Published in Cálculo de Estructuras por el Método de los Elementos Finitos. Análisis Estático Lineal. Vol 2, CIMNE, 2019

9 LÁMINAS DE REVOLUCIÓN

9.1 INTRODUCCIÓN

Muchas de las estructuras laminares de interés práctico tienen simetría de revolución. Este es el caso de los depósitos de agua o de combustibles, silos de grano, torres de refrigeración, muros de contención de centrales nucleares, cúpulas y otras estructuras ajenas a la construcción civil como vasijas de presión, turbinas, misiles, fuselajes de aviones y naves espaciales, etc. (Figura 1).

Es evidente que una lámina de revolución puede considerarse un caso particular de sólido de revolución, y puede por tanto analizarse con los elementos desarrollados en el Capítulo 6 de [On4]. Por otro lado, nada impide realizar un análisis tridimensional (3D) de la lámina con elementos de sólido (Capítulo 7 de [On4]), o de lámina plana o curva (Capítulos 8 y 10). Sin embargo, la doble circunstancia de tipología laminar (pequeño espesor) y de revolución, permite utilizar elementos de lámina de revolución. Estos elementos son unidimensionales (1D), lo que simplifica el proceso de discretización y reduce el coste de cálculo.

En este capítulo estudiaremos la formulación de elementos finitos de lámina de revolución para el caso de que las cargas también tengan simetría de revolución. Esta condición permite simplificar notablemente el cálculo, que se reduce al estudio de la deformación de la línea generatriz. Si las cargas no son de revolución puede mantenerse el carácter 1D del análisis desarrollando en serie de Fourier los movimientos de la lámina y las cargas, con lo que la solución del problema 3D puede obtenerse por superposición de varios estados de revolución. Este caso se estudiará en el Capítulo 11.

La forma intuitiva más sencilla de estudiar las láminas de revolución mediante el MEF es utilizar troncos de cono para la discretización de la estructura, siguiendo una filosofía similar a la del análisis de láminas curvas con elementos planos (Capítulo 8). Los denominados elementos de lámina troncocónicos fueron la primera elección para el análisis de láminas de revolución al inicio de los años 1960 [GS,PPL] y se han hecho muy populares desde entonces. Los elementos de lámina de revolución curvos también están disponibles y pueden ser útiles en algunos casos [JS]. Se puede encontrar una lista muy completa de referencias sobre el análisis de láminas de revolución mediante el MEF en [AG,Ga,Ga2,Go,JS2,ZT].

Ejemplos de estructuras de láminas de revolución
Figura 9.1: Ejemplos de estructuras de láminas de revolución

En este capítulo se estudian tanto los elementos de lámina de revolución troncocónicos como los curvos. Se consideran primero los elementos que no cumplen la condición de ortogonalidad de la normal. Estos elementos básicamente siguen las hipótesis de la teoría de Reissner-Mindlin para placas y láminas planas y, por lo tanto, tienen en cuenta los efectos de deformación de cortante transversal. Los elementos de lámina troncocónicos tienen muchas similitudes con los elementos de viga de Timoshenko (Capítulo 2). De nuevo, es esencial el uso de integración reducida y campos de deformación de cortante transversal impuestos para asegurar el buen comportamiento en situaciones delgadas y gruesas. También se presentan en este capítulo los elementos de lámina de revolución delgada basados en la teoría de láminas delgadas de Kirchhoff y se describen dos familias de elementos de lámina de revolución delgada sin rotación.

La formulación de elementos de lámina de revolución se simplifica para el análisis de placas de revolución, láminas de revolución rebajadas y arcos. Una placa de revolución se puede ver como un caso particular de lámina de revolución con generatriz horizontal y la formulación del MEF se obtiene simplemente despreciando los efectos de membrana en la teoría general. La formulación de arcos también surge del caso de láminas de revolución ignorando los efectos meridionales. El estudio de láminas de revolución rebajadas nos permitirá reinterpretar algunos conceptos del bloqueo por membrana.

El capítulo concluye con la formulación de elementos de lámina de revolución por degeneración de los elementos de sólido de revolución, así como una descripción de algunas teorías de mayor orden para láminas de revolución con material compuesto laminado. Aquí detallaremos la formulación de un elemento de lámina de revolución de dos nodos basado en la teoría de zigzag refinada.

Descripción geométrica de una lámina de revolución
Figura 9.2: Descripción geométrica de una lámina de revolución

9.2 DESCRIPCIÓN GEOMÉTRICA

Consideremos una lámina de revolución definida en un sistema de coordenadas global con vectores unitarios asociados , respectivamente (Figura 9.2). Una sección en el plano , donde es una dirección radial arbitraria que contiene el eje de simetría se denomina sección meridional. Una generatriz es, por tanto, la línea media de una sección meridional.

Lámina de revolución. Parámetros geométricos
Figura 9.3: Lámina de revolución. Parámetros geométricos

Se define un sistema de coordenadas meridional tal que el plano contiene la sección meridional. El vector unitario se asocia a la dirección radial (Figura 9.3). En adelante, las coordenadas y se emplearán indistintamente para el eje global horizontal de la sección meridional.

