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== Abstract ==

The aim of the present study is the analytical determination of the energy release rate during the DCB test of angle-ply laminates.
With this purpose, an analytic approach based on the complementary energy of a laminated beam including hygrothermal effects is proposed. These effects lead to initial strains that indeed, are impeded by the configuration of the DCB test. The consequent forces and moments are determined by means of Engesser-Castigliano theorem. Once these loads are known, an analytical expression for the energy release rate based on the complementary energy is obtained.
Symmetrical and anti-symmetrical angle-ply laminates with 16 plies have been prepared and used for the tests. The configuration of the cracked arms is the same in both laminates, however, the delamination occurs between plies with different orientation. Experimental results of the energy release rate obtained by means of the area method agree with those determined by the proposed approach.

== Full document ==
<pdf>Media:Draft_Content_332964129native-articles-54.pdf</pdf>

@@ Line 137: / Line 137: @@
 ''Figura 3-1. Fuerza distribuida sobre la viga.''</div>
-La <span id='cite-_Ref481741711'></span>[[#_Ref481741711|''Figura '' '''3''' '''1''']] muestra un modelo simplificado de las fuerzas distribuidas en la mitad inferior de la probeta DCB, basado en los resultados obtenidos por otros autores.
+La <span id='cite-_Ref481741711'></span>[[#_Ref481741711|''Figura '' '''3-1''' ]] muestra un modelo simplificado de las fuerzas distribuidas en la mitad inferior de la probeta DCB, basado en los resultados obtenidos por otros autores.
 Mediante las ecuaciones de la estática, además de la aplicación del teorema de Engesser-Castigliano para hallar los desplazamientos en las secciones 1, 2 y 3 e igualarlos las deformaciones transversales de la probeta, se obtienen los valores de las fuerzas y las distancias <math display="inline">{x}_{1},{x}_{2}\, y\, {x}_{3}</math>. Mientras los valores de <math display="inline">{x}_{1}\, y\, {x}_{2}</math> no dependen de la longitud de grieta, la variación de <math display="inline">{x}_{3}</math> con respecto a esta es despreciable para los valores habituales de <math display="inline">a</math> en los ensayos, y por tanto puede considerarse constante.
@@ Line 157: / Line 157: @@
 ====3.1.2 Momento torsor====
-Las tensiones residuales provocan una rotación en cada una de las partes agrietadas de la probeta. Como se observa en la <span id='cite-_Ref481743076'></span>[[#_Ref481743076|''Figura '' '''3''' '''2''']], mientras que en el caso de los laminados anti-simétricos ambos brazos rotan en el mismo sentido, en los laminados simétricos la rotación es opuesta. En este último caso, teniendo en cuenta que la rotación en el punto de carga está impedido, la propias bisagras están aplicando un momento torsor. De hecho las bisagras aplican una carga no uniforme cuya resultante es la fuerza aplicada <math display="inline">P</math> y el momento resultante es el momento torsor.
+Las tensiones residuales provocan una rotación en cada una de las partes agrietadas de la probeta. Como se observa en la <span id='cite-_Ref481743076'></span>[[#_Ref481743076|''Figura '' '''3-2''']], mientras que en el caso de los laminados anti-simétricos ambos brazos rotan en el mismo sentido, en los laminados simétricos la rotación es opuesta. En este último caso, teniendo en cuenta que la rotación en el punto de carga está impedido, la propias bisagras están aplicando un momento torsor. De hecho las bisagras aplican una carga no uniforme cuya resultante es la fuerza aplicada <math display="inline">P</math> y el momento resultante es el momento torsor.
 [[File:Captura de pantalla 2022-09-20 153617.png|centre|589x589px]]
@@ Line 163: / Line 163: @@
 ''Figura 3-2. Deformación debida a efectos higrotérmicos. a) Laminado simétrico. b) Laminado anti-simétrico.''</div>
-La <span id='cite-_Ref481743478'></span>[[#_Ref481743478|''Figura '' '''3''' '''3''']] muestra el momento torsor en el punto de aplicación de carga y la reacción en el frente de grieta, relacionada con la distribución no uniforme en la anchura de las fuerzas de la <span id='cite-_Ref481741711'></span>[[#_Ref481741711|''Figura '' '''3''' '''1''']]. Se ha supuesto dicho momento concentrado en el frente de grieta.
