Cavalieri et al 2012a - Revision history

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Scipediacontent: Created page with "==Resumen== En este trabajo se propone un algoritmo mortar para el estudio del contacto mecánico en problemas de elasticidad tridimensional. La superficie de proyección uti..."

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Created page with "==Resumen== En este trabajo se propone un algoritmo mortar para el estudio del contacto mecánico en problemas de elasticidad tridimensional. La superficie de proyección uti..."

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 |-
 | <math>\boldsymbol{y}_A^{\alpha }=\left[\begin{array}{c}
-{\overset{\textasciicaron}{\boldsymbol{e}}}_1\cdot (\boldsymbol{x}_A^{\alpha }-\boldsymbol{x}_0^1)\\
+{\check{\boldsymbol{e}}}_1\cdot (\boldsymbol{x}_A^{\alpha }-\boldsymbol{x}_0^1)\\
-{\overset{\textasciicaron}{\boldsymbol{e}}}_2\cdot (\boldsymbol{x}_A^{\alpha }-\boldsymbol{x}_0^1)\\
+{\check{\boldsymbol{e}}}_2\cdot (\boldsymbol{x}_A^{\alpha }-\boldsymbol{x}_0^1)\\
 \end{array}\right],</math>
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 |}
-donde <math display="inline">\boldsymbol{x}_0^1</math>  es un punto que pertenece a un elemento no-mortar ''k  '' , por ejemplo, uno de sus vértices. De esta manera, las coordenadas nodales <math display="inline">\boldsymbol{y}_A^{\alpha }</math>  quedan definidas con dos componentes. Los versores <math display="inline">{\overset{\textasciicaron}{\boldsymbol{e}}}_1</math>  y <math display="inline">{\overset{\textasciicaron}{\boldsymbol{e}}}_2</math>  son calculados por medio de las diagonales para cada elemento no-mortar de la siguiente manera,
+donde <math display="inline">\boldsymbol{x}_0^1</math>  es un punto que pertenece a un elemento no-mortar ''k  '' , por ejemplo, uno de sus vértices. De esta manera, las coordenadas nodales <math display="inline">\boldsymbol{y}_A^{\alpha }</math>  quedan definidas con dos componentes. Los versores <math display="inline">{\check{\boldsymbol{e}}}_1</math>  y <math display="inline">{\check{\boldsymbol{e}}}_2</math>  son calculados por medio de las diagonales para cada elemento no-mortar de la siguiente manera,
 <span id='eq0260'></span>
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 {| style="text-align: center; margin:auto;"
 |-
-| <math>{\overset{\textasciicaron}{\boldsymbol{e}}}_1=\frac{\boldsymbol{x}_3^1-\boldsymbol{x}_1^1}{\left\|\boldsymbol{x}_3^1-\boldsymbol{x}_1^1\right\|},</math>
+| <math>{\check{\boldsymbol{e}}}_1=\frac{\boldsymbol{x}_3^1-\boldsymbol{x}_1^1}{\left\|\boldsymbol{x}_3^1-\boldsymbol{x}_1^1\right\|},</math>
 |}
 | style="width: 5px;text-align: right;white-space: nowrap;" | ( 52)
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 {| style="text-align: center; margin:auto;"
 |-
-| <math>{\overset{\textasciicaron}{\boldsymbol{e}}}_2={\overset{\textasciicaron}{\boldsymbol{e}}}_3\times {\overset{\textasciicaron}{\boldsymbol{e}}}_1,</math>
+| <math>{\check{\boldsymbol{e}}}_2={\check{\boldsymbol{e}}}_3\times {\check{\boldsymbol{e}}}_1,</math>
