Acosta et al 2018a - Revision history

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−	La Figura 8 muestra los valores del ángulo zenit justo al medio día solar. De las Figuras 7 y 8 podemos inferir que cuando el Sol está en la región R2 (siempre inclinado hacia el sur), el ángulo de zenit, <math>\theta_z</math>, alcanza un valor máximo de 45º grados aproximadamente, es decir, el Sol tiene la mínima altitud. De manera análoga, cuando el Sol inicia su recorrido por la región R1, o finaliza su recorrido por la región R3, el ángulo <math>\theta_z</math> alcanza un valor máximo de aproximadamente 20º (mínima altitud). De la Figura 8 notamos que cuando el Sol inicia y termina su trayectoria con una inclinación siempre hacia el norte (días 81 y 263), el ángulo del zenit a medio día es igual a cero, correspondiente al equinoccio. Por otra parte, cuando el sol transita siempre inclinado hacia el norte (del día 146 al 199), el ángulo <math>\theta_z</math> alcanza ahora un valor máximo de 5º. Los resultados anteriores pueden ser aplicados, por ejemplo, en sistemas de seguimiento solar, en paneles y colectores solares, incluso en la industria de casas habitación sin la necesidad de tomar mediciones de campo para cualquier latitud. Como un ejemplo particular de aplicación, si se desea que la luz del Sol no incida sobre una pared vertical cuando la radiación sea máxima (a medio día solar), es necesario construir terrazas para que proyecten sombra sobre la pared vertical. Así, si h es la altura de una pared vertical, entonces la longitud L de la terraza, para garantizar que al medio solar la radiación no incida sobre dicha pared, está dada por: <math>L = h\tan ({\theta _z})</math>. Usando los valores del zenit máximo tenemos que cuando el sol está inclinado hacia el sur <math>L = h</math>, mientras que si el Sol está inclinado hacia el norte, <math>L =0.36h</math>.	+	La Figura 8 muestra los valores del ángulo zenit justo al medio día solar. De las Figuras 7 y 8 podemos inferir que cuando el Sol está en la región R2 (siempre inclinado hacia el sur), el ángulo de zenit, <math>\theta_z</math>, alcanza un valor máximo de 45º grados aproximadamente, es decir, el Sol tiene la mínima altitud. De manera análoga, cuando el Sol inicia su recorrido por la región R1, o finaliza su recorrido por la región R3, el ángulo <math>\theta_z</math> alcanza un valor máximo de aproximadamente 20º (mínima altitud). De la Figura 8 notamos que cuando el Sol inicia y termina su trayectoria con una inclinación siempre hacia el norte (días 81 y 263), el ángulo del zenit a medio día es igual a cero, correspondiente al equinoccio. Por otra parte, cuando el sol transita siempre inclinado hacia el norte (del día 146 al 199), el ángulo <math>\theta_z</math> alcanza ahora un valor máximo de 5º. Los resultados anteriores pueden ser aplicados, por ejemplo, en sistemas de seguimiento solar, en paneles y colectores solares, incluso en la industria de casas habitación sin la necesidad de tomar mediciones de campo para cualquier latitud. Como un ejemplo particular de aplicación, si se desea que la luz del Sol no incida sobre una pared vertical cuando la radiación sea máxima (a medio día solar), es necesario construir terrazas para que proyecten sombra sobre la pared vertical. Así, si <math>h</math> es la altura de una pared vertical, entonces la longitud <math>L</math> de la terraza, para garantizar que al medio solar la radiación no incida sobre dicha pared, está dada por: <math>L = h\tan ({\theta _z})</math>. Usando los valores del zenit máximo tenemos que cuando el sol está inclinado hacia el sur <math>L = h</math>, mientras que si el Sol está inclinado hacia el norte, <math>L =0.36h</math>.

	{\| style="text-align: center; border: 1px solid #BBB; margin: 1em auto; width: 60%;"		{\| style="text-align: center; border: 1px solid #BBB; margin: 1em auto; width: 60%;"

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 |}
-Es importante notar que si <math>\left| {\tan \delta /\tan \phi } \right|</math>  es mayor que 1, entonces no es posible determinar si el Sol está hacia el este o el oeste del observador. En tal caso es suficiente con hacer C1 = 1, evitando de esta manera el caso <math> \phi =0 </math>.