Se define un sistema de coordenadas local en cada punto de la generatriz. El eje define la dirección del vector tangente unitario es la dirección según el espesor que define el vector unitario normal , e es una dirección ortogonal al plano meridional. El vector unitario a lo largo de se obtiene mediante el producto vectorial de y (Figura 3a). Las componentes globales de la tríada se expresan como

(9.1)

donde es el ángulo formado por la dirección tangente con la dirección radial y es el ángulo entre el vector y el eje global (Figura 3a).

La dirección positiva de los arcos se define de manera que

(9.2)

donde y son los radios de curvatura definidos, respectivamente, por las distancias y en la Figura 9.3, y y son los parámetros de longitud de arco, a lo largo de la línea generatriz y de la circunferencia con centro en y radio , respectivamente (Figura 9.3).

Consideremos un punto de la sección meridional. Su posición se puede expresar como

(9.3)

donde el vector define la posición del punto en la generatriz y es la distancia entre y (Figura 9.3b). Como es una distancia arbitraria a lo largo de la dirección normal, en adelante tomaremos .

Calculemos ahora la derivada en el punto . Haciendo uso de las Ecs.(9.1)–(9.3) se llega a (con )

(9.4)

donde es el vector tangente en el punto . La Ec.(9.4) permite calcular la siguiente derivada

(9.5)

es decir,

(9.6)

La derivada se obtiene usando las Ecs.(9.1)–(9.3) como

(9.7)

donde se ha usado la definición . También

(9.8)

es decir,

(9.9)

donde se ha usado la relación (Figura 3c).

Las Ecs.(9.5) y (9.8) serán útiles para obtener las expresiones de las deformaciones en el siguiente apartado.

En láminas rebajadas o delgadas se cumple que , con y , lo cual implica que y . Estas igualdades se aceptan en muchos casos prácticos.

9.3 TEORÍA DE LÁMINAS DE REVOLUCIÓN BASADA EN LAS HIPÓTESIS DE REISSNER-MINDLIN

La teoría de láminas de revolución que se desarrolla a continuación se basa en las siguientes hipótesis:

  1. Las cargas son de revolución.
  2. El espesor no varía con la deformación.
  3. La tensión normal es cero.
  4. Las líneas normales a la generatriz antes de la deformación permanecen rectas, pero no necesariamente ortogonales a la deformada de la generatriz.

Estas hipótesis son idénticas a las usadas en las teorías de placas y láminas de Reissner-Mindlin (Capítulos 6 y 8). En un apartado posterior se desarrollará una teoría de láminas de revolución utilizando la hipótesis de Kirchhoff sobre la ortogonalidad de la normal.

9.3.1 Campo de desplazamientos

Debido a la simetría de revolución sólo es necesario considerar la deformación de la sección meridional. El movimiento de un punto en el plano meridional se define por los desplazamientos y en las direcciones radial y vertical , respectivamente.

Consideremos un punto sobre la generatriz y un punto en la dirección normal en y a una distancia de . Los puntos y se mueven a las posiciones y , respectivamente (Figura 9.4).

El vector de desplazamientos que une los puntos y se puede obtener como suma del vector de traslación (sólido rígido) (que une los puntos y con y respectivamente) y un vector de giro (que une los puntos y ) inducido por el ángulo girado por la normal (Figura 9.4).

Usando la hipótesis 4 para el giro de la normal podemos escribir

(9.10)

donde es el vector que define el desplazamiento del extremo del vector normal y es la distancia .

Definición del vector de desplazamientos de un punto
Figura 9.4: Definición del vector de desplazamientos de un punto

Las componentes de los vectores de desplazamientos de la Ec.(9.10) se escriben en ejes locales como

(9.11)

donde es el giro del vector normal (definido como positivo en la dirección contraria a las agujas del reloj) y denota las componentes de los desplazamientos locales. Combinando las Ecs.(9.10) y (9.11) y teniendo en cuenta que es una distancia arbitraria (es decir, ) se obtiene

(9.12)

Las Ecs.(9.12) son la versión unidimensional de las Ecs.(8.1) para láminas planas. Nótese que el desplazamiento tangente es la suma de la contribución en el plano, , más el término de flexión debido al giro de la normal. El desplazamiento normal es constante en el espesor.

El vector de movimientos locales de un punto de la generatriz es

(9.13)

El vector de movimientos globales se relaciona con los movimientos locales mediante la siguiente transformación

(9.14)

Recuérdese que y son componentes de desplazamiento a lo largo de los ejes globales y , respectivamente y es el ángulo formado por los vectores tangente y radial (Figura 9.3).

La Ec.(9.14) permite relacionar los desplazamientos locales y globales de un punto arbitrario , obteniéndose (usando la Ec.(9.12))

(9.15.a)
(9.15.b)

La expresión anterior de es útil para obtener la deformación circunferencial.

9.3.2 Vector de deformaciones

Obtendremos las deformaciones en ejes locales. Las deformaciones tangenciales y son cero debido a la simetría de revolución. Adicionalmente debido a la hipótesis 3 del Apartado 9.3 y, por lo tanto, no contribuye al trabajo interno, de forma similar a como ocurre para placas y láminas planas. Las deformaciones locales significativas son

(9.16)

El vector de deformaciones locales se define por

(9.17)

donde es el vector de deformaciones en el plano que contiene la deformación axil y la deformación circunferencial . Por otra parte, es la deformación de cortante transversal.