 |}
 | style="width: 5px;text-align: right;white-space: nowrap;" | ( 53)
@@ Line 1,222: / Line 1,222: @@
 {| style="text-align: center; margin:auto;"
 |-
-| <math>{\overset{\textasciicaron}{\boldsymbol{e}}}_3=\frac{\left(\boldsymbol{x}_3^1-\boldsymbol{x}_1^1)\times (\boldsymbol{x}_4^1-\boldsymbol{x}_2^1\right)}{\left\|\left(\boldsymbol{x}_3^1-\boldsymbol{x}_1^1)\times (\boldsymbol{x}_4^1-\boldsymbol{x}_2^1\right)\right\|},</math>
+| <math>{\check{\boldsymbol{e}}}_3=\frac{\left(\boldsymbol{x}_3^1-\boldsymbol{x}_1^1)\times (\boldsymbol{x}_4^1-\boldsymbol{x}_2^1\right)}{\left\|\left(\boldsymbol{x}_3^1-\boldsymbol{x}_1^1)\times (\boldsymbol{x}_4^1-\boldsymbol{x}_2^1\right)\right\|},</math>
 |}
 | style="width: 5px;text-align: right;white-space: nowrap;" | ( 54)
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 |-
 | <math>\Delta \boldsymbol{y}_A^{\alpha }=\left[\begin{array}{c}
-\Delta {\overset{\textasciicaron}{\boldsymbol{e}}}_1\cdot (\boldsymbol{x}_A^{\alpha }-\boldsymbol{x}_0^1)+{\overset{\textasciicaron}{\boldsymbol{e}}}_1\cdot \Delta \boldsymbol{x}_A^{\alpha }+{\overset{\textasciicaron}{\boldsymbol{e}}}_1\cdot \Delta \boldsymbol{x}_0^1\\
+\Delta {\check{\boldsymbol{e}}}_1\cdot (\boldsymbol{x}_A^{\alpha }-\boldsymbol{x}_0^1)+{\check{\boldsymbol{e}}}_1\cdot \Delta \boldsymbol{x}_A^{\alpha }+{\check{\boldsymbol{e}}}_1\cdot \Delta \boldsymbol{x}_0^1\\
-\Delta {\overset{\textasciicaron}{\boldsymbol{e}}}_2\cdot (\boldsymbol{x}_A^{\alpha }-\boldsymbol{x}_0^1)+{\overset{\textasciicaron}{\boldsymbol{e}}}_2\cdot \Delta \boldsymbol{x}_A^{\alpha }+{\overset{\textasciicaron}{\boldsymbol{e}}}_2\cdot \Delta \boldsymbol{x}_0^1\\
+\Delta {\check{\boldsymbol{e}}}_2\cdot (\boldsymbol{x}_A^{\alpha }-\boldsymbol{x}_0^1)+{\check{\boldsymbol{e}}}_2\cdot \Delta \boldsymbol{x}_A^{\alpha }+{\check{\boldsymbol{e}}}_2\cdot \Delta \boldsymbol{x}_0^1\\
 \end{array}\right]</math>

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 ==A.2. Variación de la normal==
-La linealización de <math display="inline">{\overset{\textasciicaron}{\boldsymbol{e}}}_1</math>  puede ser obtenida a partir de la ecuación [[#eq0260|(52)]]  como se muestra a continuación,
+La linealización de <math display="inline">{\check{\boldsymbol{e}}}_1</math>  puede ser obtenida a partir de la ecuación [[#eq0260|(52)]]  como se muestra a continuación,
 <span id='eq0280'></span>
@@ Line 1,278: / Line 1,278: @@
 {| style="text-align: center; margin:auto;"
 |-
-| <math>\Delta {\overset{\textasciicaron}{\boldsymbol{e}}}_1=</math><math>\boldsymbol{\mbox{F}}(\Delta \boldsymbol{x}_3^1-\Delta \boldsymbol{x}_1^1),</math>
+| <math>\Delta {\check{\boldsymbol{e}}}_1=</math><math>\boldsymbol{\mbox{F}}(\Delta \boldsymbol{x}_3^1-\Delta \boldsymbol{x}_1^1),</math>
 |}
 | style="width: 5px;text-align: right;white-space: nowrap;" | ( 56)
@@ Line 1,290: / Line 1,290: @@
 {| style="text-align: center; margin:auto;"
 |-
-| <math>\boldsymbol{F}=\frac{\left(\boldsymbol{I}-{\overset{\textasciicaron}{\boldsymbol{e}}}_1\otimes {\overset{\textasciicaron}{\boldsymbol{e}}}_1\right)}{\parallel \boldsymbol{x}_3^1-\boldsymbol{x}_1^1\parallel }.</math>
