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@@ Line 163: / Line 163: @@
 |}
-===2.1 El problema de minimización global y el diferencial de J===
+==2.1 El problema de minimización global y el diferencial de J==
 El problema de minimización global o sin restricciones asociado con los problemas de búsqueda en línea descritos es

@@ Line 1: / Line 1: @@
-==1 Introducción==
+=1 Introducción=
 En optimización, la estrategia de búsqueda en línea es uno de los enfoques iterativos básicos para encontrar un mínimo local <math display="inline">\displaystyle v^{*}</math> de una función objetivo <math display="inline">\displaystyle f:\mathbb {R} ^{n}\to \mathbb {R}</math>.  El enfoque de búsqueda en línea primero supone conocida una aproximación previa <math display="inline">u</math> para <math display="inline">v^*</math> y encuentra una dirección de descenso <math display="inline">w</math> a lo largo de la cual la función objetivo <math display="inline">\displaystyle f</math>  será minimizada y entonces esto  determinará qué tan lejos <math display="inline">u</math>  debe moverse a lo largo de esa dirección. Este tamaño de paso está asociado con un mínimo local de la restricción de <math display="inline">f</math> a la recta de búsqueda. Al problema de encontrar este tamaño de paso se le llama un problema de búsqueda en línea, es decir, es un problema de minimización con  restricciones de la forma
@@ Line 106: / Line 106: @@
 En este trabajo extenderemos estas ideas para aplicar el método de Newton a un problema de búsqueda en línea pero donde los elementos <math display="inline">u</math> y <math display="inline">w</math> aunque conocidos, pertenecen al espacio de Hilbert <math display="inline">(L^{2})^3</math> y no a <math display="inline">\mathbb {R} ^{n}</math>. En este contexto, este artículo es una continuación o extensión de lo expuesto en <span id='citeF-2'></span>[[#cite-2|[2]]].
-==2 Descripción del problema==
+=2 Descripción del problema=
 Los problemas de búsqueda en línea en que estamos interesados aquí son del tipo
@@ Line 240: / Line 240: @@
 La demostración de este teorema, y de los resultados que se mencionan a continuación pueden consultarse en <span id='citeF-7'></span>[[#cite-7|[7]]].
-==3 Metodología de solución==
+=3 Metodología de solución=
 Para resolver por el método de Newton nuestro problema de búsqueda en línea ([[#eq-2|2]]) definimos
@@ Line 412: / Line 412: @@
 |}
-==4 Discretización del problema de búsqueda en línea==
+=4 Discretización del problema de búsqueda en línea=
 La idea principal es sustituir el espacio <math display="inline">L^2(0,T)</math> por un espacio de funciones más práctico. A grandes rasgos este espacio será el de las funciones lineales por pedazos en (0,T), que además ofrecen la ventaja de poder ser representadas computacionalmente por eneadas de números.
@@ Line 504: / Line 504: @@
 en la partición <math display="inline">tt</math>. En lo que sigue detallamos cómo hacemos todas estas discretizaciones.
-===4.1 Discretización del Funcional===
+==4.1 Discretización del Funcional==
 El funcional <math display="inline">J</math> de ([[#eq-3|3]]) lo aproximamos por
@@ Line 520: / Line 520: @@
 con <math display="inline">|| \mathbf{v}^{n} ||^{2}=| v_{1}^{n} |^{2}+| v_{2}^{n} |^{2}+| v_{3}^{n}|^{2}</math>. Aquí <math display="inline">\mathbf{y}^N</math> es la aproximación de <math display="inline">\mathbf{y}</math> en el tiempo <math display="inline">N</math> <math display="inline">(tt_N=Nh)</math>, que mas adelante especificamos cómo calcular.
