Dourado Meireles 2015a - Revision history

Scipediacontent: /* 4.1. Descrição do algoritmo */

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‎4.1. Descrição do algoritmo

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Scipediacontent: Created page with " ==Resumo== Neste artigo é proposto um modelo de elementos finitos simplificado para representação de juntas rebitadas em análise dinâmica de estruturas. O rebite é mo..."

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Created page with " ==Resumo== Neste artigo é proposto um modelo de elementos finitos simplificado para representação de juntas rebitadas em análise dinâmica de estruturas. O rebite é mo..."

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 Considere‐se <math display="inline">\overset{\mbox{ˆ}}{\varphi }_0\left(\overset{\mbox{ˆ}}{v}_0\right)</math>  e <math display="inline">\overset{\mbox{ˆ}}{\lambda }_0\left(\overset{\mbox{ˆ}}{v}_0\right)</math> , respetivamente como os vetores próprios numéricos iniciais estimados e os valores próprios numéricos iniciais estimados, a partir dos quais podem ser calculados <math display="inline">M\overset{\mbox{ˆ}}{A}C_{ii_0}\left(\overset{\mbox{ˆ}}{v}_0\right)</math> , <math display="inline">M\overset{\mbox{ˆ}}{A}C_{ij_0}\left(\overset{\mbox{ˆ}}{v}_0\right)</math>  e <math display="inline">\overset{\mbox{ˆ}}{\omega }_{i_0}\left(\overset{\mbox{ˆ}}{v}_0\right)</math> , onde <math display="inline">M\overset{\mbox{ˆ}}{A}C_{ii_0}\left(\overset{\mbox{ˆ}}{v}_0\right)</math>  são os elementos da diagonal da matriz MAC inicial estimada e <math display="inline">M\overset{\mbox{ˆ}}{A}C_{ij_0}\left(\overset{\mbox{ˆ}}{v}_0\right)</math>  são os valores fora da diagonal da matriz MAC inicial estimada.
-A função objetivo inicial ''f''<sup>0</sup> , definida em (12), dependendo das Eqs. [[#eq0065|(13)]]  ‐ (16), é usada para comparar os valores numéricos iniciais estimados com os valores de referência/experimentais. Se ''f''<sup>0</sup>  → −1<sup>+</sup> , onde <math display="inline">-1^+=\underset{\in \rightarrow 0}{lim}\left(-1+\in \right)</math>  ou se a condição <math display="inline">\left|f^{q+1}-f^q\right|\leq 10^{-6}</math>  é satisfeita como critério de paragem, então o processo de melhoramento de modelos de elementos é concluído. Se nenhuma das condições acima é satisfeita, então ''q''  = ''q''  + 1 e novas estimativas <math display="inline">\overset{\mbox{ˆ}}{\varphi }_{q+1}\left(\overset{\mbox{ˆ}}{v}_{q+1}\right)</math>  e <math display="inline">\overset{\mbox{ˆ}}{\lambda }_{q+1}\left(\overset{\mbox{ˆ}}{v}_{q+1}\right)</math>  são calculadas. Novamente, estes valores são comparados com os valores de referência usando a função objetivo ''f''<sup>''q'' +1                            </sup>  baseada na Eq. (12). Se para alguma iteração ''q''  = ''h''  ≥ 1, tal que ''f''<sup>''h''</sup>  → −1<sup>+</sup> , ou se a condição <math display="inline">\left|f_d^{q+1}-f_d^q\right|\leq 10^{-6}</math>  é satisfeita, então o processo de melhoramento de modelos de elementos finitos é concluído e os valores ótimos de <math display="inline">\overset{\mbox{ˆ}}{\varphi }_h\left(\overset{\mbox{ˆ}}{\nu }_h\right)</math>  e <math display="inline">\overset{\mbox{ˆ}}{\lambda }_h\left(\overset{\mbox{ˆ}}{v}_h\right)</math>  são encontrados. O mesmo é dizer que o valor ótimo do parâmetro que carateriza a constante de rigidez do elemento mola‐amortecedor e que melhor aproxima o modelo numérico ao modelo de referência/experimental é encontrado.
+A função objetivo inicial ''f''<sup>0</sup> , definida em (12), dependendo das Eqs. [[#eq0065|(13)]]  ‐ (16), é usada para comparar os valores numéricos iniciais estimados com os valores de referência/experimentais. Se ''f''<sup>0</sup>  → −1<sup>+</sup> , onde <math display="inline">-1^+=\underset{\in \rightarrow 0}{lim}\left(-1+\in \right)</math>  ou se a condição <math display="inline">\left\|f^{q+1}-f^q\right\|\leq 10^{-6}</math>  é satisfeita como critério de paragem, então o processo de melhoramento de modelos de elementos é concluído. Se nenhuma das condições acima é satisfeita, então ''q''  = ''q''  + 1 e novas estimativas <math display="inline">\overset{\mbox{ˆ}}{\varphi }_{q+1}\left(\overset{\mbox{ˆ}}{v}_{q+1}\right)</math>  e <math display="inline">\overset{\mbox{ˆ}}{\lambda }_{q+1}\left(\overset{\mbox{ˆ}}{v}_{q+1}\right)</math>  são calculadas. Novamente, estes valores são comparados com os valores de referência usando a função objetivo ''f''<sup>''q'' +1                            </sup>  baseada na Eq. (12). Se para alguma iteração ''q''  = ''h''  ≥ 1, tal que ''f''<sup>''h''</sup>  → −1<sup>+</sup> , ou se a condição <math display="inline">\left\|f_d^{q+1}-f_d^q\right\|\leq 10^{-6}</math>  é satisfeita, então o processo de melhoramento de modelos de elementos finitos é concluído e os valores ótimos de <math display="inline">\overset{\mbox{ˆ}}{\varphi }_h\left(\overset{\mbox{ˆ}}{\nu }_h\right)</math>  e <math display="inline">\overset{\mbox{ˆ}}{\lambda }_h\left(\overset{\mbox{ˆ}}{v}_h\right)</math>  são encontrados. O mesmo é dizer que o valor ótimo do parâmetro que carateriza a constante de rigidez do elemento mola‐amortecedor e que melhor aproxima o modelo numérico ao modelo de referência/experimental é encontrado.
 ===4.2. Fluxograma do processo===