+La <span id='cite-_Ref481743478'></span>[[#_Ref481743478|''Figura '' '''3-3''']] muestra el momento torsor en el punto de aplicación de carga y la reacción en el frente de grieta, relacionada con la distribución no uniforme en la anchura de las fuerzas de la <span id='cite-_Ref481741711'></span>[[#_Ref481741711|''Figura '' '''3-1''']]. Se ha supuesto dicho momento concentrado en el frente de grieta.
 <div class="center" style="width: auto; margin-left: auto; margin-right: auto;">
@@ Line 226: / Line 226: @@
 ====3.1.3 Fuerza cortante====
-En el caso de los laminados anti-simétricos, el momento torsor higrotérmico genera rotaciones en el mismo sentido en ambos brazos de la parte agrietada de la probeta. Por tanto, la probeta permanece horizontal en el punto de aplicación, pero al estar libre el otro extremo, la probeta se encuentra deformada. Esto quiere decir, como se aprecia en la <span id='cite-_Ref481745465'></span>[[#_Ref481745465|''Figura '' '''3''' '''4''' ''. Componentes de P en el frente de grieta'']], que en el frente de grieta existirán unas componentes en sentido transversal relacionadas con el modo III de fractura.
+En el caso de los laminados anti-simétricos, el momento torsor higrotérmico genera rotaciones en el mismo sentido en ambos brazos de la parte agrietada de la probeta. Por tanto, la probeta permanece horizontal en el punto de aplicación, pero al estar libre el otro extremo, la probeta se encuentra deformada. Esto quiere decir, como se aprecia en la <span id='cite-_Ref481745465'></span>[[#_Ref481745465|''Figura '' '''3-4''' ]]. Componentes de P en el frente de grieta'']], que en el frente de grieta existirán unas componentes en sentido transversal relacionadas con el modo III de fractura.
 <div class="center" style="width: auto; margin-left: auto; margin-right: auto;">
@@ Line 325: / Line 325: @@
 Teniendo en cuenta el coportamiento durante la propagación y de acuerdo con otros autores, únicamente se considerarán datos de iniciación para calcular la resistencia interlaminar. Con el objetivo de comparar resultados, la tasa de relajación de energía se calculará también mediante el método MBT propuesto por Williams [11] y mediante el método de las áreas. Con respecto a este último, aunque los valores obtenidos no se pueden asociar a una longitud de grieta determinada, ya que corresponde a un valor medio durante un incremento de grieta, se va a usar un incremento mínimo de 1mm para su cálculo. De esta manera, además de evitar valores de propagación aor a 1mm, el valor obtenido se puede asociar a la longitud de grieta inicial.
-<div class="center" style="width: auto; margin-left: auto; margin-right: auto;">[[File:Captura de pantalla 2022-09-20 154402.png|centre|600x600px]]'''  '''.</div>''Figura 51. Tasa crítica de relajación de energía. Laminado simétrico'' <div id="_Ref481740274" class="center" style="width: auto; margin-left: auto; margin-right: auto;">[[File:Captura de pantalla 2022-09-20 154446.png|centre|600x600px]]''Figura 52. Tasa crítica de relajación de energía. Laminado antisimétrico''</div>
+<div class="center" style="width: auto; margin-left: auto; margin-right: auto;">[[File:Captura de pantalla 2022-09-20 154402.png|centre|600x600px]]'''  '''.''Figura 5-1. Tasa crítica de relajación de energía. Laminado simétrico''</div>
-Las figuras<span id='cite-_Ref481740274'></span>[[#_Ref481740274|Figura '''51''']] y <span id='cite-_Ref481740283'></span>[[#_Ref481740283|Figura'' '' '''52''']] muestran la media para cinco probetas en cada caso de la <math display="inline">{G}_{c}</math> obtenida mediante los tres métodos descritos anteriormente.