-===4.2 Discretización del SEDO===
+==4.2 Discretización del SEDO==
 Aproximamos el sistema ([[#eq-6|6]]) por un esquema de Euler explícito que luce como sigue:
@@ Line 533: / Line 533: @@
 |}
-===4.3 Discretización del SEDO Adjunto===
+==4.3 Discretización del SEDO Adjunto==
 El sistema adjunto ([[#eq-7|7]]) lo aproximamos por
@@ Line 546: / Line 546: @@
 |}
-===4.4 Discretización del Producto interno===
+==4.4 Discretización del Producto interno==
 Las discretizaciones mencionadas implican que estamos considerando el siguiente producto interno
@@ Line 559: / Line 559: @@
 |}
-===4.5 <span id='lb-5.5'></span>Discretización de g'(ρ) y g''(ρ)===
+==4.5 <span id='lb-5.5'></span>Discretización de g'(ρ) y g''(ρ)==
 Para resolver la ecuación <math display="inline">g(\rho ^*)=0</math> con el método de Newton se requiere el conocimiento de <math display="inline">g'(\rho )</math> que estará dada en los nuevos espacios vectoriales por
@@ Line 646: / Line 646: @@
 Usamos el criterio de paro <math display="inline">\dfrac{\vert \rho ^{m+1}-\rho ^{m}\vert }{\vert \rho ^{m+1}\vert }< \varepsilon </math>, para <math display="inline">\varepsilon </math> pequeño dado.
-==5 Experimentación computacional==
+=5 Experimentación computacional=
-===5.1 Ejemplo 1===
+==5.1 Ejemplo 1==
 En este ejemplo tomamos <math display="inline">u_1(t)=t \exp (-t)</math>, <math display="inline">u_2(t)=t^3</math>, <math display="inline">u_3(t)=0</math> y <math display="inline">w_1(t)=\exp (-t)/10</math>, <math display="inline">w_2(t)=3t-t^3</math> y <math display="inline">w_3(t)=0</math>. Se tomaron los valores siguientes para los parámetros en la iteración de Newton y en la discretización de los problemas involucrados:
@@ Line 665: / Line 665: @@
 |}
-===5.2 Ejemplo 2===
+==5.2 Ejemplo 2==
 En este ejemplo tomamos <math display="inline">u_1(t)=-(t-2)\exp (-t)</math>, <math display="inline">u_2(t)=3t^2+1</math>, <math display="inline">u_3(t)=(t-1)^2+1</math> y <math display="inline">w_1(t)=t^3+t-1</math>, <math display="inline">w_2(t)=\dfrac{1}{3}t^3-t</math>, <math display="inline">w_3(t)=\exp (-t)/10</math>. Tanto para la discretización de los problemas involucrados como para las iteraciones de Newton se tomaron los valores siguientes:
@@ Line 682: / Line 682: @@
 |}
-==6 Conclusiones==
+=6 Conclusiones=
 No contamos con un ejemplo para el cual se conozca la solución exacta, así que nuestra validación se basa en el desempeño del método en ejemplos como los dos mostrados, dado que es posible tener una visualización suficientemente detallada del funcional <math display="inline">J</math> restringido a la "recta" que pasa por <math display="inline">\mathbf{u}</math> y tiene dirección <math display="inline">\mathbf{w}</math>. De acuerdo a estos ejemplos se puede concluir que el método de Newton produce resultados excelentes. En este trabajo el objetivo no es comparar el método de Newton con otros métodos, sino verificar que este tipo de problemas se pueden resolver aceptablemente utilizando el método de Newton; sin embargo en trabajos futuros esperamos considerar otros métodos y hacer tal comparación, por ejemplo, con los métodos que no utilizan derivadas. También podemos mencionar que los resultados presentados aquí se aplicarán próximamente para resolver el problema de minimización global asociado con el problema de control, el cual, como se conocen el estado inicial del que se parte y el estado final al que se quiere llegar, podrá considerarse como un caso de validación de la metodología expuesta en el presente trabajo.