De las Ecs.(9.5) y (9.8) deducimos

(9.18)

Las derivadas y se definen como las componentes tangenciales y normales del vector . Usando las Ecs.(9.1), (9.2), (9.10) y (9.11) se llega a (teniendo en cuenta que y )

(9.19)

que da

(9.20)

Similarmente, la derivada se define como la componente tangencial del vector . De las Ecs.(9.10) y (9.11)

(9.21)

Sustituyendo las Ecs.(9.20) y (9.21) en la expresión de y de (9.18) y teniendo en cuenta que (Figura 9.5), se obtiene

(9.22)

(9.23)

(9.24)
Cambios circunferenciales tras la deformación
Figura 9.5: Cambios circunferenciales tras la deformación

La expresión de en la Ec.(9.15.a) se ha usado para obtener la Ec.(9.23).

El vector de deformaciones locales se expresa como

(9.25)

donde

(9.26)

En la Ec.(9.25)

(9.27.a)

es el vector de deformaciones de membrana y

(9.27.b)

son los vectores de deformaciones de flexión y de cortante transversal respectivamente. El vector

(9.28)

es el vector de deformaciones locales generalizadas que contiene las contribuciones de membrana, flexión y cortante.

Las dos componentes de son las elongaciones meridional (axial) y circunferencial de la línea generatriz, respectivamente. Las componentes de son las curvaturas de esa línea a lo largo de las direcciones meridional y circunferencial.

La relación entre las deformaciones locales en el plano y de cortante transversal con las deformaciones generalizadas se deduce de la Ec.(9.25) por

(9.29)

Las Ecs.(9.25) y (9.29) se simplifican para y ya que y es la matriz unidad de dimension .

9.3.3 Tensiones y esfuerzos

El vector de tensiones locales es

(9.30)

donde es el vector de tensiones locales en el plano que contiene las tensiones normales radial y circunferencial . Por otra parte, es la tensión tangencial (o tensión cortante). Para el criterio de signos ver la Figura 9.6.

Convenio de signos para las tensiones locales y los     esfuerzos locales en una lámina de revolución
Figura 9.6: Convenio de signos para las tensiones locales y los esfuerzos locales en una lámina de revolución

9.3.3.1 Ecuaciones constitutivas

La relación constitutiva tensión-deformación se obtiene de la de la elasticidad 3D expresada en ejes locales , imponiendo que la tensión normal y las deformaciones tangenciales y sean cero. El resultado es

(9.31.a)

En forma compacta

(9.31.b)

Si y son direcciones de ortotropía del material (con y ), entonces

(9.32)

En lo anterior y son los módulos de Young en las direcciones principales , y son los correspondientes coeficientes de Poisson (con ) y es el módulo de rigidez transversal. Para material isótropo

(9.33)

Los esfuerzos locales se definen por

(9.34)

Los subíndices y en la Ec.(9.34) denotan los esfuerzos axiles (de membrana) , los momentos flectores y el esfuerzo cortante , respectivamente. Para el convenio de signos ver la Figura 9.6.

Los términos de curvatura y en la Ec.(9.34) son una consecuencia de que , y estén definidos por unidad de longitud meridional, mientras que y se definen por unidad de longitud circunferencial. Por ejemplo, para el esfuerzo axil meridional (Figura 9.7)

(9.35.a)

y, como

(9.35.b)

Similarmente para el esfuerzo axil circunferencial (Figura 9.7)

(9.36.a)

y, así

(9.36.b)

Sustituyendo la expresión de de la Ec.(9.31.b) en (9.34) y usando la Ec.(9.25) se obtiene la relación entre los esfuerzos locales y las deformaciones generalizadas locales como

(9.37)
Esfuerzos axiles meridional Nx^\prime  (izquierda) y circunferencial Ny^\prime  (derecha)
Figura 9.7: Esfuerzos axiles meridional (izquierda) y circunferencial (derecha)

En forma expandida

(9.38.a)

con

(9.38.b)

De la simple observación de la Ec.(9.38.a) deducimos

(9.38.c)

(9.38.d)

donde y vienen dados en la Ec.(9.32). Para , entonces (ver las Ecs.(9.32) y (9.38.b)) como para placas y láminas planas. Si, además, las propiedades del material son homogéneas o simétricas respecto de la generatriz, entonces y

(9.39)

El esfuerzo axil meridional de la Ec.(9.35.b) no está definido para (si ya que en este caso (Ec.(9.9)). Este problema se resuelve definiendo por radian unitario e introduciendo dentro de la integral de (9.35.a) [BD6]. En la práctica, en se toma por simetría.

9.3.3.2 Coeficiente de corrección del cortante

La distribución constante de la tensión tangencial según el espesor en la anterior teoría no satisface la condición en la superficie de la lámina. Hay, por tanto, que introducir un coeficiente de corrección para tener en cuenta la distribución de sobre el espesor “exacta”, de forma similar a vigas y placas. Este coeficiente se introduce modificando la rigidez

de cortante como

(9.40)

con definido por la Ec.(9.38.d).