+| <math>\boldsymbol{F}=\frac{\left(\boldsymbol{I}-{\check{\boldsymbol{e}}}_1\otimes {\check{\boldsymbol{e}}}_1\right)}{\parallel \boldsymbol{x}_3^1-\boldsymbol{x}_1^1\parallel }.</math>
 |}
 | style="width: 5px;text-align: right;white-space: nowrap;" | ( 57)
@@ Line 1,316: / Line 1,316: @@
 {| style="text-align: center; margin:auto;"
 |-
-| <math>\boldsymbol{A}=\frac{\left(\boldsymbol{I}-{\overset{\textasciicaron}{\boldsymbol{e}}}_3\otimes {\overset{\textasciicaron}{\boldsymbol{e}}}_3\right)}{\left[\left(\boldsymbol{x}_3^1-\boldsymbol{x}_1^1)\times (\boldsymbol{x}_4^1-\boldsymbol{x}_2^1\right)\right]}\tilde{\left(\boldsymbol{x}_4^1-\boldsymbol{x}_2^1\right)}\quad \vert \quad </math>
+| <math>\boldsymbol{A}=\frac{\left(\boldsymbol{I}-{\check{\boldsymbol{e}}}_3\otimes {\check{\boldsymbol{e}}}_3\right)}{\left[\left(\boldsymbol{x}_3^1-\boldsymbol{x}_1^1)\times (\boldsymbol{x}_4^1-\boldsymbol{x}_2^1\right)\right]}\tilde{\left(\boldsymbol{x}_4^1-\boldsymbol{x}_2^1\right)}\quad \vert \quad </math>
 |-
 |<math>\tilde{\left(\boldsymbol{x}_1^1-\boldsymbol{x}_3^1\right)}\quad \vert \quad \tilde{\left(\boldsymbol{x}_2^1-\boldsymbol{x}_4^1\right)}\quad \vert \quad \tilde{\left(\boldsymbol{x}_3^1-\boldsymbol{x}_1^1\right)},</math>
@@ Line 1,323: / Line 1,323: @@
 |}
-el operador <math display="inline">\tilde{\left(\bullet \right)}</math>  aplicado a un vector '''''u'''''  retorna la matriz antisimétrica <math display="inline">\tilde{\boldsymbol{u}}</math>  tal que <math display="inline">\boldsymbol{u}\times \boldsymbol{v}=</math><math>\tilde{\boldsymbol{u}}\boldsymbol{v}</math> , para cualquier vector arbitrario <math display="inline">\boldsymbol{v}</math> . Por último, resta calcular la variación del versor <math display="inline">{\overset{\textasciicaron}{\boldsymbol{e}}}_2</math> , obtenido a partir de la ecuación [[#eq0265|(53)]] ,
+el operador <math display="inline">\tilde{\left(\bullet \right)}</math>  aplicado a un vector '''''u'''''  retorna la matriz antisimétrica <math display="inline">\tilde{\boldsymbol{u}}</math>  tal que <math display="inline">\boldsymbol{u}\times \boldsymbol{v}=</math><math>\tilde{\boldsymbol{u}}\boldsymbol{v}</math> , para cualquier vector arbitrario <math display="inline">\boldsymbol{v}</math> . Por último, resta calcular la variación del versor <math display="inline">{\check{\boldsymbol{e}}}_2</math> , obtenido a partir de la ecuación [[#eq0265|(53)]] ,
 <span id='eq0300'></span>
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 |}
-donde <math display="inline">\tilde{\boldsymbol{n}}</math>  y <math display="inline">{\tilde{\boldsymbol{e}}}_1</math>  son los operadores rotacionales antisimétricos asociados al vector normal '''''n'''''  y a <math display="inline">{\overset{\textasciicaron}{\boldsymbol{e}}}_1</math> , respectivamente. Reemplazando por las ecuaciones ([[#eq0280|56]] ,[[#eq0290|58]] ,[[#eq0300|60]] ) en la ecuación [[#eq0275|(55)]] , obtenemos la matriz <math display="inline">\boldsymbol{H}_A^{\alpha }</math>  definida como
