eje se convierte en:
+Al sustituir la ec. (6) en la ec. (10), además de las funciones de desplazamiento y sus derivadas y realizando las integraciones correspondientes, la ecuación para la energía de deformación del eje se convierte en:
 {| class="formulaSCP" style="width: 100%; text-align: center;"
@@ Line 344: / Line 344: @@
 donde  <math display="inline">\left[ {K}_{2}\right]</math>  se forma a partir de la suma de <math display="inline">\left[ {K}_{01}\right]</math>  y  <math display="inline">\left[ {K}_{02}\right]</math>  y de la consideración del efecto cortante en el elemento tipo viga. La matriz correspondiente a  <math display="inline">\left[ {K}_{2}\right]</math>  se muestra en el Apéndice A.
-Siguiendo la metodología propuesta por Nelson y McVaugh [5] y Lalanne y Ferraris [9] para el modelado de los discos, cojinetes y desbalance y después de aplicar (1), se tiene que el modelo matemático para el sistema rotor-cojinete de múltiples grados de libertad esta dado como:
+Siguiendo la metodología propuesta por Nelson y McVaugh [5] y Lalanne y Ferraris [9] para el modelado de los discos, cojinetes y desbalance y después de aplicar la ec. (1), se tiene que el modelo matemático para el sistema rotor-cojinete de múltiples grados de libertad esta dado como:
 {| class="formulaSCP" style="width: 100%; text-align: center;"

@@ Line 1,054: / Line 1,054: @@
 {| class="formulaSCP" style="width: 100%; text-align: center;"
 |-
-| <math display="inline">{A}_{0}=\frac{EI}{\left( 1+a\right) {L}^{3}}</math> y  <math display="inline">a=</math><math>\frac{12EI}{GS{L}^{2}}</math>
+| <math>{A}_{0}=\frac{EI}{\left( 1+a\right) {L}^{3}}</math> y  <math> a=\frac{12EI}{GS{L}^{2}}</math>
 |}</div>