+Es importante notar que si <math>\left| {\tan \delta /\tan \phi } \right|</math>  es mayor que 1, entonces no es posible determinar si el Sol está hacia el este o el oeste del observador. En tal caso es suficiente con hacer <math>C1 = 1</math>, evitando de esta manera el caso <math> \phi =0 </math>.
 ==3. Resultados y discusión==

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 donde ''n'' es el n-ésimo día del año.
-Usando la ecuación anterior, en la Figura 2 se muestran los valores de la declinación (línea punteada) a lo largo de un año.
+Usando la ecuación (1), en la Figura 2 se muestran los valores de la declinación (línea punteada) a lo largo de un año.
 {| style="text-align: center; border: 1px solid #BBB; margin: 1em auto; width: 50%;"
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 |}
-Como un caso particular, para una superficie horizontal, el ángulo de inclinación es igual a cero, y en dicho caso el ángulo del zenit es igual al ángulo de incidencia, así, de la ecuación anterior tenemos que:
+Como un caso particular, para una superficie horizontal, el ángulo de inclinación es igual a cero, y en dicho caso el ángulo del zenit es igual al ángulo de incidencia, así, de la ecuación (2) tenemos que:
 {| class="formulaSCP" style="width: 100%; text-align: center;"
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 |}
-De la ecuación anterior podemos calcular el valor del ángulo del zenit en términos de la declinación, la latitud y el ángulo horario. La segunda relación importante está dada por:
+De la ecuación (3) podemos calcular el valor del ángulo del zenit en términos de la declinación, la latitud y el ángulo horario. La segunda relación importante está dada por:
 {| class="formulaSCP" style="width: 100%; text-align: center;"

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 |style="padding:10px;"|  [[File:Fig5-Sol-Anual.jpg|700px]]
 |- style="text-align: center; font-size: 75%;"
-| colspan="1" style="padding-bottom:10px;"| '''Figura 5'''. Función de densidad de probabilidad (Probability Density Function, PDF) de los valores del ángulo zenit y su distribución acumulativa. a) Histograma (PDF) de valores del ángulo zenit (curva roja) y ángulo de altitud solar (elevación, curva azul). b) Distribución acumulativa
+| colspan="1" style="padding-bottom:10px;"| '''Figura 5'''. Función de densidad de probabilidad (Probability Density Function, PDF) de los valores del ángulo zenit y su distribución acumulativa. (a) Histograma (PDF) de valores del ángulo zenit (curva roja) y ángulo de altitud solar (elevación, curva azul). (b) Distribución acumulativa
 |}
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 |style="padding:10px;"| [[File:Fig6-Sol.jpg|700px]]
 |- style="text-align: center; font-size: 75%;"
-| colspan="1" style="padding-bottom:10px;"| '''Figura 6'''. Función de densidad de probabilidad (Probability Density Function, PDF) de los valores del ángulo azimutal y distribución acumulativa. a) Histograma (PDF) de valores del ángulo azimutal. b) Distribución acumulativa para el ángulo azimutal
+| colspan="1" style="padding-bottom:10px;"| '''Figura 6'''. Función de densidad de probabilidad (Probability Density Function, PDF) de los valores del ángulo azimutal y distribución acumulativa. (a) Histograma (PDF) de valores del ángulo azimutal. (b) Distribución acumulativa para el ángulo azimutal
 |}
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-La Figura 8 muestra los valores del ángulo zenit justo al medio día solar.  De las Figuras 7 y 8 podemos inferir que cuando el Sol está en la región R2 (siempre inclinado hacia el sur), el ángulo de zenit, <math>\theta_z</math>, alcanza un valor máximo de 45<sup>o</sup> grados aproximadamente, es decir, el Sol tiene la mínima altitud. De manera análoga, cuando el Sol inicia su recorrido por la región R1, o finaliza su recorrido por la región R3, el ángulo <math>\theta_z</math> alcanza un valor máximo de aproximadamente 20<sup>o</sup> (mínima altitud). De la Figura 8 notamos que cuando el Sol inicia y termina su trayectoria con una inclinación siempre hacia el norte (días 81 y 263), el ángulo del zenit a medio día es igual a cero, correspondiente al equinoccio. Por otra parte, cuando el sol transita siempre inclinado hacia el norte (del día 146 al 199), el ángulo <math>\theta_z</math> alcanza ahora un valor máximo de 5<sup>o</sup>. Los resultados anteriores pueden ser aplicados, por ejemplo, en sistemas de seguimiento solar, en paneles y colectores solares, incluso en la industria de casas habitación sin la necesidad de tomar mediciones de campo para cualquier latitud. Como un ejemplo particular de aplicación, si se desea que la luz del Sol no incida sobre una pared vertical cuando la radiación sea máxima (a medio día solar), es necesario construir terrazas para que proyecten sombra sobre la pared vertical. Así, si h es la altura de una pared vertical, entonces la longitud L de la terraza, para garantizar que al medio solar la radiación no incida sobre dicha pared, está dada por: <math>L = h\tan ({\theta _z})</math>. Usando los valores del zenit máximo tenemos que cuando el sol está inclinado hacia el sur L = h, mientras que si el Sol está inclinado hacia el norte, L =0.36h.