El coeficiente de corrección del cortante se toma normalmente igual a 5/6 para material homogéneo y . Se puede encontrar una expresión más precisa de que involucra los radios de curvatura en [BD6].

Lámina de revolución de material compuesto laminado
Figura 9.8: Lámina de revolución de material compuesto laminado

9.3.3.3 Material compuesto laminado

Para una lámina de revolución formada por material compuesto laminado (Figura 9.8) la matriz se puede obtener de la Ec.(9.37) por

(9.41.a)

donde es el número de capas y el subíndice se refiere a las propiedades de la capa definida por . Para propiedades del material constantes en cada capa y , se obtiene la siguiente forma explícita de las submatrices de la Ec.(eq-9.41.a)

(9.41.b)

Se pueden encontrar detalles del análisis por el MEF de láminas de revolución de material compuesto laminado en [BD6,Go,NP,PN].

9.3.3.4 Tensiones iniciales

Se pueden tener en cuenta las tensiones iniciales modificando la relación tensión-deformación (9.31.b) como

(9.42.a)

donde es el vector de tensiones iniciales. Si estas tensiones se deben a efectos térmicos, entonces (para material ortótropo)

donde es el incremento de temperatura, y son los coeficientes de expansión térmica en las direcciones de ortotropía y , respectivamente y y se definen en la Ec.(9.32).

Para material isótropo , y

(9.42.b)

La relación entre esfuerzos y deformaciones generalizadas (Ec.(9.37)) se modifica para el caso de tensiones iniciales como

(9.43.a)

donde

(9.43.b)

Para tensiones iniciales térmicas, en la expresión anterior.

9.3.4 Principio de los trabajos virtuales

El PTV se escribe como

(9.44.a)

donde y son el volumen de la lámina y el área de la sección meridional, respectivamente y es la longitud de la generatriz.

El trabajo virtual interno se expresa en función de las tensiones y deformaciones locales, mientras que todos los demás vectores se escriben en ejes globales por conveniencia. En el PTV, es el vector de movimientos globales y

(9.44.b)

son los vectores de fuerzas volumétricas, de cargas distribuidas y de cargas puntuales, respectivamente, definidos en ejes globales y por unidad de longitud circunferencial (Figura 9.9). En la Ec.(9.44.b), y son pares distribuidos por unidad de volumen y por unidad de superficie, respectivamente. Las tensiones iniciales se han despreciado en la expresión del PTV por simplicidad.

Fuerzas externas en láminas de revolución: a) fuerzas     volumétricas (gravedad), (b) puntuales y (c) distribuidas
Figura 9.9: Fuerzas externas en láminas de revolución: a) fuerzas volumétricas (gravedad), (b) puntuales y (c) distribuidas

La Ec.(9.44.a) se simplifica como sigue

(9.45.a)

Integrando sobre una circunferencia da

(9.45.b)

Tal y como se hizo para sólidos de revolución (Capítulo 6 de [On4]), retenemos el factor en ambos miembros de la Ec.(9.45.b). Esto nos recordará que las fuerzas se definen por unidad de longitud circunferencial.

El trabajo virtual interno se puede expresar en función de los los esfuerzos y las deformaciones generalizadas usando las Ecs.(9.25) y (9.34) como

(9.45.c)

El PTV se escribe finalmente en función de integrales curvilíneas como

(9.46)

donde contiene las fuerzas volumétricas generalizadas actuando en la generatriz y viene dado por

(9.47)

La Ec.(9.46) se simplifica para . Si las fuerzas volumétricas son constantes, entonces .

Las cargas superficiales debidas a una presión interior requieren generalmente una transformación a ejes globales (Figura 12). La contribución de una carga puntual actuando en el eje de simetría viene dada simplemente por el valor de la fuerza (es decir, el factor no se requiere en este caso).

El efecto de las tensiones iniciales se puede tener en cuenta simplemente sustituyendo la expresión de de la Ec.(9.43.b) en el primer miembro de la Ec.(9.46).

Las integrales en la Ec.(9.46) contienen derivadas de primer orden únicamente. Esto permite utilizar elementos de lámina de revolución de continuidad . Una elección simple son los elementos troncocónicos estudiados en el siguiente apartado.

9.4 ELEMENTOS TRONCOCÓNICOS DE REISSNER-MINDLIN

El proceso de discretización de una lámina de revolución en elementos troncocónicos es extremadamente simple y consiste en dividir la generatriz en segmentos rectos, como se hace para un pórtico plano o un arco (Figura 9.10). La Figura 11 muestra la discretización de una lámina de revolución en elementos troncocónicos.

Discretización de una lámina de revolución en elementos de     lámina troncocónicos
Figura 9.10: Discretización de una lámina de revolución en elementos de lámina troncocónicos
Elementos de lámina troncocónicos: a) lineal (dos nodos) y b)     cuadrático (tres nodos). Las letras entre paréntesis denotan los números de     nodo globales
Figura 9.11: Elementos de lámina troncocónicos: a) lineal (dos nodos) y b) cuadrático (tres nodos). Las letras entre paréntesis denotan los números de nodo globales

9.4.1 Interpolación de movimientos y deformaciones

El campo de movimientos en un elemento troncocónico de nodos se escribe como

(9.48)

con

(9.49)

donde

(9.50)

y son las funciones de forma de los elementos de Lagrange 1D (Capítulo 2 de [On4]).