+Las figuras<span id='cite-_Ref481740274'></span>[[#_Ref481740274|Figura '''5-1''']] y <span id='cite-_Ref481740283'></span>[[#_Ref481740283|Figura'' '' '''5-2''']] muestran la media para cinco probetas en cada caso de la <math display="inline">{G}_{c}</math> obtenida mediante los tres métodos descritos anteriormente.
 En el caso de las probetas simétricas, <span id='cite-_Ref481740274'></span>[[#_Ref481740274|Figura 51]], los resultados obtenidos mediante MBT son ligeramente superiores a los otros. Esto puede ser debido a que este método no tiene en cuenta los efectos higrotérmicos, que como hemos visto resultan en un término negativo. El valor obtenido para dicho término en los laminados simétricos, y por tanto para la aportación del modo III es <math display="inline">{G}_{III}=</math><math>-8,7\frac{J}{{m}^{2}}</math>.

@@ Line 135: / Line 135: @@
 <div id="_Ref481741711" class="center" style="width: auto; margin-left: auto; margin-right: auto;">
-''Figura 31. Fuerza distribuida sobre la viga.''</div>
+''Figura 3-1. Fuerza distribuida sobre la viga.''</div>
 La <span id='cite-_Ref481741711'></span>[[#_Ref481741711|''Figura '' '''3''' '''1''']] muestra un modelo simplificado de las fuerzas distribuidas en la mitad inferior de la probeta DCB, basado en los resultados obtenidos por otros autores.
@@ Line 158: / Line 158: @@
 Las tensiones residuales provocan una rotación en cada una de las partes agrietadas de la probeta. Como se observa en la <span id='cite-_Ref481743076'></span>[[#_Ref481743076|''Figura '' '''3''' '''2''']], mientras que en el caso de los laminados anti-simétricos ambos brazos rotan en el mismo sentido, en los laminados simétricos la rotación es opuesta. En este último caso, teniendo en cuenta que la rotación en el punto de carga está impedido, la propias bisagras están aplicando un momento torsor. De hecho las bisagras aplican una carga no uniforme cuya resultante es la fuerza aplicada <math display="inline">P</math> y el momento resultante es el momento torsor.
+[[File:Captura de pantalla 2022-09-20 153617.png|centre|589x589px]]
-−
-{|
-|-
-| [[Image:Gracia_et_al_2017b-image15-c.jpeg|240px]]
-| [[Image:Gracia_et_al_2017b-image16-c.jpeg|center|282px]]
-|}
-−
 <div id="_Ref481743076" class="center" style="width: auto; margin-left: auto; margin-right: auto;">
-''Figura 32. Deformación debida a efectos higrotérmicos. a) Laminado simétrico. b) Laminado anti-simétrico''</div>
+''Figura 3-2. Deformación debida a efectos higrotérmicos. a) Laminado simétrico. b) Laminado anti-simétrico.''</div>
 La <span id='cite-_Ref481743478'></span>[[#_Ref481743478|''Figura '' '''3''' '''3''']] muestra el momento torsor en el punto de aplicación de carga y la reacción en el frente de grieta, relacionada con la distribución no uniforme en la anchura de las fuerzas de la <span id='cite-_Ref481741711'></span>[[#_Ref481741711|''Figura '' '''3''' '''1''']]. Se ha supuesto dicho momento concentrado en el frente de grieta.