+La Figura 8 muestra los valores del ángulo zenit justo al medio día solar.  De las Figuras 7 y 8 podemos inferir que cuando el Sol está en la región R2 (siempre inclinado hacia el sur), el ángulo de zenit, <math>\theta_z</math>, alcanza un valor máximo de 45º grados aproximadamente, es decir, el Sol tiene la mínima altitud. De manera análoga, cuando el Sol inicia su recorrido por la región R1, o finaliza su recorrido por la región R3, el ángulo <math>\theta_z</math> alcanza un valor máximo de aproximadamente 20º (mínima altitud). De la Figura 8 notamos que cuando el Sol inicia y termina su trayectoria con una inclinación siempre hacia el norte (días 81 y 263), el ángulo del zenit a medio día es igual a cero, correspondiente al equinoccio. Por otra parte, cuando el sol transita siempre inclinado hacia el norte (del día 146 al 199), el ángulo <math>\theta_z</math> alcanza ahora un valor máximo de 5º. Los resultados anteriores pueden ser aplicados, por ejemplo, en sistemas de seguimiento solar, en paneles y colectores solares, incluso en la industria de casas habitación sin la necesidad de tomar mediciones de campo para cualquier latitud. Como un ejemplo particular de aplicación, si se desea que la luz del Sol no incida sobre una pared vertical cuando la radiación sea máxima (a medio día solar), es necesario construir terrazas para que proyecten sombra sobre la pared vertical. Así, si h es la altura de una pared vertical, entonces la longitud L de la terraza, para garantizar que al medio solar la radiación no incida sobre dicha pared, está dada por: <math>L = h\tan ({\theta _z})</math>. Usando los valores del zenit máximo tenemos que cuando el sol está inclinado hacia el sur <math>L = h</math>, mientras que si el Sol está inclinado hacia el norte, <math>L =0.36h</math>.
 {| style="text-align: center; border: 1px solid #BBB; margin: 1em auto; width: 60%;"

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 <div class="auto" style="width: auto; margin-left: auto; margin-right: auto;font-size: 85%;">
-[1] Sitler R. K. (2006). “The 2016 Phenomenon New Age Appropriation of an Ancient Mayan Calendar”, Nova Religio: The Journal of Alternative and Emergent Religions, Vol. 19 No. 3, pp. 24-38 (DOI: 10.1525/nr.2006.9.3.024)
+[1] Sitler R.K. (2006). The 2016 phenomenon new age appropriation of an ancient Mayan calendar. Nova Religio: The Journal of Alternative and Emergent Religions, 19(3):24-38, 2006.
-[2] Aveni, A. F. (1992). “The sky in Mayan literature”, Osxford University Press, New York (USA), 307 p., ISBN 0-19-506844-0.
+[2] Aveni A.F.  The sky in Mayan literature. Osxford University Press, New York (USA), 307 pp., 1992.
-[3] Kinsella, J., Day Bradley, A. (1934). “The mayan calendar”, The mathematics teacher, Vol. 27, No. 7, pp. 340-343.
+[3] Kinsella J., Day Bradley A.  The mayan calendar. The Mathematics Teacher, 27(7):340-343, (1934).
-[4] Michalsky, J. J. (1988). “The Astronomical Almanac’s algorithm for approximate solar position (1950-2050)”. Solar Energy, Vol. 40 Issue 3, pp. 227-235.
+[4] Michalsky J.J.  The astronomical almanac’s algorithm for approximate solar position (1950-2050). Solar Energy, 40(3):227-235, 1988.
-[5] Abdallah, S. y Nijmeh S. (2004). “Two axes sun tracking system with PLC control”, Energy Conversion and Management. Vol. 45, Issue 11-12, pp. 1931-1939.