-===BIBLIOGRAFÍA===
+==BIBLIOGRAFÍA==
 <div id="cite-1"></div>

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Line 1:		Line 1:
−	~~==Método de Newton para búsquedas en Línea en el espacio de Hilbert <math>(L^2)^3</math>. ==~~
−
−	~~'''Jorge López López'''~~
−
−	~~==Resumen==~~
−
−	'''Este trabajo trata sobre la aplicación del método de Newton para resolver un problema de búsqueda en línea asociado con la minimización de un funcional definido en el espacio de Hilbert <math>(L^{2}(0,T))^3</math>, con <math>T</math> un tiempo final dado. El funcional es parte de un problema de control de un circuito de 3 juntas de Josephson modelado por un sistema de tres ecuaciones diferenciales ordinarias no lineales dependientes del tiempo. El problema de control se puede resolver con el método de gradiente conjugado, dentro del cual se deben resolver problemas de búsqueda en línea como el descrito en este trabajo. Se describe tanto el caso continuo como su versión discreta para lo cual, las funciones en <math>L^{2}(0,T)</math> se aproximan por funciones lineales por pedazos y los sistemas diferenciales ordinarios se resuelven con el método de Euler Explicito.'''
−
−	~~''Palabras clave:'' Método de Newton, Búsqueda en línea, Espacio de Hilbert, Euler Explícito.~~
−
	==1 Introducción==		==1 Introducción==

@@ Line 573: / Line 573: @@
 Para resolver la ecuación <math display="inline">g(\rho ^*)=0</math> con el método de Newton se requiere el conocimiento de <math display="inline">g'(\rho )</math> que estará dada en los nuevos espacios vectoriales por
-<span id="eq-33"></span>
 {| class="formulaSCP" style="width: 100%; text-align: left;"
 |-
@@ Line 581: / Line 581: @@
 | style="text-align: center;" | <math>g'(\rho )=-h \eta \sum _{n=1}^{N}[\mathbf{u}^{n}-\rho \mathbf{w}^{n}+\mathbf{p}_{\rho }^{ n}]\cdot \mathbf{w}^{n},    </math>
 |}
-| style="width: 5px;text-align: right;white-space: nowrap;" | (33)
 |}
@@ Line 608: / Line 608: @@
 y para
 {| class="formulaSCP" style="width: 100%; text-align: left;"
 |-
@@ Line 616: / Line 615: @@
 | style="text-align: center;" | <math>g''(\rho )=h\sum _{n=1}^{N}[\eta \mathbf{w}^{n}-\overset{\cdot }{\mathbf{p}}_{\rho }^{n}] \cdot \mathbf{w}^{n},    </math>
 |}
-| style="width: 5px;text-align: right;white-space: nowrap;" | (34)
 |}
 con <math display="inline">\overset{\cdot }{\mathbf{p}}_{\rho }^{n},</math> obtenido al resolver
 {| class="formulaSCP" style="width: 100%; text-align: left;"
 |-
@@ Line 629: / Line 627: @@
 | style="text-align: center;" | <math>\left\{ \begin{array}{c}\overset{\cdot }{\mathbf{y}}_{\rho }^{0}=\mathbf{0}, \\  \hbox{para } n=0,....,N-1 \hbox{ resolver} \\  \overset{\cdot }{\mathbf{y}}_{\rho }^{n+1}=\overset{\cdot }{\mathbf{y}^{n}}_{\rho }-h \Gamma ^{-1} K \overset{\cdot }{\mathbf{y}}_{\rho }{ n}-h\Gamma ^{-1}\left( \begin{array}{c}\cos y_{1\rho }^{n} \\  \cos y_{2\rho }^{n} \\  \cos y_{3\rho }^{n}\end{array}\right)\overset{\cdot }{\mathbf{y}^{n}}_{\rho }-h\Gamma ^{-1}\left( \begin{array}{c}w_{1}^{n} \\  w_{2}^{n}\\  w_{3}^{n}\end{array}\right),\end{array}\right.   </math>
 |}
-| style="width: 5px;text-align: right;white-space: nowrap;" | (35)
 |}
 y luego resolver
 {| class="formulaSCP" style="width: 100%; text-align: left;"
 |-
@@ Line 642: / Line 639: @@