@@ Line 176: / Line 169: @@
 <div id="_Ref481743478" class="center" style="width: auto; margin-left: auto; margin-right: auto;">
-''Figura 33. Momento Torsor.''</div>
+''Figura 3-3. Momento Torsor.''</div>
 Por tanto, las fuerzas y momentos resultantes son:
@@ Line 189: / Line 182: @@
 N_y^{HT}\\
-\end{array}\right\}</math> ;\,  <math>\left\{\overline{M}\right\}=\left\{\begin{array}{c}
+\end{array}\right\}</math>   <math>\left\{\overline{M}\right\}=\left\{\begin{array}{c}
 M_x\\
 \\
 M_s+M_s^{HT}
-\end{array}\right\}</math> \,
+\end{array}\right\}</math>
 |}
 | style="width: 5px;text-align: right;white-space: nowrap;" | (6)
@@ Line 202: / Line 195: @@
 {| class="formulaSCP" style="width: 100%; text-align: center;"
 |-
-| <math>\,  \frac{1}{2}{\int }_{L_x}{\int }_{L_y}\left(\left(4b_{xs}N_x^{HT}+\right. \right. </math><math>\left. \left. 2d_{ss}M_s^{HT}\right)M_{s_{,X}}+2d_{ss}M_sM_{s_{,X}}\right)dxdy=</math><math>0</math>
+| <math>\,  \frac{1}{2}{\int }_{L_x}{\int }_{L_y}\left(\left(4b_{xs}N_x^{HT}+\right. \right.\left. \left. 2d_{ss}M_s^{HT}\right)M_{s_{,X}}+2d_{ss}M_sM_{s_{,X}}\right)dxdy=0 </math>
 |}
@@ Line 239: / Line 232: @@
 <div id="_Ref481745465" class="center" style="width: auto; margin-left: auto; margin-right: auto;">
-''Figura 34. Componentes de P en el frente de grieta''</div>
+''Figura 3-4. Componentes de P en el frente de grieta.''</div>
 Las fuerzas y momentos resultantes en este caso son:
@@ Line 302: / Line 295: @@
 {| class="formulaSCP" style="width: 100%; text-align: center;"
 |-
-| <math>\,  G=\frac{d_{xx}P^2}{b^2}\left({\alpha }_0+{\alpha }_1a+\right. </math><math>\left. a^2\right)+\frac{{\kappa }_s^{HT}P^2a^2}{b^2}\left(\frac{a_{ss}{\kappa }_s^{HT}}{4}+\right. </math><math>\left. b_{xs}\right)</math>
+| <math>\,  G=\frac{d_{xx}P^2}{b^2}\left({\alpha }_0+{\alpha }_1a+\right.\left. a^2\right)+\frac{{\kappa }_s^{HT}P^2a^2}{b^2}\left(\frac{a_{ss}{\kappa }_s^{HT}}{4}+\right.\left. (b_{xs}\right) \biggr) </math>
 |}
@@ Line 332: / Line 325: @@
 Teniendo en cuenta el coportamiento durante la propagación y de acuerdo con otros autores, únicamente se considerarán datos de iniciación para calcular la resistencia interlaminar. Con el objetivo de comparar resultados, la tasa de relajación de energía se calculará también mediante el método MBT propuesto por Williams [11] y mediante el método de las áreas. Con respecto a este último, aunque los valores obtenidos no se pueden asociar a una longitud de grieta determinada, ya que corresponde a un valor medio durante un incremento de grieta, se va a usar un incremento mínimo de 1mm para su cálculo. De esta manera, además de evitar valores de propagación aor a 1mm, el valor obtenido se puede asociar a la longitud de grieta inicial.
-<div class="center" style="width: auto; margin-left: auto; margin-right: auto;">
+<div class="center" style="width: auto; margin-left: auto; margin-right: auto;">[[File:Captura de pantalla 2022-09-20 154402.png|centre|600x600px]]'''  '''.</div>''Figura 51. Tasa crítica de relajación de energía. Laminado simétrico'' <div id="_Ref481740274" class="center" style="width: auto; margin-left: auto; margin-right: auto;">[[File:Captura de pantalla 2022-09-20 154446.png|centre|600x600px]]''Figura 52. Tasa crítica de relajación de energía. Laminado antisimétrico''</div>
-''' [[Image:Gracia_et_al_2017b-chart1.svg|600px]] '''.</div>
-−
-<div id="_Ref481740274" class="center" style="width: auto; margin-left: auto; margin-right: auto;">
-''Figura 51. Tasa crítica de relajación de energía. Laminado simétrico'' ''' [[Image:Gracia_et_al_2017b-chart2.svg|600px]] '''</div>
-−
-<div id="_Ref481740283" class="center" style="width: auto; margin-left: auto; margin-right: auto;">
 ''Figura 52. Tasa crítica de relajación de energía. Laminado antisimétrico''</div>
 Las figuras<span id='cite-_Ref481740274'></span>[[#_Ref481740274|Figura '''51''']] y <span id='cite-_Ref481740283'></span>[[#_Ref481740283|Figura'' '' '''52''']] muestran la media para cinco probetas en cada caso de la <math display="inline">{G}_{c}</math> obtenida mediante los tres métodos descritos anteriormente.