+[5] Abdallah S., Nijmeh S.  Two axes sun tracking system with PLC control. Energy Conversion and Management, 45(11-12):1931-1939, 2004.
-[6] Roth, A., Georgiev, A., Boudinov, H., (2005). “Cheap two axis sun following device”, Energy Conversion and Management. Vol. 46, Issue 7-8, pp. 1179-1192.
+[6] Roth A., Georgiev A., Boudinov H.,  Cheap two axis sun following device. Energy Conversion and Management, 46(7-8):1179-1192, 2005.
-[7] Chia-Yen Lee, et. al., (2009). “Sun Traking Systems: Areview”, Sensors. Vol. 9(05), pp. 3875-3890. (DOI: 10.3390/s90503875).
+[7] Chia-Yen Lee, et. al.  Sun traking systems: A review. Sensors, 9(05):3875-3890, 2009.
-[8] Reda, I. Adreas, A. (2004). “Solar position algorithm for solar radiation applications”. Solar Energy. Vol. 76, Issue 5, pp. 577-589.
+[8] Reda I., Adreas A. Solar position algorithm for solar radiation applications. Solar Energy, 76(5):577-589, 2004.
-[9] Benford, F., y Bock, J. E., (1939). “A time analisys of Sunshine”, Trans. Of the American Illumination Engineering Soc. Vol. 34 p. 200.
+[9] Benford F., Bock J.E.  A time analysis of sunshine. Trans. of the American Illumination Engineering Soc., 34, 200-204, 1939.
-[10] Cooper, P. L. (1969). “The Absortion of Solar Radiation in Solar Stills”, Solar Energy. Vol. 12, p. 3.
+[10] Cooper P.L. The absorption of solar radiation in solar stills. Solar Energy, 12(3):333-346, 1969.
-[11] Braun, J. E., y Mitchell, J. C. (1983). “Solar Geometry for Fixed and Traking Surfaces”, Solar Energy. Vol 31, p. 439.
+[11] Braun J.E.,  Mitchell J.C. Solar geometry for fixed and tracking surfaces. Solar Energy. 31(5):439-444, 1983.
 </div>

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 El horario mostrado en el eje vertical de la Figura 3 no necesariamente corresponde al horario que cotidianamente usamos en nuestros relojes, mostramos los resultados en términos del horario solar, donde el medio día solar queda definido cuando el ángulo azimutal solar vale cero grados. De la Figura 3 podemos notar que hay aproximadamente 90 minutos de diferencia entre el día que más tarde sale el sol (día 355 del año), con respecto al día que más temprano amanece (día 172 del año). Un calculo adicional nos permite determinar el número total de horas de luz para cada día del año (Figura 4). De la Figura 4 podemos identificar qué días son los más largos y cortos del año, así como los días de más (o menos) horas. Por ejemplo, a partir del día 81 comienzan los días con más de 12 horas de duración, lo que normalmente correspondería al inicio del conocido horario de verano en México, y en el día 263 terminan los días con más de 12 horas de luz (terminaría el horario de verano). Los días 81 y 263 corresponden a los equinoccios de la latitud de interés. De la misma Figura 4 podemos identificar que el día 172 es el que más horas de luz tiene (13:16, trece horas con 16 minutos), mientras que el de menor horas de luz es el día 355 (10:43, diez horas con 43 minutos), día cuando ocurre el solsticio de invierno.
-{| style="text-align: center; border: 1px solid #BBB; margin: 1em auto; width: 60%;"
+{| style="text-align: center; border: 1px solid #BBB; margin: 1em auto; width: 55%;"
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 |- style="text-align: center; font-size: 75%;"
 | colspan="1" style="padding-bottom:10px;"| '''Figura 5'''. Función de densidad de probabilidad (Probability Density Function, PDF) de los valores del ángulo zenit y su distribución acumulativa. a) Histograma (PDF) de valores del ángulo zenit (curva roja) y ángulo de altitud solar (elevación, curva azul). b) Distribución acumulativa
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 {| style="text-align: center; border: 1px solid #BBB; margin: 1em auto; width: 85%;"
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-|style="padding:10px;"| [[File:Fig6-Sol.jpg|650px]]
+|style="padding:10px;"| [[File:Fig6-Sol.jpg|700px]]
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 | colspan="1" style="padding-bottom:10px;"| '''Figura 6'''. Función de densidad de probabilidad (Probability Density Function, PDF) de los valores del ángulo azimutal y distribución acumulativa. a) Histograma (PDF) de valores del ángulo azimutal. b) Distribución acumulativa para el ángulo azimutal

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 Los valores de los ángulos que determinan la posición del Sol fueron obtenidos para cada uno de los 365 días del año, y para cada día en intervalos de un minuto, desde el alba hasta el ocaso. El intervalo temporal cuenta con la resolución suficiente para que los datos obtenidos puedan ser utilizados en sistemas autónomos de seguimiento solar. Además, los resultados de este trabajo pueden usarse para estimar la componente directa de la radiación solar en regiones  donde no se tengan registros históricos. Si el lector lo requiere puede ponerse en contacto con los autores y solicitar los datos de los resultados de los ángulos.