+donde <math display="inline">\tilde{\boldsymbol{n}}</math>  y <math display="inline">{\tilde{\boldsymbol{e}}}_1</math>  son los operadores rotacionales antisimétricos asociados al vector normal '''''n'''''  y a <math display="inline">{\check{\boldsymbol{e}}}_1</math> , respectivamente. Reemplazando por las ecuaciones ([[#eq0280|56]] ,[[#eq0290|58]] ,[[#eq0300|60]] ) en la ecuación [[#eq0275|(55)]] , obtenemos la matriz <math display="inline">\boldsymbol{H}_A^{\alpha }</math>  definida como
 {| class="formulaSCP" style="width: 100%; text-align: center;"
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 {| style="text-align: center; margin:auto;"
 |-
-| <math>\boldsymbol{H}_I^{\alpha }=-(\boldsymbol{x}_A^{\alpha }-</math><math>\boldsymbol{x}_0)^T\boldsymbol{F}+{\overset{\textasciicaron}{\boldsymbol{e}}}_1^T({\delta }_{A1}-</math><math>1/n)\quad \quad \vert \quad \quad </math>
+| <math>\boldsymbol{H}_I^{\alpha }=-(\boldsymbol{x}_A^{\alpha }-</math><math>\boldsymbol{x}_0)^T\boldsymbol{F}+{\check{\boldsymbol{e}}}_1^T({\delta }_{A1}-</math><math>1/n)\quad \quad \vert \quad \quad </math>
 |-
-|<math>{\overset{\textasciicaron}{\boldsymbol{e}}}_1^T({\delta }_{A2}-</math><math>1/n)(\boldsymbol{x}_A^{\alpha }-\boldsymbol{x}_0)^T\boldsymbol{F}+</math><math></math>
+|<math>{\check{\boldsymbol{e}}}_1^T({\delta }_{A2}-</math><math>1/n)(\boldsymbol{x}_A^{\alpha }-\boldsymbol{x}_0)^T\boldsymbol{F}+</math><math></math>
 |-
-|<math>{\overset{\textasciicaron}{\boldsymbol{e}}}_1^T({\delta }_{A3}-</math><math>1/n)\quad \quad \vert \quad \quad {\overset{\textasciicaron}{\boldsymbol{e}}}_1^T({\delta }_{A4}-</math><math>1/n),</math>
+|<math>{\check{\boldsymbol{e}}}_1^T({\delta }_{A3}-</math><math>1/n)\quad \quad \vert \quad \quad {\check{\boldsymbol{e}}}_1^T({\delta }_{A4}-</math><math>1/n),</math>
 |-
 |<math>\boldsymbol{H}_{II}^{\alpha }=-(\boldsymbol{x}_A^{\alpha }-</math><math>\boldsymbol{x}_0)^T({\tilde{\boldsymbol{e}}}_1+\boldsymbol{A}^I+</math><math>\tilde{\boldsymbol{n}}\boldsymbol{F})+</math>
 |-
-|<math>{\overset{\textasciicaron}{\boldsymbol{e}}}_2^T({\delta }_{A1}-</math><math>1/n)\quad \quad \vert \quad \quad -(\boldsymbol{x}_A^{\alpha }-</math><math>\boldsymbol{x}_0)^T{\tilde{\boldsymbol{e}}}_1\boldsymbol{A}^{II}+</math><math></math>
+|<math>{\check{\boldsymbol{e}}}_2^T({\delta }_{A1}-</math><math>1/n)\quad \quad \vert \quad \quad -(\boldsymbol{x}_A^{\alpha }-</math><math>\boldsymbol{x}_0)^T{\tilde{\boldsymbol{e}}}_1\boldsymbol{A}^{II}+</math><math></math>
 |-
-|<math>{\overset{\textasciicaron}{\boldsymbol{e}}}_2^T({\delta }_{A2}-</math><math>1/n)\quad \quad \vert \quad \quad -(\boldsymbol{x}_A^{\alpha }-</math><math>\boldsymbol{x}_0)^T({\tilde{\boldsymbol{e}}}_1\boldsymbol{A}^{III}</math>
+|<math>{\check{\boldsymbol{e}}}_2^T({\delta }_{A2}-</math><math>1/n)\quad \quad \vert \quad \quad -(\boldsymbol{x}_A^{\alpha }-</math><math>\boldsymbol{x}_0)^T({\tilde{\boldsymbol{e}}}_1\boldsymbol{A}^{III}</math>
 |-
-|<math>-\tilde{\boldsymbol{n}}\boldsymbol{F})+{\overset{\textasciicaron}{\boldsymbol{e}}}_2^T({\delta }_{A3}-</math><math>1/n)\quad \quad \vert \quad \quad </math>