Como el elemento es recto, y lo cual implica . Por simplicidad supondremos también en adelante que . El vector de deformaciones generalizadas locales se encuentra como (Ecs.(9.27-9.28))

(9.51)

El vector de deformaciones generalizadas locales incluye la elongación axial , la (pseudo) curvatura y el ángulo de cortante , como para un pórtico plano o un arco. También incorpora la elongación circunferencial y la curvatura circunferencial .

Sustituyendo la Ec.(9.48) en (9.51) se tiene

(9.52)

con

(9.53)

y

(9.54)

donde los subíndices y denotan las matrices de membrana, flexión y cortante, respectivamente.

9.4.2 Matriz de rigidez local

Sustituyendo las Ecs.(9.43.a), (9.48) y (9.52) en el PTV (Ec.(9.46)) se obtiene la ecuación de equilibrio del elemento troncocónico como

(9.55)

donde

(9.56)

es una contribución típica a la matriz de rigidez local de un elemento de lámina troncocónico de longitud , es el vector de fuerzas nodales equivalentes y es el vector de fuerzas nodales de equilibrio. Por conveniencia, las componentes de ambos vectores se expresan en ejes locales.

Haciendo uso de las Ecs.(9.38.a) y (9.54) la matriz de rigidez local del elemento troncocónico se escribe como

(9.57)

donde los subíndices y denotan las contribuciones de rigidez debidas a los efectos de membrana, flexión, cortante y acoplamiento membrana-flexión. La Ec.(9.57) es análoga a la (8.36) para elementos de lámina plana. El acoplamiento de las rigideces locales de membrana y flexión a nivel del elemento mediante la matriz es una propiedad distintiva de las láminas de revolución de material compuesto laminado. Si , lo que ocurre para casos particulares tales como laminados simétricos o material homogéneo, entonces y las rigideces de membrana y flexión están desacopladas a nivel del elemento. El acoplamiento membrana-flexión ocurre invariablemente a nivel estructural cuando las ecuaciones de rigidez locales de elementos no coplanares se ensamblan en ejes globales, tal y como en los elementos de lámina plana.

9.4.3 Transformación a ejes globales

El proceso de transformación de la rigidez es muy parecido al explicado para láminas planas en el Apartado 8.5 y no se repetirán aquí los detalles. La matriz de rigidez global del elemento es

(9.58)

Una submatriz típica viene dada por

(9.59)

donde coincide con la matriz de la Ec.(9.14). Las matrices de transformación nodal son idénticas para todos los nodos del elemento, ya que el elemento es recto.

Como se explicó en el Apartado 8.5, es generalmente más conveniente transformar primero la matriz de deformaciones locales como

(9.60)

La matriz de rigidez global se obtiene ahora directamente como

(9.61)

donde las distintas matrices de rigidez se obtienen sustituyendo , y de la Ec.(9.60) en (9.57).

La ecuación de equilibrio del elemento en ejes globales es

(9.62)

El vector de fuerzas nodales equivalentes viene dado en ejes globales por

(9.63)

donde la última integral tiene en cuenta el efecto de las tensiones iniciales.

La Figura 12 muestra la transformación para obtener las componentes globales del vector de cargas distribuidas para una presión interior actuando en una malla de elementos troncocónicos de dos nodos.

Presión interna en una lámina de revolución discretizada     con elementos troncocónicos de dos nodos. Transformación a ejes globales
Figura 9.12: Presión interna en una lámina de revolución discretizada con elementos troncocónicos de dos nodos. Transformación a ejes globales

La matriz se calcula numéricamente con una cuadratura de Gauss 1D como

(9.64)

donde y

(9.65)

Normalmente para elementos rectos (ver Apartado 2.3.2 y Capítulo 3 de [On4]).

En la Ec.(9.64) ; son el número de puntos de integración y el peso correspondientes a cada punto para calcular las matrices de rigidez de membrana, flexión, cortante y membrana-flexión. La elección del orden de la cuadratura se trata más adelante.

Se emplea una cuadratura similar de puntos para integrar el vector de fuerzas nodales equivalentes. Agrupando términos en la Ec.(9.63)

(9.66)

9.5 BLOQUEO POR CORTANTE Y MEMBRANA

9.5.1 Bloqueo por cortante

Escribamos la ecuación de rigidez global para una lámina de revolución con espesor constante como

(9.67)

donde denota las matrices de rigidez de membrana, cortante y flexión una vez se ha extraído de ellas el espesor como se muestra en Ec.(9.67). Por simplicidad no se incluye la matriz de acoplamiento membrana-flexión .

Consideremos una placa circular sometida a cargas laterales únicamente. Los efectos de membrana y flexión están desacoplados a nivel global y la Ec.(9.67) se simplifica a

(9.68.a)

(9.68.b)

donde y denotan los desplazamientos de flexión (flechas y giros) y en el plano, respectivamente y es el vector de fuerzas nodales equivalentes correspondiente a las cargas laterales. De (9.68.b) se deduce .