@@ Line 1: / Line 1: @@
 ==1 Introducción==
@@ Line 141: / Line 67: @@
 {| style="text-align: center; margin:auto;"
 |-
-| <math display="inline">\,  U^\ast =\frac{1}{2}{\int }_{L_x}{\int }_{L_y}\left(\right)dxdy-</math><math>\frac{Lb}{2}\sum_{k=1}^n{\left\{e\right\}}_k^t{\left[Q\right]}_k{\left\{e\right\}}_k\left(z_k-\right. </math><math>\left. z_{k-1}\right)</math>
+| <math display="inline">\,  U^\ast =\frac{1}{2}{\int }_{L_x}{\int }_{L_y}\left(\right)dxdy-\frac{Lb}{2}\sum_{k=1}^n{\left\{e\right\}}_k^t{\left[Q\right]}_k{\left\{e\right\}}_k\left(z_k-\right.\left. z_{k-1}\right)</math>
 |}
 | style="width: 5px;text-align: right;white-space: nowrap;" | (1)
@@ Line 194: / Line 120: @@
 \\
-\end{array}{\left\{\overline{N}\right\}}^t\left[a\right]\left\{\overline{N}\right\}+\right. \right. </math><math>\left. \left. 2{\left\{\overline{N}\right\}}^t\left[b\right]\left\{\overline{M}\right\}+\right. \right. </math><math>\left. \left. {\left\{\overline{M}\right\}}^t\left[d\right]\left\{\overline{M}\right\}\right)dx\right]</math>
+\end{array}{\left\{\overline{N}\right\}}^t\left[a\right]\left\{\overline{N}\right\}+\right. \right.\left. \left. 2{\left\{\overline{N}\right\}}^t\left[b\right]\left\{\overline{M}\right\}+\right. \right.\left. \left. {\left\{\overline{M}\right\}}^t\left[d\right]\left\{\overline{M}\right\}\right)dx\right] </math>
 |}
 | style="width: 5px;text-align: right;white-space: nowrap;" | (5)
@@ Line 206: / Line 132: @@
 Para el cálculo de la distribución de momentos flectores, se va a utilizar la aproximación presentada en [5], que además permite obtener la longitud de grieta sin métodos visuales para cada par de valores de carga-desplazamiento.
+[[File:Gracia_et_al_2017b-image11-c.png|centre|600x600px]]
-[[Image:Gracia_et_al_2017b-image11-c.png|600px]]
 <div id="_Ref481741711" class="center" style="width: auto; margin-left: auto; margin-right: auto;">
-''Figura 31. Fuerza distribuida sobre la viga''</div>
+''Figura 31. Fuerza distribuida sobre la viga.''</div>
 La <span id='cite-_Ref481741711'></span>[[#_Ref481741711|''Figura '' '''3''' '''1''']] muestra un modelo simplificado de las fuerzas distribuidas en la mitad inferior de la probeta DCB, basado en los resultados obtenidos por otros autores.