+|<math>-\tilde{\boldsymbol{n}}\boldsymbol{F})+{\check{\boldsymbol{e}}}_2^T({\delta }_{A3}-</math><math>1/n)\quad \quad \vert \quad \quad </math>
 |-
-|<math>-(\boldsymbol{x}_A^{\alpha }-\boldsymbol{x}_0)^T{\tilde{\boldsymbol{e}}}_1\boldsymbol{A}^{IV}+</math><math>{\overset{\textasciicaron}{\boldsymbol{e}}}_2^T.</math>
+|<math>-(\boldsymbol{x}_A^{\alpha }-\boldsymbol{x}_0)^T{\tilde{\boldsymbol{e}}}_1\boldsymbol{A}^{IV}+</math><math>{\check{\boldsymbol{e}}}_2^T.</math>
 |}
 | style="width: 5px;text-align: right;white-space: nowrap;" | ( 62)

@@ Line 836: / Line 836: @@
 |}
-donde <math display="inline">{\tilde{\boldsymbol{V}}}_j</math>  corresponde a la matriz antisimétrica asociada al vector <math display="inline">\boldsymbol{v}_j</math> . Luego puede demostrarse que <math display="inline">\Delta \parallel \boldsymbol{n}_j\parallel =</math><math>\boldsymbol{n}_j/\parallel \boldsymbol{n}_j\parallel \Delta \boldsymbol{n}_j=</math><math>{\overset{\textasciicaron}{\boldsymbol{n}}}_jS\overset{\mbox{ˆ}}{W}</math> , con lo cual la variación del vector normal promedio es expresado de la siguiente manera
+donde <math display="inline">{\tilde{\boldsymbol{V}}}_j</math>  corresponde a la matriz antisimétrica asociada al vector <math display="inline">\boldsymbol{v}_j</math> . Luego puede demostrarse que <math display="inline">\Delta \parallel \boldsymbol{n}_j\parallel =</math><math>\boldsymbol{n}_j/\parallel \boldsymbol{n}_j\parallel \Delta \boldsymbol{n}_j=</math><math>{\check{\boldsymbol{n}}}_jS\overset{\mbox{ˆ}}{W}</math> , con lo cual la variación del vector normal promedio es expresado de la siguiente manera
 {| class="formulaSCP" style="width: 100%; text-align: center;"

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 |}
-donde <math display="inline">Y_{32,1}^P</math>  es la componente en la dirección <math display="inline">{\overset{\textasciicaron}{\boldsymbol{e}}}_1</math>  del vector <math display="inline">y_3^P-y_2^P</math>  que pertenece a la base <math display="inline">V</math> , <math display="inline">Y_{32,2}^P</math>  es la segunda componente del mismo vector pero en la dirección <math display="inline">{\overset{\textasciicaron}{\boldsymbol{e}}}_2</math> . En forma análoga se obtienen: <math display="inline">Y_{13,1}^P</math> , <math display="inline">Y_{13,2}^P</math> , <math display="inline">Y_{21,1}^P</math>  y <math display="inline">Y_{21,2}^P</math> .
+donde <math display="inline">Y_{32,1}^P</math>  es la componente en la dirección <math display="inline">{\check{\boldsymbol{e}}}_1</math>  del vector <math display="inline">y_3^P-y_2^P</math>  que pertenece a la base <math display="inline">V</math> , <math display="inline">Y_{32,2}^P</math>  es la segunda componente del mismo vector pero en la dirección <math display="inline">{\check{\boldsymbol{e}}}_2</math> . En forma análoga se obtienen: <math display="inline">Y_{13,1}^P</math> , <math display="inline">Y_{13,2}^P</math> , <math display="inline">Y_{21,1}^P</math>  y <math display="inline">Y_{21,2}^P</math> .
