Hinojosa et al 2017a - Revision history

Rimni at 11:47, 20 July 2018

2018-07-20T11:47:23Z

Rimni at 13:41, 6 September 2017

2017-09-06T13:41:50Z

Rimni at 13:40, 6 September 2017

2017-09-06T13:40:45Z

Rimni at 13:39, 6 September 2017

2017-09-06T13:39:52Z

Rimni at 13:39, 6 September 2017

2017-09-06T13:39:11Z

Rimni at 13:36, 6 September 2017

2017-09-06T13:36:35Z

Rimni at 13:36, 6 September 2017

2017-09-06T13:36:07Z

Rimni at 13:35, 6 September 2017

2017-09-06T13:35:22Z

Rimni at 13:32, 6 September 2017

2017-09-06T13:32:10Z

Rimni at 13:31, 6 September 2017

2017-09-06T13:31:08Z

@@ Line 9: / Line 9: @@
 In previous works, the nonlinear localization was first presented and studied in the case of large displacements but only for globally stable structural responses. In this paper, the parallelization of this computational strategy using a Balancing Domain Decomposition by Constrains (BDD-C) is presented. Finally, a validation of this implementation is carried out in lineal elasticity, verifying the ''speed-up'' and the numerical extensibility.
-==1 Introducción==
+==1. Introducción==
 En estructuras aeronáuticas como fuselajes la mayor no linealidad que ocurre corresponde a pandeo localizado en elementos esbeltos. Durante los ensayos estructurales de certificación llevados a cabo en un fuselaje completo, se observa pandeo en la piel entre los rigidizadores. Al aumentar las cargas, estos fenómenos se pueden expandir y provocar redistribuciones de esfuerzos en la estructura. Para cargas normales de trabajo, estos fenómenos son reversibles, el material se mantiene dentro del rango lineal. De todas formas, pueden provocar concentraciones de esfuerzo alrededor de las bases de los rigidizadores que pueden ser el origen de daños locales conducentes a fallas completas de las estructuras. Realizar cálculos de estos fenómenos para grandes estructuras como un fuselaje completo, conlleva mallas con aprox. <math display="inline">10^8</math> grados de libertad (g.d.l.), incluso con mallas adaptadas. Debido al gran número de incógnitas y a las limitaciones tanto de memoria como de los procesadores, la resolución directa de este tipo de problemas mediante el Método de Elementos Finitos (MEF) es impracticable. Es por esta razón, que los ingenieros usan métodos de aproximación basados en super-elementos (condensación lineal de g.d.l. internos) o análisis global-local, que corresponden a un cálculo lineal global de toda la estructura seguido de análisis locales no lineales. Si bien estos métodos permiten realizar ciertos cálculos, no toman en cuenta fenómenos como redistribuciones de esfuerzos o expansión de zonas con no linealidades, debido a que solo ofrecen un diálogo en una sola dirección debido a las escalas introducidas. Como resultado, solo pueden tratar no linealidades localizadas que no tengan una influencia en la respuesta global de la estructura. Nuevos avances, utilizando máquinas en paralelo y cluster, nos permiten hoy en día distribuir el costo computacional y requerimientos de memoria en varios procesadores. Problemas muy complejos son abordables siempre que los métodos de resolución puedan tomar ventaja del paralelismo inherente de los hardwares disponibles. En este estudio, se exploran las posibilidades relacionadas con estrategias de cálculo en paralelo y multiescala en el contexto de problemas no lineales geométricamente.
@@ Line 15: / Line 15: @@
 En este trabajo se presenta la paralelización de una estrategia de cálculo basada en el método de descomposición de dominio llamado Newton-Krylov-Schur (NKS) [1,2], el cual es uno de los métodos paralelos de referencia para la resolución de problemas no lineales para el caso del post-pandeo. Este método NKS se ha modificado integrando una etapa de localización no lineal [3], además de introducir una descomposición de dominio mixta. Esta etapa de localización no lineal consiste en realizar iteraciones adicionales en los subdominios después de cada iteración global de manera de obtener el comportamiento no lineal y el equilibrio en ellos. En trabajos anteriores [3,4,5] se ha demostrado la eficacia de esta estrategia de cálculo para problemas con no linealidades locales y desbalanceadas.  En una primera parte, se presenta la estrategia de localización no lineal, para luego en una segunda parte, presentar la paralelización de la estrategia mediante un método BDDC [6] junto con una validación de la misma en el caso de elasticidad lineal.
-==2 Métodos de descomposición de dominio==
+==2. Métodos de descomposición de dominio==