 | style="text-align: center;" | <math>\left\{ \begin{array}{c}\overset{\cdot }{\mathbf{p}}_{\rho }^{N}=k\Gamma ^{-1}\overset{\cdot }{\mathbf{y}}_{\rho }^{N}, \\ \hbox{para }n=N-1,....,0 \hbox{ resolver} \\  \overset{\cdot }{\mathbf{p}}_{\rho }^{n}=\overset{\cdot }{\mathbf{p}}_{\rho }^{n+1}+h \Gamma ^{-1} K \overset{\cdot }{\mathbf{p}}_{\rho }^{n+1} \\ \\ +h \Gamma ^{-1} \left( \begin{array}{ccc}\cos y_{1\rho }^{n}& 0 & 0 \\  0 & \cos y_{2\rho }^{n} & 0 \\  0 & 0 & \cos y_{3\rho }^{n}\end{array}\right)\overset{\cdot }{\mathbf{p}}_{\rho }^{n+1} \\ \\ -\left( \begin{array}{ccc}\overset{\cdot }{y}_{1\rho }^{n}\sen y_{1\rho }^{n} & 0 & 0 \\  0 & \overset{\cdot }{y}_{2\rho }^{n}\sen y_{2\rho }^{n} & 0 \\  0 & 0 & \overset{\cdot }{y}_{3\rho }^{n}\sen y_{3\rho }^{n}\end{array}\right)\mathbf{p}_{\rho }^{n+1}\mathbf{.}\end{array}\right.   </math>
 |}
-| style="width: 5px;text-align: right;white-space: nowrap;" | (36)
 |}
 Con esto podemos ya aplicar el método de Newton para resolver la versión discreta de <math display="inline">g'(\rho )=0</math>: Dado <math display="inline">\rho ^{0}</math>, iterar con
 {| class="formulaSCP" style="width: 100%; text-align: left;"
 |-
@@ Line 655: / Line 651: @@
 | style="text-align: center;" | <math>\rho ^{m+1}=\rho ^{m}-\frac{g'(\rho ^{m})}{g''(\rho ^{m})}.  </math>
 |}
-| style="width: 5px;text-align: right;white-space: nowrap;" | (37)
 |}

@@ Line 407: / Line 407: @@
 Con ésto el método de Newton para aproximar <math display="inline">\rho ^{*}</math> queda
-<span id="eq-31"></span>
-<span id="eq-32"></span>
 {| class="formulaSCP" style="width: 100%; text-align: left;"
 |-
@@ Line 415: / Line 414: @@
 |-
 | style="text-align: center;" | <math>\rho _{i+1}=\rho _{i}-\dfrac{g'(\rho _{i})}{g''(\rho _{i})}  </math>
-| style="width: 5px;text-align: right;white-space: nowrap;" | (31)
 |-
 | style="text-align: center;" | <math> \rho _{i+1}=\rho _{i}-\dfrac{-\langle DJ (\mathbf{u}-\rho \mathbf{w}), \mathbf{w} \rangle }{\langle D^{2}J (\mathbf{u}-\rho \mathbf{w})\mathbf{w}, \mathbf{w} \rangle }</math>
@@ Line 519: / Line 518: @@
 El funcional <math display="inline">J</math> de ([[#eq-3|3]]) lo aproximamos por
 {| class="formulaSCP" style="width: 100%; text-align: left;"
 |-
@@ Line 527: / Line 525: @@
 | style="text-align: center;" | <math>J^{h}(\mathbf{v})=\frac{\eta h}{2}\sum _{n=1}^{N}   ||\mathbf{v}^n ||^{2}+\frac{k}{2}||\mathbf{y}^N-\mathbf{y}_T||^{2},   </math>
 |}
-| style="width: 5px;text-align: right;white-space: nowrap;" | (32)
 |}

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(No difference)

@@ Line 26: / Line 26: @@
 que también se puede escribir como
-<span id="eq-2"></span>
+<span id="eq-1"></span>
 {| class="formulaSCP" style="width: 100%; text-align: left;"
 |-
@@ Line 34: / Line 34: @@
 | style="text-align: center;" | <math>Min_{\rho  \in \mathbb{R}}\hbox{ }f(u -\rho w) .  </math>
 |}
-| style="width: 5px;text-align: right;white-space: nowrap;" | (2)
+| style="width: 5px;text-align: right;white-space: nowrap;" | (1)
 |}
 Aquí la recta de búsqueda es la recta que pasa por <math display="inline">u</math> y tiene (por conveniencia, para nuestras posteriores aplicaciones) la dirección <math display="inline">-w</math>.   Como ya se dijo, una de las áreas donde surgen problemas de búsqueda en línea son los métodos iterativos para minimizar localmente una función <math display="inline">f :\mathbb{R}^{n} \rightarrow \mathbb{R}</math> sin restricciones. En cada iteración <math display="inline">i</math> debe resolverse un problema de búsqueda en línea de la forma ([[#eq-1|1]]), para <math display="inline">u</math> y <math display="inline">w</math> conocidos. Si denotamos con <math display="inline">\rho _{i}</math> a la solución del problema de búsqueda en línea de la iteración <math display="inline">i</math>, se toma a <math display="inline">v_{i} =u -\rho _{i}w</math> como la nueva aproximación para el mínimo de <math display="inline">f</math>. La solución de los problemas de búsqueda en línea se puede aproximar por una variedad de métodos numéricos <span id='citeF-1'></span>[[#cite-1|[1]]], entre ellos el método de Newton. Si definimos <math display="inline">g(\rho )=f(u -\rho w)</math> entonces la solución del problema ([[#eq-1|1]]) es equivalente a la solución del problema en <math display="inline">\mathbb{R}</math>