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 |}
-onde ''N''<sub>''λ''</sub>  é o número de valores próprios ''λ''  correspondente aos pares de formas naturais de vibração correlacionadas (ver secção 1), ''f''<sub>''i''</sub>  é a ''i''<sup>''th''</sup>  frequência natural de referência obtida experimentalmente, <math display="inline">\overset{\wedge}{f}_{i_0}</math>  frequência numérica inicial estimada definida por <math display="inline">\overset{\mbox{ˆ}}{f}_{i_0}=\frac{\sqrt{\overset{\mbox{ˆ}}{\lambda }_{i_0}}}{2\pi }</math> , <math display="inline">\overset{\wedge}{f}_{i_q}</math>  é a ''i''<sup>''th''</sup>  frequência natural numérica estimada a cada iteração ''q  ''  definida por <math display="inline">\overset{\wedge}{f}_{i_q}=\frac{\sqrt{\overset{\wedge}{\lambda }_{i_q}}}{2\pi }</math> , <math display="inline">\overset{\wedge}{\lambda }_{i_0}</math>  é o ''i''<sup>''th''</sup>  valor próprio numérico inicial estimado, e <math display="inline">\overset{\wedge}{\lambda }_{i_q}</math>  é o ''i''<sup>''th''</sup>  valor próprio numérico estimado a cada iteração ''q'' , com ''q''  ≥ 0. O termo quadrático na Eq. [[#eq0080|(16)]]  é usado para acelerar a convergência e obter apenas diferenças positivas entre as frequências do modelo numérico e de referência. O denominador em (13), (15) e (16) é usado para obter diferenças normalizadas. Os vetores que contêm as formas naturais de vibração estimadas <math display="inline">\overset{\mbox{ˆ}}{\phi }_{i_q}</math>  e os valores próprios estimados <math display="inline">\overset{\wedge}{\lambda }_{i_q}</math>  são função dos parâmetros contidos no vetor <math display="inline">\overset{\mbox{ˆ}}{v}_q</math> . A relação entre eles pode ser escrita, respetivamente, como
+onde ''N''<sub>''λ''</sub>  é o número de valores próprios ''λ''  correspondente aos pares de formas naturais de vibração correlacionadas (ver secção 1), ''f''<sub>''i''</sub>  é a ''i''<sup>''th''</sup>  frequência natural de referência obtida experimentalmente, <math display="inline">\overset{\mbox{ˆ}}{f}_{i_0}</math>  frequência numérica inicial estimada definida por <math display="inline">\overset{\mbox{ˆ}}{f}_{i_0}=\frac{\sqrt{\overset{\mbox{ˆ}}{\lambda }_{i_0}}}{2\pi }</math> , <math display="inline">\overset{\mbox{ˆ}}{f}_{i_q}</math>  é a ''i''<sup>''th''</sup>  frequência natural numérica estimada a cada iteração ''q  ''  definida por <math display="inline">\overset{\mbox{ˆ}}{f}_{i_q}=\frac{\sqrt{\overset{\mbox{ˆ}}{\lambda }_{i_q}}}{2\pi }</math> , <math display="inline">\overset{\mbox{ˆ}}{\lambda }_{i_0}</math>  é o ''i''<sup>''th''</sup>  valor próprio numérico inicial estimado, e <math display="inline">\overset{\mbox{ˆ}}{\lambda }_{i_q}</math>  é o ''i''<sup>''th''</sup>  valor próprio numérico estimado a cada iteração ''q'' , com ''q''  ≥ 0. O termo quadrático na Eq. [[#eq0080|(16)]]  é usado para acelerar a convergência e obter apenas diferenças positivas entre as frequências do modelo numérico e de referência. O denominador em (13), (15) e (16) é usado para obter diferenças normalizadas. Os vetores que contêm as formas naturais de vibração estimadas <math display="inline">\overset{\mbox{ˆ}}{\phi }_{i_q}</math>  e os valores próprios estimados <math display="inline">\overset{\mbox{ˆ}}{\lambda }_{i_q}</math>  são função dos parâmetros contidos no vetor <math display="inline">\overset{\mbox{ˆ}}{v}_q</math> . A relação entre eles pode ser escrita, respetivamente, como