@@ Line 251: / Line 176: @@
 <div id="_Ref481743478" class="center" style="width: auto; margin-left: auto; margin-right: auto;">
-''Figura 33. Momento Torsor''</div>
+''Figura 33. Momento Torsor.''</div>
 Por tanto, las fuerzas y momentos resultantes son:
@@ Line 370: / Line 295: @@
 {| class="formulaSCP" style="width: 100%; text-align: center;"
 |-
-| <math>\,  G=\frac{d_{xx}P^2}{b^2}\left({\alpha }_0+{\alpha }_1a+\right. </math><math>\left. a^2\right)-d_{ss}{\left(\frac{2b_{xs}}{d_{ss}}N_x^{HT}+M_s^{HT}\right)}^2</math>
+| <math>\,  G=\frac{d_{xx}P^2}{b^2}\left({\alpha }_0+{\alpha }_1a+\right.\left. a^2\right)-d_{ss}{\left(\frac{2b_{xs}}{d_{ss}}N_x^{HT}+M_s^{HT}\right)}^2 </math>
 |}

@@ Line 219: / Line 219: @@
 {| class="formulaSCP" style="width: 100%; text-align: center;"
 |-
-| <math>\,  <math>\begin{array}{c}
+| <math>\,  \begin{array}{c}
 m_{x_1}=-F_1\frac{x^3}{3x_1^2}\\
 m_{x_2}=\frac{F_1}{3x_2x_1}\left(x^3-\left(3x_1+3x_2\right)x^2+\left(3x_1{}^2+3x_2x_1\right)x-x_1{}^3-x_2x_1{}^2\right)\\
 m_{x_3}=-F_1\left(\frac{x_2+x_1}{x_1}x+\frac{-x_2{}^2-3x_2x_1-2x_1{}^2}{3x_1}\right)+F_3\frac{{\left(x-x_1-x_2\right)}^3}{3x_3{}^2}\\
 m_{x_a}=-F_1\left(\frac{x_2+x_1}{x_1}x+\frac{-x_2{}^2-3x_2x_1-2x_1{}^2}{3x_1}\right)+F_3\left(x-x_1-x_2-\frac{2x_3}{3}\right)
-\end{array}</math></math>
+\end{array}</math>
 |}
-Donde <math display="inline">\,  <math display="inline">F_1=\frac{q_{10}x_1}{2}</math></math> y <math display="inline">\,  <math display="inline">F_3=\frac{q_{30}x_3}{2}</math></math>
+Donde <math display="inline">\,  F_1=\frac{q_{10}x_1}{2}</math> y <math display="inline">\,  F_3=\frac{q_{30}x_3}{2}</math>
 ====3.1.2 Momento torsor====
@@ Line 260: / Line 260: @@
 {| style="text-align: center; margin:auto;"
 |-
-| <math display="inline">\,  <math>\left\{\overline{N}\right\}=\left\{\begin{array}{c}
+| <math display="inline">\, \left\{\overline{N}\right\}=\left\{\begin{array}{c}
 N_x^{HT}\\
 N_y^{HT}\\
@@ Line 268: / Line 268: @@
 \\
 M_s+M_s^{HT}
-\end{array}\right\}</math> \,</math>
+\end{array}\right\}</math> \,
 |}
 | style="width: 5px;text-align: right;white-space: nowrap;" | (6)
@@ Line 277: / Line 277: @@
 {| class="formulaSCP" style="width: 100%; text-align: center;"
 |-
-| <math>\,  <math>\frac{1}{2}{\int }_{L_x}{\int }_{L_y}\left(\left(4b_{xs}N_x^{HT}+\right. \right. </math><math>\left. \left. 2d_{ss}M_s^{HT}\right)M_{s_{,X}}+2d_{ss}M_sM_{s_{,X}}\right)dxdy=</math><math>0</math></math>
+| <math>\,  \frac{1}{2}{\int }_{L_x}{\int }_{L_y}\left(\left(4b_{xs}N_x^{HT}+\right. \right. </math><math>\left. \left. 2d_{ss}M_s^{HT}\right)M_{s_{,X}}+2d_{ss}M_sM_{s_{,X}}\right)dxdy=</math><math>0</math>
 |}
-Donde <math display="inline">\,  <math display="inline">X=m_{t_a}</math></math>
+Donde <math display="inline">\,  X=m_{t_a}</math>
 Teniendo en cuenta que la mitad del momento torsor <math display="inline">{m}_{t}</math> de una sección rectangular corresponde a <math display="inline">{M}_{s}</math> y la otra mitad al momento resultante de las fuerzas cortantes de fuera del plano [9], se obtiene la siguiente distribución de momentos torsores:
@@ Line 290: / Line 290: @@
 {| style="text-align: center; margin:auto;"
 |-
-| <math display="inline">\,  <math>m_t=m_{ta}\mbox{ }0<y<a</math></math>
+| <math display="inline">\,  m_t=m_{ta}\mbox{ }0<y<a</math>
 |}
 | style="width: 5px;text-align: right;white-space: nowrap;" | (7)
@@ Line 300: / Line 300: @@
 {| style="text-align: center; margin:auto;"
 |-
-| <math display="inline">\,  <math display="inline">m_{t_a}=-2b\left(\frac{2b_{xs}}{d_{ss}}N_x^{HT}+M_s^{HT}\right)</math></math>
+| <math display="inline">\,  m_{t_a}=-2b\left(\frac{2b_{xs}}{d_{ss}}N_x^{HT}+M_s^{HT}\right)</math>
 |}
 | style="width: 5px;text-align: right;white-space: nowrap;" | (8)
@@ Line 323: / Line 323: @@
 {| style="text-align: center; margin:auto;"
 |-
-| <math display="inline">\mathit{\boldsymbol{\, }} <math>\left\{\overline{N}\right\}=\left\{\begin{array}{c}
+| <math display="inline">\mathit{\boldsymbol{\, }} \left\{\overline{N}\right\}=\left\{\begin{array}{c}
 N_x^{HT}\\
 N_y^{HT}\\
 N_s
-\end{array}\right\}</math> \mathit{\boldsymbol{;\, }} <math>\left\{\overline{M}\right\}=\left\{\begin{array}{c}
+\end{array}\right\} \mathit{\boldsymbol{;\, }} \left\{\overline{M}\right\}=\left\{\begin{array}{c}
 M_x\\
 \\
 M_s^{HT}
-\end{array}\right\}</math> \mathit{\boldsymbol{\, }}</math>
+\end{array}\right\} \mathit{\boldsymbol{\, }}</math>
 |}
 | style="width: 5px;text-align: right;white-space: nowrap;" | (9)
@@ Line 344: / Line 344: @@
 {| style="text-align: center; margin:auto;"
 |-
-| <math display="inline">\, \,  <math>{\theta }_a=\frac{{\kappa }_s^{HT}}{2}a</math></math>
+| <math display="inline">\, \,  {\theta }_a=\frac{{\kappa }_s^{HT}}{2}a</math>
 |}
 | style="width: 5px;text-align: right;white-space: nowrap;" | (10)
@@ Line 357: / Line 357: @@
 {| style="text-align: center; margin:auto;"
 |-
-| <math display="inline">\,  <math>N_s=\frac{{\kappa }_s^{HT}P}{2b}y\mbox{ }0<y<a</math></math>
+| <math display="inline">\,  N_s=\frac{{\kappa }_s^{HT}P}{2b}y\mbox{ }0<y<a</math>
 |}
 | style="width: 5px;text-align: right;white-space: nowrap;" | (11)
@@ Line 370: / Line 370: @@
 {| class="formulaSCP" style="width: 100%; text-align: center;"
 |-
-| <math>\,  <math>G=\frac{d_{xx}P^2}{b^2}\left({\alpha }_0+{\alpha }_1a+\right. </math><math>\left. a^2\right)-d_{ss}{\left(\frac{2b_{xs}}{d_{ss}}N_x^{HT}+M_s^{HT}\right)}^2</math></math>
+| <math>\,  G=\frac{d_{xx}P^2}{b^2}\left({\alpha }_0+{\alpha }_1a+\right. </math><math>\left. a^2\right)-d_{ss}{\left(\frac{2b_{xs}}{d_{ss}}N_x^{HT}+M_s^{HT}\right)}^2</math>
 |}
@@ Line 377: / Line 377: @@
 {| class="formulaSCP" style="width: 100%; text-align: center;"
 |-
-| <math>\,  <math>G=\frac{d_{xx}P^2}{b^2}\left({\alpha }_0+{\alpha }_1a+\right. </math><math>\left. a^2\right)+\frac{{\kappa }_s^{HT}P^2a^2}{b^2}\left(\frac{a_{ss}{\kappa }_s^{HT}}{4}+\right. </math><math>\left. b_{xs}\right)</math></math>