-<span id="eq-3"></span>
 {| class="formulaSCP" style="width: 100%; text-align: left;"
 |-
@@ Line 47: / Line 47: @@
 | style="text-align: center;" | <math>Min_{\rho  \in \mathbb{R}}\hbox{ }g(\rho ) .  </math>
 |}
-| style="width: 5px;text-align: right;white-space: nowrap;" | (3)
 |}
 Para resolver este problema buscamos los valores donde la derivada de <math display="inline">g</math> se hace cero, es decir, resolvemos (por el método de Newton) la ecuación
-<span id="eq-4"></span>
 {| class="formulaSCP" style="width: 100%; text-align: left;"
 |-
@@ Line 60: / Line 60: @@
 | style="text-align: center;" | <math>g'(\rho ^{*})=0 .  </math>
 |}
-| style="width: 5px;text-align: right;white-space: nowrap;" | (4)
 |}
 Tenemos que
-<span id="eq-5"></span>
 {| class="formulaSCP" style="width: 100%; text-align: left;"
 |-
@@ Line 73: / Line 73: @@
 | style="text-align: center;" | <math>g'(\rho )=-Df(u-\rho w;w)=-\nabla f(u-\rho w)\cdot w ,  </math>
 |}
-| style="width: 5px;text-align: right;white-space: nowrap;" | (5)
 |}
 donde  <math display="inline">Df(v;w)</math>  denota la derivada direccional de <math display="inline">f</math> en <math display="inline">v</math> en la dirección de <math display="inline">w</math>. Así que por comodidad definimos
-<span id="eq-6"></span>
 {| class="formulaSCP" style="width: 100%; text-align: left;"
 |-
@@ Line 86: / Line 86: @@
 | style="text-align: center;" | <math>H(\rho )=-g'(\rho )=Df(u-\rho w;w)=\nabla f(u-\rho w)\cdot w   </math>
 |}
-| style="width: 5px;text-align: right;white-space: nowrap;" | (6)
 |}
 y resolvemos la ecuación
-<span id="eq-7"></span>
 {| class="formulaSCP" style="width: 100%; text-align: left;"
 |-
@@ Line 99: / Line 99: @@
 | style="text-align: center;" | <math>H(\rho ^{*})=0,   </math>
 |}
-| style="width: 5px;text-align: right;white-space: nowrap;" | (7)
 |}
@@ Line 111: / Line 111: @@
 | style="text-align: center;" | <math>\rho _{i +1} =\rho _{i} -\frac{H(\rho _{i})}{H^{ \prime }(\rho _{i})} ,i =0 ,1 ,2 , . . . . </math>
 |}
-| style="width: 5px;text-align: right;white-space: nowrap;" | (8)
 |}
@@ Line 120: / Line 120: @@
 Los problemas de búsqueda en línea en que estamos interesados aquí son del tipo
-<span id="eq-9"></span>
+<span id="eq-2"></span>
 {| class="formulaSCP" style="width: 100%; text-align: left;"
 |-
@@ Line 128: / Line 128: @@
 | style="text-align: center;" | <math>\left\{ \begin{array}{c}\hbox{Encontrar }\mathbf{\rho ^*}\in \mathbb{R},\hbox{ tal que } \\  J(\mathbf{u}-\rho ^* \mathbf{w})\leq J(\mathbf{u}-\rho \mathbf{w}),\forall \rho \in \mathbb{R},\end{array}\right. </math>
 |}
-| style="width: 5px;text-align: right;white-space: nowrap;" | (9)
+| style="width: 5px;text-align: right;white-space: nowrap;" | (2)
 |}

@@ Line 37: / Line 37: @@
 |}
-Aquí la recta de búsqueda es la recta que pasa por <math display="inline">u</math> y tiene (por conveniencia, para nuestras posteriores aplicaciones) la dirección <math display="inline">-w</math>.   