@@ Line 1,022: / Line 1,022: @@
 </div>
 <div class="center" style="width: auto; margin-left: auto; margin-right: auto;">
 {| class="formulaSCP" style="width: 100%; text-align: center;"
@@ Line 1,028: / Line 1,027: @@
 | <math>\left[ {M}_{R}\right] =\frac{\rho I}{30L}\left[ \begin{matrix}36\\0\\0\\-3L\\-36\\0\\0\\-3L\end{matrix}\quad \begin{matrix}0\\36\\3L\\0\\0\\-36\\-3L\\0\end{matrix}\quad \begin{matrix}0\\3L\\4{L}^{2}\\0\\0\\3L\\-{L}^{2}\\0\end{matrix}\quad \begin{matrix}-3L\\0\\0\\4{L}^{2}\\3L\\0\\0\\-{L}^{2}\end{matrix}\, \, \begin{matrix}-36\\0\\0\\3L\\36\\0\\0\\3L\end{matrix}\, \, \begin{matrix}0\\-36\\3L\\0\\0\\36\\-3L\\0\end{matrix}\quad \begin{matrix}0\\3L\\-{L}^{2}\\0\\0\\-3L\\4{L}^{2}\\0\end{matrix}\quad \begin{matrix}3L\\0\\0\\-{L}^{2}\\3L\\0\\0\\4{L}^{2}\end{matrix}\right]</math>
 |}
-</div></div>
+</div>
 <div class="center" style="width: auto; margin-left: auto; margin-right: auto;">
-<math display="inline">\left[ {C}_{1}\right] =\left[ \begin{matrix}{c}_{xx}&{c}_{xz}&0&0\\{c}_{zx}&{c}_{zz}&0&0\\0&0&0&0\\0&0&0&0\end{matrix}\right]</math> <math display="inline">\left[ {K}_{1}\right] =</math><math>\left[ \begin{matrix}{k}_{xx}&{k}_{xz}&0&0\\{k}_{zx}&{k}_{zz}&0&0\\0&0&0&0\\0&0&0&0\end{matrix}\right]</math> </div>
+{| class="formulaSCP" style="width: 100%; text-align: center;"
 <div class="center" style="width: auto; margin-left: auto; margin-right: auto;">
 {| class="formulaSCP" style="width: 100%; text-align: center;"
@@ Line 1,039: / Line 1,040: @@
 | <math>\left[ {C}_{2}\right] =\frac{\rho I}{15L}\left[ \begin{matrix}0\\36\\3L\\0\\0\\-36\\3L\\0\end{matrix}\quad \begin{matrix}-36\\0\\0\\3L\\36\\0\\0\\3L\end{matrix}\quad \begin{matrix}-3L\\0\\0\\4{L}^{2}\\3L\\0\\0\\-{L}^{2}\end{matrix}\quad \begin{matrix}0\\-3L\\-4{L}^{2}\\0\\0\\3L\\{L}^{2}\\0\end{matrix}\, \, \begin{matrix}0\\-36\\-3L\\0\\0\\36\\-3L\\0\end{matrix}\, \, \begin{matrix}36\\0\\0\\-3L\\-36\\0\\0\\-3L\end{matrix}\quad \begin{matrix}-3L\\0\\0\\-{L}^{2}\\3L\\0\\0\\4{L}^{2}\end{matrix}\quad \begin{matrix}0\\-3L\\{L}^{2}\\0\\0\\3L\\4{L}^{2}\\0\end{matrix}\right]</math>
 |}
-</div></div>
+</div>
 <div class="center" style="width: auto; margin-left: auto; margin-right: auto;">
 {| class="formulaSCP" style="width: 100%; text-align: center;"
@@ Line 1,047: / Line 1,047: @@
 | <math>\left[ K\right] ={A}_{0}\left[ \begin{matrix}12\\0\\0\\-6L\\-12\\0\\0\\-6L\end{matrix}\, \begin{matrix}0\\12\\6L\\0\\0\\-12\\6L\\0\end{matrix}\, \begin{matrix}0\\6L\\\left( 4+a\right) {L}^{2}\\0\\0\\-6L\\\left( 2-a\right) {L}^{2}\\0\end{matrix}\, \begin{matrix}-6L\\0\\0\\(4+a){L}^{2}\\6L\\0\\0\\\left( 2-a\right) {L}^{2}\end{matrix}\begin{matrix}-12\\0\\0\\6L\\12\\0\\0\\6L\end{matrix}\, \begin{matrix}0\\-12\\-6L\\0\\0\\12\\-6L\\0\end{matrix}\, \begin{matrix}0\\6L\\\left( 2-a\right) {L}^{2}\\0\\0\\-6L\\(4+a){L}^{2}\\0\end{matrix}\, \begin{matrix}-6L\\0\\0\\\left( 2-a\right) {L}^{2}\\6L\\0\\0\\\left( 4+a\right) {L}^{2}\end{matrix}\right]</math>
 |}
-</div></div>
+</div>
 con
 <div class="center" style="width: auto; margin-left: auto; margin-right: auto;">
-<math display="inline">{A}_{0}=\frac{EI}{\left( 1+a\right) {L}^{3}}</math> y  <math display="inline">a=</math><math>\frac{12EI}{GS{L}^{2}}</math></div>
+{| class="formulaSCP" style="width: 100%; text-align: center;"
 donde  <math display="inline">a\,</math> es el efecto cortante y  <math display="inline">G</math> es el módulo a cortante del material.

@@ Line 997: / Line 997: @@
 ==Apéndice A==
-===Funciones de forma para el elemento finito tipo viga===
+====Funciones de forma para el elemento finito tipo viga====
 <div class="center" style="width: auto; margin-left: auto; margin-right: auto;">

@@ Line 965: / Line 965: @@
 ==Referencias==
 [1] Fei Z., Tong S., Wei C. Investigation of the dynamic characteristics of a dual rotor system and its start-up simulation based on finite element method. Journal of Zhejiang University-SCIENCE A., 14(4):268-280, 2013.
@@ Line 991: / Line 993: @@
 [13] Mendoza Larios J.G., Colín Ocampo J., Blanco Ortega A., Abúndez Pliego A., Gutiérrez Wing E.S. Balanceo automático de un sistema rotor-cojinete: identificador algebraico en línea del desbalance para un sistema rotodinámico. Revista Iberoamericana de Automática e Informática Industrial RIAI, 13(3):281-292, 2016.
 ==Apéndice A==