 Teniendo en cuenta la ecuación [[#eq0160|(32)]]  que relaciona los coordenadas de los nodos del triángulo ''P  ''  con las coordenadas del elemento no-mortar y mortar (<math display="inline">\Delta \boldsymbol{y}_I^P=\boldsymbol{D}_{IK}^P\Delta \overset{\mbox{ˆ}}{\boldsymbol{\Phi }}</math> ), la linealización del área resulta en la siguiente ecuación
@@ Line 685: / Line 685: @@
 |}
 con <math display="inline">\boldsymbol{J}^P=1/(2A^P)\left[-\right. </math><math>\left. Y_{32,2}^P\quad \vert \quad Y_{32,1}^P\quad \vert \quad -\right. </math><math>\left. Y_{13,2}^P\quad \vert \quad Y_{13,2}^P\quad \vert \quad -\right. </math><math>\left. Y_{21,2}^P\quad \vert \quad Y_{21,1}^P\right]</math> .
 ===6.3. Factores de peso===

@@ Line 515: / Line 515: @@
 {| style="text-align: center; margin:auto;"
 |-
-| <math>\sum_{I=1}^3N_I^P(\boldsymbol{\xi })\quad \boldsymbol{y}_I^P=</math><math>\sum_{A=1}^{3\overset{\textasciiacute}{o}4}N_A^{\alpha }({\boldsymbol{\xi }}^{\alpha })\quad \boldsymbol{y}_A^{\alpha }.</math>
+| <math>\sum_{I=1}^3N_I^P(\boldsymbol{\xi })\quad \boldsymbol{y}_I^P=</math><math>\sum_{A=1}^{3\acute{o}4}N_A^{\alpha }({\boldsymbol{\xi }}^{\alpha })\quad \boldsymbol{y}_A^{\alpha }.</math>
 |}
 | style="width: 5px;text-align: right;white-space: nowrap;" | ( 26)
@@ Line 541: / Line 541: @@
 {| style="text-align: center; margin:auto;"
 |-
-| <math>\Delta {\xi }_{\beta }^{\alpha }={{\boldsymbol{\tau }}_{\beta }^{\alpha }}^T\cdot \left(\sum_{I=1}^3N_I^P(\boldsymbol{\xi })\Delta \boldsymbol{y}_I^P-\right. </math><math>\left. \sum_{A=1}^{3\overset{\textasciiacute}{o}4}N_A^{\alpha }({\boldsymbol{\xi }}^{\alpha })\Delta \boldsymbol{y}_A^P\right),</math>
+| <math>\Delta {\xi }_{\beta }^{\alpha }={{\boldsymbol{\tau }}_{\beta }^{\alpha }}^T\cdot \left(\sum_{I=1}^3N_I^P(\boldsymbol{\xi })\Delta \boldsymbol{y}_I^P-\right. </math><math>\left. \sum_{A=1}^{3\acute{o}4}N_A^{\alpha }({\boldsymbol{\xi }}^{\alpha })\Delta \boldsymbol{y}_A^P\right),</math>
 |}
 | style="width: 5px;text-align: right;white-space: nowrap;" | ( 28)
@@ Line 568: / Line 568: @@
 | <math>\Delta N_A^{\alpha }({\boldsymbol{\xi }}_g^{\alpha })=</math><math>N_A^{\alpha }({\boldsymbol{\xi }}_g^{\alpha }){{\boldsymbol{\tau }}_{\beta }^{\alpha }}^T\cdot \sum_{I=1}^3N_I^P(\boldsymbol{\xi })\Delta \boldsymbol{y}_I^P-</math><math></math>
 |-
-|<math>\sum_{A=1}^{3\overset{\textasciiacute}{o}4}N_A^{\alpha }({\boldsymbol{\xi }}_g^{\alpha })\Delta \boldsymbol{y}_A^P.</math>
+|<math>\sum_{A=1}^{3\acute{o}4}N_A^{\alpha }({\boldsymbol{\xi }}_g^{\alpha })\Delta \boldsymbol{y}_A^P.</math>
 |}
 | style="width: 5px;text-align: right;white-space: nowrap;" | ( 30)

@@ Line 347: / Line 347: @@
 ==5. Cómputo de los factores de peso. Proyecciones==