La solución analítica exacta para en este caso es proporcional a [BD6,Go]. Dividiendo la Ec.(9.68) por da

(9.69)

donde y es un vector del orden de magnitud de la solución exacta. Para , y la rigidez a flexión no juega ningún papel en la Ec.(9.69). De esta manera, la solución tiende al siguiente valor límite

(9.70)

Claramente, al reducir el espesor, la solución se rigidiza (bloquea) a un ritmo proporcional a con respecto al valor exacto, dando desplazamientos laterales nulos en el límite delgado . La Ec.(9.70) muestra que la existencia de una solución no trivial requiere que sea singular. Es aplicable aquí de nuevo la regla de singularidad de la Ec.(2.50). Esta singularidad se puede conseguir usando integración reducida para .

9.5.2 Bloqueo por membrana

Los términos de membrana pueden contribuir al aumento del comportamiento de bloqueo en láminas de revolución. Valores altos de la rigidez de membrana pueden introducir una rigidez de membrana "parásita" que lleva al bloqueo por membrana. Este efecto es normalmente de menor importancia que el bloqueo por cortante y se puede entender observando la Ec.(9.67). Dividiendo por da

(9.71.a)

con . Para el caso límite de y tenemos

(9.71.b)

Claramente, la existencia de una solución no nula requiere la singularidad de la suma de las matrices de cortante y membrana. En la práctica, exige utilizar integración reducida para y . Sin embargo, esta condición es menos estricta que la requerida para para evitar el bloqueo por cortante. Esto es así porque en láminas el acoplamiento entre los efectos de membrana y flexión es generalmente más débil que entre los efectos de cortante y flexión.

El bloqueo por membrana se puede evitar si la aproximación de los desplazamientos es capaz de reproducir una deformación de membrana nula sin modificar la aproximación de flexión. Lamentablemente, el llamado “modo inextensional” (deformaciones de membrana nulas bajo un estado de flexión pura) no existe en láminas de revolución, ya que las deformaciones circunferenciales son siempre no nulas. Por ello, un ligero bloqueo por membrana es inevitable en el estudio de estas estructuras con elementos curvos.

En el práctica, el bloqueo por membrana es menos severo cuando la aproximación de desplazamientos permite representar una deformación radial de membrana (ver Ec.(9.27.a)) nula sin restringir la aproximación de la deformación de flexión [Cr].

En los elementos de lámina troncocónica de Reissner-Mindlin el término y, por consiguiente, la deformación radial de membrana está completamente desacoplada de las deformaciones de flexión y cortante a nivel del elemento. Esto prácticamente elimina el bloqueo por membrana en los elementos troncocónicos, ya que el acoplamiento membrana-flexión está únicamente inducido por la transformación de las ecuaciones de rigidez a ejes globales. Esto no es así en elementos de lámina de revolución curvos en los que los efectos de membrana y flexión están acoplados a nivel de elemento y, por tanto, requieren una aproximación compatible de y , o la integración reducida de la matriz de rigidez de membrana (Apartado 9.15).

La situación empeora si existe acoplamiento entre las componentes de cortante, membrana y flexión. La Ec.(9.71) es en este caso

(9.72)

donde .

La Ec.(9.72) muestra que la matriz introduce un acoplamiento entre los efectos de membrana y flexión a nivel del elemento que también puede introducir bloqueo según . El efecto de es menos relevante en términos de bloqueo que el de y . En la práctica se recomienda la integración integración reducida de para prevenir el bloqueo por membrana en láminas de material compuesto laminado.

9.5.3 Otras técnicas para evitar el bloqueo en los elementos de lámina troncocónicos de Reissner-Mindlin

El bloqueo por cortante también se puede evitar combinando un campo de deformaciones de cortante impuesto con aproximaciones adecuadas (compatibles) de los desplazamientos y el giro. La aplicación de esta técnica sigue lo explicado para los elementos de viga de Timoshenko (Capítulo 2).

Para el elemento de lámina troncocónico de dos nodos, combinar un campo impuesto constante para con una aproximación lineal para y , es equivalente a usar una cuadratura reducida de un punto para en el elemento original.

Se encuentra la misma equivalencia entre la integración reducida de dos puntos para el elemento troncocónico cuadrático de tres nodos y el uso de un campo lineal impuesto para . Esto es similar a lo que ocurre para el elemento de viga de Timoshenko de dos nodos (Ejemplo 2.9).

Se pueden idear técnicas similares para evitar el bloqueo por membrana. Sin embargo, su interpretación es menos obvia. Ver el Apartado 9.11 para más detalles.