+| <math>\,  G=\frac{d_{xx}P^2}{b^2}\left({\alpha }_0+{\alpha }_1a+\right. </math><math>\left. a^2\right)+\frac{{\kappa }_s^{HT}P^2a^2}{b^2}\left(\frac{a_{ss}{\kappa }_s^{HT}}{4}+\right. </math><math>\left. b_{xs}\right)</math>
 |}

@@ Line 141: / Line 141: @@
 {| style="text-align: center; margin:auto;"
 |-
-| <math display="inline">\,  <math>U^\ast =\frac{1}{2}{\int }_{L_x}{\int }_{L_y}\left(\right)dxdy-</math><math>\frac{Lb}{2}\sum_{k=1}^n{\left\{e\right\}}_k^t{\left[Q\right]}_k{\left\{e\right\}}_k\left(z_k-\right. </math><math>\left. z_{k-1}\right)</math></math>
+| <math display="inline">\,  U^\ast =\frac{1}{2}{\int }_{L_x}{\int }_{L_y}\left(\right)dxdy-</math><math>\frac{Lb}{2}\sum_{k=1}^n{\left\{e\right\}}_k^t{\left[Q\right]}_k{\left\{e\right\}}_k\left(z_k-\right. </math><math>\left. z_{k-1}\right)</math>
 |}
 | style="width: 5px;text-align: right;white-space: nowrap;" | (1)
@@ Line 156: / Line 156: @@
 {| style="text-align: center; margin:auto;"
 |-
-| <math display="inline">\,  <math>{\delta }_i={\left(\frac{\partial U^\ast }{\partial F_i}\right)}_a</math></math>
+| <math display="inline">\,  {\delta }_i={\left(\frac{\partial U^\ast }{\partial F_i}\right)}_a</math>
 |}
 | style="width: 5px;text-align: right;white-space: nowrap;" | (2)
@@ Line 166: / Line 166: @@
 {| style="text-align: center; margin:auto;"
 |-
-| <math display="inline">\,  <math>G=\frac{1}{b}{\left(\frac{\partial U^\ast }{\partial a}\right)}_{F_i}</math></math>
+| <math display="inline">\,  G=\frac{1}{b}{\left(\frac{\partial U^\ast }{\partial a}\right)}_{F_i}</math>
 |}
 | style="width: 5px;text-align: right;white-space: nowrap;" | (3)
@@ Line 181: / Line 181: @@
 {| style="text-align: center; margin:auto;"
 |-
-| <math display="inline">\,  <math>{\delta }_i=b{\int }_{L_x}\left(\right)dx</math></math>
+| <math display="inline">\,  {\delta }_i=b{\int }_{L_x}\left(\right)dx</math>
 |}
 | style="width: 5px;text-align: right;white-space: nowrap;" | (4)
@@ Line 191: / Line 191: @@
 {| style="text-align: center; margin:auto;"
 |-
-| <math display="inline">\,  <math>G=\frac{\partial }{\partial a}\left[\frac{1}{2}{\int }_{L_x}\left(\begin{array}{c}
+| <math display="inline">\,  G=\frac{\partial }{\partial a}\left[\frac{1}{2}{\int }_{L_x}\left(\begin{array}{c}
 \\
-\end{array}{\left\{\overline{N}\right\}}^t\left[a\right]\left\{\overline{N}\right\}+\right. \right. </math><math>\left. \left. 2{\left\{\overline{N}\right\}}^t\left[b\right]\left\{\overline{M}\right\}+\right. \right. </math><math>\left. \left. {\left\{\overline{M}\right\}}^t\left[d\right]\left\{\overline{M}\right\}\right)dx\right]</math></math>
+\end{array}{\left\{\overline{N}\right\}}^t\left[a\right]\left\{\overline{N}\right\}+\right. \right. </math><math>\left. \left. 2{\left\{\overline{N}\right\}}^t\left[b\right]\left\{\overline{M}\right\}+\right. \right. </math><math>\left. \left. {\left\{\overline{M}\right\}}^t\left[d\right]\left\{\overline{M}\right\}\right)dx\right]</math>
 |}
 | style="width: 5px;text-align: right;white-space: nowrap;" | (5)
 |}
 ==3 Aproximación analítica==

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