-Para llevar a cabo las integraciones en la interface ''Γ''<sub>''c''</sub> , es necesario definir una superficie topológica sobre la cual realizar las aproximaciones. En este trabajo se aproxima la cara de un elemento ''k''  no mortar, ver  [[#fig0005|figura 1]] , con un elemento <math display="inline">\tilde{k}</math>  que pertenece a un plano '''''p'''''  definido por un vector normal '''''e'''''<sub>3</sub> , ver [[#fig0015|figura 3]] -a. Dicho vector normal se obtiene por el producto vectorial de las diagonales de la cara del elemento ''k  '' . La suma de todas las superficies <math display="inline">\tilde{k}</math>  representa la superficie de integración ''Γ''<sub>''c''</sub>  de la ecuación [[#eq0015|(3)]] . Una alternativa para la proyección de los nodos no-mortar y mortar en el plano '''''p'''''  es a través de una base global definida en <math display="inline">{\mathbb{R}}^3</math> . De esta manera, es posible utilizar el algoritmo de intersección lineal paramétrico Cyrus-Beck descrito en la referencia [[#bib0150|[30]]] . En este trabajo se propone otra alternativa que facilita el desarrollo de las ecuaciones y que consiste en la definición de una base local para cada elemento no mortar que define un plano o superficie de proyección '''''p''''' , tal como lo representa la [[#fig0015|figura 3]] -a. De esta forma, es posible utilizar un algoritmo de intersección de polígonos basado en reglas de avance y en la definición paramétrica de rectas en <math display="inline">{\mathbb{R}}^2</math> , ver por ejemplo [[#bib0160|[31]]] . Tomando una base <math display="inline">V=\lbrace {\overset{\textasciicaron}{\boldsymbol{e}}}_1,{\overset{\textasciicaron}{\boldsymbol{e}}}_2,{\overset{\textasciicaron}{\boldsymbol{e}}}_3\rbrace </math> , donde los versores <math display="inline">{\overset{\textasciicaron}{\boldsymbol{e}}}_1</math>  y <math display="inline">{\overset{\textasciicaron}{\boldsymbol{e}}}_3</math>  son calculados por medio de las diagonales para cada elemento no-mortar y el vector <math display="inline">{\overset{\textasciicaron}{\boldsymbol{e}}}_2</math> , como <math display="inline">{\overset{\textasciicaron}{\boldsymbol{e}}}_1\times {\overset{\textasciicaron}{\boldsymbol{e}}}_3</math> , ver [[#fig0015|figura 3]] -a, las proyecciones de las coordenadas de los nodos <math display="inline">\boldsymbol{x}_A^{\alpha }</math>  de un elemento mortar o no-mortar en '''''p'''''  pueden calcularse como
+Para llevar a cabo las integraciones en la interface ''Γ''<sub>''c''</sub> , es necesario definir una superficie topológica sobre la cual realizar las aproximaciones. En este trabajo se aproxima la cara de un elemento ''k''  no mortar, ver  [[#fig0005|figura 1]] , con un elemento <math display="inline">\tilde{k}</math>  que pertenece a un plano '''''p'''''  definido por un vector normal '''''e'''''<sub>3</sub> , ver [[#fig0015|figura 3]] -a. Dicho vector normal se obtiene por el producto vectorial de las diagonales de la cara del elemento ''k  '' . La suma de todas las superficies <math display="inline">\tilde{k}</math>  representa la superficie de integración ''Γ''<sub>''c''</sub>  de la ecuación [[#eq0015|(3)]] . Una alternativa para la proyección de los nodos no-mortar y mortar en el plano '''''p'''''  es a través de una base global definida en <math display="inline">{\mathbb{R}}^3</math> . De esta manera, es posible utilizar el algoritmo de intersección lineal paramétrico Cyrus-Beck descrito en la referencia [[#bib0150|[30]]] . En este trabajo se propone otra alternativa que facilita el desarrollo de las ecuaciones y que consiste en la definición de una base local para cada elemento no mortar