Aplicación de la regla de singularidad (2.50) para Kₛ(e) en elementos de lámina troncocónicos de     Reissner-Mindlin de dos y tres nodos
Figura 9.13: Aplicación de la regla de singularidad (2.50) para en elementos de lámina troncocónicos de Reissner-Mindlin de dos y tres nodos
Matriz de rigidez del elemento troncocónico de lámina de   Reissner-Mindlin de dos nodos con integración reducida uniforme de un   punto. Se desprecian los efectos de acoplamiento de membrana-flexión
Figura 9.14: Matriz de rigidez del elemento troncocónico de lámina de Reissner-Mindlin de dos nodos con integración reducida uniforme de un punto. Se desprecian los efectos de acoplamiento de membrana-flexión
Aplicaciones de la regla de singularidad (2.50) en los     elementos troncocónicos de dos y tres nodos usando integración reducida de Kₘ(e) y Kₛ(e)
Figura 9.15: Aplicaciones de la regla de singularidad (2.50) en los elementos troncocónicos de dos y tres nodos usando integración reducida de y

9.6 REGLAS DE INTEGRACIÓN PARA LOS ELEMENTOS TRONCOCÓNICOS DE REISSNER-MINDLIN LINEALES Y CUADRÁTICOS

9.6.1 Cuadratura para el elemento troncocónico de Reissner-Mindlin de dos nodos

El bloqueo por cortante en el elemento troncocónico de Reissner-Mindlin (dos nodos) se puede evitar empleando una cuadratura reducida de un punto para . Se muestran ejemplos en la Figura 13.

La cuadratura de un punto para todos los términos de la matriz de rigidez preserva el rango correcto en la matriz de rigidez global del elemento y esto lleva a la siguiente expresión simple

(9.73)

donde denota valores en el punto medio del elemento. La Figura 14 muestra la forma explícita de la matriz de rigidez despreciando los efectos de acoplamiento de membrana-flexión. La cuadratura reducida de un punto de todos los términos de la la matriz de rigidez elimina el bloqueo por cortante y membrana (Figura 15).

El vector de fuerzas nodales equivalentes se integra con una cuadratura de dos puntos en el caso general de carga arbitraria (Ec.(9.66)). Se puede encontrar una expresión analítica simple para fuerzas volumétricas constantes, carga uniforme y tensiones iniciales nulas como

(9.74)

con , donde , son las coordenadas radiales de los dos nodos del elemento. Debido a la simetría de revolución, los nodos a mayor distancia del eje de revolución tienen valores de fuerza nodal mayores.

El elemento troncocónico de Reissner-Mindlin de dos nodos con un único punto de integración fue desarrollado originalmente por Zienkiewicz et al. [ZBMO] y es el elemento de lámina de revolución más sencillo y popular. En el Apartado 9.7 se dan ejemplos de su buen comportamiento.

9.6.2 Cuadratura para el elemento troncocónico de Reissner-Mindlin de tres nodos

El elemento troncocónico de Reissner-Mindlin de tres nodos (cuadrático) requiere una integración reducida de dos puntos de para evitar el bloqueo por cortante. La regla de singularidad (2.50) se cumple en algunos casos usando una cuadratura de tres puntos de en algunos casos (Figura 13). El resto de los términos de rigidez también se pueden integrar con la cuadratura reducida de dos puntos sin perturbar el rango correcto de la matriz de rigidez del elemento. La cuadratura de dos puntos se usa habitualmente para integrar el vector (Ec.(9.66)).

La cuadratura reducida de y satisface la regla de singularidad (2.50) para la suma de las dos matrices. Esto asegura que se evite el bloqueo por membrana y cortante (Figura 15).

9.7 APLICACIONES DEL ELEMENTO TRONCOCÓNICO DE REISSNER-MINDLIN DE DOS NODOS

9.7.1 Análisis de un casquete esférico empotrado bajo presión uniforme

La Figura 16 muestra la geometría del casquete, las propiedades del material y la carga. Se ha empleado una malla uniforme de 10 elementos troncocónicos de dos nodos.

Casquete esférico bajo presión uniforme. Leyes de Mx'     y Ny' obtenidas con una malla de 10 elementos troncocónicos      de Reissner-Mindlin de dos nodos
Figura 9.16: Casquete esférico bajo presión uniforme. Leyes de y obtenidas con una malla de 10 elementos troncocónicos de Reissner-Mindlin de dos nodos

La Figura 16 muestra las leyes del momento flector radial y el esfuerzo circunferencial . Se obtiene muy buena concordancia con los valores teóricos [TW] así como con los resultados numéricos obtenidos usando elementos curvos basados en la teoría de láminas delgadas de Kirchhoff [Del].

9.7.2 Toro bajo presión interior

La geometría y las propiedades mecánicas del toro se muestran en la Figura 17. Se ha analizado la mitad de la sección meridional debido a la simetría con una malla de 18 elementos de lámina troncocónicos de dos nodos.

Los resultados de la distribución de desplazamientos radiales y esfuerzos axiles se comparan en la Figura 17 con diferentes soluciones obtenidas usando la teoría de Kirchhoff [ChF,Del,GM]. Se ha encontrado buena concordancia en todos los casos a pesar de haber empleado una malla relativamente grosera. Se pueden encontrar otras soluciones a este problema en [JO,SL].

Toro bajo presión interna. Leyes de wr, Nx' y Ny' usando 18 elementos de lámina troncocónicos de     Reissner-Mindlin de dos nodos
Figura 9.17: Toro bajo presión interna. Leyes de , y usando 18 elementos de lámina troncocónicos de Reissner-Mindlin de dos nodos

9.7.3 Depósito cilíndrico con cúpula esférica bajo presión interior

Este ejemplo coincide con el depósito de hormigón estudiado en el Apartado 7.7.2 de [On4] usando elementos de sólido de revolución. La geometría y propiedades del material se pueden ver en la Figura 7.9 de [On4]. Actúa una presión interna de en la pared cilíndrica en la cúpula.