-{| style="text-align: center; border: 1px solid #BBB; margin: 1em auto; width: auto;max-width: auto;"
+{| style="text-align: center; border: 1px solid #BBB; margin: 1em auto; width: 85%;"
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 |style="padding:10px;"|  [[File:Fig5-Sol-Anual.jpg|650px]]
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 Con respecto al ángulo azimutal, en la Figura 6 mostramos un análisis similar al de la Figura 5. Es importante notar que los valores del ángulo azimutal entre -180º y 0º grados corresponden a posiciones del Sol antes del medio día (durante la mañana), y los valores entre 0º y 180º corresponden a posiciones del Sol después del medio día (durante la tarde). La Figura 6 muestra 3 regiones, definidas por los intervalos R1(-180º, -90º), R2(-90º, 90º) y R3(90º, 180º). La región R1 indica que el Sol se encuentra, durante el transcurso de la mañana inclinado hacia el norte de la línea este-oeste y, de la misma manera para la región R3 durante la tarde. Mientras que la región R2 indica que el sol se encuentra hacia el sur de la línea este-oeste. Es decir, existen días para los cuales la proyección de nuestra sombra se dirige al sur, cuando el Sol está en la región R1 y R3, y al norte, cuando el Sol está en la región R2. Es interesante mencionar que en la latitud de este estudio, usualmente los paneles solares se encuentran en una posición fija, y orientados hacia el sur con un ángulo de inclinación de 21º, de acuerdo con la Figura 1, en éste caso <math> \gamma=0</math> y <math>\beta={21^o}</math>. De la Figura 6(a) podemos inferir que el hecho de mantener un ángulo de inclinación fijo resulta en una disminución de la radiación directa incidente sobre los paneles solares, lo cual afecta su eficiencia. De manera análoga a la Figura 5b, de la Figura 6b podemos inferir que la probailidad de que por la mañana el Sol se encuentre al norte es aproximadamente 0.2. Con fines de mayor aplicación, es necesario conocer cuáles son los días en los que el Sol se inclina hacia el norte o hacia el sur y qué porcentaje del día permanece en una u otra orientación.La Figura 7 muestra que a partir del día 1 del año y hasta el día 81 el Sol sigue una trayectoria siempre inclinado hacia el sur, y a partir del día 82 sigue una trayectoria en la cual comienza a inclinarse hacia el norte, resulta interesante observar que a partir del día 82 comienzan los días con más de 12 horas de luz, finalizando en el día 263, justo cuando el Sol vuelve en su totalidad a la región R2, es decir, siempre haciendo un recorrido inclinado hacia el sur. También es importante notar que del día 146 al 199 el Sol hace su recorrido manteniéndose en su totalidad con una inlinación hacia el norte (regiones R1 y R3) y que el 50% de los días del año el Sol recorre el firmamento siempre inclinado hacia el sur, el 14.5% siempre inclinado hacia el norte, y el resto lo hace en combinación norte-sur. Ahora que conocemos los días en los que el Sol sigue una trayectoria con inclinación hacia el norte o el sur, resulta importante saber cuál es ángulo del zenit para esas trayectorias, lo cual nos indicaría qué tan inclinado al norte o sur se encuentra. Dado que el número de datos es enorme, en este estudio nos centramos en los valores cuando la radiación directa debe ser máxima, es decir, al medio día solar.