 Los métodos de descomposición de dominio (MDD) [7] permiten resolver grandes problemas en computadores paralelos. Existen diferentes MDD dependiendo de las condiciones que transmiten entre los subdominios. Los métodos primales [8,9] favorecen la continuidad de desplazamientos mientras que los métodos duales [10] favorecen ''a-priori'' el equilibrio de fuerzas entre los subdominios. Los métodos mixtos [11,12,13,14] utilizan relaciones de tipo Robin entre los desplazamientos y fuerzas en las interfaces, sin favorecer a ninguno de los dos. Cuando los MDD son utilizados con el procedimiento iterativo de Newton para resolver problemas no lineales, estas estrategias se llaman métodos NKS [1]. Estos métodos se basan en:
@@ Line 31: / Line 31: @@
 |}
-==3 Principio de la localización no lineal==
+==3. Principio de la localización no lineal==
 Cuando el problema inicial es descompuesto en subdominios antes de la linearización, el equilibrio no lineal de cada subdominio se debe asegurar en cada iteración. Los problemas no lineales son resueltos en cada subdominio para valores de interfaz dados. Lo que conlleva a la estrategia presentada en la Figura [[#img-2|2]]. Con respecto a los MDD clásicos utilizados para resolver problemas no lineales, en las etapas locales de los subdominios se resuelven problemas no lineales. Es este paso el que llamaremos localización no lineal. Esta estrategia ha sido evaluada para el cálculo de estructuras con pandeo localizado, con MDD primales y duales, y comparado con la estrategia clásica NKS [3]. La versión dual se ha aplicado a daño [15]. La versión mixta ha sido aplicada en delaminación de materiales compuestos [16], para la interacción delaminación/pandeo en materiales compuestos [17] y para la simulación de fractura en madera [18]. <div id='img-2'></div>
@@ Line 174: / Line 174: @@
 Esto implica la solución de problemas no lineales locales en cada subdominio para las cantidades de interfaz (<math display="inline">\underline{F}^s</math>, <math display="inline">\underline{U}^s</math>) y para la condición de tipo Robin [[#eq-3|(3)]]. Resolviendo el problema de interfaces global [[#eq-10|(10)]], se obtiene <math display="inline">\delta{\underline{U}}</math>, que corresponde al incremento del desplazamiento en las interfaces <math display="inline">\underline{U}</math> [[#eq-11|(11)]]. Las fuerzas balanceadas de las interfaces <math display="inline">\underline{F}</math> se obtienen a partir de la ecuación [[#eq-12|(12)]] cuando los desplazamientos <math display="inline">\underline{U}</math> son conocidos. Los problemas [[#eq-11|(11)]] y [[#eq-12|(12)]] pueden ser resueltos independientemente en cada subdominio. El sistema [[#eq-10|(10)]] puede ser resuelto de la misma manera que los métodos NKS clásicos, incluso utilizando los mismos precondicionadores y procedimientos iterativos. Para más detalles sobre la estrategia, el lector puede referirse a [4].
-==4 Paralelización de la estrategia de localización no lineal mixta==
+==4. Paralelización de la estrategia de localización no lineal mixta==
 Las estrategia de localización no lineal, como los métodos NKS clásicos, están adaptados a la arquitectura en paralelo de las máquinas de computo modernas. El problema tangente de interfaz, etapa global, se puede resolver utilizando un procedimiento iterativo de Krylov que solo realiza productos matriz-vector. El intercambio de información entre subdominios es necesario a cada iteración. Por el contrario, la etapa no lineal, consiste en cálculos totalmente independientes en cada subdominio. Una implementación en paralelo clásica, consiste en asociar cada subdominio a un procesador distinto, por ejemplo en un Cluster. Algunos procesadores pueden requerir esperar un largo tiempo a que los otros terminen sus tareas. Estos tiempos de espera afectan le efectividad del método y, en general, se busca repartir de la mejor manera posible las tareas entre los distintos procesadores. Esta problemática ya ha sido tratada en la implementación de MDD clásicos. En estos casos la descomposición del dominio se hace de manera automática de forma de que cada problema local (factorización y resolución del sistema lineal) represente un costo de cálculo lo más uniforme posible; Esto se logra con algoritmos de particionamiento, por ejemplo METIS.
@@ Line 344: / Line 344: @@
 La implementación del método BDDC permite reducir, de manera importante, el número de iteraciones GMRES. En la sección siguiente, se presenta un estudio de validación de la implementación del BDDC en elasticidad lineal. En particular análisis de extensibilidad y ''speed-up''.
-==5 Validación de la implementación en elasticidad lineal==
+==5. Validación de la implementación en elasticidad lineal==
 ===5.1 Extensibilidad numérica de la implementación===