Se ha empleado una malla de 39 elementos troncocónicos de dos nodos como se muestra en la Figura 18, junto con las leyes de esfuerzos axiles y momentos flectores. El lector puede verificar que la distribución de tensiones circunferenciales mostrada en la Figura 7.9 de [On4] se obtiene de las leyes de y calculadas en este ejemplo.

9.7.4 Depósito elevado de agua

El último ejemplo es el análisis del depósito elevado de agua mostrado en la Figura 19. El depósito se apoya en una pared cilíndrica delgada y en columnas laterales. El efecto de las columnas discretas se ha modelado mediante una pared cilíndrica equivalente de 2 mm de espesor. El depósito está cargado por el peso del agua como se muestra en la figura. Se llevaron a cabo dos análisis diferentes con mallas de 10 y 80 elementos troncocónicos de dos nodos para la discretización del depósito y el cilindro central. La pared lateral y la pared cilíndrica se discretizaron en ambos casos con 1 y 10 elementos respectivamente.

Las Figuras 19a y b muestran la deformada del depósito y las leyes de los esfuerzos axiles y para las dos mallas. Nótese la similitud de los resultados, lo cual es indicativo de la precisión de la solución. La ley del momento flector radial se muestra en la Figura 19c. Este momento toma valores grandes cerca de la parte inferior y en las uniones con los apoyos cilíndricos. La diferencia en los momentos flectores locales obtenida con las dos mallas indica que se requiere un mayor refinamiento de la malla en esas zonas. Se pueden encontrar más detalles de este ejemplo en [ZBMO].

9.8 ELEMENTOS DE LÁMINA DE REVOLUCIÓN CURVOS DE LA FAMILIA REISSNER-MINDLIN

Se pueden obtener elementos de lámina de revolución curvos siguiendo la teoría de Reissner-Mindlin partiendo de las deformaciones generalizadas

Depósito cilíndrico con cúpula esférica analizado con 39     elementos troncocónicos de Reissner-Mindlin de dos nodos. Leyes del     esfuerzo axil Ny' y del momento flector My'. La geometría se detalla en la Figura 7.9 de [On4]
Figura 9.18: Depósito cilíndrico con cúpula esférica analizado con 39 elementos troncocónicos de Reissner-Mindlin de dos nodos. Leyes del esfuerzo axil y del momento flector . La geometría se detalla en la Figura 7.9 de [On4]
Depósito de agua analizado con dos mallas de 40 y 80     elementos troncocónicos de Reissner-Mindlin de dos nodos. (a)     Geometría, mallas y deformada. (b) Leyes de axiles Nx' y Ny'. (c) Ley de momentos flectores Mx'
Figura 9.19: Depósito de agua analizado con dos mallas de 40 y 80 elementos troncocónicos de Reissner-Mindlin de dos nodos. (a) Geometría, mallas y deformada. (b) Leyes de axiles y . (c) Ley de momentos flectores

y los esfuerzos de las Ecs.(9.27), (9.28) y (9.34) incluyendo los términos de curvatura. Estos términos también tienen influencia sobre el trabajo virtual de las fuerzas nodales (Ec.(9.46)).

La Figura 20 muestra la discretización de la generatriz usando elementos curvos. El miembro inferior de la familia de continuidad es el elemento de lámina de revolución cuadrático de tres nodos.

Discretización de una lámina de revolución en elementos     curvos de tres nodos
Figura 9.20: Discretización de una lámina de revolución en elementos curvos de tres nodos

9.8.1 Campos de movimientos y deformaciones generalizadas

El campo de movimientos (incluyendo los dos desplazamientos locales y el giro global) se expresa mediante la Ec.(9.48), como en los elementos troncocónicos. La geometría del elemento se expresa en forma isoparamétrica como

(9.75)

donde es el número de nodos del elemento.

La relación entre las deformaciones locales generalizadas y los movimientos nodales (Ec.(9.52)) se obtiene sustituyendo la Ec.(9.48) en (9.27) y (9.28), dando la matriz de deformaciones locales generalizadas como

(9.76)

donde se han recuadrado los términos contribuidos por la curvatura de la generatriz.

Descripción geométrica de un elemento de lámina de     revolución curvo de tres nodos de Reissner-Mindlin
Figura 9.21: Descripción geométrica de un elemento de lámina de revolución curvo de tres nodos de Reissner-Mindlin

9.8.2 Cálculo de las derivadas curvilíneas y del radio de curvatura

La expresión isoparamétrica (9.75) da

(9.77)

El ángulo que define la dirección tangente en cada punto de la generatriz (Figura 21) se obtiene de la expresión

(9.78)

El radio de curvatura se calcula como (Figura 21 y Ec.(9.2))

(9.79)

El radio de curvatura se calcula como (Ec.(9.2))

(9.80)

De la Ec.(9.77) tenemos

(9.81)

Sustituyendo la Ec.(9.81) y la derivada de de la Ec.(9.78) en (9.79) da finalmente

(9.82)

La derivada curvilínea de la función de forma se calcula mediante