Como ya se dijo, una de las áreas donde surgen problemas de búsqueda en línea son los métodos iterativos para minimizar localmente una función <math display="inline">f :\mathbb{R}^{n} \rightarrow \mathbb{R}</math> sin restricciones. En cada iteración <math display="inline">i</math> debe resolverse un problema de búsqueda en línea de la forma ([[#eq-2|2]]), para <math display="inline">u</math> y <math display="inline">w</math> conocidos. Si denotamos con <math display="inline">\rho _{i}</math> a la solución del problema de búsqueda en línea de la iteración <math display="inline">i</math>, se toma a <math display="inline">v_{i} =u -\rho _{i}w</math> como la nueva aproximación para el mínimo de <math display="inline">f</math>. La solución de los problemas de búsqueda en línea se puede aproximar por una variedad de métodos numéricos <span id='citeF-1'></span>[[#cite-1|[1]]], entre ellos el método de Newton. Si definimos <math display="inline">g(\rho )=f(u -\rho w)</math> entonces la solución del problema ([[#eq-2|2]]) es equivalente a la solución del problema en <math display="inline">\mathbb{R}</math>
+Aquí la recta de búsqueda es la recta que pasa por <math display="inline">u</math> y tiene (por conveniencia, para nuestras posteriores aplicaciones) la dirección <math display="inline">-w</math>.   Como ya se dijo, una de las áreas donde surgen problemas de búsqueda en línea son los métodos iterativos para minimizar localmente una función <math display="inline">f :\mathbb{R}^{n} \rightarrow \mathbb{R}</math> sin restricciones. En cada iteración <math display="inline">i</math> debe resolverse un problema de búsqueda en línea de la forma ([[#eq-1|1]]), para <math display="inline">u</math> y <math display="inline">w</math> conocidos. Si denotamos con <math display="inline">\rho _{i}</math> a la solución del problema de búsqueda en línea de la iteración <math display="inline">i</math>, se toma a <math display="inline">v_{i} =u -\rho _{i}w</math> como la nueva aproximación para el mínimo de <math display="inline">f</math>. La solución de los problemas de búsqueda en línea se puede aproximar por una variedad de métodos numéricos <span id='citeF-1'></span>[[#cite-1|[1]]], entre ellos el método de Newton. Si definimos <math display="inline">g(\rho )=f(u -\rho w)</math> entonces la solución del problema ([[#eq-1|1]]) es equivalente a la solución del problema en <math display="inline">\mathbb{R}</math>
 <span id="eq-3"></span>
@@ Line 157: / Line 157: @@
 |}
-En ([[#eq-10|10]])-([[#eq-11|11]]), <math display="inline">\mathbf{y}_{0}</math> y <math display="inline">\mathbf{y}_{T}</math> son estados inicial y final conocidos, respectivamente. En <span id='citeF-3'></span>[[#cite-3|[3]]] y en <span id='citeF-4'></span>[[#cite-4|[4]]] se dan los siguientes valores factibles para los parámetros involucrados en este sistema y con los cuales se harán los experimentos numéricos mas adelante:
+En ([[#eq-3|3]])-([[#eq-4|4]]), <math display="inline">\mathbf{y}_{0}</math> y <math display="inline">\mathbf{y}_{T}</math> son estados inicial y final conocidos, respectivamente. En <span id='citeF-3'></span>[[#cite-3|[3]]] y en <span id='citeF-4'></span>[[#cite-4|[4]]] se dan los siguientes valores factibles para los parámetros involucrados en este sistema y con los cuales se harán los experimentos numéricos mas adelante:
 <span id="eq-12"></span>
@@ Line 189: / Line 189: @@
 |}
-el cual, (junto con ([[#eq-10|10]])-([[#eq-11|11]])) corresponde a un problema de control cuyo objetivo es llevar la dinámica del sistema del estado <math display="inline">\mathbf{y}_{0}</math> al estado <math display="inline">\mathbf{y}_{T}</math>. Este tipo de problemas de control pueden resolverse usando un algoritmo de gradiente conjugado como los discutidos en el Capítulo 2 de <span id='citeF-5'></span>[[#cite-5|[5]]]  y el Capítulo 3 de <span id='citeF-6'></span>[[#cite-6|[6]]], donde también se menciona el concepto de Frechet-diferenciabilidad adecuado para minimizar funcionales en espacios de Hilbert. A continuación damos una definción y un teorema básicos para resolver el problema que nos ocupa.