@@ Line 392: / Line 392: @@
 Para verificar el ''speed-up'' del método, se estudia el efecto del número de subdominios sobre el tiempo de cálculo total del problema. La malla de la estructura se deja fijo. A medida que el número de subdominios aumenta el tamaño del problema global aumenta, mientras que los problemas locales se reducen. La estructura analizada corresponde a la misma que para el estudio de extensibilidad (Figura [[#img-4a|4a]]) pero solo para una carga de tracción solamente. En este estudio, tres niveles de refinamiento de malla se han analizado. Para cada cálculo, cada procesador se encarga de un solo subdominio. Los resultados del estudio, considerando los tres niveles de refinamiento, se presentan en la Figura [[#img-6|6]]. Se verifica, un ''speed-up'' muy cercano al óptimo al menos para valores de <math display="inline">H/h</math> razonables (al aumentar el número de subdominios el valor de <math display="inline">H</math> se aproxima a <math display="inline">h</math>). Se aprecia que para los tres casos de refinamiento existe un número óptimo de procesadores (subdominios) que da el mejor ''speed-up''. Este número depende de la malla de la estructura (parámetro <math display="inline">H/h</math>). Para valores de <math display="inline">H/h>20</math>, el ''speed-up'' está sobre la curva óptima. Por el contrario cuando <math display="inline">H/h<20</math>, el ''speed-up'' se deteriora (se pasa más tiempo comunicando los procesos que resolviendo el problema). <div id='img-6'></div>
-{| class="floating_imageSCP" style="text-align: center; border: 1px solid #BBB; margin: 1em auto; width: 100%;max-width: 100%;"
+{| class="floating_imageSCP" style="text-align: center; border: 1px solid #BBB; margin: 1em auto; width: auto;max-width: auto;"
 |-
-|[[Image:draft_Samper_613894993-Speed-up_esp.png|370px|Estudio de ''Speed-up'', placa en tracción.]]
+|style="padding:10px;"|[[Image:draft_Samper_613894993-Speed-up_esp.png|370px|Estudio de ''Speed-up'', placa en tracción.]]
 |- style="text-align: center; font-size: 75%;"
-| colspan="1" | '''Figura 6:''' Estudio de ''Speed-up'', placa en tracción.
+| colspan="1" style="padding-bottom:10px;"| '''Figura 6:''' Estudio de ''Speed-up'', placa en tracción.
 |}