-{| style="text-align: center; border: 1px solid #BBB; margin: 1em auto; width: auto;max-width: auto;"
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 |style="padding:10px;"| [[File:Fig6-Sol.jpg|650px]]
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 |style="padding:10px;"| [[File:Fig7-Sol.jpg|500px]]
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 La Figura 8 muestra los valores del ángulo zenit justo al medio día solar.  De las Figuras 7 y 8 podemos inferir que cuando el Sol está en la región R2 (siempre inclinado hacia el sur), el ángulo de zenit, <math>\theta_z</math>, alcanza un valor máximo de 45<sup>o</sup> grados aproximadamente, es decir, el Sol tiene la mínima altitud. De manera análoga, cuando el Sol inicia su recorrido por la región R1, o finaliza su recorrido por la región R3, el ángulo <math>\theta_z</math> alcanza un valor máximo de aproximadamente 20<sup>o</sup> (mínima altitud). De la Figura 8 notamos que cuando el Sol inicia y termina su trayectoria con una inclinación siempre hacia el norte (días 81 y 263), el ángulo del zenit a medio día es igual a cero, correspondiente al equinoccio. Por otra parte, cuando el sol transita siempre inclinado hacia el norte (del día 146 al 199), el ángulo <math>\theta_z</math> alcanza ahora un valor máximo de 5<sup>o</sup>. Los resultados anteriores pueden ser aplicados, por ejemplo, en sistemas de seguimiento solar, en paneles y colectores solares, incluso en la industria de casas habitación sin la necesidad de tomar mediciones de campo para cualquier latitud. Como un ejemplo particular de aplicación, si se desea que la luz del Sol no incida sobre una pared vertical cuando la radiación sea máxima (a medio día solar), es necesario construir terrazas para que proyecten sombra sobre la pared vertical. Así, si h es la altura de una pared vertical, entonces la longitud L de la terraza, para garantizar que al medio solar la radiación no incida sobre dicha pared, está dada por: <math>L = h\tan ({\theta _z})</math>. Usando los valores del zenit máximo tenemos que cuando el sol está inclinado hacia el sur L = h, mientras que si el Sol está inclinado hacia el norte, L =0.36h.
-{| style="text-align: center; border: 1px solid #BBB; margin: 1em auto; width: 70%;"
+{| style="text-align: center; border: 1px solid #BBB; margin: 1em auto; width: 60%;"
 |-
-|style="padding:10px;"|  [[File:Fig8-Sol.jpg|500px]]
+|style="padding:10px;"|  [[File:Fig8-Sol.jpg|400px]]
 |- style="text-align: center; font-size: 75%;"
 | colspan="1" style="padding-bottom:10px;"| '''Figura 8'''. Ángulo del zenit al medio día. Desde el día 1 y hasta el 81 el Sol siempre permance inclinado hacia el sur, y a partir del día 82 aumenta el porcentaje de tiempo en los que el Sol se inclina hacia el norte. Del día 146 al 199 el Sol permanece el 100% de tiempo inclinado hacia el norte

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 Los valores de los ángulos que determinan la posición del Sol fueron obtenidos para cada uno de los 365 días del año, y para cada día en intervalos de un minuto, desde el alba hasta el ocaso. El intervalo temporal cuenta con la resolución suficiente para que los datos obtenidos puedan ser utilizados en sistemas autónomos de seguimiento solar. Además, los resultados de este trabajo pueden usarse para estimar la componente directa de la radiación solar en regiones  donde no se tengan registros históricos. Si el lector lo requiere puede ponerse en contacto con los autores y solicitar los datos de los resultados de los ángulos.