+el cual, (junto con ([[#eq-3|3]])-([[#eq-4|4]])) corresponde a un problema de control cuyo objetivo es llevar la dinámica del sistema del estado <math display="inline">\mathbf{y}_{0}</math> al estado <math display="inline">\mathbf{y}_{T}</math>. Este tipo de problemas de control pueden resolverse usando un algoritmo de gradiente conjugado como los discutidos en el Capítulo 2 de <span id='citeF-5'></span>[[#cite-5|[5]]]  y el Capítulo 3 de <span id='citeF-6'></span>[[#cite-6|[6]]], donde también se menciona el concepto de Frechet-diferenciabilidad adecuado para minimizar funcionales en espacios de Hilbert. A continuación damos una definción y un teorema básicos para resolver el problema que nos ocupa.
 Definición. Sea <math display="inline">V</math> un espacio de Hilbert. Un funcional <math display="inline">J</math> sobre <math display="inline">V</math> es Frechet-diferenciable si, para todo <math display="inline">v,w \in V</math>, existe <math display="inline">DJ(v) \in V'</math>, la derivada o el diferencial de <math display="inline">J</math> en <math display="inline">v</math>, tal que
@@ Line 206: / Line 206: @@
 con <math display="inline">\langle . , . \rangle </math> denotando par de dualidad, y <math display="inline">\epsilon (v,w)</math> tendiendo a cero cuando <math display="inline">\Vert w \Vert </math> tiende a cero.
-Teorema. Si <math display="inline">J</math> está definido como en ([[#eq-10|10]]) entonces  es Frechet-diferenciable y su diferencial <math display="inline">DJ(\mathbf{v})</math> es
+Teorema. Si <math display="inline">J</math> está definido como en ([[#eq-3|3]]) entonces  es Frechet-diferenciable y su diferencial <math display="inline">DJ(\mathbf{v})</math> es
 <span id="eq-16"></span>
@@ Line 219: / Line 219: @@
 |}
-donde <math display="inline">\mathbf{p}</math> se obtiene al resolver el sistema (versión matricial de ([[#eq-11|11]])) :
+donde <math display="inline">\mathbf{p}</math> se obtiene al resolver el sistema (versión matricial de ([[#eq-4|4]])) :
 <span id="eq-17"></span>
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 donde <math display="inline">C(\mathbf{y})</math> es una matriz diagonal de 3x3 para la cual la entrada iésima de la diagonal es <math display="inline">cos(y_i)</math>.
-De este teorema resulta que <math display="inline">DJ(\mathbf{u}-\rho \mathbf{w})=\eta (\mathbf{u}-\rho \mathbf{w})+\mathbf{p}</math>, con <math display="inline">\mathbf{p}</math> solución de ([[#eq-18|18]]) una vez que <math display="inline">\mathbf{y}(t)</math>  es solución del sistema ([[#eq-17|17]]) tomando <math display="inline">\mathbf{v}=\mathbf{u}-\rho \mathbf{w}</math>.