@@ Line 364: / Line 364: @@
 <div id='img-5b'></div>
 <div id='img-5'></div>
-{| class="floating_imageSCP" style="text-align: center; border: 1px solid #BBB; margin: 1em auto; width: 100%;max-width: 100%;"
+{| class="floating_imageSCP" style="text-align: center; border: 1px solid #BBB; margin: 1em auto; width: auto;max-width: auto;"
 |-
-|style="padding:10px;"|[[Image:draft_Samper_613894993-Exten_caseA2_esp.png|494px|Placa en tracción y flexión en el plano.]]
+|style="padding:10px;"|[[Image:draft_Samper_613894993-Exten_caseA2_esp.png|525px|Placa en tracción y flexión en el plano.]]
-|style="padding:10px;"|[[Image:draft_Samper_613894993-Exten_caseB2_esp.png|494px|Placa en flexión fuera del plano.]]
+|style="padding:10px;"|[[Image:draft_Samper_613894993-Exten_caseB2_esp.png|525px|Placa en flexión fuera del plano.]]
 |- style="text-align: center; font-size: 75%;"
 | style="padding-bottom:10px;"|(a) Placa en tracción y flexión en el plano.

@@ Line 323: / Line 323: @@
 |style="padding:10px;"|[[Image:draft_Samper_613894993-z.png|300px|Representación gráfica de z.]]
 |- style="text-align: center; font-size: 75%;"
-| (a) Representación gráfica de <math>\Psi _j^s</math>.
+| style="padding-bottom:10px;"|(a) Representación gráfica de <math>\Psi _j^s</math>.
-| (b) Representación gráfica de <math>z</math>.
+| style="padding-bottom:10px;"|(b) Representación gráfica de <math>z</math>.
 |- style="text-align: center; font-size: 75%;"
 | colspan="2" style="padding-bottom:10px;"| '''Figura 3:''' Casos de carga analizados

@@ Line 351: / Line 351: @@
 <div id='img-4b'></div>
 <div id='img-4'></div>
-{| class="floating_imageSCP" style="text-align: center; border: 1px solid #BBB; margin: 1em auto; width: 100%;max-width: 100%;"
+{| class="floating_imageSCP" style="text-align: center; border: 1px solid #BBB; margin: 1em auto; width: auto;max-width: auto;"
 |-
-|[[Image:draft_Samper_613894993-Ext_cas1.png|270px|Placa en tracción y flexión en el plano.]]
+|style="padding:10px;"|[[Image:draft_Samper_613894993-Ext_cas1.png|270px|Placa en tracción y flexión en el plano.]]
-|[[Image:draft_Samper_613894993-Ext_cas2.png|300px|Placa en flexión fuera del plano.]]
+|style="padding:10px;"|[[Image:draft_Samper_613894993-Ext_cas2.png|300px|Placa en flexión fuera del plano.]]
 |- style="text-align: center; font-size: 75%;"
-| (a) Placa en tracción y flexión en el plano.
+| style="padding-bottom:10px;"|(a) Placa en tracción y flexión en el plano.
-| (b) Placa en flexión fuera del plano.
+| (style="padding-bottom:10px;"|b) Placa en flexión fuera del plano.
 |- style="text-align: center; font-size: 75%;"
-| colspan="2" | '''Figura 4:''' Casos de carga analizados
+| colspan="2" style="padding:10px;"| '''Figura 4:''' Casos de carga analizados
 |}
 <div id='img-5a'></div>
@@ Line 366: / Line 366: @@
 {| class="floating_imageSCP" style="text-align: center; border: 1px solid #BBB; margin: 1em auto; width: 100%;max-width: 100%;"
 |-
-|[[Image:draft_Samper_613894993-Exten_caseA2_esp.png|494px|Placa en tracción y flexión en el plano.]]
+|style="padding:10px;"|[[Image:draft_Samper_613894993-Exten_caseA2_esp.png|494px|Placa en tracción y flexión en el plano.]]
-|[[Image:draft_Samper_613894993-Exten_caseB2_esp.png|494px|Placa en flexión fuera del plano.]]
+|style="padding:10px;"|[[Image:draft_Samper_613894993-Exten_caseB2_esp.png|494px|Placa en flexión fuera del plano.]]
 |- style="text-align: center; font-size: 75%;"
-| (a) Placa en tracción y flexión en el plano.
+| style="padding-bottom:10px;"|(a) Placa en tracción y flexión en el plano.
-| (b) Placa en flexión fuera del plano.
+| (style="padding-bottom:10px;"|b) Placa en flexión fuera del plano.
 |- style="text-align: center; font-size: 75%;"
-| colspan="2" | '''Figura 5:''' Estudio de extensibilidad.
+| colspan="2" style="padding:10px;"| '''Figura 5:''' Estudio de extensibilidad.
 |}