 {| class="formulaSCP" style="width: 100%; text-align: center;"
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 {| style="text-align: center; margin:auto;"
 |-
-| <math>\overset{\mbox{ˆ}}{\phi }_{i_q}=f\left(\overset{\wedge}{v}_{q_1},\overset{\wedge}{v}_{q_2},\overset{\wedge}{v}_{q_3},...,\overset{\wedge}{v}_{q_p}\right)</math>
+| <math>\overset{\mbox{ˆ}}{\phi }_{i_q}=f\left(\overset{\mbox{ˆ}}{v}_{q_1},\overset{\mbox{ˆ}}{v}_{q_2},\overset{\mbox{ˆ}}{v}_{q_3},...,\overset{\mbox{ˆ}}{v}_{q_p}\right)</math>
 |}
 | style="text-align: right;" | ( 17)
@@ Line 282: / Line 282: @@
 {| style="text-align: center; margin:auto;"
 |-
-| <math>\overset{\wedge}{\lambda }_{i_q}=f\left(\overset{\wedge}{v}_{q_1},\overset{\wedge}{v}_{q_2},\overset{\wedge}{v}_{q_3},...,\overset{\wedge}{v}_{q_p}\right),\mbox{ }para=1,\mbox{ }\cdots ,\mbox{ }n\mbox{,}</math>
+| <math>\overset{\mbox{ˆ}}{\lambda }_{i_q}=f\left(\overset{\mbox{ˆ}}{v}_{q_1},\overset{\mbox{ˆ}}{v}_{q_2},\overset{\mbox{ˆ}}{v}_{q_3},...,\overset{\mbox{ˆ}}{v}_{q_p}\right),\mbox{ }para=1,\mbox{ }\cdots ,\mbox{ }n\mbox{,}</math>
 |}
 | style="text-align: right;" | ( 18)
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 onde ''p''  é o número de parâmetros a otimizar e ''n''  é o número de graus de liberdade.
-Os parâmetros <math display="inline">\overset{\wedge}{v}_{q_1},...,\overset{\wedge}{v}_{q_p}</math>  contidos no vetor <math display="inline">\overset{\wedge}{v}_q</math>  estão sujeitos à restrição
+Os parâmetros <math display="inline">\overset{\mbox{ˆ}}{v}_{q_1},...,\overset{\mbox{ˆ}}{v}_{q_p}</math>  contidos no vetor <math display="inline">\overset{\mbox{ˆ}}{v}_q</math>  estão sujeitos à restrição
 {| class="formulaSCP" style="width: 100%; text-align: center;"
@@ Line 296: / Line 296: @@
 {| style="text-align: center; margin:auto;"
 |-
-| <math>v_{LB}\leq \overset{\wedge}{v}_{q_i}\leq v_{UB},\mbox{ }para\mbox{ }i=1,\mbox{ }\ldots ,\mbox{ }p\mbox{,}</math>
+| <math>v_{LB}\leq \overset{\mbox{ˆ}}{v}_{q_i}\leq v_{UB},\mbox{ }para\mbox{ }i=1,\mbox{ }\ldots ,\mbox{ }p\mbox{,}</math>
 |}
 | style="text-align: right;" | ( 19)
@@ Line 311: / Line 311: @@
 {| style="text-align: center; margin:auto;"
 |-
-| <math>\mbox{Diferença}\mbox{ }\mbox{Percentual}\mbox{ }\mbox{Média}=\frac{\sum _{i=1}^{N_{\lambda }}\left(\frac{f_i-\overset{\wedge}{f}_i}{f_i}\right)}{N_{\lambda }}\times 100\mbox{,}</math>
+| <math>\mbox{Diferença}\mbox{ }\mbox{Percentual}\mbox{ }\mbox{Média}=\frac{\sum _{i=1}^{N_{\lambda }}\left(\frac{f_i-\overset{\mbox{ˆ}}{f}_i}{f_i}\right)}{N_{\lambda }}\times 100\mbox{,}</math>
 |}
 | style="text-align: right;" | ( 20)
 |}
-onde <math display="inline">\overset{\wedge}{f}_i</math>  é a ''i''<sup>''th''</sup>  frequência natural numérica estimada final.
+onde <math display="inline">\overset{\mbox{ˆ}}{f}_i</math>  é a ''i''<sup>''th''</sup>  frequência natural numérica estimada final.
 ==4. Processo de melhoramento de modelos de elementos finitos==

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