+De este teorema resulta que <math display="inline">DJ(\mathbf{u}-\rho \mathbf{w})=\eta (\mathbf{u}-\rho \mathbf{w})+\mathbf{p}</math>, con <math display="inline">\mathbf{p}</math> solución de ([[#eq-7|7]]) una vez que <math display="inline">\mathbf{y}(t)</math>  es solución del sistema ([[#eq-6|6]]) tomando <math display="inline">\mathbf{v}=\mathbf{u}-\rho \mathbf{w}</math>.
 La demostración de este teorema, y de los resultados que se mencionan a continuación pueden consultarse en <span id='citeF-7'></span>[[#cite-7|[7]]].
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 ==3 Metodología de solución==
-Para resolver por el método de Newton nuestro problema de búsqueda en línea ([[#eq-9|9]]) definimos
+Para resolver por el método de Newton nuestro problema de búsqueda en línea ([[#eq-2|2]]) definimos
 <span id="eq-19"></span>
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 para lo cual debemos conocer <math display="inline">g'</math> y <math display="inline">g''</math>. Para describir <math display="inline">g'(\rho )</math> en términos de <math display="inline">DJ</math> necesitamos el siguiente teorema:
-'''Teorema.''' Sea <math display="inline">J</math> un funcional Frechet-diferenciable sobre <math display="inline">V</math> y <math display="inline">g</math> como en ([[#eq-19|19]]). Entonces
+'''Teorema.''' Sea <math display="inline">J</math> un funcional Frechet-diferenciable sobre <math display="inline">V</math> y <math display="inline">g</math> como en ([[#eq-8|8]]). Entonces
 {| class="formulaSCP" style="width: 100%; text-align: left;"
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 |}
-aún nos falta encontrar una expresión para <math display="inline">g''(\rho )</math>. Como estamos trabajando en <math display="inline">(L^2(0,T))^3</math>, los pares de dualidad coinciden con el producto interno gracias al teorema de representación de Riesz. Dado que ya conocemos el representante de la transformación <math display="inline">DJ(v)</math> (ver ([[#eq-16|16]])), podemos escribir
+aún nos falta encontrar una expresión para <math display="inline">g''(\rho )</math>. Como estamos trabajando en <math display="inline">(L^2(0,T))^3</math>, los pares de dualidad coinciden con el producto interno gracias al teorema de representación de Riesz. Dado que ya conocemos el representante de la transformación <math display="inline">DJ(v)</math> (ver ([[#eq-5|5]])), podemos escribir
 <span id="eq-23"></span>
@@ Line 345: / Line 345: @@
 |}
-Para calcular <math display="inline">g''(\rho )=\dfrac{dg'}{d\rho }</math>, por la regla de Leibniz para la diferenciación bajo el signo integral tenemos, a partir de ([[#eq-23|23]]) que:
+Para calcular <math display="inline">g''(\rho )=\dfrac{dg'}{d\rho }</math>, por la regla de Leibniz para la diferenciación bajo el signo integral tenemos, a partir de ([[#eq-9|9]]) que:
 {| class="formulaSCP" style="width: 100%; text-align: left;"
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 ===4.1 Discretización del Funcional===
-El funcional <math display="inline">J</math> de ([[#eq-10|10]]) lo aproximamos por
+El funcional <math display="inline">J</math> de ([[#eq-3|3]]) lo aproximamos por
 <span id="eq-32"></span>
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 ===4.2 Discretización del SEDO===
-Aproximamos el sistema ([[#eq-17|17]]) por un esquema de Euler explícito que luce como sigue:
+Aproximamos el sistema ([[#eq-6|6]]) por un esquema de Euler explícito que luce como sigue:
 {| class="formulaSCP" style="width: 100%; text-align: left;"
@@ Line 550: / Line 550: @@
 ===4.3 Discretización del SEDO Adjunto===
-El sistema adjunto ([[#eq-18|18]]) lo aproximamos por
+El sistema adjunto ([[#eq-7|7]]) lo aproximamos por
 {| class="formulaSCP" style="width: 100%; text-align: left;"