@@ Line 318: / Line 318: @@
 <div id='img-3b'></div>
 <div id='img-3'></div>
-{| class="floating_imageSCP" style="text-align: center; border: 1px solid #BBB; margin: 1em auto; width: 100%;max-width: 100%;"
+{| class="floating_imageSCP" style="text-align: center; border: 1px solid #BBB; margin: 1em auto; width: auto;max-width: auto;"
 |-
 |style="padding:10px;"|[[Image:draft_Samper_613894993-Psi2.png|160px|Representación gráfica de Ψ<sub>j</sub><sup>s</sup>.]]

@@ Line 194: / Line 194: @@
 ====4.3.1 Paralelización de la etapa global con un método BDD====
-El residuo global consiste en ensamblar los residuos locales. El cálculo de los distintos residuos locales condensados se realiza en cada procesador, <math display="inline">(\underline{r}^s_b  - \mathbf{K}^s_{bi} {\mathbf{K}^s_{ii}}^{-1} \underline{r}^s_i)</math>. Además se deben considerar los saltos de desplazamiento entre los subdominios <math display="inline">({\mathbf{S}_T^s} \underline{u}^s_b)</math>. Finalmente se deben ensamblar todas estas contribuciones (ver ecuación [[#eq-14|(14)]]).
+El residuo global consiste en ensamblar los residuos locales. El cálculo de los distintos residuos locales condensados se realiza en cada procesador, <math display="inline">(\underline{r}^s_b  - \mathbf{K}^s_{bi} {\mathbf{K}^s_{ii}}^{-1} \underline{r}^s_i)</math>. Además se deben considerar los saltos de desplazamiento entre los subdominios <math display="inline">({\mathbf{S}_T^s} \underline{u}^s_b)</math>. Finalmente se deben ensamblar todas estas contribuciones (ecuación [[#eq-14|(14)]]).
 El objetivo de este procedimiento es no realizar multiplicaciones entre matrices, si no productos matriz-vector. Para eso, es necesario construir dos matrices, <math display="inline">\overline{\mathbf{K}}^s_{ii}\mathbf{I}</math> y <math display="inline">\overline{\mathbf{K}}^s_{bi}\mathbf{I}</math> para poder realizar las siguientes operaciones por subdominio:

@@ Line 120: / Line 120: @@
 |}
-donde <math display="inline">\underline{u}^s_b</math>, <math display="inline">\underline{u}^{s'}_b</math>, <math display="inline">\underline{f}^s_b</math> y <math display="inline">\underline{f}^{s'}_b</math> son conocidas. La elección de la dirección de búsqueda <math display="inline">\mathbf{S}_T^s</math> se basa en los trabajos de [3] en donde se utiliza para propagar información global entre los subdominios. Donde <math display="inline">\mathbf{S}_T</math> corresponde al complemento primal de Schur del subdominio <math display="inline">{^s}</math>, que conecta todos los g.d.l. del subdominio <math display="inline">{^s}</math> y se calcula:
+donde <math display="inline">\underline{u}^s_b</math>, <math display="inline">\underline{u}^{s'}_b</math>, <math display="inline">\underline{f}^s_b</math> y <math display="inline">\underline{f}^{s'}_b</math> son conocidas. La elección de la dirección de búsqueda <math display="inline">\mathbf{S}_T^s</math> se basa en los trabajos de [3] en donde se utiliza para propagar información global entre los subdominios, donde <math display="inline">\mathbf{S}_T</math> corresponde al complemento primal de Schur del subdominio <math display="inline">{^s}</math>, que conecta todos los g.d.l. del subdominio <math display="inline">{^s}</math> y se calcula:
 <span id="eq-9"></span>