que define un plano o superficie de proyección '''''p''''' , tal como lo representa la [[#fig0015|figura 3]] -a. De esta forma, es posible utilizar un algoritmo de intersección de polígonos basado en reglas de avance y en la definición paramétrica de rectas en <math display="inline">{\mathbb{R}}^2</math> , ver por ejemplo [[#bib0160|[31]]] . Tomando una base <math display="inline">V=\lbrace {\check{\boldsymbol{e}}}_1,{\check{\boldsymbol{e}}}_2,{\check{\boldsymbol{e}}}_3\rbrace </math> , donde los versores <math display="inline">{\check{\boldsymbol{e}}}_1</math>  y <math display="inline">{\check{\boldsymbol{e}}}_3</math>  son calculados por medio de las diagonales para cada elemento no-mortar y el vector <math display="inline">{\check{\boldsymbol{e}}}_2</math> , como <math display="inline">{\check{\boldsymbol{e}}}_1\times {\check{\boldsymbol{e}}}_3</math> , ver [[#fig0015|figura 3]] -a, las proyecciones de las coordenadas de los nodos <math display="inline">\boldsymbol{x}_A^{\alpha }</math>  de un elemento mortar o no-mortar en '''''p'''''  pueden calcularse como
 <span id='eq0090'></span>
@@ Line 356: / Line 356: @@
 |-
 | <math>\boldsymbol{y}_A^{\alpha }=\left[\begin{array}{c}
-{\overset{\textasciicaron}{\boldsymbol{e}}}_1\cdot (\boldsymbol{x}_A^{\alpha }-\boldsymbol{x}_0^1)\\
+{\check{\boldsymbol{e}}}_1\cdot (\boldsymbol{x}_A^{\alpha }-\boldsymbol{x}_0^1)\\
-{\overset{\textasciicaron}{\boldsymbol{e}}}_2\cdot (\boldsymbol{x}_A^{\alpha }-\boldsymbol{x}_0^1)\\
+{\check{\boldsymbol{e}}}_2\cdot (\boldsymbol{x}_A^{\alpha }-\boldsymbol{x}_0^1)\\
 \end{array}\right],</math>
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 Figura 3.
-(a) Elemento no-mortar ''k'' , elemento mortar ''l'' , plano de proyección '''''p''''' , base <math display="inline">V=\lbrace {\overset{\textasciicaron}{\boldsymbol{e}}}_1,{\overset{\textasciicaron}{\boldsymbol{e}}}_2,{\overset{\textasciicaron}{\boldsymbol{e}}}_3\rbrace </math> ; (b) proyección de los elementos ''k''  y ''l''  en el plano '''''p''''' , (c); polígono <math display="inline">P</math>  formado con el algoritmo de intersección; (d) división de <math display="inline">P</math>  en triángulos.
+(a) Elemento no-mortar ''k'' , elemento mortar ''l'' , plano de proyección '''''p''''' , base <math display="inline">V=\lbrace {\check{\boldsymbol{e}}}_1,{\check{\boldsymbol{e}}}_2,{\check{\boldsymbol{e}}}_3\rbrace </math> ; (b) proyección de los elementos ''k''  y ''l''  en el plano '''''p''''' , (c); polígono <math display="inline">P</math>  formado con el algoritmo de intersección; (d) división de <math display="inline">P</math>  en triángulos.
 </span>
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 {| style="text-align: center; margin:auto;"
 |-
-| <math>\sum_{I=1}^3N_I^P(\boldsymbol{\xi })\quad \boldsymbol{y}_I^P=</math><math>\sum_{A=1}^{3\overset{\textasciiacute}{o}4}N_A^{\alpha }({\boldsymbol{\xi }}_g^{\alpha })\quad \boldsymbol{y}_A^{\alpha }.</math>
+| <math>\sum_{I=1}^3N_I^P(\boldsymbol{\xi })\quad \boldsymbol{y}_I^P=</math><math>\sum_{A=1}^{3\acute{o}4}N_A^{\alpha }({\boldsymbol{\xi }}_g^{\alpha })\quad \boldsymbol{y}_A^{\alpha }.</math>
 |}
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