-<div class="center" style="width: auto; margin-left: auto; margin-right: auto;">
+{| style="text-align: center; border: 1px solid #BBB; margin: 1em auto; width: auto;max-width: auto;"
-[[File:Fig5-Sol-Anual.jpg|600x600px]] </div>
+|-
+|style="padding:10px;"|  [[File:Fig5-Sol-Anual.jpg|600x600px]]
-<span style="text-align: center; font-size: 75%;">'''Figura 5'''. Función de densidad de probabilidad (Probability Density Function, PDF) de los valores del ángulo zenit y su distribución acumulativa. a) Histograma (PDF) de valores del ángulo zenit (curva roja) y ángulo de altitud solar (elevación, curva azul). b) Distribución acumulativa. </span>
+|- style="text-align: center; font-size: 75%;"
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 Con respecto al ángulo azimutal, en la Figura 6 mostramos un análisis similar al de la Figura 5. Es importante notar que los valores del ángulo azimutal entre -180º y 0º grados corresponden a posiciones del Sol antes del medio día (durante la mañana), y los valores entre 0º y 180º corresponden a posiciones del Sol después del medio día (durante la tarde). La Figura 6 muestra 3 regiones, definidas por los intervalos R1(-180º, -90º), R2(-90º, 90º) y R3(90º, 180º). La región R1 indica que el Sol se encuentra, durante el transcurso de la mañana inclinado hacia el norte de la línea este-oeste y, de la misma manera para la región R3 durante la tarde. Mientras que la región R2 indica que el sol se encuentra hacia el sur de la línea este-oeste. Es decir, existen días para los cuales la proyección de nuestra sombra se dirige al sur, cuando el Sol está en la región R1 y R3, y al norte, cuando el Sol está en la región R2. Es interesante mencionar que en la latitud de este estudio, usualmente los paneles solares se encuentran en una posición fija, y orientados hacia el sur con un ángulo de inclinación de 21º, de acuerdo con la Figura 1, en éste caso <math> \gamma=0</math> y <math>\beta={21^o}</math>. De la Figura 6(a) podemos inferir que el hecho de mantener un ángulo de inclinación fijo resulta en una disminución de la radiación directa incidente sobre los paneles solares, lo cual afecta su eficiencia. De manera análoga a la Figura 5b, de la Figura 6b podemos inferir que la probailidad de que por la mañana el Sol se encuentre al norte es aproximadamente 0.2. Con fines de mayor aplicación, es necesario conocer cuáles son los días en los que el Sol se inclina hacia el norte o hacia el sur y qué porcentaje del día permanece en una u otra orientación.La Figura 7 muestra que a partir del día 1 del año y hasta el día 81 el Sol sigue una trayectoria siempre inclinado hacia el sur, y a partir del día 82 sigue una trayectoria en la cual comienza a inclinarse hacia el norte, resulta interesante observar que a partir del día 82 comienzan los días con más de 12 horas de luz, finalizando en el día 263, justo cuando el Sol vuelve en su totalidad a la región R2, es decir, siempre haciendo un recorrido inclinado hacia el sur. También es importante notar que del día 146 al 199 el Sol hace su recorrido manteniéndose en su totalidad con una inlinación hacia el norte (regiones R1 y R3) y que el 50% de los días del año el Sol recorre el firmamento siempre inclinado hacia el sur, el 14.5% siempre inclinado hacia el norte, y el resto lo hace en combinación norte-sur. Ahora que conocemos los días en los que el Sol sigue una trayectoria con inclinación hacia el norte o el sur, resulta importante saber cuál es ángulo del zenit para esas trayectorias, lo cual nos indicaría qué tan inclinado al norte o sur se encuentra. Dado que el número de datos es enorme, en este estudio nos centramos en los valores cuando la radiación directa debe ser máxima, es decir, al medio día solar.
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+|- style="text-align: center; font-size: 75%;"
-<span style="text-align: center; font-size: 75%;">'''Figura 7'''. Porcentaje de tiempo que el Sol se localiza hacia el norte. Desde el día 1 y hasta el 81 el Sol siempre permance inclinado hacia el sur, y a partir del día 82 aumenta el porcentaje de tiempo en los que el Sol se inclina hacia el norte. Del día 146 al 199 el Sol permanece el 100% de tiempo inclinado hacia el norte. </span>
+| colspan="1" style="padding-bottom:10px;"| '''Figura 7'''. Porcentaje de tiempo que el Sol se localiza hacia el norte. Desde el día 1 y hasta el 81 el Sol siempre permance inclinado hacia el sur, y a partir del día 82 aumenta el porcentaje de tiempo en los que el Sol se inclina hacia el norte. Del día 146 al 199 el Sol permanece el 100% de tiempo inclinado hacia el norte
 La Figura 8 muestra los valores del ángulo zenit justo al medio día solar.  De las Figuras 7 y 8 podemos inferir que cuando el Sol está en la región R2 (siempre inclinado hacia el sur), el ángulo de zenit, <math>\theta_z</math>, alcanza un valor máximo de 45<sup>o</sup> grados aproximadamente, es decir, el Sol tiene la mínima altitud. De manera análoga, cuando el Sol inicia su recorrido por la región R1, o finaliza su recorrido por la región R3, el ángulo <math>\theta_z</math> alcanza un valor máximo de aproximadamente 20<sup>o</sup> (mínima altitud). De la Figura 8 notamos que cuando el Sol inicia y termina su trayectoria con una inclinación siempre hacia el norte (días 81 y 263), el ángulo del zenit a medio día es igual a cero, correspondiente al equinoccio. Por otra parte, cuando el sol transita siempre inclinado hacia el norte (del día 146 al 199), el ángulo <math>\theta_z</math> alcanza ahora un valor máximo de 5<sup>o</sup>. Los resultados anteriores pueden ser aplicados, por ejemplo, en sistemas de seguimiento solar, en paneles y colectores solares, incluso en la industria de casas habitación sin la necesidad de tomar mediciones de campo para cualquier latitud. Como un ejemplo particular de aplicación, si se desea que la luz del Sol no incida sobre una pared vertical cuando la radiación sea máxima (a medio día solar), es necesario construir terrazas para que proyecten sombra sobre la pared vertical. Así, si h es la altura de una pared vertical, entonces la longitud L de la terraza, para garantizar que al medio solar la radiación no incida sobre dicha pared, está dada por: <math>L = h\tan ({\theta _z})</math>. Usando los valores del zenit máximo tenemos que cuando el sol está inclinado hacia el sur L = h, mientras que si el Sol está inclinado hacia el norte, L =0.36h.
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-[[File:Fig8-Sol.jpg|600x600px]] </div>
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+|- style="text-align: center; font-size: 75%;"
-<span style="text-align: center; font-size: 75%;">'''Figura 8'''. Ángulo del zenit al medio día. Desde el día 1 y hasta el 81 el Sol siempre permance inclinado hacia el sur, y a partir del día 82 aumenta el porcentaje de tiempo en los que el Sol se inclina hacia el norte. Del día 146 al 199 el Sol permanece el 100% de tiempo inclinado hacia el norte. </span>
+| colspan="1" style="padding-bottom:10px;"| '''Figura 8'''. Ángulo del zenit al medio día. Desde el día 1 y hasta el 81 el Sol siempre permance inclinado hacia el sur, y a partir del día 82 aumenta el porcentaje de tiempo en los que el Sol se inclina hacia el norte. Del día 146 al 199 el Sol permanece el 100% de tiempo inclinado hacia el norte
 ==4. Conclusiones==

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 Con las ecuaciones de la sección II es posible determinar los ángulos azimutal y zenit para el día <math> n </math> y ángulo horario <math> \omega </math>, tales ángulos determinan unívocamente la posición local del Sol en la bóveda celeste, para ello es necesario fijar la latitud de la región de interés. En nuestro caso, para la latidud de 21 grados (latitud de la Ciudad de Mérida, Yucatán México), programamos las ecuaciones en el lenguage de programación mathematica® (ver apéndice I para conocer el código desarrollado). Independientemente del valor del ángulo azimutal, el amanecer ocurre cuando el ángulo del zenit es menor o igual a 90º. La Figura 3 muestra la hora del amanecer para cada día del año.
-{| style="text-align: center; border: 1px solid #BBB; margin: 1em auto; width: 40%;"
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 El horario mostrado en el eje vertical de la Figura 3 no necesariamente corresponde al horario que cotidianamente usamos en nuestros relojes, mostramos los resultados en términos del horario solar, donde el medio día solar queda definido cuando el ángulo azimutal solar vale cero grados. De la Figura 3 podemos notar que hay aproximadamente 90 minutos de diferencia entre el día que más tarde sale el sol (día 355 del año), con respecto al día que más temprano amanece (día 172 del año). Un calculo adicional nos permite determinar el número total de horas de luz para cada día del año (Figura 4). De la Figura 4 podemos identificar qué días son los más largos y cortos del año, así como los días de más (o menos) horas. Por ejemplo, a partir del día 81 comienzan los días con más de 12 horas de duración, lo que normalmente correspondería al inicio del conocido horario de verano en México, y en el día 263 terminan los días con más de 12 horas de luz (terminaría el horario de verano). Los días 81 y 263 corresponden a los equinoccios de la latitud de interés. De la misma Figura 4 podemos identificar que el día 172 es el que más horas de luz tiene (13:16, trece horas con 16 minutos), mientras que el de menor horas de luz es el día 355 (10:43, diez horas con 43 minutos), día cuando ocurre el solsticio de invierno.
-{| style="text-align: center; border: 1px solid #BBB; margin: 1em auto; width: 45%;"
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 | style="padding:10px;" | [[File:Fig4-Sol-Anual.jpg|320px]]
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 | colspan="1" style="padding-bottom:10px;" | '''Figura 4'''. Horas de luz para cada día del año, podemos identificar periodos de menos de 11 horas de luz y de más de 13 horas de luz. Nota, 11.5 hrs. en la escala del eje vertical corresponden a las 11 hrs. con 30 minutos
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